学习知识要点-空间直角坐标系

第5讲 空间直角坐标系

★知识梳理★

1.右手直角坐标系

①右手直角坐标系的建立规则：x 轴、y 轴、z 轴互相垂直，分别指向右手的拇指、食指、

中指；

②已知点的坐标),,(z y x P 作点的方法与步骤（路径法）：

沿x 轴正方向（0>x 时）或负方向（0

>y 时）或负方向（0z 时）或负方向（0

③已知点的位置求坐标的方法：

过P 作三个平面分别与x 轴、y 轴、z 轴垂直于C B A ,,，点C B A ,,在x 轴、y 轴、z 轴

的坐标分别是c b a ,,，则),,(c b a 就是点P 的坐标

2、在x 轴上的点分别可以表示为),0,0(),0,,0(),0,0,(c b a ，

在坐标平面xOy ，xOz ，yOz 内的点分别可以表示为),,0(),,0,(),0,,(c b c a b a ;

3、点),,(c b a P 关于x 轴的对称点的坐标为),,(c b a --

点),,(c b a P 关于y 轴的对称点的坐标为),,(c b a --；

点),,(c b a P 关于z 轴的对称点的坐标为),,(c b a --；

点),,(c b a P 关于坐标平面xOy 的对称点为),,(c b a -；

点),,(c b a P 关于坐标平面xOz 的对称点为),,(c b a -；

点),,(c b a P 关于坐标平面yOz 的对称点为),,(c b a -；

点),,(c b a P 关于原点的对称点),,(c b a ---。

4. 已知空间两点),,(),,(222111z y x Q z y x P ，则线段PQ 的中点坐标为

)2

,2,2(212121z z y y x x +++ 5．空间两点间的距离公式

已知空间两点),,(),,(222111z y x Q z y x P ， 则两点的距离为221221221)()()(||z z y y x x PQ -+-+-= ，

特殊地,点),,(z y x A 到原点O 的距离为222||z y x AO ++=;

5．以),,(000z y x C 为球心,r 为半径的球面方程为2202020)()()(r z z y y x x =-+-+-

特殊地,以原点为球心,r 为半径的球面方程为2

222r z y x =++ ★重难点突破★

重点:了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系表示点的位置，会推导和使用空间两点间

的距离公式

难点:借助空间想象和通过与平面直角坐标系的类比，认识空间点的对称及坐标间的关系

重难点: 在空间直角坐标系中，点的位置关系及空间两点间的距离公式的使用

1．借助空间几何模型进行想象，理解空间点的位置关系及坐标关系

问题1：点),,(c b a P 到y 轴的距离为

[解析]借助长方体来思考，以点P O ,为长方体对角线的两个顶点，点),,(c b a P 到y 轴的距离为长方体一条面对角线的长度，其值为22c a +

2．将平面直角坐标系类比到空间直角坐标系

问题2：对于任意实数,,x y z 值

[解析]在空间直角坐标系中，表示空间点

(,,)x y z 到点(0,0,0)的距离与到点(1,2,1)-的距离之和，它的最小值就是点(0,0,0)与点

(1,2,1)-

。

3．利用空间两点间的距离公式，可以解决的几类问题

(1)判断两条相交直线是否垂直

(2)判断空间三点是否共线

(3)得到一些简单的空间轨迹方程

★热点考点题型探析★

考点1: 空间直角坐标系

题型1: 认识空间直角坐标系

[例1 ]（1）在空间直角坐标系中，y a =表示 （ ）

A ．y 轴上的点

B ．过y 轴的平面

C ．垂直于y 轴的平面

D ．平行于y 轴的直线

（2）在空间直角坐标系中，方程x y =表示

A ．在坐标平面xOy 中，1，3象限的平分线

B ．平行于z 轴的一条直线

C ．经过z 轴的一个平面

D ．平行于z 轴的一个平面

【解题思路】认识空间直角坐标系,可以类比平面直角坐标系,如在平面直角坐标系坐标系中,

方程1=x 表示所有横坐标为1的点的集合

[解析]（1）y a =表示所有在y 轴上的投影是点)0,,0(a 的点的集合，所以y a =表示经

过点)0,,0(a 且垂直于y 轴的平面

（2）方程x y =表示在任何一个垂直于z 轴的一个平面内，1，3象限的平分线组成的集合

【名师指引】(1)类比平面直角坐标系,可以帮助我们认识空间直角坐标系

(2)要从满足某些特殊条件的点的坐标特征去思考问题。如：

经过点)0,0,(a 且垂直于x 轴的平面上的点都可表示为),,(z y a

题型2: 空间中点坐标公式与点的对称问题

[例2 ] 点),,(c b a P 关于z 轴的对称点为1P ，点1P 关于平面xOy 的对称点为2P ，则2P 的坐标为

【解题思路】类比平面直角坐标系中的对称关系，得到空间直角坐标系中的对称关系

[解析]因点P 和1P 关于z 轴对称, 所以点P 和1P 的竖坐标相同,且在平面xOy 的射影关于原点对称,故点1P 的坐标为),,(c b a --,

又因点1P 和2P 关于平面xOy 对称, 所以点2P 坐标为),,(c b a ---

【名师指引】解决空间点的对称问题,一要借助空间想象,二要从它们在坐标平面的射影找关系,如借助空间想象,在例2中可以直接得出点2P 为点),,(c b a P 关于原点的对称点,故坐标为),,(c b a ---

【新题导练】

1．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的顶点坐标分别为(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0)A B D ，1(0,0,5)A ，则1C 的坐标为 。

[解析]正四棱柱1111ABCD A B C D -过点A 的三条棱恰好是坐标轴，

∴1C 的坐标为（2，2，5）

2．平行四边形ABCD 的两个顶点的的坐标为)3,2,3(),3,1,1(--B A ，对角线的交点为)4,0,1(M ，则顶点C 的坐标为 , 顶点D 的坐标为

[解析]由已知得线段AC 的中点为M ,线段BD 的中点也是M ,由中点坐标公式易得 )5,1,3(-C ，)11,2,1(--D

3．已知(4,3,1)M -，记M 到x 轴的距离为a ，M 到y 轴的距离为b ，M 到z 轴的距离

为c ，则（ ）

A ．a b c >>

B ．c b a >>

C ．c a b >>

D ．b c a >>

[解析]借助长方体来思考, a 、b 、c 分别是三条面对角线的长度。

5,17,10===∴c b a ，选C

考点2：空间两点间的距离公式

题型：利用空间两点间的距离公式解决有关问题

[例3 ] 如图：已知点(1,1,0)A ，对于Oz 轴正半轴上任意一点P ，在Oy

B ，使得PA AB ⊥恒成立？若存在，求出B 【解题思路】转化为距离问题，即证明222PB AB PA =+

[解析]设 ),0,0(c P )0,,0(b B ，

对于Oz 轴正半轴上任意一点P ，假设在Oy 轴上存在一点B ，使得PA 则222PB AB PA =+ 222222222)0()0()00(])00()1()01[(])0()10()10[(-+-+-=-+-+-+-+-+-∴c b b c 即22)1(3b b =-+，解得：2=b

所以存在这样的点B ，当点B 为(0,2,0)时，PA AB ⊥恒成立

【名师指引】在空间直角坐标系中，利用距离可以证明垂直问题。此外，用距离还可以解决空间三点共线问题和求简单的点的轨迹。

【新题导练】

4．已知(,5,21),(1,2,2)A x x x B x x --+-，当,A B 两点间距离取得最小值时，x 的值为 （ ）

A ．19

B ．87-

C ．87

D ．1914

[解析]75)78(14191214)33()23()1(||22222+-=+-=-+-+-=

x x x x x x AB 当=x 87

时，||AB 取得最小值 5．已知球面222(1)(2)(3)9x y z -+++-=，与点(3,2,5)A -，则球面上的点与点A 距

离的最大值与最小值分别是 。

[解析]球心6),3,2,1(=-AC C ，球面上的点与点A 距离的最大值与最小值分别是9和3

6．已知三点(1,1,2),(1,2,1),(,0,3)A B C a --，是否存在实数a ，使A 、B 、C 共线？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由。

[解析] AB ==

AC ==

BC ==

因为BC AB >，所以，若,,A B C 三点共线，有BC AC AB =+或AC BC AB =+， 若BC AC AB =+，整理得：2

518190a a ++=，此方程无解； 若AC BC AB =+，整理得：2

518190a a ++=，此方程也无解。 所以不存在实数a ，使A 、B 、C 共线。

★抢分频道★

基础巩固训练

1．将空间直角坐标系(右手系)画在纸上时，我们通常将x 轴与y 轴，x 轴与z 轴所成的角画成（ ）

A ．090

B ．0135

C ．045

D ．0

75

解析：选B

2. 点(3,4,5)P 在yoz 平面上的投影点1P 的坐标是 （ ）

A ．(3,0,0)

B ．(0,4,5)

C ．(3,0,5)

D ． (3,4,0) 解析：两点的纵坐标、竖坐标不变，选B

3. 三棱锥ABC O -中，)3,0,0(),0,1,0(),0,0,2(),0,0,0(C B A O 此三棱锥的体积为（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ． 6

[解析] OC OB OA ,,两两垂直，13212

131=????=-ABC O V 4．（2007山东济宁模拟）设点B 是点A(2,-3,5)关于平面xOy 的对称点，则|AB|等于( )

A ．10

B ．10

C ．38

D ．38

[解析] A

点A(2,-3,5)关于平面xOy 的对称点为)5,3,2(--B ,

10)]5(5[)]3(3[)22(222=--+---+-=AB

5．（2007年湛江模拟）点)3,2,1(P 关于y 轴的对称点为1P ， P 关于平面xOz 的对称点为2P ，则||21P P =

[解析] )3,2,1(1--P ，)3,2,1(2-P ，56||21=∴P P

6．正方体不在同一表面上的两顶点P （-1，2，-1），Q （3，-2，3），则正方体的体积是

[解析] Q P ,Θ不共面，PQ ∴为正方体的一条对角线，34=PQ ，正方体的棱长为4，体积为64

综合提高训练

7．空间直角坐标系中，到坐标平面xOy ，xOz ，yOz 的距离分别为2，2，3的点有

A.1个

B.2个

C.4个

D.8个

解析：8个。分别为（3，2，2）、（3，2，-2）、（3，-2，2）、（3，-2，-2）、（-3，2，2）、（-3，2，-2）、（-3，-2，2）、（-3，-2，-2）

8．（2007山东昌乐模拟）三角形ABC 的三个顶点的坐标为)4,1,6(),3,2,4(),11,2,1(--C B A ，则ABC ?的形状为（ ）

A ．正三角形

B ．锐角三角形

C ．直角三角形

D ．钝角三角形

[解析] C

89

)311()22()41(||222=-+--+-=AB 75

)411()12()64(||222=-++-+-=AC 14)43()12()64(||222=-+++-=BC

222AB BC AC =+∴

9．(2008年佛冈一中模拟)已知空间直角坐标系xyz O -中有一点)2,1,1(--A ，点B 是平面xOy 内的直线1=+y x 上的动点，则B A ,两点的最短距离是（ ）

A ．6

B ．234

C ．3

D ． 2

17 [解析]因为点B 在xoy 平面内的直线1x y +=上，故可设点B 为(,1,0)x x -+， 所以217)21(2922)20()2()1(22222+-=+-=-++-++=x x x x x AB ， 所以当21时，AB 取得最小值234，此时点B 为)0,2

1,21(。 10．如图，以棱长为a 的正方体的三条棱为坐标轴，建立空间直角坐标系O xyz -，点P 在正方体的对角线AB 上，点Q 在正方体的棱CD 上。

（1）当点P 为对角线AB 的中点，点Q 在棱CD 上运动时，

探究PQ 的最小值；

（2）当点P 在对角线AB 上运动，点Q 为棱CD 的中点时， 探究PQ 的最小值；

[解析]由已知(,,0),(0,,0),(0,,),(0,0,)A a a C a D a a B a ，

（1）当点P 为对角线AB 的中点时，点P 坐标为(,,)222

a a a ，

设(0,,)Q a z ，则PQ =

当2

a z =时，PQ 取到最小值为2，此时Q 为CD 的中点。 （2）当点Q 为棱CD 的中点时，点Q 的坐标为(0,,)2

a

a ，设:AP AB k =，则(1)P x a k =-，

(1)P y a k =-，P z ak =，所以P 点的坐标为((1),(1),)a k a k ak --，

所以PQ =当12k =，即P 为AB 的中点时，PQ 取到最小值2a 。

七年级第六章平面直角坐标系基础训练题

七年级第六章平面直角坐标系基础训练题 一、填空题 1、原点O 的坐标是 ，x 轴上的点的坐标的特点是 ，y 轴上的点的坐标的特点是 ；点M （a ，0）在 轴上。 2、点A （﹣1，2）关于y 轴的对称点坐标是 ；点A 关于原点的对称点的坐标是 。点A 关于x 轴对称的点的坐标为 3、已知点M ()y x ,与点N ()3,2--关于x 轴对称，则______=+y x 。 4、已知点P ()3,3b a +与点Q ()b a 2,5+-关于x 轴对称，则___________==b a 。 5、点P 到x 轴的距离是2，到y 轴的距离是3，则P 点的坐标是 。 6、线段CD 是由线段AB 平移得到的。点A （–1，4）的对应点为C （4，7），则点B （–4，–1）的对应点D 的坐标为______________。 7、在平面直角坐标系内，把点P （－5，－2）先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后得到的点的坐标是 。 8、将点P(-3，y)向下平移3个单位，向左平移2个单位后得到点Q(x ，-1)，则xy=___________ 。 9、已知AB ∥x 轴，A 点的坐标为（3，2），并且AB ＝5，则B 的坐标为 。 10、A （– 3，– 2）、B （2，– 2）、C （– 2，1）、D （3，1）是坐标平面内的四个点，则线段AB 与CD 的关系是_________________。 11、在平面直角坐标系内，有一条直线PQ 平行于y 轴，已知直线PQ 上有两个点，坐标分别为（－a ，－2）和（3，6），则=a 。 12 、点A 在x 轴上，位于原点左侧，距离坐标原点7个单位长度，则此点的坐标为 ； 13、在Y 轴上且到点A （0，－3）的线段长度是4的点B 的坐标为___________________。 14、在坐标系内，点P （2，－2）和点Q （2，4）之间的距离等于 个单位长度。线段PQ 的中点的坐标是________________。 15、已知P 点坐标为（2－a ，3a ＋6），且点P 到两坐标轴的距离相等，则点P 的坐标是_________________________________________________。 16、已知点A （－3+a ，2a+9）在第二象限的角平分线上，则a 的值是____________。 17、已知点P （x ，－y ）在第一、三象限的角平分线上，由x 与y 的关系是_____________。 18、若点B(a ，b)在第三象限，则点C(－a+1，3b －5) 在第____________象限。 19、如果点M （x+3，2x －4）在第四象限内，那么x 的取值范围是______________。 20、已知点P 在第二象限，且横坐标与纵坐标的和为1，试写出一个符合条件的点P 。点K 在第三象限，且横坐标与纵坐标的积为8，写出两个符合条件的点 。 21、已知点A （a ，0）和点B （0，5）两点，且直线AB 与坐标轴围成的三角形的面积等于10，则a 的值是________________。 22、已知0=mn ，则点（m ，n ）在 。 二、选择题 1、在平面直角坐标系中，点() 1,12+-m 一定在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 2、如果点A （a.b ）在第三象限，则点B （－a+1,3b －5）关于原点的对称点是（ ） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 3、点P （a ，b ）在第二象限，则点Q(a-１，b+1)在( ) （A ） 第一象限 （B ） 第二象限 （C ） 第三象限 (D)第四象限 4、若4,5==b a ，且点M （a ，b ）在第二象限，则点M 的坐标是（ ）

空间直角坐标系》教学设计

《空间直角坐标系》教学设计 （一）教学目标1．知识与技能 （1）使学生深刻感受到空间直角坐标系的建立的背景（2）使学生理解掌握空间中点的坐标表示 2．过程与方法建立空间直角坐标系的方法与空间点的坐标表示 3．情态与价值观通过数轴与数、平面直角坐标系与一对有序实数，引申出建立空间直角坐标系的必要性，培养学生类比和数形结合的思想. （二）教学重点和难点空间直角坐标系中点的坐标表示. （三）教学手段多媒体 （四）教学设计 教学 环节 教学内容师生互动设计意图 复习引入问题情景1 对于直线上的点，我们可以通过数 轴来确定点的位置，数轴上的任意一 点M都可用对应一个实数x表示；对 于平面上的点，我们可以通过平面直 角坐标系来确定点的位置，平面上任 意一点M都可用对应一对有序实数 (x，y)表示；对于空间中的点，我们也 希望建立适当的坐标系来确定点的位 置. 因此，如何在空间中建立坐标系， 就成为我们需要研究的课题. 师：启发学生联想思 考，生：感觉可以 师：我们不能仅凭感 觉，我们要对它的认 识从感性化提升到理 性化. 让学生体 会到点与 数（有序数 组）的对应 关系.培养 学生类比 的思想.

那么假设我们建立一个空间直角坐标系后，空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组(x，y，z)表示出来呢 概念形成问题情景2 空间直角坐标系该如何建立呢 O x X 一维坐标 二维坐标 三维坐标（图） 师：引导学生看 图，单位正方体OABC –D′A′B′C′，让学生认 识该空间直角系O –xyz中，什么是坐标 原点，坐标轴以及坐标 平面. 师：该空间直角坐 标系我们称为右手直 角坐标系. 让学生通过 对一维坐 标、二维坐 标的认识， 体会空间直 角坐标系的 建立过程. 问题情景3 建立了空间直角坐标系以后，空间中 任意一点M如何用坐标表示呢 师：引导学生观察 图， 生：点M对应着 唯一确定的有序实数 组(x，y，z)，x、y、z 分别是P、Q、R在x、 通过幻灯片 展示横坐 标、纵坐标、 竖坐标产生 过程，让 学生从图中

(完整版)3平面直角坐标系知识点及经典练习题

平面直角坐标系 一、本章的主要知识点 （一）有序数对：有顺序的两个数a 与b 组成的数对。 1、记作（a ，b ）； 2、注意：a 、b 的先后顺序对位置的影响。 （二）平面直角坐标系 1、历史：法国数学家笛卡儿最早引入坐标系，用代数方法研究几何图形 ； 2、构成坐标系的各种名称； 3、各种特殊点的坐标特点。 （三）坐标方法的简单应用 1、用坐标表示地理位置； 2、用坐标表示平移。 二、平行于坐标轴的直线的点的坐标特点： 平行于x 轴(或横轴)的直线上的点的纵坐标相同； 平行于y 轴(或纵轴)的直线上的点的横坐标相同。 三、各象限的角平分线上的点的坐标特点： 第一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相同； 第二、四象限角平分线上的点的横纵坐标相反。 四、与坐标轴、原点对称的点的坐标特点： 关于x 轴对称的点的横坐标相同,纵坐标互为相反数 关于y 轴对称的点的纵坐标相同,横坐标互为相反数 关于原点对称的点的横坐标、纵坐标都互为相反数 五、特殊位置点的特殊坐标： 一、判断题 （1）坐标平面上的点与全体实数一一对应（ ） （2）横坐标为0的点在 轴上（ ） （3）纵坐标小于0的点一定在轴下方（ ） （4）到 轴、 轴距离相等的点一定满足横坐标等于纵坐标（ ） 坐标轴上 点P （x ，y ） 连线平行于 坐标轴的点 点P （x ，y ）在各象限 的坐标特点 象限角平分线上 的点 X 轴 Y 轴 原点 平行X 轴 平行Y 轴 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 第一、 三象限 第二、四象限 (x,0) (0,y) (0,0) 纵坐标相同横坐标不同 横坐标相同纵坐标不同 x ＞0 y ＞0 x ＜0 y ＞0 x ＜0 y ＜0 x ＞0 y ＜0 (m,m) (m,-m) P （x ，y ） P （x ，y －a ） P （x －a ，y ） P （x ＋a ，y ） P （x ，y ＋a ） 向上平移a 个单位 向下平移a 个单位 向右平移a 个单位 向左平移a 个单位

完整word版平面直角坐标系基础知识讲解

平面直角坐标系（基础）知识讲解 【学习目标】 1.理解平面直角坐标系概念，能正确画出平面直角坐标系. 2.能在平面直角坐标系中,根据坐标确定点,以及由点求出坐标，掌握点的坐标的特征. 3.由数轴到平面直角坐标系,渗透类比的数学思想. 【要点梳理】 要点一、有序数对 定义：把有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作(a，b)． 要点诠释： 有序，即两个数的位置不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同，如电影院的座位是6排7号，可以写成(6，7)的形式，而(7，6)则表示7排6号． 要点二、平面直角坐标系与点的坐标的概念 1. 平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1). 要点诠释：平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的. 2. 点的坐标 平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点P的坐标，记作:P(a,b)，如图2. 要点诠释：）表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，（1”隔开．

（2）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离. (3) 对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的． 要点三、坐标平面 1. 象限 建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下 图． 要点诠释： （1）坐标轴x轴与y轴上的点(包括原点)不属于任何象限． （2）按方位来说：第一象限在坐标平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方，第四象限在右下方. 2. 坐标平面的结构 坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限. 这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点. 要点四、点坐标的特征 1.各个象限内和坐标轴上点的坐标符号规律 要点诠释： （1）对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上. （2）坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0． （3）根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置；反之，根据点在坐标平面上的位置也可以判断点的坐标的符号情况． 2.象限的角平分线上点坐标的特征 第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)； 第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，-a)． 3.关于坐标轴对称的点的坐标特征 P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为 (a,-b)； P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为 (-a,b)； P(a，b)关于原点对称的点的坐标为 (-a,-b)． 4.平行于坐标轴的直线上的点

最新空间直角坐标系专题学案(含答案解析)

第九讲 空间直角坐标系 时间： 年 月 日 刘老师 学生签名： 一、 兴趣导入 二、 学前测试 要点考向1：利用空间向量证明空间位置关系 考情聚焦：1．平行与垂直是空间关系中最重要的位置关系，也是每年的必考内容，利用空间向量判断空间位置关系更是近几年高考题的新亮点。 2．题型灵活多样，难度为中档题，且常考常新。 考向链接：1．空间中线面的平行与垂直是立体几何中经常考查的一个重要内容，一方面考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；另一个方面考查“向量法”的应用。 2．空间中线面的平行与垂直的证明有两个思路：一是利用相应的判定定理和性质定理去解决；二是利用空间向量来论证。 例1：如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF ∥AB ，EF FB ⊥，2AB EF =， 90BFC ∠=?，BF FC =，H 为BC 的中点。 (1)求证：FH ∥平面EDB ； (2)求证：AC ⊥平面EDB ； (3)求二面角B DE C --的大小。 【命题立意】本题主要考查了空间几何体的线面平行、线面垂直的证明、二面角的求解的问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。 【思路点拨】可以采用综合法证明，亦可采用向量法证明。 【规范解答】 E F B C D H G X Y Z

,,//,,,,,,,. ABCD AB BC EF FB EF AB AB FB BC FB B AB FBC AB FH BF FC H BC FH BC AB BC B FH ABC ∴⊥⊥∴⊥=∴⊥∴⊥=∴⊥=∴⊥Q Q I I 四边形为正方形，又且，平面又为中点，且平面 H HB GH HF u u u r u u u r u u u r 如图，以为坐标原点，分别以、、的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立坐标系， 1,(1,2,0),(1,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,1,1),(0,0,1).BH A B C D E F =-----令则 (1) (0,0,1), (0,0,1),////HF HF GE HF HF ∴==∴??∴u u r u u u r u u r u u u r Q 设AC 与BD 的交点为G ，连接GE 、GH,则G （0,-1,0），GE 又GE 平面EDB,平面EDB,平面EDB (2) (2,2,0),(0,0,1),0,. AC AC AC AC AC =-=∴=∴⊥⊥∴⊥u u u r u u r u u u r u u r Q g I GE GE GE 又BD,且GE BD=G ，平面EBD. (3) 1111111(1,,),(1,1,1),(2,2,0). 010,10,220011,0y z BE BD BE y z y z y BD ==--=--?=--+=??=-=??--==? ??∴=-u u r u u u r u u u r Q u u u r u u r g u u u r u u r g u u r 1111设平面BDE 的法向量为n n 由即，得，n n （，） 2222222(1,,),(0,2,0),(1,1,1). 00,01,10010,-1y z CD CE CD y y z y z CE ==-=-?==??==-??-+==? ??∴=u u r u u u r u u u r Q u u u r u u r g u u u r u u r g u u r 2222设平面CDE 的法向量为n n 由即，得，n n （，） 121212121 cos ,,2||||,60,n n n n n n n n ∴<>===∴<>=o o u r u u r u r u u r g u r u u r u r u u r 即二面角B-DE-C 为60。 【方法技巧】1、证明线面平行通常转化为证明直线与平面内的一条直线平行； 2、证明线面垂直通常转化为证明直线与平面内的两条相交直线垂直； 3、确定二面角的大小，可以先构造二面角的平面角，然后转化到一个合适的三角形中进行求解。 4、以上立体几何中的常见问题，也可以采用向量法建立空间直角坐标系，转化为向量问

(完整版)七年级平面直角坐标系知识点大全

初七年级平面直角坐标系知识点大全 1、有序数对：我们把这种有顺序的两个数a与b组成的数队，叫做有序数对。 2、平面直角坐标系：我们可以在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。 水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向 竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向 两坐标轴的交战为平面直角坐标系的原点 3、象限：坐标轴上的点不属于任何象限 第一象限：x>0，y>0 第二象限：x<0，y>0 第三象限：x<0，y<0 第四象限：x>0，y<0 横坐标轴上的点：（x，0） 纵坐标轴上的点：（0，y） 4、距离问题：点（x，y）距x轴的距离为y的绝对值 距y轴的距离为x的绝对值 坐标轴上两点间距离：点A（x1，0）点B（x2，0），则AB距离为x1-x2的绝对值 点A（0，y1）点B（0，y2），则AB距离为y1-y2的绝对值 5、绝对值相等的代数问题：a与b的绝对值相等，可推出 1）a=b或者 2）a=-b 6、角平分线问题 若点（x，y）在一、三象限角平分线上，则x=y 若点（x，y）在二、四象限角平分线上，则x=-y 7、对称问题：一点关于x轴对称，则x同y反 关于y轴对称，则y同x反 关于原点对称，则x反y反 8、距离问题：坐标系上点（x，y）距原点距离为 坐标系中任意两点（x1，y1），（x2，y2）之间距离为 9、中点坐标：点A（x1，0）点B（x2，0），则AB中点坐标为 10、平移： 在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右平移a个单位长度，可以得到对应点（x+a，y） 向左平移a个单位长度，可以得到对应点（x-a，y） 向上平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y+b） 向下平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y-b） 1

(完整)平面直角坐标系练习题(巩固提高篇)

平面直角坐标系练习题（巩固提高篇） 一、选择题： 1、下列各点中，在第二象限的点是（） A．（2，3） B．(2,－3) C．(－2,3) D．(－2, －3) 2、已知点M(－2,b)在第三象限，那么点N(b, 2 )在（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3、若点P（a，b）在第四象限，则点M（b-a，a-b）在（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4、已知点P（a,b）,且ab＞0,a＋b＜0,则点P在（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5、如果点P（a,b）在第二象限内，那么点P（ab,a-b）在（） A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 6、若点P（x ,y）的坐标满足xy=0(x≠y)，则点P在（） A．原点上 B．x轴上 C．y轴上 D．x轴上或y轴上 7、平面直角坐标中，和有序实数对一一对应的是（） A．x轴上的所有点 B．y轴上的所有点 C．平面直角坐标系内的所有点 D．x轴和y轴上的所有点 8、将点A（-4，2）向上平移3个单位长度得到的点B的坐标是（） A. （-1，2） B. （-1，5） C. （-4，-1） D. （-4，5） 9、线段CD是由线段AB平移得到的,点A（–1，4）的对应点为C（4，7），则点B（-4，–1）的对应点D的 坐标为（） A．（2，9） B．（5，3） C．（1，2） D．（– 9，– 4） 10、点P（m+3，m+1）在x轴上，则P点坐标为（） A．（0，-2）B．（2，0）C．（4，0）D．（0，-4） 11、点P的横坐标是-3，且到x轴的距离为5，则P点的坐标是（） A. （5，-3）或（-5，-3） B. （-3，5）或（-3，-5） C. （-3，5） D. （-3，-5） 12、已知点P（x，y）在第四象限，且│x│=3，│y│=5，则点P的坐标是（） A．（-3，5）B．（5，-3）C．（3，-5）D．（-5，3） 13、点P（x,y）位于x轴下方，y轴左侧，且x=2 ，y=4，点P的坐标是（） A．（4，2） B．（－2，－4） C．（－4，－2） D．（2，4） 14、点P（0，－3），以P为圆心，5为半径画圆交y轴负半轴的坐标是（） A．（8，0） B．（ 0，－8） C．（0，8） D．（－8，0） 15、点E（a,b）到x轴的距离是4，到y轴距离是3，则有（） A．a=3, b=4 B．a=±3,b=±4 C．a=4, b=3 D．a=±4,b=±3

重庆高中数学必修二 第四章《空间直角坐标系》全套教案

《空间直角坐标系》教案设计 （一）教学目标 1．知识与技能 （1）使学生深刻感受到空间直角坐标系的建立的背景 （2）使学生理解掌握空间中点的坐标表示 2．过程与方法 建立空间直角坐标系的方法与空间点的坐标表示 3．情态与价值观 通过数轴与数、平面直角坐标系与一对有序实数，引申出建立空间直角坐标系的必要性，培养学生类比和数形结合的思想. （二）教学重点和难点 空间直角坐标系中点的坐标表示. （三）教学手段多媒体 （四）教学设计 教学 环节 教学内容师生互动设计意图 复习引入问题情景1 对于直线上的点，我们可以通过数 轴来确定点的位置，数轴上的任意一 点M都可用对应一个实数x表示；对 于平面上的点，我们可以通过平面直 角坐标系来确定点的位置，平面上任 意一点M都可用对应一对有序实数 师：启发学生联想思 考， 生：感觉可以 师：我们不能仅凭感 觉，我们要对它的认 识从感性化提升到理 性化. 让学生体 会到点与 数（有序数 组）的对应 关系.培养 学生类比 的思想.

(x，y)表示；对于空间中的点，我们也希望建立适当的坐标系来确定点的位置. 因此，如何在空间中建立坐标系，就成为我们需要研究的课题. 那么假设我们建立一个空间直角坐标系后，空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组(x，y，z)表示出来呢？ 概念形成问题情景2 空间直角坐标系该如何建立呢？ O x X 一维坐标 二维坐标 三维坐标（图4.3-1） 师：引导学生看图 4.3-1，单位正方体 OABC–D′A′B′C′，让学 生认识该空间直角系 O –xyz中，什么是坐标 原点，坐标轴以及坐标 平面. 师：该空间直角坐 标系我们称为右手直 角坐标系. 让学生通过 对一维坐 标、二维坐 标的认识， 体会空间直 角坐标系的 建立过程.

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平面直角坐标系知识点归纳 1 、 在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成了平面直角坐标系； 2 、 坐标平面上的任意一点 P 的坐标，都和惟一的一对 有序实数对 （ a,b ） 一一对应；其中， a 为横坐标， b 为纵坐标坐标； 3 、 x 轴上的点，纵坐标等于 0 ； y 轴上的点，横坐标等于 0 ； Y 坐标轴上的点 不属于 任何象限； b P(a,b) 4 、四个象限的点的坐标具有如下特征： 1 象限 横坐标 x 纵坐标 y -3 -2 -1 0 1 a x -1 第一象限 正 正 -2 第二象限 负 正 -3 第三象限 负 负 第四象限 正 负 小结：（ 1 ）点 P （ x, y ）所在的象限 横、纵坐标 x 、 y 的取值的正负性； （ 2 ）点 P （ x, y ）所在的数轴 横、纵坐标 x 、 y 中必有一数为零； y 5 、在平面直角坐标系中，已知点 P (a,b) ，则 a 点 P 到 x 轴的距离为 b P （ a, b ） （1 ） b ； （ 2 ）点 P 到 y 轴的距离为 a ； （3 ） 点 P 到原点 O 的距离为 PO ＝ a 2 b 2 b 6 、平行直线上的点的坐标特征： O a x a) 在与 x 轴平行的直线上， 所有点的纵坐标相等； Y A B 点 A 、 B 的纵坐标都等于 m ； m X b) 在与 y 轴平行的直线上，所有点的横坐标相等； Y C 点 C 、 D 的横坐标都等于 n ； n D X

平面直角坐标系基础篇

一、填空题 1.已知点O（0，0），B（1，2），点A在坐标轴上，且S =2，则满足条件的点A的坐标为． △OAB 2.已知AB∥x轴，且AB=3，若点A的坐标是（﹣1，2），则B点的坐标是． 3.已知：点A（0，5），B（0，2），在坐标轴上找点C，使△ABC的面积为5，则点C的坐标是 ． 4.在平面直角坐标系中，若点M（﹣2，6）与点N（x，6）之间的距离是3，则x的值是． 5.在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点坐标分别为（﹣1，﹣1），（﹣1，1），（5，﹣1），则第四个顶点的坐标是． 6.已知A（2，﹣6），B（2，﹣4），那么线段AB= ． 二、解答题 7.已知：点P(2m－6，m－1)．试分别根据下列条件，求出P点的坐标． (1)点P在y轴上； (2)点P在x轴上； (3)点P的纵坐标比横坐标大3；(4)点P到x轴的距离为2． (5)点P在过A(2，－3)点，且与x轴平行的直线上． (6)点P到坐标轴的距离之和为10． 8.在平面直角坐标系中描出下列各组点，并将各组内的点用线段依次连接起来： （1）（-5，0），（-4，3），（-3，0），（-2，3），（-1，0），（-5，0）； （2）（2，1），（6，1），（6，3），（7，3），（4，6），（1，3），（2，3），（2，1）． 观察得到的图形，你觉得它们像什么？求出所得到图形的面积． 9.在如图所示的平面直角坐标系中描出下面各点：A（0，3）；B（1，﹣3）；C（3，﹣5）；D（﹣3，﹣5）；E（3，5）；F（5，7）；G（5，0）． （1）将点C向x轴的负方向平移6个单位，它与点重合． （2）连接CE，则直线CE与y轴是什么关系？ （3）顺次连接D、E、G、C、D得到四边形DEGC，求四边形DEGC的面积．

初中七年级下册数学平面直角坐标系知识点

初中七年级下册数学平面直角坐标系知识点 初中七年级下册数学平面直角坐标系知识点 一、目标与要求 1.解有序数对的应用意义，了解平面上确定点的常用方法。 3.掌握坐标变化与图形平移的关系;能利用点的平移规律将平面 图形进行平移;会根据图形上点的坐标的变化，来判定图形的移动过程。 4.发展学生的形象思维能力，和数形结合的意识。 5.坐标表示平移体现了平面直角坐标系在数学中的应用。 二、重点 掌握坐标变化与图形平移的关系; 有序数对及平面内确定点的方法。 三、难点 利用坐标变化与图形平移的关系解决实际问题; 利用有序数对表示平面内的点。 四、知识框架 五、知识点、概念总结 1.有序数对：用含有两个数的词表示一个确定的位置，其中各个数表示不同的含义，我们把这种有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作(a，b)其中a表示横轴，b表示纵轴。 2.平面直角坐标系：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。通常，两条数轴

分别置于水平位置与垂直位置，取向右与向上的方向分别为两条数 轴的正方向。水平的数轴叫做X轴或横轴，竖直的数轴叫做Y轴或 纵轴，X轴或Y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标 系的原点。 3.横轴、纵轴、原点：水平的数轴称为x轴或横轴;竖直的数轴 称为y轴或纵轴;两坐标轴的'交点为平面直角坐标系的原点。 4.坐标：对于平面内任一点P，过P分别向x轴，y轴作垂线， 垂足分别在x轴，y轴上，对应的数a，b分别叫点P的横坐标和纵 坐标。 5.象限：两条坐标轴把平面分成四个部分，右上部分叫第一象限，按逆时针方向一次叫第二象限、第三象限、第四象限。坐标轴上的 点不在任何一个象限内。 6.特殊位置的点的坐标的特点 (1)x轴上的点的纵坐标为零;y轴上的点的横坐标为零。 (2)第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等;第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。 (3)在任意的两点中，如果两点的横坐标相同，则两点的连线平 行于纵轴;如果两点的纵坐标相同，则两点的连线平行于横轴。 (4)点到轴及原点的距离。 点到x轴的距离为|y|;点到y轴的距离为|x|;点到原点的距离为 x的平方加y的平方再开根号; 7.在平面直角坐标系中对称点的特点 (2)关于y成轴对称的点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数。(横反纵同) (3)关于原点成中心对称的点的坐标，横坐标与横坐标互为相反数，纵坐标与纵坐标互为相反数。(横纵皆反) 8.各象限内和坐标轴上的点和坐标的规律

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第六章平面直角坐标系练习题 一、（本大题共10 小题，每题 3 分，共 30 分 .在每题所给出的四个选项中，只有一项 是符合题意的 . 把所选项前的字母代号填在题后的括号内.相信你一定会选对！） 1.某同学的座位号为（2,4 ），那么该同学的位置是（） （ A）第 2 排第 4 列（B）第4排第2列（C）第2列第4排（D）不好确定2.下列各点中，在第二象限的点是（） （ A）（ 2， 3）（B）（2，－3）（C）（－2，－3）（D）（－2，3） 3.若x轴上的点P到y轴的距离为 3,则点P的坐标为（） （A）（ 3,0 ）（B）（0,3）（C）（3,0）或（－3,0）（D）（0,3）或（ 0,－ 3） 4.M （m 1 ， m 3 ）在 x 轴上，则点 M 坐标为（）． 点 （A）（ 0，－ 4）（ B）（ 4，0）（C）（－ 2，0）（ D）（0，－ 2 ） 点在 x 轴上方， y 轴左侧，距离 x 轴 2 个单位长度，距离 y 轴 3 个单位长度，则点 5. C C 的坐标为（） （ A）（2,3）（B）（2, 3 ）（C）（3,2 ）（D）（3, 2） 6.如果点P（5, y）在第四象限 ,则y的取值范围是（） （ A）y0（B）y0（C）y0（D）y0 7.如图：正方形 ABCD 中点 A 和点 C 的坐标分别为( 2,3)和 Y 4 (3, 2) ，则点B和点D的坐标分别为（） .A 3D 2 1 1 2 3 4X （ A）(2,2)和(3,3)（B）(2, 2) 和 (3,3)-3 -2 -1-1 B-2 -3 C

（ C）( 2, 2)和(3, 3)（D）(2,2)和(3, 3) 8.一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（－1,－ 1） ,（－ 1,2） ,（3,－ 1）?, 则第四个顶点的坐标为（） （ A）（ 2,2）（B）（ 3,2）（ C）（ 3,3）（ D）（ 2,3） 9.线段 AB 两端点坐标分别为A（1,4），B（4,1），现将它向左平移 4 个单位长度， 得到线段 A1111 ） B，则 A、 B 的坐标分别为（ （ A）A1（5,0 ），B1（8, 3 ）（ B）A1（3,7）， B1（ 0，5） （ C） A1（5,4 ）B1（－8，1）（D） A1（3,4）B1（0,1） 10.在方格纸上有 A、B 两点，若以 B 点为原点建立直角坐标系，则 A 点坐标为（2，5）， 若以 A 点为原点建立直角坐标系，则 B 点坐标为（）. （A）（－ 2，－ 5）（ B）（－ 2， 5）（ C）（ 2，－ 5）（ D）（ 2，5） 二、细心填一填 : （本大题共有 8 小题，每题 3分，共 24 分．请把结果直接填在题中的 横线上．只要你理解概念，仔细运算，积极思考，相信你一定会填对的！） 11.七年级（ 2）班教室里的座位共有 7 排 8 列，其中小明的座位在第 3排第 7 列，简记 为（ 3 ，7），小华坐在第 5 排第 2列，则小华的座位可记作__________. 12.若点 P（a ,b）在第二象限,则点Q（ ab , a b ）在第_______象限. 13.若点 P 到x轴的距离是 12, 到y轴的距离是 15, 那么 P 点坐标可以是（写出 一个即可） . 14.小华将直角坐标系中的猫的图案向右平移了 3 个单位长度 , 平移前猫眼的坐标为（－4,3 ）, （－ 2,3 ） , 则移动后猫眼的坐标为 _________. 15.已知点 P （x， y ）在第四象限，且|x|=3，| y |=5，则点 P 的坐标是______. 16.如图，中国象棋中的“象”，在图中的坐标为（1， 0）， ?若“象”再走一步，试写 出下一步它可能走到的位置的坐标 ________．

高中数学必修二《空间直角坐标系》优秀教学设计

4.3空间直角坐标系 4.3.1空间直角坐标系 教材分析 本节课内容是数学必修2 第四章圆与方程的最后一节的第一小节。 课本之所以把“空间直角坐标系”的内容放在必修2的最后即第四章的最后，原因有三：一、“空间直角坐标系”的内容为以后选修中用空间向量解决空间中的平行、垂直以及空间中的夹角与距离问题打基础，做好准备；二、必修2第三、四章是平面解析几何的基础内容，本节“空间直角坐标系”的内容是空间解析几何的基础，与平面解析几何的内容共同体现了“用代数方法解决几何问题”的解析几何思想；三、本套教材从整体上体现了“螺旋式上升”的思想，本节内容安排“空间直角坐标系”，为以后的学习作铺垫，正是很好地体现了这一思想。 本小节内容主要包含空间直角坐标系的建立、空间中由点的位置确定点的坐标以及由点的坐标确定点的位置等问题。结合图形、联系长方体和正方体是学好本小节的关键。 课时分配 本小节内容用1课时的时间完成，主要讲解空间直角坐标系的建立以及空间中的点与坐标之间的联系。 教学目标 重点：空间直角坐标系，空间中点的坐标及空间坐标对应的点。 难点：右手直角坐标系的理解，空间中的点与坐标的一一对应。 知识点：空间直角坐标系的相关概念，空间中点的坐标以及空间坐标对应的点。 能力点：理解空间直角坐标系的建立过程，以及空间中的点与坐标的一一对应。 教育点：通过空间直角坐标系的建立，体会由二维空间到三维空间的拓展和推广，让学生建立发展的观点；通过空间点与坐标的对应关系，进一步加强学生对“数形结合”思想方法的认识。 自主探究点：如何由空间中点的坐标确定点的位置。 考试点：空间中点的确定及坐标表示。 易错易混点：空间中的点与平面内的点以及它们的坐标之间的联系与区别；空间直角坐标系中x轴上单位长度的选取。 拓展点：不同空间直角坐标系下点的坐标的不同；空间中线段的中点坐标公式。 教具准备多媒体课件和三角板 课堂模式师生互动、小组评分以及兵带兵的课堂模式。 一、引入新课 由数轴上的点和平面直角坐标系内的点的表示引入空间中点的表示。 ,x y 数轴Ox上的点M,可用与它对应的实数x表示；直角坐标平面内的点M可以用一对有序实数()表示。类似于数轴和平面直角坐标系（一维坐标系和二维坐标系），当我们建立空间直角坐标系（三维坐 x y z表示。 标系）后，空间中任意一点可用有序实数组(,,)

七年级下册平面直角坐标系练习题

平面直角坐标系 一、选择题:(每小题3分,共12分) 1.如图1所示,点A 的坐标是 ( ) A.(3,2); B.(3,3); C.(3,-3); D.(-3,-3) 2.如图1所示,横坐标和纵坐标都是负数的点是 ( ) 点 点 点 点 3.如图1所示,坐标是(-2,2)的点是 ( ) A.点A B.点B C.点C D.点D 4.若点M 的坐标是(a,b),且a>0,b<0,则点M 在( ) A.第一象限; B.第二象限; C.第三象限; D.第四象限 二、填空题:(每小题3分,共15分) 1.如图2所示,点A 的坐标为_______,点A 关于x 轴的对称点B 的坐标为______, 点B 关于y 轴的对称点C 的坐标为________. 2.在坐标平面内,已知点A(4,-6),那么点A 关于x 轴的对称点A ′的坐标为_____,点A 关于y 轴的对称点A″的坐标为_______. 3.在坐标平面内,已知点A(a,b),那么点A 关于x 轴的对称点A ′的坐标为______,点A 关于y 轴的对称点A″的坐标为_____. 4.点A(-3,2)在第_______象限,点D(-3,-2)在第 _______象限,点C( 3, 2) 在第______象限,点D(-3,-2)在第_______象限,点E(0,2)在______轴上, 点F( 2, 0) 在______轴上. 5.已知点M(a,b),当a>0,b>0时,M 在第_______象限;当a____,b______时,M 在第二象限;当a_____,b_______时,M 在第四象限;当a<0,b<0时,M 在第______象限. 三、基础训练:(共12分) 如果点A 的坐标为(a 2+1,-1-b 2),那么点A 在第几象限?为什么? 四、提高训练:(共15分) 如果点A(t-3s,2t+2s),B(14-2t+s,3t+2s-2)关于x 轴对称,求s,t 的值. 五、探索发现:(共15分) 如图所示,C,D 两点的横坐标分别为2,3,线段CD=1;B,D 两点的横坐标分别为-2,3,线段BD=5;A,B 两点的横坐标分别为-3,-2,线段AB=1. (1)如果x 轴上有两点M(x 1,0),N(x 2,0)(x 1

空间直角坐标系教案

【课题】4.3.1空间直角坐标系 【教材】人教A版普通高中数学必修二第134页至136页. 【课时安排】1个课时. 【教学对象】高二（上）学生.【授课教师】*** 一．教材分析： 本节内容主要引入空间直角坐标系的基本概念，是在学生已学过的二维平面直角坐标系的基础上进行推广，为以后学习用空间向量解决空间中的平行、垂直以及空间中的夹角与距离问题、研究空间几何对象等内容打下良好的基础。 空间直角坐标系的知识是空间解析几何的基础，与平面解析几何的内容共同体现了“用代数方法解决几何问题”的解析几何思想；通过空间直角坐标系内任一点与有序数组的对应关系，实现了形向数的转化，将数与形紧密结合，提供一个度量几何对象的方法。其对于沟通高中各部分知识，完善学生的认知结构，起到了很重要的作用。 二．教学目标： ?知识与技能 （1）能说出空间直角坐标系的构成与特征； （2）掌握空间点的坐标的确定方法和过程； （3）能初步建立空间直角坐标系。 ?过程与方法 （1）结合具体问题引入，诱导学生自主探究； （2）类比学习，循序渐进。 1

情感态度价值观 （1）通过实际问题的引入和解决，让学生体会数学的实践性和应用性，感受数学刻画生活的作用，进而拓展自己的思维空间。 （2）通过用类比的数学思想方法探究新知识，使学生感受新旧知识的联系，并加深领会研究事物从低维到高维的方法与过程。 （3）通过对空间坐标系的接触学习，进一步培养学生的空间想象能力。三．教学重点与难点： 教学重点：空间直角坐标系相关概念的理解；空间中点的坐标表示。 教学难点：右手直角坐标系的理解，空间中点与坐标的一一对应。 四．教学方法：启发式教学、引导探究 五．教学基本流程： ↓ ↓ ↓ ↓ 2

高中数学人教版必修二(浙江专版)学案：4.3空间直角坐标系含答案

4.3空间直角坐标系 4．3.1&4.3.2 空间直角坐标系 空间两点间的距离公式 1．在空间直角坐标系中怎样确定空间中任一点的坐标？ 2．空间中线段的中点坐标公式是什么？ 3．空间中两点间的距离公式是什么？ [新知初探] 1．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x 轴、 y 轴、z 轴，这样就建立了空间直角坐标系O -xyz . (2)相关概念：点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面． 2．右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 3．空间一点的坐标 空间一点M 的坐标可以用有序实数组(x ，y ，z )来表示，有序实数组(x ，y ，z )叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M (x ，y ，z )．其中x 叫点M 的横坐标，y 叫点M 的纵坐标，z 叫点M 的竖坐标． [点睛] 空间直角坐标系的画法 (1)x 轴与y 轴成135°(或45°)，x 轴与z 轴成135°(或45°)． (2)y 轴垂直于z 轴，y 轴和z 轴的单位长相等，x 轴上的单位长则等于y 轴单位长的1 2. 4．空间两点间的距离公式 (1)点P (x ，y ，z )到坐标原点O (0,0,0)的距离 |OP |＝ x 2 ＋y 2 ＋z 2 . 预习课本P134～137，思考并完成以下问题

(2)任意两点P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)间的距离 |P 1P 2|＝ x 1－x 2 2 ＋y 1－y 2 2 ＋z 1－z 2 2 . [点睛] (1)空间两点间的距离公式可以类比平面上两点间的距离公式，只是增加了对应的竖坐标的运算． (2)空间中点坐标公式：设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB 中点P ? ????x 1＋x 22 ，y 1＋y 22，z 1＋z 22. [小试身手] 1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空间直角坐标系中，在x 轴上的点的坐标一定是(0，b ，c )的形式( ) (2)空间直角坐标系中，在xOz 平面内的点的坐标一定是(a,0，c )的形式( ) (3)空间直角坐标系中，点(1，3，2)关于yOz 平面的对称点为(－1，3，2)( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ 2．在空间直角坐标系中，点P (3,4,5)与Q (3，－4，－5)两点的位置关系是( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于xOy 平面对称 C ．关于坐标原点对称 D ．以上都不对 解析：选A 点P (3,4,5)与Q (3，－4，－5)两点的横坐标相同，而纵、竖坐标互为相反数，所以两点关于x 轴对称． 3．空间两点P 1(1,2,3)，P 2(3,2,1)之间的距离为________． 解析：|P 1P 2|＝－2 2 ＋02＋22 ＝2 2. 答案：2 2 空间中点的坐标的求法 [典例] 在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是D 1D ，BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG ＝1 4 CD ，H 为C 1G 的中点，试建立适当的坐标系，写出E ，F ，G ，H 的坐标． [解] 建立如图所示的空间直角坐标系．点E 在z 轴上，它的x 坐标、y 坐标均为0，而 E 为DD 1的中点，故其坐标为? ?? ??0，0，12. 由F 作FM ⊥AD ，FN ⊥DC ，垂足分别为M ，N ， 由平面几何知识知FM ＝12，FN ＝1 2 ，

平面直角坐标系知识点归纳

平面直角坐标系知识点归纳 1、在平面内,两条互相垂直且有公共原点的数轴组成了平面直角坐标系; 2、坐标平面上的任意一点P 的坐标,都和惟一的一对有序实数对 (b a ,) 一一对应;其,a 为横坐标,b 为纵坐标坐标; 3、x 轴上的点,纵坐标等于0;y 轴上的点,横坐标等于0 坐标轴上的点 不属于任何象限; 4、四个象限的点的坐标具有如下特征:

小结:(1)点P ( y x ,)所在的象限横、纵坐标x 、y 的取值的正负性; (2)点P (y x ,)所在的数轴横、纵坐标x 、y 必有一数为零; 在平面直角坐标系,已知点P ),(b a ,则(1) 点P 到x 轴的距离 为b ; (2)点P 到y 轴的距离为a ; (3) 点P 到原点O 的距离为PO = 2 2b a + 5、平行直线上的点的坐标特征: a) 在与x 轴平行的直线上, 所有点的纵坐标相等; 点A 、B 的纵坐标都等于m ;

y 点C 、D 的横坐标都等于n ; 6、对称点的坐标特征: a) 点P ),(n m 关于x 轴的对称点为),(1n m P -, 即横坐标不变,纵坐标互为相反数; P (b a ,) a b x y O X Y A B m B X a b b) 点P ),(n m 关于y 轴的对称点为),(2n m P -, 即纵坐标不变,横坐标互为相反数; 点P ),(n m 关于原点的对称点为),(3n m P --,即横、纵坐标都互为相反数;

关于x 关于y 轴对称关于原点对称 7、两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征: a) 若点P (n m ,)在第一、三象限的角平分线上,则n m =,即横、纵坐标相等; b) 若点P (n m ,)在第二、四象限的角平分线上,则n m -=,即横、纵坐标互为相反数; 在第一、三象限的角平分线上在第二、四象限的角平分线上基本练习: 练习1:在平面直角坐标系,已知点P (2,5-+m m )在x 轴上,则P 点坐标为 练习2:在平面直角坐标系,点P ( 4,22 -+m )一定在象限; 练习3:已知点P ( )9,12 --a a 在x 轴的负半轴上,则P 点坐标为 ; 练习4:已知x 轴上一点 A (3,0),y 轴上一点 B (0,b ),且AB=5,则 b 的值为; 练习5:点M (2,-3)关于x 轴的对称点N 的坐标为 ; 关于y 轴的对称点P 的坐标为 ;关于原点的对称点Q 的坐标为。