推荐学习高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形第六节正弦定理和余弦定理课后作业理
推荐学习高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形第六节正弦定理和余弦定理课后作业理
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【创新方案】2017届高考数学一轮复习 第四章 三角函数与解三角
形 第六节 正弦定理和余弦定理课后作业 理
[全盘巩固]
一、选择题
1．(2016·兰州模拟)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝2a sin
B ，则A ＝( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．75°
2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c ＝1，B ＝45°，cos A ＝3
5，
则b ＝( )
A.53
B.107
C.57
D.5214 3．钝角三角形ABC 的面积是1
2
，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )
A ．5 B. 5 C ．2 D ．1 4．(2016·渭南模拟)在△ABC 中，若a 2－b 2
＝3bc 且sin A ＋B sin B ＝23，则A ＝( )
A.
π6 B.π3 C.2π3 D.5π6
5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b c －a ＝sin A
sin C ＋sin B
，则B ＝( )
A.
π6 B.π4 C.π3 D.3π4
二、填空题
6．在△ABC 中，若b ＝2，A ＝120°，三角形的面积S ＝3，则三角形外接圆的半径为________．
7．(2015·广东高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π
6
，则b ＝________. 8．(2016·昆明模拟)在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝2，A 的角平分线AD ＝3，则AC ＝________.
三、解答题
9．(2015·安徽高考)在△ABC 中，∠A ＝3π
4
，AB ＝6，AC ＝32，点D 在BC 边上，AD
＝BD ，求AD 的长．
10．(2016·太原模拟)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且c ＝2，
C ＝π3
.
(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；
(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求A 的值．
[冲击名校]
1．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin
B )＝(c －b )sin
C ，则△ABC 面积的最大值为( )
A.
32 B.332
C. 3 D ．2 3 2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2
－c 2
，则tan C 等于( )
A.34
B.43 C ．－43 D ．－34
3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sin 2
A ＋sin 2
B ＋sin A sin
B ＝sin 2
C ，则a ＋b c
的取值范围为________．
4．在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2
c －b )sin C .
(1)求角A 的大小；
(2)若a ＝10，cos B ＝255，D 为AC 的中点，求BD 的长．
答 案 [全盘巩固]
一、选择题
1．解析：选A 因为在锐角△ABC 中，b ＝2a sin B ，由正弦定理得，sin B ＝2sin A sin
B ，所以sin A ＝12
，又0 2．解析：选C 因为cos A ＝35 ，所以sin A ＝1－cos 2 A ＝ 1－? ????352＝4 5 ，所以sin C ＝sin[180°－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45cos 45°＋3 5sin 45°＝ 7210.由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得b ＝172 10 ×sin 45°＝5 7. 3．解析：选B 由题意可得12AB ·BC ·sin B ＝12，又AB ＝1，BC ＝2，所以sin B ＝2 2， 所以B ＝45°或B ＝135°.当B ＝45°时，由余弦定理可得AC ＝AB 2 ＋BC 2 －2AB ·BC ·cos B ＝1，此时AC ＝AB ＝1，BC ＝2，易得A ＝90°，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去．所以B ＝135°.由余弦定理可得AC ＝AB 2 ＋BC 2 －2AB ·BC ·cos B ＝ 5. 4．解析：选A 因为sin A ＋B sin B ＝23，故sin C sin B ＝23，即c ＝23b ，cos A ＝ b 2 ＋c 2 －a 2 2bc ＝12b 2 －3bc 43b 2＝6b 2 43b 2 ＝32，所以A ＝π 6. 5．解析：选C 根据正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，得c －b c －a ＝sin A sin C ＋sin B ＝ a c ＋b ，即a 2 ＋c 2 －b 2 ＝ac ，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，故B ＝π 3. 二、填空题 6．解析：由面积公式，得S ＝12 bc sin A ，代入得c ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2 －2bc cos A ＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12，故a ＝23，由正弦定理，得2R ＝ a sin A ＝23 3 2 ，解得R ＝2. 答案：2 7．解析：在△ABC 中，∵sin B ＝12，0 6. 又∵B ＋C <π，C ＝π6，∴B ＝π6，∴A ＝π－π6－π6＝2π 3. ∵ a sin A ＝b sin B ，∴b ＝a sin B sin A ＝1. 答案：1 8．解析：如图，在△ABD 中，由正弦定理，得sin ∠ADB ＝ AB sin B AD ＝2×32 3 ＝ 22 .由题意知0°<∠ADB <60°，所以∠ADB ＝45°，则∠BAD ＝180°－∠B －∠ADB ＝15°，所以∠ BAC ＝2∠BAD ＝30°，所以∠C ＝180°－∠BAC －∠B ＝30°，所以BC ＝AB ＝2，于是由余弦 定理，得AC ＝AB 2 ＋BC 2 －2AB ·BC cos 120°＝2 2 ＋2 2 －22×2×? ?? ??－12＝6. 答案： 6 三、解答题 9．解：设△ABC 的内角∠BAC ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ， 由余弦定理得a 2 ＝b 2 ＋c 2 －2bc cos ∠BAC ＝(32)2＋62 －2×32×6×cos 3π4 ＝18＋36－(－36)＝90， 所以a ＝310. 又由正弦定理得sin B ＝b sin ∠BAC a ＝3310＝10 10 ， 由题设知0＜B ＜π 4， 所以cos B ＝1－sin 2 B ＝ 1－110＝31010 . 在△ABD 中，因为AD ＝BD ，所以∠ABD ＝∠BAD ， 所以∠ADB ＝π－2B ， 故由正弦定理得 AD ＝ AB ·sin B sin π－2B ＝6sin B 2sin B cos B ＝3 cos B ＝10. 10．解：(1)∵c ＝2，C ＝π3 ， ∴由余弦定理得4＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2 －ab . ∵△ABC 的面积等于3，∴1 2 ab sin C ＝3，∴ab ＝4， 联立? ?? ?? a 2 ＋b 2 －ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2. (2)∵sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ， ∴sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ，∴sin B cos A ＝2sin A cos A ， ①当cos A ＝0时，A ＝π2 ； ②当cos A ≠0时，sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ， 联立? ?? ?? a 2 ＋b 2 －ab ＝4，b ＝2a ，解得a ＝233，b ＝43 3 ， ∴b 2＝a 2＋c 2 .∵C ＝π3，∴A ＝π6. 综上所述，A ＝π2或A ＝π 6 . [冲击名校] 1．解析：选 C 由正弦定理得(2＋b )(a －b )＝(c －b )c ，即(a ＋b )(a －b )＝(c －b )c ， 即b 2 ＋c 2 －a 2 ＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.又A ∈(0，π)，所以A ＝π3 ，又b 2＋c 2－a 2 ＝bc ≥2bc －4，即bc ≤4，故S △ABC ＝12bc sin A ≤12×4×3 2＝3，当且仅当b ＝c ＝2时，等 号成立，则△ABC 面积的最大值为 3. 2．解析：选C 因为2S ＝(a ＋b )2 －c 2 ＝a 2 ＋b 2 －c 2 ＋2ab ，所以结合三角形的面积公式与余弦定理，得ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab ，即sin C －2cos C ＝2，所以(sin C －2cos C ) 2 ＝4，sin 2 C －4sin C cos C ＋4cos 2 C sin 2C ＋cos 2C ＝4，所以tan 2 C －4tan C ＋4tan 2 C ＋1＝4，解得tan C ＝－4 3 或tan C ＝0(舍去)，故选C. 3．解析：由正弦定理得a 2 ＋b 2 －c 2 ＝－ab ，∴由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－1 2 ， ∴C ＝2π3.由正弦定理得a ＋b c ＝sin A ＋sin B sin C ＝233·(sin A ＋sin B )，又A ＋B ＝π 3， ∴B ＝π3－A ，∴sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin ? ????π3－A ＝sin ? ????A ＋π3.又0 2π3，∴sin A ＋sin B ∈? ????32，1，∴a ＋b c ∈? ????1，233. 答案：? ????1，233 4．解：(1)因为2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C ， 由正弦定理得2a 2 ＝(2b －c )b ＋(2c －b )c ，整理得2a 2 ＝2b 2 ＋2c 2 －2bc ， 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2bc 2bc ＝2 2 ， 因为A ∈(0，π)，所以A ＝ π 4 . (2)由cos B ＝255 ，得sin B ＝1－cos 2 B ＝ 1－45＝55 ， 所以cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－? ????22 ×25 5－22×55＝－1010. 由正弦定理得b ＝ a sin B sin A ＝10×55 22 ＝2，所以CD ＝1 2 AC ＝1， 在△BCD 中，由余弦定理得BD 2 ＝(10)2＋12 －2×1×10×? ?? ?? －1010＝13，所以BD ＝13.