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高考复习概率与统计知识点归纳总结

高考复习概率与统计知识点归纳总结
高考复习概率与统计知识点归纳总结

概率与统计知识点总结(一)知识点思维导图

(二)常用定理、公式及其变形

1.用样本的数字特征估计总体的数字特征

(1)样本本均值:n

x x x x n +++=Λ21 (2)样本标准差:n

x x x x x x s s n 222212)()()(-++-+-==Λ (3)频率分布直方图估算样本众数、中位数、平均数

①众数:最高小矩形中点值;

②中位数:先确定中位数所在小组,设中位数为m ,由直线x=m 两侧小矩形面积之和等于0.5列方程求m . ③平均数:各小矩形中点值与其面积的积的和.

2.随机事件的概率及概率的意义

(1)随机事件:在条件S 下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件S 的随机事件;

(2)概率定义:在相同的条件S 下重复n 次试验,观察某一事件A 是否出现,称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数;称事件A 出现的比例f n (A)=n n A

为事件A 出现的频率:对于给定的随机事

件A ,如果随着试验次数的增加,事件A 发生的频率f n (A)稳定在某个常数上,把这个常数记作P (A ),称为事件A 的概率.

3.概率的基本性质

(1)事件的包含、并事件、交事件、相等事件

(2)若A∩B 为不可能事件,即A∩B=ф,那么称事件A 与事件B 互斥;

(3)若A∩B 为不可能事件,A∪B 为必然事件,那么称事件A 与事件B 互为对立事件;

(4)当事件A 与B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B);若事件A 与B 为对立事件,则A∪B 为必然事件,所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有P(A)=1—P(B)

4.古典概型及随机数的产生

(1)古典概型的使用条件:试验结果的有限性和所有结果的等可能性.

(2)公式P (A )=总的基本事件个数

包含的基本事件数A 5.几何概型及均匀随机数的产生

(1)几何概率模型:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型;

(2)公式:P (A )=积)

的区域长度(面积或体试验的全部结果所构成积)的区域长度(面积或体构成事件A . 6.随机变量:如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示,并且X 是随着试验的结果的不同而变化,那么这样的变量叫做随机变量. 随机变量常用大写字母X 、Y 等或希腊字母 ξ、η等表示.

7.离散型随机变量的分布列:一般的,设离散型随机变量X 可能取的值为x 1,x 2,..... ,x i ,......,x n .

X 取每一个值 x i (i=1,2,......)的概率P(ξ=x i )=P i ,则称表为离散型随机变量X 的概率分布,简称分布列

分布列性质:

∪ p i ≥0, i =1,2, … ;

∪ p 1 + p 2 +…+p n = 1.

9.条件概率:对任意事件A 和事件B ,在已知事件A 发生的条件下事件B 发生的概率,叫做条件概率.记作P(B|A),读作A 发生的条件下B 的概率公式:.0)(,)

()()|(>=A P A P AB P A B P 10.相互独立事件:事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件,)()()(B P A P B A P ?=?

12.数学期望:一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布为 则称 Eξ=x 1p 1+x 2p 2+…+x n p n 为ξ的数学期望或平均数、均值,数学期望又简称为期望.是离散型随机

变量.

13.方差:D(ξ)=(x 1-Eξ)2·P 1+(x 2-Eξ)2·P 2 +......+(x n -Eξ)2·P n 叫随机变量ξ的均方差,简称方差.

14.正态分布:

(1)定义:若概率密度曲线就是或近似地是函数 的图象,其中解析式中的实数0)μσ

σ>、(是参数,分别表示总体的平均数与标准差.则其分布叫正态分布(,)N μσ记作:,f( x )的图象称为正态曲线;

(2)基本性质:

∪曲线在x 轴的上方,与x 轴不相交;

∪曲线关于直线x=对称,且在x=时位于最高点;

∪当一定时,曲线的形状由确定.越大,曲线越“矮胖”;

表示总体的分布越分散;越小,曲线越“瘦高”,表示总体的

分布越集中;

∪正态曲线下的总面积等于1.

15.3原则:

从上表看到,正态总体在 以外取值的概率只有4.6%,在 以外取值的概率只有0.3% 由于这些概率很小,通常称这些情况发生为小概率事件.也就是说,通常认为这些情况在一次试验中几乎是不可能发生的.

),(,21)(22

2)(+∞-∞∈=--x e x f x σμσ

πμμμσσσσ)2,2(σμσμ+-)3,3(σμσμ+-

17.回归分析

概率统计知识点汇总

概率第一章 (一)概率的加减乘除运算 (二) 概率的计算 1. 古典概型的计算 2. 条件概率的计算 (三) 全概率公式与贝叶斯公式 (四) n 重伯努利试验 概率第二章 (一)随机变量分布函数 1. 分布函数的定义及性质 2. 学会用分布函数表示随机变量落入指定区域的概率 (二)离散型随机变量 1. 具体问题会求解离散型随机变量的分布列 分布列要满足的条件 2. 由分布列会求解分布函数 3. 由分布函数会求解分布列 4. 掌握三个常见的离散型随机变量 (三)连续型随机变量 1. 由分布函数会求解分布密度 2. 由分布密度会求解分布函数 3. 利用分布密度求解未知参数 4. 掌握三个常见的连续型随机变量 (四)随机变量函数的分布 1. 离散型随机变量的函数 2. 连续型随机变量的函数 概率第三章 二维随机向量 (一)联合分布函数的定义及性质 联合概率分布函数定义为____),(=y x F 联合分布函数的性质: ___),(____,),(),(),(=+∞+∞=-∞-∞=-∞=-∞F F y F x F 用联合概率分布函数表示二维随机向量落入指定区域的概率 ____),(2121=≤<≤

概率论重要知识点总结

概率论重要知识点总结 概率论重要知识点总结 第一章随机事件及其概率 第一节基本概念 随机实验:将一切具有下面三个特点: (1)可重复性 (2)多结果性 (3)不确定性的试验或观察称为随机试验,简称为试验,常用表示。 随机事件:在一次试验中,可能出现也可能不出现的事情(结果)称为随机事件,简称为事不可能事件:在试验中不可能出现的事情,记为。必然事件:在试验中必然出现的事情,记为Ω。 样本点:随机试验的每个基本结果称为样本点,记作ω.样本空间:所有样本点组成的集合称为样本空间.样本空间用Ω表示.一个随机事件就是样本空间的一个子集。基本事件—单点集,复合事件—多点集一个随机事件发生,当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。事件的关系与运算(就是集合的关系和运算)包含关系:若事件发生必然导致事件B发生,则称B 包含A,记为,则称事件A与事件B 相等,记为A=B。 事件的和:“事件A 与事件B 至少有一个发生”是一事件,称此事件为事件A 与事件B 事件的积:称事件“事件A与事件B 都发生”为A 或AB。事件的差:称事件“事件A 发生而事件B 不发生”为事件A 与事件B 的差事件,记为A-B。用交并补可以表示为互斥事件:如果A,B两事件不

能同时发生,即AB=Φ,则称事件A 与事件B 是互不相容事件或互斥事件。互斥时可记为A+B。对立事件:称事件“A不发生”为事件A 的对立事件(逆事件),记为A 。对立事件的性质:事件运算律:设A,B,C为事件,则有: (1)交换律:AB=BA,AB=BA A(BC)=(AB)C=ABC (3)分配律:A(BC)=(AB)(AC)ABAC (4)对偶律(摩根律): 第二节事件的概率 概率的公理化体系:第三节古典概率模型1、设试验E 是古典概型,其样本空间Ω个样本点组成.则定义事件A 的概率为的某个区域,它的面积为μ(A),则向区域上随机投掷一点,该点落在区域假如样本空间Ω可用一线段,或空间中某个区域表示,则事件A 的概率仍可用上式确定,只不过把μ理解为长度或体积即可.第四节条件概率条件概率:在事件B 发生的条件下,事件A 发生的概率称为条件概率,记作乘法公式: P(AB)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A)全概率公式:设第五节事件的独立性两个事件的相互独立:若两事件A、B 满足P(AB)=相互独立.三个事件的相互独立:对于三个事件A、B、C,若P(AB)=相互独立三个事件的两两独立:对于三个事件A、B、C,若P(AB)=两两独立独立的性质:若A 均相互独立总结: 1.条件概率是概率论中的重要概念,其与独立性有密切的关系,在不具有独立性的场合,它将扮演主要的角色。 2.乘法公式、全概公式、贝叶斯公式在概率论的计算中经常使用,应

(最全)高中数学概率统计知识点总结

概率与统计 一、普通的众数、平均数、中位数及方差 1、 众数:一组数据中,出现次数最多的数。 2、平均数:①、常规平均数:12n x x x x n ++???+= ②、加权平均数:112212n n n x x x x ωωωωωω++???+=++???+ 3、中位数:从大到小或者从小到大排列,最中间或最中间两个数的平均数。 4、方差:2222121 [()()()]n s x x x x x x n = -+-+???+- 二、频率直方分布图下的频率 1、频率 =小长方形面积:f S y d ==?距;频率=频数/总数 2、频率之和:121n f f f ++???+=;同时 121n S S S ++???+=; 三、频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差 1、众数:最高小矩形底边的中点。 2、平均数: 112233n n x x f x f x f x f =+++???+ 112233n n x x S x S x S x S =+++???+ 3、中位数:从左到右或者从右到左累加,面积等于0.5时x 的值。 4、方差:22221122()()()n n s x x f x x f x x f =-+-+???+- 四、线性回归直线方程:???y bx a =+ 其中:1 1 2 22 1 1 ()() ?() n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx ====---∑∑== --∑∑ , ??a y bx =- 1、线性回归直线方程必过样本中心(,)x y ; 2、?0:b >正相关;?0:b <负相关。 3、线性回归直线方程:???y bx a =+的斜率?b 中,两个公式中分子、分母对应也相等;中间可以推导得到。 五、回归分析 1、残差:??i i i e y y =-(残差=真实值—预报值)。分析:?i e 越小越好; 2、残差平方和:21?()n i i i y y =-∑, 分析:①意义:越小越好; ②计算:222211221 ????()()()()n i i n n i y y y y y y y y =-=-+-+???+-∑ 3、拟合度(相关指数):221 2 1 ?()1() n i i i n i i y y R y y ==-∑=- -∑,分析:①.(]20,1R ∈的常数; ②.越大拟合度越高; 4、相关系数 :()() n n i i i i x x y y x y nx y r ---?∑∑= = 分析:①.[r ∈-的常数; ②.0:r >正相关;0:r <负相关 ③.[0,0.25]r ∈;相关性很弱; (0.25,0.75)r ∈;相关性一般; [0.75,1]r ∈;相关性很强; 六、独立性检验 1、2×2列联表: 2、独立性检验公式 ①.2 2() ()()()() n ad bc k a b c d a c b d -= ++++ ②.犯错误上界P 对照表 3、独立性检验步骤

概率论知识点总结

概率论总结 目录 一、前五章总结 第一章随机事件和概率 (1) 第二章随机变量及其分布 (5) 第三章多维随机变量及其分布 (10) 第四章随机变量的数字特征 (13) 第五章极限定理 (18) 二、学习概率论这门课的心得体会 (20) 一、前五章总结 第一章随机事件和概率 第一节:1.、将一切具有下面三个特点:(1)可重复性(2)多结 果性(3)不确定性的试验或观察称为随机试验,简称为试验,常用 E表示。 在一次试验中,可能出现也可能不出现的事情(结果)称为随 机事件,简称为事件。 不可能事件:在试验中不可能出现的事情,记为Ф。 必然事件:在试验中必然出现的事情,记为S或Ω。 2、我们把随机试验的每个基本结果称为样本点,记作e 或ω. 全体 样本点的集合称为样本空间. 样本空间用S或Ω表示.

一个随机事件就是样本空间的一个子集。 基本事件—单点集,复合事件—多点集 一个随机事件发生,当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。 事件间的关系及运算,就是集合间的关系和运算。 3、定义:事件的包含与相等 若事件A发生必然导致事件B发生,则称B包含A,记为B?A 或A?B。 若A?B且A?B则称事件A与事件B相等,记为A=B。 定义:和事件 “事件A与事件B至少有一个发生”是一事件,称此事件为事件 A与事件B的和事件。记为A∪B。用集合表示为: A∪B={e|e∈A,或e∈B}。 定义:积事件 称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件,记为A∩ B或AB,用集合表示为AB={e|e∈A且e∈B}。 定义:差事件 称“事件A发生而事件B不发生,这一事件为事件A与事件B的差 事件,记为A-B,用集合表示为 A-B={e|e∈A,e?B} 。 定义:互不相容事件或互斥事件 如果A,B两事件不能同时发生,即AB=Φ,则称事件A与事件 B是互不相容事件或互斥事件。 定义6:逆事件/对立事件 称事件“A不发生”为事件A的逆事件,记为ā。A与ā满足:A ∪ā= S,且Aā=Φ。

高中数学统计与概率知识点(原稿)

高中数学统计与概率知识点(文) 第一部分:统计 一、什么是众数。 一组数据中出现次数最多的那个数据,叫做这组数据的众数。 众数的特点。 ①众数在一组数据中出现的次数最多;②众数反映了一组数据的集中趋势,当众数出现的次数越多,它就越能代表这组数据的整体状况,并且它能比较直观地了解到一组数据的大致情况。但是,当一组数据大小不同,差异又很大时,就很难判断众数的准确值了。此外,当一组数据的那个众数出现的次数不具明显优势时,用它来反映一组数据的典型水平是不大可靠的。 3.众数与平均数的区别。 众数表示一组数据中出现次数最多的那个数据;平均数是一组数据中表示平均每份的数量。 二、.中位数的概念。 一组数据按大小顺序排列,位于最中间的一个数据(当有偶数个数据时,为最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。 三 .众数、中位数及平均数的求法。 ①众数由所给数据可直接求出;②求中位数时,首先要先排序(从小到大或从大到小),然后根据数据的个数,当数据为奇数个时,最中间的一个数就是中位数;当数据为偶数个时,最中间两个数的平均数就是中位数。③求平均数时,就用各数据的总和除以数据的个数,得数就是这组数据的平均数。 四、中位数与众数的特点。 ⑴中位数是一组数据中唯一的,可能是这组数据中的数据,也可能不是这组数据中的数据; ⑵求中位数时,先将数据有小到大顺序排列,若这组数据是奇数个,则中间的数据是中位数;若这组数据是偶数个时,则中间的两个数据的平均数是中位数; ⑶中位数的单位与数据的单位相同; ⑷众数考察的是一组数据中出现的频数; ⑸众数的大小只与这组数的个别数据有关,它一定是一组数据中的某个数据,其单位与数据的单位相同; (6)众数可能是一个或多个甚至没有; (7)平均数、众数和中位数都是描述一组数据集中趋势的量。

概率知识点总结及题型汇总-统计概率知识点总结

概率知识点总结及题型汇总 一、确定事件:包括必然事件和不可能事件 1、在一定条件下必然要发生的事件,叫做必然事件。必然事件是指一定能发生的事件,或者说发生的可能性是100%;如:从一包红球中,随便取出一个球,一定是红球。 2、在一定条件下不可能发生的事件,叫做不可能事件。不可能事件是指一定不能发生的事件,或者说发生的可能性是0,如:太阳从西边出来。这是不可能事件。 3、必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0 二、随机事件 在一定条件下可能发生也可能不发生的事件,叫做随机事件。 一般地,随机事件发生的可能性是有大小的,不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同.一个随机事件发生的可能性的大小用概率来表示。 三、例题:指出下列事件中,哪些是必然事件,哪些是随机事件,哪些是不可能事件,哪些是确定事件? ①一个玻璃杯从一座高楼的第10层楼落到水泥地面上会摔破; ②明天太阳从西方升起;③掷一枚硬币,正面朝上; ④某人买彩票,连续两次中奖;⑤今天天气不好,飞机会晚些到达. 解:必然事件是①;随机事件是③④⑤;不可能事件是②.确定事件是①② 三、概率 1、一般地,对于一个随机事件A ,把刻画其发生可能性大小的数值,称为随机事件A 发生的概率,记为P(A) . (1)一个事件在多次试验中发生的可能性,反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。(2)概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。 2、概率的求法:一般地,如果在一次试验中,有n 种可能的结果,并且它们发生的可能性 都相等,事件 A 包含其中的m种结果,那么事件A 发生的概率为P(A) = m n . (1)一般地,所有情况的总概率之和为1。(2)在一次实验中,可能出现的结果有限多个. (3)在一次实验中,各种结果发生的可能性相等. (4)概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小,事件发生的可能性越大,则它的概率越接近1;反之,事件发生的可能性越小,则它的概率越接近0。 (5)一个事件的概率取值:0≤P(A)≤1 当这个事件为必然事件时,必然事件的概率为1,即P(必然事件)=1 不可能事件的概率为0,即P(不可能事件)=0 随机事件的概率:如果A为随机事件,则0<P(A)<1 (6)可能性与概率的关系 事件发生的可能性越大,它的概率越接近于1,事件发生的可能性越小,则它的概率越接近0.

最新统计概率知识点归纳总结大全

统计概率知识点归纳总结大全 1.了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义. 2.了解等可能性事件的概率的意义,会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率. 3.了解互斥事件、相互独立事件的意义,会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率. 4.会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率. 5. 掌握离散型随机变量的分布列. 6.掌握离散型随机变量的期望与方差. 7.掌握抽样方法与总体分布的估计. 8.掌握正态分布与线性回归. 考点1. 求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率 解此类题目常应用以下知识: (1)等可能性事件(古典概型)的概率:P (A )=) ()(I card A card =n m ; 等可能事件概率的计算步骤: (1) 计算一次试验的基本事件总数n ; (2) 设所求事件A ,并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; (3) 依公式()m P A n =求值; (4) 答,即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率:P (A +B )=P (A )+P (B ); 特例:对立事件的概率:P (A )+P (A )=P (A +A )=1. (3)相互独立事件同时发生的概率:P (A ·B )=P (A )·P (B ); 特例:独立重复试验的概率:P n (k )=k n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率,此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项.

(4)解决概率问题要注意“四个步骤,一个结合”: ① 求概率的步骤是: 第一步,确定事件性质???? ???等可能事件 互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验 即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步,判断事件的运算?? ?和事件积事件 即是至少有一个发生,还是同时发生,分别运用相加或相乘事件. 第三步,运用公式()()()()()()()()(1) k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -? =???+=+? ??=??=-??等可能事件: 互斥事件: 独立事件: n 次独立重复试验:求解 第四步,答,即给提出的问题有一个明确的答复. 考点2离散型随机变量的分布列 1.随机变量及相关概念 ①随机试验的结果可以用一个变量来表示,这样的变量叫做随机变量,常用希腊字母ξ、η等表示. ②随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量. ③随机变量可以取某区间内的一切值,这样的随机变量叫做连续型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列 ①离散型随机变量的分布列的概念和性质 一般地,设离散型随机变量ξ可能取的值为1x ,2x ,……,i x ,……,ξ取每一个值i x (=i 1,2,……)的概率P (i x =ξ)=i P ,则称下表.

高考数学概率与统计知识点汇编

高中数学之概率与统计 求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率 解此类题目常应用以下知识: (1)等可能性事件(古典概型)的概率:P(A)=)()(I card A card =n m ; 等可能事件概率的计算步骤: 计算一次试验的基本事件总数n ; 设所求事件A ,并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; 依公式 ()m P A n = 求值; 答,即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率:P(A +B)=P(A)+P(B); 特例:对立事件的概率:P(A)+P(A )=P(A +A )=1. (3)相互独立事件同时发生的概率:P(A ·B)=P(A)·P(B); 特例:独立重复试验的概率:Pn(k)=k n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的 概率,此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤,一个结合”: 求概率的步骤是: 第一步,确定事件性质?? ?? ???等可能事件 互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验 即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步,判断事件的运算 ?? ?和事件积事件 即是至少有一个发生,还是同时发生,分别运用相加或相乘事件. 第三步,运用公式()()()()()()()()(1) k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -? =???+=+? ??=??=-??等可能事件: 互斥事件: 独立事件: n 次独立重复试验:求解 第四步,答,即给提出的问题有一个明确的答复. 例1. 在五个数字12345,,,,中,。 例2. 若随机取出三个数字,则剩下两个数字都是奇数的概率是 (结果用数值表示). [解答过程]0.3提示:13 35C 33. 54C 10 2P ===?

概率统计常见题型及方法总结

常见大题: 1. 全概率公式和贝叶斯公式问题 B 看做“结果”,有多个“原因或者条件 i A ”可以导致 B 这 个“结果”发生,考虑结果B 发生的概率,或者求在B 发生的条件下,源于某个原因 i A 的概率问题 全概率公式:()()() 1 B |n i i i P B P A P A ==∑ 贝叶斯公式: 1(|)()() ()()n i i i j j j P A B P A P B A P A P B A ==∑|| 一(12分)今有四个口袋,它们是甲、乙、丙、丁,每个口袋中都装有a 只红球和b 只白球。先从甲口袋中任取一只球放入乙口袋,再从乙口袋中任取一只球放入丙口袋,然后再从丙口袋中任取一只球放入丁口袋,最后从丁口袋中任取一球,问取到红球的概率为多少? 解i B 表示从第i 个口袋放入第1+i 个口袋红球,4,3,2,1=i i A 表示从第i 个口袋中任取一个球为红球,2分 则 b a a B P += )(1,2分 111++++ ++++=b a a b a b b a a b a a b a a +=2分 依次类推2分 二(10分)袋中装有m 只正品硬币,n 只次品硬币(次品硬币的两面均印有国徽),在袋中任取一只,将它投掷r 次,已知每次都出现国徽,问这只硬币是次品的概率为多少? 、解记B ={取到次品},B ={取到正品},A ={将硬币投掷r 次每次都出现国徽} 则()(),n m P B P B m n m n = = ++,()1P A B =,()1 2r P A B =―—5分 三、(10分)一批产品共100件,其中有4件次品,其余皆为正品。现在每次从中任取一件产品 进行检验,检验后放回,连续检验3次,如果发现有次品,则认为这批产品不合格。在检验时,一件正品被误判为次品的概率为0.05,而一件次品被误判为正品的概率为0.01。(1)求任取一件产品被检验为正品的概率;(2)求这批产品被检验为合格品的概率。 解设A 表示“任取一件产品被检验为正品”,B 表示“任取一件产品是正品”,则 ()96100P B = ,()4100 P B =,()|0.95P A B =,()|0.01P A B =

概率论知识点总结

概率论知识点总结 第一章 随机事件及其概率 第一节 基本概念 随机实验:将一切具有下面三个特点:(1)可重复性(2)多结果性(3)不确定性的试验或观察称为随机试验,简称为试验,常用 E 表示。 随机事件:在一次试验中,可能出现也可能不出现的事情(结果)称为随机事件,简称为事件。 不可能事件:在试验中不可能出现的事情,记为Ф。 必然事件:在试验中必然出现的事情,记为Ω。 样本点:随机试验的每个基本结果称为样本点,记作ω. 样本空间:所有样本点组成的集合称为样本空间. 样本空间用Ω表示. 一个随机事件就是样本空间的一个子集。基本事件—单点集,复合事件—多点集 一个随机事件发生,当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。 事件的关系与运算(就是集合的关系和运算) 包含关系:若事件 A 发生必然导致事件B 发生,则称B 包含A ,记为A B ?或B A ?。 相等关系:若A B ?且B A ?,则称事件A 与事件B 相等,记为A =B 。 事件的和:“事件A 与事件B 至少有一个发生”是一事件,称此事件为事件A 与事件B 的和事件。记为 A ∪B 。 事件的积:称事件“事件A 与事件B 都发生”为A 与B 的积事件,记为A∩ B 或AB 。 事件的差:称事件“事件A 发生而事件B 不发生”为事件A 与事件B 的差事件,记为 A -B 。 用交并补可以表示为B A B A =-。 互斥事件:如果A ,B 两事件不能同时发生,即AB =Φ,则称事件A 与事件B 是互不相容事件或互斥事件。互斥时B A ?可记为A +B 。 对立事件:称事件“A 不发生”为事件A 的对立事件(逆事件),记为A 。对立事件的性质: Ω=?Φ=?B A B A ,。 事件运算律:设A ,B ,C 为事件,则有 (1)交换律:A ∪B=B ∪A ,AB=BA (2)结合律:A ∪(B ∪C)=(A ∪B)∪C=A ∪B ∪C A(BC)=(AB)C=ABC (3)分配律:A ∪(B∩C)=(A ∪B)∩(A ∪C) A(B ∪C)=(A∩B)∪(A∩C)= AB ∪AC (4)对偶律(摩根律):B A B A ?=? B A B A ?=? 第二节 事件的概率 概率的公理化体系: (1)非负性:P(A)≥0; (2)规范性:P(Ω)=1 (3)可数可加性: ????n A A A 21两两不相容时

初中统计与概率知识点

(一)统计篇 主要知识点(三种统计图,科学计数法,近似数,有效数字,平均数,众数, 中位数,普查,抽查,频数,频率,极差,方差,标准差) 一、生活中的数据(一)(七年级上册第六章)三种统计图略 二、生活中的数据(二)(七年级下册第三章) 1.科学计数法: ①一个绝对值小于1的数也可以用科学记数法表示成的形式,其中,n是负整数。 ②技巧:n的绝对值等于这个数的左边第一个非零数字前面的零的个数。 ③一百万=1×106一亿=1×108 2.近似数和有效数字:目标:取近似数,能指出近似数的有效数字。 精确数是与实际完全符合的数,近似数是与实际非常接近的数。 有时我们根据具体情况,采用四舍五入法选择一个数的近似数。 注意:用四舍五入法取近似数时,很容易将小数点末尾的零去掉,一定要注意精确到的数位(及四舍五入到的数位)。如四舍五入到千分位是,注意不要去掉末尾的零。四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位。 对于一个近似数,从左边第一个不是0的数字起,到精确的数位(即四舍五入到的数位)止,所有的数字都叫做这个数的有效数字。 三、数据的代表(八年级上册第八章) 1.平均数:目标:会求一组数据的平均数与加权平均数 我们常用平均数(算术平均数)表示一组数据的“平均水平”。 在实际问题中,一组数据里的各个数据的“重要程度”未必相同,因而,在计算这组数据的平均数时,往往给每个数据一个“权”,这样的平均数叫做加权平均数。 例如;你的小测成绩是80分,期末考成绩是90分,老师要计算总的平均成绩,就按照小测40%、期末成绩60%的比例来算,所以你的平均成绩是:80×40%+90×60%=86 学校食堂吃饭,吃三碗的有χ人,吃两碗的有y人,吃一碗的z人。平均每人吃多少?

概率统计知识点全面总结

知识点总结:统计与概率 I 统计 1.三大抽样 (1)基本定义: ① 总体:在统计中,所有考查对象的全体叫做全体. ② 个体:在所有考查对象中的每一个考查对象都叫做个体. ③ 样本:从总体中抽取的一部分个体叫做总体的样本. ④ 样本容量:样本中个体的数目叫做样本容量. (2)抽样方法: ①简单随机抽样:逐个不放回、等可能性、有限性。=======★适用于总体较少★ 抽签法:整体编号( 1~N )放入不透明的容器中搅拌均匀逐个抽取n 次,即可得样本容量为 n 的样本。 随机数表法:整体编号(等位数,如001、111不能是1、111) 从0~9中随机取一行一列然后初方向随机 (上、下、左、右)重复,超过范围则忽略不计直至取得以n 为样本容量的样本。 ②系统抽样:容量大.等距,等可能。=======★适用于总体多★ 用随机方法编号,若N 无法被整除,则剔除后再分组,n N k 。再用简单随机抽样法来抽取一个个体,设为l ,则编号为l ,k+l ,2k+l ……(n-1)k ,抽出容量为n 的样本。(每组编号相同)。 ③分层抽样:总体差异明显.按所占比例抽取.等可能.=======★适用于由差异明显的几部分构成的总体★ 总体有几个差异明显的部分构成,经总体分成几个部分,然后按照所占比例进行抽样.抽样比为:k =n N 3.总体分布的估计: (1)一表二图: ①频率分布表——数据详实 ②频率分布直方图——分布直观 ③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势 ★注:总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。 (2)茎叶图: ①茎叶图适用于数据较少的情况,从中便于看出数据的分布,以及中位数.众位数等。 ②个位数为叶,十位数为茎,右侧数据按照从小到大书写,相同的数据重复写。

概率统计大题题型总结(理)学生版

统计概率大题题型总结 题型一 频率分布直方图与茎叶图 例1.(2013广东理17)某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如 图所示,其中茎为十位数,叶为个位数. (Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值; (Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人,根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人; (Ⅲ) 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有名优秀工人的概率. 例2.(2013新课标Ⅱ理)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出t 该产品获利润500 元,未售出的产品,每t 亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品,以X (单位:t,150100≤≤X )表示下一个销售季度内的市场需求量,T (单位:元)表示下一个销售季度内销商该农产品的利润. (Ⅰ)将T 表示为X 的函数; (Ⅱ)根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率; 1 7 9 2 0 1 5 3 0 第17题图

(Ⅲ)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若[100,110)X ∈,则取105X =,且105X =的概率等于需求量落入[100,110)的概率),求利润T 的数学期望. 变式1. 【2015高考重庆,理3】重庆市2013年各月的平均气温(o C )数据的茎叶图如下: 08912 58 200338312 则这组数据的中位数是( ) A 、19 B 、20 C 、21.5 D 、23 /频率组距0.010 0.0150.0200.0250.030100110120130140150需求量/x t

概率论和数理统计知识点总结[超详细版]

《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2.样本空间、随机事件 1.事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ,指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件,指当且仅当A ,B 中至少有一个发生时,事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件,指当A ,B 同时发生时,事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件,指当且仅当A 发生、B 不发生时,事件B A —发生 φ=?B A ,则称事件A 与B 是互不相容的,或互斥的,指事件A 与事件B 不能同时发生,基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ,则称事件A 与事件B 互为逆事件,又称事件A 与事件B 互为对立事件 2.运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??)( ))(()( C A B A C B A ??=?? 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3.频率与概率 定义 在相同的条件下,进行了n 次试验,在这n 次试验中,事件A 发生的次数A n 称为事 件A 发生的频数,比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率:设E 是随机试验,S 是它的样本空间,对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P (A ),称为事件的概率 1.概率)(A P 满足下列条件: (1)非负性:对于每一个事件A 1)(0≤≤A P (2)规范性:对于必然事件S 1)S (=P

初中数学统计与概率知识点精炼

统计与概率 一、统计的基础知识 1、统计调查的两种基本形式: 普查:对调查对象的全体进行调查; 抽样调查:对调查对象的部分进行调查; 总体:所要考察对象的全体; 个体:总体中每一个考察的对象; 样本:从总体中所抽取的一部分个体; 样本容量:样本中个体的数目(不带单位); 平均数:对于n 个数12,,,n x x x ,我们把121()n x x x n +++ 叫做这n 个数的平均数; 中位数:几个数据按大小顺序排列时,处于最中间的一个数据(或是最中间两个数据的平均数)叫做中位数; 众数:一组数据中出现次数最多的那个数据; 方差:2222121()()()n S x x x x x x n ??=-+-++-?? ,其中n 为样本容量,x 为样本平均数; 标准差:S ,即方差的算术平方根; 极差:一组数据中最大数据与最小数据的差称为这组数据的极差; 频数:将数据分组后落在各小组内的数据个数叫做该小组的频数; 频率:每一小组的频数与样本容量的比值叫做这一小组的频率; ★ 频数和频率的基本关系式:频率 = —————— 各小组频数的总和等于样本容量,各小组频率的总和等于1; 扇形统计图:圆表示总体,扇形表示部分,统计图反映部分占总体的百分比,每个扇形的圆心角度数=360°× 该部分占总体的百分比; 会填写频数分布表,会补全频数分布直方图、频数折线图; 频数 样本容量 各 基 础 统 计 量 频 数 的 分 布 与 应 用 2、 3、

二、概率的基础知识 必然事件:一定条件下必然会发生的事件; 不可能事件:一定条件下必然不会发生的事件; 2、不确定事件(随机事件):在一定条件下可能发生,也可能不发生的事件; 3、概率:某件事情A 发生的可能性称为这件事情的概率,记为P(A); P (必然事件)=1,P(不可能事件)=0,0<P(不确定事件)<1; ★概率计算方法: P(A) = ———————————————— 例如 注:对于两种情况时,需注意第二种情况可能发生的结果总数 例:①袋子中有形状、大小相同的红球3个,白球2个,取出一个球后再取出一个球,求两个球都是白球的概率;P = 1 10 ②袋子中有形状、大小相同的红球3个,白球2个,取出一个球后放回 ..,再取出一个球,求两个球都是白球的概率;P = 4 25 1、确定事件 事件A发生的可能结果总数 所有事件可能发生的结果总数 运用列举法(常用树状图)计算简单事件发生的概率 …………

统计和概率知识点总结

数据的收集、整理与描述 1、全面调查:考察全体对象的调查方式叫做全面调查。 2、抽样调查:调查部分数据,根据部分来估计总体的调查方式称为抽样调查。 3、总体:要考察的全体对象称为总体。 4、个体:组成总体的每一个考察对象称为个体。 5、样本:被抽取的所有个体组成一个样本。 6、样本容量:样本中个体的数目称为样本容量。 7、样本平均数:样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。 8、总体平均数:总体中所有个体的平均数叫做总体平均数,在统计中,通常用样本平均数估计总体平均数。 9、频数:一般地,我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数。 10、频率:频数与数据总数的比为频率。 11、组数和组距:在统计数据时,把数据按照一定的范围分成若干各组,分成组的个数称为组数,每一组两个端点的差叫做组距。 数据的分析 1、平均数:一般地,如果有n 个数 ,,,,21n x x x 那么,)(121n x x x n x +++= 叫做这n 个数的平均数,x 读作“x 拔”。 2、加权平均数:如果n 个数中,1x 出现1f 次,2x 出现2f 次,…,k x 出现k f 次 (这里n f f f k =++ 21)。那么,根据平均数的定义,这n 个数的平均数可以表示为 n f x f x f x x k k ++=2211,这样求得的平均数x 叫做加权平均数,其中k f f f ,,,21 叫做权。 3、中位数:将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数(median);如果数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。 4、众数:一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数(mode )。 5、极差:组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差(range)。 6、在一组数据,,,,21n x x x 中,各数据与它们的平均数x 的差的平方的平均数,

高中数学概率统计知识点总结

高中数学概率统计知识 点总结 标准化工作室编码[XX968T-XX89628-XJ668-XT689N]

高中数学概率统计知识点总结 一、抽样方法 1.简单随机抽样 2.简单随机抽样常用的方法:(1)抽签法;⑵随机数表法。 3.系统抽样:K (抽样距离)=N (总体规模)/n (样本规模) 4.分层抽样: 二、样本估计总体的方式 1、用样本的频率分布估计总体分布 (1)频率分布直方图的画法;(2)频率的算法;(3)频率分布折线图;(4)总体密度曲线;(5)茎叶图。 茎叶图又称“枝叶图”,它的思路是将数组中的数按位数进行比较,将数的大小基本不变或变化不大的位作为一个主干(茎),将变化大的位的数作为分枝(叶),列在主干的后面,这样就可以清楚地看到每个主干后面的几个数,每个数具体是多少。 2、用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数、中位数、平均数的算法;(2)标准差、方差公式。 3、样本均值:n x x x x n +++= 21 4、.样本标准差:n x x x x x x s s n 2 22212)()()(-++-+-== 三、两个变量的线性相关 1、正相关 2、负相关 正相关:自变量增加,因变量也同时增加(即单调递增) 负相关:自变量增长,因变量减少(即单调递减) 四、概率的基本概念 (1)必然事件(2)不可能事件(3)确定事件(4)随机事件 (5)频数与频率(6)频率与概率的区别与联系 必然事件和不可能事件统称为确定事件 1他们都是统计系统各元件发生的可能性大小; 2、频率一般是大概统计数据经验值,概率是系统固有的准确值; 3频率是近似值,概率是准确值

高中统计与概率知识点

高中统计与概率知识点(文科) (一)统计 一、简单随机抽样 1.总体和样本 在统计学中 , 把研究对象的全体叫做总体. 把每个研究对象叫做个体. 把总体中个体的总数叫做总体容量. 为了研究总体的有关性质,一般从总体中随机抽取一部分:,,, 研究,我们称它为样本.其中个体的个数称为样本容量. 2.简单随机抽样,也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等,完全随机地抽取调查单位。特点是:每个样本单位被抽中的可能性相同(概率相等),样本的每个单位完全独立,彼此间无一定的关联性和排斥性。简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时,才采用这种方法。 3.简单随机抽样常用的方法: (1)抽签法;⑵随机数表法;⑶计算机模拟法;⑷使用统计软件直接抽取。 在简单随机抽样的样本容量设计中,主要考虑:①总体变异情况;②允许误差范围;③概率保证程度。4.抽签法: (1)给调查对象群体中的每一个对象编号; (2)准备抽签的工具,实施抽签 (3)对样本中的每一个个体进行测量或调查 例:请调查你所在的学校的学生做喜欢的体育活动情况。 5.随机数表法: 例:利用随机数表在所在的班级中抽取10位同学参加某项活动。 二、系统抽样 1.系统抽样(等距抽样或机械抽样): 把总体的单位进行排序,再计算出抽样距离,然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。 K(抽样距离)=N(总体规模)/n(样本规模) 前提条件:总体中个体的排列对于研究的变量来说,应是随机的,即不存在某种与研究变量相关的规则分布。

可以在调查允许的条件下,从不同的样本开始抽样,对比几次样本的特点。如果有明显差别,说明样本在总体中的分布成某种循环性规律,且这种循环和抽样距离重合。 系统抽样,即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。因为它对抽样框的要求较低,实施也比较简单。更为重要的是,如果有某种与调查指标相关的辅助变量可供使用,总体单元按辅助变量的大小顺序排队的话,使用系统抽样可以大大提高估计精度。 三、分层抽样 1.分层抽样(类型抽样): 先将总体中的所有单位按照某种特征或标志(性别、年龄等)划分成若干类型或层次,然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本,最后,将这些子样本合起来构成总体的样本。 两种方法: (1)先以分层变量将总体划分为若干层,再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。 (2)先以分层变量将总体划分为若干层,再将各层中的元素按分层的顺序整齐排列,最后用系统抽样的方法抽取样本。 2.分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体,再抽取不同的子总体中的样本分别代表该子总体,所有的样本进而代表总体。 分层标准: (1)以调查所要分析和研究的主要变量或相关的变量作为分层的标准。 (2)以保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在结构的变量作为分层变量。 (3)以那些有明显分层区分的变量作为分层变量。 3.分层的比例问题: (1)按比例分层抽样:根据各种类型或层次中的单位数目占总体单位数目的比重来抽取子样本的方法。 (2)不按比例分层抽样:有的层次在总体中的比重太小,其样本量就会非常少,此时采用该方法,主要是便于对不同层次的子总体进行专门研究或进行相互比较。如果要用样本资料推断总体时,则需要先对各层的数据资料进行加权处理,调整样本中各层的比例,使数据恢复到总体中各层实际的比例结构。 四、用样本的频率分布估计总体分布 1.频率分布直方图 ①组距与分组:样本容量越大,分组越多,当样本容量不超过100时,一般可分成5~12组,组距力求“取整”。 ②直方图中小长方形的面积表示相应各组的频率,小长方形的面积之和为1。 ③频率分布折线图:连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点,就得到频率分布折线图。

(最全)高中数学概率统计知识点总结

概率与统计 一、普通的众数、平均数、中位数及方差 1、 众数 :一组数据中,出现次数最多的数。 2、平均数 : ①、常规平均数: x x 1 x 2 x n ②、加权平均数: x x 1 1 x 2 2 x n n n 1 2 n 3、中位数: 从大到小或者从小到大排列,最中间或最中间两个数的平均数 。 4、方差: s 2 1 [( x 1 x) 2 ( x 2 x )2 ( x n x )2 ] n 二、频率直方分布图下的频率 1、频率 =小长方形面积: f S y 距 d ;频率 =频数 / 总数 2、频率之和 : f 1 f 2 f n 1 ;同时 S 1 S 2 S n 1 ; 三、频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差 1、众数: 最高小矩形底边的中点。 2、平均数: x x 1 f 1 x 2 f 2 x 3 f 3 x n f n x x 1 S 1 x 2 S 2 x 3 S 3 x n S n 3、中位数: 从左到右或者从右到左累加,面积等于 0.5 时 x 的值。 4、方差: s 2 ( x 1 x )2 f 1 ( x 2 x) 2 f 2 ( x n x) 2 f n 四、线性回归直线方程 : ? ? ? bx y a n (x i x )( y i y ) n x i y i nxy ? ? 其中: b i 1 i 1 , a? y bx n n ( x i x )2 x i 2 nx 2 i 1 i 1 1、线性回归直线方程必过样本中心 ( x , y ) ; ? ? 0 : 负相关。 2、 b 0 : 正相关; b ? 3、线性回归直线方程: y? ? bx a?的斜率 b 中,两个公式中分子、分母对应也相等;中间可以推导得到。 五、回归分析 ?i 1、残差 : ?i y i ?i 越小越好; e y (残差 =真实值—预报值)。分析: e 2、残差平方和 : n ? ) 2 ( y i , i 1 y i n ( y i y ) 2 ( y 1 y ) 2 ( y y ) 2 ( y y ) 2 分析:①意义:越小越好; ②计算: ?i ?1 2 ?2 n ?n i 1 n ?i ) 2 3、拟合度(相关指数) : R 2 1 ( y y ,分析:① . R 2 0,1 ②. 越大拟合度越高; i 1 的常数; n y)2 i ( y i 1 n n 4、相关系数 : r i ( x i x )( y i y) x i y i nx y 1 i 1 n x)2 n y) 2 n x) 2 n y )2 i 1( x i i ( y i ( x i ( y i 1 i 1 i 1 分析:① . r [ 1,1]的常数; ② . r 0: 正相关; r 0: 负相关 ③. r [0,0.25] ;相关性很弱; r (0.25,0.75) ;相关性一般; r [0.75,1] ;相关性很强; 六、独立性检验 x 1 x 2 1、2×2 列联表 : 合计 2、独立性检验公式 bc)2 y 1 a b a b ①. k 2 (a n( ad d ) y 2 c d c d b)(c d )(a c)(b 合计 a c b d n ②.犯错误上界 P 对照表 3、独立性检验步骤

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