课时跟踪检测(八) 二次函数与幂函数
一抓基础,多练小题做到眼疾手快 1.函数y =x 13
的图象是( )
解析:选B 由幂函数y =x α,若0<α<1,在第一象限内过(1,1),排除A 、D ,又其图象上凸,则排除C ,故选B.
2.函数y =x 2+ax +6在????52,+∞上是增函数,则a 的取值范围为( ) A .(-∞,-5] B .(-∞,5] C .[-5,+∞)
D .[5,+∞)
解析:选C ∵y =x 2+ax +6在????-a 2,+∞上是增函数,由题意得-a 2≤5
2.∴a ≥-5,故选C.
3.(·贵州适应性考试)幂函数y =f (x )的图象经过点(3,3),则f (x )是( ) A .偶函数,且在(0,+∞)上是增函数 B .偶函数,且在(0,+∞)上是减函数 C .奇函数,且在(0,+∞)上是减函数 D .非奇非偶函数,且在(0,+∞)上是增函数
解析:选D 设幂函数f (x )=x α,则f (3)=3α=3,解得α=1
2,则f (x )=x 1
2=x ,是非
奇非偶函数,且在(0,+∞)上是增函数.
4.二次函数的图象过点(0,1),对称轴为x =2,最小值为-1,则它的解析式为________________.
解析:依题意可设f (x )=a (x -2)2-1, ∵图象过点(0,1), ∴4a -1=1,∴a =1
2.
∴f (x )=1
2(x -2)2-1.
答案:f (x )=1
2
(x -2)2-1
5.若二次函数f (x )=-x 2+4x +t 图象的顶点在x 轴上,则t =________.
解析:由于f (x )=-x 2+4x +t =-(x -2)2+t +4图象的顶点在x 轴上, 所以f (2)=t +4=0, 所以t =-4. 答案:-4
二保高考,全练题型做到高考达标
1.(·吉林东北二模)已知幂函数f (x )=x n ,n ∈{-2,-1,1,3}的图象关于y 轴对称,则下列选项正确的是( )
A .f (-2)>f (1)
B .f (-2) C .f (2)=f (1) D .f (-2)>f (-1) 解析:选B 由于幂函数f (x )=x n 的图象关于y 轴对称,可知f (x )=x n 为偶函数,所以n =-2,即f (x )=x - 2,则有f (-2)=f (2)=14 ,f (-1)=f (1)=1,所以f (-2) 2.已知a ,b ,c ∈R ,函数f (x )=ax 2+bx +c .若f (0)=f (4)>f (1),则( ) A .a >0,4a +b =0 B .a <0,4a +b =0 C .a >0,2a +b =0 D .a <0,2a +b =0 解析:选A 由f (0)=f (4),得f (x )=ax 2+bx +c 图象的对称轴为x =-b 2a =2, ∴4a +b =0,又f (0)>f (1), ∴f (x )先减后增,于是a >0,故选A. 3.已知f (x )=x 1 2 ,若0 1b B .f ????1a ?1b a ,故选C. 4.设abc >0,二次函数f (x )=ax 2+bx +c 的图象可能是( ) 解析:选D 由A 、C 、D 知,f (0)=c <0. ∵abc >0,∴ab <0, ∴对称轴x =-b 2a >0,知A 、C 错误,D 符合要求. 由B 知f (0)=c >0, ∴ab >0, ∴x =-b 2a <0,B 错误.故选D. 5.若函数y =x 2-3x -4的定义域为[0,m ],值域为????-25 4,-4,则m 的取值范围是( ) A .[0,4] B.???? 32,4 C.????32,+∞ D.????32,3 解析:选D 二次函数图象的对称轴为x =32,且f ????32=-25 4,f (3)=f (0)=-4,由图得m ∈????32,3. 6.对于任意实数x ,函数f (x )=(5-a )x 2-6x +a +5恒为正值,则a 的取值范围是________. 解析:由题意可得????? 5-a >0, Δ=36-4(5-a )(a +5)<0, 解得-4<a <4. 答案:(-4,4) 7.已知函数f (x )=x 2-(a -1)x +5在区间???? 12,1上为增函数,那么f (2)的取值范围是________. 解析:函数f (x )=x 2-(a -1)x +5在区间???? 12,1上为增函数,由于其图象(抛物线)开口向上,所以其对称轴x =a -12或与直线x =12重合或位于直线x =12的左侧,即应有a -12≤12,解 得a ≤2,∴f (2)=4-(a -1)×2+5≥7,即f (2)≥7. 答案:[7,+∞) 8.已知函数f (x )=????? x 2+x ,x ≤0, ax 2+bx ,x >0 为奇函数,则a +b =________. 解析:因为函数f (x )是奇函数, 所以当x <0时,-x >0, 所以f (x )=x 2+x ,f (-x )=ax 2-bx , 而f (-x )=-f (x ), 即-x 2-x =ax 2-bx , 所以a =-1,b =1,故a +b =0. 答案:0 9.已知函数f (x )=ax 2+bx +1(a ,b 为实数,a ≠0,x ∈R). (1)若函数f (x )的图象过点(-2,1),且方程f (x )=0有且只有一个根,求f (x )的表达式; (2)在(1)的条件下,当x ∈[-1,2]时,g (x )=f (x )-kx 是单调函数,求实数k 的取值范围. 解:(1)因为f (-2)=1,即4a -2b +1=1,所以b =2a . 因为方程f (x )=0有且只有一个根,所以Δ=b 2-4a =0. 所以4a 2-4a =0,所以a =1,b =2. 所以f (x )=(x +1)2. (2)g (x )=f (x )-kx =x 2+2x +1-kx =x 2-(k -2)x +1= ? ???x -k -222+1-(k -2)2 4. 由g (x )的图象知,要满足题意,则k -22≥2或k -2 2≤-1,即k ≥6或k ≤0, ∴所求实数k 的取值范围为(-∞,0]∪[6,+∞). 10.已知幂函数f (x )=x (m 2+m )- 1(m ∈N *). (1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调性. (2)若该函数f (x )的图象经过点(2,2),试确定m 的值,并求满足条件f (2-a )>f (a -1)的实数a 的取值范围. 解:(1)因为m 2+m =m (m +1)(m ∈N *),而m 与m +1中必有一个为偶数,所以m 2+m 为偶数, 所以函数f (x )=x (m 2+m )- 1(m ∈N *)的定义域为[0,+∞),并且该函数在[0,+∞)上为增函数. (2)因为函数f (x )的图象经过点(2,2), 所以2=2(m 2+m )-1,即212=2(m 2+m )- 1, 所以m 2+m =2,解得m =1或m =-2. 又因为m ∈N *,所以m =1,f (x )=x 1 2. 又因为f (2-a )>f (a -1), 所以???? ? 2-a ≥0,a -1≥0, 2-a >a -1, 解得1≤a <3 2 , 故函数f (x )的图象经过点(2,2)时,m =1.满足条件f (2-a )>f (a -1)的实数a 的取值范围为??? ?1,32. 三上台阶,自主选做志在冲刺名校 1.设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ,b ]上的两个函数,若函数y =f (x )-g (x )在x ∈[a ,b ]上有两个不同的零点,则称f (x )和g (x )在[a ,b ]上是“关联函数”,区间[a ,b ]称为“关联区间”.若f (x )=x 2-3x +4与g (x )=2x +m 在[0,3]上是“关联函数”,则m 的取值范围为________. 解析:由题意知,y =f (x )-g (x )=x 2-5x +4-m 在[0,3]上有两个不同的零点.在同一直角坐标系下作出函数y =m 与y =x 2-5x +4(x ∈[0,3])的图象如图所示,结合图象可知,当x ∈[2,3]时,y =x 2-5x +4∈??? ?-9 4,-2,故当m ∈??? ?-94,-2时,函数y =m 与y =x 2-5x +4(x ∈[0,3])的图象有两个交点. 答案:??? ?-9 4,-2 2.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且当x ≤0时,f (x )=x 2+2x .现已画出函数f (x )在y 轴左侧的图象,如图所示,请根据图象: (1)写出函数f (x )(x ∈R)的增区间; (2)写出函数f (x )(x ∈R)的解析式; (3)若函数g (x )=f (x )-2ax +2(x ∈[1,2]),求函数g (x )的最小值. 解:(1)f (x )在区间(-1,0),(1,+∞)上单调递增. (2)设x >0,则-x <0,函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且当x ≤0时,f (x )=x 2+2x , ∴f (x )=f (-x )=(-x )2+2×(-x )=x 2-2x (x >0), ∴f (x )=? ???? x 2-2x ,x >0, x 2+2x ,x ≤0. (3)g (x )=x 2-2x -2ax +2,对称轴方程为x =a +1, 当a +1≤1,即a ≤0时,g (1)=1-2a 为最小值; 当12,即a >1时,g (2)=2-4a 为最小值. 综上,g (x )min =???? ? 1-2a ,a ≤0,-a 2-2a +1,01.