暑假二升三数学资料
第一讲：有余数的除法
1．有余数的除法中，被除数=（）×（）+（）
计算有余数的除法时，余数要比除数( )。
2.下面算式中，商和余数相等，被除数是哪个数把算式补充完整。
（）÷2=（）……（）
下面算式中，除数和商相等，被除数最小是几把算式补充完整。
（）÷（）=（） (2)
下面算式中，除数最小是几被除数最小是几把算式补充完整。
（）÷（）=2 (3)
下面算式中，除数和商各是多少把算式补充完整。
18÷（）=（） (6)
3.兔妈妈买回40棵白菜，送给山羊伯伯8棵，剩下的平均分给5只小兔。每只小兔分几棵还剩几棵
4.幼儿园的老师要把下面的玩具分到各个小组：皮球22个，积木16盒，小汽车10辆，现在每个组要分7个皮球，3盒积木，2辆小汽车，这些玩具可以分给几个组
5.四年级一班有44人玩激流勇进的游戏，，每船可以坐5人，该租几条船
6.三年级一班57个同学去春游，飞天每辆可以坐8人，碰碰船每条可以坐6人，（1）都玩飞天，最多可以坐满几辆车有剩下的人吗（2）如果都玩“碰碰船”该组几条船
7.有一些糖，比20块多，比30块少，平均分给8个孩子，还余1块。想一想，每个孩子可能分得多少块一共有多少块糖
8.同学们做广播操，每18人站成一排，按“1、2、3、4”的顺序依次重复报数。每排的最后一个同学应该报多少
个同学去春游，每辆车可坐8人，一共要用多少辆车
10.在一道有余数的除法中，除数是一个一位，商是9，余数是8．求被除数是多少
第二讲：植树问题
1不封闭路线的植树问题可以分为3种情形：
（1）如果植树线路的两端都要植树，那么植树的棵数应比要分的段数1，即：棵数=段数+1（2）如果一端植树，另一端不植树，那么棵树与段数相等，即：棵树=段数。
（3）如果两端都不植树，那么棵数应比段数少1，即：棵数=段数—1
2、在封闭线路上植树，棵数与段数相等，即棵数=段数
例1小朋友们植树，先植1棵树，以后每隔3米植1棵树。现已经植了9棵树，问第1棵树和第9棵树相距多少米
练习1：在路的一侧插彩旗，每隔5米插一面彩旗，从起点到终点共插了10面彩旗。这条路多长
练习2：在学校的走廊两边，每隔4米放一盆菊花，从起点到终点一共放了9盆菊花，这条走廊长多少米
例2 在36米的走廊一侧摆花盆，两端都摆，平均每隔9米摆一个花盆，一共需要摆多少盆花
练习1 在长48米的跑道一侧插彩旗，如果平均6米插一面，两端都插，一共需要多少面彩旗
练习2 在马路的一侧竖电线杆，平均每隔5米竖一根，如果两端都竖，45米长的马路一共需要多少根电线杆
例3 在一条长300米的大路两旁种树，每隔5米栽一棵，如果起点和终点都种一棵，一共种多少棵树
练习1 从学校门口到教学楼的楼道长42米，计划在两旁从起点每隔2米摆一盆花，一共准备几盆花
练习2 一座大桥全长150米，在大桥两旁从头到尾，每隔25米安装路灯，一共需要多少盏路灯
例4 在一条长40米的大路两侧栽树，从起点到终点一共栽了22棵树，已知相邻两棵树之间的距离都相等。问相邻两棵树之间的距离是是多少米
练习1 在一条32米长的公路一侧插彩旗，从起点到终点共插了5面彩旗，相邻两面彩旗之间距离相等。相邻两面彩旗之间相距多少米
练习2 在公园的一条长25米的路的两侧放椅子，从起点到终点共放12把椅子，相邻两把椅子之间的距离相等。相邻两把椅子之间相距多少米
例5 在一条50米长的马路一边植树，每隔5米植一棵，如果两端都不植，一共需要植多少棵树
练习1 在60米长的围墙上安装宣传栏，每隔2米安装一个，如果两端不安装，一共需要安装多少个
练习2 在一条70分米长的绳子上打结，每隔2分米打一个结，如果两端都不打，一共需要打多少个结
例6 在周长为50米的圆形池塘边栽树，每隔5米栽一棵，一共可以栽多少棵
练习1 在周长200米的正方形四周安装彩灯，每隔10米安装一个彩灯，一共需要安装多少个
练习2 在边长40米的正方形鱼池四周安装报警器，每隔5米安装一个，一共安装多少个
例7 一个圆形花坛周围长50米，沿花坛周围每隔5米栽一棵月季花，每两棵月季花中间栽一棵菊花。问花坛周围月季花与菊花各栽了多少棵
练习1 一个水池周长48米，沿湖泊周围每隔6米栽一棵柳树，中间栽一棵杨树。湖泊周围各栽了多少棵柳树和杨树
练习2 一个圆形花坛，周长60米，每隔4米栽一棵柏树，两棵柏树中间栽一棵松树，问花坛周围各在了多少棵柏树和松树
例8 在一个正方形池塘四周种树，四个顶点都种了一棵树，这样每边都种有10棵树，四周一共种了多少棵树
练习1 正方形舞台四周站着一些少先队员，四个顶点都站有1人，这样每边都站了8人。问这个舞台四周一共站了多少名少先队员
练习2 在一个六边形的花坛周围栽花，每边栽5盆花，最少需要多少盆花
第三讲：间隔问题测试题
1.一根木料长8米，木工把它锯成2米的小段，可锯成几次
2.把一根10米长的电线剪了4次，平均每段长多少米
3.一根绳子剪了3次后，平均每段长5厘米，这根绳子原来长多少米
4.小丽家住五楼，每层楼梯20级，你知道小红走多少级楼梯才能到自己住的那一层
5.小红家住六楼，她从一楼到二楼需2分钟，那么她从底楼到四楼需要几分钟
6.30厘米长的铁丝，剪成5厘米长的小段每剪一次用2分钟，，一共需要几分钟
7.一根木材，锯成6段用了10分钟，另外有同样的一根木材以同样的速度锯，锯成11段
需要几分钟
8.一根木料锯成5段用了8分钟，另外有同样的一根木料以同样的速度锯，16分钟可锯成
多少段
9、在公园一条小路的一边共摆放了6张椅子，每张椅子中间又放了3盆花，一共放了多少盆花
10、一条桥上有10个广告牌，（两端各有一个），每两个广告牌之间是2米，这座桥一共长多少米
第四讲：列队问题
1.同学们排成一行做操，从前面数小红是第6人，从后面数小红是第11人，这行一共有多少人
2.同学们排成一排，李红从左向右排在第5个，王亮在她右边和她间隔3个人，王亮从右向左数排在第6个，这一排一共有多少个同学
3.在体育课上32名同学排成一排，从左起往右数，王明是第8个；从右起往左数，李霞是第9个，王明和
李霞之间有多少个同学
【分析】秋季我们已经学过简单的排队问题，今天这节课我们将在排队的基础上，进一步研究方阵等一些问题，因此上课前我们对之前所学知识做一个复习．
+-=（人），这行一共有16人．
(1)611116
++=（人），这一排一共有14个小朋友．
(2)53614
--=（人），王明和李霞之间有15个同学．
(3)328915
学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列．如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵．方阵包括：空心方阵和实心方阵．而实心方阵的每一层又可以单独看成一个空心方阵，因此空心方阵的规律对它也是适用的．
方阵的基本特点是：
①方阵不论在哪一层，每边上的人（或物）数量都相同．每向里一层，每边上的人数就少2，每层 总
数就少8．
②每边人（或物）数和每层总数的关系：
每层总数=[每边人（或物）数1-]×4； 每边人（或物）数=每层总数41÷+．
③实心方阵：总人（或物）数=每边人（或物）数×每边人（或物）数．
例1 二年级舞蹈队为全校做健美操表演，组成一个正方形队列，后来由于表演的需要，又增加一行一
列，增加的人数正好是17人，那么原来准备参加健美操表演的有多少人
【分析】 因增加的是一行一列，而行、列人数仍应相等，但为什么增加的却是17人，因有1人是既在他所
在的行，又在他所在的列．若把它减掉，剩下人数恰是原两行或两列的人数，则原来一行或一列的人数可求．参加健美操表演的人数可求．
列式： (171)21628-÷=÷= (人)，8864?=(人)．
［拓展］ 同学们做操，小林站在左起第5列，右起第3列；从前数前面有4个
同学，从后数后面有6个同学．每行每列的人数同样多，做操的同学
一共有多少人
［分析］ 一共有几行列式：4+6+1=11（行）
一共有几列列式：5317+-=（列）
一共有多少人列式：11777?=（人）
例2 学生进行队列表演，排成了一个正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉11人，问这个方阵共有
多少人
【分析】 学生排成一正方形队列表演，去掉一行一列，去掉了11人，那我们
队列与方阵
我是小林
就要思考每行去掉了几个同学，因为是正方形队列，所以每行每列人数一样多，但在数的时候，站在角落的同学被数了两个，那么现在求每行的人数时就要在11里面多加一个．现在每行的人数是：11126
?=（人）．
+÷=
（）（人），共6636
例3军训的学生进行队列表演，排成了一个10行10列的正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉多少人
【分析】一行一列各10人，顶点处重复．102119
?-=人，因为角上的一个同学被重复数了两次，所以要把多算的一次减掉．
［拓展］四年级一班同学参加了广播操比赛,排成每行8人,每列8人的方阵,问方阵中共有多少学生如果去掉一行一列．还剩多少同学
［分析］可以根据“实心方阵总人数＝每边人数×每边人数”得到8行8列的实心
方阵人数为：8864
?＝（人），去掉一行一列后，还剩7行7列，也可通过
同样的方法得出总人数为：77=49
?（人）．
［拓展］100名同学排成一个方阵，后来又减去一行一列，问减少了多少人
［分析］100名同学排成一个方阵，后来又减去一行一列，剩下的是9行9列的方阵，即剩下81人，减少了19人．
例4某校三年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为36人，问方阵外层每边有多少人这个方阵共有三年级学生多少人
【分析】（法1）方阵外层每边有：364410
+÷=
?=（人）．
（）（人），共1010100
（法2）方阵外层每边有：364110
?=（人）．
÷+=（人），共1010100
例5小明在一个正方形的棋盘里摆棋子，他先把最外层摆满，用了40个棋子，求最外层每边有多少棋子如果他要把整个棋盘摆满，还需要多少棋子
【分析】首先根据“每边的个数＝总数÷41
÷+＝
+”求出每边的棋子数：404111
（个），根据＂每向里一层每边棋子数减少2＂，求出最外面数的第二层
中每边各有：1129
-＝（个）棋子，利用求实心方阵总个数的方法就可
以求出还需：9981
?＝（个）棋子．
例6新学期开始，手持鲜花的少先队员在一辆彩车四周围成了每边两层的方阵，最外面一层每边13
人，彩车周围的少先队员有多少人
【分析】外层134448
?-=人，内外相差8人（教师可举例说明），内层48840
-=人，共88人．
例7节日来临，同学们用盆花在操场上摆了一个空心花坛,最外层的一层每边摆了12盆花,一共3层,一共用去多少盆花
【分析】(法1)不论是空心不是实心方阵,每向里一层,每边的花盆就少2个,每层的花盆就少8个,因此可以依次求出每层花盆的个数．最外层有花盆:121444
-?=
（）(盆),第二层有:44836
-=(盆),第三层有:368=28
-(盆),共有:443628=108
++(盆)．
(法2)将三层花盆分成四块,形成四个相等的长方形．它们的长是123
-
（）个,宽是3个,(123)327
-?=个,即每个长方形中包括27个花盆,再将结果乘以4就得到总数是108个,于是我们可以总结为:空心方阵中点的总个数=(最外层每边的个数-层数)×层数×4．
(法3)也可以将这种情况看作从一个大的实心方阵中取出一个小的实心方阵．
例8120个棋子摆成一个三层空心方阵,最内层每边有多少棋子
【分析】棋子一共三层,容易知道外层比中层多8个,内层比中层少8个,因此中层的
棋子数就是三层的平均数为1203=40
÷(个),可以求出中层每边的棋子数,
向里一层,每边棋子数又减少2．中层总数: 1203=40
÷(个)．中层每边个
数:4041=11
÷+(个),内层每边个数:112=9
-(个)．
［拓展］将一个每边16枚棋子的实心方阵变成一个四层的空心方阵，此空心方阵的最外层每边有多少棋子
欢迎新同学的
到来！
好漂亮的校园
好难呀！
［分析］棋子总数为：1616256
?=（枚），由于空心方阵总个数＝（每边个数－层数）×层数×4，所以，每边个数＝空心方阵总个数÷层数÷4＋层数，得出最外层每边有20枚棋子．
例9同学们用64盆花排出一个两层空心方阵,后来又决定在外面再增加一
层成为三层方阵,还需多少盆花
【分析】对于两层方阵,外层比内层多8盆,两层共64盆,利用和差问题的解法,可
以求出外层盆数,从而得出需增加的盆数,6482844
（）(盆)．
+÷+=
例10一队战士排成三层空心方阵多出16人,如果空心部分再加一层又少28人,这队战士共有多少人如果他们改成实心方阵,每边应有多少人
【分析】把多余的16人放在方阵内部还少28人,可见方阵内部增加一层,需要1628=44
+人,因此向外三层的每层人数都可以求出．从内向外每层人数依次是:第一层:16288=52
++(人),第二层:162828=60
+++(人),因为
++?(人),总人数:52606816=196
++?(人),第三层:162838=68
?,所以排成实心方阵每边有14人．
196=1414
［拓展］有一群学生排成三层空心方阵，多9人，如空心部分增加两层，又少15人，问有学生多少人
［分析］增加的两层人数为：915=26
（）（人），
-÷=
+（人），这两层人数之差是8人，因此最里层有26828现在的方阵共5层，那么最外层有884=40
+?（人），知道最外层人数及层数就不难求出总人数是105人．
［拓展］在一次团体操表演中，有一个空心方阵最外层有64人，最内层有32人，参加团体操表演的共多少人
［分析］根据最外层和最内层人数，可以分别求出内外层每边的人数，一个空心方阵，可以看做从一个最外层有64人的实心方阵中，减去了一个小方阵．外层每边人数：644117
÷+=（人）．内层每边人数：32419
?--?-=（人）．
÷+=（人），空心方阵人数：1717(92)(92)240
例11小华观看团体操表表演,他看到表演队伍中的一个方阵变换成一个正三角形实
心队列,他估计队伍中人数大概在30至50人之间,你能告诉他到底有多少人吗
【分析】 方阵总人数的特点:它是两个相同自然数的积,而三角形队列总人数的特点是:总数是从1开始若干
个连续自然数的和,我们只要在3050～的范围内找出同时满足这两个条件的数就可以得出总人数．由于队伍可以排成方阵,在30至50人的范围内人数可能是66=36?人或77=49?人,
又因为36=1234849123494+++++=++++?++…， ,所以总人数是36人．
［拓展］ 在一次运动会开幕式上，有一大一小两个方阵合并变换成一个10行10列的方阵，求原来两个方
阵各有多少人
［分析］ 10行10列的方阵由100人组成，原来的小方阵每行或每列人数都不会超过10人，大方阵人数应
该在50100～之间，可取64或81，运用枚举法，可求出满足条件的是：大方阵有64个，小方阵有36人．
练习九
1． 某部队战士排成方阵行军，另一支队伍共17人加入他们的方阵，正好使横竖各增加一排，现有
共有多少战士
【答案】 后来的战士加入方阵时，是在原方阵外侧横竖方向各增加一排，那么有一个战士要站在这两排的
交界处，计算横排竖排的人数时，对他进行了重复计算，也就是说现在每一排实际人数是
()17129+÷＝（人）
，因此可以求出总人数：9981?＝（人）．
2． 学生进行队列表演，排成了一个正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉13人，问这个方阵共
有多少人
【答案】 每行：(131)27+÷=（人），总人数：7749?=（人）．
3． 三年级学生排成一个方阵进行体操表演，最外一层的人数为32人，问方阵外层每边有多少人这
个方阵共有三年级学生多少人
【答案】 每行：(324)49+÷=（人），总人数：9981?=（人）．
试试看
报告长官，又
来17人．
4．校门口放着一排花，共10盆．从左往右数茉莉花摆在第6，从右往左数，月季花摆在第8，一串红花全都摆在了茉莉花和月季花之间．算一算，一串红花一共有多少盆
【答案】从左往右数茉莉花摆在第6，那么从右往左数茉莉花就是第：10(61)5
--=（朵）花，从右往左数，月季花摆在第8，从左往右数月季花摆在第：10(81)3
--=（朵），一串红花全都摆在了茉莉花和月季花之间，一串红花一共有：10532
--=（盆）．
排球是一位名叫威廉·基·摩根的体育干事于1895年在美国发明的．半个多世纪后的1964年日本东京奥运会赛场上，男子排球和女子排球比赛同时亮相奥运会赛场．
至2004年雅典奥运会，奥运会排球比赛的规模已由最初的10支男队和6支女队发
展到男女各12支队伍．迄今为止，共有7支男队（苏联、日本、波兰、美国、巴西、荷兰、南斯拉夫）和4支女队（日本、苏联、中国、古巴）荣膺过奥运会排球冠军的殊荣．
排球1905年进入中国，并在新中国生长壮大，中国女排在1984年中国首次参加奥运会时便一鸣惊人，夺得桂冠，20年后又在雅典重温奥运会冠军梦，将她们的世
界冠军头衔增加到7个．