高一数学人教A版必修四教案：3.2 简单的三角恒等变换(1) pdf版含答案

数学 3.2简单的三角恒等变换(1)教案

一、教学分析

本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换,以及三角恒等变换在数学中的应用.本节的内容都是用例题来展现的,通过例题的解答,引导学生对变换对象和变换目标进行对比、分析,促使学生形成对解题过程中如何选择公式,如何根据问题的条件进行公式

变形,以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识,从而加深理解变

换思想,提高学生的推理能力.

本节把三角恒等变换的应用放在三角变换与三角函数间的内在联系上,从而使三角函数性质的研究得到延伸.三角恒等变换不同于代数变换，后者往往着眼于式子结构形式的变换，变换内容比较单一.而对于三角变换，不仅要考虑三角函数是结构方面的差异，还要考虑三角函数式所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，它是一种立体的综合性变换.从函数式结构、函数种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式进行转化变形，是三角恒等变换的重要特点.

二、三维目标

1．知识与技能：

通过经历二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式，能利用和与差的正弦、

余弦公式推导出积化和差与和差化积公式,体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力.

2．过程与方法：

理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形,体会三角恒等变换在数学中的应用.

3．情感态度与价值观：

通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中

如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使

用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力.

三、重点难点

教学重点：1.半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练.

2.三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中,体会三角变换的特点.

教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高

从整体上把握变换过程的能力.

四、课时安排

2课时

五、教学设想

第1课时

（一）导入新课

思路1.我们知道变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一，三角函数主

要有以下三个基本的恒等变换：代数变换、公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角的

变换.前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等变换，本节将综合运用和（差）角公式、倍角公式进行更加丰富的三角恒等变换.

思路2.三角函数的化简、求值、证明，都离不开三角恒等变换.学习了和角公式，差

角公式，倍角公式以后，我们就有了进行三角变换的新工具，从而使三角变换的内容、思

路和方法更加丰富和灵活，同时也为培养和提高我们的推理、运算、实践能力提供了广阔

的空间和发展的平台.对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异,

而且还会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系,并以此为依据选择可以联系它们的适当公式,这是三角式恒等变换的重要特点.

（二）推进新课、新知探究、提出问题

①α与有什么关系?2

a ②如何建立cosα与sin 2

之间的关系？2a ③sin 2=，cos 2=，tan 2=这三个式子有什么共同特点？2a 2cos 1a -2a 2cos 1a +2a a a cos 1cos 1+-④通过上面的三个问题，你能感觉到代数变换与三角变换有哪些不同吗?

⑤证明(1)sinαcosβ=

[sin(α+β)+sin(α-β)];2

1(2)sinθ+sinφ=2sin .2cos 2?θ?θ-+并观察这两个式子的左右两边在结构形式上有何不同？ 活动：教师引导学生联想关于余弦的二倍角公式cosα=1-2sin 2

,将公式中的α用2

a 代替,解出sin 2即可.教师对学生的讨论进行提问，学生可以发现：α是的二倍角.2a 2a 2

a 在倍角公式cos2α=1-2sin 2α中,以α代替2α,以代替α,即得cosα=1-2sin 2,2a 2

a 所以sin 2=. ①2a 2

cos 1a -在倍角公式cos2α=2cos 2α-1中,以α代替2α,以代替α,即得2

a cosα=2cos 2-1,2

a 所以cos 2=. ②2a 2cos 1a +将①②两个等式的左右两边分别相除,即得

tan 2=. ③2a a

a cos 1cos 1+-教师引导学生观察上面的①②③式，可让学生总结出下列特点：

(1)用单角的三角函数表示它们的一半即是半角的三角函数;

(2)由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”(即用此式可达到“降次”的目的).

教师与学生一起总结出这样的特点,并告诉学生这些特点在三角恒等变形中将经常用到.提醒学生在以后的学习中引起注意.同时还要强调,本例的结果还可表示为:sin =±2

a ,cos =±,tan =±,并称之为半角公式(不要求记忆),符2cos 1a -2a 2cos 1a +2

a a a cos 1cos 1+-

号由所在象限决定.2

a 教师引导学生通过这两种变换共同讨论归纳得出：对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异.因此，三角恒等变换常常先寻找式子所包含的各个角间的联系，并以此为依据，选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的重要特点.代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换.

对于问题⑤：（1）如果从右边出发，仅利用和（差）的正弦公式作展开合并，就会得出左式.但为了更好地发挥本例的训练功能，把两个三角式结构形式上的不同点作为思考的出发点，引导学生思考，哪些公式包含sinαcosβ呢？想到sin(α+β)

=sinαcosβ+cosαsinβ.从方程角度看这个等式，sinαcosβ，cosαsinβ分别看成两个未知数.二元方程要求得确定解，必须有2个方程，这就促使学生考虑还有没有其他包含sinαcosβ的公式，列出sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ后，解相应的以

sinαcosβ，cosαsinβ为未知数的二元一次方程组，就容易得到所需要的结果.

（2）由（1）得到以和的形式表示的积的形式后，解决它的反问题，即用积的形式表示和的形式，在思路和方法上都与（1）没有什么区别.只需做个变换，令α+β=θ，α-

β=φ，则α=，β=,代入 (1)式即得(2)式.

2?

θ+2?

θ-证明:(1)因为sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,

sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ,

将以上两式的左右两边分别相加,得

sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ,

即sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)].2

1(2)由(1),可得sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ.①

设α+β=θ,α-β=φ,那么α=

,β=.2?θ+2?θ-把α,β的值代入①,

即得sinθ+sinφ=2sin cos .

2?

θ+2?

θ- 教师给学生适时引导，指出这两个方程所用到的数学思想,可以总结出在本例的证明过程中用到了换元的思想,如把α+β看作θ,α-β看作φ,从而把包含α,β的三角函数式变换成θ,φ的三角函数式.另外,把sinαcosβ看作x,cosαsinβ看作y,把等式看作x,y 的方程,通过解方程求得x,这就是方程思想的体现.

讨论结果：①α是

的二倍角.2

a ②sin 2=1-cos .2a 2cos 1a -③④⑤略(见活动）.

（三）应用示例

思路1

例1 化简:..cos sin 1cos sin 1x

x x x ++-+

活动：此题考查公式的应用，利用倍角公式进行化简解题.教师提醒学生注意半角公式和倍角公式的区别，它们的功能各异，本质相同，具有对立统一的关系.

解:原式==tan .2sin 2(cos 2cos 2)2cos 2(sin 2sin 22cos 2sin 22cos 22cos 2sin 22sin 222

x x x x x x x x x x x x ++=++2x 点评：本题是对基本知识的考查，重在让学生理解倍角公式与半角公式的内在联系.变式训练

化简:sin50°(1+tan10°).

3解:原式=sin50°o o o o o o

10cos )10sin 2310cos 21(250sin 10cos 10sin 31+?=+=2sin50°·o

o

o o o 10cos 10sin 30cos 10cos 30sin +=2cos40°·=1.o o

o o o o 10

cos 10cos 10cos 80sin 10cos 40sin ==例2 已知sinx-cosx=

,求sin 3x-cos 3x 的值.21 活动：教师引导学生利用立方差公式进行对公式变换化简，然后再求解.由于(a-b)3=a 3-3a 2b+3ab2-b 3=a 3-b 3-3ab(a-b),∴a 3-b 3=(a-b)3+3ab(a-b).解完此题后,教师引导学生深挖本例的思想方法,由于sinx·cosx 与sinx±cosx 之间的转化.提升学生的运算.化简能力及整体代换思想.本题也可直接应用上述公式求之,即sin 3x-cos 3x=(sinx-cosx)

3+3sinxcosx(sinx-cosx)=

.此方法往往适用于sin 3x±cos 3x 的化简问题之中.16

11解:由sinx-cosx=,得(sinx-cosx)2=,214

1即1-2sinxcosx=,∴sinxcosx=.4183∴sin 3x-cos 3x=(sinx-cosx)(sin 2x+sinxcosx+cos 2x)

=(1+)=.218316

11 点评：本题考查的是公式的变形、化简、求值,注意公式的灵活运用和化简的方法.变式训练

(2007年高考浙江卷,12)

已知sinθ+cosθ=,且≤θ≤,则cos2θ的值是512π43π______________.

答案:25

7

-

例1 已知.1sin sin cos cos :1sin sin cos cos 24242424=+=+A

B A B B A B A 求证 活动：此题可从多个角度进行探究,由于所给的条件等式与所要证明的等式形式一致,只是将A,B 的位置互换了,因此应从所给的条件等式入手,而条件等式中含有A,B 角的正、余弦,可利用平方关系来减少函数的种类.从结构上看,已知条件是a 2+b 2=1的形式,可利用三角代换.

证明一:∵,1sin sin cos cos 2424=+B

A B A ∴cos 4A·sin 2B+sin 4A·cos 2B=sin 2B·cos+B.

∴cos 4A(1-cos 2B)+sin 4A·cos 2B=(1-cos 2B)cos 2B,

即cos 4A-cos 2B(cos 4A-sin 4A)=cos 2B-cos 4B.

∴cos 4A-2cos 2Acos 2B+cos 4B=0.

∴(cos 2A-cos 2B)2=0.∴cos 2A=cos 2B.∴sin 2A=sin 2B.∴cos 2B+sin 2B=1.=+A

B A B 2424sin sin cos cos 证明二:令=sinα,B

A a

B A sin sin ,cos cos cos 22=则cos 2A=cosBcosα,sin 2A=sinBsinα.

两式相加,得1=cosBcosα+sinBsinα,即cos(B-α)=1.

∴B-α=2kπ(k∈Z ),即B=2kπ+α(k∈Z ).

∴cosα=cosB,sinα=sinB.

∴cos 2A=cosBcos α=cos 2B,sin 2A=sinBsin α=sin 2B.∴=cos 2B+sin 2B=1.B

B B B A B A B 24242424sin sin cos cos sin sin cos cos +=+ 点评:要善于从不同的角度来观察问题,本例从角与函数的种类两方面观察,利用平方关系进行了合理消元.

变式训练

在锐角三角形ABC 中,ABC 是它的三个内角,记S=,求证:S<1.B

A tan 11tan 11+++证明:∵S=B

A B A B A B A B A tan tan tan tan 1tan tan 1)tan 1)(tan 1(tan 1tan 1+++++=+++++又A+B>90°,∴90°>A>90°-B>0°.

∴tanA>tan(90°-B)=cotB>0,

∴tanA·tanB>1.∴S<1.

思路2例1 证明=tan(+).x x cos sin 1+4π2

x 活动：教师引导学生思考，对于三角恒等式的证明，可从三个角度进行推导：①左边

→右边；②右边→左边；③左边→中间条件←右边.教师可以鼓励学生试着多角度的化简推导.注意式子左边包含的角为x,三角函数的种类为正弦，余弦，右边是半角

，三角函数2

x 的种类为正切.

解：方法一：从右边入手，切化弦，得tan(+)=,由左右两边的角4π2x 2

sin 2cos 2sin 2cos 2sin 2sin 2cos 2cos 2sin 4cos 2cos 4sin )24cos()22sin(

x x x x x x x x x x -+=-+=++ππππππ

之间的关系，想到分子分母同乘以cos +sin ,得2x 2

x x x x x cos sin 12sin 2)(cos 2sin 2(cos )2sin 2(cos 2+=-++方法二：从左边入手，分子分母运用二倍角公式的变形，降倍升幂，得2

sin 2cos 2sin 2cos )2sin 2)(cos 2sin 2(cos )2sin 2(cos cos sin 12x x x x x x -+=-++=+由两边三角函数的种类差异，想到弦化切，即分子分母同除以cos ,得2

x =tan(+).2

tan 4tan 12tan 4tan 2tan 12tan 1x x x x π-+=-+4π2x 点评：本题考查的是半角公式的灵活运用，以及恒等式的证明所要注意的步骤与方法.变式训练

已知α,β∈(0,)且满足:3sin 2α+2sin 2β=1,3sin2α-2sin2β=0,求α+2β的值.

2π

解法一:3sin 2α+2sin 2β=13sin 2α=1-2sin 2β,即3sin 2α=cos2β, ?①

3sin2α-2sin2β=03sinαcosα=sin2β, ?②

①2+②2:9sin 4α+9sin 2αcos 2α=1,即9sin 2α(sin 2α+cos 2α)=1,

∴sin 2α=.∵α∈(0,),∴sinα=.912π3

1∴sin(α+2β)=sinαcos2β+cosαsin2β=sinα·3sin 2α+cosα·3sinαcosα=3sinα(sin 2α+cos 2α)=3×=1.3

1∵α,β∈(0,),∴α+2β∈(0,

).∴α+2β=.2π

23π2π解法二:3sin 2α+2sin 2β=1cos2β=1-2sin 2β=3sin 2α,

?

3sin2α-2sin2β=0sin2β=sin2α=3sin αcos α,?2

3∴cos(α+2β)=cos αcos2β-sin αsin2β

=cos α·3sin 2α-sin α·3sin αcos α=0.

∵α,β∈(0,),∴α+2β∈(0,).∴α+2β=.2π

23π2

π解法三:由已知3sin 2α=cos2β,sin2α=sin2β,2

3两式相除,得tan α=cot2β,∴tanα=tan(

-2β).2π∵α∈(0,),∴tanα>0.∴tan(-2β)>0.

2π2π

又∵β∈(0,),∴<-2β<.

2π2π-2π2π结合tan(-2β)>0,得0<-2β<.2π

2π

2

π

∴由tan α=tan(-2β),得α=-2β,即α+2β=.

2π

2π

2π

例2 求证:α

ββαβαβ2222tan tan 1cos sin )sin()sin(-=-+a 活动：证明三角恒等式,一般要遵循“由繁到简”的原则,另外“化弦为切”与“化切为弦”也是在三角式的变换中经常使用的方法.

证明:证法一:左边=β

αβαβαβαβ22cos sin )sin cos cos )(sin sin cos cos (sin -+==右边.∴原式成立.=-=-=-a

a a a 222222222222tan tan 1cos sin sin cos 1cos sin sin cos cos sin ββββββ证法二:右边=1-β

ββββ2222222222cos sin sin cos cos sin cos sin sin cos a a -==β

ββββ22cos sin )

sin cos cos )(sin sin cos cos (sin a a a a -+=

=左边.∴原式成立.βββ22cos sin )sin()sin(++a a 点评：此题进一步训练学生三角恒等式的变形,灵活运用三角函数公式的能力以及逻辑推理能力.

变式训练

1.求证:.θ

θθθθθ2tan 14cos 4sin 1sin 24cos 4sin 1-++=-+

分析：运用比例的基本性质,可以发现原式等价于,此式右θθθθθθ2tan 1tan 24cos 4sin 14cos 4sin 1-=++-+边就是tan2θ.

证明:原等式等价于

.θθ

θθθ2tan 4cos 4sin 14cos 4sin 1=++-+而上式左边==tan2θθθθθθθθθθ2cos 22cos 2sin 22sin 22cos 2sin 2)4cos 1(4sin )4cos 1(4sin 22++=++-+)2cos 2(sin 2cos 2)2sin 2(cos 2sin 2θθθθθθ++=右边.∴上式成立,即原等式得证.

θ2.已知sinβ=m·sin(2α+β),求证:tan(α+β)=tanα.m

m -+11 分析:仔细观察已知式与所证式中的角,不要盲目展开,要有的放矢,看到已知式中的2α+β可化为结论式中的α+β与α的和,不妨将α+β作为一整体来处理.

证明:由sinβ=msin(2α+β)sin[(α+β)-α]=msin[(α+β)+α]

?sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=m0[sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα](1-??m)·sin(α+β)cosα=(1+m)·cos(α+β)sinα

tan(α+β)=

tanα.?m

m -+11（四）知能训练1.若sinα=

,α在第二象限,则tan 的值为( )1352

a A.5 B.-5 C. D.5151-2.设5π<θ<6π,cos =α,则sin 等于( )

2θ

4θA. B. C. D.21a +21a -21a +-2

1a --3.已知sinθ=,3π<θ<,则tan _________________.53-

27π2θ解答:

1.A

2.D

3.-3

（五）课堂小结

1.先让学生自己回顾本节学习的数学知识:和、差、倍角的正弦、余弦公式的应用,半角公式、代数式变换与三角变换的区别与联系.积化和差与和差化积公式及其推导,三角恒等式与条件等式的证明.

2.教师画龙点睛总结:本节学习了公式的使用,换元法,方程思想,等价转化,三角恒等变形的基本手段.

（六）作业

高中数学必修4知识点总结归纳(人教版最全)

高中数学必修4知识点汇总 第一章：三角函数 1、任意角①正角：按逆时针方向旋转形成的角 ②负角：按顺时针方向旋转形成的角 ③零角：不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠． 10、三角函数在各象限的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．

高中数学必修一教案全套

高中数学必修一教案全套 Last revision date: 13 December 2020.

『高中数学·必修1』第一章集合与函数概念 课题：§1.1 集合 教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。另一方 面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。 课型：新授课 教学目标：（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于” 关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不 同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 教学重点：集合的基本概念与表示方法； 教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合； 教学过程： 一、引入课题 军训前学校通知：8 月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问 这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？ 在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高 一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新 的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。 阅读课本 P-P内容 二、新课教学 （一）集合的有关概念 1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能 意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。 2. 一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set）， 也简称集。 ——————————————第 1 页（共 70页）——————————————

(完整)高一上学期数学必修一、必修四期末知识点详解,推荐文档

集合及其运算知识点 1.元素与集合 (1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或?表示． 2.集合间的基本关系 函数知识点 1.函数的基本概念 (1)函数的定义 一般地，设A，B 是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)与之对应；那么就称：f：A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A. (2)函数的定义域、值域 在函数y＝f(x)，x∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． (3)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系． (4)表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图象法． (5)分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段1函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由

几个部分组成，但它表示的是一个函数． 2.函数定义域的求法 3. 调函数的定义 自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的 若函数y＝f(x)在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y＝f(x)的单调区间．

5.函数的最值 前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M 满足 条件 (1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M. (3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M. 结论M 为最大值M 为最小值 6. 奇偶性定义图象特点 偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)， 那么函数f(x)是偶函数 关于y 轴对称 奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x) ＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 7.奇( (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反 (2)在公共定义域内 ①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数． ②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数． ③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数． (3)若函数f(x)是奇函数且在x＝0 处有定义，则f(0)＝0. 8．周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f(x＋T) ＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T 为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 9.幂函数 (1)幂函数 一般地，形如y＝xα 的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α 为常数． (2)常见的5 种幂函数的图象 (3)常见的5 种幂函数的性质

人教版高一数学必修1测试题(含答案)

人教版数学必修I 测试题（含答案） 一、选择题 １、设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,5U A B ===,则()U A C B =（ ) A 、{}2 B 、{}2,3 C 、{}3 D 、{}1,3 2、已知集合{}{}0,1,2,2,M N x x a a M ===∈,则集合 M N （ ) A 、{}0 B 、{}0,1 C 、{}1,2 D 、{}0,2 3、函数()21log ,4y x x =+≥的值域是 （ ) A 、[)2,+∞ B 、()3,+∞ C 、[)3,+∞ D 、(),-∞+∞ 4、关于A 到B 的一一映射,下列叙述正确的是 ( ) ① 一一映射又叫一一对应 ② A 中不同元素的像不同 ③ B 中每个元素都有原像 ④ 像的集合就是集合Ｂ A 、①② B 、①②③ C 、②③④ D 、①②③④ 5、在221 ,2,,y y x y x x y x ===+=,幂函数有 （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 6、已知函数()213f x x x +=-+,那么()1f x -的表达式是 ( ) A 、259x x -+ B 、23x x -- C 、259x x +- D 、21x x -+ 7、若方程0x a x a --=有两个解，则a 的取值范围是 ( ） A 、()0,+∞ B 、()1,+∞ C 、()0,1 D 、? 8、若21025x =，则10x -等于 ( ) A 、15- B 、15 C 、150 D 、 1 625 ９、若()2log 1log 20a a a a +<<，则a 的取值范围是 ( )

高中数学必修1全套教案

人教版高中数学必修1 全册教案 目录 第一章集合与函数概念 §1.1.1集合的含义与表示 §1.1.2集合间的基本关系 §1.1.3集合的基本运算 §1.2.1函数的概念 §1.2.2映射 §1.2.2函数的表示法 §1.3.1函数的单调性 §1.3.1函数的最大（小）值 §1.3.2函数的奇偶性 第二章基本初等函数（Ⅰ） §2.1.1指数（2） §2.1.1指数（3） §2.1.2指数函数及其性质（1） §2.1.2指数函数及其性质（2） §2.2.1对数与对数运算（1） §2.2.1对数与对数运算（2） §2.2.2对数函数及其性质（第一、二课时）

§2.2.2对数函数及其性质（第三课时）§2.3幂函数 §第2章小结与复习 第三章函数的应用 §3.1.2用二分法求方程的近似解 §3.2.1几类不同增长的函数模型 §3.2.2函数模型的应用实例（1） §3.2.2函数模型的应用实例（2） §3.2.2函数模型的应用实例（3）

第一章集合与函数概念 一. 课标要求： 本章将集合作为一种语言来学习，使学生感受用集合表示数学内容时的简洁 性、准确性，帮助学生学会用集合语言描述数学对象，发展学生运用数学语言进行交流的能力 . 函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习，强调结合实际问题，使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法，从而发展学生对变量数学的认识 . 1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，掌握某些数集的专用符号. 2. 理解集合的表示法，能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用. 3、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，培养学生分析、比较、归纳的逻辑思维能力. 4、能在具体情境中，了解全集与空集的含义. 5、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集, 培养学生从具体到抽象的思维能力. 6. 理解在给定集合中，一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集 . 7. 能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用 . 8. 学会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义；了解函数构成的三要素，了解映射的概念；体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；会求一些简单函数的定义域和值域，并熟练使用区间表示法 . 9. 了解函数的一些基本表示法（列表法、图象法、分析法），并能在实际情境中，恰当地进行选择；会用描点法画一些简单函数的图象. 10. 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 11. 结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，了解奇偶性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形. 12. 学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法. 13. 通过实习作业，使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物,了解生活中的函数实例. 二. 编写意图与教学建议 1. 教材不涉及集合论理论，只将集合作为一种语言来学习，要求学生能够使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，从而体会集合语言的简洁性和准确性，发展运用数学语言进行交流的能力. 教材力求紧密结合学生的生活经验和已有数学知识，通过列举丰富的实例，使学生了解集合的含义，理解并掌握集合间的基本关系及集合的基本运算. 教材突出了函数概念的背景教学，强调从实例出发，让学生对函数概念有充分的感性基础，再用集合与对应语言抽象出函数概念，这样比较符合学生的认识规律，同时有利于培

人教版高中数学必修1第一章集合与函数概念-《1.1集合》教案

集合（第1课时） 一、知识目标：①内容：初步理解集合的基本概念，常用数集，集合元素的特征 等集合的基础知识。 ②重点：集合的基本概念及集合元素的特征 ③难点：元素与集合的关系 ④注意点：注意元素与集合的关系的理解与判断；注意集合中元 素的基本属性的理解与把握。 二、能力目标：①由判断一组对象是否能组成集合及其对象是否从属已知集合， 培养分析、判断的能力； ②由集合的学习感受数学的简洁美与和谐统一美。 三、教学过程： Ⅰ）情景设置： 军训期间，我们经常会听到教官在高喊：（x）的全体同学集合！听到口令，咱们班的全体同学便会从四面八方聚集到教官的身边，而那些不是咱们班的学生便会自动走开。这样一来教官的一声“集合”（动词）就把“某些指定的对象集在一起”了。数学中的“集合”这一概念并不是教官所用的动词意义下的概念，而是一个名词性质的概念，同学们在教官的集合号令下形成的整体即是数学中的集合的涵义。 Ⅱ）探求与研究： ①一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集。 问题：同学们能不能举出一些集合的例子呢？（板书学生们所举出的一些例子） ②为了明确地告诉大家，是哪些“指定的对象”被集在了一起并作为一个 整体来看待，就用大括号{ }将这些指定的对象括起来，以示它作为一个 整体是一个集合，同时为了讨论起来更方便，又常用大写的拉丁字母A、 B、C……来表示不同的集合，如同学们刚才所举的各例就可分别记 为……（板书） 另外，我们将集合中的“每个对象”叫做这个集合的元素，并用小写字 母a、b、c……（或x1、x2、x3……）表示 同学口答课本P5练习中的第1大题 ③分析刚才同学们所举出的集合例子，引出： 对某具体对象a与集合A，如果a是集合A中的元素，就说a属于集合 A，记作a∈A；如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作 a A ④再次分析同学们刚才所举出的一些集合的例子，师生共同讨论得出结论： 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性。 然后请同学们分别阅读课本P5和P40上相关的内容。 ⑤在数学里使用最多的集合当然是数集，请同学们阅读课本P4上与数集有 关的内容，并思考：常用的数集有哪些？各用什么专用字母来表示？你 能分别说出各数集中的几个元素吗？（板书N、Z、Q、R、N*（或N+）） 注意：数0是自然数集中的元素。这与同学们脑子里原来的自然数就是 1、2、3、4……的概念有所不同 同学们完成课本P5练习第2大题。

高一数学必修四知识点

基本三角函数 Ⅰ Ⅱ ◆ 终边落在x 轴上的角的集合： {}z ∈=κκπαα, ? 终边落在 y 轴上的角的集合： ??????∈+=z κπκπαα,2? 终边落在坐标轴上的角的集合：? ?????∈=z κπ καα,2 ? 2 21 21 r r l S r l αα=== 弧度 度 弧度弧度弧度 度 180180 11801 2360. ππ π π====? ? 倒数关系：1 11 cot tan == =ααααααSec Cos Csc Sin 正六边形对角线上对应的三角函数之积为1 平方关系：α αααα α222 222111tan Csc Cot Cos Sin Sec =+= +=+乘积关系：αααCos Sin tan = ， 顶点的三角函数等于相邻的点对应的函数乘积 Ⅲ 诱导公式◆ 终边相同的角的三角函数值相等 ()()()z k , tan 2tan z k , 2z k , 2∈=+∈=+∈=+απααπααπαk Cos k Cos Sin k Sin ? 轴对称关于与角角x αα- ()()()α αααα αtan tan -=-=--=-Cos Cos Sin Sin ? 轴对称关于与角角y ααπ- ()()()α απααπα απtan tan -=--=-=-Cos Cos Sin Sin ? 关于原点对称 与角角ααπ+()()()α απααπααπtan tan =+-=+-=+Cos Cos Sin Sin

?对称关于与角角 x y = -ααπ 2 ααπααπααπcot 2tan 22=??? ??-=??? ??-=??? ??-Sin Cos Cos Sin ααπα απααπcot 2tan 22-=?? ? ??+-=??? ??+=?? ? ??+Sin Cos Cos Sin 上述的诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限” Ⅳ 周期问题 ◆ ()()()()()()ω π ω?ωω π ω?ωω π ω?ωωπ ω?ωωπ ω?ωωπ ω?ω2T , 0b , 0 , 0A , b 2T , 0 b , 0 , 0A , b T , 0 , 0A , T , 0 , 0A , 2T , 0 , 0A , 2T , 0 , 0A , = ≠>>++== ≠>>++== >>+== >>+== >>+== >>+=x ACos y x ASin y x ACos y x ASin y x ACos y x ASin y ? ()()()()ω π ω?ωωπ ω?ωω π ω?ωωπω?ω= >>+== >>+==>>+== >>+=T , 0 , 0A , cot T , 0 , 0A , tan T , 0 , 0A , cot T , 0 , 0A , tan x A y x A y x A y x A y Ⅴ 三角函数的性质

新人教版高中数学必修四教材分析

新人教版高中数学必修四教材分析

一、教材分析的理论 本文分析的内容为新人A教版高中数学（必修四），运用系统理论进行研究，其出发点就是将教材看成是一个系统。分析系统的要素之间整体与部分的构成关系，以及形成的不同质态的分系统及其排列次序。 进行教材分析，首先从整个数学教育发展到教师个人专业成长，再到课堂教学等方面研究教材分析的意义；然后，按照树立正确教材观、深刻理解课标、分析教材特点、分析教材内容结构、处理教材等步骤研究如何科学分析高中数学教材，其中的案例均来自人教A版高中数学(必修四)；最后，结合典例分析的感悟，提出了高中数学教材分析时应坚持的思想性、实践性、整体性及发展性原则，以提升教材分析的效果。 二、数学必修四第三章的教材分析 从系统上看作为新课程高中数学非常重要的必修四，它是由“第一章三角函数、第二章平面向量、第三章三角恒等变换”三部分内容组成。内容层层递进，逐步深入，这对于发展学生的运算和推理能力都有好处。 本章内容以三角恒等变换重点，体会向量方法的作用，并利用单位圆中的三角函数线、三角形中的边角关系等建立的正弦、余弦值的等量关系。在两角差的余弦公式的推导中体现了数形结合思想以及向量方法的应用；从两角差的余弦公式推出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦和正切公式的过程中，始终引导学生

体会化归思想；在应用公式进行恒等变换的过程中，渗透了观察、类比、特殊化、化归等思想方法。特别是充分发挥了“观察”“思考”“探究”等栏目的作用，对学生解决问题的一般思路进行引导。教材还对三角变换中的数学思想方法作了明确的总结。 本章还强调了用向量方法推导差角的余弦公式，并用三角函数之间的关系推导和（差）角公式、二倍角公式。要把重点放在培养学生的推理能力和运算能力上，降低变换的技巧性要求。教学时应当把握好这种“度”，遵循“标准”所规定的内容和要求，不要随意补充知识点（如半角公式、积化和差与和差化积公式，这些公式只是作为基本训练的素材，结果不要求记忆，更不要求运用）。 三、数学必修四第三章第一课时的教材分析 3.1教学要求： 基本要求： ①能利用和、差、倍角的公式进行基本的变形，并证明三角恒等式。 ②能利用三角恒等变换研究三角函数的性质。 ③能把一些实际问题化为三角问题，通过三角变换解决。 发展要求： ①了解和、差、倍角公式的特点，并进行变形应用。 ②理解三角变换的基本特点和基本功能。 ③了解三角变换中蕴藏的数学思想和方法。 3.2重点难点：

新课标高中数学必修1教案

新课标高中数学必修1教案 通过将含绝对值的不等式同解变形为不含绝对值的不等式，培养学生化归的思想和转化的能力;一起看看新课标高中数学必修1教案!欢迎查阅! 新课标高中数学必修1教案1 教学目标 (1)掌握与( )型的绝对值不等式的解法. (2)掌握与( )型的绝对值不等式的解法. (3)通过用数轴来表示含绝对值不等式的解集，培养学生数形结合的能力; (4)通过将含绝对值的不等式同解变形为不含绝对值的不等式，培养学生化归的思想和转化的能力; 教学重点：型的不等式的解法; 教学难点：利用绝对值的意义分析、解决问题. 教学过程设计 教师活动

学生活动 设计意图 一、导入新课 【提问】正数的绝对值什么？负数的绝对值是什么？零的绝对值是什么？举例说明？ 【概括】 口答 绝对值的概念是解与（）型绝对值不等值的概念，为解这种类型的绝对值不等式做好铺垫． 二、新课 【导入】2的绝对值等于几？－2的绝对值等于几？绝对值等于2的数是谁？在数轴上表示出来． 【讲述】求绝对值等于2的数可以用方程来表示，这样的方程叫做绝对值方程．显然，它的解有二个，一个是2，另一个是－2． 【提问】如何解绝对值方程． 【设问】解绝对值不等式，由绝对值的意义你能在数轴上画出它的解吗？这个绝对值不等式的解集怎样表示？

【讲述】根据绝对值的意义，由右面的数轴可以看出，不等式的解集就是表示数轴上到原点的距离小于2的点的集合．【设问】解绝对值不等式，由绝对值的意义你能在数轴上画出它的解吗？这个绝对值不等式的解集怎样表示？ 【质疑】的解集有几部分？为什么也是它的解集？ 【讲述】这个集合中的数都比－2小，从数轴上可以明显看出它们的绝对值都比2大，所以是解集的一部分．在解时容易出现只求出这部分解集，而丢掉这部解集的错误． 【练习】解下列不等式： （1）； （2） 【设问】如果在中的，也就是怎样解？ 【点拨】可以把看成一个整体，也就是把看成，按照的解法来解． 所以，原不等式的解集是 【设问】如果中的是，也就是怎样解？ 【点拨】可以把看成一个整体，也就是把看成，按照的解法来解．

高中数学必修4知识总结(完整版)

高中数学必修四知识点总结 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠．

高一数学必修1(人教版)基本知识点回顾

高一数学必修1（人教版A）基本知识点回顾 一、集合 1．集合的概念描述：集合的元素具有______性、______性和______性．如果a是集合A的元素，记作________． 2．常用数集的符号：自然数集______；正整数集______；整数集______；有理数集______；实数集______． 3．表示集合有两种方法：______法和______法．______法就是把集合的所有元素一一列举出来，并用_____号“_____”起来；______法是用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，具体的方法是：在______号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条______，在此后面写出这个集合中元素所具有的_____性质．4．集合间的关系：A?B?对任意的x∈A有______，此时我们称A是B的______；如果_______，且_______，则称A是B的真子集，记作______；如果______ ，且______，则称集合A与集合B相等，记作_______；空集是指____________的集合，记作_____．5．集合的基本运算：集合{ x | x∈A且x∈B }叫做A与B的______ ，记作_______；集合{ x | x∈A或x∈B }叫做A与B的______，记作_______；集合{ x | x?A且x∈U }叫做A 的_____ ，记作____；其中集合U称为_____．6．性质：①A ?A，??A； ②若A ?B，B ?C，则A ?C； ③A∩A＝A∪A＝A； ④ A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A； ⑤A∩?＝?；A∪?＝A； ⑥A∩B＝A?A∪B＝B ?A ?B； ⑦A∩C U A＝?；A∪C U A＝U； ⑧C U (C U A)＝A；⑨C U (A∪B)＝C U A∩C U B． 7．集合的图示法：用韦恩图分析集合的关系、运算比较直观，对区间的交并、补、可用于画数轴分析的方法． 8．补充常用结论：①若集合A中有n (n∈N)个元素，则集合A的所有不同的子集个数为2n（包括A与?）；②对于任意两个有限集合，其并集中的元素个数可用“容斥原理”计算： card(A∪B)＝card A + card B - card(A∩B) 9．易错点提醒：①注意不要用错符号“∈”与“?”；②当A ?B时，不要忘了A ＝?的情况讨论； 二、函数及其表示法 1．函数的定义：设A，B是非空数集，如果按照某种确定的_________ f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有____________的数f ( x ) 和它对应，则称f为从集合A到集合B的函数，记作_________．函数的三要素是指函数的_____________、_____________和______________． 2．函数的表示法：_____________法、____________法和____________法． 3．解有关函数定义域、值域的问题，关键是把握自变量与函数值之间的对应关系，函数图象是把握这种对应关系的重要工具．当只给出函数的解析式时，我们约定函数的定义域是使函数解析式_____________的全体实数． 4．求函数解析式的常用方法：①待定系数法，②换元法，③赋值法（特殊值法），等（试各举一例）． 5．函数图象的变换：根据函数图象的变换规律，可以由基本初等函数的图象为基础画出更多更复杂的函数图象，以便利用函

新人教版高中数学必修4知识点

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(完整版)高中数学必修1教案设计

第一章 集合与函数概念 1.1 集合 1.1.1 集合的含义与表示 课标三维定向 〖知识与技能〗1、了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系。 2、掌握集合中元素的特性。 3、能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用。 〖过程与方法〗通过实例，从集合中的元素入手，正确表示集合，结合集合中元素的特性，学会观察、比较、抽象、概括的思维方法，领悟分类讨论的数学思想。 〖情感、态度、价值观〗在运用集合语言解决问题的过程中，逐步养成实事求是、扎实严谨的科学态度，学会用数学思维方法解决问题。 〖重点〗集合的含义与表示方法。 〖难点〗集合表示方法的恰当选择及应用。 教学过程设计 一、阅读课本：P2—6（10分钟）（学生课前预习） 二、核心内容整合 1、为什么要学习集合——现代数学的基础（数学分支） 2、集合的含义：把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。 3、集合的特性 （1）确定性。问题：“高个子”能不能构成集合？我国的小河流呢？ 〖知识链接〗模糊数学（“模糊数学简介”、“浅谈模糊数学”） （2）互异性：集合中的元素不重复出现。如{1，1，2}不能构成集合 （3）无序性——相等集合，如{1，2} = {2，1} 4、元素与集合之间的“属于”关系：A a A a ?∈, 5、一些常用数集的记法：N （N * ，N +），Z ，Q ，R 。如：R + 表示什么？ 6、集合的表示法： （1）列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}“括起来。 例1、用列举法表示下列集合： （1）小于10的所有自然数组成的集合；{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}

高中数学必修一必修四知识点总结(杠杠的)

数学知识点总结

高中数学必修1知识点 第一章集合与函数概念 〖1.1〗集合 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 表示自然数集，或表示正整数集，表示整数集，表示有理数集，表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象与集合的关系是，或者，两者必居其一. 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。 （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{|具有的性质}，其中为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集. ②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集().把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。 【1.1.2】集合间的基本关系 1、一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的 子集。记作. 2、如果集合，但存在元素，且，则称集合A是集合B的真子集.记作：A B. 3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作：.并规定：空集合是任何集合的子集. 4、如果集合A中含有n个元素，则集合A有个子集，个真子集. 5、子集、真子集、集合相等 名称记号意义性质示意图 子集（或A中的任一元素都 属于B A (1)A (2) ，则 且 若 (3) ，则 且 若 (4)或

真子集 A B （或 B A） 中 B ，且 至少有一元素不属 于A 为非空子集） A （ ） 1 （ ，则 且 若 (2) 集合相等A中的任一元素都 属于B，B中的任 一元素都属于A B (1)A A (2)B 6、已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有 非空真子集. 【1.1.3】集合的基本运算 1、一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集.记作：. 2、一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集.记作：. 3、全集、补集 名称记号意义性质示意图 交集且 （1） （2） （3） 并集或 （1） （2） （3） 补集 2 1 【1.2.1】函数的概念 1、函数的概念 ①设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有惟一确定的数和它对应，那么就称为集合A到集合B的一个函数，记作：. ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则． ③如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等 【1.2.2】函数的表示法 2、函数的表示方法 表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种． ①解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． ②列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．

人教版高一数学必修一教案

高一数学必修一教案（北师大版） 第一章集合 §1集合的含义与表示 学习目标： 1、了解集合的含义，体会元素与集合的关系。能选择恰当的方法表示一些简单的集合。 2、了解集合元素的性质，掌握常用数集及其专用符号。 教学过程： 一、板书课题，揭示目标 师：同学们，今天我们来学习集合的含义与表示。 请看本节的学习目标：（投影） 二、自学指导： 师：同学们，如何完成本节的学习目标呢？主要依靠大家的自学，请认真看自学指导。（投影） 自学指导： 请认真看课本P3-P5的内容，弄清以下几个问题： 1、集合的概念. 2、集合元素的性质. 3、元素与集合的关系. 4、常用数集的专用符号. 5、集合的表示方法. 6、集合的分类. 8分钟后检测，比谁能做对与例题类似的习题。 三、学生自学 教师督促，使每一位学生紧张自学，注意学生看书速度。 四、检测 1、检测题 ○1请举出两个集合的例子 ○2所有的高个子能否表示为集合？ ○3A={2，2，4}表示是否准确？ ○4做练习题P5，1、2、3 2、指名学生板演，其他学生认真做在练习本上。

五、更正讨论 1、更正 请同学们认真看板演的内容，能够发现问题并能更正的同学请举手。（指名更正） 2、讨论 先看第①题，举的例子正确吗？为什么？引导学生总结集合的定义 ②题，回答的正确吗？为什么？引导学生归纳集合的特征：确定性 ③题，回答的正确吗？为什么？引导学生归纳集合的特征：互异性 【集合的元素的基本性质】 （1）确定性：集合的元素必须是确定的．不能确定的对象不能构成集合． （2）互异性：集合的元素一定是互异的．相同的几个对象归于同一个集合时只能算作一个元素． (3) 无序性：集合中的元素没有顺序。 ④题第一题，这道题都是运用了课本中的哪个知识点？引导学生回答：运用的是常用数集的相关知识。 再看第二题，运用的方法恰当、正确吗？为什么？并规范集合的表示。 第三题，结果正确吗？为什么？纠正学生对空集的认识。 3、学生归纳总结，识记概念。 六、当堂训练 师：请同学们运用本节所学内容独立完成作业。 作业：P6 T2、3 §2集合的基本关系 学习目标： 1、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. 2 、掌握并能使用Venn图表达集合关系，加强学生从具体到抽象的思维能力。 教学过程： 一、板书课题，揭示目标 师：同学们，今天我们来学习集合的基本关系。 请看本节的学习目标：（投影）

高一数学必修4知识点

欢迎光临Magiccube1号的文库 高中数学必修4知识点 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<

高中数学人教版必修1全套教案

第一章 集合与函数 §1.1.1集合的含义与表示 一. 教学目标： l.知识与技能 (1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系； (2)知道常用数集及其专用记号； (3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性； (4)会用集合语言表示有关数学对象； (5)培养学生抽象概括的能力. 2. 过程与方法 (1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义. (2)让学生归纳整理本节所学知识. 3. 情感.态度与价值观 使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性. 二. 教学重点.难点 重点：集合的含义与表示方法. 难点：表示法的恰当选择. 三. 学法与教学用具 1. 学法：学生通过阅读教材，自主学习.思考.交流.讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标. 2. 教学用具：投影仪. 四. 教学思路 (一)创设情景，揭示课题 1．教师首先提出问题：在初中，我们已经接触过一些集合，你能举出一些集合的例子吗? 引导学生回忆.举例和互相交流. 与此同时，教师对学生的活动给予评价. 2.接着教师指出：那么，集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容. （二）研探新知 1．教师利用多媒体设备向学生投影出下面9个实例： (1)1—20以内的所有质数； (2)我国古代的四大发明； (3)所有的安理会常任理事国； (4)所有的正方形； (5)海南省在2004年9月之前建成的所有立交桥； (6)到一个角的两边距离相等的所有的点； (7)方程2 560x x -+=的所有实数根； (8)不等式30x ->的所有解； (9)国兴中学2004年9月入学的高一学生的全体. 2．教师组织学生分组讨论：这9个实例的共同特征是什么? 3.每个小组选出——位同学发表本组的讨论结果，在此基础上，师生共同概括出9个实例的特征，并给出集合的含义. 一般地，指定的某些对象的全体称为集合(简称为集).集合中的每个对象叫作这个集合的元素.

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人教版高中数学必修一至必修四公式（必会）初高中衔接： 2babab 2 和平方：()() a和、差平方： 22 22 (ab)aabb 立方和、立方差：a3b3(ab)(a2abb2)和、差立方：(ab)3a3b33a2b3ab2 2;(abc)2a2b2c22ab2bc2ac 222 (abc)abc2ab2bc2ac 2;(abc)2a2b2c22ab2bc2ac 222 (abc)abc2ab2bc2ac 韦达定理：设 2 x1和x为axbxc0的两根，那么 2 x 1 x 2 xx 12 c a b a 必修一： （1）元素与集合的关系：属于（）和不属于（） 集合与元素（2）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性（3）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限 集、无限集、空集 （4）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若xAxB，则AB，即A是B的子集。 nn 1、若集合中有个元素，则集合的子集有2个，真子集有个。 AnA(2-1) 2、任何一个集合是它本身的子集，即AA 注 关系3、对于集合A,B,C,如果AB，且BC,那么AC. 4、空集是任何集合的（真）子集。 真子集：若AB且AB（即至少存在xB但xA），则A是B的真子集。 集合 00 集合相等：且 ABABAB 定义：ABx/xA且xB集合与集合 交集 性质：AAA，A，ABBA，ABA,ABB，ABABA 运算 定义：ABx/xA或xB 并集 性质：AAA，AA，ABBA，ABA，ABB，ABABB Card(AB)Card(A)Card(B)-Card(AB) 定义：/且 CAxxUxAA U 补集性质：，，，， (CA)A(CA)AUC(CA)AC(AB)(CA)(CB) UUUUUUU C(AB)(CA)(CB) UUU 恒成立问题： ax 2bxca在R上恒成立的条件a且△bxca在R上成立的条件为a且△ 2 0(0)00;ax0(0)0 指数函数： n