中国数学奥林匹克竞赛试题【CMO】[1987-2003]

CMO 中国数学奥林匹克竞赛试题

1987第二届年中国数学奥林匹克

1.设n为自然数，求方程z n+1-z n-1=0有模为1的复根的充份必要条件是n+2可被6整

除。

2.把边长为1的正三角形ABC的各边都n等分，过各分点平行于其它两边的直线，将

这三角形分成小三角形，和小三角形的顶点都称为结点，在第一结点上放置了一个实数。已知

i.A、B、C三点上放置的数分别为a、b、c。

ii.在每个由有公共边的两个最负三角形组成的菱形之中，两组相对顶点上放置的数之和相等。

试求

3.放置最大数的点积放置最小数的点之间的最短距离。

4.所有结点上数的总和S。

3.某次体育比赛，每两名选手都进行一场比赛，每场比赛一定决出胜负，通过比赛确

定优秀选手，选手A被确定为优秀选手的条件是：对任何其它选手B，或者A胜B，或者存在选手C，C胜B，A胜C。

结果按上述规则确定的优秀选手只有一名，求证这名选手胜所有其它选手。

4.在一个面积为1的正三角形内部，任意放五个点，试证：在此正三角形内，一定可

以作三个正三角形盖住这五个点，这三个正三角形的各边分别平行于原三角形的边，并且它们的面积之和不超过0.64。

5.设A1A2A3A4是一个四面体，S1, S2, S3, S4分别是以A1, A2, A3, A4为球心的球，它们

两两相切。如果存在一点O，以这点为球心可作一个半径为r的球与S1, S2, S3, S4都相切，还可以作一个半径为R的球积四面体的各棱都相切，求证这个四面体是正四面体。

6.m个互不相同的正偶数与n个互不相同的正奇数的总和为1987，对于所有这样的m

与n，问3m+4的最大值是多少？请证明你的结论。

1.设a1, a2, ... , a n是给定的不全为零的实数，r1, r2, ... , r n为实数，如果不等式

r1(x1-a1)+r2(x2-a2)+...+r n(x n-a n)≦√(x12+ x22+ ... + x n2) + √(a12+ a22+ ... + a n2)

对任何实数x1, x2, ... , x n成立，求r1, r2, ... , r n的值。

2.设C1、C2为同心圆，C2的半径是C1的半径的2倍，四边形A1A2A3A4内接于C1，

将A1A4延长，交圆C2于B1。设A1A2延长线交C2于B2，A2A3延长线交圆C2于B3，A3A4延长线交圆C2于B4。试证：四边形B1B2B3B4的周长2(四边形A1A2A3A4的周长)。并确定的号成立的条件。

3.在有限的实数列a1, a2, ... , a n中，如果一段数a k, a k+1, ... , a k+l-1的算术平均值大于1988，

那么我们把这段数叫做一条“龙”，并把a k叫做这条龙的“龙头”(如果某一项a n>1988，那么单独这一项也叫龙)。

假设以上的数列中至少存在一条龙，证明：这数列中全体可以作为龙弄的项的算术平均数也必定大于1988。

4.(1)设三个正实数a、b、c满足(a2+b2+c2)2>2(a4+b4+c4)。

求证：a、b、c一定是某个三角形的三条边长。

(2)设n个正实数a1, a2, ... , a n满足

(a12+ a22+ ... + a n2)2>(n-1)(a14+ a24+ ... + a n4)其中n≧3。

求证：这些数中任何三个一定是某个三角形的三条边长。

5.给出三个四面体A i B i C i D i(i=1, 2, 3)，过点B i、C i、D i作平面αi、βi、γi(i=1, 2, 3)，分

别与棱A i B i、A i C i、A i D i垂直(i=1, 2, 3)，如果九个平面αi、βi、γi(i=1, 2, 3)相交于一点E，而三点A1、A2、A3在同一直线l上，求三个四面体的外接球面的放条(形状怎样？位置如何？)。

6.如n是不小于3的自然数，以f(n)表示不是n的因子的最小自然数，例如f(12)=5。

如果f(n)3，又可作f(f(n))。类似地，如果，f( f(n) )≧3，又可作f( f( f(n)))等等。如果f( f(...f(n) ...)) =2，共有k个f，就把k叫做n的“长度”。如果l n表示n的长度，试对任意自然数n (n≧3)，求l n。并证明你的结论。

1.在半径为1的圆周上，任意给定两个点集A、B，它们都由有限段互不相交的弧组

成，其中B的每段的长度都等于π/m，m是自然数。用A j表示将集合A反时针方向在圆同上转动jπ/m弧度所得的集合(j=1, 2, ...)。

求证：存在自然数k，使得L(A j∩B)≧L(A)L(B)/(2π)。这里L(x)表示组成点集x的互示相交的弧段的长度之和。

2.设x1, x2, ... , x n都是正数(n≧2)且x1+ x2+ ...+x n=1。求证：

。

3.设S为复平面上的单位圆同(即模为1的复数的集合)，f为从S到S的映射，对于任

意S的元素z，定义f(1)(z)=f(z)，f(2)(z)=f( f(z))，...，f(k)(z)=f( f(k-1)(z) )。如果S的元素c，使得f(1)(z)≠c，f(2)(c)≠c，...，f(n-1)(c)≠c，f(n)(c)≠c。则称c为f的n─周期点。

设m是大于1的自然数，f定义为f(z)=z m，试计算f的1989─周期点的总数。

4.设点D、E、F分别在△ABC的三边BC、CA、AB上，且△AEF、△BFD、△CDE

的内切圆有相等的半径r，又以r0的R分别表示△DEF 和△ABC的内切圆半径。求证：r+r0=R。

5.空间中有1989个点，其中任何三点不共线，把它们分成点数各不相同的30组，在

任何三个不同的组中各取一点为顶点作三角形。

6.设f：(1, +∞)→(0, +∞)满足以下条件：对于任意实数x、y>1，及u、v>0，有f(x u y v)

≦f(x)1/(4u) f(y)1/(4v)。试确定所有这样的函数。

1.如下图，在凸四边形ABCD中，AB与CD不平行，圆O1过A、B且与边CD相切

于P，圆O2过C，D且与边AB相切于Q，圆O1与O2相交于E、F。求证：EF平分线段PQ的充要条件是BC//AD。

2.设x是一个自然数，若一串自然数x0=1,x2, ... , x n=x满足x i-1

{ x0 , x1 , ... , x n}为x的一条因子链。l称为该因子链的长度。L(x)与R(x)分别表示x 的最长因子链的长度和最长因子链的条数。对于x=5k×31m×1990n，k、m、n都是自然数，试求L(x)与R(x)。

3.设函数f(x)对x>0有定义，且满足条件：

i.对任何x、y≧0，f(x)f(y)≦x2 f(x/2) +y2 f(y/x)；

ii.存在常数M>0，当0≦x≦1时，| f(x) | ≦M。

求证：f(x)≦x2。

4.设a是给定的正整数，A和B是两个实数，试确定方程组：

x2 +y2 +z2 =(13a)2，x2(Ax2+By2)+y2(A y2+Bz2)+z2(Az2+Bx2)=(2A+B)(13a)4/3

有整数解的充份必要条件(用A、B的关系式表示，并予以证明)。

5.设X是一个有限集合，法则f使的X的每一个偶子集E(偶数个元素组成的子集)都

对应一个实数f(E)，满足条件：

a.存在一个偶子集D，使得f(D)>1990；

b.对于X的任意两个示相交的偶子集A、B，有f(A∪B)=f(A)+f(B)-1990。

求证：存在X的子集P、Q，满足

iii.P∩Q是空集，P∪Q=X；

iv.对P的任何非空偶子集S，有f(S)>1990

v.对Q的任何偶子集T，有f(T)≦1990。

6.凸n边形及n-3条在n边形内不相交的对角线组成的图形称为一个剖分图。求证：

当且仅当3|n时，存在一个剖分图是可以一笔划的圈(即可以从一个顶点出发，经过图中各线段恰一次，最后回到出发点)。

1.平面上有一凸四边形ABCD。

i.如果平面上存在一点P，使得ΔABP、ΔBCP、ΔCDP、ΔDAP面积都相等，

问四边形ABCD应满足甚么条件？

ii.满足(i)的点P，平面上最多有几个？证明你的结论。

2.设I=[0,1]，G={ (x, y) | x、y为I的元素}，求G到I的所有映像f，使得对I的任何

x、y、z有

i.f( f(x,y), z) =f( x, f(y,z) )；

ii.f(x, 1) =x，f(1,y)=y；

iii.f(zx, zy) =z k f(x,y)。

这里，k是与x、y、z无关的正数。

3.地面上有10只小鸟在啄食，其中任意5只小鸟中至少有4只在一个圆上，问有鸟最

多的圆上最少有几只鸟？

4.求满足方程x2n+1-y2n+1=xyz+22n+1的所有正整数解组(x, y, z, n)，这里n≧2，z≦5×22n。

5.求所有自然数n，使得min自然数k( k2+[n/k2] )=1991。这里[n/k]表示n/k的整数部份。

6.MO牌足球由若干多边形皮块用三种示同颜色的丝线缝制而成，有以下特点：

i.任一多边形皮块的一条边恰与另一多边形皮块同样长的一条用一种六色的

丝线缝合；

ii.足球上每结点，恰好是三个多边形的顶点，每一结点的三条缝线不相同。

求证：可以在MO牌足球的每一结点上放置一个不等于1的复数，使得每一多边形的所有顶点上放置的复数的乘积都相等。

1.设方程x n+a n-1x n-1+a n-2x n-2+....+a1x+a0=0的系数都是实数，且适合条件0

≦....≦a n-1≦1。已知λ为方程的复数根且适合条件|λ|>1，试证：λn+1=1。

2.设x1, x2, ... , x n为非负实数，记x n+1= x1，a=min{x1, x2, ... , x n}，试证：

n Σ i=11+x i_

1+x i+1

≦n+

1

(1+a)2

n

Σ

i=1

(x i-a)2，

3.且等式成立当且仅当x1 =x2= ...=x n。

4.在平面上划上一个9x9的方格表，在这上小方格的每一格中都任意填入+1或-1。下

面一种改变填入数字的方式称为一次变动；对于任意一个小方格有一条公共边的所有小方格(不包含此格本身)中的数作连乘积，于是每取一个格，就算出一个数，在所有小格都取遍后，再将这些算出的数放入相应的小方格中。试问是否总可以经过有限次变动，使得所有方小方格中的数都变为1？

5.凸四边形内接于圆O，对角线AC与BD相交于P，ΔABP与ΔCDP的外接圆相交于

P和另一点Q，且O、P、Q三点两两不重合。试证∠OQP=90。

6.在有8个顶点的简单图中，没有四边形的图的边数的是大值是多少？

7.已知整数序列{a1, a2, ...... }满足条件：

1.a n+1=3a n-3a n-1+a n-2，n=2, 3, .....。

2.2a1= a0+a2-2。

3.对任意的自然数m，在序列{a1, a2, ...... }中必有相继的m项a k, a k+1, ... , a k+m-1

都为完全平方数。

试证：序列{a1, a2, ...... }的所有项都是完全平方数。

1.设n是奇数，试证明存在2n个整数a1, a2, ... , a n；b1, b2, ... , b n，使得对于任意一个整

数k，0

2.给定自然数k及实数a>0，在下列条件k1+ k2+ ...+k n=k，k i为自然数其中1≦r≦k

下，求a k1+ a k2+ ... + a kr的最大值。

3.设圆K和K1同心，它们的半径分别为R和R1，R1>R。四边形ABCD内接于圆K，

四边形A1B1C1D1内接于圆K1，点A1、B1、C1、D1分别在射线CD、DA、AB、BC 上，求证：S A1B1C1D1 /S ABCD≧R12/R2。

4.给定集合S={z1, z2, ... , z1993}，其中z1, z2, ... , z1993是非零复数(可看作平面试的非零

向量)。求证可以把S中的元素分成若干组，使得

i.S中每个元素属于且仅属于其中一组；

ii.每一组中任一复数与该组所有复数之和的夹角不超过90。；

iii.将任意两组中复数分别求和，求得和数之间的夹角大于90。。

5.10人到书店买书，已知

i.每人都买了三种书；

ii.任何两人所买的书，都至少有一种相同。

问购买人数最多的一种书最(至)少有几人购买？说明理由。

6.设函数f：(0, +∞)→(0, +∞)满足以下条件：对于任意正实数x、y，有f(xy)≦f(x)f(y)。

试证：对任意的正实数x及自然数n，有f(x n)≦f(x)f(x2)1/2...f(x)1/n。

1.设ABCD是一个梯形(AB//CD)，E是线段AB试一点，F是线段CD上一点，线段

CE与BF相交于点H，线段ED与AF相交于点G，求证：S EHFG≦S ABCD/4。如果ABCD是一个任意的凸圆边形，同样结论是否成立？请说明理由。

2.n(n≧4)个盘子里放有总数不少于4的糖块，从任意的两个盘子各取一块糖，放入另

一个盘子中，称为一次操作，问能可经过有限次操作，将所有的糖块集中列一个盘子里去？证明你的结论。

3.求适合以下条件的所有函数f：[0, +∞)→[0, +∞)，

i.f(2x)≦2(x+1)；

ii.f(x+1) = [ f(x)2 -1]/x。

4.已知f(z)=C0z n+C1z n-1+C2z n-2+....+C n-1z+C n是一个n次复系数多项式，求证：一定存

在一个复数z0，|z0|≦1，满足|f(z0)|≧|C0|+|C n|。

5.对任何自然数n，求证：，

其中0C0=1，[(n-k)/2]表示(n-k)/2的整数部份。

6.设M为平面试坐标为(Px1994,7Px1994)的点，其中P是素数，求满足下述条件的直

角三角形的个数：

i.三角形的三个顶点都是整点，面且M是直角顶点；

ii.三角形的内心是坐标原点。

1.设2n个实数a1, a2, ... , a n；b1, b2, ... , b n(n≧3)满足

i.a1+ a2+ ...+a n=b1+ b2+ ...+b n；

ii.0

iii.0

求证：a n-1+ a n≦b n-1+b n。

2.设N为自然数集合，f：N→N适合条件：f(1)=1，对于任何自然数n都有

o3f(n) f(2n+1) =f(2n) ( 1+3f(n) )；

o f(2n) < 6 f(n)。

试求方程f(k) +f(l)=293，其中k

3.试求

的最小值，其中x和y是任意整数。

4.空间有四个球，它们的半径分别为2、2、3、3，每个球都与其余3个球外切，另有

一个小球与那圆球都外切，求该小球的半径。

5.设a1, a2, ... , a10是10个两两不同的自然数，它们的和为1995，试求

a1a2+a2a3+...+a9a10+a10a1的最小值。

6.设n是大于1的奇数，已给

。设

，i=1, 2, .... , n 其中。

记，k=1, 2, ...。若正整数m满足，求证：m是n的倍数。

1996年第十一届中国数学奥林匹克

1.设H是锐角△ABC的垂心，由A向BC为直径的圆作切线AP、AQ，切点分别为P、

Q。求证：P、H、Q三点共线。

2.设S={1, 2, ... , 50}，求最小自然数k，使S的任一k元素中，都存在两个不同的数a

和b，满足(a+b)整除ab。

3.设R为实数集合，函数f：R→R适合条件f( x3+y3 )=(x+y)( f(x)2 -f(x)f(y) +f(y)2 )，x、

y为实数。试证：对一切实数x，都有f( 1996 x ) = 1996 f(x)。

4.8位歌手参加艺术会，准备为他们安排m次演出，每次由其中4位登台表演。要求

8位歌手中任意两位同时演出的次数都一样多，请设计一种方案，使得演出的次数m最少。

5.设n为自然数，，且。

求证：

。

6.在△ABC中，∠C=90。，∠A=30。，BC=1，求△ABC的内接三角形(三顶点分别在三

边上的三角形)的最长边的最小值。

1.在一个非钝角△ABC中，AB>AC，∠B=45。，O和I分别是△ABC的外它和内心，

且√2 OI =AB - AC，求sin∠A。

2.对于给定的大于的正整数n，是否存在2n个两两不周的正整数，同时满足以下两个

条件：

1.a1+a2+....+a n =b1+b2+....+b n ；

2.。

请说明理由。

3.设S={1, 2, .... , 98}，求最小自然数n，使得S的任一n元子集中都可以选出10个数，

无论怎样将这10个数均分成两组，总有一组中存在一个数与另外4个数都互质，而另一组总有一个数与另外4个数都不互质。

4.求所有大于3的自然数n，使得得1+n C1+n C2+n C3整除22000。

5.设D为锐角三角形ABC内部一点，且满足条件：

DAxDBxAB + DBxDCxBC + DCxDAxCA=ABxBCxCA。

试确定D点的几何位置，并证明你的结论

6.设n≧2，x1, x2, ...., x n为实数，且。对于每一个固

定的自然数k (1≦k≦n)，求| x k |的最大值。

1.在锐角△ABC中，∠C >∠B，点D是边BC上一点，使得∠ADB是钝角，H是△

ABD的垂心，点F在△ABC内部且在△ABD的外接圆周上。求证点F是△ABC垂心的充份必要条件是：HD平行于CF且H在△ABC的外接圆周上。

2.给定实数a，设实数多项式序列{ f n(x) }满足f0(x)=1，f n+1(x)=xf n(x)+f n(ax)，其中n=0,

1, ...。

1.求证：f n(x)=x n f n(1/x)，其中n=0, 1, ...。

2.求证：f n(x)的明显表达式。

3.MO太空城由99个空间站组成，全两空间站之间有管形通道相联。规定其中99条

通道为双向通行的主干道，其余通道严格单向通行，如果某四个空间站可以通过它们之间的通道从其中任一站到达另外任一站，则称这四个站的集合为一个互通四站组。

试为MO太空城设计一个方案，使得互通四站组的数目最大(请具体算出该最大数，并证明你的结论)。

4.设m是给定的整数，求证：存在整数a、b和k，其中a、b均不能被2整除，k≧0，

使得2m=a19+b99+k × 21999。

5.求最大的实数λ，使得当实系数多项式f(x)=x3+ax2+bx+c的所有根都是非负实数时，

只要x≧0，就有f(x)≧λ(x - a)3。并问上式中等号何时成立？

6.设4x4x4的大正方体由64个单位正方体组成。选取其中的16个单位正方体涂成红

色，使得大正方体中每个由4个单位正方体椭成的1x1x4的小长方体中，都恰有1个红正方体。问16个红正方体共有多少种不同取法？说明理由。

2000中国数学奥林匹克（第十五届全国中学生数学冬令营）

第一天

一、设a、b、c为△ABC的三条边，a≤b≤c，R和r分别为△ABC的外接圆半径

和内切圆半径. 令f=a+b－2R－2r，试用角C的大小来判定f 的符号.

二、数列{a n}定义如下：a1=0，a2=1，a n=(1/2)na n-11+(1/2)n(n－1)a n-22+(－1)n(1－n/2)，n≥3.试求f n=a n+2C n1a n-11+3C n2a n-22+…+（n－1）C n n-2-2a2+nC n n-1-1a1的最简表

达式.

三、某乒乓俱乐部组织交流活动，安排符合以下规则的双打赛程表. 规则为：

（i）每名参加者至多属于两个对子；

（ii）任意两个不同对子之间至多进行一次双打；

（iii）凡表中同属一对的两人就不在任何双打中作为对手相遇.

统计各人参加的双打次数，约定将所有不同的次数组成的集合称为“赛次

集”.

给定由不同的正整数组成的集合A={a1，a2，…，a k}，其中每个数都能被6整除. 试问最少必须有多少人参加活动，才可以安排符合上述规则的赛程表，使得相应的赛次集恰为A. 请证明你的结论.

第二天

四、设n≥2.对n元有序实数组A=（a1，a2，…，a n），令b k=a i，k=1，2，…，

n.

称B=（b1，b2，…，b n）为A的“创新数组”；称B中的不同元素个数为A

的“创新阶数”.

考察1，2，…，n的所有排列（将每种排列都视为一个有序数组），对其中创新阶数为2的所有排列，求它们的第一项的算术平均值.

五、若对正整数n，存在k，使得n=n1n2…n k=－1，其中n1，…，

n k都是大于3的整数，则称n具有性质P. 求具有性质P的所有数n .

六、某次考试有5道选择题，每题都有4个不同答案供选择. 每人每题恰选1个答案. 在2000份答卷中发现存在一个n，使得任何n份答卷中都存在4份，其中每两份的答案都至多3题相同. 求n的最小可能值.

2001年第十六届中国数学奥林匹克

1.给定a，。内接于单位圆ABCD的凸四边形适合以下条件：

1.圆心在这凸四边形内部；

2.最大边长是a , 最小边长是。

过点A、B、C、D依次作圆Γ 的四条切线L A、L B、L C、L D。已知L A与L B、L B与L C、L C与L D、L D与L A分别相交于A' 、B' 、C' 、D' 四点。求面积之比S A'B'C'D' /S ABCD 的最大值与最小值。

2.设X={1,2,3, … 2001}, 求最小的正整数m，适合要求：对X的任何一个m元子集

W, 都存在u、v ( u和v允许相同)，使得u+v是2的方幂。

3.在正n边形的每个顶点上各停有一只喜鹊。偶受惊吓，众喜鹊都飞去。一段时间

后，它们又都回到这些顶点上，仍是每个顶点上一只，但未必都回到原来的顶点。求所有正整数n，使得一定存在3只喜鹊，以它们前后所在的顶点分别形成的三角形或同为锐角三角形，或同为直角三角形，或同为钝角三角形

4.设a, b, c, a+b-c, a+c-b, b+c-a, a+b+c是7个两两不同的质数, 且a, b, c中有两数之和

是800。设d 是这7个质数中最大数与最小数之差。求d的最大可能值。

5.将周长为24的圆周等分成24段。从24个分点中选取8个点，使得其中任何两点

间所夹的弧长都不等于3和8。问满足要求的8点组的不同取法共有多少种？说明理由。

6.记a=2001。设A是适合下列条件的正整数对(m，n)所组成的集合：

1.m < 2a；

2.2n | (2am-m2+n2)；

3. n2-m2+2mn≦2a(n-m)。

令，求和。

2002年中国数学奥林匹克

上海1月27日-28日早上8:00-12:30，每题21分。

1.三角形ABC的三边长分别为a、b、c，b

BC上。

1.求在线段AB、AC内分别存在点E、F(不是顶点)满足BC=CF 和∠BDE=∠

CDF的充份必要条件(用角A、B、C表示)；

2.在点E和F存在的情况下，用a、b、c表示BE的长。

2.设多项式序列{ P n(x) }满足：P1(x)=x2-1，P2(x)=2x(x2-1)，且

P n+1(x)P n-1(x)=( P n(x) )2-(x2-1)2，n=2, 3, ....。

设S n为P n(x)各项系数的绝对值之和，对于任意正整数n，求非负整数k n使得2-k n S n 为奇数。

3.18支足球队进行单循环赛，即每轮将18支球队分成9组，每组的两队赛一场，下

一轮重新分组进行比赛，共赛17轮，使得每队都与另外17支队各赛一场。按任意可行的程序比赛了n轮之后，总存在4支球队，它们之间总共只赛了1场。求n的最大可能值。

4.对于平面上任意四个不同点P1、P2、P2、P4，求的最小值。

5.平面上横纵坐标都为有理数的点称为有理点。证明平面上的全体有理点可以分为三

个两两不相交的集合，满足条件：

1.在以每个有理点为圆心的任一圆内一定包含这三个集个中每个集合的点。

2.在任意一条直线上不可能有三个点分别属于这三个集合。

6.给定实数c，1/2

≦....≦a n，只要满足，总有，其中m不超过cn的最大整数。

2003年中国数学奥林匹克暨第18届全国中学生数学冬令营 湖南 长沙 2003-1-15 -- 16

一 设点H ，I 分别为锐角ΔABC 的内心和垂心，点B 1，C 1分别为边AC ，CB 的中点。已知射线B 1I 交边AB 于点B 2（B 2≠B ）

，射线C 1I 交AC 的延长线于点C 2，B 2C 2与BC 相交于K ，A 1为ΔBHC 的外心。试证：A ，I ，A 1三点共线的充要条件是ΔBKB 2和ΔCKC 2的面积相等。

二 求出同时满足如下条件的集合S 的元素个数的最大值

（1）S 中的每个元素都是不超过100的正整数；

（2）对于S 中的任意两个不同的元素a ，b ，都存在S 中的元素c ，使得a 与c 的最大公约数等于1，并且b 与c 的最大公约数也等于1；

（3）对于S 中的任意两个不同的元素a ，b ，都存在S 中异于a ，b 的元素d ，使得a 与d 的最大公约数大于1，并且c 与d 的最大公约数也大于1。

三 给定正整数n ，求最小的正数λ，使得对于任何(0,

),(1,2,,)2i i n πθ∈= ，只要

212tan tan tan 2n n θθθ?=

就有

12cos cos cos n θθθ+++

不大于λ。

四 求所有满足am ≥2，m ≥2的三元数组（a ，m ，n ），使得a n +203是a m +1的倍数。

五 某公司需要录用一名秘书，共有10人报名，公司经理决定按照求职报名的顺序逐个面试，前3个面试后一定不录用。自第4个人开始将他们与前面面试过的人相比较，如果他的能力超过了前面所有已面试过的人，就录用他；否则就不录用，继续试下一个。如果前面9个都不录用，那么就录用最后一个面试的人。

假定这10个人的能力各不相同，可以按能力由强到弱排为第1，第2，……，第10。显然该公司到底录用哪一个人，与这10个人的报名顺序有关，大家知道，这样的排列共有10！种。我们以A k 表示能力第k 的人能够被录用的不同报名顺序数目，以

10!k A 表示他被录用的可能性。

证明：在该公司经理的方针之下，有

（1） A 1>A 2>…>A 8=A 9=A 10;

（2）该公司有超过70%的可能性录取到能力最强的3个人之一，而只有不超过10%的可能性录用到能力最弱的3人之一。

六 设a,b,c,d 为正实数，满足ab+cd=1，点P i (x i ,y i )(i=1,2,3,4)是以原点为圆心的单位圆周上的四个点，求证：

2222212344321()()2.a b c d a y b y c y d y a x b x c x d x a b c d ??+++++++++≤+ ???

2007年中国西部数学奥林匹克试题及答案

2007年中国西部数学奥林匹克 第一天 11月10日 上午8：00－12：00 每题15分 一、已知{}1,2,3,4,5,6,7,8T =，对于，定义为A 中所有元素之和，问：T 有多少个非空子集A ，使得为3的倍数，但不是5的倍数？ ,A T A ?≠?()S A ()S A 二、如图，⊙与⊙相交于点C ，D ，过点D 的一条直线分别与⊙,⊙相交于点A ，B ，点P 在⊙的弧AD 上，PD 与线段AC 的延长线交于点M ，点Q 在 ⊙的弧BD 上，QD 与线段BC 的延长线交于点N ．O 是△ABC 的外心．求证： 的充要条件为P ，Q ，M ，N 四点共圆． 1O 2O 1O 2O 1O 2O OD MN ⊥ 三、设实数a ，b ，c 满足3a b c ++=．求证： 2221115411541154114 a a b b c c ++?+?+?+1≤． 四、设O 是△ABC 内部一点．证明：存在正整数p ，q ，r ，使得 12007 p OA q OB r OC ?+?+?

广西 南宁 第二天 11月11日 上午8：00－12：00 每题15分 五、是否存在三边长都为整数的三角形，满足以下条件：最短边长为2007，且最大的角等于最小角的两倍？ 六、求所有的正整数n ，使得存在非零整数12,,,n x x x y ,L 2,n ，满足 ???=++=++. ,022211ny x x x x n n L L 七、设P 是锐角三角形ABC 内一点，AP ，BP ，CP 分别交边BC ，CA ，AB 于点D ，E ，F ，已知△DEF ∽△ABC ，求证：P 是△ABC 的重心． 八、将n 个白子与n 个黑子任意地放在一个圆周上．从某个白子起，按顺时针方向依次将白子标以1,．再从某个黑子起，按逆时针方向依次将黑子标以1,. 证明：存在连续个棋子（不计黑白）， 它们的标号所成的集合为{,L 2,,n L n }1,2,,n L ．

初中数学奥林匹克竞赛题及答案

初中数学奥林匹克竞赛题及答案 奥数题一 一、选择题（每题1分，共10分） 1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么 ( ) A．a，b都是0 B．a，b之一是0 C．a，b互为相反数 D．a，b互为倒数 答案：C 解析：令a=2，b=－2，满足2+(－2)=0，由此a、b互为相反数。 2．下面的说法中正确的是 ( ) A．单项式与单项式的和是单项式 B．单项式与单项式的和是多项式 C．多项式与多项式的和是多项式 D．整式与整式的和是整式 答案：D 解析：x2，x3都是单项式．两个单项式x3，x2之和为x3+x2是多项式，排除A。两个单项式x2，2x2之和为3x2是单项式，排除B。两个多项式x3+x2与x3－x2之和为2x3是个单项式，排除C，因此选D。 3．下面说法中不正确的是 ( ) A. 有最小的自然数 B．没有最小的正有理数 C．没有最大的负整数 D．没有最大的非负数 答案：C 解析：最大的负整数是-1，故C错误。 4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 ( ) A．a，b同号 B．a，b异号 C．a＞0 D．b＞0 答案：D 5．大于－π并且不是自然数的整数有 ( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 答案：C 解析：在数轴上容易看出：在－π右边0的左边（包括0在内）的整数只有－3，－2，

－1，0共4个．选C。 6．有四种说法： 甲．正数的平方不一定大于它本身； 乙．正数的立方不一定大于它本身； 丙．负数的平方不一定大于它本身； 丁．负数的立方不一定大于它本身。 这四种说法中，不正确的说法的个数是 ( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 答案：B 解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故C错误。 7．a代表有理数，那么，a和－a的大小关系是 ( ) A．a大于－a B．a小于－a C．a大于－a或a小于－a D．a不一定大于－a 答案：D 解析：令a=0，马上可以排除A、B、C，应选D。 8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( ) A．乘以同一个数 B．乘以同一个整式 C．加上同一个代数式 D．都加上1 答案：D 解析：对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数，所以排除A。我们考察方程x－2=0，易知其根为x=2．若该方程两边同乘以一个整式x－1，得(x－1)(x－2)=0，其根为x=1及x=2，不与原方程同解，排除B。同理应排除C．事实上方程两边同时加上一 个常数，新方程与原方程同解，对D，这里所加常数为1，因此选D． 9．杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天又较第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( ) A．一样多 B．多了 C．少了 D．多少都可能 答案：C 解析：设杯中原有水量为a，依题意可得， 第二天杯中水量为a×(1－10%)=0.9a； 第三天杯中水量为(0.9a)×(1+10%)=0.9×1.1×a； 第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为0.99∶1， 所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选C。

2020年中国数学奥林匹克试题和详细解答word版

2020年中国数学奥林匹克试题和详细解答word 版 一、给定锐角三角形PBC ，PC PB ≠．设A ，D 分不是边PB ，PC 上的点，连接AC ，BD ，相交于点O. 过点O 分不作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分不为E ，F ，线段BC ，AD 的中点分不为M ，N ． 〔1〕假设A ，B ，C ，D 四点共圆，求证：EM FN EN FM ?=?； 〔2〕假设 EM FN EN FM ?=?，是否一定有A ，B ，C ，D 四点共圆？证明你的结论． 解〔1〕设Q ，R 分不是OB ，OC 的中点，连接 EQ ，MQ ，FR ，MR ，那么 11 ,22EQ OB RM MQ OC RF ====， 又OQMR 是平行四边形，因此 OQM ORM ∠=∠， 由题设A ，B ，C ，D 四点共圆，因此 ABD ACD ∠=∠， 因此 图1 22EQO ABD ACD FRO ∠=∠=∠=∠， 因此 EQM EQO OQM FRO ORM FRM ∠=∠+∠=∠+∠=∠， 故 EQM MRF ???， 因此 EM ＝FM ， 同理可得 EN ＝FN ， 因此 EM FN EN FM ?=?． 〔2〕答案是否定的． 当AD ∥BC 时，由于B C ∠≠∠，因此A ，B ，C ，D 四点不共圆，但现在仍旧有 EM FN EN FM ?=?，证明如下： 如图2所示，设S ，Q 分不是OA ，OB 的中点，连接ES ，EQ ，MQ ，NS ，那么 11 ,22 NS OD EQ OB ==， C B

因此 NS OD EQ OB =．①又 11 , 22 ES OA MQ OC ==，因此 ES OA MQ OC =．② 而AD∥BC，因此 OA OD OC OB =，③ 由①，②，③得NS ES EQ MQ =． 因为2 NSE NSA ASE AOD AOE ∠=∠+∠=∠+∠， ()(1802) EQM MQO OQE AOE EOB EOB ∠=∠+∠=∠+∠+?-∠ (180)2 AOE EOB AOD AOE =∠+?-∠=∠+∠， 即NSE EQM ∠=∠， 因此NSE ?～EQM ?， 故 EN SE OA EM QM OC ==〔由②〕．同理可得， FN OA FM OC =， 因此EN FN EM FM =， 从而EM FN EN FM ?=?． C B

小学二年级数学奥林匹克竞赛题(附答案)

小学二年级数学奥林匹克竞赛题（附答案） 1、用0、1、 2、3能组成多少个不同的三位数？2、小华参加数学竞赛，共有10道赛题。规定答对一题给十分，答错一题扣五分。小华十题全部答完，得了85分。小华答对了几题？ 3、2，3，5，8，12，( )，( ) 4、1，3，7，15，( )，63,( ) 5、1，5，2，10，3，15，4，( ) ，( ) 6、○、△、☆分别代表什么数？(1)、○+○+○=18 (2)、△+○=14 (3)、☆+☆+☆+☆=20 7、△+○=9 △+△+○+○+○=25 8、有35颗糖，按淘气-笑笑-丁丁-冬冬的顺序，每人每次发一颗，想一想，谁分到最后一颗？ 9、淘气有300元钱，买书用去56元，买文具用去128元，淘气剩下的钱比原来少多少元？ 10、5只猫吃5只老鼠用5分钟，20只猫吃20只老鼠用多少分钟？ 11. 修花坛要用94块砖，?第一次搬来36块，第二次搬来38，还要搬多少块？(用两种方法计算) 12. 王老师买来一条绳子，长20米剪下5米修理球网，剩下多少米？ 13. 食堂买来60棵白菜，吃了56棵，又买来30棵，现在人多少棵？ 14、小红有41元钱，在文具店买了3支钢笔，每支6元钱，还剩多少元？ 15、二(1)班从书店买来了89本书，第一组同学借了25本，第二组同学借了38本，还剩多少本？ 16、果园里有桃树126颗，是梨树棵数的3倍，果园里桃树和梨树一共多少棵？ 17、1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=( ) 18、11+12+13+14+15+16+17+18+19=( )

19、按规律填数。(1)1，3，5，7，9，( ) (2)1，2，3，5，8，13 ( ) (3)1，4，9，16，( ) ，36 (4)10，1，8，2，6，4，4，7，2，( ) 20、在下面算式适当的位置添上适当的运算符号，使等式成立。 (1)8 8 8 8 8 8 8 8 =1000 (2) 4 4 4 4 4 =16 (3)9 8 7 6 5 4 3 2 1=22 21、30名学生报名参加小组。其中有26人参加了美术组，17人参加了书法组。问两个组都参加的有多少人？ 22、用6根短绳连成一条长绳，一共要打( )个结。 23、篮子里有10个红萝卜，小灰兔吃了其中的一半，小白兔吃了2个，还剩下( ) 个。 24、2个苹果之间有2个梨，5个苹果之间有几个梨？ 25、用1、2、3三个数字可以组成( ) 个不同的三位数。 26、有两个数，它们的和是9，差是1，这两个数是( ) 和( ) 27、3个小朋友下棋，每人都要与其他两人各下一盘，他们共要下( ) 盘。 28、把4、6、7、8、9、10填下入面的空格里(三行三列的格子) ，使横行、竖行、斜行上三个数的和都是18。

2017中国西部数学邀请赛试题及解析

2017中国西部数学邀请赛 1.设素数p 、正整数n 满足()2 2 1 1n k p k =+∏.证明：2p n <. 1.按照 ()2 1 1n k k =+∏中的因子所含p 的幂次分情形讨论. （1）若存在()1k k n ≤≤，使得()2 2 1p k +，则221p n ≤+. 于是，2p n ≤ <. （2）若对任意的()1k k n ≤≤，( ) 2 2 1p k +?，由条件，知存在1j k n ≤≠≤，使得()21p j +且() 2 1p k +. 则( )22 p k j -. 于是，|()()p k j k j -+. 当|()p k j -，则12p k j n n ≤-≤-<；当|()p k j +，则1212p k j n n n n ≤+≤+-=-<， 综上，2p n <. 2、已知n 为正整数，使得存在正整数12,,,n x x x 满足：()12 12100n n x x x x x x n +++=，求n 的最 大可能值. 2、n 的最大可能值为9702， 显然：由已知等式得 1n i i x n =≥∑，所以：1 100n i i x =≤∏ 又等号无法成立，则 1 99n i i x =≤∏ 而 ()()()1 1 1111111n n n n i i i i i i i i x x x x n =====-+≥-+=-+∑∑∏∏ 则 1 1 198n n i i i i x x n n ==≤+-≤+∑∏99(98)10099989702n n n ?+?≤?=… 取123970299,1x x x x =====，可使上式等号成立

2012年中国数学奥林匹克(CMO)试题(含答案word)

2012年中国数学奥林匹克(CMO)试题 第一天 1. 如图1，在圆内接ABC 中，A ∠为最大角，不含点A 的弧 BC 上两点D 、E 分别为弧 ABC 、 ACB 的中点。记过点A 、B 且与AC 相切的圆为1O ，过点A 、E 且与AD 相切的圆为2O ，1O 与2O 交于点A 、P 。证明：AP 平分ABC ∠。 2. 给定质数p 。设()ij A a =是一个p p ?的矩阵，满足2{|1}{1,2,,}ij a i j p p ≤≤= 、。 允许对一个矩阵作如下操作：选取一行或一列，将该行或该列的每个数同时加上1或同时减去1.若可以通过有限多次上述操作将A 中元素全变为0，则称A 是一个“好矩阵”。求好矩阵A 的个数。 3.证明：对于任意实数2M >，总存在满足下列条件的严格递增的正整数数列12,,a a ： （1） 对每个正整数i ，有i i a M >； （2） 当且仅当整数0n ≠时，存在正整数m 以及12,,,{1,1}m b b b ∈- 使得 1122m m n b a b a b a =+++ .

第二天 4.设()()()(f x x a x b a b =++、是给定的正实数),2n ≥为给定的正整数。对满足 121n x x x +++= 的非负实数12,,,n x x x ，求1min{(),()}i j i j n F f x f x ≤<≤= ∑ 的最大值。

参考答案 第一天 1. 如图2，联结EP 、BE 、BP 、CD 。 分别记BAC ∠、ABC ∠、ACB ∠为A ∠、B ∠、C ∠，X 、Y 分别为CA 延长线、DA 延长线上的任意一点。 由已知条件易得,AD DC AE EB ==。结合A 、B 、D 、 12p x x x <<< ，这是因为交换i x 与j x 的值相当于交换第i 行和第j 行，既不改变题设也 不改变结论。同样，不妨设12p y y y <<< 。于是，假设数表的每一行从左到右是递增的，每一列从上到下也是递增的。 由上面的讨论知11121,2a a ==或212a =，不妨设122a =。否则，将整个数表关于主对

全国小学生数学奥林匹克竞赛真题及答案收集

全国小学生数学奥林匹克竞赛真题及答案收集 目录 2006年小学数学奥林匹克预赛试卷及答案 (1) 2006年小学数学奥林匹克决赛试题 (4) 2007年全国小学数学奥林匹克预赛试卷 (7) 2008年小学数学奥林匹克决赛试题 (8) 2008年小学数学奥林匹克预赛试卷 (10) 2006年小学数学奥林匹克预赛试卷及答案 1、计算4567－3456＋1456－1567＝__________。 2、计算5×4＋3÷4＝__________。 3、计算12345×12346－12344×12343＝__________。 4、三个连续奇数的乘积为1287，则这三个数之和为__________。 5、定义新运算a※b=a b＋a＋b (例如3※4=3×4＋3＋4=19)。 计算(4※5)※(5※6)=__________。 6、在下图中，第一格内放着一个正方体木块，木块六个面上分别写着A、B、C、D、E、 F六个字母，其中A与D，B与E，C与F相对。将木块沿着图中的方格滚动，当木块滚动到第2006个格时，木块向上的面写的那个字母是__________。 7、如图：在三角形ABC中，BD=BC，AE=ED，图中阴影部分的面积为250.75平方 厘米，则三角形ABC面积为__________平方厘米。

8、一个正整数，它与13的和为5的倍数，与13的差为3的倍数。那么这个正整数最小是 __________。 9、若一个自然数中的某个数字等于其它所有数字之和，则称这样的数为“S数”，(例： 561，6=5＋1)，则最大的三位数“S数”与最小的三位数“S数”之差为__________。 10、某校原有男女同学325人，新学年男生增加25人，女生减少5％，总人数增加16人， 那么该校现有男同学__________人。 11、小李、小王两人骑车同时从甲地出发，向同一方向行进。小李的速度比小王的速 度每小时快4千米，小李比小王早20分钟通过途中乙地。当小王到达乙地时，小李又前进了8千米，那么甲乙两地相距__________千米。 12、下列算式中，不同的汉字代表不同的数字，则：白＋衣的可能值的平均数为 __________。 答案： 1、1000 2、22.3 3、49378 4、33 5、1259 6、E 7、2006 8、 7 9、889 10、170 11、40 12、12.25 1.【解】原式＝（4567－1567）－（3456－1456）＝3000－2000＝1000 2.【解】原式＝＝21.5＋0.8＝22.3 3.【解】原式＝12345×（12345＋1）－（12343＋1）×12343 ＝＋12345－－12343 ＝(12345＋12343)×（12345－12343）＋2

2007年第6届中国女子数学奥林匹克(CGMO)试题(含答案)

2007年女子数学奥林匹克 第一天 1．设m 为正整数，如果存在某个正整数n ，使得m 可以表示为n 和n 的正约数个数（包括1和自身）的商，则称m 是“好数”。求证： （1）1，2，…，17都是好数； （2）18不是好数。 2．设△ABC 是锐角三角形，点D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上，线段AD 、BE 、CF 经过△ABC 的外心O 。已知以下六个比值 DC BD 、EA CE 、FB AF 、FA BF 、EC AE 、DB CD 中至少有两个是整数。求证：△ABC 是等腰三角形。 3．设整数)3(>n n ，非负实数.2,,,2121=+++n n a a a a a a 满足 求1 112 1232 221++++++a a a a a a n 的最小值。 4．平面内)3(≥n n 个点组成集合S ，P 是此平面内m 条直线组成的集合，满足S 关于P 中的每一条直线对称。求证：n m ≤，并问等号何时成立？ 第二天 5．设D 是△ABC 内的一点，满足∠DAC=∠DCA=30°，∠DBA=60°，E 是边BC 的中 点， F 是边AC 的三等分点，满足AF=2FC 。求证：DE ⊥EF 。 6．已知a 、b 、c ≥0，.1=++c b a 求证： .3)(4 1 2≤++-+ c b c b a 7．给定绝对值都不大于10的整数a 、b 、c ，三次多项式c bx ax x x f +++=2 3)(满足条件32:.0001.0|)32(|+<+问f 是否一定是这个多项式的根？

8．n 个棋手参加象棋比赛，每两个棋手比赛一局。规定：胜者得1分，负者得0分，平局各得0.5分。如果赛后发现任何m 个棋手中都有一个棋手胜了其余m —1个棋手，也有一个棋手输给了其余m —1个棋手，就称此赛况具有性质P (m ). 对给定的)4(≥m m ，求n 的最小值)(m f ，使得对具有性质)(m P 的任何赛况，都有所有n 名棋手的得分各不相同。 综上，最少取出11枚棋子，才可能满足要求。 三、定义集合}.,|1{P k m k m A ∈∈+=+N 由于对任意的k 、1 1, ,++≠∈i k i k P i 且是无理数，则对任意的k 1、P k ∈2和正整数 m 1、m 2， .,1121212211k k m m k m k m ==?+=+ 注意到A 是一个无穷集。现将A 中的元素按从小到大的顺序排成一个无穷数列。对于任意的正整数n ，设此数列中的第n 项为.1+k 接下来确定n 与m 、k 间的关系。 若.1 1,1111++≤+≤+i k m m k m i m 则 由m 1是正整数知，对5,4,3,2,1=i ，满足这个条件的m 1的个数为].1 1[++i k m 从而，).,(]1 1[5 1 k m f i k m n i =++= ∑= 因此，对任意.),(,,,n k m f P k N m N n =∈∈∈++使得存在

2013中国数学奥林匹克成绩

2013中国数学奥林匹克成绩 名次姓名性别学校总分1张灵夫男四川绵阳中学126 2宋杰傲男上海中学126 3刘宇韬男上海中学126 4肖非依男华中师范大学一附中126 5夏剑桥男郑州外国语学校126 6陈嘉杰男华南师范大学附属中学126 7高奕博男人大附中126 8胥晓宇男人大附中126 9柳何园男上海中学123 10杨赛超男石家庄二中南校123 11孟 涛男北京四中123 12刘驰洲男乐清市乐成公立寄宿学校120 13李大为男复旦大学附属中学120 14郝晨杰男江苏省启东中学120 15马玉聪男武汉二中120 16余张逸航男华中师范大学一附中120 17王 翔男深圳中学120 18刘 潇男乐清市乐成公立寄宿学校117 19宋一凡男石家庄二中117 20饶家鼎男深圳市第三高级中学117 21段柏延男人大附中117 22陈凯文男鄞州中学114 23顾 超男格致中学114 24沈 澈男人大附中114 25金 辉男镇海中学111 26涂瀚宇男四川南充高中108 27李辰星男郑州一中108 28周韫坤男深圳中学108 29陈 成男镇海中学105 30朱晶泽男华东师范大学第二附属中学105 31邓杨肯迪男湖南师大附中105 32廖宇轩男郑州外国语学校105 33任卓涵男郑州一中105 34李 爽男育才中学105 35高继杨男上海华育中学102 36李 笑男湖南师大附中102 37颜公望男武汉六中102 38黄 开男华中师范大学一附中102 39田方泽男中山纪念中学102 40占 玮男合肥一中102 41黄 迪男四川自贡蜀光中学99 42杨卓熠男成都七中99 43杨承业男成都七中99 44丁允梓男上海中学99

2019年英国高中数学奥林匹克竞赛试题

2019-2020英国数学奥林匹克 第一轮 比赛时间：2019年11月29日 1.证明：存在至少3个小于200的素数p ，满足p+2,p+6,p+8,p+12均为素数.同样的,证明有且仅有一个素数q,满足q+2,q+6,q+8,q+12,q+14均为素数. 2.整数数列a 1,a 2,a 3,……满足递推关系:2214410n n n n a a a a +-+-=对任意正整数n 成立. 求a 1的所有可能的值. 3.两个圆S 1,S 2切于点P.一条不经过点P 的公切线分别与S 1,S 2交于点A,B.过P 且在△APB 外的直线CD 与S 1,S 2分别交于点C,D.证明AC ⊥BD. 4.共2019只企鹅摇摆着走向它们最喜欢的饭馆.当企鹅到达时,每只企鹅都得到了一张门票,上面写有1-2019的数字,升序排列,并被告知他们要排队就餐.第一只企鹅站在队伍的最前面.接下来,持有n 号门票的企鹅,需要找到满足m ＜n 且m 整除n 的最大整数m,然后钻到第持有m 号门票的企鹅后面.随后下一只企鹅加入队伍,直到2019只企鹅都排好队. (1)持2号门票的企鹅前面有多少只企鹅? (2)与持33号门票企鹅相邻的分别是持哪两个号码的企鹅? 5.有6个小孩均匀地围着圆桌坐成一圈.开始时,有一个小孩有n 个糖果,其他人没有糖果.如果有一个小孩有4个以上的糖果,那么他可以进行如下操作:吃掉一个糖果,同时给他相邻的和对面的一个人各一个糖果.如果经过某些步骤之后,每个小孩的糖果数量相同,就称这是一次”完美安排”.求可以实现”完美安排” 的所有 n 的值. 6.若定义域和值域均为整数的二元函数f(m,n)满足,对任意整数对(m,n),都有： 2f(m,n)=f(m-n,n-m)+m+n=f(m+1,n)+f(m,n+1)-1, 就称它是一个“好函数”.求所有的“好函数”. 第二轮 比赛时间：2020年1月30日

2016女子数学奥林匹克试题

2016女子数学奥林匹克 （2016年8月12‐8月13日） 1、整数3n ≥，将写有21,2,...,n 的2 n 张卡片放入n 个盒子，每个盒子各有n 张。其后允许操作如下：每次选其中两个盒子，在每个盒子中各取两张卡片放入另一个盒子。证明：总是可以通过有限次操作，使得每个盒子内的n 张卡片上恰好是n 个连续整数。 2、ABC ?的三条边长为,,BC a CA b AB c ===，ω是ABC ?的外接圆。 ①若不含A 的 BC 上有唯一的点P （不同于,B C ），满足 PA PB PC =+，求,,a b c 应该满足的充要条件。 ②P 是①中所述唯一的点，证明：若AP 过BC 的中点， 则60BAC ∠

5、设于数列12,,...a a 的前n 项之和为12...n n S a a a =+++，已知11S =，对于1n ≥都有 21(2)4n n n S S S ++=+。证明：对于任意正整数n ，都有n a ≥。 6、求最大的正整数m ，使得可以在m 行8列的方格表中填入,,,C G M O ，每个单元格填一个字母。使得对于其中任意两行，这两行中最多在一列所填字母相同。 7、I 是锐角ABC ?的内心，AB AC >。BC 边上的高AH 与直线,BI CI 分别交于,P Q 。O 是IPQ ?的外心，,AO BC 交于L ，AIL ?的外接圆与BC 交于,N L ，D 是I 在BC 上的投影，求：BD BN CD CN =。 8、,Q Z 分别代表全体有理数、整数，在坐标平面上，对于任意整数m ，定义 (,),,0,m xy A x y x y Q xy Z m ??=∈≠∈???? 。对于线段MN ，定义()m f MN 为线段MN 上属于m A 的点的个数。求最小的实数λ，使得对于任意直线l ，均存在与l 有关的实数()l β，满足：对于l 上任意两点,M N ，都有20162015()()()f MN f MN l λβ≤?+。

中国数学奥林匹克(cmo)试题(含答案word)

2012年中国数学奥林匹克(CM Ｏ）试题 第一天 1. 如图1,在圆内接ABC 中,A ∠为最大角，不含点A 的弧BC 上两点D 、E 分别为弧 ABC 、ACB 的中点。记过点A 、B 且与AC 相切的圆为1O ，过点A 、E 且与AD 相切的圆为 2O ,1O 与2O 交于点A 、P 。证明：AP 平分ABC ∠。 2. 给定质数p 。设()ij A a =是一个p p ?的矩阵,满足2{|1}{1,2,,}ij a i j p p ≤≤=、。 允许对一个矩阵作如下操作:选取一行或一列,将该行或该列的每个数同时加上１或同时减去１。若可以通过有限多次上述操作将A 中元素全变为0，则称A 是一个“好矩阵"。求好矩阵A 的个数. 3.证明:对于任意实数2M >，总存在满足下列条件的严格递增的正整数数列12,, a a : （1） 对每个正整数i ,有i i a M >； （2） 当且仅当整数0n ≠时，存在正整数m 以及12,,,{1,1}m b b b ∈-使得 1122m m n b a b a b a =+++.

第二天 4．设()()()(f x x a x b a b =++、是给定的正实数),2n ≥为给定的正整数。对满足 121n x x x ++ +=的非负实数12,,,n x x x ,求1min{(),()}i j i j n F f x f x ≤<≤=∑的最大值． 5．设n 为无平方因子的正偶数,k 为整数,p 为质数，满足 |p p <2,|()n p n k +。 证明:n 可以表示为ab bc ca ++，其中,,,a b c 为互不相同的正整数。 ６．求满足下面条件的最小正整数k ：对集合{1,2,,2012}S =的任意一个k 元子集A ,都存在S 中的三个互不相同的元素a 、b 、c ，使得a b +、b c +、c a +均在集合A 中.

新人教版2020-2021三年级上册数学奥林匹克竞赛难题试卷

中心小学三上年级数学竞赛试题 小朋友，经过小学里两年多的学习，你一定掌握了不少本领，相信你一定会有大的收 获。 一、我会填(每题2分，共26分) 1、小华和姐姐踢毽子。姐姐三次一共踢81下，小华第一次和第二次都踢了25下， 要想超过姐姐，小华第三次最少要踢（）个。 2、学校有篮球和排球共80个，篮球比排球多4个，篮球有（）个。 3、7只猴子一共吃了13个桃，每只大猴吃3个，每只小猴吃1个，请你算一算，大 猴有（）只。 4、某学生第一次与第二次数学测验的平均成绩是62分，第三次测验后，三次平均 成绩是68分，他第三次得（）分。 5、由0、2、5、8组成的最大四位数是（），最小四位数是（）。 6、在（）里填上合适的数 2时=（）分 8米=（）分米=（）厘米 5000千克=（）吨 60毫米=（）厘米 7、下列算式中，□，○，△，☆各代表什么数？ (1)□+5=13-6； (2)28-○=15+7；(3)3×△=54； (4) 56÷☆= 7 □=（），○=（），△=（），☆=（）。 8、用4个边长是1厘米的正方形，拼成一个长方形，这个长方形的周长是（）厘 米，如果拼成一个正方形，这个正方形的周长是（）厘米。 9、小惠今年6岁，爸爸今年年龄是她的5倍，（）年后，爸爸年龄是小惠的3 倍。 10、四月份有30天，这个月共( )个星期余( )天。 11、在○里填上“＞”“＜”或“=” 3时○300分60毫米○6分米6千米○5800米6+7+8+9+0○6×7×8×9×0 12、一节课40 分钟，如果10时40分上课，那么( )时( )分下课。 13、在□内填入适当的数字，使下列加法竖式成立： 二、我会判断(每题1分，共6分)

第五届中国数学奥林匹克 (1990年)

第五届中国数学奥林匹克(1990年) 1.如下图，在凸四边形ABCD中，AB与CD不平行，圆O1过A、B且与 边CD相切于P，圆O2过C，D且与边AB相切于Q，圆O1与O2相交于 E、F。求证：EF平分线段PQ的充要条件是BC//AD。 2.设x是一个自然数，若一串自然数x0=1,x2, ... , x n=x满足x i-10有定义，且满足条件： i.对任何x、y≧0，f(x)f(y)≦x2 f(x/2) +y2 f(y/x)； ii.存在常数M>0，当0≦x≦1时，| f(x) | ≦M。 求证：f(x)≦x2。 4.设a是给定的正整数，A和B是两个实数，试确定方程组： x2 +y2 +z2 =(13a)2，x2(Ax2+By2)+y2(Ay2+Bz2)+z2(Az2+Bx2)=(2A+B)(13a)4/3 有整数解的充份必要条件(用A、B的关系式表示，并予以证明)。 5.设X是一个有限集合，法则f使的X的每一个偶子集E(偶数个元素组成 的子集)都对应一个实数f(E)，满足条件：

a.存在一个偶子集D，使得f(D)>1990； b.对于X的任意两个示相交的偶子集A、B，有f(A∪ B)=f(A)+f(B)-1990。 求证：存在X的子集P、Q，满足 iii.P∩Q是空集，P∪Q=X； iv.对P的任何非空偶子集S，有f(S)>1990 v.对Q的任何偶子集T，有f(T)≦1990。 6.凸n边形及n-3条在n边形内不相交的对角线组成的图形称为一个剖分 图。求证：当且仅当3|n时，存在一个剖分图是可以一笔划的圈(即可以从一个顶点出发，经过图中各线段恰一次，最后回到出发点)。

小学数学奥林匹克竞赛试题 及答案(四年级)

1 小学数学奥林匹克竞赛试题及答案 （四年级） (红色为正确答案) 1、下面的△,○,□各代表一个数,在括号里填出得数: △+△+△=36 □×△=240 ○÷□=6 ○=( ) A 120 B 100 C 130 D 124 2、如果一个整数,与1,2,3这三个数,通过加减乘除运算(可以添加括号)组成算式,结果等于24,那么这个整数就称为可用的,那么,在4,5,6,7,8,9,10这七个数中,可用的数有（）个. A 5 B 6 C 7 D 4 3、有100个足球队,两两进行淘汰赛,最后产生一个冠军,共要赛（）场. A 97 B98 C 99 D 50 4、七个小队共种树100棵,各小队种的棵数都不同,其中种树最多的小队种了18棵,种树最少的小队至少种了（）棵. A 10 B 8 C 9 D 7 5、将一盒饼干平均分给三个小朋友,每人吃了八块后,这时三个小朋友共剩的饼干数正好和开始1个人分到的同样多,问每个小朋友分到（）块。 A 24 B 20 C 12 D 16 6、每次考试满分是100分,小明4次考试的平均成绩是89分,为了使用权平均成绩尽快达到94分(或更多),他至少再要考( )次. A 5 B 6 C 3 D 4 7、甲乙丙丁四个人比赛乒乓球，每两人都要赛一场，结果甲胜丁，并且甲乙丙胜的场数相同，那么丁胜的场数是（）场。 A 0 B 1 C 2 D 3 8、有一位探险家，用6天时间徒步横穿沙漠。如果一个搬运工人只能运一个人四天的食物和水，那么这个探险家至少要雇用（）名工人。 A 2 B 3 C 4 D 5 9、在右图的中间圆圈内填一个数,计算每一线段两 数之差(大减小),然后算出这三个数之和,那么这个 差数之和的最小值是( ). 13 32 41 13

中国数学奥林匹克竞赛试题【CMO】[1987-2003]

CMO 中国数学奥林匹克竞赛试题 1987第二届年中国数学奥林匹克 1.设n为自然数，求方程z n+1-z n-1=0有模为1的复根的充份必要条件是n+2可被6整 除。 2.把边长为1的正三角形ABC的各边都n等分，过各分点平行于其它两边的直线，将 这三角形分成小三角形，和小三角形的顶点都称为结点，在第一结点上放置了一个实数。已知 i.A、B、C三点上放置的数分别为a、b、c。 ii.在每个由有公共边的两个最负三角形组成的菱形之中，两组相对顶点上放置的数之和相等。 试求 3.放置最大数的点积放置最小数的点之间的最短距离。 4.所有结点上数的总和S。 3.某次体育比赛，每两名选手都进行一场比赛，每场比赛一定决出胜负，通过比赛确 定优秀选手，选手A被确定为优秀选手的条件是：对任何其它选手B，或者A胜B，或者存在选手C，C胜B，A胜C。 结果按上述规则确定的优秀选手只有一名，求证这名选手胜所有其它选手。 4.在一个面积为1的正三角形内部，任意放五个点，试证：在此正三角形内，一定可 以作三个正三角形盖住这五个点，这三个正三角形的各边分别平行于原三角形的边，并且它们的面积之和不超过0.64。 5.设A1A2A3A4是一个四面体，S1, S2, S3, S4分别是以A1, A2, A3, A4为球心的球，它们 两两相切。如果存在一点O，以这点为球心可作一个半径为r的球与S1, S2, S3, S4都相切，还可以作一个半径为R的球积四面体的各棱都相切，求证这个四面体是正四面体。 6.m个互不相同的正偶数与n个互不相同的正奇数的总和为1987，对于所有这样的m 与n，问3m+4的最大值是多少？请证明你的结论。

最新-2018女子数学奥林匹克 精品

第一天 2018年8月12日上午8∶00～12∶00 长春 我们进行数学竞赛的目的，不仅仅是为了数学而数学，其着眼点还是因为它是一切科学的得力助手，因而提高数学，也为学好其他科学打好基础. ——华罗庚 1. 如图，设点P 在△ABC 的外接圆上，直线CP 和AC 相交于点E ，直线BP 和AC 相交于点F ,边AC 的垂直平分线交边AB 于点J ，边AB 的垂直平分线交边AC 于点K,求证： 2 2BF CE =F ··K AK JE AJ . 2.求方程组 的所有实数解. 3.是否存在这样的凸多面体，它共有8个顶点，12条棱和6 个面，并且其中有4个面，每两个面都有公共棱？ 4.求出所有的正实数a ，使得存在正整数n 及n 个互不相交的无限集合1A ，2A ，…，n A 满足1A ∪2A ∪…∪n A =Z ，而且对于每个i A 中的任意两数b >c ，都有b -c ≥i a . ?? ???=++??? ?? +=???? ? ?+=??? ??+1 ,11311215zx yz xy z z y y x x

第二天 2018年8月13日上午8∶00～12∶00 长春 数学竞赛，它对牢固基础知识、发展智力，培养拔尖人才，是一件具有战略意义的活动。 ——华罗庚 5.设正实数x ，y 满足3 x +3y =x -y ,求证： .1422＜y x + 6.设正整数n ≥3，如果在平面上有n 个格点，，，?21P P n P 满足：当j i P P 为有理数时，存在k P ，使得k i P P 和k j P P 均为无理数;当j i P P 为无理数时，存在k P ,使得k i P P 和k j P P 均为有理数，那么称n 是“好数”. (1)求最小的好数； (2)问：2018是否为好数？ 7.设m ，n 是整数，m >n ≥2,S ={1,2,…,m },T ={1a ,2a …,n a }是S 的一个子集.已知T 中的任两个数都不能同时整除S 中的任何一个数，求证： .11121m n m a a a n ++?++＜ 8.给定实数a ,b ,a >b >0,将长为a 宽为b 的矩形放入一个正方形内(包含边界)，问正方形的 边至少为多长？

中国数学奥林匹克试题及解答

一、 实数12,,,n a a a L 满足120n a a a +++=L ，求证： () 1 2 2 111 max ()3 n k i i k n i n a a a -+≤≤=≤-∑． 证明 只需对任意1k n ≤≤，证明不等式成立即可． 记1,1,2,,1k k k d a a k n +=-=-L ，则 k k a a =， 1k k k a a d +=-，2111,,k k k k n k k k n a a d d a a d d d +++-=--=----L L ， 112121121,,,k k k k k k k k k k a a d a a d d a a d d d -------=+=++=++++L L ， 把上面这n 个等式相加，并利用120n a a a +++=L 可得 11121()(1)(1)(2)0k k k n k k na n k d n k d d k d k d d +----------+-+-++=L L ． 由Cauchy 不等式可得 ()2 211121()()(1)(1)(2)k k k n k k na n k d n k d d k d k d d +---=-+--++------L L 11222111k n k n i i i i i i d ---===???? ≤+ ??????? ∑∑∑ 111222111(1)(21)6n n n i i i i i n n n i d d ---===--?????? ≤= ??? ???????∑∑∑ 31213n i i n d -=??≤ ??? ∑， 所以 ()1 2 211 3 n k i i i n a a a -+=≤-∑． 二、正整数122006,,,a a a L （可以有相同的）使得20051223 2006 ,,,a a a a a a L 两

16高中数学奥林匹克竞赛训练题(2)编辑版

高中数学奥林匹克竞赛训练题（02） 第一试 一、选择题（本题满分30分，每小题5分） 1．(训练题07)十个元素组成的集合．的所有非空子集记为，每一非空子集中所有元素的乘积记为.则（C）． （A）0 （B）1 (C) -1 (D)以上都不对 2．(训练题07)△ABC的三个内角依次成等差数列，三条边上的高也依次成等差数列．则为（B） （A）等腰但不等边三角形（B）等边三角形（C）直角三角形（D）钝角非等腰三角形 3．(训练题07)对一切实数，不等式恒成立．则的取值范围是（A） （A）(B) (C) (D) 4．(训练题07)若空间四点满足，则这样的三棱锥共有（A）个． （A）0 （B）1 （C）2 （D）多于2 5．(训练题07)已知不等式时恒成立，则的取值范围是（B） （A）(B) (C) (D) 6．(训练题07)方程在复数集内根的个数为.则（C） （A）最大是2 （B）最大是4 （C）最大是6 （D）最大是8 二、填空题（本题满分30分，每小题5分） 1．(训练题07)函数的值域是________ 2．(训练题07)已知椭圆，焦点为，，为椭圆上任意一点（但点不在x轴上），的内心为，过作平行于轴的直线交于.则________. 3．(训练题07)为的三个内角， 且.则_____. 4．(训练题07)实数满足.则的最小值是____. 5．(训练题07)在一次足球冠军赛中，要求每一队都必须同其余的各个队进行一场比赛，每场比赛胜队得2分，平局各得1分，败队得0分．已知有一队得分最多，但它胜的场次比任何一队都少．若至少有队参赛，则=__6____. 6．(训练题07)若是一个完全平方数，则自然数14 ． 三、(训练题07)（本题满分20分）若正三棱锥底面的一个顶点与其所对侧面的重心距离为4，求这个正三棱锥的体积的最大值．(18) 四、(训练题07)（本题满分20分）一个点在轴上运动的速度为2米/秒，在平面其它地方速度为1米/秒．试求该点由原点出发在1秒钟内所能达到的区域的边界线． 五、(训练题07)（本题满分20分）已知为虚数，且是方程的实根．求实数的取值范围．() 第二试 一、(训练题07)（本题满分20分）在中，为边上的任一点，于，于，交于． 求证：． 二、(训练题07)（本题满分35分）用个数（允许重复）组成一个长为的数列，且.证明：可

第五届中国女子数学奥林匹克试题

第五届中国女子数学奥林匹克试题 第一天 2006年8月8日 下午15：30——19：30 乌鲁木齐 中国在国际数学奥林匹克竞赛中，连续多年取得很好的成绩，这项竞赛是高中程度，不 包括微积分，但题目需要思考，我相信我是考不过这些小孩子的，因此有人觉得，好的数学家未必长于这种考试，竞赛胜利者也未必是将来的数学家，这个意见似是而非。数学竞赛大约是百年前在匈牙利开始的；匈牙利产生了同它人口不成比例的许多大数学家。 ——陈省身 一、设a ＞0，函数 f : （0，＋∞） → R 满足f （a ）＝1．如果对任意正实数x ，y 有 ()()()2a a f x f y f f f xy x y ?? ??+= ? ????? ，①求证： f （x ）为常数． 证明： 在①中令x ＝y ＝1，得 f 2（1）＋f 2（a ）＝2 f （1）， （f （1）－1）2 ＝0， ∴ f （1）＝1。 在①中令y ＝1，得 f （x ）f （1）＋f （a x ）f （a ）＝2 f （x ）， f （x ）＝f （ a x ），x ＞0。 ② 在①中取y ＝a x ，得 f （x ）f （a x ）＋f （a x ）f （x ）＝2 f （a ）， f （x ）f （ a x ）＝1。 ③ 由②，③得：f 2（x ）＝1，x ＞0。 在①中取x ＝y ，得 f 2 ）＋f 2 ）＝2 f （t ）， ∴ f （t ）＞0。 故f （x ）＝1，x ＞0。 二、设凸四边形ABCD 对角线交于O 点．△OAD ，△OBC 的外接圆交于O ，M 两点，直线 OM 分别交△OAB ，△OCD 的外接圆于T ，S 两点．求证：M 是线段TS 的中点． 证法1： 如图，连接BT ，CS ，MA ，MB ，MC ，MD 。 ∵ ∠BTO ＝∠BAO ，∠BCO ＝∠BMO ，