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人教版高中数学全册教案

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人教版数学必修二

第一章空间几何体重难点解析

第一章课文目录

1.1 空间几何体的结构

1.2 空间几何体的三视图和直观图

1.3 空间几何体的表面积与体积

重难点:

1、让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。

2、画出简单组合体的三视图。

3、用斜二测画法画空间几何值的直观图。

4、柱体、锥体、台体的表面积和体积计算,台体体积公式的推导。

5、了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。

知识结构:

一、空间几何体的结构、三视图和直观图

1.柱、锥、台、球的结构特征

(1)柱

棱柱:一般的,有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱;棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面,简称为底;其余各面叫做棱柱的侧面;相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱;侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。

底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……

圆柱:以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱;旋转轴叫做圆柱的轴;垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面;无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。

棱柱与圆柱统称为柱体;

(2)锥

棱锥:一般的有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥;这个多边形面叫做棱锥的底面或底;有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面;各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点;相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。

底面是三角锥、四边锥、五边锥……的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……

圆锥:以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥;旋转轴为圆锥的轴;垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面;斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。

棱锥与圆锥统称为锥体。

(3)台

棱台:用一个平行于底面的平面去截棱锥,底面和截面之间的部分叫做棱台;原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面;棱台也有侧面、侧棱、顶点。

圆台:用一个平行于底面的平面去截圆锥,底面和截面之间的部分叫做圆台;原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面;圆台也有侧面、母线、轴。

圆台和棱台统称为台体。

(4)球

以半圆的直径所在的直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体,简称为球;半圆的圆心叫做球的球心,半圆的半径叫做球的半径,半圆的直径叫做球的直径。

(5)组合体

由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体。

几种常凸多面体间的关系

一些特殊棱柱、棱锥、棱台的概念和主要性质:

名称棱柱直棱柱正棱柱

图形

定义有两个面互相平

行,而其余每相

邻两个面的交线

都互相平行的多

面体

侧棱垂直于底面

的棱柱

底面是正多边形的

直棱柱

侧棱平行且相等平行且相等平行且相等侧面的形状平行四边形矩形全等的矩形

对角面的形状平行四边形矩形矩形

平行于底面的截面

的形状与底面全等的多

边形

与底面全等的多

边形

与底面全等的正多

边形

名称棱锥正棱锥棱台正棱台图形

定义有一个面是多

边形,其余各面

是有一个公共

顶点的三角形

的多面体

底面是正多边

形,且顶点在底

面的射影是底

面的射影是底

面和截面之间

的部分

用一个平行于

棱锥底面的平

面去截棱锥,底

面和截面之间

的部分

由正棱锥截得

的棱台

侧棱相交于一点但

不一定相等

相交于一点且

相等

延长线交于一

相等且延长线

交于一点

侧面的形状三角形全等的等腰三

角形

梯形全等的等腰梯

对角面

的形状

三角形等腰三角形梯形等腰梯形

平行于底的截面形状与底面相似的

多边形

与底面相似的

正多边形

与底面相似的

多边形

与底面相似的

正多边形

其他性质高过底面中心;

侧棱与底面、侧

面与底面、相邻

两侧面所成角

都相等

两底中心连线

即高;侧棱与底

面、侧面与底

面、相邻两侧面

所成角都相等

几种特殊四棱柱的特殊性质:

名称特殊性质

平行六面体底面和侧面都是平行四边行;四条对角线交于一点,且被该点平分

直平行六面体侧棱垂直于底面,各侧面都是矩形;四条对角线交于一点,且被该点平分

长方体底面和侧面都是矩形;四条对角线相等,交于一点,且被该点平分

正方体棱长都相等,各面都是正方形四条对角线相等,交于一点,且被该点平分

2.空间几何体的三视图

三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体,画出的空间几何体的图形。 他具体包括:

(1)正视图:物体前后方向投影所得到的投影图; 它能反映物体的高度和长度;

(2)侧视图:物体左右方向投影所得到的投影图; 它能反映物体的高度和宽度;

(3)俯视图:物体上下方向投影所得到的投影图; 它能反映物体的长度和宽度; 三视图画法规则:

高平齐:主视图与左视图的高要保持平齐 长对正:主视图与俯视图的长应对正 宽相等:俯视图与左视图的宽度应相等

3.空间几何体的直观图

(1)斜二测画法

①建立直角坐标系,在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的OX ,OY ,建立直角坐标系;

②画出斜坐标系,在画直观图的纸上(平面上)画出对应的O ’X ’

,O ’Y ’

,使'''

X OY =45

(或1350

),它们确定的平面表示水平平面;

③画对应图形,在已知图形平行于X 轴的线段,在直观图中画成平行于X ‘

轴,且长度

保持不变;在已知图形平行于Y 轴的线段,在直观图中画成平行于Y ‘

轴,且长度变为原来的一半;

④擦去辅助线,图画好后,要擦去X 轴、Y 轴及为画图添加的辅助线(虚线)。 (2)平行投影与中心投影

平行投影的投影线是互相平行的,中心投影的投影线相交于一点。 注意:画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置,因为多边形顶点的位置一旦确定,依次连结这些顶点就可画出多边形来,因此平面多边形水平放置时,直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法。强调斜二测画法的步骤。

例题讲解:

[例1]将正三棱柱截去三个角(如图1所示A B C ,,分别是GHI △三边的中点)得到几何体如图2,则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为( )

E F

D

I

A H G

B

C E

F D A

B C

侧视 图1

图2 B

E

A .

B

E

B . B

E

C .

B

E

D .

1

[例2]在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别为棱AA 1,CC 1的中点,则在空间中与三条直线A 1D 1,EF ,CD 都相交的直线( ) A .不存在

B .有且只有两条

C .有且只有三条

D .有无数条

[例3]正方体A BCD_A 1B 1C 1D 1的棱长为2,点M 是BC 的中点,点P

是平面A BCD 内的一

个动点,且满足PM=2,P 到直线A 1D 1P 的轨迹是( ) A .圆

B.双曲线

C.两个点

D.直线

解析: 点P 到A 1D 1P 到A D 的距离为1,满足此条件的P 的轨迹是到直线A D 的距离为1的两条平行直线,

又2PM =,∴满足此条件的P 的轨迹是以M 为圆心,半径为2的圆,这两种轨迹只有两个交点.

故点P 的轨迹是两个点。选项为C 。

点评:该题考察空间内平面轨迹的形成过程,考察了空间想象能力。

[例4]两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体,可放棱长为1的正方体内,使正四棱

锥的底面ABCD 与正方体的某一个平面平行,且各顶点...均在正方体的面上,则这样的几何体体积的可能值有( )

A .1个

B .2个

C .3个

D .无穷多个

解析:由于两个正四棱锥相同,所以所求几何体的中心在正四棱锥底面正方形ABCD 中心,有对称性知正四棱锥的高为正方体棱长的一半,影响几何体体积的只能是正四棱锥底面正方形ABCD 的面积,问题转化为边长为1的正方形的内接正方形有多少种,所以选D 。

点评:本题主要考查空间想象能力,以及正四棱锥的体积。正方体是大家熟悉的几何体,它的一些内接或外接图形需要一定的空间想象能力,要学会将空间问题向平面问题转化。 题型2:空间几何体的定义

[例5]长方体1111ABCD A B C D -的8个顶点在同一个球面上,且AB=2,AD=3,

11=AA ,则顶点A 、B 间的球面距离是( )

A .

42π B .2

2π C .π

2 D .2π2

解析:

112BD AC R ===

R ∴=设

1

1,BD AC O =则

OA OB R ===

,2

AOB π

?∠=

,2

l R π

θ∴==故选

B.

点评:抓住本质的东西来进行判断,对于信息要进行加工再利用。

[例6]已知直线m,n 和平面βα,满足βα⊥⊥⊥,,a m n m ,则( )

.A n β⊥ ,//.βn B 或β?n α⊥n C . ,//.αn D 或α?n

解析:易知D 正确.

点评:对于空间几何体的定义要有深刻的认识,掌握它们并能判断它们的性质。 题型3:空间几何体中的想象能力

[例7]如图所示,四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为1的菱形,060=∠BCD ,

E 是CD 的中点,PA ⊥底面ABCD ,3=PA 。

(I )证明:平面PBE ⊥平面PAB ; (II )求二面角A —BE —P 和的大小。

解析:解法一(I )如图所示, 连结,BD 由ABCD 是菱形且0

60=∠BCD 知,

BCD △是等边三角形. 因为E 是CD 的中点,所以

,BE CD ⊥又,AB CD //所以,BE AB ⊥

又因为PA ⊥平面ABCD ,BE ?平面ABCD ,

所以,BE PA ⊥而,AB A =PA

因此 BE ⊥平面PAB.

又BE ?平面PBE ,所以平面PBE ⊥平面PAB.

(II )由(I )知,BE ⊥平面PAB, PB ?平面PAB, 所以.PB BE ⊥

又,BE AB ⊥所以PBA ∠是二面角A BE P --的平面角. 在Rt PAB △中, tan 3,60.PA

PBA PBA AB

∠=

=∠=. 故二面角A BE P --的大小为60.

解法二:如图所示,以A 为原点,建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是

(000),A ,,(100),B ,,33(0),2C ,13(0),2D ,(003),P ,3

(10).E , (I )因为3

(0,

0),BE =平面PAB 的一个法向量是0(010),n =,,所以BE 和0n 共线. P A B

C

E D

从而BE ⊥平面PAB. 又因为BE ?平面PBE ,所以平面PBE ⊥平面PAB.

(II )易知3

(10,3),(0,0),2

PB BE =-=,

设1n 111()x y z =,,是平面PBE 的一个法向量, 则由1

100n PB n BE ??=

???=?

?,得11111100000x y x y z ?+?-=???

+

+?=??,

所以111.y x

==0, 故可取1n 1).=,而平面ABE 的一个法向量是2(001).n =,,

于是,1212121

cos ,.2

||||n n n n n n ?<>=

=.

故二面角A BE P --的大小为60.

点评:解决此类题目的关键是将平面图形恢复成空间图形,较强的考察了空间想象能力。

[例8]如图,在三棱锥P ABC -中,2AC BC ==,90ACB ∠=,AP BP AB ==,

PC AC ⊥.

(Ⅰ)求证:PC AB ⊥;

(Ⅱ)求二面角B AP C --的大小. 解析: 解法一:

(Ⅰ)取AB 中点D ,连结PD CD ,. AP BP =, PD AB ∴⊥. AC BC =, CD AB ∴⊥. PD CD D =,

AB ∴⊥平面PCD . PC ?平面PCD , PC AB ∴⊥.

(Ⅱ)AC BC =,AP BP =, APC BPC ∴△≌△. 又PC AC ⊥, PC BC ∴⊥.

又90ACB ∠=,即AC BC ⊥,且AC

PC C =,

BC ∴⊥平面PAC .

取AP 中点E .连结BE CE ,. AB BP =,BE AP ∴⊥.

EC 是BE 在平面PAC 内的射影, CE AP ∴⊥.

A

C

B

P

A

B

D

P

A

B

E

P

BEC ∴∠是二面角B AP C --的平面角.

在BCE △中,90BCE ∠=,2BC =

,2

BE AB =

=

sin BC BEC BE ∴∠=

=. ∴二面角B AP C --

的大小为arcsin

解法二:

(Ⅰ)

AC BC =,AP BP =,

APC BPC ∴△≌△. 又PC AC ⊥, PC BC ∴⊥. AC BC C =, PC ∴⊥平面ABC . AB ?平面ABC , PC AB ∴⊥.

(Ⅱ)如图,以C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -. 则(000)(020)(200)C A B ,,,,,,,,. 设(00)P t ,,.

PB AB ==

2t ∴=,(002)P ,

,. 取AP 中点E ,连结BE CE ,.

AC PC =,AB BP =,

CE AP ∴⊥,BE AP ⊥.

BEC ∴∠是二面角B AP C --的平面角.

(011)E ,,,(011)EC =--,

,,(211)EB =--,,, 3

cos 326

EC EB BEC EC EB

∴∠=

=

=. ∴二面角B AP

C --的大小为. 点评:在画图过程中正确理解已知图形的关系是关键。通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力。而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志,是高考从深层上考查空

y

间想象能力的主要方向。

[例9]画正五棱柱的直观图,使底面边长为3cm 侧棱长为5cm 。

解析:先作底面正五边形的直观图,再沿平行于Z 轴方向平移即可得。 作法:

(1)画轴:画X ′,Y ′,Z ′轴,使∠X ′O ′Y ′=45°(或135°),∠X ′O ′Z ′=90°。

(2)画底面:按X ′轴,Y ′轴画正五边形的直观图ABCDE 。

(3)画侧棱:过A 、B 、C 、D 、E 各点分别作Z ′轴的平行线,并在这些平行线上分别截取AA ′,BB ′,CC ′,DD ′,EE 。′

(4)成图:顺次连结A ′,B ′,C ′,D ′,F ′,加以整理,去掉辅助线,改被遮挡的部分为虚线。

点评:用此方法可以依次画出棱锥、棱柱、棱台等多面体的直观图。

[例10]C B A '''?是正△ABC 的斜二测画法的水平放置图形的直观图,若C B A '''?的面积

为3,那么△ABC 的面积为_______________。

解析:62。

点评:该题属于斜二测画法的应用,解题的关键在于建立实物图元素与直观图元素之间的对应关系。特别底和高的对应关系。

[例11] 如图,在棱长为1的正方体ABCD A B C D ''''-中,AP=BQ=b (0

(Ⅰ)证明:平面PQEF 和平面PQGH 互相垂直; (Ⅱ)证明:截面PQEF 和截面PQGH 面积之和是定值,

并求出这个值;

(Ⅲ)若D E '与平面PQEF 所成的角为45,求D E '与平

面PQGH 所成角的正弦值. 本小题主要考查空间中的线面关系,面面关系,解三角形等基础知识,考查空间想象能力与逻辑思维能力。 解析: 解法一:

(Ⅰ)证明:在正方体中,AD A D ''⊥,AD AB '⊥,又由已知可得

PF A D '∥,PH AD '∥,PQ AB ∥,

所以PH PF ⊥,PH PQ ⊥, 所以PH ⊥平面PQEF .

所以平面PQEF 和平面PQGH 互相垂直. (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知

PF PH '==,,又截面PQEF 和截面PQGH 都是矩形,且PQ =1,所以截面

PQEF 和截面PQGH 面积之和是

A B

C

D E

F

P

Q

H A '

B '

C '

D ' G

A B C

D E F

P Q H A '

B '

C '

D '

G N M

)PQ '?=,是定值.

(III )解:连结BC ′交EQ 于点M . 因为PH AD '∥,PQ AB ∥,

所以平面ABC D ''和平面PQGH 互相平行,因此D E '与平面PQGH 所成角与D E '与平面ABC D ''所成角相等.

与(Ⅰ)同理可证EQ ⊥平面PQGH ,可知EM ⊥平面ABC D '',因此EM 与D E '的比值就是所求的正弦值.

设AD '交PF 于点N ,连结EN ,由1FD b =-知

)22

D E ND b ''==

+-. 因为AD '⊥平面PQEF ,又已知D E '与平面PQEF 成45角,

所以D E ''=

,即

(1)22b ?+-=??

解得1

2

b =

,可知E 为BC 中点. 所以

EM=

4

,又32

D E '==, 故D E '与平面PQCH

所成角的正弦值为

6

EM D E ='. 解法二:

以D 为原点,射线DA ,DC ,DD ′分别为x ,y ,z 轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系D -xyz 由已知得1DF b =-,故

(100)A ,,,(101)A ',,,(000)D ,,,(001)D ',,,

(10)P b ,,,(11)Q b ,,,(110)E b -,,, (100)F b -,,,(11)G b ,,,(01)H b ,,.

(Ⅰ)证明:在所建立的坐标系中,可得

(010)(0)PQ PF b b ==--,,,,,, (101)PH b b =--,,,

(101)(101)AD A D ''=-=--,,,,,.

因为00AD PQ AD PF ''==,

,所以AD '是平面PQEF 的法向量.

因为00A D PQ A D PH ''==,

,所以A D '是平面PQGH 的法向量. 因为0AD A D ''=,所以A D AD ''⊥, 所以平面PQEF 和平面PQGH 互相垂直.

(Ⅱ)证明:因为(010)EF =-,,,所以EF PQ EF PQ =∥,,又PF PQ ⊥,所以PQEF

为矩形,同理PQGH 为矩形. 在所建立的坐标系中可求得2(1)PH b =-,2PF b =,

所以2PH PF +=

,又1PQ =,

所以截面PQEF 和截面PQGH ,是定值.

(Ⅲ)解:由已知得D E '与AD '成45角,又(111)(101)D E b AD ''=--=-,

,,,,可得

2

2D E AD D

E AD ''=

=

''

, 即

1=,解得12

b =

. 所以1112

D E ??'=- ???

,,又(101)A D '

=--,,,所以D E '与平面PQGH 所成角的正弦值为 |cos |36D E A D -''<>==,.

点评:考查知识立足课本,对空间想象能力、分析问题的能力、操作能力和思维的灵活性等方面要求较高,体现了加强能力考查的方向。

[例12]多面体上,位于同一条棱两端的顶点称为相邻的,如图,正方体的一个顶点A 在平面α内,其余顶点在α的同侧,正方体上与顶点A 相邻的三个顶点到α的距离分别为1,2和4,P 是正方体的其余四个顶点中的一个,则P 到平面α的距离可能是: ①3; ②4;

③5; ④6; ⑤7

以上结论正确的为________________________(写出所有正确结论的编号) 解析:如图,B 、D 、A 1到平面α的距离分别为1、

2、4,则D 、A 1的中点到平面α的距离为3,所以D 1

到平面α的距离为6;B 、A 1的中点到平面α的距离为5

2

,所以B 1到平面α的距离为5;则D 、B 的中点到平面α的距离为3

2

,所以C 到平面α的距离为3;C 、

A

B

C

D

A 1

B 1

C 1

D 1

α

A1的中点到平面α的距离为7

2

,所以C1到平面α的距离为7;而P为C、C1、B1、D1中的一

点,所以选①③④⑤。

点评:该题将计算蕴涵于射影知识中,属于难得的综合题目。

[例13](1)画出下列几何体的三视图

解析:这二个几何体的三视图如下

(2)如图,设所给的方向为物体的正前方,试画出它的三视图(单位:cm)

点评:画三视图之前,应把几何体的结构弄清楚,选择一个合适的主视方向。一般先画主视图,其次画俯视图,最后画左视图。画的时候把轮廓线要画出来,被遮住的轮廓线要画成虚线。物体上每一组成部分的三视图都应符合三条投射规律。

[例14]某物体的三视图如下,试判断该几何体的形状

解析:该几何体为一个正四棱锥分析:三视图是从三个不同的方向看同一物体得到的三个视图。

点评:主视图反映物体的主要形状特征,主要体现物体的长和高,不反映物体的宽。而俯视图和主视图共同反映物体的长要相等。左视图和俯视图共同反映物体的宽要相等。据此就不难得出该几何体的形状。

二、空间几何体的表面积和体积

1

表中S 表示面积,c ′、c 分别表示上、下底面周长,h 表斜高,h ′表示斜高,l 表示侧棱长。

2

表中l 、h 分别表示母线、高,r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径,r 1、r 2分别表示圆台 上、下底面半径,R 表示半径。 3.探究柱、锥、台的体积公式:

1、棱柱(圆柱)可由多边形(圆)沿某一方向平移得到,因此,两个底面积相等、高也相等的棱柱(圆柱)应该具有相等的体积.

柱体(棱柱、圆柱)的体积等于它的底面积S 和高h 的积,即V Sh =柱体. 2、类似于柱体,底面积相等、高也相等的两个锥体,它们的体积也相等.棱锥的体积公式可把一个棱柱分成三个全等的棱锥得到,由于底面积为S ,高为h 的棱柱的体积

V Sh =棱锥,所以1

3

V Sh =锥体.

3、台体(棱台、圆台)的体积可以转化为锥体的体积来计算.如果台体的上、下底面面积分别为S S ',,高为h ,可以推得它的体积是1

()3

V h S S '=

+台体. 4、柱体、锥体、台体的体积公式之间关系如下:

11

()()(0)33

V Sh S S V h S S S V Sh '''=?===?=柱体台体锥体.

4.探究球的体积与面积公式:

1.球的体积:

(1)比较半球的体积与其等底等高的旋转体的体积 结论:

(2)利用“倒沙实验”,探索底面半径和高都为球半径的圆柱、圆锥与半球三者体积之

半球圆锥圆柱

V V V <<

间的关系(课件演示) 结论:

(3)得到半径是R的球的体积公式:

结论:

2.球的表面积:

由于球的表面是曲面,不是平面,所以球的表面积无法利用展开图来求.该如何求球的表面积公式?是否也可借助分割思想来推导呢?(课件演示)

图1

(1)若将球表面平均分割成n 个小块,则每小块表面可近似看作一个平面,这n 小

块平面面积之和可近似看作球的表面积.当n 趋近于无穷大时,这n 小块平面面积之和接近于甚至等于球的表面积.

(2)若每小块表面看作一个平面,将每小块平面作为底面,球心作为顶点便得到n 个棱锥,这些棱锥体积之和近似为球的体积.当n 越大,越接近于球的体积,当n 趋近于无穷大时就精确到等于球的体积.

(3)半径为R 的球的表面积公式:

结论:

例题讲解:

[例1]一个长方体全面积是20cm 2,所有棱长的和是24cm ,求长方体的对角线长.

解析:设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm 、ycm 、zcm 、lcm 依题意得:??

?=++=++24

)(420

)(2z y x zx yz xy )2()1(

由(2)2得:x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2xz=36(3)

由(3)-(1)得x 2+y 2+z 2=16 即l 2=16

所以l =4(cm)。

点评:涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主,而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素(对角线、内切)与面积、体积之间的关系。

[例2]如图1所示,在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,已知AB=5,AD=4,AA 1=3,AB ⊥AD ,∠A 1AB=∠A 1AD=

3

π。 (1)求证:顶点A 1在底面ABCD 上的射影O 在∠BAD 的平分线上;

O

i

S ?i

V ?33

2

23122

1R R R R R V V V πππ=?-?=-=圆锥圆柱球3

3

4R V π=球2

4R S π=球

(2)求这个平行六面体的体积。

图1 图2 解析:(1)如图2,连结A 1O ,则A 1O ⊥底面ABCD 。作OM ⊥AB 交AB 于M ,作ON ⊥AD 交AD 于N ,连结A 1M ,A 1N 。由三垂线定得得A 1M ⊥AB ,A 1N ⊥AD 。∵∠A 1AM=∠A 1AN ,

∴Rt △A 1NA ≌Rt △A 1MA,∴A 1M=A 1N , 从而OM=ON 。

∴点O 在∠BAD 的平分线上。 (2)∵AM=AA 1cos

3

π=3×21=23

∴AO=4

cos

πAM =223

又在Rt △AOA 1中,A 1O 2=AA 12 – AO 2=9-

29=2

9, ∴A 1O=

223,平行六面体的体积为2

2

345?

?=V 230=。 [例3]一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是6,3,2,这个长方体对角线的长是( ) A .2

3

B .3

2

C .6

D .

6

解析:设长方体共一顶点的三边长分别为a =1,b =2,c =3,则对角线l 的长为

l =6222=++c b a ;答案D 。

点评:解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素—棱长。

[例4]如图,三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,若E 、F 分别为AB 、AC 的中点,平面EB 1C 1将三棱柱分成体积为V 1、V 2的两部分,那么V 1∶V 2= ____ _。

解析:设三棱柱的高为h ,上下底的面积为S ,体积为V ,则V=V 1+V 2=Sh 。 ∵E 、F 分别为AB 、AC 的中点,

∴S △AEF =

4

1S,

P

A

B C

D

O E V 1=

31h(S+41S+41

?S )=12

7Sh V 2=Sh-V 1=

12

5

Sh , ∴V 1∶V 2=7∶5。

点评:解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系,建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可。 题型3:锥体的体积和表面积

[例5](2006上海,19)在四棱锥P -ABCD 中,底

面是边长为2的菱形,∠DAB =60

,对角线AC 与BD 相交于点O ,PO ⊥平面ABCD ,PB 与平面ABCD 所成的角为60 ,求四棱锥P -ABCD 的体积? 解析:(1)在四棱锥P-ABCD 中,由PO ⊥平面ABCD,得∠PBO 是PB 与平面ABCD 所成的角,∠PBO=60°。

在Rt △AOB 中BO=ABsin30°=1, 由PO ⊥BO ,

于是PO=BOtan60°=3,而底面菱形的面积为23。 ∴四棱锥P -ABCD 的体积V=

3

1

×23×3=2。 点评:本小题重点考查线面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱锥的体积。在能力方面主要考查空间想象能力。 [例6](2002京皖春文,19)在三棱锥S —ABC 中,∠SAB =∠SAC =∠ACB =90°,且AC =BC =5,SB =5

5。

(如图所示) (Ⅰ)证明:SC ⊥BC ;

(Ⅱ)求侧面SBC 与底面ABC 所成二面角的大小; (Ⅲ)求三棱锥的体积V S -AB C 。 解析:(Ⅰ)证明:∵∠SAB =∠SAC =90°, ∴SA ⊥AB ,SA ⊥A C 。 又AB ∩AC =A , ∴SA ⊥平面AB C 。

由于∠ACB =90°,即BC ⊥AC ,由三垂线定理,得SC ⊥BC 。 (Ⅱ)∵BC ⊥AC ,SC ⊥BC 。

∴∠SCA 是侧面SCB 与底面ABC 所成二面角的平面角。 在Rt △SCB 中,BC =5,SB =5

5,得SC =2

2BC SB -=10。

在Rt △SAC 中AC =5,SC =10,cos SCA =

2

1

105==SC AC , ∴∠SCA =60°,即侧面SBC 与底面ABC 所成的二面角的大小为60°。

(Ⅲ)解:在Rt △SAC 中,

∵SA =755102222=-=

-AC SC , S △ABC =

21·AC ·BC =2

1

×5×5=225,

∴V S -ABC =

3

1·S △ACB ·SA =63

1257522531=

??。 点评:本题比较全面地考查了空间点、线、面的位置关系。要求对图形必须具备一定的

洞察力,并进行一定的逻辑推理。 题型4:锥体体积、表面积综合问题

[例7]ABCD 是边长为4的正方形,E 、F 分别是AB 、AD 的中点,GB 垂直于正方形ABCD 所在的平面,且GC =2,求点B 到平面EFC 的距离?

解析:如图,取EF 的中点O ,连接GB 、GO 、CD 、FB 构造三棱锥B -EFG 。

设点B 到平面EFG 的距离为h ,BD =,EF

,CO =。

而GC ⊥平面ABCD ,且GC =2。 由

,得

·

点评:该问题主要的求解思路是将点面的距离问题转化为体积问题来求解。构造以点B 为顶点,△EFG 为底面的三棱锥是解此题的关键,利用同一个三棱锥的体积的唯一性列方程是解这类题的方法,从而简化了运算。

[例8](2006江西理,12)如图,在四面体ABCD

中,截面AEF 经过四面体的内切球(与四个面都相切的球)球心O ,且与BC ,DC 分别截于E 、F ,

如果截面将四面体分成体积相等的两部分,设四

棱锥A -BEFD 与三棱锥A -EFC 的表面积分别是S 1,S 2,则必有( )

A .S 1

B .S 1>S 2

C .S 1=S 2

D .S 1,S 2的大小关系不能确定

解析:连OA 、OB 、OC 、OD ,

则V A -BEFD =V O -ABD +V O -ABE +V O -BEFD

V A -EFC =V O -ADC +V O -AEC +V O -EFC 又V A -BEFD =V A -EFC ,

而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径,故S ABD +S ABE +S BEFD =S ADC +S AEC

D

B A O

C E

F

+S EFC 又面AEF 公共,故选C

点评:该题通过复合平面图形的分割过程,增加了题目处理的难度,求解棱锥的体积、表面积首先要转化好平面图形与空间几何体之间元素间的对应关系。

[例9](2002北京理,18)如图9—24,在多面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,上、下底面平行且均为矩形,相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等,侧棱延长后相交于E ,F 两点,上、下底面矩形的长、宽分别为c ,d 与a ,b ,且a >c ,b >d ,两底面间的距离为h 。

(Ⅰ)求侧面ABB 1A 1与底面ABCD 所成二面角的大小; (Ⅱ)证明:EF ∥面ABCD ;

(Ⅲ)在估测该多面体的体积时,经常运用近似公式V 估=S 中截面·h 来计算.已知它的体积公式是V =

6

h

(S 上底面+4S 中截面+S 下底面),试判断V 估与V 的大小关系,并加以证明。 (注:与两个底面平行,且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面) (Ⅰ)解:过B 1C 1作底面ABCD 的垂直平面,交底面于PQ ,过B 1作B 1G ⊥PQ ,垂足为G 。

如图所示:∵平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1,∠A 1B 1C 1=90°, ∴AB ⊥PQ ,AB ⊥B 1P .

∴∠B 1PG 为所求二面角的平面角.过C 1作C 1H ⊥PQ ,垂足为H .由于相对侧面与底面所成二面角的大小相等,故四边形B 1PQC 1

为等腰梯形。

∴PG =

2

1

(b -d ),又B 1G =h ,∴tan B 1PG =d b h -2(b >d ),

∴∠B 1PG =arctan

d b h -2,即所求二面角的大小为arctan d

b h

-2. (Ⅱ)证明:∵AB ,CD 是矩形ABCD 的一组对边,有AB ∥CD ,

又CD 是面ABCD 与面CDEF 的交线, ∴AB ∥面CDEF 。

∵EF 是面ABFE 与面CDEF 的交线, ∴AB ∥EF 。

∵AB 是平面ABCD 内的一条直线,EF 在平面ABCD 外, ∴EF ∥面ABC D 。 (Ⅲ)V 估<V 。

证明:∵a >c ,b >d ,

∴V -V 估=h d b c a d b c a ab cd h 2

2)224(6+?+-+?+?++ =

12

h

[2cd +2ab +2(a +c )(b +d )-3(a +c )(b +d )] =

12

h

(a -c )(b -d )>0。 图

∴V 估<V 。

点评:该题背景较新颖,把求二面角的大小与证明线、面平行这一常规运算置于非规则几何体(拟柱体)中,能考查考生的应变能力和适应能力,而第三步研究拟柱体的近似计算公式与可精确计算体积的辛普生公式之间计算误差的问题,是极具实际意义的问题。考查了考生继续学习的潜能。 [例10](1)(1998全国,9)如果棱台的两底面积分别是S 、S ′,中截面的面积是S 0,那么( ) A .S S S '+=02

B .S S S '=0

C .2S 0=S +S ′

D .S 02=2S ′S

(2)(1994全国,7)已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4,高为2,则其体积为( ) A .32

3

B .28

3

C .24

3

D .20

3

解析:

(1)解析:设该棱台为正棱台来解即可,答案为A ; (2)正六棱台上下底面面积分别为:S 上=6·

43·22=63,S 下=6·4

3·42

=243,V 台=328)(3

1=+?+下下上上S S S S h ,答案B 。

点评:本题考查棱台的中截面问题。根据选择题的特点本题选用“特例法”来解,此种

解法在解选择题时很普遍,如选用特殊值、特殊点、特殊曲线、特殊图形等等。 题型6:圆柱的体积、表面积及其综合问题

[例11](2000全国理,9)一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与侧面积的比是( ) A .

π

π

221+ B .

ππ441+ C .π

π

21+ D .

π

π

241+ 解析:设圆柱的底面半径为r ,高为h ,则由题设知h =2πr . ∴S 全=2πr 2+(2πr )2=2πr 2(1+2π).S 侧=h 2=4π2r 2,

∴π

π221+=侧全S S 。答案为A 。 点评:本题考查圆柱的侧面展开图、侧面积和全面积等知识。

[例12](2003京春理13,文14)如图9—9,一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r 的实心铁球,水面高度恰好升高r ,则

r

R

= 。

解析:水面高度升高r ,则圆柱体积增加πR 2·r 。恰好是半径为r 的实心铁球的体积,因此有

34πr 3=πR 2r 。故3

32=r R 。答案为332。

点评:本题主要考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析、解决问题的能力。

[例13](1)(2002京皖春,7)在△ABC 中,AB =2,BC =1.5,∠ABC =120°(如图所示),若将△ABC 绕直线BC 旋转一周,则所形成的旋转体的体积是( ) A .

2

9

π B .

2

7π C .

2

5

π D .

2

3π (2)(2001全国文,3)若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为3,则这个圆锥的

全面积是( ) A .3π

B .3

C .6π

D .9π

解析:(1)如图所示,该旋转体的体积为圆锥C —ADE 与圆锥B —

ADE 体积之差,又∵求得AB =1。

∴2

3133125331π

ππ=

???-???=-=--ADE B ADE C V V V ,答案D 。

(2)∵S =

21ab sin θ,∴2

1

a 2sin60°=3, ∴a 2=4,a =2,a =2r ,

∴r =1,S 全=2πr +πr 2=2π+π=3π,答案A 。

点评:通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力。而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志,是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向。

[例14](2000全国文,12)如图所示,OA 是圆锥底面中心O 到母线的垂线,OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成相等的两部分,则母线与轴的夹角的余弦值为( )

A .3

21 B .21 C .2

1

D .42

1

解析:如图所示,由题意知,

31πr 2h =6

1

πR 2h , ∴r =

2

R

. 又△ABO ∽△CAO , ∴R OA OA r =,∴OA 2=r ·R =42

2

,2R OA R =, ∴cos θ=

42

1

=R OA ,答案为D 。 点评:本题重点考查柱体、锥体的体积公式及灵活的运算能力。

人教版高中数学必修三全册教案

1.1算法与程序框图(共3课时) 1.1.1算法的概念(第1课时) 一、序言 算法不仅是数学及其应用的重要组成部分,也是计算机科学的重要基础.在现代社会里,计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具.听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据,计算机几乎渗透到了人们生活的所有领域.那么,计算机是怎样工作的呢?要想弄清楚这个问题,算法的学习是一个开始.同时,算法有利于发展有条理的思考与表达的能力,提高逻辑思维能力. 在以前的学习中,虽然没有出现算法这个名词,但实际上在数学教学中已经渗透了大量的算法思想,如四则运算的过程、求解方程的步骤等等,完成这些工作都需要一系列程序化的步骤,这就是算法的思想. 二、实例分析 例1:写出你在家里烧开水过程的一个算法. 解:第一步:把水注入电锅; 第二步:打开电源把水烧开; 第三步:把烧开的水注入热水瓶. (以上算法是解决某一问题的程序或步骤) 例2:给出求1+2+3+4+5的一个算法. 解:算法1按照逐一相加的程序进行 第一步:计算1+2,得到3; 第二步:将第一步中的运算结果3与3相加,得到6; 第三步:将第二步中的运算结果6与4相加,得到10; 第四步:将第三步中的运算结果10与5相加,得到15. 算法2可以运用公式1+2+3+…+n=2)1 (+n n 直接计算第一步:取n=5; 第二步:计算 2)1 (+n n ; 第三步:输出运算结果. (说明算法不唯一) 例3:(课本第2页,解二元一次方程组的步骤) (可推广到解一般的二元一次方程组,说明算法的普遍性)例4:用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是: 慕尧书城出品,正品保障。

人教版新课标高中数学必修四 全册教案

按住Ctrl 键单击鼠标打开教学视频动画全册播放 1.1.1 任意角 教学目标 (一) 知识与技能目标 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. (二) 过程与能力目标 会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合;掌握区间角的集合的书写. (三) 情感与态度目标 1. 提高学生的推理能力; 2.培养学生应用意识. 教学重点 任意角概念的理解;区间角的集合的书写. 教学难点 终边相同角的集合的表示;区间角的集合的书写. 教学过程 一、引入: 1.回顾角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. 二、新课: 1.角的有关概念: ①角的定义: 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. ②角的名称: ③角的分类: ④注意: ⑴在不引起混淆的情况下,“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”; ⑵零角的终边与始边重合,如果α是零角α =0°; ⑶角的概念经过推广后,已包括正角、负角和零角. ⑤练习:请说出角α、β、γ各是多少度? 2.象限角的概念: ①定义:若将角顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,那么角的终边(端点除外)在第几象限,我们就说这个角是第几象限角. 例1.如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角? 正角:按逆时针方向旋转形成的角 零角:射线没有任何旋转形成的角 负角:按顺时针方向旋转形成的角 始边 终边 顶点 A O B

例2.在直角坐标系中,作出下列各角,并指出它们是第几象限的角. ⑴ 60°; ⑵ 120°; ⑶ 240°; ⑷ 300°; ⑸ 420°; ⑹ 480°; 答:分别为1、2、3、4、1、2象限角. 3.探究:教材P3面 终边相同的角的表示: 所有与角α终边相同的角,连同α在内,可构成一个集合S ={ β | β = α + k ·360 ° , k ∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整个周角的和. 注意: ⑴ k ∈Z ⑵ α是任一角; ⑶ 终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同.终边相同的角有无限个,它们相差 360°的整数倍; ⑷ 角α + k ·720 °与角α终边相同,但不能表示与角α终边相同的所有角. 例3.在0°到360°范围内,找出与下列各角终边相等的角,并判断它们是第几象限角. ⑴-120°;⑵640 °;⑶-950°12'. 答:⑴240°,第三象限角;⑵280°,第四象限角;⑶129°48',第二象限角; 例4.写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) . 解:{α | α = 90°+ n ·180°,n ∈Z}. 例5.写出终边在x y =上的角的集合S,并把S 中适合不等式-360°≤β<720°的元素β写出来. 4.课堂小结 ①角的定义; ②角的分类: ③象限角; ④终边相同的角的表示法. 5.课后作业: ①阅读教材P 2-P 5; ②教材P 5练习第1-5题; ③教材P .9习题1.1第1、2、3题 思考题:已知α角是第三象限角,则2α,2 α 各是第几象限角? 解:α 角属于第三象限, 正角:按逆时针方向旋转形成的角 零角:射线没有任何旋转形成的角 负角:按顺时针方向旋转形成的角

高中数学必修五全套教案(非常好的)

(第1课时) 课题 §2.1数列的概念与简单表示法 ●教学目标 知识与技能:理解数列及其有关概念,了解数列和函数之间的关系;了解数列的通项公式,并会用通项公式写出数列的任意一项;对于比较简单的数列,会根据其前几项写出它的个通项公式。 过程与方法:通过对一列数的观察、归纳,写出符合条件的一个通项公式,培养学生的观察能力和抽象概括能力. 情感态度与价值观:通过本节课的学习,体会数学来源于生活,提高数学学习的兴趣。 ●教学重点 数列及其有关概念,通项公式及其应用 ●教学难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 三角形数:1,3,6,10,… 正方形数:1,4,9,16,25,… Ⅱ.讲授新课 ⒈ 数列的定义:按一定次序排列的一列数叫做数列. 注意:⑴数列的数是按一定次序排列的,因此,如果组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的数列; ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项(或首项),第2项,…,第n 项,…. 例如,上述例子均是数列,其中①中,“4”是这个数列的第1项(或首项),“9”是这个数列中的第6项. ⒊数列的一般形式: ,,,,,321n a a a a ,或简记为{}n a ,其中n a 是数列的第n 项 结合上述例子,帮助学生理解数列及项的定义. ②中,这是一个数列,它的首项是“1”,“ 3 1 ”是这个数列的第“3”项,等等 下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系?这一关系可否用一个公式表示?(引导学生进一步理解数列与项的定义,从而发现数列的通项公式)对于上面的数列②,第一项与这一项的序号有这样的对应关系: 项 1 51 413121 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 序号 1 2 3 4 5 这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式:n a n 1 = 来表示其对应关系 即:只要依次用1,2,3…代替公式中的n ,就可以求出该数列相应的各项 结合上述其他例子,练习找其对应关系

人教版高中数学必修2_全册教案

第一章空间几何体 第一章课文目录 1.空间几何体的结构 1.空间几何体的三视图和直观图 1.3空间几何体的表面积与体积 知识结构: 一、空间几何体的结构、三视图和直观图 1.柱、锥、台、球的结构特征 圆柱:以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱;旋转轴叫做圆柱的轴;垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面;无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。 棱柱与圆柱统称为柱体; (2)锥 棱锥:一般的有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥;这个多边形面叫做棱锥的底面或底;有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面;各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点;相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。 底面是三角锥、四边锥、五边锥……的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 圆锥:以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥;旋转轴为圆锥的轴;垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面;斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。 棱锥与圆锥统称为锥体。 (3)台 棱台:用一个平行于底面的平面去截棱锥,底面和截面之间的部分叫做棱台;原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面;棱台也有侧面、侧棱、顶点。 圆台:用一个平行于底面的平面去截圆锥,底面和截面之间的部分叫做圆台;原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面;圆台也有侧面、母线、轴。 圆台和棱台统称为台体。 (4)球 以半圆的直径所在的直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体,简称为球;

半圆的圆心叫做球的球心,半圆的半径叫做球的半径,半圆的直径叫做球的直径。 (5)组合体 由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体。 几种常凸多面体间的关系 一些特殊棱柱、棱锥、棱台的概念和主要性质: 有两个面互相平行,而其余每相侧棱垂直于底面 的棱柱 底面是正多边形的 直棱柱 一个面是多边形,其余各面 面是正多边 形,且顶点在底 用一个平行于 棱锥底面的平 由正棱锥截得 的棱台

2020年人教版高中数学必修一全套精品教案(完整版)

2020年人教版高中数学必修一全套精品教 案(完整版) 第一章集合与函数 §1.1.1集合的含义与表示 一. 教学目标: l.知识与技能 (1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系; (2)知道常用数集及其专用记号; (3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性; (4)会用集合语言表示有关数学对象; (5)培养学生抽象概括的能力. 2. 过程与方法 (1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程,感知集合的含义. (2)让学生归纳整理本节所学知识. 3. 情感.态度与价值观 使学生感受到学习集合的必要性,增强学习的积极性. 二. 教学重点.难点

重点:集合的含义与表示方法. 难点:表示法的恰当选择. 三. 学法与教学用具 1. 学法:学生通过阅读教材,自主学习.思考.交流.讨论和概括,从而更好地完成本节课的教学目标. 2. 教学用具:投影仪. 四. 教学思路 (一)创设情景,揭示课题 1.教师首先提出问题:在初中,我们已经接触过一些集合,你能举出一些集合的例子吗? 引导学生回忆.举例和互相交流. 与此同时,教师对学生的活动给予评价. 2.接着教师指出:那么,集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容. (二)研探新知 1.教师利用多媒体设备向学生投影出下面9个实例: (1)1—20以内的所有质数; (2)我国古代的四大发明; (3)所有的安理会常任理事国; (4)所有的正方形;

(5)海南省在2004年9月之前建成的所有立交桥; (6)到一个角的两边距离相等的所有的点; (7)方程2560 -+=的所有实数根; x x (8)不等式30 x->的所有解; (9)国兴中学2004年9月入学的高一学生的全体. 2.教师组织学生分组讨论:这9个实例的共同特征是什么? 3.每个小组选出——位同学发表本组的讨论结果,在此基础上,师生共同概括出9个实例的特征,并给出集合的含义. 一般地,指定的某些对象的全体称为集合(简称为集).集合中的 每个对象叫作这个集合的元素. 4.教师指出:集合常用大写字母A,B,C,D,…表示,元素常 用小写字母,,, a b c d…表示. (三)质疑答辩,排难解惑,发展思维 1.教师引导学生阅读教材中的相关内容,思考:集合中元素有 什么特点?并注意个别辅导,解答学生疑难.使学生明确集合元素的 三大特性,即:确定性.互异性和无序性.只要构成两个集合的元素是 一样的,我们就称这两个集合相等. 2.教师组织引导学生思考以下问题: 判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由: (1)大于3小于11的偶数;

高中数学选修4-4全套教案

高中数学选修4-4全套教案 第一讲坐标系 一平面直角坐标系 课题:1、平面直角坐标系 教学目的: 知识与技能:回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法:体会坐标系的作用 情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 教学重点:体会直角坐标系的作用 教学难点:能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型:新授课 教学模式:启发、诱导发现教学. 教具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 情境1:为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行,并在按计划完成科学考察任务后,安全、准确的返回地球,从火箭升空的时刻开始,需要随时测定飞船在空中的位 置机器运动的轨迹。 情境2:运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演,其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景 图案,需要缺点不同的画布所在的位置。 问题1:如何刻画一个几何图形的位置? 问题2:如何创建坐标系? 二、学生活动 学生回顾 刻画一个几何图形的位置,需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系 在平面上,当取定两条互相垂直的直线的交点为原点,并确定了度量单位和这两条直线的方向,就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对(x,y)确定 3、空间直角坐标系 在空间中,选择两两垂直且交于一点的三条直线,当取定这三条直线的交点为原点,并确定了度量单位和这三条直线方向,就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对(x,y,z)确定 三、讲解新课: 1、建立坐标系是为了确定点的位置,因此,在所建的坐标系中应满足: 任意一点都有确定的坐标与其对应;反之,依据一个点的坐标就能确定这个点的位置

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高中数学教案全套word 1.1集合的概念 ................................................ ...... 1 1.2集合的运算 ................................................ ...... 3 1.3含绝对值的不等式的解法 ........................................ 6 1.4一元二次不等式的解法.......................................... 91.5简易逻辑 ................................................ ...... 12 1.6充要条件 ................................................ ...... 15 1.7数学巩固练习.............................................. 18.1函数的概念 ................................................ .... 21.2函数的解析式及定义域 ........................................ 24.3函数的值域 ................................................ .... 28.4函数的奇偶

性................................................. ...2.5函数的单调性.................................................. 37.6反函数 ................................................ ..........1.7二次函数 ................................................ ........2.8指数式与对数式 ................................................ .2.9指数函数与对数函数 .............................................0.1 0函数的图象 ................................................ .....2.11函数的最值 ................................................ .....2.12函数的应用 ................................................ .....1.13数学巩固练习 .. (4) .1数列的有关概念 ................................. 错误!未定义书签。.2等差数列与等比数列的基本运算 ................. 错误!未定义书签。.3等差数列、

高一数学教案人教版

高一数学教案人教版 【篇一:人教版高中数学必修3全册教案】 教育精品资料 按住ctrl键单击鼠标打开名师教学视频全册播放 按住ctrl键单击鼠标打开名师教学视频全册播放 第一章算法初步??????????????11.1算法与程序框图???????????????2 1.1 算法与程序框图(共3课时) 1.1.1 算法的概念(第1课时) 【课程标准】通过对解决具体问题过程与步骤的分析(如二元一次方程组求解等问题),体会算法的思想,了解算法的含义. 【教学目标】1.理解算法的概念与特点; 2.学会用自然语言描述算法,体会算法思想; 3.培养学生逻辑思维能力与表达能力. 【教学重点】算法概念以及用自然语言描述算法 【教学难点】用自然语言描述算法 【教学过程】 一、序言 算法不仅是数学及其应用的重要组成部分,也是计算机科学的重要基础. 在现代社会里,计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具. 听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据,计算机几乎渗透到了人们生活的所有领域. 那么,计算机是怎样工作的呢?要想弄清楚这个问题,算法的学习是一个开始. 同时,算法有利于发展有条理的思考与表达的能力,提高逻辑思维能力. 在以前的学习中,虽然没有出现算法这个名词,但实际上在数学教学中已经渗透了大量的算法思想,如四则运算的过程、求解方程的步骤等等,完成这些工作都需要一系列程序化的步骤,这就是算法的思想. 二、实例分析 例1:写出你在家里烧开水过程的一个算法. 解:第一步:把水注入电锅; 第二步:打开电源把水烧开; 第三步:把烧开的水注入热水瓶. (以上算法是解决某一问题的程序或步骤)

人教版高中数学集合教案

1.1.1 集合 教学目标: 1、理解集合的概念和性质. 2、了解元素与集合的表示方法. 3、熟记有关数集. 4、培养学生认识事物的能力. 教学重点:集合概念、性质 教学难点:集合概念的理解 教学过程: 1、定义: 集合:一般地,某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集). 元素:集合中每个对象叫做这个集合的元素. 由此上述例中集合的元素是什么? 例(1)的元素为1、3、5、7, 例(2)的元素为到两定点距离等于两定点间距离的点, 例(3)的元素为满足不等式3x-2> x+3的实数x, 例(4)的元素为所有直角三角形, 例(5)为高一·六班全体男同学. 一般用大括号表示集合,{ …}如{我校的篮球队员},{太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋}。则上几例可表示为…… 为方便,常用大写的拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员} ,B={1,2,3,4,5} 2

(1)确定性;(2)互异性;(3)无序性. 3、元素与集合的关系:隶属关系 元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?(? 也可表示为 )两种。 如A={2,4,8,16},则4∈A ,8∈A ,32 A. 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a 是集合A 的元素,就说a 属于集A 记作 a ∈A ,相反,a 不属于集A 记作 a ?A (或a A ) 注:1、集合通常用大写的拉丁字母表示,如A 、B 、C 、P 、Q …… 元素通常用小写的拉丁字母表示,如a 、b 、c 、p 、q …… 2、“∈”的开口方向,不能把a ∈A 颠倒过来写。 4 注:(1)自然数集与非负整数集是相同的,也就是说,自然数集包括数0。 (2)非负整数集内排除0的集。记作N *或N + 。Q 、Z 、R 等其它数集内排除0 的集,也是这样表示,例如,整数集内排除0的集,表示成Z * 请回答:已知a+b+c=m ,A={x|ax 2+bx+c=m},判断1与A 的关系。 1.1.2 集合间的基本关系 教学目标:1.理解子集、真子集概念; 2.会判断和证明两个集合包含关系; 3 . 理解 ”、“?”的含义; 4.会判断简单集合的相等关系; 5.渗透问题相对的观点。 教学重点:子集的概念、真子集的概念 教学难点:元素与子集、属于与包含间区别、描述法给定集合的运算 教学过程: 观察下面几组集合,集合A 与集合B 具有什么关系? (1) A={1,2,3},B={1,2,3,4,5}. (2) A={x|x>3},B={x|3x-6>0}. (3) A={正方形},B={四边形}. (4) A=?,B={0}. ∈?∈

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高 一 数 学 教 案 (必修五) 重庆铁路中学陈昭旭

数学5 第一章解三角形 课题:§1.1.1 正弦定理 授课类型:新授课 ●教学目标 知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法;会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作。 情感态度与价值观:培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力;培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力,通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 如图1.1-1,固定?ABC 的边CB 及∠B ,使边AC 绕着顶点C 转动。 A 思考:∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系? 显然,边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来? C B Ⅱ.讲授新课 [探索研究] (图1.1-1) 在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角与边的等式关系。如图1.1-2,在Rt ?ABC 中,设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义,有 sin a A c =,sin b B c =,又sin 1c C c ==, A 则sin sin sin a b c c A B C === b c 从而在直角三角形ABC 中,sin sin sin a b c A B C == (图1.1-2) 思考:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立? (由学生讨论、分析) 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况: 如图1.1-3,当?ABC 是锐角三角形时,设边AB 上的高是CD ,根据任意角三角函数的定义,有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a b A B = , C 同理可得sin sin c b = , b a 从而 sin sin a b A B = sin c C = A c B

2020年人教版高中数学必修三全套教案(全册完整版)

教育精品资料 2020年人教版高中数学必修三全套教案(全册完整版) 按住Ctrl键单击鼠标打开名师教学视频全册播放 第一章算法初步 (1) 1.1算法与程序框图 (2) 1.1 算法与程序框图(共3课时) 1.1.1算法的概念(第1课时) 【课程标准】通过对解决具体问题过程与步骤的分析(如二元一次方程组求解等问题),体会算法的思想,了解算法的含义. 【教学目标】1.理解算法的概念与特点;

2.学会用自然语言描述算法,体会算法思想; 3.培养学生逻辑思维能力与表达能力. 【教学重点】算法概念以及用自然语言描述算法 【教学难点】用自然语言描述算法 【教学过程】 一、序言 算法不仅是数学及其应用的重要组成部分,也是计算机科学的重要基础. 在现代社会里,计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具. 听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据,计算机几乎渗透到了人们生活的所有领域. 那么,计算机是怎样工作的呢?要想弄清楚这个问题,算法的学习是一个开始. 同时,算法有利于发展有条理的思考与表达的能力,提高逻辑思维能力. 在以前的学习中,虽然没有出现算法这个名词,但实际上在数学教学中已经渗透了大量的算法思想,如四则运算的过程、求解方程的步骤等等,完成这些工作都需要一系列程序化的步骤,这就是算法的思想. 二、实例分析 例1:写出你在家里烧开水过程的一个算法. 解:第一步:把水注入电锅; 第二步:打开电源把水烧开; 第三步:把烧开的水注入热水瓶. (以上算法是解决某一问题的程序或步骤) 例2:给出求1+2+3+4+5的一个算法. 解:算法1 按照逐一相加的程序进行 第一步:计算1+2,得到3; 第二步:将第一步中的运算结果3与3相加,得到6;

最新人教版高中数学必修二_全册教案

按住Ctrl键单击鼠标打开教学视频动画全册播放 第一章:空间几何体 1.1.1柱、锥、台、球的结构特征 一、教学目标 1.知识与技能 (1)通过实物操作,增强学生的直观感知。 (2)能根据几何结构特征对空间物体进行分类。 (3)会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。 (4)会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。 2.过程与方法 (1)让学生通过直观感受空间物体,从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。(2)让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。 3.情感态度与价值观 (1)使学生感受空间几何体存在于现实生活周围,增强学生学习的积极性,同时提高学生的观察能力。 (2)培养学生的空间想象能力和抽象括能力。 二、教学重点、难点 重点:让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。 难点:柱、锥、台、球的结构特征的概括。 三、教学用具 (1)学法:观察、思考、交流、讨论、概括。 (2)实物模型、投影仪 四、教学思路 (一)创设情景,揭示课题 1.教师提出问题:在我们生活周围中有不少有特色的建筑物,你能举出一些例子吗?这些建筑的几何结构特征如何?引导学生回忆,举例和相互交流。教师对学生的活动及时给予评价。 2.所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的,(展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体),你能通过观察。根据某种标准对这些空间物体进行分类吗?这是我们所要学习的内容。 (二)、研探新知 1.引导学生观察物体、思考、交流、讨论,对物体进行分类,分辩棱柱、圆柱、棱锥。

2.观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片,它们各自的特点是什么?它们的共同特点是什么? 3.组织学生分组讨论,每小组选出一名同学发表本组讨论结果。在此基础上得出棱柱的主要结构特征。(1)有两个面互相平行;(2)其余各面都是平行四边形;(3)每相邻两上四边形的公共边互相平行。概括出棱柱的概念。 4.教师与学生结合图形共同得出棱柱相关概念以及棱柱的表示。 5.提出问题:各种这样的棱柱,主要有什么不同?可不可以根据不同对棱柱分类? 请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体,并说出组成这些物体的几何结构特征?它们由哪些基本几何体组成的? 6.以类似的方法,让学生思考、讨论、概括出棱锥、棱台的结构特征,并得出相关的概念,分类以及表示。 7.让学生观察圆柱,并实物模型演示,如何得到圆柱,从而概括出圆标的概念以及相关的概念及圆柱的表示。 8.引导学生以类似的方法思考圆锥、圆台、球的结构特征,以及相关概念和表示,借助实物模型演示引导学生思考、讨论、概括。 9.教师指出圆柱和棱柱统称为柱体,棱台与圆台统称为台体,圆锥与棱锥统称为锥体。 10.现实世界中,我们看到的物体大多由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组合而成。请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体,并说出组成这些物体的几何结构特征?它们由哪些基本几何体组成的? (三)质疑答辩,排难解惑,发展思维,教师提出问题,让学生思考。 1.有两个面互相平行,其余后面都是平行四边形的几何体是不是棱柱(举反例说明,如图) 2.棱柱的何两个平面都可以作为棱柱的底面吗? 3.课本P8,习题1.1 A组第1题。 4.圆柱可以由矩形旋转得到,圆锥可以由直角三角形旋转得到,圆台可以由什么图形旋转得到?如何旋转? 5.棱台与棱柱、棱锥有什么关系?圆台与圆柱、圆锥呢? 四、巩固深化 练习:课本P7 练习1、2(1)(2) 课本P8 习题1.1 第2、3、4题 五、归纳整理 由学生整理学习了哪些内容 六、布置作业

高中数学人教版必修4全套教案

第1,2课时1.1.1 任意角 教学目标 (一) 知识与技能目标 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. (二) 过程与能力目标 会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合;掌握区间角的集合的书写. (三) 情感与态度目标 1. 提高学生的推理能力; 2.培养学生应用意识. 教学重点:任意角概念的理解;区间角的集合的书写. 教学难点:终边相同角的集合的表示;区间角的集合的书写. 教学过程 一、引入: 1.回顾角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. 二、新课: 1.角的有关概念: ①角的定义: 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. ②角的名称: ③角的分类: ④注意: ⑴在不引起混淆的情况下,“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”; ⑵零角的终边与始边重合,如果α是零角α =0°; ⑶角的概念经过推广后,已包括正角、负角和零角. ⑤练习:请说出角α、β、γ各是多少度? 2.象限角的概念: ①定义:若将角顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,那么 正角:按逆时针方向旋转形成的角 零角:射线没有任何旋转形成的角 始 边 终 边 顶 点 A O B 负角:按顺时针方向旋转形成的角

角的终边(端点除外)在第几象限,我们就说这个角是第几象限角. 例1.如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角? 例2.在直角坐标系中,作出下列各角,并指出它们是第几象限的角. ⑴ 60°; ⑵ 120°; ⑶ 240°; ⑷ 300°; ⑸ 420°; ⑹ 480°; 答:分别为1、2、3、4、1、2象限角. 3.探究: 终边相同的角的表示: 所有与角α终边相同的角,连同α在内,可构成一个集合S ={β|β=α+k ·360°,k ∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整个周角的和. 注意: ⑴ k ∈Z ⑵ α是任一角; ⑶ 终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同.终边相同的角有无限个,它们相差 360°的整数倍; ⑷ 角α + k ·720 °与角α终边相同,但不能表示与角α终边相同的所有角. 例3.在0°到360°范围内,找出与下列各角终边相等的角,并判断它们是第几象限角. ⑴-120°;⑵640 °;⑶-950°12'. 答:⑴240°,第三象限角;⑵280°,第四象限角;⑶129°48',第二象限角; 例4.写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) . 解:{α | α = 90°+ n ·180°,n ∈Z}. 例5.写出终边在x y 上的角的集合S,并把S 中适合不等式-360°≤β<720°的元素β写出来. 4.课堂小结 ①角的定义; ②角的分类: ⑵ B 1 y ⑴ O x 45° B 2 O x B 3 y 30° 60o

高中数学必修一教案全套

高中数学必修一教案全套 Last revision date: 13 December 2020.

『高中数学·必修1』第一章集合与函数概念 课题:§1.1 集合 教材分析:集合概念及其基本理论,称为集合论,是近、现代数学的一个重要的基础,一方面,许多重要的数学分支,都建立在集合理论的基础上。另一方 面,集合论及其所反映的数学思想,在越来越广泛的领域种得到应用。 课型:新授课 教学目标:(1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的理解集合“属于” 关系; (2)能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不 同的具体问题,感受集合语言的意义和作用; 教学重点:集合的基本概念与表示方法; 教学难点:运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法,正确表示一些简单的集合; 教学过程: 一、引入课题 军训前学校通知:8 月15日8点,高一年段在体育馆集合进行军训动员;试问 这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生? 在这里,集合是我们常用的一个词语,我们感兴趣的是问题中某些特定(是高 一而不是高二、高三)对象的总体,而不是个别的对象,为此,我们将学习一个新 的概念——集合(宣布课题),即是一些研究对象的总体。 阅读课本 P-P内容 二、新课教学 (一)集合的有关概念 1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体,人们能 意识到这些东西,并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。 2. 一般地,研究对象统称为元素(element),一些元素组成的总体叫集合(set), 也简称集。 ——————————————第 1 页(共 70页)——————————————

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新人教版高中数学必修三教案(全册)第一章算法初步 (1) 1.1算法与程序框图 (2) 1.1 算法与程序框图(共3课时) 1.1.1算法的概念(第1课时) 【课程标准】通过对解决具体问题过程与步骤的分析(如二元一次方程组求解等问题),体会算法的思想,了解算法的含义. 【教学目标】1.理解算法的概念与特点; 2.学会用自然语言描述算法,体会算法思想; 3.培养学生逻辑思维能力与表达能力. 【教学重点】算法概念以及用自然语言描述算法 【教学难点】用自然语言描述算法 【教学过程】 一、序言 算法不仅是数学及其应用的重要组成部分,也是计算机科学的重要基础. 在现代社会里,计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具. 听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据,计算机几乎渗透到了人们生活的所有领域. 那么,计算机是怎样工作的呢?要想弄清楚这个问题,算法的学习是一个开始. 同时,算法有利于发展有条理的思考与表达的能力,提高逻辑思维能力. 在以前的学习中,虽然没有出现算法这个名词,但实际上在数学教学中已经渗透了大量的算法思想,如四则运算的过程、求解方程的步骤等等,完成这些工作都需要一系列程序化的步骤,这就是算法的思想. 二、实例分析 例1:写出你在家里烧开水过程的一个算法. 解:第一步:把水注入电锅; 第二步:打开电源把水烧开; 第三步:把烧开的水注入热水瓶. (以上算法是解决某一问题的程序或步骤) 例2:给出求1+2+3+4+5的一个算法. 解:算法1 按照逐一相加的程序进行 第一步:计算1+2,得到3;

第二步:将第一步中的运算结果3与3相加,得到6; 第三步:将第二步中的运算结果6与4相加,得到10; 第四步:将第三步中的运算结果10与5相加,得到15. 算法2 可以运用公式1+2+3+…+错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。直接计算 第一步:取错误!未找到引用源。=5; 第二步:计算错误!未找到引用源。; 第三步:输出运算结果. (说明算法不唯一) 例3:(课本第2页,解二元一次方程组的步骤) (可推广到解一般的二元一次方程组,说明算法的普遍性) 例4:用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是: 第一步:根据题意,选择标准方程或一般方程; 第二步:根据条件列出关于错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误! 未找到引用源。或错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。 的方程组; 第三步:解出错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,代入标准方程或一般方程. 三、算法的概念 通过对以上几个问题的分析,我们对算法有了一个初步的了解.在解决某些问题时,需要设计出一系列可操作或可计算的步骤,通过实施这些步骤来解决问题,通常把这些 在数学中,现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程 序或步骤,这些程序或步骤必须是明确和有效的,而且能够在有限步之内完成. 四、知识应用 例5:(课本第3页例1)(难点是由质数的定义判断一个大于1的正整数错误!未找到引 用源。是否为质数的基本方法) 练习1:(课本第4页练习2)任意给定一个大于1的正整数错误!未找到引用源。,设计一个算法求出错误!未找到引用源。的所有因数. 解:根据因数的定义,可设计出下面的一个算法: 第一步:输入大于1的正整数错误!未找到引用源。 .

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第一章集合与函数概念 §1.1集合 1.1.1集合的含义与表示(第一课时) 教学目标:1.理解集合的含义。 2.了解元素与集合的表示方法及相互关系。 3.熟记有关数集的专用符号。 4.培养学生认识事物的能力。 教学重点:集合含义 教学难点:集合含义的理解 教学方法:尝试指导法 教学过程: 引入问题 (I)提出问题 问题1:班级有20名男生,16名女生,问班级一共多少人? 问题2:某次运动会上,班级有20人参加田赛,16人参加径赛,问一共多少人参加比赛? 讨论问题:按小组讨论。 归纳总结:问题2已无法用学过的知识加以解释,这是与集合有关的问题,因此需用集合的语言加以描述(板书标题)。 复习问题 x-< 问题3:在小学和初中我们学过哪些集合?(数集,点集)(如自然数的集合,有理数的集合,不等式73的解的集合,到一个定点的距离等于定长的点的集合,到一条线段的两个端点距离相等的点的集合等等)。(II)讲授新课 1.集合含义 通过以上实例,指出: (1)含义:一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)。 说明:在初中几何中,点,线,面都是原始的,不定义的概念,同样集合也是原始的,不定义的概念,只可描述,不可定义。 (2)表示方法:集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示,而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。 问题4:由此上述例中集合的元素分别是什么? 2. 集合元素的三个特征

由以上四个问题可知,集合元素具有三个特征: (1) 确定性: 设A 是一个给定的集合,a 是某一具体的对象,则a 或者是A 的元素,或者不是A 的元素,两种情况必有一种而且只有一种成立。 如:“地球上的四大洋”(太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋) “中国古代四大发明”(造纸,印刷,火药,指南针)可以构成集合,其元素具有确定性;而“比较大的数”,“平面点P 周围的点”一般不构成集合 元素与集合的关系:(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?两种) 若a 是集合A 中的元素,则称a 属于集合A ,记作a ∈A ; 若a 不是集合A 的元素,则称a 不属于集合A ,记作a ?A 。 如A={2,4,8,16},则4∈A ,8∈A ,32?A.(请学生填充)。 (2) 互异性:即同一集合中不应重复出现同一元素。 说明:一个给定集合中的元素是指属于这个集合的互不相同的对象.因此,以后提到集合中的两个元素时,一定是指两个不同的元素. 如:方程(x-2)(x-1)2 =0的解集表示为{1,-2 },而不是{ 1,1,-2 } (3)无序性: 即集合中的元素无顺序,可以任意排列,调换. 。 3.常见数集的专用符号 (III )课堂练习 (IV )课时小结 1.集合的含义; 2.集合元素的三个特征中,确定性可用于判定某些对象是否是给定集合的元素,互异性可用于简化集合的表示,无序性可用于判定集合的关系。

高中数学全套教案(新人教A版)

第一章 三角函数 1.1任意角和弧度制 1.1.1任意角 一、 教学目标: 1、知识与技能 (1)推广角的概念、引入大于360? 角和负角;(2)理解并掌握正角、负角、零角的定义;(3)理解任意角以及象限角的概念;(4)掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法;(5)树立运动变化观点,深刻理解推广后的角的概念;(6)揭示知识背景,引发学生学习兴趣.(7)创设问题情景,激发学生分析、探求的学习态度,强化学生的参与意识. 2、过程与方法 通过创设情境:“转体720? ,逆(顺)时针旋转”,角有大于360? 角、零角和旋转方向不同所形成的角等,引入正角、负角和零角的概念;角的概念得到推广以后,将角放入平面直角坐标系,引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法;列出几个终边相同的角,画出终边所在的位置,找出它们的关系,探索具有相同终边的角的表示;讲解例题,总结方法,巩固练习. 3、情态与价值 通过本节的学习,使同学们对角的概念有了一个新的认识,即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后,知道角之间的关系.理解掌握终边相同角的表示方法,学会运用运动变化的观点认识事物. 二、教学重、难点 重点: 理解正角、负角和零角的定义,掌握终边相同角的表示法. 难点: 终边相同的角的表示. 三、学法与教学用具 之前的学习使我们知道最大的角是周角,最小的角是零角.通过回忆和观察日常生活中实际例子,把对角的理解进行了推广.把角放入坐标系环境中以后,了解象限角的概念.通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法.我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示.另外还有相同终边角的集合的表示等. 教学用具:电脑、投影机、三角板 四、教学设想 【创设情境】 思考:你的手表慢了5分钟,你是怎样将它校准的?假如你的手表快了1.25 小时,你应当如何将它校准?当时间校准以后,分针转了多少度? [取出一个钟表,实际操作]我们发现,校正过程中分针需要正向或反向旋转,有时转不到一周,有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0360? ? ~之间,这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角. 【探究新知】 1.初中时,我们已学习了0360? ?~角的概念,它是如何定义的呢? [展示投影]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1.1-1,一条射线由原来的位置OA ,绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ,就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的始边,OB 叫终边,射线的端点O 叫做叫α的顶点. 2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语:“转体720? ” (即转体2周),“转体1080? ”(即转体3周)等,都是遇到大于360? 的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于360? 的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢?