反比例函数及应用
《反比例函数》回顾与思考
【教学目标】①体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数表达式。②能画出反比例函数的图象，根据图象和解析表达式y ＝k x
(k≠0)探索并理解其性质(k ＞0或k ＜0时，图象的变化)。 【知识梳理、基础训练】
考点一 反比例函数的定义
一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成y ＝ 或 （k 为常数，k≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数．其自变量x 的取值范围是 . 反比例函数的解析式还可以写成xy ＝k (k ≠0)，它表明在反比例函数中自变量x 与其对应函数值y 之积总等于已知常数k .
考点二 反比例函数的图象和性质
1．反比例函数y ＝k x (k 是常数，k ≠0)的图象是 ．因为x ≠0，k ≠0，相应地y 值也不能为0，所以反比例函数的图象无限接近x 轴和y 轴，但永不与x 轴、y 轴 ．
某农场的粮食总产量为1500吨，设该农场人数为x 人，平均每人占有粮食数为y 吨，则y 与x 之间的函数图象大致是（ ）
A B C D
2．反比例函数的图象和性质
反比例函数y ＝k x
(k 是常数，k ≠0)的图象总是关于 对称的，它的位置和性质受k 的符号的影响.
①当k ＞0时，函数的图象在第 象限，在每一象限内,y 随x 的增大而 ；
②当k ＜0时，函数的图象在第 象限，在每一象限内,y 随x 的增大而 .
反比例函数的图象是双曲线，它既是轴对称图形，其对称轴是直线y ＝x 和直线y ＝-x ；又是中心对称图形. 对称中心是原点.
1.在下列反比例函数中，图象在一、三的是 ，图象在二、四的是 ，图象在每一象限内，y 随x 增大而减小的是 ，y 随x 增大而减小的是 .
x y 3)1(-= x y 2)2(= x y 23)3(= x y 3)4(-= 2.已知直线y=5x 与双曲线y ＝5x
的一个交点为（1，5），则一个交点坐标为为 3．当x >0时，函数y ＝－5x
的图象在第( )象限 A ．一 B ．二 C ．三 D ．四
4．已知反比例函数的图象经过点(－1,2)，则它的解析式是( ) A ．y ＝－12x B ．y ＝－2x C ．y ＝2x D ．y ＝1x
5．对于反比例函数y ＝2x
，下列说法正确的是( ) A ．图象经过点(1，－2) B ．图象在第二、四象限
C ．当x >0时，y 随x 的增大而增大
D ．图象关于原点成中心对称
6．对于函数y ＝m －4x ，当x <0时，y 的值随x 值的增大而减小，则m 的取值范围是( )
A ．m >4
B ．m <4
C ．m >－4
D ．m <－4
7．已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是反比例函数y ＝5x
的图象上的两点，若x 1＜0＜x 2，则对应的函数值y 1，y 2的关系是( )
A y 1＜y 2＜0
B y 2＜0＜y 1
C 0＜y 1＜y 2
D y 1＜0＜y 2
考点三 反比例函数表达式的确定
1．由于反比例函数y ＝k x 的解析式中只有一个待定系数k ，因此只需已知一组对应值就可以求出k .
2．待定系数法求解析式的步骤
(1)设出含有待定系数的函数解析式；
(2)把已知条件代入解析式，得到关于待定系数的方程；
(3)解方程求出待定系数的值，从而确定解析式．
1．已知点(12)-，在反比例函数k y x
=的图象上，则k = ． 2.已知反比例函数的图象经过点（m ，2）和（－2，3），则m 的值为 ．
考点四 反比例函数系数k 的几何意义
反比例函数y ＝k x (k≠0)中比例系数k 的几何意义，即过双曲线y ＝k x
(k≠0)上任意一点P 作x 轴、y 轴垂线，设垂足分别为A 、B ，则所得矩形OAPB 的面积
为 .
如图，若点A 在反比例函数(0)k y k x
=≠的图象上，AM x ⊥轴于点M ，AMO △的面积为3，则k = ． 【例题精讲】
例1.反比例函数y ＝m ＋1x
在每个象限内的函数值y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是( )
A ．m ＜0
B ．m ＞0
C ．m ＞－1
D ．m ＜－1
例2.若点P 1(－1，m )，P 2(－2，n )在反比例函数y ＝k x
(k >0)的图象上，则m n (填“>”“<”或“＝”)． 例3.下列图形中阴影部分的面积相等的是(
)
A ．②③
B ．③④
C ．①②
D ．①④
例4 .将油箱注满k 升油后，轿车可行驶的总路程s (单位：千米)与平均耗油量a (单位：升/千米)
之间是
反比例函数关系s ＝k a (k 是常数，k ≠0)．已知某轿车油箱注满油后，以平均耗油量为每千米耗油0.1升的速度行驶，可行驶700千米．
(1)求该轿车可行驶的总路程s 与平均耗油量a 之间的函数解析式(关系式)．
(2)当平均耗油量为0.08升/千米时，该轿车可以行驶多少千米？
例5．在平面直角坐标系中，已知反比例函数y ＝k x 的图象经过点A (1，3)．
(1)试确定此反比例函数的解析式；
(2)点O 是坐标原点，将线段OA 绕O 点顺时针旋转30°得到线段OB ，判断点B 是否在此反比例函数的图象上，并说明理由．
【上交作业】
1.反比例函数x
k y =(k ＞0)的部分图象如图所示，A 、B 是图象上两点，AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥x 轴于点D ，若△AOC 的面积为S 1，△BOD 的面积为S 2，则S 1和S 2 的大小
关系为（ ）
A S 1＞ S 2
B S 1= S 2
C S 1 ＜S 2
D ． 无法确定
2.函数x
a y = (a ≠0)与y=)1(-x a (a ≠0)在同一坐标系中的大致图象是（ ）
3.如图，菱形OABC 的顶点O 是原点，顶点B 在y 轴上，菱形的两条对角线的长分别
是6和4，反比例函数)0( x x
k y =的图象经过点C ，则k 的值为_________．
4.如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函
数y=（k＞0）的图象与BC边交于点E．
（1）当F为AB的中点时，求该函数的解析式；
（2）当k为何值时，△EFA的面积最大，最大面积是多少？
(完整版)《反比例函数的应用》综合练习及答案
3 反比例函数的应用 教材跟踪训练 （一）填空题：（每空2分，共12分） 1．长方形的面积为60cm2，如果它的长是ycm，宽是xcm，那么y是x的 函数关系，y写成x的关系式是。 2．A、B 途中是匀速直线运动，速度为v km/h，到达时所用的时间是t h， 那么t是v的函数，t可以写成v的函数关系式 是。 3．如图，根据图中提供的信息，可以写出正比例函数的关系式 是；反比例函数关系式是。 （二）选择题（5′×3＝15′） 1．三角形的面积为8cm2，这时底边上的高y（cm）与底边x（cm） 之间的函数关系用图象来表示是。 2．下列各问题中，两个变量之间的关系不是反比例函数的是 A：小明完成100m赛跑时，时间t（s）与跑步的平均速度v（m/s）之间的关系。 B：菱形的面积为48cm2，它的两条对角线的长为y（cm）与x（cm）的关系。 C：一个玻璃容器的体积为30L 间的关系。 D：压力为600N时，压强p与受力面积S之间的关系。 3．如图，A、B、C为反比例函数图象上的三个点，分别从A、 B、C向xy轴作垂线，构成三个矩形，它们的面积分别是S1、 S2、S3，则S1、S2、S3的大小关系是 A：S1＝S2＞S3B：S1＜S2＜S3 C：S1＞S2＞S3D：S1＝S2＝S3 x y -1 O 2 x y B A O C
（三）解答题（共21分） 1．（12分）如图所示是某一蓄水池每小时的排水量V （m 3/h ）与排完水池中的水所用的时间t(h)之间的函数关系图象。 ①请你根据图象提供的信息求出此蓄水池的蓄水量。 ②写出此函数的解析式 ③若要6h 排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？ ④如果每小时排水量是5m 3，那么水池中的水将要多少小时排完？ 2．（9分）如图正比例函数y=k 1x 与反比例函数x y 2 交于点A ，从A 向x 轴、y 轴分别作垂线，所构成的正方形的面积为4。 ①分别求出正比例函数与反比例函数的解析式。 ②求出正、反比例函数图象的另外一个交点坐标。 ③求△ODC 的面积。 D x y B A O C
反比例函数的应用
5.3反比例函数的应用 一、自主学习： 1、已知一个三角形的面积是6，它的底边是x ，底边上的高是y ，则y 与x 的函数关系式是_________；若x=3，则y=_________,若y=6则x=___________。 2、某自来水公司计划新建一个容积为4×104m 3的长方体蓄水池。 ⑴蓄水池的底面积S （m 3）与其深度h （m ）有怎样的函数关系？ ⑵若深度设计为5m ，则底面积应为_______m 2. 3、设有反比例函数y k x =+1，(,)x y 11、(,)x y 22为其图象上的两点，若x x 120<<时，y y 12>，则k 的取值范围是___________ 4、如图，点A 、B 为反比例函数(0)k y x x =<上的两点，则12S S 与的大小关系为（ ） A ．12S S < B. 12S S > C. 12S S = D.无法确定。 5、设直线(0)y kx k =<与双曲线5y x =-交于点11(,)A x y 、22(,)B x y 两点，则12213x y x y -的值为___________ 二、合作学习，共同探索 1、小明将一篇24000字的社会调查报告录入电脑，打印成文。 ⑴如果小明以每分钟120字的速度录入，他需要多长时间才能完成？ ⑵完成录入的时间t （min ）与录入文字的速度v （字/min ）有怎样的函数关系？ ⑶小明希望能在3小时内完成录入任务，那么他每分钟至少应录入多少个字？ 1y 2y y 3y 三、巩固练习： 1．京沈高速公路全长658km ，汽车沿京沈高速公路从沈阳驶往北京，则汽车行完全程所需时间t （h ）与行驶的平均速度v （km/h ）之间的函数关系式为 2．完成某项任务可获得500元报酬，考虑由x 人完成这项任务，试写出人均报酬y （元）与人数x （人）之间的函数关系式 3．一定质量的氧气，它的密度ρ（kg/m 3）是它的体积V （m 3）的反比例函数，当V ＝10时，ρ ＝1.43，（1）求ρ与V 的函数关系式；（2）求当V ＝2时氧气的密度ρ 4．小林家离工作单位的距离为3600米，他每天骑自行车上班时的速度为v （米/分），所需时间为t （分） （1）则速度v 与时间t 之间有怎样的函数关系？ （2）若小林到单位用15分钟，那么他骑车的平均速度是多少？
集体备课反比例函数的应用
年级九年级学科数学教者廖佳
一、回顾交流、情境导入（廖佳） 反比例函数：当k>0时，两支曲线分别在 一 三，在每一象限内，y 的值 随x 的增大而减小 。当k<0时，两支曲线分别在二 四 ，在每一象限内，y 的值随x 的增大而。 某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地，为了安 全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临 时通道，从而顺利完成了任务的情境。你能解释他们这样做的道理吗？ (1)用含S 的代数式表示P ，P 是S 的反比例函数吗？为什么？ (2)当木板面积为0.2 时，压强是多少 (3)如果要求压强不超过6000Pa ，木板面积至少要多大 (4)在直角坐标系中，作出相应的函数图象。 (5)请利用图象对(2)和(3)作出直观解释，并与同伴进行交流。 在（4）中，要启发学生思考：为什么只需在第一象限作函数图象？此外， 还要注意单位长度所表示的数值。在（5）中，要留有充分时间让学生交流， 领会实际问题的数学意义，体会数与形的统一。 二、探究新知 1.蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I （A ）与电阻R （Ω）之 间的函数关系如图5-8所示： 探究：（1）蓄电池的电压是多少？你能写出这一函数的表达式吗？ （2）完成下表（课本P142），并回答问题，如果以此蓄电池为电源的用电器 限制电流不得超过10A ，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？ 2.如图5-9，正比例函数x k y 1=的图象与反比例函数x k y 2 =的图象相交 于A 、B 两点，其中点A 的坐标为（32,3） 探究：（1）请你分别写出这两个函数的表达式； （2）你能求出点B 的坐标吗？你是怎样求的？与同伴交流。 学生独立思考，解答问题，上讲台演示自己的解答。 三、随堂练习（谢伟） 课本随堂练习1 补充练习 《反比例函数的应用》训练题（45分钟练习） 一、填空题（每空2分，共12分） 1．长方形的面积为60cm 2，如果它的长是ycm ，宽是xcm ，那么y 是x 的 函数关系，y 写成x 的关系式是 。 2．A 、B 两地之间的高速公路长为300km ，一辆小汽车从A 地去B 地，假设在途中是匀速直线运动，速度为v km/h ，
一次函数和反比例函数的综合应用讲义 (NXPowerLite)
反比例函数与一次函数的综合应用 开心哈哈 一次函数k与b, k不为0来才成立; b为0来正比例, b不为0来一般地; 反比例函数k值, k不为0来才存在; 不与坐轴打交道, 与一次函数常相守; 两者结合请注意, 性质图像不相忘. 制胜装备 1、巩固一次函数和反比例函数的概念，会求反比例函数表达式并能画出图象． 2、巩固反比例函数图象的变化其及性质并能运用解决某些实际问题． 战前总动员 远山 苏格拉底和拉克苏相约，到很远很远的地方去游览一座大山。据说，那里风景如画，人们到了那里，会产生一种飘飘欲仙的感觉。 许多年以后，两人相遇了。他们都发现。那座山太遥远太遥远。他们就是走一辈子，也不可能到达那个令人神往的地方。 拉克苏颓丧地说：“我用尽精力奔跑过来，结果什么都不能看到，真太叫人伤心了。” 苏格拉底掸了掸长袍上的灰尘说：“这一路有许许多多美妙的风景，难道你都没有注意到？” 拉克苏一脸的尴尬神色：“我只顾朝着遥远的目标奔跑，哪有心思欣赏沿途的风景啊！” “那就太遗憾了。”苏格拉底说，“当我们追求一个遥远的目标时，切莫忘记，旅途处处有美景！” 战况分析 重点: 一次函数和反比例函数的性质在实际中的应用 难点: 数学建模思想在函数中的应用 易错点: 反比例函数的定义及性质理解不透,忽略条件 扫清障碍
1、一次函数、正比例函数的概念及联系。 一次函数：若两个变量x 、y 间的关系可以表示成＿＿＿＿＿＿＿ (k 、b 为常数，k ≠0)形式，则称y 是x 的一次函数（x 是自变量，y 是因变量）。特别地，当b ＝0时，称y 是x 的正比例函数。即正比例函数是一次函数的特殊情况。 2、一次函数图象的特征（y = kx + b ，k ≠0，b ≠0） （1）一次函数的图象不过原点，和两坐标轴相交，它是经过点（0，b ），（－b k ，0）的一条直线。正比例函数y ＝kx 的图象是经过原点（0,0）的一条直线。 （2）一次函数y ＝kx ＋b （k ≠0）图象是平行于直线y ＝kx （k ≠0）且过（0，b ）的一条直线。 3、如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成 （ ）的形式，自变量x ，那么y 是x 的反比例函数，反比例函数的其它表示形式： 。 4、反比例函数 （k ≠0）的图象是 。 当k ＞0时，两支曲线分别位于 象限内，并且在每一个象限内y 值随着x 值的增大而 ； 当k ＜0时，两支曲线分别位于 象限内，并且在每一个象限内y 值随着x 值的增大而 。 5、双曲线 与坐标轴是否存在交点？答： 。 小试牛刀 1、(03辽宁) 已知一次函数y=kx+b 的图象经过第一、二、四象限，则反比例函数错误!未找到引用源。的图象在（ ） A ．第一、二象限 B ．第三、四象限 C ．第一、三象限 D ．第二、四象限 2、（09年广东）如图能表示错误!未找到引用源。和错误!未找到引用源。(k ≠0)在同一坐标系中的大致图象是（ ） . 3. x k y =x k y =O x y A C O x y D x y o O x y B
反比例函数的应用
第5课时 §5.3.2 反比例函数的应用 教学目标 1、经历分析实际问题中变量之间的关系、建立反比例函数模型，进而解决问题的过程 2、体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力 教学重点和难点 重点：反比例函数的应用 难点：反比例函数的应用 教学过程设计 一、从学生原有的认知结构提出问题 上几节课，我们学习了反比例函数的概念及其性质。这节课，我们利用已学的知识，解决反比例函数与一次函数，正比例函数之间的一些问题。 二、师生共同研究形成概念 1、反比例函数与一次函数 我们经常会遇到反比例函数与一次函数的综合运用。 做一做书本P 145 做一做 此例子可让学生互相讨论，自己尝试做一做，老师作适当引导。 2、讲解例题 例1正比例函数和反比例函数的图象如图所示。求这两个函数的解析式。 m的图像相交于A、B两点。利用图中条例2如图，一次函数y=kx+b的图像与反比例函数y= x 件，求反比例函数和一次函数的解析式。 分析：这是一个综合题，解题时一定要分清正比例函数和反比例函数的假设方法，以及了解
例3 已知一次函数的图象与双曲线x y 2- =交于点（1-，m ），且过点（0 ，1）。求该一次函数的解析式。 例4 已知一次函数b kx y +=的图象经过反比例函数x y 6=的图象上的A 和B 两点，A 点的纵坐标为1-，B 点的横坐标为2，求一次函数的解析式。 分析：此例没有图象，但方法与上面的题目基本一样，通过题目的已知条件，求得未知数，进面求得函数的解析式。 三、 随堂练习 1、 书本 P 145 随堂练习 2、 《练习册》 P 46 3、 一次函数和反比例函数的图象如图所示，它们相交于 点A （2 ，-2）和点B （-4 ，a ）。求a 及这两个函数 的解析式。 4、 正比例函数x y 2=与双曲线x k y =的一个交点坐标为A （2，m ）。1）求m 和k ；2）求它们的另一个 交点。 四、 小结 通过学习，能够分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型。数学与现实生活密切联系，我们要增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力。 五、 作业 反比例函数x k y =和一次函数8+-=x y 的图象交于点（4 ，a ）。 1）求a 和k ； 2）求它们的另一个交点。
专题训练：反比例函数与一次函数的综合应用(含答案)
专训2 反比例函数与一次函数的综合应用 名师点金：反比例函数单独考查的时候很少，与一次函数综合考查的情况较多，其考查形式有：两种函数图象在同一坐标系中的情况，两种函数的图象与性质，两种函数图象的交点情况、交点坐标，用待定系数法求函数表达式及求与函数图象有关的几何图形的面积等． 反比例函数图象与一次函数图象的位置判断 1．【2015·兰州】在同一直角坐标系中，一次函数y ＝kx －k 与反比例函数y ＝k x (k ≠0)的 图象大致是( ) 2．一次函数y ＝kx ＋b 与反比例函数y ＝k x (k ≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图象如 图所示，则k ，b 的取值范围是( ) A ．k >0，b >0 B ．k <0，b >0 C ．k <0，b <0 D ．k >0，b <0 (第2题) (第3题) (第4题) 反比例函数与一次函数的图象与性质 3．(中考·仙桃】如图，正比例函数y 1＝k 1x 和反比例函数y 2＝k 2 x 的图象交于A (1，2)，B 两点，给出下列结论： ①k 1
4．已知函数y 1＝x (x ≥0)，y 2＝4 x (x >0)的图象如图所示，则以下结论： ①两函数图象的交点A 的坐标为(2，2)； ②当x >2时，y 1>y 2； ③当x ＝1时，BC ＝2； ④两函数图象构成的图形是轴对称图形； ⑤当x 逐渐增大时，y 1随着x 的增大而增大，y 2随着x 的增大而减小． 其中正确结论的序号是____________． 反比例函数与一次函数的有关计算 类型1 利用点的坐标求面积 5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝2x ＋n 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，与双曲线y ＝4 x 在第一象限内交于点C (1，m )． (1)求m 和n 的值； (2)过x 轴上的点D (3，0)作平行于y 轴的直线l ，分别与直线AB 和双曲线y ＝4 x 交于点 P ，Q ，求△APQ 的面积． (第5题)
反比例函数的图像和性质的综合应用
反比例函数的图像和性质的综合应用 【基础知识精讲】 1、反比例函数：一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成y= k x （k 为常数，k≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数． 反比例函数y= k x （k≠0）还可以写成：①1 -=kx y （k≠0） ②k xy =（k≠0）. 2、反比例函数的概念需注意以下几点：（1） k 为常数，k≠0； （2） k x 中分母x 的指数为1；(3) 自变量x 的取值范围是x≠0的一切实数； （4） 因变量y 的取值范围是y≠0的一切实数． 3、反比例函数的图象． 4、反比例函数y=k x 具有如下的性质: 性质1、反比例函数k y x = （0k ≠）（1）当0k >时，图象在一、三象限；在每个象限内，y 随x 增大而减小；（2）、当0k <时，图象在二、四象限；在每个象限内，y 随x 增大而增大； 性质2、反比例函数k y x = （0k ≠）的图象是中心对称图形，也是轴对称图形； 因此， 当点P （a ，b ）在图象上时，Q （－a ，－b ）和R （b ，a ）也在图象上。
5、反比例函数y= k x （k≠0）中k 的几何意义： 过函数 y= k x （k≠0）的图像上任一点),(y x p 作PM⊥x 轴，PN⊥y 轴，所得矩形PMON 的面积 S 矩形=∣xy ∣=∣k ∣, S △POM =2 1 ∣k ∣。 一、【基础训练】 1. 反比例函y= 5 m x -的图象的两个分支分别在第二、四象限内,那么m 的取值范围是( ) <0 >0 C.m<5 >5 2. 设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)是反比例函数y=- 2 x 图象上的两点,若x 1
反比例函数应用
6.3反比例函数的应用 第一环节复习回顾 内容： 什么是反比例函数？ 反比例函数的图像是什么？ 反比例函数的图像有什么性质？ 反比例函数：当k>0时，两支曲线分别在_________，在每一象限内，y的值随x的增大而______。当k<0时，两支曲线分别在_________，在每一象限内，y 的值随x的增大而______。 第二环节问题探究 内容：某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地，为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成了任务的情境。你能解释他们这样做的道理吗？（见书P148） (1)用含S的代数式表示P，P是S的反比例函数吗？为什么？ (2)当木板面积为0.2 2m时，压强是多少？ (3)如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要多大？ (4)在直角坐标系中，作出相应的函数图象。 (5)请利用图象对(2)和(3)作出直观解释，并与同伴进行交流。 第三环节应用与拓展 内容：做一做 1.蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I(A)与电阻R( )之间的函数关系如图所示。(书上P148—P149) (1)蓄电池的电压是多少？你能写出这一函数的表达式吗？ (2)完成下表，并回答问题：如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？
2．如图，正比例函数y ＝k 1x 的图象与反比例函数y=x k 2 的图象相交于A ，B 两点，其中点A 的坐标为(3,23). (1)分别写出这两个函数的表达式： (2)你能求出点B 的坐标吗?你是怎样求的?与同伴进 行交流. 第四环节 随堂练习 内容：练一练 1.某蓄水池的排水管每时排水83 m ，6h 可将满池水全部排空。 (1)蓄水池的容积是多少？ (2)如果增加排水管，使每时的排水量达到Q(3m )，那么将满池水排空所需的时间t(h)将如何变化？ (3)写出t 与Q 之间的关系； (4)如果准备在5h 内将满池水排空，那么每时的排水量至少为多少？ (5)已知排水管的最大排水量为每时123m ，那么最少多长时间可将满池水全部排空？（课本P149） 练习题补充供选择 类型分析 (一)关于"速度,时间,……"相关的反比例函数应用 例：小明将一篇24000字的社会调查报告录入电脑,打印成文.(1)如果小明以每分钟120字的速度录入,他需要多长时间才能完成录入任务 (2)录入文字的速度v(字/min)与完成录入的时间t(min)有怎样的函数关系 (3)小明希望能在3h 内完成录入任务,那么他每分钟至少应录入多少个字 (二)与"几何体积"相关的反比例函数应用 例：某自来水公司计划新建一个容积为4×1010m3的长方形蓄水池.(1)蓄水池的底面积S(m 2 )
反比例函数与几何的综合应用及答案
专训1 反比例函数与几何的综合应用 名师点金:解反比例函数与几何图形的综合题,一般先设出几何图形中的未知数,然后结合函数的图象用含未知数的式子表示出几何图形与图象的交点坐标,再由函数解析式及几何图形的性质写出含未知数及待求字母系数的方程(组),解方程(组)即可得所求几何图形中的未知量或函数解析式中待定字母的值. 反比例函数与三角形的综合 1.如图,一次函数y ＝kx ＋b 与反比例函数y ＝x 6(x>0)的图象交于 A(m,6),B(3,n)两点. (1)求一次函数的解析式; (2)根据图象直接写出使kx ＋b (第3题) 反比例函数与矩形的综合 4.如图,矩形OABC 的顶点A,C 的坐标分别就是(4,0)与(0,2),反比例函数y ＝x k (x>0)的图象过对角线的交点P 并且与AB, (第4题) BC 分别交于D,E 两点,连接OD,OE,DE,则△ODE 的面积为________. 5.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC 的对角线OB,AC 相交于点D,且BE ∥AC,AE ∥OB 、 (1)求证:四边形AEBD 就是菱形; (2)如果OA ＝3,OC ＝2,求出经过点E 的双曲线对应的函数解析式. (第5题) 反比例函数与菱形的综合 6.如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD 在第一象限内,边BC 与x 轴平行,A,B 两点的纵坐标分别为3,1,反比例函数y ＝x 3的图象 (第6题) 经过A,B 两点,则菱形ABCD 的面积为( ) A .2 B .4 C .2 D .4 7.如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD 的顶点C 与原点O 重合,点B 在y 轴的正 反比例函数应用教学反思 具体分析本节课，首先简单的用几分钟时间回顾一下反比例函数的基本理论，“学习理论是为了服务于实践”的一句话，打开了本节课的课题，过渡自然。本节课用函数的观点处理实际问题，主要围绕着路程、工程这样的实际问题，通过在速度一定的条件下路程与时间的关系，认识到反比例函数与实际问题的关系，在讲解这几个例子的时候，创设了学生熟悉的情境，简单的一句话引出问题，这样更能引起学生的兴趣，使学生更积极地参与到教学中来，因为情境熟悉，也能快速地与学生产生共鸣。创设了轻松和谐的教学环境与氛围，师生互动较好，这样能使学生主动开动思维，利用已有的知识顺利的解决这几个问题。在讲解例题的同时，试着让学生利用图象解决问题，培养学生数形结合的思想，并提示学生注意自变量在实际情境中的取值范围问题。而后，给学生几分钟的思考时间，让他们通过平时对生活的细心观察，生活中有关反比例函数的有价值的问题，说出来与全班共同分享。这一环节的设置，不仅体现新教改的合作交流的思想，更主要的培养他们与人协作的能力。更好的发展了学生的主体性，让他们也做了一回小老师，展示他们的个性，这样有益于他们健康的人格的成长。最后在总结中让学生体会到利用反比例函数解决实际问题，关键在于建立数学函数模型，并布置了作业。从总体看整个教学环节也比较完整。 本节课的教学，我本意是通过反比例函数及其图像相关问题的复习，引出本节课所要讨论的问题反比例函数的应用，而后通过对问题1的讨论切入正题，重点研究“数”与“形”的互相渗透，并通过这节课的学习让学生体会“数形结合”的数学思想，利用函数图像来解决应用题。在教学中，我发现这种教学设计出现了以下几个问题。 首先，目标教学的第一环节，前测激趣，但没有达到激趣的目的，这种引课方式，在课堂反映出来显得非常平淡，没有新意，没能引起学生的认知发生冲突，激发学生的求知欲。 其次，在导探激励环节中，问题设计较好，但问题的处理上操之 专题复习：反比例函数与一次函数 谷城县茨河镇中心学校文有书 学习目标：1.进一步理解反比例函数中k的几何意义，并能熟练计算图形的面积；能根据图象比较函数值的大小. 2.通过数形结合、转化的思想方法总结解题的一般思路. 教学重点：面积的计算方法及函数值的大小比较方法. 教学难点：利用转化的方法计算图形的面积. 教学过程： 一、诊断练习 已知直线与双曲线交于A、B两点. 1. 如图(1)若点，则点B的坐标为______，直线解析式______，双曲线解析式______ (1) (2) 2.如图(2)，过点A作AC⊥x轴垂足为C，若，则双曲线的解析式为_________ 二、反思归纳 1.正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称 2.反比例函数k的几何意义 三、合作探究 例：已知直线AB与双曲线交于A、B两点. (1)如图，点，点D在x轴上，若四边形OACD是菱形，求双曲线及直线CD的解析 式 求反比例函数解析式的关键：找到曲线上一点坐标. 求反比例函数解析式的方法： 1.利用k的几何意义求解 2.通过利用勾股定理、平移、全等、相似等方法求出点的坐标. (2)将直线AB向上平移后，若A，，求△OAB的面积 归纳：当坐标轴穿过所求图形时，宜用分割的方法求面积. 变式一：在上图中，BO的延长线交双曲线于点F，连接AF，求△OAF的面积 归纳：当所求图形在同一象限时，可用割补法求面积. 变式二：如图，若A，，分别过A、F两点向x轴作垂线，垂足分别为N、M.求四边形AFMN的面积. x x x x 归纳：合理转化图形，充分利用反比例函数k 的几何意义. 求反比例函数中图形面积的方法： 1.若所求图形面积是可直接求出的，则可以按照相应图形面积公式直接计算； 2.若所求图形面积是不可直接求出的，则采用割补法; 3.转化面积时，注意观察是否需要使用反比例函数k 的几何意义. (3)直线AF ： 的图象与双曲线： 的图象交于A 、F 两点，请写出 时， 自变量x 的取值范围. 归纳：根据函数图象比较大小的一般步骤：1.找交点2.分区域3.写范围 变式一：直线： 的图象与双曲线： 的图象交于A 、B 两点，请写出 时， 自变量x 的取值范围. 变式二：一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于A 、B 两点．已知当 时 当 时 ，求一次函数的解析式. 四、反思小结 1.知识上： 2.方法上： 3.思想上： 五、巩固练习 如图，已知直线1y x m =+与x 轴、y 轴分别交于点B 、A ，与双曲线 分别交于点C 、D ，且C 点的坐标为（1-，2）. (1)分别求出直线AB 及双曲线的解析式； (2)求出△OCD 的面积； (3)利用图象直接写出：当x 在什么范围内取值时， . 六、课外作业 专题复习学案 x x x x 反比例函数的应用 一、选择题 1．如果等腰三角形的底边长为x 。底边上的高为y ，则它的面积为定植S 时，则x 与y 的函数关系式为（ ） B. 2．在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ（单位：kg /m 3）是体积V （单位：m 3）的反比例函数，它的图象如图3所示，当310m V =时，气体的密度是（ ） A ．5kg /m 3 B ．2kg /m 3 C ．100kg /m 3 D ，1kg /m 3 3．下列问题中，两个变量间的函数关系式是反比例函数的是 A. 小颖每分钟可以制作2朵花，x 分钟可以制作y 朵花 B. 体积为10cm 3的长方体，高为hcm ，底面积为Scm 2 C. 用一根长50cm 的铁丝弯成一个矩形，一边长为xcm ，面积为Scm 2 D. 汽车油箱中共有油50升，设平均每天用油5升，x 天后油箱中剩下的油量为y 升 4．已知长方形的面积为20cm 2，设该长方形一边长为ycm ，另一边的长为xcm ，则y 与x 之间的函数图象大致是【 】 5．如图，过反比例函数y x ＞0)图象上任意两点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连结OA 、OB ，设AC 与OB 的交点为E ，△AOE 与梯形ECDB 的面积分别为S 1、S 2，比较它们的大小，可得（ ） A.S 1＞S 2 B.S 1＜S 2 C.S 1=S 2 D.S 1、S 2的大小关系不能确定 6x （ ） A ．x =1 B ．x =2 C ．x =3 D ．x =4 7．如图，反比例函数y x >0)的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别与AB 、BC 相交于点D 、E 若四边形ODBE 的面积为6，则k 的值为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 二、填空题 8．学校课外生物小组的同学准备自己动手，用旧围栏建一个面积为24平方米的矩形饲养场. 设它的一边长为x (米)，则另一边的长y (米)与x 的函数关系式为 . 9．在“2011年北京郁金香文化节”中，北京国际鲜花港的6103?株郁金香为京城增添了亮丽的色彩．若这些郁金香平均每平方米种植的数量为n （单位：株/平方米），总种植面积为S （单位：平方米），则n 与S 的函数关系式为____________________．（不要求写出自变量S 的取值范围） 10．某种汽车可装油400L ，若汽车每小时的用油量为x （L ）. (1)用油量)(h y 与每小时的用油量x （L ）的函数关系式为 ； (2)若每小时的用油量为20L ，则这些油可用的时间为 ； （3）若要使汽车继续行驶40h 不需供油，则每小时用油量的范围是 . 11．一定质量的二氧化碳，其体积V （)3 m 是密度 )/(3m kg ρ的反比例函数，请你根据图中的已知条 件，下出反比例函数的关系式 ，当V =1.93 m 时，ρ= . 反比例函数的综合应用 1、已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴交于点A （－2，0），与反比例函数在第一象限内的图象的交于点B （2，n ），连结BO ，若S △AOB ＝4． （1）求该反比例函数的解析式和直线AB 的解析式； （2）若直线AB 与y 轴的交点为C ，求△OCB 的面积． 2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形OABC 的顶点C 在x 轴上，顶点A 落在反比例 函数m y x = （0m ≠）的图象上．一次函数y kx b =+（0k ≠）的图象与该反比例函数的图象交于A 、D 两点，与x 轴交于点E ．已知5AO =，20OABC S =菱形，点D 的坐标为（4-，n ） ． （1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）连接CA 、CD ，求△ACD 的面积． 3、已知反比例函数x k y = 的图像经过第二象限内的点A （－1，m ），AB ⊥x 轴于点B ，△AOB 的面积 为2．若直线b ax y += 经过点A ，并且经过反比例函数x k y = 的图象上另一点C （n ，一2）． ⑴求直线b ax y +=的解析式； ⑵设直线b ax y +=与x 轴交于点M ，求AM 的长；（3）求x 使 b ax x k +> 4、如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数4 y x = （0x >）的图象与一次函数y x b =-+的图象的一个交点为(4,)A m ． （1）求一次函数的解析式；（2）设一次函数y x b =-+的图象与y 轴交于点B ，P 为一次函数y x b =-+的 图象上一点，若OBP △的面积为5，求点P 的坐标． 初三数学导学案总课时数课题 5.3反比例函数的应 用 课时数 1 撰写人 学习目标经历分析实际问题中变量之间的关系、建立反比例函数模型，进而解决问题的过程。体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力。 重点难点建立反比例函数模型，进而解决问题的过程。. 自学指导复习反比例函数的图象与性质 反比例函数：当k>0时，两支曲线分别在，在每一象限内，y的值随 x的增大而。 当k<0时，两支曲线分别在，在每一象限内，y的值随x的增大而。 自主探究某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地，为了安全、 迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通 道，从而顺利完成了任务的情境。你能解释他们这样做的道理吗？（见书P143） (1)用含S的代数式表示P，P是S的反比例函数吗？为什么？ (2)当木板面积为0.2 2 m时，压强是多少 (3)如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要多大 (4)在直角坐标系中，作出相应的函数图象。 (5)请利用图象对(2)和(3)作出直观解释，并与同伴进行交流。 做一做 1.蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流 I(A)与电阻R( )之间的函数关系如图所示。 (书上P144) (1)蓄电池的电压是多少？你能写出这一函数的 表达式吗？ (2)完成下表，并回答问题：如果以此蓄电池为 电源的用电器限制电流不得超过10A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范 围内？ 2．如图，正比例函数y＝k 1 x的图象与反比例函数y=x k 2 的 图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为(3,23). (1)分别写出这两个函数的表达式： (2)你能求出点B的坐标吗?你是怎样求的?与同伴进 行交流. 尝 试 应 用 1.某蓄水池的排水管每时排水8m3，6h可将满池水全部排空。 (1)蓄水池的容积是多少？ (2)如果增加排水管，使每时的排水量达到Q(3 m)，那么将满池水排空所需的 时间t(h)将如何变化？ (3)写出t与Q之间的关系； (4)如果准备在5h内将满池水排空，那么每时的排水量至少为多少？ (5)已知排水管的最大排水量为每时123 m，那么最少多长时间可将满池水全部 排空？ 自学时发现的问题 反比例函数的应用 【教学目标】 1．知识与技能 能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，会画出它的图像，并能根据图像指出函数值随自变量变化情况。 2．过程与方法 能通过探索实际问题列出函数关系式，利用反比例函数的性质解决实际问题，细心体会图像在解决问题时的作用。 3．情感态度与价值观 从合作讨论，探索交流中，发展学生从图像中获取信息的能力，渗透数形结合的思想方法，通过对实际问题的分析与解决，让学生体验数学的价值，培养学生对数学的兴趣。 【教学重难点】 1．重点：将实际问题抽象为数学问题，建立反比例函数模型，并能用反比例函数的性质去解决实际问题。 2．难点：根据实际问题的条件确定反比例函数的表达式，及反比例函数与其它知识的综合运用。 【教学过程】 （一）复习回顾，导入新课 1．回顾与思考：反比例函数的图像和性质。（通过课件展示表格，并找学生回答） 函数反比例函数 解析式 图像形状 位置 k>0 增减性 位置 k<0 增减性 2．引入：实际上反比例函数在实际生活中有着广泛的应用，今天我们就来探讨一下反比例函数的应用问题（板书课题） （二）讲授新课1．创设情境 我校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地。你能解释他们这样做的道理吗？当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S （m 2）的变化，人和木板对地面的压强p （Pa ）将如何变化？ 如果人和木板对湿地地面的压力合计600N ，那么 （1）用含S 的代数式表式P ，P 是S 的反比例函数吗？（2）当木板面积为0.2m 2时，压强是多少？ （3）如果 要求压强不超过6000Pa ，木板面积至少要多大？（4）在平面坐标系中，画出相应的函数图像。 （5）请利用图像对（2）和（3）画出直观解释，并与同伴进行交流。问题（1）（2）学生举手回答，其余问题可讨论后回答。 特别是问题（3）（4）老师和学生一起要对不同的方法和所画图像进行点评，使学生明白每种方法的区别以及画图像时要注意哪些问题。 解：（1）利用物理中压强的计算公式P=F/S ，可知当压力一定时，压强与受力面积成反比。 因此P 是S 的反比例函数，即P=600/S （S>0）（2）P=3000pa （3）至少0.1m 2（4）列表：S …0.1 0.20.30.40.6…… 6000 3000 2000 1500 1000 … 描点，连线 S p 600 S/m 2 p/Pa - 1 - 反比例函数与一次函数的综合应用 珙县杉木树中学 黄胜琼 一、学情分析 1. 学生：学生已经学过了反比例函数和一次函数，有了一定的了解，但是综合性有待提高； 2. 教材：这是初三复习内容； 3. 课程：本课程针对中考反比例函数与一次函数结合的题目进行复习练习。 二、教学目标： 1、知识目标： （1）一次函数、正比例函数、反比例函数的概念。 （2）一次函数、正比例函数、反比例函数的图象及性质。 2、能力目标： （1）用待定系数法求一次函数、正比例函数、反比例函数的解析式。 （2）会用作出一次函数、正比例函数、反比例函数的图象。 （3）能够应用一次函数与反比例函数的图象与性质分析解决一次函数与反比例函数的综合题。 3、情感态度与价值观： 通过解题进一步理解数形结合的数学思想在函数中的应用。 三、教学重点： 1．一次函数、正比例函数、反比例函数的图象及性质。 2．用待定系数法求一次函数、正比例函数、反比例函数的解析式。 3．熟练应用一次函数与反比例函数的图象与性质进行解题。 四、教学难点： 1．灵活运用一次函数、正比例函数、反比例函数的有关知识解综合题。 2．进一步利用数形结合的思想方法进行解题。 五、教学方法：讲练结合 六、学情分析： 学生已经基本掌握反比例函数和一次函数的概念、图象和性质，但我校学生计算能力、试图能力和分析能力都有待提高，因此我选择了稍微简单的综合题，意在让学生提高能力的同时增强学习数学的自信心。 七、教学过程 （一）源于中考，以点展面（导入） 一个函数具有下列性质：①它的图象经过（－1，4）；②在每个象限内，函数y 的值随自变量x 的值增大而增大；请你写出一个符合上述条件的函数关系式： . 【设计意图：本题属于开放性试题，答案可以是反比例函数（一般学生）也可以是一次函数（好学生），由此引出本节课的内容，反比例函数与一次函数综合应用】 （二）综合应用，提升能力（新授课） 1.例题分析 若x y 4-=的图象与正比例函数y =kx (k ≠0)的图象在第二象限的交点为A (－1，n )，如图. （1）求正比例函数的解析式；（中等学生回答） （2）确定该函数的图象与正比例函数y ＝kx 的图象另一个交点B 的坐标； 反比例函数与一次函数的综合应用 名师点金：反比例函数单独考查的时候很少，与一次函数综合考查的情况较多，其考查形式有：两种函数图象在同一坐标系中的情况，两种函数的图象与性质，两种函数图象的交点情况、交点坐标，用待定系数法求函数表达式及求与函数图象有关的几何图形的面积等． 反比例函数图象与一次函数图象的位 置判断 1．【2015·兰州】在同一直角坐标系中，一次函数y ＝kx －k 与反比例函数y ＝k x (k ≠0)的图 象大致是( ) 2．一次函数y ＝kx ＋b 与反比例函数y ＝k x (k ≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图象如 图所示，则k ，b 的取值范围是( ) A ．k >0，b >0 B ．k <0，b >0 C ．k <0，b <0 D ．k >0，b <0 (第2题) (第3题) (第4题) 反比例函数与一次函数的图象与性质 3．(中考·仙桃】如图，正比例函数y 1＝k 1x 和反比例函数y 2＝k 2 x 的图象交于A (1，2)，B 两点，给出下列结论： ①k 1 ③当x ＝1时，BC ＝2； ④两函数图象构成的图形是轴对称图形； ⑤当x 逐渐增大时，y 1随着x 的增大而增大，y 2随着x 的增大而减小． 其中正确结论的序号是____________． 反比例函数与一次函数的有关计算 类型1 利用点的坐标求面积 5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝2x ＋n 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，与双曲线y ＝4 x 在第一象限内交于点C (1，m )． (1)求m 和n 的值； (2)过x 轴上的点D (3，0)作平行于y 轴的直线l ，分别与直线AB 和双曲线y ＝4 x 交于点P ， Q ，求△APQ 的面积． 反比例函数的应用综合 练习及答案 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998 3 反比例函数的应用 教材跟踪训练 （一）填空题：（每空2分，共12分） 1．长方形的面积为60cm 2，如果它的长是ycm ，宽是xcm ，那么y 是x 的 函数关系，y 写成x 的关系式是 。 2．A 、B 两地之间的高速公路长为 途中是匀速直线运动，速度为v km/h 那么t 是v 的 函数，t 可以写成v 3是 ；反比例函数关系式是 。（二）选择题（5′×3＝15′） 1．三角形的面积为8cm 2（cm ） 之间的函数关系用图象来表示是 。 2．下列各问题中，两个变量之间的关系不是反比例函数的是 A ：小明完成100m 赛跑时，时间t （s ）与跑步的平均速度v （m/s ）之间的关系。 B ：菱形的面积为48cm 2，它的两条对角线的长为y （cm ）与x （cm ）的关系。 C ：一个玻璃容器的体积为30L 间的关系。 D ：压力为600N 时，压强p 与受力面积3．如图，A 、B 、C A 、B 、C 向xy S 1、S 2、S 3，则S 1、S 2、S 3的大小关系是A ：S 1＝S 2＞S 3 B ：S 1＜S 2＜S 3 C ：S 1＞S 2＞S 3 D ：S 1＝S 2＝S 3 （三）解答题（共21分） 1．（12分）如图所示是某一蓄水池每小时的排水量V （m 3/h ）与排完水池中的水所用的时间t(h)之间的函数关系图象。 ①请你根据图象提供的信息求出此蓄水池的蓄水量。 ②写出此函数的解析式 ③若要6h 排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少 ④如果每小时排水量是5m 3，那么水池中的水将要多少小时排 完 2．（9分）如图正比例函数y=k 1x 与反比例函数x y 2 =交于点A ，从A 向x 轴、y 轴分别作垂线，所构成的正方形的面积为4。 ①分别求出正比例函数与反比例函数的解析式。 ②求出正、反比例函数图象的另外一个交点坐标。 ③求△ODC 的面积。 综合应用创新 （一）学科内综合题 如图，Rt △ABO 的顶点A （a 、b ）是一次函数y=x+m 的图象与反比例函数k y =的图象在第一象限的交点，且S △ABO ＝3。 ①根据这些条件你能够求出反比例函数的解析式吗 如果能够，请你求出来，如果不能，请说明理由。 ②你能够求出一次函数的函数关系式吗如果能，请你求出来，如果不能，请你说明理由。 （二）学科间渗透综合题（15分） 一封闭电路中，当电压是6V 时，回答下列问题： （1）写出电路中的电流I(A)与电阻R(Ω)之间的函数关系式。 （2）画出该函数的图象。 D x y B A O C反比例函数应用教学反思
反比例函数与一次函数的综合运用
反比例函数的应用(含答案)
反比例函数的综合应用
53反比例函数的应用2
反比例函数的应用 教学设计
黄胜琼：反比例函数与一次函数综合应用教案
反比例函数与一次函数的综合应用(含答案)
反比例函数的应用综合练习及答案
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