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高中数学选修计数原理概率知识点总结

高中数学选修计数原理概率知识点总结
高中数学选修计数原理概率知识点总结

选修2-3定理概念及公式总结

第一章基数原理

1.分类计数原理:做一件事情,完成它可以有n 类办法,在第一类办法中有1m 种不同的方法,在第二类办法中有2m 种不同的方法,……,在第n 类办法中有n m 种不同的方法 N=m 1+m 2+……+m n 种不同的方法

2.分步计数原理:做一件事情,完成它需要分成n 个步骤,做第一步有m 1种不同的方法,做第二步有m 2种不同的方法,……,做第n 步有m n 种不同的方法,那么完成这件事有N=m 1×m 2×……m n 种不同的方法 分类要做到“不重不漏”,分步要做到“步骤完整”

3.两个计数原理的区别:

如果完成一件事,有n 类办法,不论哪一类办法中的哪一种方法,都能独立完成这件事,用分类计数原理,

如果完成一件事需要分成几个步骤,各步骤都不可缺少,需要完成所有步骤才能完成这件事,是分步问题,用分步计数原理.

4.排列:从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n)元素并按一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.

(1)排列数: 从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列的个数.用符号m n A 表示 (2)排列数公式:)1()2)(1(+-???--=m n n n n A m

n

用于计算, 或m n

A )!

(!

m n n -=()

n m N m n ≤∈*,, 用于证明。

n

n

A =!n =()1231????-Λn n =n(n-1)! 规定0!=1 5.组合:一般地,从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合

(1)组合数: 从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数,用m

n C 表示

(2)组合数公式: (1)(2)(1)

!

m m n n

m m A n n n n m C A m ---+==L 用于计算,

或)!

(!!

m n m n C m n -=

),,(n m N m n ≤∈*且 用于证明。

(3)组合数的性质:

①m n n m n C C -=.规定:10=n C ; ②m n C 1+=m n C +1-m n

C . ③ n C C n n n ==-11 ④1=n

n C

6.二项式定理及其特例:

(1)二项式定理()()

*--∈+++++=+N n b C b a C b a C a C b a n n n n n n n n n n

ΛΛr r r 1

10

展开式共有n+1项,其中各项的系数{}()n C n ,,2,1,

0r r Λ∈叫做二项式系数。 (2)特例:1(1)1n r r

n n

n x C x C x x +=+++++L L . 7.二项展开式的通项公式: r r r 1r b a C T n n -+= (为展开式的第r+1项) 8.二项式系数的性质:

(1)对称性:在()n

b a +展开式中,与首末两端 “等距”的两个二项式系数相等,

即m

n n m n C C -=,直线2

n

r =

是图象的对称轴. (2)增减性与最大值:当2

1

r +<

n 时,二项式系数逐渐增大,由对称性知它的

后半部分是逐渐减小的,且在中间取得最大值。

当n 是偶数时,在中间一项2

2n +T 的二项式系数2n n

C 取得最大值;

当n 是奇数时,在中间两项2

1n +T ,2

3n +T 的二项式系数12n n

C

-,12n n

C

+取得最大值.

9.各二项式系数和:

(1)

=+++n 21

0n n n n C C C C Λ n 2, (2)1

5314202

-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C ΛΛ.

10.各项系数之和:(采用赋值法)

例:求()932y x -的各项系数之和

解:()992728190932y a y x a y x a x a y x ++++=-Λ

令1,1==y x

,则有()()132329

92109

-=-=++++=-a a a a y x Λ,

故各项系数和为-1

第二章 概率

知识点:

1、随机变量

:如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示,并且X 是随着试验的结果的不同而变化,那么这样的变量叫做随机变量. 随机变量常用大写字母X 、Y 等或希腊字母ξ、η等表示。

2、离散型随机变量:在上面的射击、产品检验等例子中,对于随机变量X 所有可能的值能一一列举出来,这样的随机变量叫做离散型随机变量.

3、离散型随机变量的分布列:一般的,设离散型随机变量X 可能取的值为x 1,x

2,..... ,x i ,......,x n X 取每一个值 x i 的概率p 1,p 2,..... , p i ,......, p n ,则称表为离散型随机变量X 的概率分布,简称分布列

4、分布列性质① p i ≥0, i =1,2,… n ;② p 1 + p 2 +…+p n = 1.

5、二点分布:如果随机变量X 的分布列为:

其中0

6、超几何分布:一般地, 设总数为N 件的两类物品,其中一类有M 件,从所有物品中任取n(n ≤N)件,这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量,则它取值为m 时的概率为

为和中的较小的一个()(0,n M )m n m M N M

n

N

C C P X m m l l C --==≤≤, 7、条件概率:对任意事件A 和事件B ,在已知事件A 发生的条件下事件B 发生的概率,叫

做条件概率.记作P(B|A),读作A 发生的条件下B 的概率 8、公式:

.

0)(,)()

()|(>=

A P A P

B A P A B P I

9、相互独立事件:事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件

叫做相互独立事件。(|)

()P B A P B =

10、n 次独立重复试验:在相同条件下,重复地做n 次试验,各次试验的结果相互独立,一般

就称它为n 次独立重复试验

11、二项分布: 设在n 次独立重复试验中某个事件A 发生的次数设为X .如果在一次试验中某事件发生的概率是p ,事件A 不发生的概率为q=1-p ,那么在n 次独立重复试验中 ,事件A

恰好发生k 次的概率是()k k n k

n P X k C p q -==(其中 k=0,1, ……,n )

于是可得随机变量X 的分布列如下:

这样的离散型随机变量X 服从参数为n ,p 二项分布,记作X ~B(n ,p) 。 12、数学期望:一般地,若离散型随机变量X 的概率分布为

则称1122()n n E X x p x p x p =+++L 为离散型随机变量X 的数学期望或均值(简称为期望).

13、方差:222

1122()(())(())(())n n D X x E X p x E X p x E X p =-+-++-L 叫随机变量X

的方差,简称方差。

14、集中分布的期望与方差一览:

15、正态分布:

若正态变量概率密度曲线的函数表达式为

)

,(,21

)(2

22)(+∞-∞∈=

--

x e x f x σμσ

π

的图像,其中解析式中的实数、μσ是参数,且0σ>,、μσ分别表示总体的期望与标准差. 期望为μ与标准差为σ的正态分布通常记作2

(,)μσN ,正态变量概率密度曲线的函数的图象称为正态曲线。

期望

方差

两点分布

()E X p = ()D X pq = 二项分布,X ~ B (n,p ) ()E X np = ()D X npq =

超几何分布N ,M ,n

()nM

E X N

=

16、正态曲线基本性质:

(1)曲线在x 轴的上方,并且关于直线x=μ对称.

(2)曲线在x=μ时处于最高点,并且由此处向左、右两边无限延伸时,曲线逐渐降低,呈现“中间高,两边低”的形状.

(3)曲线的形状由σ确定.σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散;

σ越小,曲线越“高瘦”,表示总体的分布越集中.

17、3σ原则:

容易推出,正变量在区间(2,2)μσμσ-+以外取值的概率只有 4.6%,在(3,3)μσμσ-+以外取值的概率只有0.3% 由于这些概率很小,通常称这些情况发生为小概率事件.也就是说,通常认为这些情况在一次试验中几乎是不可能发生的.

(,)68.3%P μσμσ-+= (2,2)95.4%P μσμσ-+= (3,3)99.7%P μσμσ-+=

初中统计与概率知识点精编

(一)统计篇 主要知识点(三种统计图,科学计数法,近似数,有效数字,平均数,众数,中位数,普查,抽查,频数,频率,极差,方差,标准差) 一、生活中的数据(一)(七年级上册第六章)三种统计图略 二、生活中的数据(二)(七年级下册第三章) 1.科学计数法: ①一个绝对值小于1的数也可以用科学记数法表示成的形式,其中,n是负整数。 ②技巧:n的绝对值等于这个数的左边第一个非零数字前面的零的个数。 ③一百万=1×106 一亿=1×108 2.近似数和有效数字:目标:取近似数,能指出近似数的有效数字。 精确数是与实际完全符合的数,近似数是与实际非常接近的数。 有时我们根据具体情况,采用四舍五入法选择一个数的近似数。 注意:用四舍五入法取近似数时,很容易将小数点末尾的零去掉,一定要注意精确到的数位(及四舍五入到的数位)。如0.73049四舍五入到千分位是0.730,注意不要去掉末尾的零。四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位。 对于一个近似数,从左边第一个不是0的数字起,到精确的数位(即四舍五入到的数位)止,所有的数字都叫做这个数的有效数字。 三、数据的代表(八年级上册第八章) 1.平均数:目标:会求一组数据的平均数与加权平均数 我们常用平均数(算术平均数)表示一组数据的“平均水平”。 在实际问题中,一组数据里的各个数据的“重要程度”未必相同,因而,在计算这组数据的平均数时,往往给每个数据一个“权”,这样的平均数叫做加

权平均数。 例如;你的小测成绩是80分,期末考成绩是90分,老师要计算总的平均成绩,就按照小测40%、期末成绩60%的比例来算,所以你的平均成绩是:80×40%+90×60%=86 学校食堂吃饭,吃三碗的有χ人,吃两碗的有y 人,吃一碗的z 人。平均每人吃多少?(3×χ + 2×y + 1×z)÷(χ + y + z) 这里x、y、z分别就是权数值,“加权”就是考虑到不同变量在总体中的比例份额。 2.中位数与众数:目标:能选用适当的数表示平均水平 (1)一般地,个数据按大小顺序排列,处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。 一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。 (2)平均数、中位数、众数(数据的“三个代表”)的特征: 平均数、中位数和众数都是数据的代表,它们刻画了一组数据的“平均水平”。 计算平均数时,所有数据都参加运算,它能充分地利用数据所提供的信息,因此在现实生活中较为常用,但它易受极端值的影响。 中位数的优点是计算简单,受极端值的影响较小,所以当一组数据中个别数据的变化较大时,可用中位数来描述“平均水平”,但不能充分利用所有数据的信息。 一组数据中某些数据多次重复出现时,众数往往是人们尤为关心的一个量。但各个数据重复的次数大致相等时,众数往往没有特别意义。 四、数据的收集与处理(八年级下册第五章) 1.调查方式:目标:学会选择适当的调查方式。 (1)为了一定的目的而对考察对象进行的全面调查称为普查。其中要考察对象的全体称为总体,而组成总体的每一个考察对象称为个体。 (2)从总体中抽到部分个体进行调查称为抽样调查,其中从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本,样本的数量称为样本容量。 2.数据的收集: 为了获得较为准确的调查结果,抽样时要注意样本的代表性和广泛性。

2020高一数学知识点总结归纳精选5篇

2020高一数学知识点总结归纳精选5 篇 高一数学是很多同学的噩梦,知识点众多而且杂,对于高一的同学们很不友好,建议同学们通过总结知识点的方法来学习数学,这样可以提高学习效率。下面就是给大家带来的高一数学知识点总结,希望能帮助到大家! 高一数学知识点总结(一) (1)指数函数的定义域为所有实数的集合,这里的前提是a 大于0,对于a不大于0的情况,则必然使得函数的定义域不存在连续的区间,因此我们不予考虑。 (2)指数函数的值域为大于0的实数集合。 (3)函数图形都是下凹的。 (4)a大于1,则指数函数单调递增;a小于1大于0,则为单调递减的。 (5)可以看到一个显然的规律,就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0),函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴

的正半轴的单调递减函数的位置,趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。 (6)函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。 (7)函数总是通过(0,1)这点。 (8)显然指数函数无界。 奇偶性 定义 一般地,对于函数f(x) (1)如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数。 (2)如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数。 (3)如果对于函数定义域内的任意一个x,f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立,那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数,称为既奇又偶函数。

(4)如果对于函数定义域内的任意一个x,f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立,那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数,称为非奇非偶函数。 高一数学知识点总结(二) 对于a的取值为非零有理数,有必要分成几种情况来讨论各自的特性: 首先我们知道如果a=p/q,q和p都是整数,则x^(p/q)=q次根号(x的p次方),如果q是奇数,函数的定义域是R,如果q 是偶数,函数的定义域是[0,+)。当指数n是负整数时,设a=-k,则x=1/(x^k),显然x0,函数的定义域是(-,0)(0,+).因此可以看到x所受到的限制****于两点,一是有可能作为分母而不能是0,一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数,那么我们就可以知道: 排除了为0与负数两种可能,即对于x0,则a可以是任意实数; 排除了为0这种可能,即对于x0和x0的所有实数,q不能是偶数; 排除了为负数这种可能,即对于x为大于且等于0的所有实数,a就不能是负数。

北师版小学数学总复习《统计与概率》知识点归纳

统计与概率 一统计表 (一)意义 * 把统计数据填写在一定格式的表格内,用来反映情况、说明问题,这样的表格就叫做统计表。 (二)组成部分 * 一般分为表格外和表格内两部分。表格外部分包括标的名称,单位说明和制表日期;表格内部包括表头、横标目、纵标目和数据四个方面。 (三)种类 * 单式统计表:只含有一个项目的统计表。 * 复式统计表:含有两个或两个以上统计项目的统计表。 * 百分数统计表:不仅表明各统计项目的具体数量,而且表明比较量相当于标准量的百分比的统计表。 (四)制作步骤 1搜集数据 2整理数据: 要根据制表的目的和统计的内容,对数据进行分类。 3设计草表: 要根据统计的目的和内容设计分栏格内容、分栏格画法,规定横栏、竖栏各需几格,每格长度。 4 正式制表: 把核对过的数据填入表中,并根据制表要求,用简单、明确的语言写上统计表的名称和制表日期。 二统计图 (一)意义 * 用点线面积等来表示相关的量之间的数量关系的图形叫做统计图。 (二)分类 1 条形统计图 用一个单位长度表示一定的数量,根据数量的多少画成长短不同的直条,然后把这些直线按一定的顺序排列起来。 优点:很容易看出各种数量的多少。 注意:画条形统计图时,直条的宽窄必须相同。 取一个单位长度表示数量的多少要根据具体情况而确定; 复式条形统计图中表示不同项目的直条,要用不同的线条或颜色区别开,并在制图日期下面注明图例。 制作条形统计图的一般步骤: (1)根据图纸的大小,画出两条互相垂直的射线。

(2)在水平射线上,适当分配条形的位置,确定直线的宽度和间隔。 (3)在与水平射线垂直的深线上根据数据大小的具体情况,确定单位长度表示多少。(4)按照数据的大小画出长短不同的直条,并注明数量。 2 折线统计图 用一个单位长度表示一定的数量,根据数量的多少描出各点,然后把各点用线段顺次连接起来。 优点:不但可以表示数量的多少,而且能够清楚地表示出数量增减变化的情况。 注意:折线统计图的横轴表示不同的年份、月份等时间时,不同时间之间的距离要根据年份或月份的间隔来确定。 制作折线统计图的一般步骤: (1)根据图纸的大小,画出两条互相垂直的射线。 (2)在水平射线上,适当分配折线的位置,确定直线的宽度和间隔。 (3)在与水平射线垂直的深线上根据数据大小的具体情况,确定单位长度表示多少。(4)按照数据的大小描出各点,再用线段顺次连接起来,并注明数量。 3扇形统计图 用整个圆的面积表示总数,用扇形面积表示各部分所占总数的百分数。优点:很清楚地表示出各部分同总数之间的关系。制扇形统计图的一般步骤:(1)先算出各部分数量占总量的百分之几。 (2)再算出表示各部分数量的扇形的圆心角度数。(3)取适当的半径画一个圆,并按照上面算出的圆心角的度数,在圆里画出各个扇形。(4)在每个扇形中标明所表示的各部分数量名称和所占的百分数,并用不同颜色或条纹把各个扇形区别开。 第五章简单的统计 一统计表 (一)意义 * 把统计数据填写在一定格式的表格内,用来反映情况、说明问题,这样的表格就叫做统计表。 (二)组成部分 * 一般分为表格外和表格内两部分。表格外部分包括标的名称,单位说明和制表日期;表格内部包括表头、横标目、纵标目和数据四个方面。 (三)种类 * 单式统计表:只含有一个项目的统计表。 * 复式统计表:含有两个或两个以上统计项目的统计表。 * 百分数统计表:不仅表明各统计项目的具体数量,而且表明比较量相当于标准量的百分比的统计表。 (四)制作步骤 1搜集数据 2整理数据: 要根据制表的目的和统计的内容,对数据进行分类。 3设计草表:

高中数学选修2-3计数原理概率知识点总结

选修2-3定理概念及公式总结 第一章基数原理 1.分类计数原理:做一件事情,完成它可以有n 类办法,在第一类办法中有1m 种不同的方法,在第二类办法中有2m 种不同的方法,……,在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 N=m 1+m 2+……+m n 种不同的方法 2.分步计数原理:做一件事情,完成它需要分成n 个步骤,做第一步有m 1种不同的方法,做第二步有m 2种不同的方法,……,做第n 步有m n 种不同的方法,那么完成这件事有N=m 1×m 2×……m n 种不同的方法 分类要做到“不重不漏”,分步要做到“步骤完整” 3.两个计数原理的区别: 如果完成一件事,有n 类办法,不论哪一类办法中的哪一种方法,都能独立完成这件事,用分类计数原理, 如果完成一件事需要分成几个步骤,各步骤都不可缺少,需要完成所有步骤才能完成这件事,是分步问题,用分步计数原理. 4.排列:从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n)元素并按一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. (1)排列数: 从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列的个数.用符号m n A 表示 (2)排列数公式:)1()2)(1(+-???--=m n n n n A m n 用于计算, 或m n A )! (! m n n -=() n m N m n ≤∈*,, 用于证明。 n n A =!n =()1231????- n n =n(n-1)! 规定0!=1 5.组合:一般地,从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合 (1)组合数: 从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数,用m n C 表示 (2)组合数公式: (1)(2)(1) ! m m n n m m A n n n n m C A m ---+== 用于计算, 或)! (!! m n m n C m n -= ),,(n m N m n ≤∈*且 用于证明。

高中数学知识点总结超全

高中数学 必修1知识点 第一章 集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 (1)集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. (2)常用数集及其记法 N 表示自然数集,N *或N +表示正整数集,Z 表示整数集,Q 表示有理数集,R 表示实数集. (3)集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈,或者a M ?,两者必居其一. (4)集合的表示法 ①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号表示集合. ③描述法:{x |x 具有的性质},其中x 为集合的代表元素. ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合. (5)集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 (6)子集、真子集、集合相等 (7)已知集合A 有(1)n n ≥个元素,则它有2n 个子集,它有21n -个真子集,它有21n -个非空子集, 它有2 2n -非空真子集.

【1.1.3】集合的基本运算 (8)交集、并集、补集 名称记号意义性质示意图 交集A B {|, x x A ∈且 } x B ∈ (1)A A A = (2)A?=? (3)A B A ? A B B ? B A 并集A B {|, x x A ∈或 } x B ∈ (1)A A A = (2)A A ?= (3)A B A ? A B B ? B A 补集 U A{|,} x x U x A ∈? 且 1() U A A=?2() U A A U = 【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 (1)含绝对值的不等式的解法 不等式解集 ||(0) x a a <>{|} x a x a -<< ||(0) x a a >>|x x a <-或} x a > ||,||(0) ax b c ax b c c +<+>> 把ax b+看成一个整体,化成||x a<, ||(0) x a a >>型不等式来求解 判别式 24 b ac ?=- ?>0 ?=0 ?<二次函数 2(0) y ax bx c a =++> 的图象O 一元二次方程 20(0) ax bx c a ++=> 的根 2 1,2 4 2 b b ac x a -±- = (其中 12 ) x x < 122 b x x a ==-无实根 ()()() U U U A B A B = ()()() U U U A B A B =

高中数学典型例题解析:第九章 计数原理与概率

第九章 计数原理与概率 §9.1 计数原理 一、知识导学 1.分类计数原理:完成一件事,有n类办法,在第1类办法中,有1m 种不同的方法,在第2类办法中,有2m 种不同的方法,……在第n类办法中,有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有N =1m +2m +……+n m 种不同的方法. 2. 分步计数原理:完成一件事,需要分成n个步骤,做第1步,有1m 种不同的方法,做第2步,有2m 种不同的方法,……做第n步,有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有N =1m ×2m ×…×n m 种不同的方法.注:分类计数原理又称加法原理 分步计数原理又称乘法原理二、疑难知识导析 1.分类原理中分类的理解:“完成一件事,有n类办法”这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时,首先要根据问题的特点,确定一个适合它的分类标准,然后在这个标准下进行分类,其次,分类时要注意满足两条基本原则:第一,完成这件事的任何一种方法必须属于某一类;第二,分别属于不同类的两种方法是不同的方法.前者保证完成这件事的立法不遗漏,后者保证不重复. 2.分步原理中分步的理解:“完成一件事,需要分成n个步骤”这就是说完成这件事的任何一种方法,都要完成这n个步骤.分步时,首先要根据问题的特点确定一个可行的分步标准,其次,步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤,这件事才算最终完成. 3.两个原理的区别在于一个和分类有关,一个和分步有关.如果完成一件事有n类办法, 这n类办法彼此之间是相互独立的,无论哪一类办法中的哪一个都能单独完成这件事,求完成这件事的方法种数,就用分类计数原理.如果完成一件事,需分成n个步骤,缺一不可,即需要依次完成所有的步骤,才能完成这件事,完成每一个步骤各有若干种不同的方法,求完成这件事的方法种数,就用分步计数原理. 4.在具体解题时,常常见到某个问题中,完成某件事,既有分类,又有分步,仅用一 种原理不能解决,这时需要认真分析题意,分清主次,选择其一作为主线. 5.在有些问题中,还应充分注意到在完成某件事时,具体实践的可行性.例如:从甲地 到乙地 ,要从甲地先乘火车到丙地,再从丙地乘汽车到乙地.那么从甲地到乙地共有多少种不同的走法?这个问题中,必须注意到发车时刻,所限时间,答案较多.三、经典例题导讲 [例1]体育场南侧有4个大门,北侧有3个大门,某学生到该体育场练跑步,则他进出门的方案有 ( ) A .12 种 B .7种 C .24种 D .49种

高中数学知识点总结(精华版)

高中数学知识点总结 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5.集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个;真子集有2n –1个;非空子集有2n –1 个;非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(210时,若[]q p a b x ,2∈- =,则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a =-=; []q p a b x ,2?- =,{}max max ()(),()f x f p f q =,{}min min ()(),()f x f p f q =.

高考数学压轴专题人教版备战高考《计数原理与概率统计》基础测试题含解析

数学高考《计数原理与概率统计》复习资料 一、选择题 1.某光学仪器厂生产的透镜,第一次落地打破的概率为0.3;第一次落地没有打破,第二次落地打破的概率为0.4;前两次落地均没打破,第三次落地打破的概率为0.9.则透镜落地3次以内(含3次)被打破的概率是( ). A .0.378 B .0.3 C .0.58 D .0.958 【答案】D 【解析】 分析:分别利用独立事件的概率公式求出恰在第一次、恰在第二次、恰在第三次落地打破的概率,然后由互斥事件的概率公式求解即可. 详解:透镜落地3次,恰在第一次落地打破的概率为10.3P =, 恰在第二次落地打破的概率为20.70.40.28P =?=, 恰在第三次落地打破的概率为30.70.60.90.378P =??=, ∴落地3次以内被打破的概率1230.958P P P P =++=.故选D . 点睛:本题主要考查互斥事件、独立事件的概率公式,属于中档题. 解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性结合起来,要会对一个复杂的随机事件进行分析,也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和,再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积,这种把复杂事件转化为简单事件,综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要. 2.安排5名学生去3个社区进行志愿服务,且每人只去一个社区,要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务,则同学甲单独去一个社区不同的安排方式有( ) A .100种 B .60种 C .42种 D .25种 【答案】C 【解析】 【分析】 给三个社区编号分别为1,2,3,则甲可有3种安排方法,剩下的两个再进行分步计数,从而求得所有安排方式的总数. 【详解】 甲可有3种安排方法, 若甲先安排第1社区, 则第2社区可安排1个、第3社区安排3个,共1 3 43C C ?; 第2社区2个、第3社区安排2个,共22 42C C ?; 第2社区3个,第3社区安排1个,共11 41C C ?; 故所有安排总数为132211 4342413()42C C C C C C ??+?+?=. 故选:C.

统计与概率知识点综合梳理

统计知识梳理 一.知识框架 ???????????? ????????????????????????????????????????方差极差离散程度众数中位数平均数集中趋势数据的描述直方图频数分布表与频数分布扇形统计图 折线统计图条形统计图数据的整理抽样调查普查查)形式数据的搜集(方式:调析数据的搜集、整理与分二、概念性知识解读: 1、普查、抽样调查及相关概念 普查:为一特定目的而对 考察对象作的全面调查叫普查; 抽样调查:为一特定目的而对 考察对象作的全面调查叫抽查。 总体是指_________________________,个体是指_______ ___________; 样本是指________________________,样本的容量叫做_ __________. 2.几种常见的统计图及优缺点: ⑴条形统计图: 优点: ⑵折线统计图: 优点: ⑶扇形统计图:用整个圆代表统计项目的 ,每一统计项目分别用

圆中的 表示。扇形的大小反映部分在总体中 所占 的大小,这样的统计图叫扇形统计图。 优点: (4)频数与频率 频数: 频数。 各个小组的频数之和等于数据总数 。 (3)频率:每个小组的频数与数据总数n 的比值叫做这一小组的频率, 各小组频率之和为 . (5) ?=该项目所占的百分比 ?=?=扇形圆心角的度数4.描述一组数据的集中趋势的量有 、 、 . (1)平均数的类型与计算 ①算术平均数的计算公式 =x ②加权平均数:如果n 个数据中,1x 出现1f 次,2x 出现2f 次,……,k x 出现k f 次(这里n f f f k =+++Λ21),则)(12211k k f x f x f x n x +++= Λ ③平均数的简化计算: 当一组数据n x x x x ,,,,321Λ中各数据的数值较大,并且都与常数a 接近时, 设a x a x a x a x n ----,,,,321Λ的平均数为'x 则:a x x +='。 (2)中位数的意义、计算与注意点: 确定一组数据的中位数要先将该组数据 ,再确定数据 的 ;

高中计数原理与概率计数原理

高中计数原理与概率计数原理 一、知识导学 1.分类计数原理:完成一件事,有n类办法,在第1类办法中,有1m 种不同的方法,在第2类办法中,有2m 种不同的方法,……在第n类办法中,有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有N =1m +2m +……+n m 种不同的方法. 2. 分步计数原理:完成一件事,需要分成n个步骤,做第1步,有1m 种不同的方法,做第2步,有2m 种不同的方法,……做第n步,有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有N =1m ×2m ×…×n m 种不同的方法.注:分类计数原理又称加法原理 分步计数原理又称乘法原理 二、疑难知识导析 1.分类原理中分类的理解:“完成一件事,有n类办法”这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时,首先要根据问题的特点,确定一个适合它的分类标准,然后在这个标准下进行分类,其次,分类时要注意满足两条基本原则:第一,完成这件事的任何一种方法必须属于某一类;第二,分别属于不同类的两种方法是不同的方法.前者保证完成这件事的立法不遗漏,后者保证不重复. 2.分步原理中分步的理解:“完成一件事,需要分成n个步骤”这就是说完成这件事的任何一种方法,都要完成这n个步骤.分步时,首先要根据问题的特点确定一个可行的分步标准,其次,步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤,这件事才算最终完成. 3.两个原理的区别在于一个和分类有关,一个和分步有关.如果完成一件事有n类办法,这n类办法彼此之间是相互独立的,无论哪一类办法中的哪一个都能单独完成这件事,求完成这件事的方法种数,就用分类计数原理.如果完成一件事,需分成n个步骤,缺一不可,即需要依次完成所有的步骤,才能完成这件事,完成每一个步骤各有若干种不同的方法,求完成这件事的方法种数,就用分步计数原理. 4.在具体解题时,常常见到某个问题中,完成某件事,既有分类,又有分步,仅用一种原理不能解决,这时需要认真分析题意,分清主次,选择其一作为主线. 5.在有些问题中,还应充分注意到在完成某件事时,具体实践的可行性.例如:从甲地到乙地 ,要从甲地先乘火车到丙地,再从丙地乘汽车到乙地.那么从甲地到乙地共有多少种不同的走法?这个问题中,必须注意到发车时刻,所限时间,答案较多. 三、经典例题导讲 [例1]体育场南侧有4个大门,北侧有3个大门,某学生到该体育场练跑步,则他进出门的方案有 ( ) A .12 种 B .7种 C .24种 D .49种 错解:学生进出体育场大门需分两类,一类从北边的4个门进,一类从南侧的3个门进,由分类计数原理,共有7种方案. ∴选B

统计和概率知识点总结

数据的收集、整理与描述 1、全面调查:考察全体对象的调查方式叫做全面调查。 2、抽样调查:调查部分数据,根据部分来估计总体的调查方式称为抽样调查。 3、总体:要考察的全体对象称为总体。 4、个体:组成总体的每一个考察对象称为个体。 5、样本:被抽取的所有个体组成一个样本。 6、样本容量:样本中个体的数目称为样本容量。 7、样本平均数:样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。 8、总体平均数:总体中所有个体的平均数叫做总体平均数,在统计中,通常用样本平均数估计总体平均数。 9、频数:一般地,我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数。 10、频率:频数与数据总数的比为频率。 11、组数和组距:在统计数据时,把数据按照一定的范围分成若干各组,分成组的个数称为组数,每一组两个端点的差叫做组距。 数据的分析 1、平均数:一般地,如果有n 个数,,,,21n x x x 那么,)(121n x x x n x +++= 叫 做这n 个数的平均数,x 读作“x 拔”。 2、加权平均数:如果n 个数中,1x 出现1f 次,2x 出现2f 次,…,k x 出现k f 次 (这里n f f f k =++ 21)。那么,根据平均数的定义,这n 个数的平均数可以表示为n f x f x f x x k k ++=2211,这样求得的平均数x 叫做加权平均数,其中 k f f f ,,,21 叫做权。 3、中位数:将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数(median);如果数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。 4、众数:一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数(mode )。 5、极差:组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差(range)。

统计初步与概率初步知识点总结

第五章 统计初步及概率初步 考点一、平均数 (3分) 1、平均数的概念 (1)平均数:一般地,如果有n 个数,,,,21n x x x 那么,)(121n x x x n x +++= 叫做这n 个数的平均数,x 读作“x 拔”。 (2)加权平均数:如果n 个数中,1x 出现1f 次,2x 出现2f 次,…,k x 出现k f 次(这里n f f f k =++ 21),那么,根据平均数的定义,这n 个数的平均数可以表示为 n f x f x f x x k k ++=2211,这样求得的平均数x 叫做加权平均数,其中k f f f ,,,21 叫做权。 2、平均数的计算方法 (1)定义法 当所给数据,,,,21n x x x 比较分散时,一般选用定义公式:)(121n x x x n x +++= (2)加权平均数法: 当所给数据重复出现时,一般选用加权平均数公式:n f x f x f x x k k ++=2211,其中n f f f k =++ 21。 (3)新数据法: 当所给数据都在某一常数a 的上下波动时,一般选用简化公式:a x x +='。 其中,常数a 通常取接近这组数据平均数的较“整”的数,a x x -=11',a x x -=22',…,a x x n n -='。)'''(1'21n x x x n x +++= 是新数据的平均数(通常把,,,,21n x x x 叫做原数据,,',,','21n x x x 叫做新数据)。 考点二、统计学中的几个基本概念 (4分) 1、总体 所有考察对象的全体叫做总体。 2、个体 总体中每一个考察对象叫做个体。 3、样本 从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。 4、样本容量 样本中个体的数目叫做样本容量。 5、样本平均数 样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。 6、总体平均数 总体中所有个体的平均数叫做总体平均数,在统计中,通常用样本平均数估计总体平均数。 考点三、众数、中位数 (3~5分) 1、众数 在一组数据中,出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。 2、中位数 将一组数据按大小依次排列,把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。 考点四、方差 (3分)

排列组合与计数原理

排列组合与计数原理 【复习目标】1.能熟练的判断利用加法原理和乘法原理。简单的排列组合组合数公式。 【复习重难点】加法原理和乘法原理公式的计算及应用。 1.高三(1),(2),(3)班分别有学生52,48,50人。 (1)从中选1人当学生代表的不同方法有____________种; (2)从每班选1人组成演讲队的不同方法有____________种; (3)从这150名学生中选4人参加学代会的不同方法有____________种; (4)从这150名学生中选4人参加数理化三个课外活动小组,共有不同方法有__________种。 2.假设在200件产品中有三件次品,现在从中任意抽取5件,期中至少有2件次品的抽法有__________种。 3.若,64 3n n C A 则n=___________。 例1.在1到20这20个整数中,任取两个数相加,使其和大于20,共有________种取法。 变式训练:从集合{1,2,3,…,10}中任意选出三个不同的数,使这三个数成等比数列,这样的等比数列的个数为_______。 例2.从6人中选4人分别到张家界、韶山、衡山、桃花源四个旅游景点游览,要求每个旅游景点只有一人游览,每人只游览一个旅游景点,且6个人中甲、乙两人不去张家界游览,则不同的选择方案共有______________种. 例3.如图,用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用),要求每个区域涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则不同的涂色种数有_______ . 变式训练:要安排一份5天的值班表,每天有一人值班,现有5人,每人可以值多天班或不值班,但相邻两天不准由同一人值班,问此值班表共有_______ 种不同的排法.

初中数学统计与概率知识点精炼

统计与概率 一、统计的基础知识 1、统计调查的两种基本形式: 普查:对调查对象的全体进行调查; 抽样调查:对调查对象的部分进行调查; 总体:所要考察对象的全体; 个体:总体中每一个考察的对象; 样本:从总体中所抽取的一部分个体; 样本容量:样本中个体的数目(不带单位); 平均数:对于n 个数12,,,n x x x ,我们把121()n x x x n +++ 叫做这n 个数的平均数; 中位数:几个数据按大小顺序排列时,处于最中间的一个数据(或是最中间两个数据的平均数)叫做中位数; 众数:一组数据中出现次数最多的那个数据; 方差:2222121()()()n S x x x x x x n ??=-+-++-?? ,其中n 为样本容量,x 为样本平均数; 标准差:S ,即方差的算术平方根; 极差:一组数据中最大数据与最小数据的差称为这组数据的极差; 频数:将数据分组后落在各小组内的数据个数叫做该小组的频数; 频率:每一小组的频数与样本容量的比值叫做这一小组的频率; ★ 频数和频率的基本关系式:频率 = —————— 各小组频数的总和等于样本容量,各小组频率的总和等于1; 扇形统计图:圆表示总体,扇形表示部分,统计图反映部分占总体的百分比,每个扇形的圆心角度数=360°× 该部分占总体的百分比; 会填写频数分布表,会补全频数分布直方图、频数折线图; 频数 样本容量 各 基 础 统 计 量 频 数 的 分 布 与 应 用 2、 3、

二、概率的基础知识 必然事件:一定条件下必然会发生的事件; 不可能事件:一定条件下必然不会发生的事件; 2、不确定事件(随机事件):在一定条件下可能发生,也可能不发生的事件; 3、概率:某件事情A 发生的可能性称为这件事情的概率,记为P(A); P (必然事件)=1,P(不可能事件)=0,0<P(不确定事件)<1; ★概率计算方法: P(A) = ———————————————— 例如 注:对于两种情况时,需注意第二种情况可能发生的结果总数 例:①袋子中有形状、大小相同的红球3个,白球2个,取出一个球后再取出一个球,求两个球都是白球的概率;P = 1 10 ②袋子中有形状、大小相同的红球3个,白球2个,取出一个球后放回 ..,再取出一个球,求两个球都是白球的概率;P = 4 25 1、确定事件 事件A发生的可能结果总数 所有事件可能发生的结果总数 运用列举法(常用树状图)计算简单事件发生的概率 …………

高中数学知识点总结大全

高中数学知识点总结 1. 首先对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如:集合,,,、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么? 2. 进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 要注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。 {} {}如:集合,A x x x B x ax =--===||22301 若,则实数的值构成的集合为B A a ? (答:,,)-??? ??? 1013 3. 注意下列性质: {} ()集合,,……,的所有子集的个数是;1212a a a n n ()若,;2A B A B A A B B ??== (3)德摩根定律: ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==, 4. 请问你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法) 如:已知关于的不等式 的解集为,若且,求实数x ax x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 ()(∵,∴ ·∵,∴ ·,,)335 30 555 5015392522 ∈--

若为真,当且仅当、均为真p q p q ∧ 若为真,当且仅当、至少有一个为真p q p q ∨ 若为真,当且仅当为假?p p 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么? (互为逆否关系的命题是等价命题。) 原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗?映射f :A →B ,是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性,哪几种对应能构成映射? (一对一,多对一,允许B 中有元素无原象。) 8. 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同? (定义域、对应法则、值域) 9. 求函数的定义域有哪些常见类型? ()() 例:函数的定义域是 y x x x = --432 lg ()()() (答:,,,)022334 10. 如何求复合函数的定义域? [] 如:函数的定义域是,,,则函数的定f x a b b a F(x f x f x ())()()>->=+-0 义域是_____________。 [] (答:,)a a - 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗? ( ) 如:,求f x e x f x x +=+1(). 令,则t x t = +≥10 ∴x t =-2 1 ∴f t e t t ()=+--2 1 21 ()∴f x e x x x ()=+-≥-2 1 210

高中数学知识点总结精华版

高中数学必修+选修知识点归纳 新课标人教A版

一、集合 1、 把研究的对象统称为元素,把一些元素组成的总 体叫做集合。集合三要素:确定性、互异性、无 序性。 2、 只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个 集合相等。 3、 常见集合:正整数集合:*N 或+N ,整数集合: Z ,有理数集合:Q ,实数集合:R . 4、集合的表示方法:列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、 一般地,对于两个集合A 、B ,如果集合A 中任 意一个元素都是集合B 中的元素,则称集合A 是 集合B 的子集。记作B A ?. 2、 如果集合B A ?,但存在元素B x ∈,且A x ?, 则称集合A 是集合B 的真子集.记作:A B. 3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作:?.并规定: 空集合是任何集合的子集. 4、 如果集合A 中含有n 个元素,则集合A 有n 2个子 集,21n -个真子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、 一般地,由所有属于集合A 或集合B 的元素组成 的集合,称为集合A 与B 的并集.记作:B A Y . 2、 一般地,由属于集合A 且属于集合B 的所有元素 组成的集合,称为A 与B 的交集.记作:B A I . 3、全集、补集?{|,}U C A x x U x U =∈?且 §1.2.1、函数的概念 1、 设A 、B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应 关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有惟一确定的数()x f 和它对应,那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数,记作:()A x x f y ∈=,. 2、 一个函数的构成要素为:定义域、对应关系、值 域.如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完 全一致,则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、 函数的三种表示方法:解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大(小)值 1、注意函数单调性的证明方法: (1)定义法:设2121],,[x x b a x x <∈、那么 ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数; ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数. 步骤:取值—作差—变形—定号—判断 格式:解:设[]b a x x ,,21∈且21x x <,则: ()()21x f x f -=… (2)导数法:设函数)(x f y =在某个区间内可导,若0)(>'x f ,则)(x f 为增函数; 若0)(<'x f ,则)(x f 为减函数. §1.3.2、奇偶性 1、 一般地,如果对于函数()x f 的定义域内任意一个 x ,都有()()x f x f =-,那么就称函数()x f 为 偶函数.偶函数图象关于y 轴对称. 2、 一般地,如果对于函数()x f 的定义域内任意一个 x ,都有()()x f x f -=-,那么就称函数()x f 为 奇函数.奇函数图象关于原点对称. 知识链接:函数与导数 1、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义: 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在 ))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f ',相应的切线方 程是))((000x x x f y y -'=-. 2、几种常见函数的导数 ①' C 0=;②1 ' )(-=n n nx x ;

概率论与数理统计知识点总结!

《概率论与数理统计》 第一章随机事件及其概率 §1.1 随机事件 一、给出事件描述,要求用运算关系符表示事件: 二、给出事件运算关系符,要求判断其正确性: §1.2 概率 古典概型公式:P (A )= 所含样本点数 所含样本点数 ΩA 实用中经常采用“排列组合”的方法计算 补例1:将n 个球随机地放到n 个盒中去,问每个盒子恰有1个球的概率是多少?解:设A : “每个盒子恰有1个球”。求:P(A)=?Ω所含样本点数:n n n n n =???... Α所含样本点数:!1...)2()1(n n n n =??-?-?n n n A P ! )(=∴ 补例2:将3封信随机地放入4个信箱中,问信箱中信的封数的最大数分别为1、2、3的概率各是多少? 解:设A i :“信箱中信的最大封数为i”。(i =1,2,3)求:P(A i )=? Ω所含样本点数:6444443 ==?? A 1所含样本点数:24234=?? A 2所含样本点数: 36342 3=??C A 3所含样本点数:4433=?C 注:由概率定义得出的几个性质: 1、0

推论1:设A 1、 A 2、…、 A n 互不相容,则 P(A 1+A 2+...+ A n )= P(A 1) + P(A 2) +…+ P(A n ) 推论2:设A 1、 A 2、…、 A n 构成完备事件组,则 P(A 1+A 2+...+ A n )=1 推论3: P (A )=1-P (A ) 推论4:若B ?A ,则P(B -A)= P(B)-P(A) 推论5(广义加法公式): 对任意两个事件A 与B ,有P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(A B) 补充——对偶律: §1.4 条件概率与乘法法则 条件概率公式:P(A/B)= )()(B P AB P (P(B)≠0)P(B/A)= ) () (A P AB P (P(A)≠0) ∴P (AB )=P (A /B )P (B )= P (B / A )P (A ) 有时须与P (A+B )=P (A )+P (B )-P (AB )中的P (AB )联系解题。 全概率与逆概率公式: 全概率公式: ∑==n i i i A B P A P B P 1 )/()()( 逆概率公式: ) () ()/(B P B A P B A P i i = ),...,2,1(n i = (注意全概率公式和逆概率公式的题型:将试验可看成分为两步做,如果要求第二步某事件的概率,就用全概率公式;如果求在第二步某事件发生条件下第一步某事件的概率,就用逆概率公式。) §1.5 独立试验概型 事件的独立性:贝努里公式(n 重贝努里试验概率计算公式):课本P24

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