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高考中常用函数模型归纳及应用

高考中常用函数模型归纳及应用
高考中常用函数模型归纳及应用

高考中常用函数模型....

归纳及应用 一. 常数函数y=a

判断函数奇偶性最常用的模型,a=0时,既是奇函数,又是偶函数,a ≠0时只是偶函数。关于方程解的个数问题时常用。

例1.已知x ∈(0, π],关于方程2sin(x+

3

π

)=a 有两个不同的实数解,则实数a 的取植范围是( )A .[-2,2] B.[

3,2] C.( 3,2] D.( 3,2)

解析;令y=2sin(x+3π

), y=a 画出函数y=2sin(x+3

π

),y=a 图象如图所示,若方程有两个不同的解,则两个函数图象有两个不同的交点,

由图象知( 3,2),选D

二. 一次函数y=kx+b (k ≠0)

函数图象是一条直线,易画易分析性质变化。常用于数形结合解决问题,及利用“变元”或“换元”化归

为一次函数问题。有定义域限制时,要考虑区间的端点值。

例2.不等式2x 2

+1≤m(x-1)对一切│m │≤2恒成立,则x 的范围是( )

A .-2≤x ≤2 B.

4

31- ≤x ≤0 C.0≤x ≤

47

1+ D.

4

7

1-≤x ≤

4

1

3- 解析:不等式可化为m(x-1)- 2x 2

+1≥0 设f(m)= m(x-1)- 2x 2

+1

若x=1, f(m)=-3<0 (舍) 则x ≠1则f(m)是关于m 的一次函数,要使不等式在│m │≤2条件下恒成立,只需?

?

?≥-≥0)2(0

)2(f f ,解之可得答案D

三. 二次函数y=ax 2

+bx+c (a ≠0)

二次函数是应用最广泛的的函数,是连接一元二次不等式和一元二次方程的纽带。很多问题都可以化归和转化成二次函数问题。比如有关三次函数的最值问题,因其导数是二次函数,最后的落脚点仍是二次函数问题。

例3.(1).若关于x 的方程x 2

+ax+a 2

-1=0有一个正根和一个负根,则a 的取值范围是( ) 解析:令f(x)= x 2

+ax+a 2

-1由题意得f(0)= a 2

-1 <0,即-1<a <1即可。

一元二次方程的根分布问题可借助二次函数图象解决,通常考虑二次函数的开口方向,判别式对称轴与根的位置关系,端点函数值四个方面。也可借助韦达定理。

例4.函数f(x)= x 2

-4x-4在闭区间[t,t+1] t ∈R 上的最小值记为g(t),试求g(t)的表达式。 解:f(x)=(x-2)2

-8,当t >2时,f(x)在[t,t+1]上是增函数∴g(t)= f(t)=t 2

-4t-4 当t ≤2≤t+1即1≤t ≤2时,g(t)= f(2)=-8 当t+1<2即t <1时,f(x)在[t,t+1]上是减函数

g(t)= f(t+1)= t 2

-2t-7,从而g(t)=??

???>--≤≤-<--)2(44)21(8)1(7222t t t t t t t

评:二次函数在闭区间上的最值问题是历年高考的热点,它的对称轴能确定二次函数的单调区间,二次函数与对数函数的综合性题目是常考的交汇点之一。该题中,对称轴x=2确定,而区间[t,t+1]不确定即“定轴不定区间”,二者的位置关系有三种情况。类似问题还有“定区间不定轴”、“不定轴不定区间”问题,但方法都一样,“讨论对称轴和区间的位置关系”。 例5.①如果函数y=a

x

2+2a x

-1(a>0且a ≠1) 在区间[-1,1]上的最大值是14,求a 的值。

②.f(x)=-sin 2

x+sinx+a,若1≤f(x) ≤

4

17

对一切x ∈R 恒成立,求a 的取值范围。

以上两个问题都可以利用换元法转化为二次函数来解决,换元过程中注意──等价性,即保证“旧元”和“新元”取值范围的统一。解题过程略。 答案:①.a=3或

3

1

②3≤a ≤4 例6.已知a,b 为常数,且a>0,f(x)=x 3

+

2

3(1-a)x 2

-3ax+b

(1).若函数f(x)的极大值是2,求a 和b 的关系式

(2).若函数f(x)的极大值是2,且在区间[0,3]上的最小值是-2

23

,求a 和b 的值。 解答过程略。答案:(1).3a+2b=3 (2).a=2,b=-2

3

四. 绝对值函数y=│x │

这是偶函数,是画y=a │x │(a ≠0)图象的基础,当a>0时,开口向上;当 a<0时,开口向下。

例7.画出函数y=︱︱︱x ︱-1︱-1│

按照以下的变换的方式即可:y=│x │→ y=│x │-1 → y=︱︱x ︱-1︱→

y=︱︱x ︱-1︱-1

→ y=︱︱︱x ︱-1︱-1│︳, 答案如上图所示。

例8.函数y=a │x │和y=x+a 图象恰有两个交点,则a 的取值范围是( )

A.(1,+∞)

B.(-1,1)

C.(-∞,-1]∪[1,+∞)

D. (-∞,-1)∪(1,+∞) 解析:(ⅰ)若a=0, y=a │x │=0与y=x 只有一个交点; (ⅱ) 若0<a ≤1,则y=a │x │和y=x+a 只有一个交点; (ⅲ)若a >1, 则y=a │x │和y=x+a 有两个交点; (ⅳ)若-1≤a <0,则y=a │x │和y=x+a 只有一个交点; (ⅴ)若a <-1,则y=a │x │和y=x+a 有两个交点; 选D 五. 折线函数y=︱x-a ︱+︱x-b ︱和y=︱x-a ︱-︱x-b ︱ (a <b)

根据绝对值的定义可以先把这两个函数可以化成分段函数的形式,比如y=︱x-a ︱+

︱x-b ︱=

??

?

??<--≤≤-<-+)(2)()

(2x b b a x b x a a b a x x b a 然后再画函数图象。它们的图象分别是

也可根据绝对值的意义进一步把握,y=︱x-a ︱+︱x-b ︱表示数轴上任意一点x 到a 和b 的距离的和。

例9.若不等式︱x+3︱-︱x-2︱>a 有解,求a 的取值范围

解析:方法Ⅰ:︱x+3︱-︱x-2︱表示数轴上的点(x ,0)到点(-3,0)和(2,0)的距离的差的最大植是5,所以,要使不等式︱x+3︱-︱x-2︱>a 有解,只需a<5。方法二;图象法,略 六.函数y=ax+

x

b (a ≠0,b ≠0)

当a >0,b >0时,函数图象如下图所示,从图象可以知道它的单调性,在(-∞,-

a

b )和

a

b , +∞)单调递增,在(-

a

b ,0)和(0,

a

b )单调递

减;这种情形下的图象最好记住,在平常练习题中常用。 当a >0,b <0时,函数在(-∞,0)和(0,+∞)单调递增;

当a <0,b >0时,函数在(-∞,0)和(0,+∞)单调递减;

当a <0,b <0时,函数在(-∞,-

a

b )和(

a

b ,+∞)单调递减,在(-

a

b ,0)和(0,

a

b )单

调递增。其中最简单最常用的函数是y=x+x

1,能利用均值不等式求最值的,可利用均值不等式,不能利用

的常借助于函数的单调性解决。 函数y=ax+

x

b 的渐进线是y=ax ,可以辅助做图。

例10.某大型企业的员工每天的用餐需要消耗大米4000kg ,该企业采购大米的市场价格是每千克3元,企业仓库最多储存56000kg 的大米,一次采购大米超过32000kg ,而不超过56000kg,需付运费256元,大米的保管费用是每1000kg 每天2元,(该企业规定不使用当天的采购的大米)设企业一次采购的大米可供员工用餐的天数为x ,企业平均每天所付的大米费用(包括买米费,运费,保管费)之和为y 元。

(1) 试写出y 与x 的函数关系式。

(2) 该企业一次采购多少天所需的大米,使每天所付的大米费用最少? 解:企业x 天所需大米4000xkg ,其保管费用为

1000

2

(x+x-1+……+2+1)=4x(x+1)

(1) Ⅰ当0<x ≤8, x ∈N 时, y=

x

1[4x(x+1) +196]+3*4000=

x 196

+4x+12004 Ⅱ当9≤x ≤14 x ∈N,时, y= [4x(x+1) +256]+3*4000=x

256

+4x+12004

所以y=???????≤≤++≤++14812004425680120044196

x x x

x x x

〈 x ∈N

(2) Ⅰ.当0<x ≤8, x ∈N 时,y=

x 196+4x+12004≥2x x

4*196

+12004=12060(元)当且仅当x 196=4x 即 x=7时取等号,y 的最小值为12060元。

Ⅱ.当9≤x ≤14 x ∈N,时, y=x 256

+4x+12004 利用函数的单调性定义易证函数在[9,14]上为增函数,当x=9时,函数有最小值1206894元。因为12060<120689

4

,故该企业一次采购7天所需的大米,能使

平均每天所付的费用最少。 七. 指数函数y=a x

(a>0且a ≠1) 熟记函数y=2x

和y=(

2

1

)

x

的图象,因为它们分别代表着01两种情况,根据图象可以归纳函

数的性质,并且也是题目中出现次数较多的指数函数。这组图象都关于y 轴对称。熟记函数值的分布。 例11.已知函数y=(

3

2)

11

62+-x x

1求函数的定义域和值域 ○

2确定函数的单调递增区间

解析;○

1设t=x 2

-6x+11, y=(3

2

)t ,根据指数函数的定义域知该函数的定义域为R,函数t=x 2

-6x+11在R

上的值域是[2,+∞),所以,y=(

3

2

)t

的值域是(0,

9

4]

○2结合○1,t=x 2

-6x+11在R 上的单调递减区间是(-∞,3),y=(3

2

)t

在[2,+∞)上单调递减,故

原函数的递增区间是(-∞,3)。

点评:复合函数y=(

3

2

)

11

62+-x x 通过换元转化成两个比较熟悉的函数t=x 2

-6x+11, y=(

3

2)t

,结合它们

各自的单调性和复合函数的单调性“同增异减”,就比较容易地解决这类问题。 八. 对数函数y= log a x (a>0且a ≠1)

类似于指数函数,对数函数应该熟记y=log 2

1x 和y=log 2x 的函数图象和性质,二者图象关于x 轴对称。

与指数函数不同的是定义域(0,+∞),这一点极易忽略。熟记函数值的分布,有利于比较数的大小及判断对数值的正负

例12.函数y=log a (2-ax)在区间[0,1]上是减函数,求实数a 的取值范围。 解:要使函数有意义需满足2-ax>0,有ax<2 ∵a>0,a ≠1∴x<

a 2∴函数的定义域是(-∞, a

2

)∵函数的递减区间[0,1]必在定义域内 故2-a>0, 即a<2

若1

解简单的指数不等式和对数不等式,常用“同底法”,常用以下代换1=a 0

、0=log a 1、1=log a a 。

九. 幂函数

熟记以下函数的图象和性质:y=x

1 y=x 3,y=x 2

-,y=x 即可应付,高考试题和平时练习中经常出现,y=x 是幂函数α>0

中图象上凸或下凸的分水岭。幂函数在中学教材中反复出现和删除,但前面的y=x

1

y=x 3

,y=

x 一直应用着。

例13.函数y=

1

2--x x

的图象关于点 对称 解析:分离常数:y=12--x x =-1+11-x ,结合函数y=x

1

的对称中心是(0,0),函数

y=

1

2--x x

的图象可由y=x 1向右向下各平移一个单位得到,故y=1

2--x x 的对称中心是(1,-1)

再如求

下列函数的值域:○1y=1

22+--x x x

x ○2y=1sin sin +x x ,通过变形处理,换元,可以利用函数模型

y=

x

1

值域。答案:○1[-

31,1] ○2[2

1,1)

十.正弦函数余弦函数正切函数

熟记y=sinx 、y=cosx 、y=tanx 的图象和性质(包括:周期性,单调性,奇偶性,符号区间,对称轴和对称中心),是推知y=Asin(φω+x )+b 、y=Acos(φω+x )+b 、y=Atan(φω+x )+b (其中A ,ω>0,φ,b ∈R)这三大类函数图象和性质的基础。运用整体思想,把φω+x 作为整体,进行处理该类问题是通法。

三角换元中常利用这三类函数,一定要恰到好处地选择角的范围,常取[-2π,2π]、[0,π]、[0,2

π

]。 例14.(2005年全国高考卷Ⅰ)设f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),y= f(x) 一条对称轴是直线x=8

π

⑴求φ的值。⑵求函数y= f(x)的单调递增区间。 解:⑴∵直线x=

8

π是函数y= f(x)的对称轴∴sin(2*

8π+φ)=±1,则4π+φ=k π+2

π

k ∈Z ∵-π<φ<0∴φ=-π4

3

,

⑵由⑴知φ=-

π43,因此y= sin(2x-π43)由题意得,2k π-2π≤2x-π43≤2 k π+2π

k ∈Z 解之可得:k π+8π ≤x ≤k π+85π k ∈Z 所以函数的单调递增区间是[k π+8π ,k π+8

] k ∈Z

例15.求函数y=x+2

5x -值域

解:令x=

55sin α(-

2

2

π

απ

<

<)得y=

5sin α+5cos α=10sin(α+

4

π

), ∵-

4π≤α≤4

3π,于是-

2

2

≤sin(α+

4π)≤1,-5≤10sin(α+4

π

)≤10 ∴函数的值域是[-

5,10]

评析:该题也可以令x=5cos α,α 的取值范围相应地改为[0,π]

高中数学:函数模型及其应用练习

高中数学:函数模型及其应用练习 1.已知正方形ABCD的边长为4,动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动.设点P 运动的路程为x,△ABP的面积为S,则函数S=f(x)的图象是(D) 解析:依题意知当0≤x≤4时,f(x)=2x;当4<x≤8时,f(x)=8;当8<x≤12时,f(x)=24-2x,观察四个选项知D项符合要求. 2.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据,现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是(B) x 1.99234 5.15 6.126 y 1.517 4.041 87.51218.01 A.y=2x-2 B.y=1 2(x 2-1) C.y=log2x D.y=log 1 2x 解析:由题中表可知函数在(0,+∞)上是增函数,且y的变化随x的增大而增大的越来越快,分析选项可知B符合,故选B. 3.我们定义函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)为“下整函数”;定义y={x}({x}表示不小于x的最小整数)为“上整函数”;例如[4.3]=4,[5]=5;{4.3}=5,{5}=5.某停车场收费标准为每小时2元,即不超过1小时(包括1小时)收费2元,超过一小时,不超过2小时(包括2小时)收费4元,以此类推.若李刚停车时间为x小时,则李刚应付费为(单位:元)(C) A.2[x+1] B.2([x]+1) C.2{x} D.{2x} 解析:如x=1时,应付费2元,此时2[x+1]=4,2([x]+1)=4,排除A、B;当x=0.5时,付费为

2元,此时{2x }=1,排除D,故选C. 4.(福建质检)当生物死亡后,其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时,用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到,则它经过的“半衰期”个数至少是( C ) A .8 B .9 C .10 D .11 解析:设死亡生物体内原有的碳14含量为1,则经过n (n ∈N *)个“半衰期”后的含量为? ???? 12n , 由? ?? ?? 12n <11 000得n ≥10.所以,若探测不到碳14含量,则至少经过了10个“半衰期”.故选C. 5.(贵州遵义模拟)某企业为节能减排,用9万元购进一台新设备用于生产,第一年需运营费用2万元,从第二年起,每年运营费用均比上一年增加3万元.该设备每年生产的收入均为21万元.设该设备使用了n (n ∈N *)年后,盈利总额达到最大值(盈利总额等于总收入减去总成本),则n 等于( B ) A .6 B .7 C .8 D .7或8 解析:盈利总额为21n -9-?????? 2n +12×n (n -1)×3=-32n 2+412n -9.因为其对应的函数的图 象的对称轴方程为n =41 6.所以当n =7时取最大值,即盈利总额达到最大值,故选B. 6.已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元.某食品加工厂对饼干采用两种包装,包装费用、销售价格如下表所示: ①买小包装实惠;②买大包装实惠;③卖3小包比卖1大包盈利多;④卖1大包比卖3小包盈利多.

高中数学函数模型及其应用练习题(含答案)

高中数学函数模型及其应用练习题(含答案) 数学必修1(苏教版) 2.6 函数模型及其应用 某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售量,尽快减少库存,商场决定采取适当降价措施,经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件,于是商场经理决定每件衬衫降价15元,经理的决定正确吗? 基础巩固 1.某商场售出两台取暖器,第一台提价20%以后按960卖出,第二台降价20%以后按960元卖出,这两台取暖器卖出后,该商场() A.不赚不亏B.赚了80元 C.亏了80元D.赚了160元 解析:960+960-9601+20%-9601-20%=-80. 答案:C 2.用一根长12 m的铁丝折成一个矩形的铁框架,则能折成的框架的最大面积是__________. 解析:设矩形长为x m,则宽为12(12-2x) m,用面积公式可得S的最大值. 答案:9 m2 3.在x g a%的盐水中,加入y g b%的盐水,浓度变为c%,

则x与y的函数关系式为__________. 解析:溶液的浓度=溶质的质量溶液的质量=xa%+yb%x+y= c%,解得y=a-cc-bx=c-ab-cx. 答案:y=c-ab-cx 4.某服装个体户在进一批服装时,进价已按原价打了七五折,他打算对该服装定一新标价在价目卡上,并说明按该价的20%销售.这样仍可获得25%的纯利,求此个体户给这批服装定的新标价y与原标价x之间的函数关系式为________ 解析:由题意得20%y-0.75x=0.7x25%y=7516x. 答案:y=7516x 5.如果本金为a,每期利率为r,按复利计算,本利和为y,则存x期后,y与x之间的函数关系是________. 解析:1期后y=a+ar=a(1+r); 2期后y=a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2;…归纳可得x期后y =a(1+r)x. 答案:y=a(1+r)x 6.一批设备价值a万元,由于使用磨损,每年比上一年价值降低b%,n年后这批设备的价值为________万元. 解析:1年后价值为:a-ab%=a(1-b%),2年后价值为:a(1-b%)-a(1-b%)b%=a(1-b%)2, n年后价值为:a(1-b%)n.

函数模型的应用实例 说课稿 教案 教学设计

函数模型的应用实例 课型:新授课 教学目标 能够利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题,进一步感受运用函数概念建立函数模型的过程和方法,对给定的函数模型进行简单的分析评价. 二、教学重点 重点:利用给定的函数模型或建立确定性质函数模型解决实际问题. 难点:将实际问题转化为数学模型,并对给定的函数模型进行简单的分析评价. 三、学法与教学用具 1.学法:自主学习和尝试,互动式讨论. 2.教学用具:多媒体 四、教学设想 (一)创设情景,揭示课题. 现实生活中有些实际问题所涉及的数学模型是确定的,但需我们利用问题中的数据及其蕴含的关系来建立.对于已给定数学模型的问题,我们要对所确定的数学模型进行分析评价,验证数学模型的与所提供的数据的吻合程度. (二)实例尝试,探求新知 例1.一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示. 1)写出速度v关于时间t的函数解析式; 2)写出汽车行驶路程y关于时间t的函数关系式,并作图象; 3)求图中阴影部分的面积,并说明所求面积的实际含义; 4)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km,试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s与时间t的函数解析式,并作出相应的图象. 本例所涉及的数学模型是确定的,需要利用问题中的数据及其蕴含的关系建立数学模型,此例分段函数模型刻画实际问题. 教师要引导学生从条块图象的独立性思考问题,把握函数模型的特征. 注意培养学生的读图能力,让学生懂得图象是函数对应关系的一种重要表现形式. 例2.人口问题是当今世界各国普遍关注的问题,认识人口数量的变化规律,可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798,英国经济家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型: 0rt y y e 其中t表示经过的时间, y表示t=0时的人口数,r表示人口的年均增长率.下表是1950~1959年我国的人口数据资料:(单位:万人) 年份1950 1951 1952 1953 1954 人数55196 56300 57482 58796 60266 年份1955 1956 1957 1958 1959

《函数模型及其应用》同步训练题

《函数模型及其应用》同步训练题 一、选择题 1、某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的关系式为y=5x+4 000,而手套出厂价格为每副10元,则该厂为了不亏本,日产手套至少为( ) A.200副B.400副 C.600副D.800副 2、某厂原来月产量为a,一月份增产10%,二月份比一月份减产10%,设二月份产量为b,则( ) A.a=b B.a>b C.a

4、拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费f(m)=1.06·(0.50×[m]+1),其中m>0,[m]是大于或等于m的最小整数(如[3]=3,[3.7]=4,[5.1]=6),则从甲地到乙地通适时间为5.5分钟的通话费为( ) A.3.71 B.3.97 C.4.24 D.4.77 5、1992年底世界人口数达到54.8亿,若人口的年平均增长率为x%,设2010年底世界人口数为y(亿),那么y与x的函数解析式为( ) A.y=54.8(1+x%)18B.y=54.8(1+x%)19 C.y=54.8(x%)18 D.y=54.8(x%)19 6、今有一组实验数据如表所示: A.u=log2t B.u=2t-2 实用文档

实用文档 C .u =t 2-1 2 D .u =2t -2 7、若x ∈(0,1)则下列结论正确的是( ) A .2x >x 12 >lgx B .2x >lgx>x 12 C .x 12>2x >lgx D .lgx>x 1 2 >2x 8、某商店某种商品进货价为每件40元,当售价为50元时,一个月能卖出500件.通过市场调 查发现,若每件商品的单价每提高1元,则该商品一个月的销售量会减少10件.商店为使销售商品 的月利润最高,应将该商品每件定价为( ) A .70元 B .65元 C .60元 D .55元 9、向高为H 的水瓶中注水,注满为止.如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图所示,那 么水瓶的形状是( )

高中数学3.2.2函数模型的应用举例(2)教案新人教版必修1

322 (2)函数模型的应用实例(教学设计) 教学目标: 知识与技能:能够找出简单实际问题中的函数关系式,初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题. 过程与方法:感受运用函数概念建立模型的过程和方法,体会一次函数、二次函数模型在数学和其他学科中的重要性. 情感、态度、价值观:体会运用函数思想和处理现实生活和社会中的简单问题的实用价值. 教学重点难点: 重点运用一次函数、二次函数模型的处理实际问题. 难点运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题. 一、新课引入: 2003年5月8日,西安交通大学医学院紧急启动“建立非典流行趋势预测与控制策略数学模型”研究项目. 67岁的马知恩教授率领一批专家昼夜攻关,于5月19日初步完成了第一批成果,并制成了可供决策部门参考的应用软件. 这一数学模型利用实际数据拟合参数,并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算仿真.结果指出,将患者及时隔离对于抗击非典至关重要?分析报告说,就全国而论,若非典病人延迟隔离1天,就医人数将增加1000人左右,推 迟两天约增加2100人左右;若外界输入1000人中包含一个病人和一个潜伏病人,将增加患病人数100人左右;若4月21日以后,政府未采取隔离措施,则高峰期病人人数将达60万人. 这项研究在充分考虑传染病的一般流行机制、非典的特殊性、我国政府所采取的一系列强有力措施的基础上,根据疾病控制中心每日发布的数据,利用统计学的方法和流行病传播机理建立了非典流行趋势预测动力学模型和 优化控制模型,并对非典未来的流行趋势做了分析预测. 二、师生互动,新课讲解: 例1 :(课本第104页例5)某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价是5元,销售单价与日均销售量的关系如下表所示, 请根据以上数据作出分析,这个经营部怎样定价才能获得最大利润? 解:(课本P104) 课本第104页表3-9中数据的变化是有特定规律的,教学时应注意引导学生分析问题所提供的数据特点,由数据特点抽象出函数模型.同时,应注意变量的变化范围,并以此检验结果的合理性. 例2 :(课本第105页例6)某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表: (身高:cm;体重:kg) 2 )若体重超过相同身高男性体重平均值的 1.2倍为偏胖,低于0.8倍为偏瘦,那么这个地区一名身高为175cm,体重为78kg的在校男生的体重是否正常?

2019-2020年高中数学 第三章函数的应用§3.2.2函数模型的应用实例(Ⅲ)教案 新人教A版必修1

2019-2020年高中数学第三章函数的应用§3.2.2函数模型的应用实例 (Ⅲ)教案新人教A版必修1 一、教学目标 1、知识与技能能够收集图表数据信息,建立拟合函数解决实际问题。 2、过程与方法体验收集图表数据信息、拟合数据的过程与方法,体会函数拟合的思想方法。 3、情感、态度、价值观深入体会数学模型在现实生产、生活及各个领域中的广泛应用及其重要价值。 二、教学重点、难点: 重点:收集图表数据信息、拟合数据,建立函数模解决实际问题。 难点:对数据信息进行拟合,建立起函数模型,并进行模型修正。 三、学学与教学用具 1、学法:学生自查阅读教材,尝试实践,合作交流,共同探索。 2、教学用具:多媒体 四、教学设想 (一)创设情景,揭示课题 2003年5月8日,西安交通大学医学院紧急启动“建立非典流行趋势预测与控制策略数学模型”研究项目,马知恩教授率领一批专家昼夜攻关,于5月19日初步完成了第一批成果,并制成了要供决策部门参考的应用软件。 这一数学模型利用实际数据拟合参数,并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算仿真,结果指出,将患者及时隔离对于抗击非典至关重要、分析报告说,就全国而论,菲非典病人延迟隔离1天,就医人数将增加1000人左右,推迟两天约增加工能力100人左右;若外界输入1000人中包含一个病人和一个潜伏病人,将增加患病人数100人左右;若4月21日以后,政府示采取隔离措施,则高峰期病人人数将达60万人。 这项研究在充分考虑传染病控制中心每日工资发布的数据,建立了非典流行趋势预测动力学模型和优化控制模型,并对非典未来的流行趋势做了分析预测。 本例建立教学模型的过程,实际上就是对收集来的数据信息进行拟合,从而找到近似度比较高的拟合函数。 (二)尝试实践探求新知 例1.某地区不同身高的未成年男性的体重平均值发下表 (身高:cm;体重:kg) 1)根据表中提供的数据,建立恰当的函数模型,使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重与身高ykg与身高xcm的函数模型的解析式。 2)若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖,低于0.8倍为偏瘦,那么这个地区一名身高为175cm ,体重为78kg的在校男生的体重是事正常? 探索以下问题:

函数模型的应用实例(Ⅲ)

函数模型的应用实例(Ⅲ) 一、教学目标 1、知识与技能能够收集图表数据信息,建立拟合函数解决实际问题。 2、过程与方法体验收集图表数据信息、拟合数据的过程与方法,体会函数拟合的思想方法。 3、情感、态度、价值观深入体会数学模型在现实生产、生活及各个领域中的广泛应用及其重要价值。 二、教学重点、难点: 重点:收集图表数据信息、拟合数据,建立函数模解决实际问题。 难点:对数据信息进行拟合,建立起函数模型,并进行模型修正。 三、学学与教学用具 1、学法:学生自查阅读教材,尝试实践,合作交流,共同探索。 2、教学用具:多媒体 四、教学设想 (一)创设情景,揭示课题 2003年5月8日,西安交通大学医学院紧急启动“建立非典流行趋势预测与控制策略数学模型”研究项目,马知恩教授率领一批专家昼夜攻关,于5月19日初步完成了第一批成果,并制成了要供决策部门参考的应用软件。 这一数学模型利用实际数据拟合参数,并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算仿真,结果指出,将患者及时隔离对于抗击非典

至关重要、分析报告说,就全国而论,菲非典病人延迟隔离1天,就医人数将增加1000人左右,推迟两天约增加工能力100人左右;若外界输入1000人中包含一个病人和一个潜伏病人,将增加患病人数100人左右;若4月21日以后,政府示采取隔离措施,则高峰期病人人数将达60万人。 这项研究在充分考虑传染病控制中心每日工资发布的数据,建立了非典流行趋势预测动力学模型和优化控制模型,并对非典未来的流行趋势做了分析预测。 本例建立教学模型的过程,实际上就是对收集来的数据信息进行拟合,从而找到近似度比较高的拟合函数。 (二)尝试实践探求新知 例1.某地区不同身高的未成年男性的体重平均值发下表 (身高:cm;体重:kg) 1)根据表中提供的数据,建立恰当的函数模型,使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重与身高ykg与身高xcm的函数模型的解析式。 2)若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖,低于0.8倍为偏瘦,那么这个地区一名身高为175cm ,体重为78kg的在校男

函数模型及其应用

2021年新高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》 函数模型及其应用 1.几类函数模型 函数模型函数解析式 一次函数模型f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0) 反比例函数模型f(x)= k x+b(k,b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c (a,b,c为常数,a≠0) 指数函数模型 f(x)=ba x+c (a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1) 对数函数模型 f(x)=b log a x+c (a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1) 幂函数模型f(x)=ax n+b (a,b为常数,a≠0) 2.三种函数模型的性质 函数 性质 y=a x(a>1) y=log a x(a>1) y=x n(n>0) 在(0,+∞)上 的增减性 单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表 现为与y轴平行 随x的增大逐渐表 现为与x轴平行 随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0,当x>x0时,有log a x

题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)某种商品进价为每件100元,按进价增加10%出售,后因库存积压降价,若按九折出售,则每件还能获利.( × ) (2)函数y =2x 的函数值比y =x 2的函数值大.( × ) (3)不存在x 0,使0x a 0,b ≠1)增长速度越来越快的形象比喻.( × ) 题组二 教材改编 2.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示,则下列说法中错误的是( ) A .收入最高值与收入最低值的比是3∶1 B .结余最高的月份是7月 C .1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同 D .前6个月的平均收入为40万元 答案 D 解析 由题图可知,收入最高值为90万元,收入最低值为30万元,其比是3∶1,故A 正确;由题图可知,7月份的结余最高,为80-20=60(万元),故B 正确;由题图可知,1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同,故C 正确;由题图可知,前6个月的平均收入为1 6 ×(40+60+30+30+50+60)=45(万元),故D 错误.

第17讲 函数模型的应用实例(基础)

函数模型的应用实例 【学习目标】 1.能够找出简单实际问题中的函数关系式,应用指数函数、对数函数模型解决实际问题,并初步掌握数学建模的一般步骤和方法. 2.通过具体实例,感受运用函数建立模型的过程和方法,体会指数函数、对数函数模型在数学和其他学科中的应用. 3.通过函数应用的学习,体会数学应用的广泛性,树立事物间相互联系的辩证观,培养分析问题、解决问题的能力,增强数学的应用意识. 【要点梳理】 要点一、解答应用问题的基本思想和步骤 1.解应用题的基本思想 2.解答函数应用题的基本步骤 求解函数应用题时一般按以下几步进行: 第一步:审题 弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择模型. 第二步:建模 在细心阅读与深入理解题意的基础上,引进数学符号,将问题的非数学语言合理转化为数学语言,然后根据题意,列出数量关系,建立函数模型.这时,要注意函数的定义域应符合实际问题的要求. 第三步:求模 运用数学方法及函数知识进行推理、运算,求解数学模型,得出结果. 第四步:还原 把数学结果转译成实际问题作出解答,对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判,使其符合实际背景. 上述四步可概括为以下流程: 实际问题(文字语言)?数学问题(数量关系与函数模型)?建模(数学语言)?求模(求解数学问题)?反馈(还原成实际问题的解答). 要点二、解答函数应用题应注意的问题 首先,要认真阅读理解材料.应用题所用的数学语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用,往往篇幅较长,立意有创新脱俗之感.阅读理解材料要达到的目标是读懂题目所叙述的实际问题的意义,领悟其中的数学本质,接受题目所约定的临时性定义,理解题目中的量与量的位置关系、数量关系,确立解体思路和下一步的努力方向,对于有些数量关系较复杂、较模糊的问题,可以借助画图和列表来理清它. 其次,建立函数关系.根据前面审题及分析,把实际问题“用字母符号、关系符号”表达出来,建立函数关系.

函数模型及其应用习题课

函数模型及其应用习题课 教学目标:1 掌握根据已知条件建立函数关系式。2培养学生分析问题、解决问题的能力。3 培养学生应用数学的意识。 教学过程: 一.基础练习: 1. 某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,4个分裂成8个……,现 有2个这样的细胞,分裂x 次后得到的细胞个数y 为( ) A .y=21+x B 。y=21-x C 。y=2x D 。y=2x 2. 一等腰三角形的周长是20,底边长y 是关于腰长x 的函数,它的解析式为( ) A . y=20-2x (x ≤10) B y=20-2x (x <10) C y=20-2x (5 ≤x ≤10) D y=20-2x (5

3.2.2几种函数模型的应用举例

第三章 函数的应用 3.2.2几种函数模型的应用举例 【导学目标】 1.通过实例感受一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数的广泛应用,体会解决实际问题中建立函数模型的过程,从而进一步加深对这些函数的理解与应用; 2.初步了解对统计数据表的分析与处理. 【自主学习】 1、根据散点图设想比较接近的可能的函数模型: ①一次函数模型:()(0);f x kx b k =+≠ ②二次函数模型:2()(0);g x ax bx c a =++≠ ③指数函数模型:()x f x a b c =+g (0,a b ≠>0,1b ≠) ④对数函数模型:()log a f x m x b =+g (0,m ≠01a a >≠且) ⑤幂函数模型:12 ()(0);h x ax b a =+≠ 2、一般函数模型应用题的求解方法步骤: 1) 阅读理解,审清题意:逐字逐句,读懂题中的文字叙述,理解题中所反映的实际问题,明白已知什么,所求什么,从中提炼出相应的数学问题。 2)根据所给模型,列出函数表达式:合理选取变量,建立实际问题中的变量之间的函数关系,而将实际问题转化为函数模型问题。 3)运用所学知识和数学方法,将得到的函数问题予以解答,求得结果。 4)将所解得函数问题的解,翻译成实际问题的解答。 在将实际问题向数学问题的转化过程中,能画图的要画图,可借助于图形的直观性,研究两变量间的联系. 抽象出数学模型时,注意实际问题对变量范围的限制. 【典型例题】 例1:某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价是5元. 销售单价与日均销售量的关系如下表所示: 请根据以上数据作出分析,这个经营部怎样定价才能获得最大利润?

课标通用版2020版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数第11讲函数模型及其应用检测文

第11讲 函数模型及其应用 [基础题组练] 1.如图,在不规则图形ABCD 中,AB 和CD 是线段,AD 和BC 是圆弧,直线l ⊥AB 于E ,当l 从左至右移动(与线段AB 有公共点)时,把图形ABCD 分成两部分,设AE =x ,左侧部分面积为y ,则y 关于x 的大致图象为( ) 解析:选D.因为左侧部分面积为y ,随x 的变化而变化,最初面积增加得快,后来均匀增加,最后缓慢增加,只有D 选项适合. 2.某市家庭煤气的使用量x (m 3 )和煤气费f (x )(元)满足关系f (x )= ? ????C ,0A .已知某家庭今年前四个月的煤气费如下表: A .12.5元 B .12元 C .11.5元 D .11元 解析:选 A.由题意得C =4.将(25,14),(35,19)代入f (x )=4+B (x -A ),得 ?????4+B (25-A )=14,4+B (35-A )=19,解得? ????A =5,B =12 .所以f (x )=? ? ???4,05.故当x =22时,f (22)=12.5.故选A. 3.成都市某物流公司为了配合“北改”项目顺利进行,决定把三环内的租用仓库搬迁到北三环外重新租地建设.已知仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距离成反比,而每月车载货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比.据测算,如果在距离车站10千米处建仓库,这两项费用y 1,y 2分别是2万元和8万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站( ) A .5千米处 B .4千米处 C .3千米处 D .2千米处 解析:选A.设仓库应建在离车站x 千米处.因为仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距

函数模型的应用实例练习题及答案解析

1.某公司为了适应市场需求,对产品结构做了重大调整.调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y 与产量x 的关系,则可选用( ) A .一次函数 B .二次函数 C .指数型函数 D .对数型函数 解析:选D.一次函数保持均匀的增长,不符合题意; 二次函数在对称轴的两侧有增也有降; 而指数函数是爆炸式增长,不符合“增长越来越慢”; 因此,只有对数函数最符合题意,先快速增长,后来越来越慢. 2 A .y =2x -1 B .y =x 2 -1 C .y =2x -1 D .y =-+2 解析:选D.画散点图或代入数值,选择拟合效果最好的函数,故选D. 3.如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80 km 的两城镇间旅行的函数图象,由图可知:骑自行车者用了6小时,沿途休息了1小时,骑摩托车者用了2小时,根据这个函数图象,推出关于这两个旅行者的如下信息: ①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时,晚到1小时; ②骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动; ③骑摩托车者在出发了小时后,追上了骑自行车者. 其中正确信息的序号是( ) A .①②③ B .①③ C .②③ D .①② 解析:选A.由图象可得:①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时,晚到1小时,正确;②骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动,正确;③骑摩托车者在出发了小时后,追上了骑自行车者,正确. 4.长为4,宽为3的矩形,当长增加x ,且宽减少x 2 时面积最大,此时x =________, 面积S =________. 解析:依题意得:S =(4+x )(3-x 2)=-12 x 2 +x +12 =-12(x -1)2 +1212,∴当x =1时,S max =1212 . 答案:1 121 2 1 ( ) A .指数函数 B .反比例函数 C .一次函数 D .二次函数 解析:选C.画出散点图,结合图象(图略)可知各个点接近于一条直线,所以可用一次函数表示. 2.某林场计划第一年造林10000亩,以后每年比前一年多造林20%,则第四年造林( ) A .14400亩 B .172800亩

《函数模型的应用实例》说课稿

《函数模型的应用实例》说课稿 一、教材分析 “加强数学应用,形成和发展学生的数学应用意识”是新课标数学教育教学的基本理念之一,为此,新课标实验教材(人教A版)特将“函数的应用”独立成章,其中“函数模型的应用实例”是本章教材的核心内容.从教材体系和内容分析,本小节教材内容彰显如下三个特点: (1)教材围绕具体实例展开研究,各例题涉及的实际问题既有社会性,又具有浓郁的生活气息,在情感上体现了一种亲和力,易于学生理解和接受. (2)在知识层面上本节教材没有新增内容,要求学生运用已有函数知识,体会建立函数模型的过程,感受函数在生产、生活、科学、社会等领域中的广泛应用,理解函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型,培养数学建模能力. (3)本小节教材是上小节“几类不同增长的函数模型”的延续和发展.上小节主要学习如何根据给定的几个函数模型,通过比较其增长速度,选择合适的函数模型解决实际问题.本小节要求根据背景材料中的有关信息,建立函数模型解决实际问题,体现了更高层次的能力要求. 本小节是一节例题教学课,教材共安排了4个例题(例3~例6),大致分为两类,其中例3和例5是根据图、表信息建立确定的函数模型解决实际问题,例4和例6是建立函数模型对样本数据进行拟合,再根据拟合函数模型解决实际问题.本小节分两个教学课时,本节课是第一课时.我将以教材例3和例5为基础,分别在图形和数表两种不同应用情境中,引导学生自主建立函数模型来解决实际问题. 二、教学目标分析 知识与技能目标: 1.通过例3的教学,使学生能根据图象信息建立分段函数模型;通过例5的教学,使学生能根据表格提供的数据抽象出函数模型; 2.学生在根据图表信息建立函数模型后,要求会利用所建立的函数模型解决实际问题,体现函数建模的应用价值; 3.解决数学应用性问题,是培养学生阅读理解、抽象概括、数据处理、语言

高一数学《函数模型及其应用》练习题及答案

1.某公司为了适应市场需求,对产品结构做了重大调整.调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与产量x的关系,则可选用() A.一次函数 B.二次函数 C.指数型函数 D.对数型函数 解析:选D.一次函数保持均匀的增长,不符合题意; 二次函数在对称轴的两侧有增也有降; 而指数函数是爆炸式增长,不符合“增长越来越慢”; 因此,只有对数函数最符合题意,先快速增长,后来越来越慢. 2.某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表: x123… y138… 则下面的函数关系式中,能表达这种关系的是() A.y=2x-1 B.y=x2-1 C.y=2x-1 D.y=1.5x2-2.5x+2 解析:选D.画散点图或代入数值,选择拟合效果的函数,故选D. 3.如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80km的两城镇间旅行的函数图象,由图可知:骑自行车者用了6小时,沿途休息了1小时,骑摩托车者用了2小时,根据这个函数图象,推出关于这两个旅行者的如下信息: ①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时,晚到1小时; ②骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动; ③骑摩托车者在出发了1.5小时后,追上了骑自行车者. 其中正确信息的序号是() A.①②③ B.①③ C.②③ D.①② 解析:选A.由图象可得:①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时,晚到1小时,正确;②骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动,正确;③骑摩托车者在出发了1.5小时后,追上了骑自行车者,正确. 4.长为4,宽为3的矩形,当长增加x,且宽减少x2时面积,此时 x=________,面积S=________. 解析:依题意得:S=(4+x)(3-x2)=-12x2+x+12 =-12(x-1)2+1212,∴当x=1时,Smax=1212.

函数模型的应用举例_基础 知识讲解_

函数模型的应用实例 编稿:丁会敏审稿:王静伟 【学习目标】 1.能够找出简单实际问题中的函数关系式,应用指数函数、对数函数模型解决实际问题,并初步掌握数学建模的一般步骤和方法. 2.通过具体实例,感受运用函数建立模型的过程和方法,体会指数函数、对数函数模型在数学和其他学科中的应用. 3.通过函数应用的学习,体会数学应用的广泛性,树立事物间相互联系的辩证观,培养分析问题、解决问题的能力,增强数学的应用意识. 【要点梳理】 【高清课堂:函数模型的应用实例392115 知识要点】 要点一、解答应用问题的基本思想和步骤 1.解应用题的基本思想 2.解答函数应用题的基本步骤 求解函数应用题时一般按以下几步进行: 第一步:审题 弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择模型. 第二步:建模 在细心阅读与深入理解题意的基础上,引进数学符号,将问题的非数学语言合理转化为数学语言,然后根据题意,列出数量关系,建立函数模型.这时,要注意函数的定义域应符合实际问题的要求. 第三步:求模 运用数学方法及函数知识进行推理、运算,求解数学模型,得出结果. 第四步:还原 把数学结果转译成实际问题作出解答,对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判,使其符合实际背景. 上述四步可概括为以下流程: 实际问题(文字语言)?数学问题(数量关系与函数模型)?建模(数学语言)?求模(求解数学问题)?反馈(还原成实际问题的解答). 要点二、解答函数应用题应注意的问题 首先,要认真阅读理解材料.应用题所用的数学语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用,往往篇幅较长,立意有创新脱俗之感.阅读理解材料要达到的目标是读懂题目所叙述的实际问题的意义,领悟其中的数学本质,接受题目所约定的临时性定义,理解题目中的量与量的位置关系、数量关系,确立解体思路和下一步的努力方向,对于有些数量关系较复杂、较模糊的问题,可以借助画图和列表来理清它. 其次,建立函数关系.根据前面审题及分析,把实际问题“用字母符号、关系符号”表达出来,建立函数关系.

第2章第9讲 函数模型及其应用

第9讲函数模型及其应用 基础知识整合 1.常见的函数模型 函数模型函数解析式 一次函数型f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0) 二次函数型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) 指数函数型f(x)=ba x+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0) 对数函数型f(x)=b log a x+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0) 幂函数型f(x)=ax n+b(a,b为常数,a≠0) 2.指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与性质 函数 性质 y=a x(a>1)y=log a x(a>1)y=x n(n>0) 在(0,+∞) 上的增减性 □01单调递增□02单调递增□03单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表 现为与□04y轴平行 随x的增大逐渐表 现为与□05x轴平行 随n值变化而各有 不同值的比较 存在一个x0,当 x>x0时,有 log a x

上单调递减. (2)当x >0时,x =a 时取最小值2a , 当x <0时,x =-a 时取最大值-2a . 1.(2019·嘉兴模拟)为了预防信息泄露,保证信息的安全传输,在传输过程中需要对文件加密,有一种加密密钥密码系统(Private -Key Cryptosystem),其加密、解密原理为:发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密).现在加密密钥为y =kx 3,若明文“4”通过加密后得到密文“2”,则接收方接到密文“1 256 ”,解密后得到的明文是( ) A .12 B .14 C .2 D .18 答案 A 解析 由已知,可得当x =4时,y =2,所以2=k ·43,解得k =243=1 32,故y =132x 3.令y =132x 3=1256,即x 3=18,解得x =1 2.故选A . 2.在某个物理实验中,测量得变量x 和变量y 的几组数据,如下表: x 0.50 0.99 2.01 3.98 y -0.99 0.01 0.98 2.00 则对x ,y 最适合的拟合函数是( ) A .y =2x B .y =x 2-1 C .y =2x -2 D .y =log 2x 答案 D 解析 根据x =0.50,y =-0.99,代入各选项计算,可以排除A ;根据x =2.01,y =0.98,代入其余各选项计算,可以排除B ,C ;将各数据代入函数y =log 2x ,可知满足题意.故选D . 3.(2019·山东烟台模拟)某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税,

函数模型的应用实例教学设计

《函数模型的应用实例》教学设计 一、教学内容 普通高中课程标准实验教科书(人民教育出版社A版)数学1(必修),3.2.2 函数模型的应用实例. 二、教学目标 知识与技能目标: 1.能根据图象和表格提供的有关信息和数据,建立函数模型; 2.会利用建立的函数模型解决实际问题; 3.培养学生阅读理解、抽象概括、数据处理、语言转换、数学建模等数学能力. 过程与方法目标: 1.通过实例分析,使学生感受函数的广泛应用,体会建立函数模型解决实际问题的思维过程; 2.渗透数形结合、分类讨论、化归转换等数学思想方法. 情感、态度与价值观目标: 1.让学生体验“问题解决”的成功喜悦,激发学习数学的兴趣,增强学好数学的自信心; 2.培养学生的应用意识、创新意识和探索精神,优化学生的理性思维和求真务实的科学态度; 3.经历建立函数模型解决实际问题的过程,领悟“认识来源于实践又服务于实践”的辩证观点. 三、教材分析 本小节教材共有4个例题,大致分为两类,其中例3和例5是根据图表信息建立确定性函数模型解决实际问题;例4和例6是建立拟合函数模型解决实际问题.本小节分两个教学课时,本节课是第一课时.我以教材例3和例5为基础,分别在图形和数表两种不同应用情境中,引导学生自主建立函数模型来解决实际问题.因此,本节课的教学重点是:根据图、表信息建立函数模型解决实际问题. 四、学情分析 学生已掌握了一些基本初等函数的相关知识,并在上一节《几类不同增长的函数模型》的学习中,初步体会了建立函数模型解决实际问题的过程,这为本节课的学习奠定了知识基础.但学生的应用意识、应用能力比较弱,且正确运用数学知识解决实际问题,需要有较高的抽象概括能力、整体驾驭能力和局部处理能力,这些能力要求对学生的学习造成了一定的困难.因此,本节课的教学难点是:将实际问题抽象为数学问题,完成从文字语言、图表语言向符号语言的转化,并建立函数模型. 五、教学过程 (一)交流成果提出课题 学生交流上节课作业题“请举出生活中函数模型的应用实例”的成果,提出课题. 【设计意图】让学生体会函数与现实生活的密切联系,感受建 立函数模型解决实际问题的必要性,从而激发他们的学习内驱力, 也很自然地引入课题. (二)分析探究解决实例 【例1】一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系,如 图1所示. (1)求出图中阴影部分的面积,并说明所求面积的实际意义;

函数概念基本初等函数函数模型及其应用配套练习

函数概念基本初等函数函数模型及其应用配套 练习 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#

第35课时 函数模型及其应用(3) 分层训练 1. 将进货单价为80元的商品400个, 按90元一个售出时能全部卖出.已知这种商品每个涨价1元,其销售量就减少20个,为了得到最大利润,售价应定为每个( )元 ()A 110 ()B 105 ()C 100 ()D 95 2.某种电热水器的水箱盛满水是200升,加热到一定程度可浴用.浴用时,已知每分钟放水34升,在放水的同时注水,t 分钟注水22t 升,当水箱内水量达到最小值时,放水自动停止.现假定每人洗浴用水65升,则该热水器一次至多可供 ( )洗澡. ()A 3人 ()B 4人 ()C 5 人 ()D 6人 3.某不法商人将彩电先按原价提高40%,然后在广告中写上“大酬宾,八折优惠”,结果是每台彩电比原价多赚了270元,那么每台彩电原价是 元. 4.某商场出售一种商品,定价为a 元,每天可卖1000件,每件可获利4元,根据经验,若每件少卖0.1元,则每天可多卖出100件,为获得最好的经济效益,每件单价应定为 元. 5.某种商品,生产x 吨需投入固定成本1000元,可变成本为21510x x ??+ ?? ?元,而卖出x 吨的价格为每吨p 元,其中x p a b =+(,a b 为常数),如果生产的x 吨产品全部卖掉,可获利y 元,则利润y 与产销量x 的函数关系式为 . 6.某水厂的蓄水池中有400吨水,水厂每小时可向蓄水池中注入60吨水,同 时蓄水池又向居民小区不断供水,t 小时内供水总量为()024t ≤≤. (1)从供水开始到第几小时,蓄水池中水量最小最小水量是多少 (2)若蓄水池中水量小于80吨,就会出现供水紧张现象,试问在一天内有几个小时会出现供水紧张现象 7.东方旅社有100张普通客床,每床每天收租费10元,客床可以全部都租出;若每床每天收费提高2元,出租的床的数量便减少10张;再提高2元,再减少10张,依此变化下去,为了投资少而获利到达每床每天应提高租金 ( )元. ()A 4 ()B 6 ()C 4或6 ()D 5 8.如图,某工厂8年来某种产品的产量c 与时间t (年)的函数关系,下面四种说法中,正确的是 ( )

函数模型的应用实例

函数模型的应用实例习题(含答案) 一、单选题 1上是增函数,则a的取值范围是(). A 2.已知正方形的边长为4,动点从点开始沿折线向点运动,设点运动的路程为,的面积为,则函数的图像是() A.B.C. D. 3.如图所示是某一容器的三视图,现向容器中匀速注水,容器中水面的高度随时间变化的可能图象是( ) A.B.. C.D.

4.某市出租汽车的车费计算方式如下:路程在3km 以内(含3km )为8.00元;达到3km 后,每增加1km 加收1.40元;达到8km 后,每增加1km 加收2.10元.增加不足1km 按四舍五入计算.某乘客乘坐该种出租车交了44.4元车费,则此乘客乘该出租车行驶路程的km 数可以是( ). A . 22 B . 24 C . 26 D . 28 5.已知奇函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞,当0x >时,()ln(|1|1)f x x =-+,则函数()f x 的图象大致为( ) 6.甲用1000元人民币购买了一支股票,随即他将这支股票卖给乙,甲获利10%,而后乙又将这支股票返卖给甲,但乙损失了10%,最后甲按乙卖给甲的价格九折将这支股票卖给了乙,在上述股票交易中 A .甲刚好盈亏平衡 B .甲盈利1元 C .甲盈利9元 D .甲亏本1.1元 7 ) 8.已知函数22,0()2cos ,0 x x f x x x ?->=?≤?,则下列结论正确的是( ) A .()f x 是偶函数 B .()f x 是增函数 C .()f x 是周期函数

D .()f x 的值域为),2[+∞- 9.某公司招聘员工,面试人数按拟录用人数分段计算,计算公式为y = 其中,x 代表拟录用人数,y 代表面试人数,若面试人数为60,则该公司拟录用人数为 ( ) A . 15 B . 40 C . 25 D . 130 二、填空题 10.某出租车租赁公司收费标准如下:起价费10元(即里程不超过5公里,按10元收费),超过5公里,但不超过20公里的部分,每公里按1.5元收费,超过20公里的部分,每公里再加收0.3元. (1)请建立租赁纲总价y 关于行驶里程x 的函数关系式; (2)某人租车行驶了30公里,应付多少钱?(写出解答过程) 11.经测算,某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y (升)与速度x (千米/每小时) ()50120x ≤≤的关系可近似表示为: 0,50,80 (Ⅰ)该型号汽车速度为多少时,可使得每小时耗油量最低? (Ⅱ)已知,A B 两地相距120公里,假定该型号汽车匀速从A 地驶向B 地,则汽车速度为多少时总耗油量最少? 12.某商品在近30天内每件的销售价格P (元)与时间t (天)的函数关系是 30,015,60,1530,t t t N P t t t N +<<∈?=?-+≤≤∈?,该商品的日销售量Q (件)与时间t (天)的函数关系是40(030,)Q t t t N =-+<≤∈,求这种商品的日销售金额的最大值,并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天. 13.某化工厂打算投入一条新的生产线,但需要经环保部门审批后方可投入生产.已知该生产线连续生产n 年的累计产量为f (n )=n (n +1)(2 n +1)吨,但如果年产量超过150

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