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2021年高中数学3.简单的三角恒等变换(I)教案新人教A版必修4

2021年高中数学3.简单的三角恒等变换(I)教案新人教A版必修4
2021年高中数学3.简单的三角恒等变换(I)教案新人教A版必修4

2021年高中数学3.2简单的三角恒等变换(I)教案新人教A 版必修4

(一)导入新课

思路1.(问题导入)三角化简、求值与证明中,往往会出现较多相异的角,我们可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余等关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使问题获得解决,如:α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β)=(+α)-(-α),+α=-(-α)等,你能总结出三角变换的哪些策略?由此探讨展开.

思路2.(复习导入)前面已经学过如何把形如y=asinx+bcosx 的函数转化为形如y=Asi n(ωx+φ)的函数,本节主要研究函数y=asinx+bcosx 的周期、最值等性质.三角函数和代数、几何知识联系密切,它是研究其他各类知识的重要工具.高考题中与三角函数有关的问题,大都以恒等变形为研究手段.三角变换是运算、化简、求值、证明过程中不可缺少的解题技巧,要学会创设条件灵活运用三角公式,掌握运算,化简的方法和技能.

(二)推进新课、新知探究、提出问题

①三角函数y=sinx ,y=cosx 的周期,最大值和最小值是多少?

②函数y=asinx+bcosx 的变形与应用是怎样的?

③三角变换在几何问题中有什么应用?

活动:教师引导学生对前面已学习过的三角函数的图象与性质进行复习与回顾,我们知道正弦函数,余弦函数的图象都具有周期性、对称性、单调性等性质.而且正弦函数,余弦函数的周期都是2kπ(k∈Z 且k≠0),最小正周期都是2π.三角函数的定义与变化时,会对其周期性产生一定的影响,例如,函数y=sinx 的周期是2kπ(k∈Z 且k≠0),且最小正周期是2π,函数y=sin2x 的周期是kπ(k∈Z 且k≠0),且最小正周期是π.正弦函数,余弦函数的最大值是1,最小值是-1,所以这两个函数的值域都是[-1,1].

函数y=asinx+bcosx=(2222sin b a b x b

a a

+++cosx ), ∵(sin ,cos 1)()(2222222222=+=+=+++b a b b a a b a b b a a

?从而可令φ,

则有asinx+bcosx=(sinxcosφ+cosxsinφ)

=sin (x+φ).

因此,我们有如下结论:asinx+bcosx=sin (x+φ),其中tanφ=.在以后的学习中可以用此结论进行求几何中的最值问题或者角度问题.

我们知道角的概念起源于几何图形,从而使得三角函数与平面几何有着密切的内在联系.几何中的角

度、长度、面积等几何问题,常需借助三角函数的变换来解决,通过三角变换来解决几何中的有关问题,是一种重要的数学方法.

讨论结果:①y=sinx,y=cosx的周期是2kπ(k∈Z且k≠0),最小正周期都是2π;最大值都是1,最小值都是-1.

②—③(略)见活动.

(三)应用示例

思路1

例 1 如图1,已知OPQ是半径为1,圆心角为的扇形,C是扇形弧上的动点,ABCD是扇形的内接矩形.记∠C OP=α,求当角α取何值时,矩形ABCD的面积最大?并求出这个最大面积.

活动:要求当角α取何值时,矩形ABCD的面积S最大,先找出S与α之间的函数关系,再求函数的最值.

找S与α之间的函数关系可以让学生自己解决,得到:

S=AB·BC=(cosαsinα)sinα=sinαcosα-sin2α.

求这种y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x函数的最值,应先降幂,再利用公式化成Asin(ωx+φ)型的三角函数求最值.

教师引导学生思考:要求当角α取何值时,矩形ABCD的面积S最大,可分两步进行:

图1

(1)找出S与α之间的函数关系;

(2)由得出的函数关系,求S的最大值.

解:在Rt△OBC中,BC=cosα,BC=sinα,

在Rt△OAD中,=tan60°=,

所以OA=DA=BC=sinα.

所以AB=OB-OA=cosαsinα.

设矩形ABCD的面积为S,则

S=AB·BC=(cosαsinα)sinα=sinαcosαsin2α

=sin2α+cos2α-=(sin2α+cos2α)-

=sin(2α+)-.

由于0<α<,所以当2α+=,即α=时,S最大=-=.

因此,当α=时,矩形ABCD的面积最大,最大面积为.

点评:可以看到,通过三角变换,我们把形如y=asinx+bcosx的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数,从而使问题得到简化.这个过程中蕴涵了化归思想.此题可引申即可以去掉“记∠C OP=α”,结论改成“求矩形ABCD的最大面积”,这时,对自变量可多一种选择,如设AD=x,S=x(),尽管对所得函数还暂时无法求其最大值,但能促进学生对函数模型多样性的理解,并能使学生感受到以角为自变量的优点.

变式训练

(xx年高考辽宁卷,19) 已知函数f(x)=sin(ωx+)+sin(ωx-)-2cos2,x∈R(其中ω>0).

(1)求函数f(x)的值域;

(2)若函数y=f(x)的图象与直线y=-1的两个相邻交点间的距离为,求函数y=f(x)的单调增区间. 解:(1)f(x)=sinωx+cosωx+sinωx-cosωx-(cosωx+1)

=2(sinωx-cosωx)-1=2sin(ωx-)-1.

由-1≤sin(ωx-)≤1,得-3≤2sin(ωx-)-1≤1,

可知函数f(x)的值域为[-3,1].

(2)由题设条件及三角函数图象和性质,可知y=f(x)的周期为π,又由ω>0,得=π,即得ω=2.

于是有f(x)=2sin(2x-)-1,再由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),解得

kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).

所以y=f(x)的单调增区间为[kπ-,kπ+](k∈Z).

点评:本题主要考查三角函数公式,三角函数图象和性质等基础知识,考查综合运用三角函数有关知识的能力.

例 1 求函数y=sin4x+23sinxcosx-cos4x的最小正周期和最小值;并写出该函数在[0,π]上的单调递增区间.

活动:教师引导学生利用公式解题,本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识.先用二倍角公式把函数化成最简形式,然后再解决与此相关的问题.

解:y=sin4x+2sinxcosx-cos4x=(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x)+sin2x

=sin2x-cos2x=2sin(2x-).

故该函数的最小正周期是π;最小值是-2;在[0,π]上单调增区间是[0, ],[,π].

点评:本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识.

变式训练

已知函数f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x,

(1)求f(x)的最小正周期;

(2)若x∈[0,],求f(x)的最大、最小值.

解:f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x=cos(2x+), 所以,f(x)的最小正周期T==π.

(2)因为x∈[0,],所以2x+∈[,].

当2x+=时,cos(2x+)取得最大值,

当2x+=π时,cos(2x+)取得最小值-1.

所以,在[0,]上的最大值为1,最小值为-.

思路2

例1 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数,其图象关于点M(,0)对称,且在区间[0,]上是单调函数,求φ和ω的值.

活动:提醒学生在解此题时,对f(x)是偶函数这一条件的运用不在问题上,而在对“f(x)的图象关于M(,0)对称”这一条件的使用上,多数考生都存在一定问题.一般地:定义在R上的函数y=f(x)对定义域内任意x满足条件:f(x+a)=2b-f(a-x),则y=f(x)的图象关于点(a,b)对称,反之亦然.教师在这类问题的教学时要给予充分的提示与总结,多做些这种类型的变式训练.

解:由f(x)是偶函数,得f(-x)=f(x),

即sin(-ωx+φ)=sin(ωx+φ),所以-cosφsinωx=cosφsinωx对任意x都成立.

又ω>0,所以,得cosφ=0.

依题设0≤φ≤π,所以,解得φ=.

由f(x)的图象关于点M对称,得f(-x)=-f(+x).

取x=0,得f()=-f(),所以f()=0.

∵f()=sin(+)=cos,∴cos=0.

又ω>0,得=+kπ,k=0,1,2,….

∴ω=(2k+1),k=0,1,2,….

当k=0时,ω=,f(x)=sin(x+)在[0,]上是减函数;

当k=1时,ω=2,f(x)=sin(2x+)在[0,]上是减函数;

当k≥2时,ω≥,f(x)=sin(ωx+)在[0,]上不是单调函数.

所以,综合得ω=或ω=2.

点评:本题是利用函数思想进行解题,结合三角函数的图象与性质,对函数进行变换然后进而解决此题.

变式训练

已知如图2的Rt△ABC 中,∠A=90°,a 为斜边,∠B、∠C 的内角平分线BD 、CE 的长分别为m 、n,且a 2=2mn.

问:是否能在区间(π,2π]中找到角θ,恰使等式cosθ-sinθ=4(cos -cos)成立?若能,找出这样的角θ;若不能,请说明理由.

解:在Rt△BAD 中,=cos,在Rt△B AC 中,=sinC,

∴mcos=asinC.

图2

同理,ncos=asinB.

∴mncoscos=a 2sinBsinC.

而a 2=2mn,

∴coscos=2sinBsinC=8sin·coscossin.∴sinsin=.

积化和差,得4(cos-cos)=-1,

若存在θ使等式cosθ-sinθ=4(cos -cos)成立,则cos(θ+)=-1,

∴cos(θ+)=.而π<θ≤2π,

∴<θ+≤.∴这样的θ不存在.

点评:对于不确定的开放式问题,通常称之为存在性问题.处理这类问题的一般思路是先假设结论是肯定的,再进行演绎推理,若推证出现矛盾,即可否定假设;若推出合理结果,即假设成立.这个探索结论的过程可概括为假设——推证——定论.

例2 已知tan(α-β)=,tanβ=,且α,β∈(0,π),求2α-β的值.

解:∵2α-β=2(α-β)+β,tan(α-β)=,

∴tan2(α-β)==.

从而tan(2α-β)=tan[2(α-β)+β]=713417134tan )(2tan 1tan )(2tan ?+-=--+-ββαββα=121

252125=. 又∵tanα=tan[(α-β)+β]==<1.

且0<α<π,∴0<α<.∴0<2α<.

又tanβ=<0,且β∈(0,π),

∴<β<π,-π<-β<.

∴-π<2α-β<0.∴2α-β=.

点评:本题通过变形转化为已知三角函数值求角的问题,关键在于对角的范围的讨论,注意合理利用不等式的性质,必要时,根据三角函数值,缩小角的范围,从而求出准确角.另外,求角一般都通过三角函数值来实现,但求该角的哪一种函数值,往往有一定的规律,若α∈(0,π),则求cosα;若α∈(,),则求sinα等.

变式训练

若α,β为锐角,且3sin 2α+2sin 2β=1,3sin2α-2sin2β=0,求证:α+2β=.

证明:已知两个等式可化为3sin 2α=cos2β, ①

3sinαcosα=sin2β, ②

①÷②,得=,即cosαcos2β-sinαsin2β=0,

∴cos(α+2β)=0.

∵0<α<,0<β<,∴0<α+2β<.

∴α+2β=.

(四)课堂小结

本节课主要研究了通过三角恒等变形,把形如y=asinx+bcosx的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数,从而能顺利考查函数的若干性质,达到解决问题的目的,充分体现出生活的数学和“活”的数学.

(五)作业

高中数学必修五全套教案(非常好的)

(第1课时) 课题 §2.1数列的概念与简单表示法 ●教学目标 知识与技能:理解数列及其有关概念,了解数列和函数之间的关系;了解数列的通项公式,并会用通项公式写出数列的任意一项;对于比较简单的数列,会根据其前几项写出它的个通项公式。 过程与方法:通过对一列数的观察、归纳,写出符合条件的一个通项公式,培养学生的观察能力和抽象概括能力. 情感态度与价值观:通过本节课的学习,体会数学来源于生活,提高数学学习的兴趣。 ●教学重点 数列及其有关概念,通项公式及其应用 ●教学难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 三角形数:1,3,6,10,… 正方形数:1,4,9,16,25,… Ⅱ.讲授新课 ⒈ 数列的定义:按一定次序排列的一列数叫做数列. 注意:⑴数列的数是按一定次序排列的,因此,如果组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的数列; ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项(或首项),第2项,…,第n 项,…. 例如,上述例子均是数列,其中①中,“4”是这个数列的第1项(或首项),“9”是这个数列中的第6项. ⒊数列的一般形式: ,,,,,321n a a a a ,或简记为{}n a ,其中n a 是数列的第n 项 结合上述例子,帮助学生理解数列及项的定义. ②中,这是一个数列,它的首项是“1”,“ 3 1 ”是这个数列的第“3”项,等等 下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系?这一关系可否用一个公式表示?(引导学生进一步理解数列与项的定义,从而发现数列的通项公式)对于上面的数列②,第一项与这一项的序号有这样的对应关系: 项 1 51 413121 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 序号 1 2 3 4 5 这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式:n a n 1 = 来表示其对应关系 即:只要依次用1,2,3…代替公式中的n ,就可以求出该数列相应的各项 结合上述其他例子,练习找其对应关系

人教A版高中数学必修四教案全

高 中 数 学 必 修 4 教 案 1.1.1 任意角 教学目标 (一)知识与技能目标 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. (二)过程与能力目标 会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合;掌握区间角的集合的书写. (三)情感与态度目标

1. 提高学生的推理能力; 2.培养学生应用意识. 教学重点 任意角概念的理解;区间角的集合的书写. 教学难点 终边相同角的集合的表示;区间角的集合的书写. 教学过程 一、引入: 1.回顾角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. 二、新课: 1.角的有关概念: ①角的定义: 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. ②角的名称: ③角的分类: ④注意: ⑴在不引起混淆的情况下,“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”; ⑵零角的终边与始边重合,如果α是零角α =0°; ⑶角的概念经过推广后,已包括正角、负角和零角. ⑤练习:请说出角α、β、γ各是多少度? 2.象限角的概念: ①定义:若将角顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,那么角的终边(端点除外)在第几象限,我们就说这个角是第几象限角. 例1.如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角? 例2.在直角坐标系中,作出下列各角,并指出它们是第几象限的角. ⑴ 60°; ⑵ 120°; ⑶ 240°; ⑷ 300°; ⑸ 420°; ⑹ 480°; 答:分别为1、2、3、4、1、2象限角. 3.探究:教材P3面 终边相同的角的表示: 所有与角α终边相同的角,连同α在内,可构成一个集合S ={ β | β = α + k ·360 ° , k ∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整个周角的和. 注意: ⑴ k ∈Z ⑵ α是任一角; ⑶ 终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同.终边相同的角有无限个,它们相差 ⑵ B 1 y ⑴ O x 45° B 2 O x B 3 y 30° 60o 正角:按逆时针方向旋转形成的角 零角:射线没有任何旋转形成的角 负角:按顺时针方向旋转形成的角 始边 终边 顶点 A O B

人教版新课标高中数学必修四 全册教案

按住Ctrl 键单击鼠标打开教学视频动画全册播放 1.1.1 任意角 教学目标 (一) 知识与技能目标 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. (二) 过程与能力目标 会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合;掌握区间角的集合的书写. (三) 情感与态度目标 1. 提高学生的推理能力; 2.培养学生应用意识. 教学重点 任意角概念的理解;区间角的集合的书写. 教学难点 终边相同角的集合的表示;区间角的集合的书写. 教学过程 一、引入: 1.回顾角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. 二、新课: 1.角的有关概念: ①角的定义: 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. ②角的名称: ③角的分类: ④注意: ⑴在不引起混淆的情况下,“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”; ⑵零角的终边与始边重合,如果α是零角α =0°; ⑶角的概念经过推广后,已包括正角、负角和零角. ⑤练习:请说出角α、β、γ各是多少度? 2.象限角的概念: ①定义:若将角顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,那么角的终边(端点除外)在第几象限,我们就说这个角是第几象限角. 例1.如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角? 正角:按逆时针方向旋转形成的角 零角:射线没有任何旋转形成的角 负角:按顺时针方向旋转形成的角 始边 终边 顶点 A O B

例2.在直角坐标系中,作出下列各角,并指出它们是第几象限的角. ⑴ 60°; ⑵ 120°; ⑶ 240°; ⑷ 300°; ⑸ 420°; ⑹ 480°; 答:分别为1、2、3、4、1、2象限角. 3.探究:教材P3面 终边相同的角的表示: 所有与角α终边相同的角,连同α在内,可构成一个集合S ={ β | β = α + k ·360 ° , k ∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整个周角的和. 注意: ⑴ k ∈Z ⑵ α是任一角; ⑶ 终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同.终边相同的角有无限个,它们相差 360°的整数倍; ⑷ 角α + k ·720 °与角α终边相同,但不能表示与角α终边相同的所有角. 例3.在0°到360°范围内,找出与下列各角终边相等的角,并判断它们是第几象限角. ⑴-120°;⑵640 °;⑶-950°12'. 答:⑴240°,第三象限角;⑵280°,第四象限角;⑶129°48',第二象限角; 例4.写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) . 解:{α | α = 90°+ n ·180°,n ∈Z}. 例5.写出终边在x y =上的角的集合S,并把S 中适合不等式-360°≤β<720°的元素β写出来. 4.课堂小结 ①角的定义; ②角的分类: ③象限角; ④终边相同的角的表示法. 5.课后作业: ①阅读教材P 2-P 5; ②教材P 5练习第1-5题; ③教材P .9习题1.1第1、2、3题 思考题:已知α角是第三象限角,则2α,2 α 各是第几象限角? 解:α 角属于第三象限, 正角:按逆时针方向旋转形成的角 零角:射线没有任何旋转形成的角 负角:按顺时针方向旋转形成的角

高中数学人教版必修4全套教案

第1,2课时1.1.1 任意角 教学目标 (一) 知识与技能目标 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. (二) 过程与能力目标 会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合;掌握区间角的集合的书写. (三) 情感与态度目标 1. 提高学生的推理能力; 2.培养学生应用意识. 教学重点:任意角概念的理解;区间角的集合的书写. 教学难点:终边相同角的集合的表示;区间角的集合的书写. 教学过程 一、引入: 1.回顾角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. 二、新课: 1.角的有关概念: ①角的定义: 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. ②角的名称: ③角的分类: ④注意: ⑴在不引起混淆的情况下,“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”; ⑵零角的终边与始边重合,如果α是零角α =0°; ⑶角的概念经过推广后,已包括正角、负角和零角. ⑤练习:请说出角α、β、γ各是多少度? 2.象限角的概念: ①定义:若将角顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,那么 正角:按逆时针方向旋转形成的角 零角:射线没有任何旋转形成的角 始 边 终 边 顶 点 A O B 负角:按顺时针方向旋转形成的角

角的终边(端点除外)在第几象限,我们就说这个角是第几象限角. 例1.如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角? 例2.在直角坐标系中,作出下列各角,并指出它们是第几象限的角. ⑴ 60°; ⑵ 120°; ⑶ 240°; ⑷ 300°; ⑸ 420°; ⑹ 480°; 答:分别为1、2、3、4、1、2象限角. 3.探究: 终边相同的角的表示: 所有与角α终边相同的角,连同α在内,可构成一个集合S ={β|β=α+k ·360°,k ∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整个周角的和. 注意: ⑴ k ∈Z ⑵ α是任一角; ⑶ 终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同.终边相同的角有无限个,它们相差 360°的整数倍; ⑷ 角α + k ·720 °与角α终边相同,但不能表示与角α终边相同的所有角. 例3.在0°到360°范围内,找出与下列各角终边相等的角,并判断它们是第几象限角. ⑴-120°;⑵640 °;⑶-950°12'. 答:⑴240°,第三象限角;⑵280°,第四象限角;⑶129°48',第二象限角; 例4.写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) . 解:{α | α = 90°+ n ·180°,n ∈Z}. 例5.写出终边在x y 上的角的集合S,并把S 中适合不等式-360°≤β<720°的元素β写出来. 4.课堂小结 ①角的定义; ②角的分类: ⑵ B 1 y ⑴ O x 45° B 2 O x B 3 y 30° 60o

高中数学选修4-4全套教案

高中数学选修4-4全套教案 第一讲坐标系 一平面直角坐标系 课题:1、平面直角坐标系 教学目的: 知识与技能:回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法:体会坐标系的作用 情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 教学重点:体会直角坐标系的作用 教学难点:能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型:新授课 教学模式:启发、诱导发现教学. 教具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 情境1:为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行,并在按计划完成科学考察任务后,安全、准确的返回地球,从火箭升空的时刻开始,需要随时测定飞船在空中的位 置机器运动的轨迹。 情境2:运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演,其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景 图案,需要缺点不同的画布所在的位置。 问题1:如何刻画一个几何图形的位置? 问题2:如何创建坐标系? 二、学生活动 学生回顾 刻画一个几何图形的位置,需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系 在平面上,当取定两条互相垂直的直线的交点为原点,并确定了度量单位和这两条直线的方向,就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对(x,y)确定 3、空间直角坐标系 在空间中,选择两两垂直且交于一点的三条直线,当取定这三条直线的交点为原点,并确定了度量单位和这三条直线方向,就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对(x,y,z)确定 三、讲解新课: 1、建立坐标系是为了确定点的位置,因此,在所建的坐标系中应满足: 任意一点都有确定的坐标与其对应;反之,依据一个点的坐标就能确定这个点的位置

新课标高中数学人教A版必修四教材解读

新课标高中数学人教A版必修四教材解读4 尤溪第一中学罗世卿 四、教学内容分析 第三章三角恒等变换 课程标准内容: 1.经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程,进一步体会向量方法的作用。 2.能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系。 3.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式,但不要求记忆) 知识结构: 3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 课时安排: 建议本节4课时 第1课时:两角差的余弦公式; 第2课时:两角和与差的正弦、余弦和正切公式; 第3课时:二倍角的正弦、余弦和正切公式; 第4课时:公式的综合运用. 教学要求: 基本要求。①了解学习两角和与差三角函数公式的必要性;②理解用三角函数线、向量推导两角差的余弦公式的思路;③能利用两角差的余弦公式推出两角和与倍角的其它三角函数公式;④能利用这些公式进行和、差、倍角的求值和简单的化简。 发展要求。①理解在两角差的余弦公式的推导过程中所体现的向量方法。②理解和、差、倍角的相对性,能对角进行合理正确的拆分。③能对公式进行简单的逆用。 说明。①控制好拆分角度的难度。②题型的变化不宜过多。 重点难点: 重点:通过探索和讨论交流,导出两角差与和的三角函数的十一个公式,并了解它们的内在联系。 难点:两角差的余弦公式的探索和证明。 教学建议:

教学中力求从学生的已有经验和知识储备入手,采用实验探究、交流讨论等方式进行教学,可以设计一定的教学情景,引导学生从数形结合的角度出发,利用单位圆中的三角函数线、三角形中的边角关系等建立包含,,的正弦、余弦值的等量关系。教学时应当注意下面四个要点:①在需要学生联系已学过的其它知识时,有意识的引导学生联想向量知识;②充分利用单位圆,分析其中有关几何元素(角的终边及其夹角)的关系,为向量方法的运用做好准备;③探索过程的安排,应当先把握整体,然后逐步追求细节,在补充完善细节的过程中,需要运用分类讨论思想,突破两角差的余弦公式的推导这一难点后,其他所有公式都可以通过学生自己的独立探索而得出。④本章不仅关注使学生得到差(和)角公式,而且还特别关注公式推导过程中体现的数学思想方法。 在两角差的余弦公式的推导中体现了数形结合思想以及向量方法的应用;从两角差的余弦公式推出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦和正切公式的过程中,始终引导学生体会化归思想;在应用公式进行恒等变换的过程中,渗透了观察、类比、特殊化、化归等思想方法。特别是充分发挥了“观察”“思考”“探究”等栏目的作用,对学生解决问题的一般思路进行引导。教材还对三角变换中的数学思想方法作了明确的总结。例如,在旁白中有“倍”是描述两个数量之间关系的,是的二倍……是的二倍,这里蕴含着换元的思想。 这两个式子的左右两边在结构上有什么不同”等,这些都可以成为我们加强对思想方法渗透的一个重要的内容,也是我们开展研究性学习的好素材。 本章强调了用向量方法推导差角的余弦公式,并用三角函数之间的关系推导和(差)角公式、二倍角公式。要把重点放在培养学生的推理能力和运算能力上,降低变换的技巧性要求。教学时应当把握好这种“度”,遵循“标准”所规定的内容和要求,不要随意补充知识点(如半角公式、积化和差与和差化积公式,这些公式只是作为基本训练的素材,结果不要求记忆,更不要求运用)。 3.2简单的三角恒等变换(3课时) 教学要求: 基本要求。①能利用和、差、倍角的公式进行基本的变形,并证明三角恒等式。②能利用三角恒等变换研究三角函数的性质。③能把一些实际问题化为三角问题,通过三角变换解决。 发展要求。①了解和、差、倍角公式的特点,并进行变形应用。②理解三角变换的基本特点和基本功能。③了解三角变换中蕴藏的数学思想和方法。 说明。积化和差、和差化积、半角公式只作为练习,不要求记忆。 重点难点: 重点:掌握三角变换的内容、思路和方法,体会三角变换的特点. 难点:公式的灵活应用. 教学建议: 三角恒等变换与代数恒等变换、圆的几何性质等都有紧密联系,推导两角差的余弦公式的过程比较集中地反映了这种联系,从中体现了丰富的数学思想。从数学变换的角度看,三角恒等变换与代数恒等变换既有相同之处又有各自特点。相同之处在于它们都是运用一定的数学工具对相应的数学式子作“只变其形不变其质”的数学运算,对其结构形式进行变换。由于三角函数式的差异不仅表现在其结构形式

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课题:§1.1 集合 1 2 教材分析:集合概念及其基本理论,称为集合论,是近、现代数学3 的一个重要的基础。许多重要的数学分支,都是建立在集合理论的基4 础上。此外,集合理论的应用也变得更加广泛。 5 课型:新授课 6 课时:1课时 7 教学目标:1.知识与技能 8 (1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的理解集合“属9 于”关系; 10 (2)牢记常用的数集及其专用的记号。 11 (3)理解集合中的元素具有确定性、互异性、无序性。 12 (4)能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述13 法)描述不同的问题。 14 2.过程与方法 15 (1)学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过16 程,深入理解集合的含义。 17 (2)学生自己归纳本节所学的知识点。 18 3.情感态度价值观 19 使学生感受学习集合的必要性和重要性,增加学生对数20 学学习的兴趣。

教学重点:集合的概念与表示方法。 教学难点:对待不同问题,表示法的恰当选择。 21 教学过程: 22 一、引入课题 23 军训前学校通知:8月15日8点,高一年段在体育馆集合进行军训动员;试24 问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生? 25 在这里,集合是我们常用的一个词语,我们感兴趣的是问题中某些特定(是26 高一而不是高二、高三)对象的总体,而不是个别的对象,为此,我们将学习27 一个新的概念——集合(宣布课题),即是一些研究对象的总体。 28 阅读课本P 2-P 3 内容 29 二、新课教学 30 (一)集合的有关概念 31 1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全32 体,人们能意识到这些东西,并且能判断一个给定的东西是否属于这个33 总体。 34 2.一般地,我们把研究对象统称为元素(element),把一些元素35 组成的总体叫做集合(set)(简称为集)。 36 3.关于集合的元素的特征 37

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第一章三角函数 1.1任意角和弧度制 1.1.1任意角 一、教学目标: 1、知识与技能 (1)推广角的概念、引入大于360?角和负角;(2)理解并掌握正角、负角、零角的定义;(3)理解任意角以及象限角的概念;(4)掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法;(. 二、教学重、难点 重点: 理解正角、负角和零角的定义,掌握终边相同角的表示法. 难点: 终边相同的角的表示. 三、学法 回忆-观察-讲解-归纳-推广. 四、教学设想 【创设情境】 思考:你的手表慢了5分钟,你是怎样将它校准的?假如你的手表快了1.25 小时,你应当如何将它校准?当时间校准以后,分针转了多少度? [取出一个钟表,实际操作]我们发现,校正过程中分针需要正向或反向旋转,有时转不到一周,有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0360 ?? ~之间,这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角. 【探究新知】 1.初中时,我们已学习了0360 ?? ~角的概念,它是如何定义的呢? 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1.1-1,一条射线由原来的位置OA,绕着它的

端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ,就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的始边,OB 叫终边,射线的端点O 叫做叫α的顶点. 2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语:“转体720?” (即转体2周),“转体1080?”(即转体3周)等,都是遇到大于360?的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于360?的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢? 如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性. 为了区别起见,我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角. 如教材图1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于750?;图1.1.3(2)中,正角210α?=,负角150,660βγ??=-=-;这样,我们就把角的概念推广到了任意角,包括正角、负角和零角. 为了简单起见,在不引起混淆的前提下,“角α”或“α∠”可简记为α. 3.在今后的学习中,我们常在直角坐标系内讨论角,为此我们必须了解象限角这个概念. 角的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合。那么,角的终边(除端点外)在第几象限,我们就说这个角是第几象限角. 如教材图1.1-4中的30?角、 210?-角分别是第一象限角和第三象限角.要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一

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高中数学必修4教案按住Ctrl键单击鼠标打开教学视频动画全册播放 1.1.1 任意角教学目标(一)知识与技能目标理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. (二)过程与能力目标会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合;掌握区间角的集合的书写.(三)情感与态度目标 1.提高学生的推理能力; 2.培养学生 应用意识.教学重点任意角概念的理解;区间角的集合的书写.教学难点终边相同角的集合 的表示;区间角的集合的书写.教学过程一、引入:1.回顾角的定义①角的第一种定义是 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕 着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.二、新课: 1.角的有关概念:①角的定义:角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.②角 的名称:始边 B 终边③角的分类: O A 顶点正角:按逆时针方向旋转形成的角 零角:射线没有任何旋转形成的角负角:按顺时针方向旋转形成的角④注意:⑴在不引 起混淆的情况下,“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”;⑵零角的终边与始边重合,如果α是零角α =0°;⑶角的概念经过推广后,已包括正角、负角和零角.⑤练习:请说出角α、β、γ各是多 少度? 2.象限角的概念:①定义:若将角顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么角的终边(端点除外)在第几象限,我们就说这个角是第几象限角.例1.如图⑴⑵中的角 分别属于第几象限角? y y B 145° 30° x x o60 O O B 2B 3⑵ ⑴ 例2.在直 角坐标系中,作出下列各角,并指出它们是第几象限的角. 1 高中数学必修4教案⑴ 60°;⑵ 120°;⑶ 240°; ⑷ 300°;⑸ 420°;⑹ 480°;答:分别为1、2、3、

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第一章集合与函数概念 §1.1集合 1.1.1集合的含义与表示(第一课时) 教学目标:1.理解集合的含义。 2.了解元素与集合的表示方法及相互关系。 3.熟记有关数集的专用符号。 4.培养学生认识事物的能力。 教学重点:集合含义 教学难点:集合含义的理解 教学方法:尝试指导法 教学过程: 引入问题 (I)提出问题 问题1:班级有20名男生,16名女生,问班级一共多少人? 问题2:某次运动会上,班级有20人参加田赛,16人参加径赛,问一共多少人参加比赛? 讨论问题:按小组讨论。 归纳总结:问题2已无法用学过的知识加以解释,这是与集合有关的问题,因此需用集合的语言加以描述(板书标题)。 复习问题 x-< 问题3:在小学和初中我们学过哪些集合?(数集,点集)(如自然数的集合,有理数的集合,不等式73的解的集合,到一个定点的距离等于定长的点的集合,到一条线段的两个端点距离相等的点的集合等等)。(II)讲授新课 1.集合含义 通过以上实例,指出: (1)含义:一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)。 说明:在初中几何中,点,线,面都是原始的,不定义的概念,同样集合也是原始的,不定义的概念,只可描述,不可定义。 (2)表示方法:集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示,而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。 问题4:由此上述例中集合的元素分别是什么? 2. 集合元素的三个特征

由以上四个问题可知,集合元素具有三个特征: (1) 确定性: 设A 是一个给定的集合,a 是某一具体的对象,则a 或者是A 的元素,或者不是A 的元素,两种情况必有一种而且只有一种成立。 如:“地球上的四大洋”(太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋) “中国古代四大发明”(造纸,印刷,火药,指南针)可以构成集合,其元素具有确定性;而“比较大的数”,“平面点P 周围的点”一般不构成集合 元素与集合的关系:(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?两种) 若a 是集合A 中的元素,则称a 属于集合A ,记作a ∈A ; 若a 不是集合A 的元素,则称a 不属于集合A ,记作a ?A 。 如A={2,4,8,16},则4∈A ,8∈A ,32?A.(请学生填充)。 (2) 互异性:即同一集合中不应重复出现同一元素。 说明:一个给定集合中的元素是指属于这个集合的互不相同的对象.因此,以后提到集合中的两个元素时,一定是指两个不同的元素. 如:方程(x-2)(x-1)2 =0的解集表示为{1,-2 },而不是{ 1,1,-2 } (3)无序性: 即集合中的元素无顺序,可以任意排列,调换. 。 3.常见数集的专用符号 (III )课堂练习 (IV )课时小结 1.集合的含义; 2.集合元素的三个特征中,确定性可用于判定某些对象是否是给定集合的元素,互异性可用于简化集合的表示,无序性可用于判定集合的关系。

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第一章算法初步 1.1.1算法的概念 一、教学目标: 1、知识与技能:(1)了解算法的含义,体会算法的思想。(2)能够用自然语言叙述算法。(3)掌握正确的算法应满足的要求。(4)会写出解线性方程(组)的算法。(5)会写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。(6)会应用Scilab求解方程组。 2、过程与方法:通过求解二元一次方程组,体会解方程的一般性步骤,从而得到一个解二元一次方程组的步骤,这些步骤就是算法,不同的问题有不同的算法。由于思考问题的角度不同,同一个问题也可能有多个算法,能模仿求解二元一次方程组的步骤,写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。 3、情感态度与价值观:通过本节的学习,使我们对计算机的算法语言有一个基本的了解,明确算法的要求,认识到计算机是人类征服自然的一各有力工具,进一步提高探索、认识世界的能力。 二、重点与难点: 重点:算法的含义、解二元一次方程组和判断一个数为质数的算法设计。 难点:把自然语言转化为算法语言。 三、学法与教学用具: 学法:1、写出的算法,必须能解决一类问题(如:判断一个整数n(n>1)是否为质数;求任意一个方程的近似解;……),并且能够重复使用。 2、要使算法尽量简单、步骤尽量少。 3、要保证算法正确,且计算机能够执行,如:让计算机计算1×2×3×4×5是可以做到的,但让计算机去执行“倒一杯水”“替我理发”等则是做不到的。 教学用具:电脑,计算器,图形计算器 四、教学设想: 1、创设情境: 算法作为一个名词,在中学教科书中并没有出现过,我们在基础教育阶段还没有接触算法概念。但是我们却从小学就开始接触算法,熟悉许多问题的算法。如,做四则运算要先乘除后加减,从里往外脱括弧,竖式笔算等都是算法,至于乘法口诀、珠算口诀更是算法的具体体现。我们知道解一元二次方程的算法,求解一元一次不等式、一元二次不等式的算法,解线性方程组的算法,求两个数的最大公因数的算法等。因此,算法其实是重要的数学对象。 2、探索研究 算法(algorithm)一词源于算术(algorism),即算术方法,是指一个由已知推求未知的运算过程。后来,人们把它推广到一般,把进行某一工作的方法和步骤称为算法。 广义地说,算法就是做某一件事的步骤或程序。菜谱是做菜肴的算法,洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法,歌谱是一首歌曲的算法。在数学中,主要研究计算机能实现的算法,即按照某种机械程序步骤一定可以得到结果的解决问题的程序。比如解方程的算法、函数求值的算法、作图的算法,等等。

高中数学必修一教案全套

高中数学必修一教案全套 Last revision date: 13 December 2020.

『高中数学·必修1』第一章集合与函数概念 课题:§1.1 集合 教材分析:集合概念及其基本理论,称为集合论,是近、现代数学的一个重要的基础,一方面,许多重要的数学分支,都建立在集合理论的基础上。另一方 面,集合论及其所反映的数学思想,在越来越广泛的领域种得到应用。 课型:新授课 教学目标:(1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的理解集合“属于” 关系; (2)能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不 同的具体问题,感受集合语言的意义和作用; 教学重点:集合的基本概念与表示方法; 教学难点:运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法,正确表示一些简单的集合; 教学过程: 一、引入课题 军训前学校通知:8 月15日8点,高一年段在体育馆集合进行军训动员;试问 这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生? 在这里,集合是我们常用的一个词语,我们感兴趣的是问题中某些特定(是高 一而不是高二、高三)对象的总体,而不是个别的对象,为此,我们将学习一个新 的概念——集合(宣布课题),即是一些研究对象的总体。 阅读课本 P-P内容 二、新课教学 (一)集合的有关概念 1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体,人们能 意识到这些东西,并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。 2. 一般地,研究对象统称为元素(element),一些元素组成的总体叫集合(set), 也简称集。 ——————————————第 1 页(共 70页)——————————————

2017-2018学年人教版高中数学必修四教材用书word文件

1.1任意角和弧度制 1.1.1任意角 [提出问题] 问题1:当钟表慢了(或快了),我们会将分针按某个方向转动,把时间调整准确.在调整的过程中,分针转动的角度有什么不同? 提示:旋转方向不同. 问题2:在体操或跳水比赛中,运动员会做出“转体两周”“向前翻腾两周半”等动作,做上述动作时,运动员分别转体多少度? 提示:顺时针方向旋转了720°或逆时针方向旋转了720°,顺时针方向旋转了900°. [导入新知] 角的分类 1.按旋转方向 2. (1)角的终边在第几象限,则称此角为第几象限角; (2)角的终边在坐标轴上,则此角不属于任何一个象限. [化解疑难] 1.任意角的概念 认识任意角的概念应注意三个要素:顶点、始边、终边. (1)用旋转的观点来定义角,就可以把角的概念推广到任意角,包括任意大小的正角、负角和零角.

(2)对角的概念的认识关键是抓住“旋转”二字. ①要明确旋转方向; ②要明确旋转角度的大小; ③要明确射线未作任何旋转时的位置. 2.象限角的前提条件 角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合. [提出问题] 在条件“角的顶点与坐标原点重合,始边与x轴非负半轴重合”下,研究下列角:30°,390°,-330°. 问题1:这三个角的终边位置相同吗? 提示:相同. 问题2:如何用含30°的式子表示390°和-330°? 提示:390°=1×360°+30°,-330°=-1×360°+30°. 问题3:确定一条射线OB,以它为终边的角是否唯一? 提示:不唯一. [导入新知] 终边相同的角 β|β=α+k·360°,k∈Z,所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={}即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和. [化解疑难] 所有与角α终边相同的角,连同角α在内可以用式子k·360°+α,k∈Z表示,在运用时需注意以下几点. (1)k是整数,这个条件不能漏掉. (2)α是任意角. (3)k·360°,k∈Z与α之间用“+”连接,如k·360°-30°,k∈Z应看成k·360°+(-30°),k∈Z. (4)终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无数个,它们相差周角的整数倍;相等的角终边一定相同.

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(北师大版)数学必修4全套教案 §1 周期现象与周期函数(1课时) 教学目标: 知识与技能 (1)了解周期现象在现实中广泛存在;(2)感受周期现象对实际工作的意义;(3)理解周期函数的概念;(4)能熟练地判断简单的实际问题的周期;(5)能利用周期函数定义进行简单运用。过程与方法 通过创设情境:单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季变化等,让学生感知周期现象;从数学的角度分析这种现象,就可以得到周期函数的定义;根据周期性的定义,再在实践中加以应用。 情感态度与价值观 通过本节的学习,使同学们对周期现象有一个初步的认识,感受生活中处处有数学,从而激发学生的学习积极性,培养学生学好数学的信心,学会运用联系的观点认识事物。 二、教学重、难点 重点: 感受周期现象的存在,会判断是否为周期现象。 难点: 周期函数概念的理解,以及简单的应用。 三、学法与教学用具 学法:数学来源于生活,又指导于生活。在大千世界有很多的现象,通过具体现象让学生通过观察、类比、思考、交流、讨论,

感知周期现象的存在。并在此基础上学习周期性的定义,再应用于实践。 教学用具:实物、图片、投影仪 四、教学思路 【创设情境,揭示课题】 同学们:我们生活在海南岛非常幸福,可以经常看到大海,陶冶我们的情操。众所周知,海水会发生潮汐现象,大约在每一昼夜的时间里,潮水会涨落两次,这种现象就是我们今天要学到的周期现象。再比如,[取出一个钟表,实际操作]我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复,这也是一种周期现象。所以,我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数。(板书课题) 【探究新知】 1.我们已经知道,潮汐、钟表都是一种周期现象,请同学们观察钱塘江潮的图片(投影图片),注意波浪是怎样变化的?可见,波浪每隔一段时间会重复出现,这也是一种周期现象。请你举出生活中存在周期现象的例子。(单摆运动、四季变化等) (板书:一、我们生活中的周期现象) 2.那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢?教师引导学生自主学习课本P3——P4的相关内容,并思考回答下列问题: ①如何理解“散点图”? ②图1-1中横坐标和纵坐标分别表示什么?

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第1章节 三角函数 1.1 任意角和弧度制 【例题1】下列命题正确的是( ) A. 终边相同的角一定相等 B. 第一象限角都是锐角 C. 锐角都是第一象限角 D.小于90°的角都是锐角 【例题2】给出下列四个命题:①﹣75°是第四象限角;②225°是第三象限角;③475°是第二象限角;④﹣315°是第一象限角。其中正确的命题有( )。 A.1个 B.2个 C. 3个 D.4个 【例题3】如图,点A 在半径为1且圆心在原点的圆商,且∠ =45°。点 P 从点A 处出发,依逆时针方向匀速地沿单位圆旋转。已知点P 在1秒钟内转过的角度为θ(0°<θ<180°),经过2秒钟到达第三象限,经过14秒钟后又回到出发点A ,求θ,并判断其所在的象限 【例题4】设E ={小于90°的角},F ={锐角}。G ={第一象限的角},M ={小于90°但不小于0°的角}, 则有( )。 A . B . C . ( ) D . 【例题5】在与角10030°终边相同的角中,求满足下列条件的角。 (1)最大的负角;(2)最小的正角;(3)360°~720°的角。 【例题6】与﹣457°角终边相同的角的集合是( ) A .{}00360457,k k Z αα=?+∈ B .{}0036097,k k Z αα=?+∈ C .{}00360263,k k Z αα=?+∈ D .{}00360263,k k Z αα=?-∈ 【例题7】下列各命题中,假命题是( ) A. “度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B. 一度的角是周角的 ,一弧度的角是周角的 C. 根据弧度的定义,180°一定等于π的弧度 D. 不论是用角度制还是用弧度制度量角,它们均与圆的半径长短有关。 【例题8】若两角的和是1弧度,此两角的差是1°,试求这两个角的大小。 【例题9】若角α是α一象限角,问 2α、3 α 是第几象限角? 【例题10】 如图所示,(1)分别写出终边落在OA 、OB 位置上的角的集合; 例题3

高中数学必修1全套教案

人教版高中数学必修1 全册教案 目录 第一章集合与函数概念 §1.1.1集合的含义与表示 §1.1.2集合间的基本关系 §1.1.3集合的基本运算 §1.2.1函数的概念 §1.2.2映射 §1.2.2函数的表示法 §1.3.1函数的单调性 §1.3.1函数的最大(小)值 §1.3.2函数的奇偶性 第二章基本初等函数(Ⅰ) §2.1.1指数(2) §2.1.1指数(3) §2.1.2指数函数及其性质(1) §2.1.2指数函数及其性质(2) §2.2.1对数与对数运算(1) §2.2.1对数与对数运算(2) §2.2.2对数函数及其性质(第一、二课时)

§2.2.2对数函数及其性质(第三课时)§2.3幂函数 §第2章小结与复习 第三章函数的应用 §3.1.2用二分法求方程的近似解 §3.2.1几类不同增长的函数模型 §3.2.2函数模型的应用实例(1) §3.2.2函数模型的应用实例(2) §3.2.2函数模型的应用实例(3)

第一章集合与函数概念 一. 课标要求: 本章将集合作为一种语言来学习,使学生感受用集合表示数学内容时的简洁 性、准确性,帮助学生学会用集合语言描述数学对象,发展学生运用数学语言进行交流的能力 . 函数是高中数学的核心概念,本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习,强调结合实际问题,使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法,从而发展学生对变量数学的认识 . 1. 了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系,掌握某些数集的专用符号. 2. 理解集合的表示法,能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用. 3、理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集,培养学生分析、比较、归纳的逻辑思维能力. 4、能在具体情境中,了解全集与空集的含义. 5、理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的交集与并集, 培养学生从具体到抽象的思维能力. 6. 理解在给定集合中,一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集 . 7. 能使用Venn图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用 . 8. 学会用集合与对应的语言来刻画函数,理解函数符号y=f(x)的含义;了解函数构成的三要素,了解映射的概念;体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型,体会对应关系在刻画函数概念中的作用;会求一些简单函数的定义域和值域,并熟练使用区间表示法 . 9. 了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、分析法),并能在实际情境中,恰当地进行选择;会用描点法画一些简单函数的图象. 10. 通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用. 11. 结合熟悉的具体函数,理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义,了解奇偶性和周期性的含义,通过具体函数的图象,初步了解中心对称图形和轴对称图形. 12. 学会运用函数的图象理解和研究函数的性质,体会数形结合的数学方法. 13. 通过实习作业,使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物,了解生活中的函数实例. 二. 编写意图与教学建议 1. 教材不涉及集合论理论,只将集合作为一种语言来学习,要求学生能够使用最基本的集合语言表示有关的数学对象,从而体会集合语言的简洁性和准确性,发展运用数学语言进行交流的能力. 教材力求紧密结合学生的生活经验和已有数学知识,通过列举丰富的实例,使学生了解集合的含义,理解并掌握集合间的基本关系及集合的基本运算. 教材突出了函数概念的背景教学,强调从实例出发,让学生对函数概念有充分的感性基础,再用集合与对应语言抽象出函数概念,这样比较符合学生的认识规律,同时有利于培

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必 修 4 教 案 1.1.1 任意角 教学目标 (一)知识与技能目标 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. (二)过程与能力目标 会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合;掌握区间角

的集合的书写. (三) 情感与态度目标 1. 提高学生的推理能力; 2.培养学生应用意识. 教学重点 任意角概念的理解;区间角的集合的书写. 教学难点 终边相同角的集合的表示;区间角的集合的书写. 教学过程 一、引入: 1.回顾角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. 二、新课: 1.角的有关概念: ①角的定义: 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. ②角的名称: ③角的分类: ④注意: ⑴在不引起混淆的情况下,“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”; ⑵零角的终边与始边重合,如果α是零角α =0°; ⑶角的概念经过推广后,已包括正角、负角和零角. ⑤练习:请说出角α、β、γ各是多少度? 2.象限角的概念: ①定义:若将角顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,那么角的终边(端点除外)在第几象限,我们就说这个角是第几象限角. 例1.如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角? 正角:按逆时针方向旋转形成的角 零角:射线没有任何旋转形成的角 负角:按顺时针方向旋转形成的角 始边 终边 顶点 A O B

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