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高考数学知识点与题型归纳

河南省高中数学知识点总结

1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

{}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|l g |l g (,)|l g 中元素各表示什么？

2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。?

注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {

}

{}

如：集合，A x x x B x a x =--===||2

2301 若，则实数的值构成的集合为B Aa ?

（答：，，）-?

1013 3. 注意下列性质：

{}

（）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n

（）若，；2A B A B A A B B ??==

（3）德摩根定律：

()()()()()()C C C C C C U U UU U U

A B A B A B A B ==， 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）

如：已知关于的不等式的解集为，若且，求实数x a x x a

M M M a --<∈?5

0352 的取值范围。

()（∵，∴·∵，∴·，，）335

555

15392522∈--

??M a a

M a a

a 5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和

()()∨∧ “非”().?

若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧

若为真，当且仅当、至少有一个为真p q p q ∨

若为真，当且仅当为假?p p

6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题。）

原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。

7. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？

（一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。）

8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域）

9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ ()

()

例：函数的定义域是y x x x =

--432

l g

()()()

（答：，，，）022334 10. 如何求复合函数的定义域？

[]

如：函数的定义域是，，，则函数的定f x a b b a F (x f x f x ())()()>->=+-0 义域是_____________。 []

（答：，）

a a - 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ (

)

如：，求f

x e x f x x +=+1().

令，则t x t =+≥10

∴x t =-2

∴ft e t t ()=+--2

()

∴f xe x x x ()=+-≥-21

10 12. 反函数存在的条件是什么？

（一一对应函数）

求反函数的步骤掌握了吗？

（①反解x ；②互换x 、y ；③注明定义域）

()()如：求函数的反函数f x xx x x ()=+≥-

??1002

()()（答：）f x x x x x -=->--

110() 13. 反函数的性质有哪些？

①互为反函数的图象关于直线y ＝x 对称； ②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

③设的定义域为，值域为，，，则y f(x)A C a A b C f(a)=b f 1

=∈∈?=-()b a []

[]

∴====---f f a f b a f f b f a b 1

()()()()， 14. 如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）如何判断复合函数的单调性？

[]（，，则（外层）（内层）

yf u u x yf x ===()()()??

[][]

当内、外层函数单调性相同时为增函数，否则为减函数。）f x f x ??()() (

)

如：求的单调区间y x x =-+l o g 1

2 （设，由则u xxu x =-+><<2

2002

()且，，如图：l o g 1

11u u x ↓=--+ u

O 1 2 x

当，时，，又，∴x u u y ∈↑↓↓(]l o g 011

当，时，，又，∴x u u y ∈↓↓↑[)l o g 121

∴……）

15. 如何利用导数判断函数的单调性？

()

在区间，内，若总有则为增函数。（在个别点上导数等于a b f x f x '()()≥0 零，不影响函数的单调性），反之也对，若呢？f x '()≤0

[

)如：已知，函数在，上是单调增函数，则的最大a f x x a x a >=-+∞013

()

值是（）

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

（令fx x a x a x a

'()=-=+?? ???-??

?≥333302

则

或x a x a

≤-≥33

由已知在，上为增函数，则，即f x a

a ()[)13

13+∞≤≤

∴a 的最大值为3）

16. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（f(x)定义域关于原点对称）

若总成立为奇函数函数图象关于原点对称f x f x f x ()()()-=-?? 若总成立为偶函数函数图象关于轴对称f x f x f x y ()()()-=?? 注意如下结论：

（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

（）若是奇函数且定义域中有原点，则。

2f (x )f (0)0= 如：若·为奇函数，则实数f x a a a x

x ()=+-+=

（∵为奇函数，，又，∴f x x R R f ()()∈∈=000

即·，∴）a a a 22

010

+-+== 又如：为定义在，上的奇函数，当，时，，f x x f x x

()()()()-∈=+11012

()

求在，上的解析式。f x ()-11 ()()（令，，则，，x x fx x

∈--∈-=+--10012

41() 又为奇函数，∴f x f x x x

x ()()=-+=-+--2412

14 ()又，∴，，）f fx x x x x

x ()()()002

411002

4101==-+

∈-=+∈?????

?? 17. 你熟悉周期函数的定义吗？

()

（若存在实数（），在定义域内总有，则为周期T T f x T f x f x ≠+=0()()

函数，T 是一个周期。）

()

如：若，则f x a f x +=-() （答：是周期函数，为的一个周期）f x T a f x ()()=2 ()又如：若图象有两条对称轴，f x x a x b ()==? 即，f a x f a x f b x f b x ()()()()+=-+=- 则是周期函数，为一个周期f x a b ()2-

如：

18. 你掌握常用的图象变换了吗？

f x f x y ()()与的图象关于轴对称- f x f x x ()()与的图象关于轴对称- f x f x ()()与的图象关于原点对称--

f x f x y x ()()与的图象关于直线对称

-=1

f x f a x x a ()()与的图象关于直线对称2-= f x f a x a ()()()与的图象关于点，对称--20

将

图象左移个单位

右移个单位

y f x a a a a y f x a y f x a =>?→????????>=+=-()()()()()00

上移个单位

下移个单位

b b b b yf xa b yf xa b ()()()()>?→????????>=++=+-00

注意如下“翻折”变换：

f x f x f x f x ()()()(||)

?→??→?

()如：f x x ()l o g =+2

1 ()作出及的图象y x yx =+=+l o g l o g 22

11 y

y=log 2x

O 1 x

19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？

(k <0) y (k >0)

y =b

O ’(a ,b ) O x

x =a

()

（）一次函数：10y k x b k =+≠ ()()（）反比例函数：推广为是中心，200y k

x k y b k x a

k O a b =≠=+-≠'() 的双曲线。

()（）二次函数图象为抛物线302442

y a x b x c a a x b a a c b a

=++≠=+?? ???

+- 顶点坐标为，，对称轴--?? ???

=-b a a cb a x b

a 2

4422

开口方向：，向上，函数a y a c b

a >=-0442

m i n

a y a c b

-0442

，向下，m a x

应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程

a x

b x

c x x y a x b x c x 212

00++=>=++，时，两根、为二次函数的图象与轴? 的两个交点，也是二次不等式解集的端点值。

a x

b x

c 2

00++><() ②求闭区间［m ，n ］上的最值。

③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。 ④一元二次方程根的分布问题。

如：二次方程的两根都大于a x b x c k b a k fk 2

0020++=?≥->>??

???

???() y

(a>0)

O k x 1 x 2 x

一根大于，一根小于k k f k ?<()0

()

（）指数函数：，401y a a a x

=>≠ ()

（）对数函数，501y x a a a

=>≠l o g 由图象记性质！（注意底数的限定！）

y=a x (a>1)

(01) 1

O 1 x

()

（）“对勾函数”60y x k

k =+> 利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？

O x

-k k

20. 你在基本运算上常出现错误吗？

指数运算：，a a a a

a p

p 0

101

0=≠=≠-(()) a a a a a

a m

n m

n m n

n =≥=

>-((01

0))

， ()

对数运算：·，l o g l o g l o g a a a

M N M N M N =+>>00 log log log log log a

a a a n a M N M N M n

M =-=，1

对数恒等式：a x

a x

l o g = 对数换底公式：l o g l o g l o g l o g l o g a c c

a b b

a b n

b m =?= 21. 如何解抽象函数问题？（赋值法、结构变换法）

如：（），满足，证明为奇函数。1x R f x f x y f x f y f x ∈+=+()()()()()

（先令再令，……）x y f y x ==?==-000()

（），满足，证明是偶函数。2x R f x f x y f x f y f x ∈=+()()()()()

[]

（先令·x y t f t tf t t ==-?--=()()() ∴ft ft f t f t ()()()()-+-=+ ∴……）f t f t ()()-=

()[]

（）证明单调性： (32212)

f x f x x x ()=-+= 22. 掌握求函数值域的常用方法了吗？

（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。）

如求下列函数的最值：（）123134y x x =-+- （）224

y x x =

-+ （），3323

2x y x

x >=

- []()

（）设，，449302

y x x x =++-=∈c o s θθπ （），，54901y x x

x =+∈(]

23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R 的弧长公式和扇形面积公式吗？（·，··）扇l l ==

=ααR S R R 121

O R

1弧度 R

24. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义

s i n c o s t a n ααα===M P O M A T ，，

A x

α B S

O M P

如：若，则，，的大小顺序是-<<π

θθθθ8

0s i n c o s t a n

又如：求函数的定义域和值域。y x =

--?? ?

?122cos π

（∵）122120--?

? ??

=-≥c o s s i n πx x

∴，如图：

s i n x ≤

()

∴，25424

012k x k k Z y ππππ-≤≤+∈≤≤+ 25. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？

s i n c o s x x ≤≤11，

O -π2 π2

π y tg x =

对称点为，，k k Z π

0?? ??

∈ ()y x k k k Z =-+?

???

∈s i n 的增区间为，22

22ππππ

()减区间为，22232k k kZ ππ

ππ++?

???

?∈ ()

()图象的对称点为，，对称轴为k x k k Z πππ02

=+∈ []

()yx k k k Z =+∈c o s 的增区间为，22πππ []

()减区间为，222k k k Z ππππ++∈ ()图象的对称点为，，对称轴为k x k k Z πππ+?? ??

=∈20 y x k k k Z =-+?

???

∈t a n 的增区间为，ππππ22

()()

[]

26. y =A s i n x +正弦型函数的图象和性质要熟记。或ω?ω?y A x =+c o s （）振幅，周期12||||

A T =π

()若，则为对称轴。f x A x x 00

=±= ()()

若，则，为对称点，反之也对。f x x 00

00= （）五点作图：令依次为，，，，，求出与，依点20232

2ω?πππ

πx x y + （x ，y ）作图象。

（）根据图象求解析式。（求、、值）3

A ω?

如图列出ω?ω?π()()x x 1

202+=+=?

? 解条件组求、值ω?

()

?正切型函数，y A x T =+=t a n ||

ω?π

ω 27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角的

范围。

如：，，，求值。c o s x x x +?? ?

??=-∈?????

πππ62

32 （∵，∴，∴，∴）ππππππππ<<<+<+==x x x x 327665365413

28. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？如：函数的值域是y x x =+s i n s i n ||

[][]

（时，，，时，，∴，）x ≥=∈-<=∈-02220022y x x y y s i n

29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗？

（平移变换、伸缩变换）平移公式：

（）点（，），平移至（，），则1P x y a h k P x y x x h y y k →=?→????=+=+??

()

''''' （）曲线，沿向量，平移后的方程为，200

f x y a h k f x h y k ()()()==--=→

如：函数的图象经过怎样的变换才能得到的y x y x =-?? ?

-=2241s i n s i n π 图象？

（横坐标伸长到原来的倍y x y x =-?? ??

?-?→?????????=?? ???-??

????

-22412212412s i n s i n ππ =-?? ??

?-?→??????=-?→??????=24142121s i n s i n s i n x y x y x ππ

左平移个单位

上平移个单位纵坐标缩短到原来的倍

）

2?→?????????=y x s i n 30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？

如：··14

2222

=+=-===s i n c o s s e c t a n t a n c o t c o s s e c t a n ααααααααπ

===s i n c o s π2

0……称为的代换。1

“·”化为的三角函数——“奇变，偶不变，符号看象限”，k παα2

“奇”、“偶”指k 取奇、偶数。

()如：c o s t a n s i n 9476

21πππ+-?? ?

??+=

又如：函数，则的值为y y =++s i n t a n c o s c o t αα

αα

A. 正值或负值

B. 负值

C. 非负值

D. 正值

()()（，∵）

y =++=++>≠s i n s i n c o s c o s c o s s i n s i n c o s c o s s i n αα

αααα

ααααα2

21100 31. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？

理解公式之间的联系：

()

s i n s i n c o s c o s s i n s i ns i n c o s αβαβαβαβ

ααα±=±=?→???=令22

(

)c o s c o s

c o s sin sin c o s c o s sin αβαβαβαβααα±==?→???=- 令222

()ta n ta n ta n ta n ta n αβαβαβ

±=

±1 · =-=-?211222

c o s sin αα

ta n ta n ta n 2212

αα

c o s c o s sin c o s 22

122

αα

αα=

()

a b ab b a

s i n c o s s i n t a n ααα??+=++=2

， s i n c o s s i n αααπ+=+?

???24

s i n c o s s i n αααπ+=+?

???323

应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含

三角函数，能求值，尽可能求值。）具体方法：

()（）角的变换：如， (1222)

βαβααβαβαβ=+-+=-?? ???--?? ?

（2）名的变换：化弦或化切

（3）次数的变换：升、降幂公式

（4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。

()()

如：已知，，求的值。s i n c o s c o s t a n t a n αα

ααββα1212

2-=-=--

（由已知得：，∴s i n c o s s i n c o s s i n t a n ααα

ααα2211

===

()又t a n βα-=2

()()[]()()∴··

）t a n t a n t a n t a n t a n t a n βαβααβααβαα-=--=--+-=-+=21231

212312

8 32. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？

余弦定理：a b c b c AA b c a

b c

22222=+-?=

+-c o s c o s （应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）

正弦定理：a A b B c C R a RA b R B c RC s i n s i n s i n s i n s i n s i n ===?===?

??2222 S a b C ?

·s i n ∵，∴A B C A B C ++=+=-ππ ()∴，s i n s i n s i n c o s A B C A B C

+=+=22

如中，?ABC A B

C 22

212

sin cos ++= （）求角；

1C （）若，求的值。

222

ab c

A B =+-c o s c o s ()

（（）由已知式得：112112

-++-=c o s c o s A B C 又，∴A B C C C +=-+-=π2102

c o s c o s

∴或（舍）c o s c o s C C ==-1

又

，∴03

<<=C C ππ

（）由正弦定理及得：2122

2a b c =+

22334

2222

s i n s i n s i n s i n A B C -===π

2123

--+=c o s c o s A B

∴）c o s c o s 223

A B -=- 33. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。

[]

反正弦：，，，a r c s i n x x ∈-?????

∈-ππ2211 [][]

反余弦：，，，a r c c o s x x ∈∈-011π

()反正切：，，a r c t a n x xR ∈-?? ??

?∈ππ22 34. 不等式的性质有哪些？

（），

100a b c a c b c

c a c b c

>>?>>?+>+ （），300a b c d a c b d >>>>?> （），4011

011a b a b a b a b

>>?<<

（），50a b a b a b

n n

>>?>> ()

（），或60||||x a a a x a x a x a x a <>?-<<>?<-> 如：若，则下列结论不正确的是（）11

0a b

A a b

B a b b

..2

<< C

a b a b D a b b a

.||||||.+>++>2 答案：C

35. 利用均值不等式：

()

a b a b a b R a b a b a b a b 222

222

+≥∈+≥≤+?? ???

，；；求最值时，你是否注意到“，”且“等号成立”时的条件，积或和其中之一为定

a b R a b a b ∈++

()() 值？（一正、二定、三相等）

注意如下结论：

()

a b ab a b a b

ab ab R 22222+≥+≥≥+

∈+，当且仅当时等号成立。a b =

()

a b c a b b c c a a b R 222

++≥++∈，

当且仅当时取等号。a b c == a b m n >>>>000，，，则

b a b m a m a n b n a b

<++<<++<1 如：若，的最大值为x x x

>--0234

（设y x x

=-+?

???

≤-=-2342212243 当且仅当，又，∴时，）34

0233

243x x x x y =>==-m a x

又如：，则的最小值为x y xy

+=+2124 （∵，∴最小值为）22222222221

x y

+≥=+ 36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗？

（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）并注意简单放缩法的应用。

如：证明…1121312222++++

()（ (112131111212311222)

+++<+?+?++-n n n

=+-+-++--

=-<11121213111

212……）

n n

()370.()

()

解分式不等式的一般步骤是什么？f x g x a a >≠ （移项通分，分子分母因式分解，x 的系数变为1，穿轴法解得结果。） 38. 用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”

，从最大根的右上方开始

()()()

如：x x x +--<112023

39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论

如：对数或指数的底分或讨论a a ><<101 40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解？

（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。）例如：解不等式||x x --+<311 （解集为）x x |>?

???

12 41.||||||||||会用不等式证明较简单的不等问题a b a b a b -≤±≤+ 如：设，实数满足f x x x a x a ()||=-+-<2

131 求证：f x f a a ()()(||)

-<+21 证明：|()()||()()|

f x f ax x a a -=-+--+2

1313 =-+--<=-+-<+-≤++|()()|(||)

||||||

||||x a x a x a x ax a x a x a 11111

又，∴||||||||||x a x a x a -≤-<<+11

()

∴f x f a a a ()()||||-<+=+2221 （按不等号方向放缩）

42. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”问题）

如：恒成立的最小值a f x a f x ?>()()恒成立的最大值 a f x a f x >?>()()能成立的最小值

例如：对于一切实数，若恒成立，则的取值范围是x x x a a -++>32

（设，它表示数轴上到两定点和距离之和u x x =-++-3223

()u a a m i n

=--=><32555，∴，即 ()()

或者：，∴）x x x x a -++≥--+=<323255 43. 等差数列的定义与性质

() 定义：为常数，a a d d a a n d n n n +-==+-11

1()

等差中项：，，成等差数列x A y A x y

?=+2 ()()前项和n S aa n n a n n d

=+=+-11

{}性质：是等差数列a n

（）若，则；1m n p q a a a a m n p q

+=++=+ {}{}{}（）数列，，仍为等差数列；2212a a k a b n n n -+ S S S S S n n n n n

，，……仍为等差数列；232-- （）若三个数成等差数列，可设为，，；3a d a a d -+

（）若，是等差数列，为前项和，则；421

a b S T n a b S

T n n n n

m m m m =-- {}（）为等差数列（，为常数，是关于的常数项为52

a S a n

b n a b n n n

?=+ 0的二次函数）

{}S S a n b n a n n n 的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界=+2

项，即：

当，，解不等式组可得达到最大值时的值。a d a a S n n

n n

110000><≥≤???

+ 当，，由可得达到最小值时的值。a d a a S n n

n n

110000<>≤≥???

+ {}如：等差数列，，，，则a S a a a S n n n n n n =++===--1831123 （由，∴a a a a a nn n n n ++=?==----1211

3331 ()又·，∴S aa a a 3

33113

=+===

()()∴·S a an a a n n n

n n =+=+=+?

? ???

=-121

221312

18 ∴=n 27）

44. 等比数列的定义与性质

定义：（为常数，），a

a q q q a a q n n

n n +-=≠=1

0 等比中项：、、成等比数列，或x G y G x y G x y

?==±2

()

前项和：（要注意）n S n a q a q q q n n

==--≠????

111

11()()! {}性质：是等比数列a n

（）若，则··1m n p qa a a a m n p q

+=+= （），，……仍为等比数列2232S S S S S nn n n n -- 45.由求时应注意什么？S a n n

（时，，时，）n a S n a S S nn n ==≥=--12111 46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？

例如：（1）求差（商）法

{}如：满足……a a a a n n n n 12121

2251122+++=+<> 解：n a a ==?+=11

2151411

时，，∴ n a a a n n n ≥+++=-+<>--212121

21521221

1时，…… <>-<>=121

2得：n n

a ∴a n n =

+21

∴a n n n n ==≥?

+141221

()() ［练习］

{}数列满足，，求a S S a a a n n n n n

+==++1115

4 （注意到代入得：

a S S S S n n n n n

+++=-=111

4 {}又，∴是等比数列，S S S n n n

144== n a S S n n n n ≥=-==--2341

时，……·

（2）叠乘法

{}例如：数列中，，，求a a a a n

a n n n n

31==++ 解：

a a a a a a n n a a n

n n n 213211122311·……·……，∴-=-=

又，∴a a n

n 133

== （3）等差型递推公式

由，，求，用迭加法a a f n a a a n n n

-==-110() n a a f

a a f a a f n n n ≥-=-=-=??

??-2232132

1时，…………两边相加，得：()()() a a f f f n n -=+++123()()()…… ∴……a a f f f n n =++++023()()() ［练习］

{}()数列，，，求a a a a n a n n n n n

1132==+≥-- (

)

（）a n n

31 （4）等比型递推公式

()

a c a d c d c c d n n =+≠≠≠-1010、为常数，，， ()可转化为等比数列，设a x c a x n n +=+-1

()?=+--a c a c x n n 1

1 令，∴()c x d x d

c -==

-11

∴是首项为，为公比的等比数列a d c a d

c c n +-????

+-11

∴·a d c a d c c n

n +-=+-?? ???-111

∴a a d c c d c n n =+-?

???---1

高考数学高考必备知识点总结精华版

高考前重点知识第一章?集合（一）、集合：集合元素的特征：确定性、互异性.无序性. 工集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A胃A ; ②空集是任何集合的子集，记为。包A ； ③空集是任何非空集合的真子集； ①〃个元素的子集有2〃个.〃个元素的真子集有2〃 -1个.〃个元素的非空真子集有2〃-2个. ［注］①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题。逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真.原命题。逆否命题. 交：A,且x e B} 2、集合运算：交、并、补产AU6Q{xlxeA或xe* 未卜：或A o {% ￡（/, 且x任A} （三）简易逻辑构成复合命题的形式：p或q （记作〃pvq〃）； p且q （记作〃p 八q〃）；mEp（i己作、q〃） o 工〃或〃‘〃且"、"非"的真假判断种命题的形式及相互关系: 原命题：若P则q；逆命题：若q则p；否命题：若1 P则1 q ；逆否命题：若1 q则］Po ④、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 i命题为真它的否命题不一定为真。

@、原命题为真，它的逆否命题一定为真。 6、如果已知p=q那么我们说，P是q的充分条件，q是P的必要条件。若p=q且q = p,则称p是q的充要条件，记为p<=>q. 一.函数的性质 (工)定义域：(2)值域: (3)奇偶性：(在整个定义域内考虑) ①定义：①偶函数：/(—x) = /(x),②奇函数：/(—x) = -/(X) ②判断方法步骤：a.求出定义域；b.判断定义域是否关于原点对称；c.求/(-X)；&比较/(T)与/(X)或/(T)与—/(X)的关系。 (4 )函数的单调性定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值X1f X2, 。语当X1VX2时，都有f(XT)Vf(X2),则说f(X)在这个区间上是增函数； (2语当X1f(X)则说f(X)在这个区间上是减函数? 二.指数函数与对数函数指数函数> = /(〃>。且"。1)的图象和性质

高考数学导数题型归纳

导数题型归纳请同学们高度重视：首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系（2）端点处和顶点是最值所在其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令0)(' =x f 得到两个根；第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种：第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0）第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）；例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上， ()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，432 3()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围；（2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- （1） ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x < 解法二：分离变量法： ∵ 当0x =时, 2 ()330g x x mx ∴=--=-<恒成立, 当03x <≤时, 2 ()30g x x mx =--<恒成立等价于233 x m x x x ->=-的最大值（03x <≤）恒成立，而3 ()h x x x =-（03x <≤）是增函数，则max ()(3)2h x h == (2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数” 则等价于当2m ≤时2 ()30g x x mx =--< 恒成立解法三：变更主元法再等价于2 ()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立（视为关于m 的一次函数最值问题） 2 2 (2)0230 11(2)0230 F x x x F x x ?->--+>?????-<-+>??? 例2),10(32 R b a b x a ∈<<+- ],2不等式()f x a '≤恒成立，求a 的取值范围.

高考数学题型全归纳

2010-2016高考理科数学题型全归纳题型1、集合的基本概念题型２、集合间的基本关系题型３、集合的运算题型４、四种命题及关系题型5、充分条件、必要条件、充要条件的判断与证明题型６、求解充分条件、必要条件、充要条件中的参数范围题型7、判断命题的真假题型8、含有一个量词的命题的否定题型９、结合命题真假求参数的范围题型10、映射与函数的概念题型11、同一函数的判断题型12、函数解析式的求法题型１3、函数定义域的求解题型14、函数定义域的应用题型15、函数值域的求解题型16、函数的奇偶性题型17、函数的单调性(区间）题型１８、函数的周期性题型１9、函数性质的综合题型20、二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系

题型21、二次方程ax2+ｂx+c=０（a≠0)的实根分布及条件题型２2、二次函数"动轴定区间"、"定轴动区间"问题题型２3、指数运算及指数方程、指数不等式题型24、指数函数的图像及性质题型25、指数函数中的恒成立的问题题型２6、对数运算及对数方程、对数不等式题型27、对数函数的图像与性质题型２８、对数函数中的恒成立问题题型29、幂函数的定义及基本性质题型30、幂函数性质的综合应用题型３1、判断函数的图像题型3２、函数图像的应用题型３3、求函数的零点或零点所在区间题型34、利用函数的零点确定参数的取值范围题型35、方程根的个数与函数零点的存在性问题题型３6、函数与数列的综合题型３7、函数与不等式的综合题型３８、函数中的创新题题型39、导数的定义题型4０、求函数的导数题型41、导数的几何意义题型4２、利用原函数与导函数的关系判断图像

高考数学高考必备知识点总结

高考数学高考必备知识点总结 Jenny was compiled in January 2021

高考前重点知识回顾第一章-集合（一）、集合：集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 1、集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ ； ③空集是任何非空集合的真子集； ①n 个元素的子集有2n 个. n 个元素的真子集有2n －1个. n 个元素的非空真子集有2n －2个. [注]①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 2、集合运算：交、并、补. {|,}{|} {,} A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ?∈∈?∈∈?∈?U 交：且并：或补：且C （三）简易逻辑构成复合命题的形式：p 或q(记作“p ∨q ” )；p 且q(记作“p ∧q ” )；非p(记作“┑q ” ) 。 1、“或”、 “且”、 “非”的真假判断 4、四种命题的形式及相互关系：原命题：若P 则q ；逆命题：若q 则p ；否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。 ①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 ②、原命题为真，它的否命题不一定为真。 ③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。 6、如果已知p ?q 那么我们说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。

若p ?q 且q ?p,则称p 是q 的充要条件，记为pq. 第二章-函数一、函数的性质（1）定义域：（2）值域：（3）奇偶性：（在整个定义域内考虑） ①定义：偶函数： )()(x f x f =-，奇函数：)()(x f x f -=- ②判断方法步骤：a.求出定义域；b.判断定义域是否关于原点对称；c.求 )(x f -；d.比较)()(x f x f 与-或)()(x f x f --与的关系。定义：对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2, ⑴若当x 1f(x 2),则说f(x) 在这个区间上是减函数. 二、指数函数与对数函数 x 且对数函数y=log a x （a>0且a ≠1）的图象和性质:

高考数学数列题型专题汇总

高考数学数列题型专题汇总公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]

高考数学数列题型专题汇总一、选择题 1、已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞ →lim .下列条件中，使得()*∈q a （B ）6.07.0,01-<<-q a （D ）7.08.0,01-<<-

A ．{}n S 是等差数列 B ．2{}n S 是等差数列 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}n d 是等差数列【答案】A 二、填空题 1、已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则 6=S _______.. 【答案】6 2、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意 *∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________. 【答案】4 3、设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2a n 的最大值为 . 【答案】64 4、设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *，则 a 1= ，S 5= . 【答案】1 121

高考数学题型全归纳：数学家高斯的故事(含答案)

数学家高斯的故事高斯(Gauss,1777—1855)、著名的德国数学家。1777年4月30日出生在德国的布伦兹维克。父亲是一个砌砖工人,没有什么文化。还在少年时代、高斯就显示出了他的数学才能。据说、一天晚上,父亲在计算工薪账目、高斯在旁边指出了其中的错误、令父亲大吃一惊。10岁那年、有一次老师让学生将1、2、3、…连续相加、一直加到100、即1+2+3+…+100。高斯没有像其他同学那样急着相加、而是仔细观察、思考、结果发现： 1+100=101、2+99=101、3+98=101、…、50+51=101一共有50个101、于是立刻得到： 1+2+3+…+98+99+100=50×101=5050 老师看着小高斯的答卷、惊讶得说不出话。其他学生过了很长时间才交卷、而且没有一个是算对的。从此、小高斯“神童”的美名不胫而走。村里一位伯爵知道后、慷慨出钱资助高斯、将他送入附近的最好的学校进行培养。中学毕业后、高斯进入了德国的哥廷根大学学习。刚进入大学时、还没立志专攻数学。后来听了数学教授卡斯特纳的讲课之后、决定研究数学。卡斯特纳本人并没有多少数学业绩、但他培养高斯的成功、足以说明一名好教师的重要作用。从哥廷根大学毕业后、高斯一直坚持研究数学。1807年成为该校的数学教授和天文台台长、并保留这个职位一直到他逝世。高斯18岁时就发明了最小二乘法、19岁时发现了正17边形的尺规作图法、并给出可用尺规作出正多边形的条件、解决了这个欧几里得以来一直悬而未决的问题。为了这个发现、在他逝世后、哥廷根大学为他建立了一个底座为17边形棱柱的纪念像。

对代数学、高斯是严格证明代数基本定理的第一人。他的《算术研究》奠定了近代数论的基础、该书不仅在数论上是划时代之作、就是在数学史上也是不可多得的经典著作之一。高斯还研究了复数、提出所有复数都可以用平面上的点来表示、所以后人将“复平面”称为高斯平面、高斯还利用平面向量与复数之间的一一对应关系、阐述了复数的几何加法与乘法、为向量代数学奠定了基础。1828年高斯出版《关于曲面的一般研究》、全面系统地阐述了空间曲面的微分几何学。并提出了内蕴曲面理论。高斯的数学研究几乎遍及当时的所有数学领域、而且在不少方面的研究走在了时代的前列。他在数学历史上的影响可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列。高斯一生共有155篇论文。他治学严谨、把直观的概念作为入门的向导、然后试图在完整的逻辑体系上建立其数学的理论。他为人谨慎、他的许多数学思想与结果从不轻易发表、而且、他的论文很少详细写明思路。所以有的人说：“这个人、像狐狸似的、把沙土上留下的足迹、用尾巴全部扫掉。”

高考数学题型归纳完整版

第一章集合与常用逻辑用语第一节集合题型1-1 集合的基本概念题型1-2 集合间的基本关系题型1-3 集合的运算第二节命题及其关系、充分条件与必要条件题型1-4 四种命题及关系题型1-5 充分条件、必要条件、充要条件的判断与证明题型1-6 求解充分条件、必要条件、充要条件中的参数取值范围第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词题型1-7 判断命题的真假题型1-8 含有一个量词的命题的否定题型1-9 结合命题真假求参数的取值范围第二章函数第一节映射与函数题型2-1 映射与函数的概念题型2-2 同一函数的判断题型2-3 函数解析式的求法第二节函数的定义域与值域（最值）题型2-4 函数定义域的求解题型2-5 函数定义域的应用题型2-6 函数值域的求解第三节函数的性质——奇偶性、单调性、周期性题型2-7 函数奇偶性的判断题型2-8 函数单调性（区间）的判断题型2-9 函数周期性的判断题型2-10 函数性质的综合应用第四节二次函数题型2-11 二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系题型2-12 二次方程的实根分布及条件题型2-13 二次函数“动轴定区间” “定轴动区间”问题第五节指数与指数函数题型2-14 指数运算及指数方程、指数不等式题型2-15 指数函数的图象及性质题型2-16 指数函数中恒成立问题第六节对数与对数函数题型2-17 对数运算及对数方程、对数不等式题型2-18 对数函数的图象与性质题型2-19 对数函数中恒成立问题第七节幂函数题型2-20 求幂函数的定义域题型2-21 幂函数性质的综合应用第八节函数的图象题型2-22 判断函数的图象题型2-23 函数图象的应用第九节函数与方程题型2-24 求函数的零点或零点所在区间题型2-25 利用函数的零点确定参数的取值范围题型2-26 方程根的个数与函数零点的存在性问题第十节函数综合题型2-27 函数与数列的综合题型2-28 函数与不等式的综合题型2-29 函数中的信息题第三章导数与定积分第一节导数的概念与运算题型3-1 导数的定义题型3-2 求函数的导数第二节导数的应用题型3-3 利用原函数与导函数的关系判断图像题型3-4 利用导数求函数的单调性和单调区间题型3-5 函数的极值与最值的求解题型3-6 已知函数在区间上单调或不单调，求参数的取值范围题型3-7 讨论含参函数的单调区间题型3-8 利用导数研究函数图象的

高考数学主要考查哪些知识点

2019年高考数学主要考查哪些知识点第一，函数与导数。主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。第二，平面向量与三角函数、三角变换及其应用。这一部分是高考的重点但不是难点，主要出一些基础题或中档题。第三，数列及其应用。这部分是高考的重点而且是难点，主要出一些综合题。第四，不等式。主要考查不等式的求解和证明，而且很少单独考查，主要是在解答题中比较大小。是高考的重点和难点。第五，概率和统计。这部分和我们的生活联系比较大，属应用题。第六，空间位置关系的定性与定量分析，主要是证明平行或垂直，求角和距离。第七，解析几何。是高考的难点，运算量大，一般含参数。 “教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。只是更早的“先生”概念并非源于教书，最初出现的“先生”一词也并非有传授知识那般的含义。《孟子》中的“先生何为出此言也？”；《论语》中的“有酒食，先生馔”；《国策》中的“先生坐，何至于此？”等等，均指“先生”为父兄或有学问、有德行的长辈。其实《国策》中本身就有“先生长者，有德之称”的说法。可见“先生”之原意非真正的“教师”之意，倒是与当今“先生”的称呼更接近。看来，“先生”之本源含义在于礼貌和尊称，并非具学问者的专称。称“老师”

为“先生”的记载，首见于《礼记?曲礼》，有“从于先生，不越礼而与人言”，其中之“先生”意为“年长、资深之传授知识者”，与教师、老师之意基本一致。高考对数学基础知识的考查，既全面又突出重点，扎实的数学基础是成功解题的关键。针对数学高考强调对基础知识与基本技能的考查我们一定要全面、系统地复习高中数学的基础知识，正确理解基本概念，正确掌握定理、原理、法则、公式、并形成记忆，形成技能。以不变应万变。唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义已经相去甚远。而对那些特别讲授“武事”或讲解“经籍”者，又称“讲师”。“教授”和“助教”均原为学官称谓。前者始于宋，乃“宗学”“律学”“医学”“武学”等科目的讲授者；而后者则于西晋武帝时代即已设立了，主要协助国子、博士培养生徒。“助教”在古代不仅要作入流的学问，其教书育人的职责也十分明晰。唐代国子学、太学等所设之“助教”一席，也是当朝打眼的学官。至明清两代，只设国子监（国子学）一科的“助教”，其身价不谓显赫，也称得上朝廷要员。至此，无论是“博士”“讲师”，还是“教授”“助教”，其今日教师应具有的基本概念都具有了。对数学思想和方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时与数学知识相结合。对数学能力的考查，强调“以能力立意”，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，侧

高考数学必备知识点总结

2019年高考数学必备知识点总结 1、混淆命题的否定与否命题命题的“否定”与命题的“否命题”是两个不同的概念，命题p 的否定是否定命题所作的判断，而“否命题”是对“若p，则q”形式的命题而言，既要否定条件也要否定结论。 2、忽视集合元素的三性致误集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。 3、判断函数奇偶性忽略定义域致误判断函数的奇偶性，首先要考虑函数的定义域，一个函数具备奇偶性的必要条件是这个函数的定义域关于原点对称，如果不具备这个条件，函数一定是非奇非偶函数。 4、函数零点定理使用不当致误如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是一条连续的曲线，并且有f（a）f（b）0，那么，函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，但f（a）f（b）0时，不能否定函数y=f（x）在（a，b）内有零点。函数的零点有“变号零点”和“不变号零点”，对于“不变号零点”函数的零点定理是“无能为力”的，在解决函数的零点问题时要注意这个问题。 5、函数的单调区间理解不准致误在研究函数问题时要时时刻刻想到“函数的图像”，学会从函

数图像上去分析问题、寻找解决问题的方法。对于函数的几个不同的单调递增（减）区间，切忌使用并集，只要指明这几个区间是该函数的单调递增（减）区间即可。 6、三角函数的单调性判断致误对于函数y=Asin（ωx+φ）的单调性，当ω0时，由于内层函数u=ωx+φ是单调递增的，所以该函数的单调性和y=sin x 的单调性相同，故可完全按照函数y=sin x的单调区间解决；但当ω0时，内层函数u=ωx+φ是单调递减的，此时该函数的单调性和函数y=sinx的单调性相反，就不能再按照函数 y=sinx的单调性解决，一般是根据三角函数的奇偶性将内层函数的系数变为正数后再加以解决。对于带有绝对值的三角函数应该根据图像，从直观上进行判断。 7、向量夹角范围不清致误解题时要全面考虑问题。数学试题中往往隐含着一些容易被考生所忽视的因素，能不能在解题时把这些因素考虑到，是解题成功的关键，如当a·b0时，a与b的夹角不一定为钝角，要注意θ=π的情况。 8、忽视零向量致误零向量是向量中最特殊的向量，规定零向量的长度为0，其方向是任意的，零向量与任意向量都共线。它在向量中的位置正如实数中0的位置一样，但有了它容易引起一些混淆，稍微考虑不到就会出错，考生应给予足够的重视。

上海高考数学知识点重点详解

{}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 高考前数学知识点总结 1. 对于集合，一定要抓住集合的元素一般属性，及元素的“确定性、互异性、无序性”。中元素各表示什么？ 2．数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或文氏图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决； 3.已知集合A 、B ，当A B ?=?时，你是否注意到“极端”情况：A =?或B =?； 4. 注意下列性质：（1）对于含有n 个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为n 2，n 21-， n 21-， n 2 2.- （）若，；2A B A B A A B B ??== （3）：空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集。 5. 学会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 6.可以判断真假的语句叫做命题。若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧若为真，当且仅当、至少有一个为真p q p q ∨ 7. 命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题。）原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 8.注意四种条件，判断清楚谁是条件，谁是结论； 9. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域） 10. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 11. 如何求复合函数的定义域？ 12. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，需注明函数的定义域。 13. 反函数存在的条件是什么？（一一对应函数）求反函数的步骤掌握了吗？（①反解x ，注意正负的取舍；②互换x 、y ；③反函数的定义域是原函数的值域） 14. 反函数的性质有哪些？ ①互为反函数的图象关于直线y ＝x 对称；②保存了原来函数的单调性、奇函数性；