2021届高三数学第三次模拟考试试题

2021届高三数学第三次模拟

考试试题

一、选择题共8小题，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1. 设集合}01|{},,2|{2<-=∈==x x B R x y y A x ，则=?B A （ ）

A. （-1，1）

B. （0，1）

C. （-1，∞+）

D. （0，∞+）

2. 已知平面向量a ，b 满足2||,3||==b a ，a 与b 的夹角为120°，若a mb a ⊥+)(，则实数m 的值为（ ）

A. 1

B.

2

3

C. 2

D. 3

3. 在ABC ?中，A=60°，AC=4，32=BC ，则ABC 的面积为（ ）

A. 34

B. 4

C. 32

D. 22

4. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法。如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为（ ） A. 9

B. 18 `

C. 20

D. 35

5．若某多面体的三视图(单位：cm)如图所示，则此多面体的体积是( )

A.

378cm B. 323cm C. 356cm D. 31

2

cm 6．设a ，b∈R ，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

7．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是( )

A. 1 5

B.

2

5

C.

3

5

D.

4

5

8．如图，已知线段AB上有一动点D(D异于A，B)，线段CD⊥AB，且满足CD2=λAD·BD （λ是大于0且不等于1的常数），则点C的运动轨迹为( )

A.圆的一部分

B.椭圆的一部分

C.双曲线的一部分

D.抛物线的一部分

二、填空题共6小题。

9．已知实数m，n满足

5

46

2

mi

i

n i

+

=+

-

，则在复平面内，复数z=m+ni所对应的点位于第_____________象限．

10.若变量x，y满足

2,

239,

0,

x y

x y

x

+≤

?

?

-≤

?

?≥

?

则22

x y

+的最大值是____________.

11．已知圆C的参数方程为

cos,

sin2

x

y

θ

θ

=

?

?

=+

?

（θ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1，则直线截圆C所得的弦长是______________．

12．设F1，F2是双曲线

22

22

:1(0,0)

x y

C a b

a b

-=>>的两个焦点，P是C上一点，若12

6

PF PF a

+=，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为______________．13．如图所示：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1023个正方形，且其最大的正方形的边长为

2

2

，则其最小正方形的边长为____________．

14．设函数9()sin(4),[0,

]4

16

f x x x π

π

=+

∈，若函数()()y f x a a R =+∈恰有三个零点12,x x ，3123()x x x x <<，则123x x x ++的取值范围是____________．

三、解答题共6小题。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 15.函数2

()6cos

3sin 3(0)2

x

f x x ωωω=+->在一个周期内的图象如图所示，A 为图

象的最高点，B ，C 为图象与x 轴的交点，且△ABC 为正三角形．

(1)求ω 的值及函数f(x)的值域； (2)若083()5f x =

，且0102

(,)33

x ∈-，求f(x 0+1)的值．

16.某地区工会利用“健步行APP”开展健步走积分奖励活动．会员每天走5千步可获积分30分（不足5干步不积分），每多走2千步再积20分（不足2千步不积分）．记年龄不超过40岁的会员为A 类会员，年龄大于40岁的会员为B 类会员．为了解会员的健步走情况，工会从A ，B 两类会员中各随机抽取m 名会员，统计了某天他们健步走的步数，并将样本数据分为[3，5），[5，7），[7，9），[9，11），[11，13)，[13，15），[15，17)，[17，19)，[19，21]九组，将抽取的A 类会员的样本数据绘制成频率分布直方图，B 类会员的样本数据绘制成频率分布表（图、表如下所示）：

(1)求m 和a 的值；

(2)从该地区A 类会员中随机抽取3名，设这3名会员中健步走的步数在13千步以上（含13千步）的人数为X ，求X 的分布列和数学期望；

(3)设该地区A 类会员和B 类会员的平均积分分别为1X 和2X ，试比较1X 和2X 的大小（只需写出结论）．

17.如图，三棱柱ABC-DEF 的侧面BEFC 是边长为1的正方形，侧面BEFC⊥侧面ADEB ，AB =4，∠DEB=60°，G 是DE 的中点．

(1)求证：CE∥平面AGF; (2)求证：GB⊥平面BEFC ；

(3)在线段BC 上是否存在一点P ，使二面角P-GE-B 为45°，若存在，求BP 的长；若不存在，说明理由．

18.在平面直角坐标系xOy 中，动点E 到定点(1，0)的距离与它到直线x=-1的距离相等． (1)求动点E 的轨迹C 的方程；

(2)设动直线l ：y=kx+b 与曲线C 相切于点P ，与直线x=-1相交于点Q ．证明：以PQ 为直径的圆恒过x 轴上某定点．

19.己知函数f(x)=x 2

－alnx ，a∈R ． (1)若f(x)在x=1处取得极值，求a 的值； (2)求f(x)在区间[1，+∞)上的最小值；

(3)在(1)的条件下，若2

()()h x x f x =-，求证：当1

时．恒有4()

4()

h x x h x +<

-成立．

20.对于数列{}n a ，把a 1作为新数列{}n b 的第一项，把i a 或i a -（i=1，2，3，4，…，n ）作为新数列{}n b 的第i 项，数列{}n b 称为数列{}n a 的一个生成数列，例如，数列1，2，3，4，5的一个生成数列是1，-2，-3，4，5．已知数列{}n b 为数列*1()2n n N ??

∈?

???

的生成数列， n S 为数列{}n b 的前n 项和．

(1)写出S 3的所有可能值； (2)若生成数列{}n b 满足311

(1)78

n n S =

-，求数列{}n b 的通项公式； (3)证明：对于给定的n∈N *

，n S 的所有可能值组成的集合为

*12

21|,,22n k x x k N k --??=∈≤????

．

参考答案

1．(xx 高考山东理2)C

A={y|y>0}，B={x|-1-1}． 2．(xx 石景山一模文5)D 3．(xx 石景山一模理4)C 4．(xx 高考四川理6)B 5．(xx 石景山一模理5)A 6．(xx 石景山一模理7)C 7．(xx 高考浙江理9)B 8．(xx 石景山一模理8)B 9．三．

10. (xx 石景山一模理10) 10. 11. (xx 石景山一模理11) 2． 12．(xx 高考湖南理14) 3．

设P 为右支上的点，根据双曲线定义可知122PF PF a -=，又126PF PF a +=，所以124,2PF a PF a ==，而122F F c =，所以∠PF 1F 2=30°，由余弦定理

cos30°=222(4)(2)(2)242+-??a c a a c ，解得3c a

=．

13．（xx 石景山一模理13）

1

32

． 14．（xx 丰台一模理（改编）8）511,816ππ??

??

??

． 15．（xx 高考四川理18）(1) ,[23,23]4

π

-;(2)

76

5

． 16．(xx 丰台一模理17) (1)因为10

0.01m

=，所以m=1000． 因为

0.2n

m

=，所以n=200．所以a=400. 所以m=1000，a=400.

(2)由频率分布直方图可得，从该地区A 类会员中随机抽取1名会员，健步走的步数在l3千步以上（含13千步）的概率为

25

. 所以2~(3,)5

X B ，

03033227(0)()()55125P X C ==??=

;1

2133254(1)()()55125P X C ==??=; 21233236(2)()()55125P X C ==??=

;3

033328(3)()()55125

P X C ==??=. 所以，X 的分布列

26()355

E X =?

=. (3) 12X X <． 17．(xx 东城二模理17)

(1)连接CD 与AF 相交于H ，则H 为CD 的中点，连接HG ． 因为G 为DE 的中点， 所以HG∥CE.

因为CE ?平面AGF ，HG ?平面AGF ， 所以CE∥平面AGF.

(2)BE=1，GE=2，在△GEB 中，∠GEB=60°，BG=3， 因为BG 2

+ BE 2

=GE 2

,所以GB⊥BE．

因为侧面BEFC⊥侧面ADEB ，侧面BEFC ?侧面ADEB=BE ，GB ?平面ADEB, 所以GB⊥平面BEFC.

(3) BG ，BE ，BC 两两互相垂直，建立空间直角坐标系B-xyz.

假设在线段BC 上存在一点P ，使二面角P-GE-B 为45°． 平面BGE 的法向量m =(0，0，1)，

设(0,0,),[0,1],(3,0,0),(0,1,0)P G E λλ∈. 所以(3,0,),(3,1,0)GP GE λ=-=-.

设平面PGE 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0.n GP n GE ??=???=??所以30,

30.

x z x y λ?-+=??-+=??

令z=1，得,3

y x λ

λ==

，

所以平面PGE 的法向量为(

,,1)3

n λ

λ=．

因为1?=m n ，所以2

22

1113

2

λλ?

++?

=，解得3[0,1]2λ=∈，故32BP =. 因此在线段BC 上存在一点P ，使二面角P-GE-B 为45°，且3

2

BP =． 18. (xx 石景山一模理18) (1)设动点E 的坐标为(x ，y)，

由抛物线定义知，动点E 的轨迹是以(1，0)为焦点，x=-1为准线的抛物线， 所以动点E 的轨迹C 的方程为y 2

=4x.

(2)由2,4y kx b y x

=+??=?消去x 得：ky 2

－4y+4b=0．

因为直线l 与抛物线相切，所以△=16－16kb=0，即1b k

=． 所以直线l 的方程为1y kx k

=+

，

令x=-1，得1y kx k =-+

，所以1(1,)Q k k

--+． 设切点坐标00(,)P x y ，则2

00440ky y k -+=，解得:212(,)P k k

，

设2

221211(,0),()(1)()2-?=---+-+=+--m M m MQ MP m m k m m k k k k

,

所以当220,

10,

m m m ?+-=?-=?即m=1时，0?=MQ MP ,

所以MQ⊥MP，

所以以PQ 为直径的圆恒过x 轴上定点M(1，0). 19. (xx 东城一模文20)

(1)由f(x)=x 2

－alnx ，定义域为(0，+∞)， 得'()2a f x x x

=-

． 因为函数f(x)=x 2

－alnx 在x=1处取得极值， 所以f′（1）=0，即2-a=0，解得a=2． 经检验，满足题意，所以a=2．

(2)由(1)得22'()2a x a

f x x x x

-=-=，定义域为(0,)+∞．

当0a ≤时，有'()0f x >,()f x 在区间[1,)+∞上单调递增，最小值为f(1)=1；

当0

x =

，且012

a

<≤． 当(0,)2a x ∈时，'()0f x <,()f x 单调递减，当(,)2

a x ∈+∞时， '()0f x >,()f x 单调递增，

所以f(x)在区间[1，+∞)上单调递增，最小值为f(1)=1； 当a>2时，

12

a

>， 当(1,)2a x ∈时，'()0f x <,()f x 单调递减，当(,)2

a

x ∈+∞时，'()0f x >,()f x 单调递增，

所以函数f(x)在2a x =

时取得最小值(

)ln 2222

a a a a

f =-. 综上当a≤2时，f(x)在区间[1，+∞)上的最小值为1； 当a>2时，f(x)在区间[1，+∞)上的最小值为ln 222

a a a

-． (3)由h(x)=x 2

－f(x)得h(x)=2lnx ， 当1

时，0

4()

h x x h x +<

-，只需证[4()]4()x h x h x -<+，

即证44()1x h x x ->

+，即22

ln !x x x ->+. 设22

()ln 1

x x x x ?-=-+,

则2

22

12(1)(22)(1)'()(1)(1)

x x x x x x x x ?+---=-=++． 当1

时，'()0x ?>，所以()x ?在区间(1，e 2

)上单调递增．

所以当1

时，()(1)0x ??>=，即22

ln 01

x x x --

>+， 故4()

4()

h x x h x +<

-．

所以当1

时，4()

4()

h x x h x +<

-恒成立．

20．（xx 石景山一模理20）

(1)由已知，*111

,(,2)22n n b b n N n =

=∈≥， 所以2311

,48

b b =±=±，

由于1117111511131111,,,2488248824882488

++=+-=-+=--=

所以3S 可能值为1357

,,,8888.

(2)因为311

(1)78

n n S =-，

当n=1时，1233111

(1)788

b b b S ++==-=，

当n≥2时，32313333111111(1)(1)78788

n n n n n n n n b b b S S ----++=-=---=, 所以*

323131,8

n n n n

b b b n N --++=∈, 因为{}n b 是 12n ??

????

*()n N ∈的生成数列， 所以32313323131

11

;;222n n n

n n n

b b b ----=±

=±=± 所以*

323133231311111(421)()22288

n n n n n n n n b b b n N ----++=±±±=±±±=∈,

在以上各种组合中， 当且仅当*32313421,,()888

n n n n n n b b b n N --=

=-=-∈时，才成立． 所以*1

,32,2()1,322n

n n

n k b k N n k ?=-??=∈?

?-≠-??. (3) 23

11112222

n n S =

±±±±

共有1

2n -种情形． 2323111

11111

2222222

2

n n n S ----≤≤++++即12122n n n n S -≤≤，

又1232221

2n n n n n

S ---±±±

±=

，分子必是奇数，

满足条件121222

n n n n

x -≤≤的奇数x 共有1

2n -个， 设数列{}n a 与数列{}n b 为两个生成数列，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为T n ，从第二项开始比较两个数列，设第一个不相等的项为第k 项．

由于1

2k k k

a b ==

，不妨设0,0k k a b ><， 11()()n n k k n k k n S T a a a b b b ++-=++

+-++

+

12111111111

22()22()0222

22222

k k k n k k n n ++-≥?

-?+++

=?-?-=>， 所以，只有当数列{}n a 与数列{}n b 的前n 项完全相同时，才有n n S T =． 所以23111

1222

2

n n S =

±±±±

共有1

2n -种情形，其值各不相同，

所以n S 可能值必恰为135

21

,,,

,222

2

n n n n n -,共12n -个． 即n S 所有可能值集合为*121|,,22n n k x x k N k --??=

∈≤????

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