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三角形边角关系-第3讲的角与边学

第三讲三角形的角与边

一、基础知识

本讲重点介绍三角形的边、角不等关系,包括同一个三角形中的边、角不等关系以及不同三角形中的边、角不等关系.

1.边与边的关系

(1)在同一个三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边(三边满足什么条件时,三角形必然存在?);

(2)勾股定理:即在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方.

2.角与角的关系

(1)三角形的内角和为180?;

(2)直角三角形中两锐角互余;

(3)三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角;

(4)三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和.

3.边和角的关系

(1)在同一个三角形中,大边对大角,大角对大边;

(2)在两个三角形中,如果有两条边对应相等,那么夹角大的所对的边也大;反之也成立,即在两个三角形中,如果有两条边对应相等,那么第三边大,则所对的角也大.

4.不等式变形时常用的性质

(1)若a>b,c>d,则a+c>b+d;

(2)若a>b,c>d,则a-d>b-c;

(3)若a>b,c>0,则ac>bc;

若a>b,c<0,则ac

(4)若a>b>0,则11 a b <

;

(5)总量大于任何一个部分量.

5.三角形中的不等关系根源:

(1)两点之间线段最短;

(2)垂线段最短.

二、例题

第一部分边的问题

例1. (★★希望杯训练题)将三边长为a,b,c的三角形记作(a,b,c).写出周长为20,各边长为正整数的所有不同的三角形.

例2. (★★★ 2000年希望杯竞赛题)一个三角形的三条边的长分别是a,b,c(a,b,c都是质数),且a+b+c=16,则这个三角形是()

A.直角三角形

B.等腰三角形

C.等边三角形

D.直角三角形或等腰三角形

例3. (★★★1998年江苏省竞赛题)在不等边三角形中,如果有一条边长等于另两条边长的平均值,那么最大边上的高与最小边上的高的比值的取值范围是( )

A.3

1 4

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k

<<

B.

1

1

3

k

<<

C.12

k

<< D.

1

1

2

k

<<

例4. (★★★1997年北京市竞赛题)等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm 两部分,则这个等腰三角形的底边的长为( )

A.17cm

B.5cm

C.17cm或5cm

D.无法确定

例5. (★★★)如图3-1,已知P为三角形ABC内一点,

求证:

1

()

2

AB AC BC PA PB PC AB AC BC

++<++<++.

例6. (★★★第三十二届美国邀请赛试题)不等边三角形ABC的两条高长度为4和12,若第三条高的长也是整数,试求它的长.

例7. (★★★)若三角形ABC 的三边长是a,b,c,且满足:

444224442244422,,a b c b c b c a a c c a b a b =+-=+-=+-,则ABC ?是( )

A.钝角三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.等边三角形

第二部分 角的问题

例8. (★★)如图3-4,在三角形ABC 中,042A ∠= ,ABC ∠和ACB ∠的三等分线分别交于D,E,求

BDC ∠的度数.

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例9. (★★★1999年重庆市竞赛题)三角形的三个内角分别为,,αβγ,且αβγ≥≥,2αγ=.则β的

取值范围是( )

A.003645β≤≤

B.004560β≤≤

C.006090β≤≤

D.004572β≤≤

例10. (★★★)如图3-7,延长四边形ABCD 对边AD,BC 交于F ;DC,AB 交于E,若AED ∠,AFB ∠平分线

交于O,求证:1()2EOF EAF BCD ∠=∠+∠

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第三部分边角综合

24,例11. (★★★ 2000年江苏省竞赛题)在锐角三角形ABC中,AB>BC>AC,且最大内角比最小内角大0 的取值范围是( ).

则A

例12. (★★★★)如图3-2,在三角形ABC中,AB>AC>BC,P为三角形内任意一点,连结AP并延长交BC于点D.

求证:(1)AB+AC>AD+BC;

(2)AB+AC>AP+BP+CP.

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例13. (★★★★)如图,在三角形ABC中,角A=90度,AD垂直于BC,求证:AB+AC

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例14.(★★★★)如图,在三角形ABC中,AC>AB,在CA上截取CD=AB,E,F分别是BC,AD的中点,连接EF 并延长交BA的延长线于G,求证:AF=AG

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例15. (★★★★★)设三角形的三个内角度数分别为A,B,C,相应的对边长分别为a,b,c,

求证:

60 aA bB cC

a b c

?++

++

三、练习题

1. (★★)设m,n,p均为自然数,满足m n p

≤≤,且m+n+p=15,试问以m,n,p为边长的三角形有多少个?

2.(★★ 1998年山东省竞赛题) 已知三角形三边的长均为整数,其中某两条边长之差为5,若此三角形周长为奇数,则第三边长的最小值为( )

** B.7 C.6 D.4

3.(★★★)一个三角形的周长为偶数,其中的两条边长分别为4和2003,则满足上述条件的三角形的个数为( )

A.1个

B.3个

C.5个

D.7个

4.(★ 2002,云南省中考题)两根木棒的长分别是7cm和10cm,要选择第三根木棒,将它们钉成一个三角形,若第三根木棒的长是acm,则a的取值范围是( ).

5. (★)ABC 的一个内角的大小是040,且A B ∠=∠,那么C ∠的外角的大小是( )

A.140?

B.80?或100?

C.100?或140?

D.80?或140?

6. (★★★)如图3-5,在ABC ?中,90ACB ?∠=,D,E 为AB 上的两点,若AE=AC,45DCE ?∠=则图中与BC 等长的线段是( ) A.CD B.BD C.CE D.AE-BE

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7. (★★★)如图3-6,在ABC ?中,B ∠的平分线与C ∠的外角平分线相交于D,40D ?

∠=.则A ∠等于

( )

A.50?

B. 60?

C. 70?

D.80?

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8. (★★ 第12届希望杯竞赛题)如图3-9,127.5?∠=,295?∠=,338.5?

∠=求4∠的大小.

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9. (★★★第5届希望杯竞赛题)如图3-8,BE 是ABD ∠的平分线,CF 是ACD ∠的平分线,BE 与CF 交于G,若140BDC ?∠=,110BGC ?

∠=,求A ∠的度数.

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10. (★★★★)如图,三角形ABC 中,AB=BC=CA,AE=CD,AD,BE 相交于P,BQ 垂直于AD 于Q ,求证:BP=2PQ

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课外小故事

五枚金币

有个叫阿巴格的人生活在内蒙古草原上.有一次,年少的阿巴格和他爸爸在草原上迷了路,阿巴格又累又怕,到最后快走不动了.爸爸就从兜里掏出5枚硬币,把一枚硬币埋在草地里,把其余4枚放在阿巴格的手上,说:“人生有5枚金币,童年、少年、青年、中年、老年各有一枚,你现在才用了一枚,就是埋在草地里的那一枚,你不能把5枚都扔在草原里,你要一点点地用,每一次都用出不同来,这样才不枉人生一世.今天我们一定要走出草原,你将来也一定要走出草原.世界很大,人活着,就要多走些地方,多看看,不要让你的金币没有用就扔掉.”在父亲的鼓励下,那天阿巴格走出了草原.长大后,阿巴格离开了家乡,成了一名优秀的船长.

珍惜生命,就能走出挫折的沼泽.