2018年高考数学压轴题小题

2018年高考数学压轴题小题

一．选择题（共6小题）

1．（2018?新课标Ⅱ）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（）

A．﹣50 B．0 C．2 D．50

2．（2018?新课标Ⅱ）已知F1，F2是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为（）

A．B．C．D．

3．（2018?上海）设D是函数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（）

A． B．C．D．0

4．（2018?浙江）已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足﹣4?+3=0，则|﹣|的最小值是（）

A．﹣1 B．+1 C．2 D．2﹣

5．（2018?浙江）已知四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点）．设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S﹣AB﹣C的平面角为θ3，则（）

A．θ1≤θ2≤θ3B．θ3≤θ2≤θ1C．θ1≤θ3≤θ2D．θ2≤θ3≤θ1

6．（2018?浙江）函数y=2|x|sin2x的图象可能是（）

A．B．C．

D．

7．（2018?江苏）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为．

8．（2018?江苏）若函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为．

9．（2018?天津）已知a＞0，函数f（x）=．若关于x的方程f（x）=ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是．

10．（2018?北京）已知椭圆M：+=1（a＞b＞0），双曲线N：﹣=1．若双曲线N的两

条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为；双曲线N的离心率为．

11．（2018?上海）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，则+的最大值为．

12．（2018?上海）已知常数a＞0，函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．若2p+q=36pq，则a=．

13．（2018?浙江）已知λ∈R，函数f（x）=，当λ=2时，不等式f（x）＜0的解集是．若函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是．

14．（2018?浙江）已知点P（0，1），椭圆+y2=m（m＞1）上两点A，B满足=2，则当m=时，点B横坐标的绝对值最大．

15．（2018?浙江）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成个没有重复数字的四位数．（用数字作答）

三．解答题（共2小题）

16．（2018?上海）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos2x．

（1）若f（x）为偶函数，求a的值；

（2）若f（）=+1，求方程f（x）=1﹣在区间[﹣π，π]上的解．

17．（2018?浙江）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P （﹣，﹣）．

（Ⅰ）求sin（α+π）的值；

（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．

2018年高考数学压轴题小题

参考答案与试题解析

一．选择题（共6小题）

1．（2018?新课标Ⅱ）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（）

A．﹣50 B．0 C．2 D．50

【解答】解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）=f（1+x），

∴f（1﹣x）=f（1+x）=﹣f（x﹣1），f（0）=0，

则f（x+2）=﹣f（x），则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），

即函数f（x）是周期为4的周期函数，

∵f（1）=2，

∴f（2）=f（0）=0，f（3）=f（1﹣2）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，

f（4）=f（0）=0，

则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0，

则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）

=f（1）+f（2）=2+0=2，

故选：C．

2．（2018?新课标Ⅱ）已知F1，F2是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为（）

A．B．C．D．

【解答】解：由题意可知：A（﹣a，0），F1（﹣c，0），F2（c，0），

直线AP的方程为：y=（x+a），

由∠F1F2P=120°，|PF2|=|F1F2|=2c，则P（2c，c），

代入直线AP：c=（2c+a），整理得：a=4c，

∴题意的离心率e==．

故选：D．

3．（2018?上海）设D是函数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（）

A． B．C．D．0

【解答】解：由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合．

我们可以通过代入和赋值的方法当f（1）=，，0时，此时得到的圆心角为，，0，然而此时x=0或者x=1时，都有2个y与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y，因此只有当x=，此时旋转，此时满足一个x只会对应一个y，因此答案就选：B．

故选：B．

4．（2018?浙江）已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足﹣4?+3=0，则|﹣|的最小值是（）

A．﹣1 B．+1 C．2 D．2﹣

【解答】解：由﹣4?+3=0，得，

∴（）⊥（），

如图，不妨设，

则的终点在以（2，0）为圆心，以1为半径的圆周上，

又非零向量与的夹角为，则的终点在不含端点O的两条射线y=（x＞0）上．

不妨以y=为例，则|﹣|的最小值是（2，0）到直线的距离减1．

即．

故选：A．

5．（2018?浙江）已知四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点）．设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S﹣AB﹣C的平面角为θ3，则（）

A．θ1≤θ2≤θ3B．θ3≤θ2≤θ1C．θ1≤θ3≤θ2D．θ2≤θ3≤θ1

【解答】解：∵由题意可知S在底面ABCD的射影为正方形ABCD的中心．

过E作EF∥BC，交CD于F，过底面ABCD的中心O作ON⊥EF交EF于N，

连接SN，

取AB中点M，连接SM，OM，OE，则EN=OM，

则θ1=∠SEN，θ2=∠SEO，θ3=∠SMO．

显然，θ1，θ2，θ3均为锐角．

∵tanθ1==，tanθ3=，SN≥SO，

∴θ1≥θ3，

又sinθ3=，sinθ2=，SE≥SM，

∴θ3≥θ2．

故选：D．

6．（2018?浙江）函数y=2|x|sin2x的图象可能是（）

A．B．C．

D．

【解答】解：根据函数的解析式y=2|x|sin2x，得到：函数的图象为奇函数，

故排除A和B．

当x=时，函数的值也为0，

故排除C．

故选：D．

二．填空题（共9小题）

7．（2018?江苏）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，

0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为2．

【解答】解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线y=x的距离为c，

可得：=b=，

可得，即c=2a，

所以双曲线的离心率为：e=．

故答案为：2．

8．（2018?江苏）若函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为﹣3．

【解答】解：∵函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，

∴f′（x）=2x（3x﹣a），x∈（0，+∞），

①当a≤0时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0，

函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（0）=1，f（x）在（0，+∞）上没有零点，舍去；

②当a＞0时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0的解为x＞，

∴f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）递增，

又f（x）只有一个零点，

∴f（）=﹣+1=0，解得a=3，

f（x）=2x3﹣3x2+1，f′（x）=6x（x﹣1），x∈[﹣1，1]，

f′（x）＞0的解集为（﹣1，0），

f（x）在（﹣1，0）上递增，在（0，1）上递减，

f（﹣1）=﹣4，f（0）=1，f（1）=0，

∴f（x）min=f（﹣1）=﹣4，f（x）max=f（0）=1，

∴f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为：

f（x）max+f（x）min=﹣4+1=﹣3．

9．（2018?天津）已知a＞0，函数f（x）=．若关于x的方程f（x）=ax恰有2

个互异的实数解，则a的取值范围是（4，8）．

【解答】解：当x≤0时，由f（x）=ax得x2+2ax+a=ax，

得x2+ax+a=0，

得a（x+1）=﹣x2，

得a=﹣，

设g（x）=﹣，则g′（x）=﹣=﹣，

由g′（x）＞0得﹣2＜x＜﹣1或﹣1＜x＜0，此时递增，

由g′（x）＜0得x＜﹣2，此时递减，即当x=﹣2时，g（x）取得极小值为g（﹣2）=4，

当x＞0时，由f（x）=ax得﹣x2+2ax﹣2a=ax，

得x2﹣ax+2a=0，

得a（x﹣2）=x2，当x=2时，方程不成立，

当x≠2时，a=

设h（x）=，则h′（x）==，

由h′（x）＞0得x＞4，此时递增，

由h′（x）＜0得0＜x＜2或2＜x＜4，此时递减，即当x=4时，h（x）取得极小值为h（4）=8，

要使f（x）=ax恰有2个互异的实数解，

则由图象知4＜a＜8，

故答案为：（4，8）

10．（2018?北京）已知椭圆M：+=1（a＞b＞0），双曲线N：﹣=1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为；双曲线N的离心率为2．

【解答】解：椭圆M：+=1（a＞b＞0），双曲线N：﹣=1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，

可得椭圆的焦点坐标（c，0），正六边形的一个顶点（，），可得：，可得，可得e4﹣8e2+4=0，e∈（0，1），

解得e=．

同时，双曲线的渐近线的斜率为，即，

可得：，即，

可得双曲线的离心率为e==2．

故答案为：；2．

11．（2018?上海）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，则

+的最大值为+．

【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），

=（x1，y1），=（x2，y2），

由x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，

可得A，B两点在圆x2+y2=1上，

且?=1×1×cos∠AOB=，

即有∠AOB=60°，

即三角形OAB为等边三角形，

AB=1，

+的几何意义为点A，B两点

到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，

显然A，B在第三象限，AB所在直线与直线x+y=1平行，

可设AB：x+y+t=0，（t＞0），

由圆心O到直线AB的距离d=，

可得2=1，解得t=，

即有两平行线的距离为=，

即+的最大值为+，

故答案为：+．

12．（2018?上海）已知常数a＞0，函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．若2p+q=36pq，则a=6．

【解答】解：函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．

则：，

整理得：=1，

解得：2p+q=a2pq，

由于：2p+q=36pq，

所以：a2=36，

由于a＞0，

故：a=6．

故答案为：6

13．（2018?浙江）已知λ∈R，函数f（x）=，当λ=2时，不等式f（x）＜0的解

集是{x|1＜x＜4} ．若函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是（1，3]∪（4，+∞）．

【解答】解：当λ=2时函数f（x）=，显然x≥2时，不等式x﹣4＜0的解集：{x|2

≤x＜4}；x＜2时，不等式f（x）＜0化为：x2﹣4x+3＜0，解得1＜x＜2，综上，不等式的解集为：{x|1＜x＜4}．

函数f（x）恰有2个零点，

函数f（x）=的草图如图：

函数f（x）恰有2个零点，则1＜λ≤3或λ＞4．

故答案为：{x|1＜x＜4}；（1，3]∪（4，+∞）．

14．（2018?浙江）已知点P（0，1），椭圆+y2=m（m＞1）上两点A，B满足=2，则当m= 5时，点B横坐标的绝对值最大．

【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），

由P（0，1），=2，

可得﹣x1=2x2，1﹣y1=2（y2﹣1），

即有x1=﹣2x2，y1+2y2=3，

又x12+4y12=4m，

即为x22+y12=m，①

x22+4y22=4m，②

①﹣②得（y1﹣2y2）（y1+2y2）=﹣3m，

可得y1﹣2y2=﹣m，

解得y1=，y2=，

则m=x22+（）2，

即有x22=m﹣（）2==，

即有m=5时，x22有最大值4，

即点B横坐标的绝对值最大．

故答案为：5．

15．（2018?浙江）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成1260个没有重复数字的四位数．（用数字作答）

【解答】解：从1，3，5，7，9中任取2个数字有种方法，

从2，4，6，0中任取2个数字不含0时，有种方法，

可以组成=720个没有重复数字的四位数；

含有0时，0不能在千位位置，其它任意排列，共有=540，

故一共可以组成1260个没有重复数字的四位数．

故答案为：1260．

三．解答题（共2小题）

16．（2018?上海）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos2x．

（1）若f（x）为偶函数，求a的值；

（2）若f（）=+1，求方程f（x）=1﹣在区间[﹣π，π]上的解．

【解答】解：（1）∵f（x）=asin2x+2cos2x，

∴f（﹣x）=﹣asin2x+2cos2x，

∵f（x）为偶函数，

∴f（﹣x）=f（x），

∴﹣asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x，

∴2asin2x=0，

∴a=0；

（2）∵f（）=+1，

∴asin+2cos2（）=a+1=+1，

∴a=，

∴f（x）=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，

∵f（x）=1﹣，

∴2sin（2x+）+1=1﹣，

∴sin（2x+）=﹣，

∴2x+=﹣+2kπ，或2x+=π+2kπ，k∈Z，

∴x=﹣π+kπ，或x=π+kπ，k∈Z，

∵x∈[﹣π，π]，

∴x=或x=或x=﹣或x=﹣

17．（2018?浙江）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P （﹣，﹣）．

（Ⅰ）求sin（α+π）的值；

（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．

【解答】解：（Ⅰ）∵角α的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P（﹣，﹣）．

∴x=﹣，y=，r=|OP|=，

∴sin（α+π）=﹣sinα=；

（Ⅱ）由x=﹣，y=，r=|OP|=1，

得，，

又由sin（α+β）=，

得=，

则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=，

或cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=．

∴cosβ的值为或．