2009年第50届国际数学奥林匹克竞赛试题(中文版)与参考答案

2009年第50届IMO解答

2009年7月15日



1、是一个正整数，是n12,,...,(2)kaaak≥{}1,2,...,n中的不同整数，并且1(1iinaa+.对
于所有都成立，证明：1,2,...,1ik=1(
1kaa.不能被n整除。

证明1：由于12(1naa.，令1(,)nap=，
nqp=也是整数，则npq=，并且1pa，
21qa.。因此，由于2(,)1qa=23(1npqaa=.，故31qa.；同理可得41qa.，。。。，
因此对于任意都有2i≥1iqa.，特别的有1kqa.，由于1pa，故1(1knpqaa=.(*)。

若结论不成立，则1(
1knpqaa=，与(*)相减可得1(knaa.，矛盾。

综上所述，结论成立。









此题平均得分：4.804分


2、外接圆的圆心为O，分别在线段上，ABCΔ,PQ,CAAB,,KLM分别是,,BPCQPQ
的中点，圆过Γ,,KLM并且与相切。证明：OPPQOQ=。

KMLOBCAQP


证明：由已知MLKKMQAQP∠=∠=∠，MKLPMLAPQ∠=∠=∠，因此
APQMKLΔΔ～。所以
APMKBQAQMLCP==，故APCPAQBQ.=.(*)。

设圆O的半径为R，则由(*)有222ROPROQ.=.，因此OPOQ=。

不难发现OP也是圆Γ与相切的充分条件。 OQ=PQ









此题平均得分：3.710分




3、是严格递增的正整数数列，并且它的子数列和
都是等差数列。证明：是一个等差数列。
123,,,...SSS123,,,...SSSSSS123111,,,.SSSSSS+++123,,,...SSS

问题等价于：:fZZ+→是一个严格递增的函数。()()nbffn=是一个等差数列，
也是一个等差数列。证明：(()1ncffn=()nafn=也是等差数列。

证明：由于是一个严格递增的整值函数，所以对于任意f,xy均有
()()fxfyxy.≥.。

令{}{},nnbc的公差分别为，则有,de()()(1)()(1)(dffnffnfnfn=+.≥+.，
将可得()nfn→()()()1()0nndffnffncb≥+.=.，因此对于任意都有 kZ+∈

()()11110kkdcbcbkde++≥.=.+.>

故只能有，也即两个等差数列公差相等，故可设de=nncbg.=是一个为常数。

由于有界，故(1)()0dfnfn≥+.>(1)(fnfn+.有最大最小值，设,Mm分别是
的最大、最小值。则对任意(1)(fnfn+.,xy都有()()mxyfxfyMxy.≤.≤.。

有上可知存在r使得，因此有 (1)()frfrM+.=

()()1(1)()(1)()(1)()rrMfrfrdbbffrffrmfrfr++.≥=.=+.≥+.，也即
2(1)()(1)()MMfrfrdmfrfrmM=+.≥≥+.=。

同样存在一个使得，因此有 s(1)()fsfsm+.=

21(1)()(1)()ssmMMfsfsdccmfsfsm+=+.≥=.≥+.=

因此，故只能有dmMd≥≥dmM=，而且上面的等号要成立只能有
()()((),()1,...,(1)ffrffrffr++之间的差均为，m()()((),()1,...,(1)ffsffsffs++之间的差均为M，所以rrmcbg=.=，并且
ssMcbg=.=，故，所以mM=()nafn=也是等差数列。



此题平均得分：1.019分




2009年第50届IMO第二天试题解答

2009年7月16日



1、在中ABCΔABAC=，,ADBE分别是CAB∠和ABC∠的平分线。K是的内
心，假设，求所能取到的所有值。
ADCΔ45BEK∠=CAB∠

45FKIEBDAC


解：显然CKACB∠平分线，因此E关于CI
称点F在A

B对称性可知IF∠
于DK45°，由
ADC∠线，因此也有45IDK∠=°。
种情况：

45FKIEBDAC
①若DF≠，则,,,IDFK四点共圆，故
18090IKFIDF∠=°.∠=，由对称性
90IKE∠=，故45EIK∠，在中有BICΔ114522EIKABCACBABC°=∠=∠+∠=∠，因此
45BAD∠=，故90CAB∠；

②若重合，则，也即,DF90IECIDC∠=∠=ABC∠的平分线也是的高，故
，因此为正三角形，故
ACABBC=ABCΔ60CAB∠=。

综上所述，或。 90CAB∠=°





此题平均得分：2.915分




2、求所有函数:fZZ+→，使得对于任意正整数，,ab(),(),()1afbfbfa+.都可以
形成一个三角形。

解：整数边三角形如果有一边长为1，则另外两边一定要相等。因此取可知对于
任意正整数b都有(*)。
1a=
()()(1)1fbfbf=+.

㈠若，则，令(1)1f≠(1)1f>(1)1f.=，代入(*)可得()()fbfba=+，也即是一个
以为周期的函数，因此的值域有界，令
faf{}()MaxfxM=，则取3aM=，则以
及不能形成三角形，矛盾。因此只能有
,()afb(()1fbfa+.(1)1f=。

㈡令，则可以形成一个三角形，故1b=(,(1)1,()afffa=()()ffaa=对于任意正整数
都成立，因此是一个afZZ+→一一映射。

㈢由已知()2,(),(2)1fbfbf+.可以形成一个三角形，有上面讨论可知，令
，则由于是一一映射，故
(2)1f>
(2)10tf=.>f0()()fbtfb<+.<，因此对于任意b都有
，由数学归纳法可知()()fbtfb+.=±()()fbntfbn+=±对于任意正整数都成立，
由于，故只能有
n()fbnt+>()()fbntfbn+=+，故()()fbtfb+.=对于任意都
成立。
b

因此取遍全体正整数，由于是一一映射，
故也应该取遍全体正整数，所以
(1)1,(1),(12),...,(1),...fftftfnt=+++f1,1,12,...,tt++1t=，因此对于任意正整数b都有
，由于，所以(1)()fbfb+=+(1)1f=()fnn=对于任意正整数都成立。 n

综上所述，为唯一的解。 ()fnn=









此题平均得分：2.474分




3、是不同的正整数，12,,...,naaaM是一个由1n.个正整数构成的集合，但是M中不包含
。一只蚱蜢在实数轴的整数点上跳动，开始时它在点，然后向右跳次，
次的步长恰好是的一个排列。证明：可以适当调整的顺序，使得
期间蚱蜢不会跳到
12...nsaaa=+++0nn12,,...,naaa12,,...,naaaM中的数所在的任何整点上。

证明：时，，结论当然成立；1n=M=.2n=时，M只有一个数m，中必有一
个不等于，把它放在第一步即可。以下假设，并且对于任意
12,aam3k≥nk<结论都成立。

不失一般性假设，令12...kaaa<<<
1iijjs=
=Σ，则ks=。假设蚱蜢先按照
的顺序来跳，如果(12,,...,kaaa](]0,0,kss=中只有2k.个M中的数，则依据归纳假设结
论成立，以下设(]0,ks中有个1k.M中的数。这1k.个数为1210...kmmms.<<<<<。

㈠如果对于所有11都有ik≤≤.ism<，特别的有11kksm..<。

①如果，则由归纳假设可以对前

1ksM..1k.步重新调整，使得蚱蜢没遇到M中的数；

②如果，对于任意11，都有1ksM.∈ik≤≤.11kikksass...<<.，由于除了之外
只有个
1ks.
2k.M中的数，因此存在一个，使得0i001,kiksasa...都不属于M。我们将换
到最后一步，为倒数第二步，这样从目的地倒退两步都没遇到
0ianaM中的数，由于
，由归纳假设可以调整前
01kkikksaasm...<≤2k.步使得蚱蜢没遇到M中的数。

㈡存在一个i使得。假设t是最小的正整数，使得。则， ism≥tsm≥11ttsm..<<

①如果，也即，由于1t=11saM=∈Mk<，因此必有一个
1iaM.，我们将调整到
第一步，由于。由归纳假设可以调整后
1ia111imaa≤<1k.步使得蚱蜢没遇到M中的数；

②如果，由t的最小性可知1t>11tttsmm..<<≤，令{}121,,...,tAmmm.
=，
{}11km，则MAB=∪，由于1tm.
<，而是最短的t步之和，所以无
论如何调整，从第t步开始的后步都不可能遇到
ts1kt.+A中的数。

由归纳假设可以调整前t步的顺序使得它们得以避开A中的1t.个数，而且同㈠②我们
还可以使得位于第t步或第步，故调整后前ta1t.2t.步所走距离11ttttsasm..<.=<，
因此前步也不可能遇到2t.B中的数。


如果第步也没有走到1t.M中的数上，由归纳假设可以调整后1kt.+步使得它们避
开B中的个数，因此它们也就避开了所有nt.M中的数，故结论成立。

如果第步恰好走到1t.M中的数上，由于它已经避开了M中的前个数，因此这
个数属于
1t.
B，这从另一方面说明此时的1t.步所走总距离1tm.>。此时后面的步中的
任意第r步都比第
nt.
1t.步长，因此将第步和第r1t.步对换位置之后也肯定避开了A中的
数。由于此时第步已经遇到了1t.B中的一个数，因此肯定可以选到后k步中的一步，
使得它与第步对换之后，第
t.
1t.1t.步没有遇到B中的数，故此时前1t.步都成功避开了
M中的所有数。由归纳假设可以调整后1kt.+步使得它们避开B中的个数，因此它
们也就避开了所有
nt.
M中的数，故结论成立。

综上所述，结论成立。

















此题平均得分：0.168分