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北师大版八年级数学下册 特殊的三角形 专题(附答案)

北师大版八年级数学下册 特殊的三角形 专题(附答案)
北师大版八年级数学下册 特殊的三角形 专题(附答案)

综合滚动练习:特殊的三角形

时间:45分钟分数:100分得分:________

一、选择题(每小题4分,共32分)

1.已知一个等腰三角形底角的度数为80°,则这个等腰三角形顶角的度数为() A.20°B.70°C.80°D.100°

2.已知等腰三角形的一边长为6,一个内角为60°,则它的周长是()

A.12 B.15 C.18 D.20

3.如图,要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是()

A.AC=A′C′,BC=B′C′

B.∠A=∠A′,AB=A′B′

C.AC=A′C′,AB=A′B′

D.∠B=∠B′,BC=B′C′

第3题图第4题图4.如图,△ABC是等边三角形,P为BC上一点,在AC上取一点D,使AD=AP,且∠APD=70°,则∠P AB的度数是()

A.10°B.15°C.20°D.25°

5.如图,AD⊥BC,D是BC的中点,那么下列结论错误的是()

A.△ABD≌△ACD

B.∠B=∠C

C.△ABC是等腰三角形

D.△ABC是等边三角形

第5题图第6题图

6.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,E为BC延长线上一点,∠ABC与∠ACE 的平分线相交于点D,则∠D的度数为()

A.15°B.17.5°C.20°D.22.5°

7.(2017·滨州中考)如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,且DA=DC,BD =BA,则∠B的大小为【方法1②】()

A.40°B.36°C.30°D.25°

第7题图第8题图

8.★如图,∠AOB=120°,OP平分∠AOB,且OP=2.若点M,N分别在OA,OB上,且△PMN为等边三角形,则满足上述条件的△PMN有()

A.1个

B.2个

C.3个

D.3个以上

二、填空题(每小题4分,共24分)

9.如图,已知∠B=∠C,从①BE=CE,②AB=DC,③∠BAE=∠CDE这三个等式中选出一个作为条件,可以推出△AED是等腰三角形的有________(填序号).

第9题图第11题图

10.若△ABC的三边a,b,c满足条件:a-3+b-4+c-5=0,则△ABC是________三角形.

11.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,则∠DAC+∠C=________°.

12.如图,在三角形纸片ABC中,∠C=90°,∠B=30°.折叠该纸片,使点C落在点E 处,折痕为AD.若CD=3cm,则BD的长为________cm.

第12题图第13题图

13.如图,已知∠AOB=60°,点P在OA上,OP=8,点M、N在边OB上,PM=PN.若MN=2,则OM=________.

14.(2017·淄博中考)如图,在边长为4的等边三角形ABC中,D为BC边上的任意一点,过点D分别作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,则DE+DF=________.

三、解答题(共44分)

15.(8分)如图,树AB垂直于地面,为测树高,小明在C处,测得∠ACB=15°,他沿CB方向走了20米,到达D处,测得∠ADB=30°,你能帮助小明计算出树的高度吗?

16.(10分)如图,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,F为AB延长线上一点,点E 在BC上,且AE=CF.请判断AE与CF的位置关系,并说明理由.

17.(12分)如图,在四边形ABCD中,AB=AD=8,∠A=60°,∠D=150°,四边形的周长为32,求BC和CD的长.

18.★(14分)如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=110°,∠BOC=α.以OC为一边作等边△OCD,连接AD.

(1)当α=150°时,试判断△AOD的形状,并说明理由;

(2)探究:当α为多少度时,△AOD是等腰三角形?

参考答案

1.A 2.C 3.C 4.C 5.D 6.A7.B

8.D解析:如图,在OA,OB上截取OE=OF=OP,作∠MPN=60°.∵OP平分∠AOB,

北师大版八年级数学上册知识点总结

北师大版八年级上册数学整理总结 第一章 勾股定理 1、勾股定理 直角三角形两直角边a ,b 的平方和等于斜边c 的平方,即222c b a =+ 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ,b ,c 有关系222c b a =+,那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数:满足222c b a =+的三个正整数,称为勾股数。 第二章 实数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数:无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一时之,归纳起来有四类: (1)开方开不尽的数,如32,7等; (2)有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含有π的数,如3 π+8等; (3)有特定结构的数,如0.1010010001…等; (4)某些三角函数值,如sin60o 等 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零),从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如果a 与b 互为相反数,则有a+b=0,a=—b ,反之亦成立。 2、绝对值 在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离,叫做该数的绝对值。(|a|≥0)。零的绝对值是它本身,也可看成它的相反数,若|a|=a ,则a≥0;若|a|=-a ,则a≤0。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数,则有ab=1,反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时,要注意上述规定的三要素缺一不可)。 解题时要真正掌握数形结合的思想,理解实数与数轴的点是一一对应的,并能灵活运用。 5、估算 三、平方根、算数平方根和立方根

北师大版八年级下册《三角形的证明》培优提高

三角形的证明单元检测卷 1.(4分)(2013?钦州)等腰三角形的一个角是80°,则它顶角的度数是 () A.80°B.80°或20°C.80°或50°D.20° 2.(4分)下列命题的逆命题是真命题的是() A.如果a>0,b>0,则a+b>0 B.直角都相等C.两直线平行,同位角相等D.若a=6,则|a|=|b| 3.△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,最小边BC=4 cm,最长边AB的长是 A.5cm B.6cm C.7cm D.8cm 4.(4分)如图,已知AE=CF,∠AFD=∠CEB,那么添加 下列一个条件后,仍无法判定△ADF≌△CBE的是() A.∠A=∠C B.AD=CB C.B E=DF D.A D∥BC 5.(4分)如图,在△ABC中,∠B=30°,BC的垂直平 分线交AB于E,垂足为D.若ED=5,则CE的长为 () A.10 B . 8 C.5D.2.5 6.如图,D为△ABC内一点,CD平分∠ACB, BE⊥CD,垂足为D,交AC于点E, ∠A=∠ABE.若AC=5,BC=3,则BD的长为 () A.2.5 B.1.5 C.2D.1 7.(4分)如图,AB=AC,BE⊥AC于点E,CF⊥AB 于点F,BE、CF相交于点D,则①△ABE≌△ACF; ②△BDF≌△CDE;③点D在∠BAC的平分线上.以 上结论正确的是()A.①B.②C.①②D.①②③8.(4分)如图所示,AB⊥BC,DC⊥BC,E是BC上一点, ∠BAE=∠DEC=60°,AB=3,CE=4,则AD等于() A.10 B.12 C.24 D.48 9.如图所示,在△ABC中,AB=AC,D、E是△ABC内两点,AD平分 ∠BAC.∠EBC=∠E=60°,若BE=6,DE=2,则BC的长度是()A. 6 B.8 C.9 D.10 10.(4分)(2013?遂宁)如图,在△ABC中,∠C=90°, ∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB、AC于 点M和N,再分别以M、N 为圆心,大于MN的长为半径画 弧,两弧交于点P,连结AP并延长交BC于点D,则下列说 法中正确的个数是() ①AD是∠BAC的平分线;②∠ADC=60°;③点D在AB的 中垂线上;④S△DAC:S△ABC=1:3. A.1B.2C.3D.4 12.(4分)如图,在平面直角坐标系xOy中,A(0, 2),B(0,6),动点C在直线y=x上.若以A、B、C三 点为顶点的三角形是等腰三角形,则点C的个数是 () A.2B.3C.4D.5 13.(4分)如图,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,F是AB边上的中点,点D,E分别在AC,BC边上运动,且保持AD=CE.连接DE,DF,EF.在此运动变化的过程中,下列结论: ①△DFE是等腰直角三角形; ②四边形CDFE不可能为正方形, ③DE长度的最小值为4;

七年级下北师大版三角形单元测试

第五章三角形单元复习题 一、选择题 1.一个钝角三角形的三条角平分线所在的直线一定交于一点,这交点一定在 ( ) A.三角形内部B.三角形的一边上 C.三角形外部D.三角形的某个顶点上 2.下列长度的各组线段中,能组成三角形的是 ( ) A.4、5、6 B.6、8、15 C.5、7、12 D.3、9、13 3.在锐角三角形中,最大角α的取值范围是 ( ) A.0°<α<90°B.60°<α<90° C.60°<α<180°D.60°≤α<90° 4.下列判断正确的是 ( ) A.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 B.有两边对应相等,且有一角为30°的两个等腰三角形全等 C.有一角和一条边对应相等的两个直角三角形全等 D.有两角和一边对应相等的两个三角形全等 5.等腰三角形的周长为24cm,腰长为xcm,则x的取值范围是( ) A.x<6 B.6<x<12 C.0<x<12 D.x>12 6.已知△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C满足关系式∠B+∠C=3∠A.则此三角形 ( ) A.一定有一个内角为45° B.一定有一个内角为60° C.一定是直角三角形 D.一定是钝角三角形 7.三角形内有一点,它到三边的距离相等,则这点是该三角形的 ( ) A.三条中线交点B.三条角平分线交点 C.三条高线交点D.三条高线所在直线交点 8.已知等腰三角形的一个角为75°,则其顶角为 ( ) A.30°B.75°

C.105°D.30°或75° 9.如图5—124,直线l、l'、l''表示三条相互交叉的公路,现计划建 一个加油站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有 ( ) A.一处B.二处 C.三处D.四处 10.三条线段长度分别为3、4、6,则以此三条线段为边所构成的三角 形按角分类是 ( ) A.锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形D.根本无法确定 二、填空题 1.如果△ABC中,两边a=7cm,b=3cm,则c的取值范围是_________;第三边为奇数的所有可能值为_________;周长为偶数的所有可能值为_________. 2.四条线段的长分别是5cm,6cm,8cm,13cm,以其中任意三条线段为边可以构成______个三角形. 3.过△ABC的顶点C作边AB的垂线将∠ACB分为20°和40°的两个角,那么∠A,∠B 中较大的角的度数是____________. 4.在Rt△ABC中,锐角∠A的平分线与锐角∠B的平分线相交于点D,则∠ADB=______.5.如图5—125,∠A=∠D,AC=DF,那么需要补充一个直接条件________(写出一个即可),才能使△ABC≌△DEF. 6.三角形的一边上有一点,它到三个顶点的距离相等,则这个三角形是_______三角形.7.△ABC中,AB=5,BC=3,则中线BD的取值范围是_________. 8.如图5—126,△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB,CM平分AB,CE平分∠DCM,则∠ACE 的度数是______.

八年级数学上册知识点总结(北师大版)

《数学》(八年级上册)知识点总结(北师大版) 第一章 勾股定理 1、勾股定理-----已知直角三角形,得边的关系 直角三角形两直角边a ,b 的平方和等于斜边c 的平方,即2 2 2 c b a =+ 2、勾股定理的逆定理-----由边的关系,判断直角三角形 如果三角形的三边长a ,b ,c 有关系2 2 2 c b a =+,那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数:满足2 2 2 c b a =+的三个正整数a ,b ,c ,称为勾股数。 常见的勾股数有:(6,8,10)(3,4,5)(5,12,,13)(9,12,15)(7,24,25)(9,40,41)…… 规律:(1)、短直角边为奇数,另一条直角边与斜边是两个连续的自然数,两边之和是短直角边的 平方。即当a 为奇数且a <b 时,如果2 b c a +=,那么a,b,c 就是一组勾股数. 如:(3,4,5)(5,12,,13)(7,24,25)(9,40,41)…… (2)大于2的任意偶数,2n(n >1)都可构成一组勾股数分别是:2 2 2,1,1n n n -+ 如:(6,8,10)(8,15,17)(10,24,26)…… 4、常见题型应用: (1)已知任意两条边的长度,求第三边/斜边上的高线/周长/面积…… (2)已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系,求各边的长度//斜边上的高线/周长/面 积…… (3)判定三角形形状: 222a b c +> 锐角三角形,222a b c +=直角三角形,222a b c +<钝角三角形 判定直角三角形 a..找最长边; b.比较长边的平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系; c.确定形状 第二章 实数 1. 无理数的引入。无理数的定义无限不循环小数。

(完整word)新北师大版八年级下册《三角形的证明》

三角形的证明 【知识点一:全等三角形的判定与性质】 1.判定和性质 一般三角形 直角三角形 判定 边角边(SAS )、角边角(ASA ) 角角边(AAS )、边边边(SSS ) 具备一般三角形的判定方法 斜边和一条直角边对应相等(HL ) 性质 对应边相等,对应角相等 对应中线相等,对应高相等,对应角平分线相等 2.证题的思路: ? ? ? ?? ??? ???? ? ???????? ?????????????? ??)找任意一边()找两角的夹边(已知两角)找夹已知边的另一角() 找已知边的对角()找已知角的另一边(边为角的邻边)任意角(若边为角的对边,则找已知一边一角)找第三边() 找直角()找夹角(已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 【典型例题】 1.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示,则能说明∠AOC =∠BOC 的依据是( ) A .SSS B .ASA C .AAS D .角平分线上的点到角两边距离相等 2.下列说法中,正确的是( ) A .两腰对应相等的两个等腰三角形全等 B .两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 C .两锐角对应相等的两个直角三角形全等 D .面积相等的两个三角形全等 3.如图,△ABC ≌ΔAD E ,若∠B =80°,∠C =30°,∠DAC =35°, 则∠EAC 的度数为( ) A .40° B .35° C .30° D .25° 4.已知:如图,在△MPN 中,H 是高MQ 和NR 的交点,且MQ =NQ .求证:HN =PM .

5.用三角板可按下面方法画角平分线:在已知∠AOB的两边上,分别取OM=ON(如图5-7),再分别过点M、N 作OA、OB的垂线,交点为P,画射线OP,则OP平分∠AOB,请你说出其中的道理. 图5-7 【巩固练习】 1.下列说法正确的是() A.一直角边对应相等的两个直角三角形全等B.斜边相等的两个直角三角形全等 C.斜边相等的两个等腰直角三角形全等D.一边长相等的两等腰直角三角形全等 2.如图,在△ABC中,D、E分别是边AC、BC上的点,若△ADB≌ △EDB≌△EDC,则∠C的度数为() A.15°B.20°C.25°D.30° 3.如图,已知△ABC的六个元素,则下面甲、乙、丙三个三角形中,和△ABC全等的图形是() A.甲和乙B.乙和丙C.只有乙D.只有丙 4.如图4-9,已知ΔABC≌ΔA'B'C',AD、A'D'分别是ΔABC和ΔA'B'C'的角平分线. (1)请证明AD=A'D'; (2)把上述结论用文字叙述出来; (3)你还能得出其他类似的结论吗? 图4-9

北师大版七年级数学下册《三角形》知识点汇总

北师大版七年级数学下册《三角形》知识点 汇总 一、三角形及其有关概念 三角形:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角,简称三角形的角。 三角形的表示:三角形用符号“Δ”表示,顶点是A、B、c的三角形记作“ΔABc”,读作“三角形ABc”。 三角形的三边关系: 三角形任意两边之和大于第三边。 三角形任意两边之差小于第三边。 作用:判断三条已知线段能否组成三角形当已知两边时,可确定第三边的范围。证明线段不等关系。 一般地,对于三角形的某一条边a来说,一定有|b-c|<a<b+c成立;反之,只有|b-c|<a<b+c成立,a、b、c 三条线段才能构成三角形;特殊地,如果已知线段a最大,只要满足b+c>a,那么a、b、c三条线段就能构成三角形;如果已知线段a最小,只要满足|b-c|<a,那么这三条线段就能构成三角形。 三角形的内角的关系:

三角形三个内角和等于180°直角三角形的两个锐角互余。 三角形的稳定性:三角形的形状是固定的,三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。四边形具有不稳定性。 三角形的分类: 三角形按边分类: 不等边三角形 三角形底和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 等边三角形,也叫正三角形。 三角形按角分类: 直角三角形 三角形锐角三角形 斜三角形 钝角三角形 把边和角联系在一起,我们又有一种特殊的三角形:等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。 三角形的三种重要线段: 三角形的中线: 定义:在三角形中,连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。 性质:三角形的三条中线交于一点,交点在三角形的内

初二数学上册北师大版知识点总结

北师大版八年级上册数学知识点总结 第一章 勾股定理 1、勾股定理 (1)直角三角形两直角边a ,b 的平方和等于斜边c 的 平方,即2 22c b a =+ (2)勾股定理的验证:测量、数格子、拼图法、面积法,如青朱出入图、五巧板、玄图、总统证法……(通过面积的不同表示方法得到验证,也叫等面积法或等积法) (3)勾股定理的适用范围:仅限于直角三角形 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ,b ,c 有关系2 22c b a =+,那 么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数:满足2 22c b a =+的三个正整数a ,b , c ,称为勾股数。 常见的勾股数有:(6,8,10)(3,4,5)(5,12,,13)(9,12,15)(7,24,25)(9,40,41)…… 规律:(1),短直角边为奇数,另一条直角边与斜边是两个连续的自然数,两边之和是短直角边的平方。即当a 为奇数且a <b 时,如果b+c=a2那么a,b,c 就是一组勾股数.如(3,4,5)(5,12,,13)(7,24,25)(9,40,41)…… (2)大于2的任意偶数,2n(n >1)都可构成一组 勾股数分别是:2n,n2-1,n2+1 如:(6,8,10)(8,15,17)(10,24,26)…… 4、常见题型应用: (1)已知任意两条边的长度,求第三边/斜边上的高线/周长/面积…… (2)已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系,求各边的长度//斜边上的高线/周长/面积…… (3)判定三角形形状: a2 +b2>c2锐角~,a2 +b2=c2直角~,a2 +b2<c2钝角~ 判定直角三角形a..找最长边;b.比较长边的平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系;c.确定形状 (4)构建直角三角形解题 例1. 已知直角三角形的两直角边之比为3:4,斜边为 10。求直角三角形的两直角边。 解:设两直角边为3x ,4x ,由题意知: ∴x=2,则3x=6,4x=8,故两直角边为6,8。 中考突破 (1)中考典题 例. 如图(1)所示,一个梯子AB 长2.5米,顶端A 靠在墙AC 上,这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米,梯子滑动后停在DE 位置上,如图(2)所示,测得 得BD=0.5米,求梯子顶端A 下落了多少米? 思维入门指导:梯子顶端A 下落的距离为AE ,即求AE 的长。已知AB 和BC ,根据勾股定理可求AC ,只要求出EC 即可。 解:在Rt △ACB 中,AC2=AB2-BC2=2.52-1.52=4, ∴AC=2 ∵BD=0.5,∴CD=2 ∴EC=1.5 答:梯子顶端下滑了0.5米。 点拨:要考虑梯子的长度不变。 例5. 如图所示的一块地,AD=12m ,CD=9m ,∠ADC=90°,AB=39m ,BC=36m ,求这块地的面积。 思维入门指导:求面积时一般要把不规则图形分割成规则图形,若连结BD ,似乎不 解:连结AC ,在Rt △ADC 中, 在△ABC 中,AB2=1521 答:这块地的面积是216平方米。 点拨:此题综合地应用了勾股定理和直角三角形判定条件。 第二章 实数 基本知识回顾 1. 无理数的引入。无理数的定义无限不循环小数。 得要领,连结,求出即可。AC S S ABC ACD ??-

北师大版八年级下册数学第一章三角形测试题

第1题 第2题 第3题 启用前绝密 2017—2018学年度第二学期阶段性测试题 八年级下册数学(第一章) 出题人:分数: 注意事项 1. 本试卷满分150分,考试时间120分钟。 2. 请将密封线内的项目填写清楚。 一、选择题(每小题3分,共36分) 1、如图,在△ABC 和△DEF 中,已知AC=DF ,BC=EF ,要使△ABC ≌△ DEF ,还需要的条件是( ) A.∠A=∠D B.∠ACB=∠F C.∠B=∠DEF D.∠ACB=∠D 2、如图,△ABC 中,AB=AC ,点D 在AC 边上,且BD=BC=AD ,则∠A 的度数为( ) A.30° B.36° C.45° D.70° 3、如图,△ABC ≌△AEF ,AB =AE ,∠B =∠E ,则对于结论 ①AC =AF ;②∠FAB =∠EAB ;③EF =BC ;④∠EAB =∠FAC ,其中正确结论的个数是() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4、已知等腰三角形的两边长分别为5㎝、2㎝,则该等腰三角形 的周长是( ) A .7㎝ B .9㎝ C .12㎝或者9㎝ D .12㎝ 5、一个等腰三角形的顶角是40°,则它的底角是() A .40° B .50° C .60° D .70° 6、到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形( )的交点. A.三个内角平分线 B.三边垂直平分线 C.三条中线 D.三条高

第6题图 7、△ABC 中,AB = AC ,BD 平分∠ABC 交AC 边于点D ,∠BDC = 75°,则∠A 的度数为( ) A 35° B 40° C 70° D 110° 8、如图,已知在△ABC 中,AB=AC ,D 为BC 上的一点BE=CD ,CF=BD ,那么∠EDF 等于( ) A. 90°-∠A B.90°-2 1 ∠A C.45°-2 1∠A D.180°-∠A 9、如图,等边△ABC 中,BD=CE ,AD 与BE 相交于点P ,则∠APE 的度数是( ) A 45° B 55° C 60° D 75° 10、如图,AB=CD ,AE ⊥BD 于E ,CF ⊥BD 于F ,AE=CF ,则下列结论错 误的是() A. BC=AD 且BC ∥AD B. AB ∥CD C.AB=DE D. △ABD≌△CDB 11、如图,AB ∥CD ,AD ⊥CD 于D ,AE ⊥BC 于E ,∠DAC=35°,AD=AE , 则∠B=() A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 12、如图,等边△ABC 中,BD=CE ,AD 与BE 度数是( ) A 45° B 55° C 60° D 75° 二、填空题。(每小题3分,共24分) 13、在△ABC 中,AB =AC ,∠BAC =120°,延长BC 到D ,使CD =AC ,

北师大版三角形的证明

等腰三角形(基础)知识讲解 【学习目标】 1. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性; 2. 掌握等腰三角形、等边三角形的性质,会利用这些性质进行简单的推理、证明、计算和作图. 3. 理解并掌握等腰三角形、等边三角形的判定方法及其证明过程. 通过定理的证明和应用,初步了解转化思想,并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力. 4. 理解反证法并能用反证法推理证明简单几何题. 【要点梳理】 要点一、等腰三角形的定义 1.等腰三角形 有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形,其中相等的两条边叫做腰,另一边叫做底,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示,在△ABC中,AB=AC,△ABC是等腰三角形,其中AB、AC为腰,BC为底边,∠A是顶角,∠B、∠C是底角. 2.等腰三角形的作法 已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a. 作法:1.作线段BC=a; 2.分别以B,C为圆心,以b为半径画弧,两弧 相交于点A; 3.连接AB,AC. △ABC为所求作的等腰三角形 3.等腰三角形的对称性 (1)等腰三角形是轴对称图形; (2)∠B=∠C; (3)BD=CD,AD为底边上的中线. (4)∠ADB=∠ADC=90°,AD为底边上的高线. 结论:等腰三角形是轴对称图形,顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴. 4.等边三角形 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形,有三条对称轴,每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. 要点诠释:(1)等腰三角形的底角只能为锐角,不能为钝角(或直角),但顶角可为 钝角(或直角).∠A=180°-2∠B,∠B=∠C=180 2 A ?-∠ . (2)等边三角形与等腰三角形的关系:等边三角形是特殊的等腰三角形,等腰三角形不一定是等边三角形. 要点二、等腰三角形的性质 1.等腰三角形的性质

北师大版八年级数学上册易错题整理(供参考)

1、一支蜡烛长20厘米,.点燃后每小时燃烧5厘米,燃烧时剩下的高度n (厘米)与燃烧时间t(时)的函数关系的图象是( ) A B C D 2、已知正比例函数kx y =(0≠k )的函数值y 随x 的增大而增大,则一次函数k x y +=的图象大致是( ) A C D 3、甲、乙两人同时沿着一条笔直的公路朝同一方向前行,开始时,乙在甲前2千米处, 甲、乙两人行走的路程S (千米)与时间t (时)的函数图象(如图所示),下列说法正 确的是( ) A 、乙的速度为4千米/时 B 、经过1小时,甲追上乙 C 、经过0.5小时,乙行走的路程约为2千米 D 、经过1.5小时,乙在甲的前面 4、当14+a 的值为最小值时,a 的取值为( ) A 、-1 B 、0 C 、4 1 - D 、1 5、若错误!未找到引用源。是169的算术平方根,错误!未找到引用源。是121的负的平方根,则(错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。)2的平方根为( ) A. 2 B. 4 C.±2 D. ±4 6、满足-3<x <5的整数x 是( ) A 、-2,-1,0,1,2,3 B 、-1,0,1,2,3 C 、-2,-1,0,1,2 D 、-1,0,1,2 7、如图,有一圆柱,它的高等于8cm ,底面直径等于4cm (π=3).在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁,它想吃到上底面与A 相对的B 点处的食物,需要爬行的最短路程大约等于 ( ) A .10cm B .12 cm C .19cm D .20cm 8、直线y kx b =+经过点(1,)A m -,(,1)B m (1)m >,则必有( ) A. 0,0k b >> .0,0B k b >< .0,0C k b <> .0,0D k b << 9、如果0ab >, 0a c <,则直线a c y x b b =-+不通过( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 10、如图,两直线1y kx b =+和2y bx k =+在同一坐标系内图象的位置可能是( ) x y x y x y x y O O O O S(千米) 1 2 3 4 0.5 1 乙 甲 O t (时)

北师大版八年级数学下册 特殊的三角形 专题(附答案)

综合滚动练习:特殊的三角形 时间:45分钟分数:100分得分:________ 一、选择题(每小题4分,共32分) 1.已知一个等腰三角形底角的度数为80°,则这个等腰三角形顶角的度数为() A.20°B.70°C.80°D.100° 2.已知等腰三角形的一边长为6,一个内角为60°,则它的周长是() A.12 B.15 C.18 D.20 3.如图,要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是() A.AC=A′C′,BC=B′C′ B.∠A=∠A′,AB=A′B′ C.AC=A′C′,AB=A′B′ D.∠B=∠B′,BC=B′C′ 第3题图第4题图4.如图,△ABC是等边三角形,P为BC上一点,在AC上取一点D,使AD=AP,且∠APD=70°,则∠P AB的度数是() A.10°B.15°C.20°D.25° 5.如图,AD⊥BC,D是BC的中点,那么下列结论错误的是() A.△ABD≌△ACD B.∠B=∠C C.△ABC是等腰三角形 D.△ABC是等边三角形 第5题图第6题图 6.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,E为BC延长线上一点,∠ABC与∠ACE 的平分线相交于点D,则∠D的度数为() A.15°B.17.5°C.20°D.22.5° 7.(2017·滨州中考)如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,且DA=DC,BD =BA,则∠B的大小为【方法1②】() A.40°B.36°C.30°D.25°

第7题图第8题图 8.★如图,∠AOB=120°,OP平分∠AOB,且OP=2.若点M,N分别在OA,OB上,且△PMN为等边三角形,则满足上述条件的△PMN有() A.1个 B.2个 C.3个 D.3个以上 二、填空题(每小题4分,共24分) 9.如图,已知∠B=∠C,从①BE=CE,②AB=DC,③∠BAE=∠CDE这三个等式中选出一个作为条件,可以推出△AED是等腰三角形的有________(填序号). 第9题图第11题图 10.若△ABC的三边a,b,c满足条件:a-3+b-4+c-5=0,则△ABC是________三角形. 11.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,则∠DAC+∠C=________°. 12.如图,在三角形纸片ABC中,∠C=90°,∠B=30°.折叠该纸片,使点C落在点E 处,折痕为AD.若CD=3cm,则BD的长为________cm. 第12题图第13题图 13.如图,已知∠AOB=60°,点P在OA上,OP=8,点M、N在边OB上,PM=PN.若MN=2,则OM=________. 14.(2017·淄博中考)如图,在边长为4的等边三角形ABC中,D为BC边上的任意一点,过点D分别作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,则DE+DF=________. 三、解答题(共44分)

北师大版小学四年级下册三角形的分类

北师大版小学四年级下册 《三角形的分类》教学设计 一、学情分析: 本班学生在学习此内容之前,已经学习了三角形的认识,能够在物体的面中找出三角形,学习了角的知识,认识了常见的角,为学生学习三角形的特征从角和边的不同角度对三角形进行分类做好了有力的知识支撑。 二、教学目标: (1)、让学生在给三角形分类的探索活动中发现和认识锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 (2)、让学生在实际操作中加深对三角形的认识,体会探索图形特征的一些方法,发展空间观念。 (3)、激发学生的主动参与意识、自主探索意识和创新意识。 三、教学重难点: 1、通过思考、自主探索、合作交流,分别从三角形的角和边两个方面特征,对三角形准确地进行分类。 2、能够掌握各种三角形的特征以及各类三角形之间内在联系。 四、教学过程

1、列出认识过的角和三角形的一些特点 (直角、锐角、钝角、周角、平角) (三个角、三条边) 2、谈话导入,感受分类 3、揭示课题:三角形的分类 4、根据三角形的特点和所认识的角探究三角形按角分和按边分类情况 (1)小组合作学习,初步探究分类情况。 (2)全班交流,抓住三角形的特点深化学习分类。 5、认识三类三角形的关系 (1)、明确指出三类三角形的特点 (2)、锐角三角形里有几个锐角(3个)直角三角形有几个锐角(2个)钝角三角形有几个锐角(2个) 提问:所以一个三角形至少有几个锐角最多有几个锐角 6、认识三角形边的关系 (1)、介绍不等边三角形的基本特点 (2)、结合图形,向学生介绍等腰三角形的各部分的名称,分别指出等腰三角形各部分名称:腰、底、顶角、底角。 (3)、让同学们任意画一个等腰三角形,量一量各个角,通过测量,发现什么(等腰三角形的两个底角相等。) (4)结合图形,向学生说明等边三角形,也叫正三角形。并且三个内角都相等,都是60度。

北师大版八年级数学上册基本概念

2010—2011学年度第一学期八年级上数学期末复习讲义 第一章勾股定理 [复习要求] (1)掌握勾股定理,了解利用拼图验证勾股定理的方法,并能运用勾股定理解决一些实际问题,发展合情推理能力,体会形数结合的思想; (2)掌握判断一个三角形是直角三角形的条件,能运用它解决一些实际问题; (3)了解勾股定理的历史和应用,体会勾股定理的文化价值. 勾股定理:如果直角三角形的两条直角边分别为a、b,斜边为c,那么,a2+b2=c2, 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 勾股定理在西方文献中又称毕达哥拉斯定理。 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边为弦。 格式:a=8 b=15 解:由勾股定理得c的平方=a2+b2=82+152=64+225=289 ∵C>0 ∴C=17 勾股定理逆定理:如果三角形三边长为a、b、c,c为最长边,只要符合a2+b2=c2,这个三角形是直角三角形。(直角三角形的判别条件)。 第二章实数 [复习要求] (1)了解无理数的概念和意义; (2)了解算术平方根、平方根、立方根的概念,会用根号表示数的平方根、立方根;能用平方运算与立方运算求某些数的平方根与立方根;会用计算器求平方根和立方根,并能探索一些有趣的数学规律; (3)能用有理数估计一个无理数的大致范围; (4)了解实数的概念,会按要求对实数进行分类,了解实数的相反数和绝对值的意义,知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系,了解有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用; (5)能对带根号的数进行化简,并能利用化简进行有关实数的简单四则运算; (6)能运用实数的运算解决简单的实际问题. [概念与规律] 事实上,有理数总可以用有限循环小数或无限不循环小数表示。 无限不循环小数叫无理数。 无理数:圆周率π=3.14159265……;0.585885888588885……(相邻两个5之间8的个数逐次加1);根号a(a为非完全平方数或非立方数)。 一般的,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x就叫做a的

(完整)北师大版数学八年级上册数学试题和答案

数学试题 一、选择题: 1.4的平方根是( A ) A .2± B .2 C . D 2.在平面直角坐标系中,点P (3,-2)在( D ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 3.下列实数2 1 - , 0, π , 4 , 31 , 5中是无理数的有( B ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 4.在下列四组数中,不是勾股数的是( B ) A .7,24,25 B .3,5,7 C .8,15, 17 D .9,40,41 5.下列计算正确的是( A ) A .632= ? B .532=+ C .5315= D .235=- 6.如图以数轴的单位长线段为边作一个正方形,以 数轴的原点为旋转中心,将过原点的对角线顺时 针旋转,使对角线的另一端点落在数轴正半轴的 点A 处,则点A 表示的数是( B ) A .3 2 B C D .4.1 7.点(2,6)关于x 轴的对称点坐标为( A ) A .(2,-6) B . (-2,-6) C . (-2,6) D . (6,2) 8.已知直角三角形中一条直角边长为12cm ,周长为30cm ,则这个三角形的面积是(B )A .2 20cm B .2 30cm C .2 60cm D .2 75cm 9 -( D ) A B .2 C . D . 10.已知平面内的一点P ,它的横坐标与纵坐标互为相反数,且与原点的距离是2,则点 P 的坐标是( C ) A .(-1,1)或(1,-1) B .(1,-1) C .( , ) D )

11.实数b a ,在数轴上的位置如图所示, 则 ()a b a ++2 的化简结果为( B ) A .2a b + B .b - C .b D .2a b - 12.如图是放在地面上的一个长方体盒子,其中' ' ' 9,5,6AB BB B C ===,在线段AB 的 三等分点E (靠近点A )处有一只蚂蚁,'' B C 中点F 处有一米粒,则蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为( A ) A .10 B .106 C .5+35 D .6+34 二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分)在每个小题中,请将答案填 在题后的横线上. 13.在平面直角坐标系中,点(),2P a a -在x 轴上,则a = 2 14.比较大小:23 < 52 (填“>”或“<”或“=” ) 15.x 为无理数21的小数部分,则x = 214- (结果保留根号) 16.如图,每个小正方形的边长为1,剪一剪, 拼成一个正方形,那么这个正方形的边长是 5 17.在平面直角坐标系中,等边ABC ?的顶点(6,0)A -,(2,0)B ,则顶点C 的坐标 为 (2,43),(2,43)--- 第12题图 第16题图 第11题图

北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明及详细答案

北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明一.选择题(共12小题) 1.(2014?遂宁)如图,AD是△ABC中∠BAC的角平分线,DE⊥AB于点E,S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC 长是() 2.(2014?台湾)如图,锐角三角形ABC中,直线L为BC的中垂线,直线M为∠ABC的角平分线,L与M相交于P点.若∠A=60°,∠ACP=24°,则∠ABP的度数为何?() 3.(2014?安顺)已知等腰三角形的两边长分別为a、b,且a、b满足+(2a+3b﹣13)2=0,则此等腰三 4.(2014?宁波)如图,正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC=1,CE=3,H是AF的中点,那么CH的长是() C D 5.(2014?甘井子区一模)如图,△ABC中,DE是AC的垂直平分线,AE=4cm,△ABD的周长为14cm,则△ABC 的周长为()

6.(2014?本溪一模)如图,在△ABC,∠C=90°,∠B=15°,AB的中垂线DE交BC于D,E为垂足,若BD=10cm,则AC等于() 7.(2013?西宁)如图,已知OP平分∠AOB,∠AOB=60°,CP=2,CP∥OA,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E.如果点M是OP的中点,则DM的长是() C D 8.(2013?滨城区二模)如图,△ABC中,∠B=40°,AC的垂直平分线交AC于D,交BC于E,且∠EAB:∠CAE=3:1,则∠C等于() 10.(2012?泰安)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O,连接CE,则CE的长为() 11.(2011?成华区二模)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=30°,CD=4,BD平分∠ABC,交AC于点D,则点D到

北师大版数学八年级上册知识点总结

北师大版《数学》(八年级上册)知识点总结 第一章 勾股定理 1、勾股定理 直角三角形两直角边a ,b 的平方和等于斜边c 的平方,即2 2 2 c b a =+ 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ,b ,c 有关系2 2 2 c b a =+,那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数:满足2 2 2 c b a =+的三个正整数,称为勾股数。 第二章 实数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数:无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一时之,归纳起来有四类: (1)开方开不尽的数,如32,7等; (2)有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含有π的数,如 3 π +8等; (3)有特定结构的数,如0.1010010001…等; (4)某些三角函数值,如sin60o 等 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零),从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如果a 与b 互为相反数,则有a+b=0,a=—b ,反之亦成立。 2、绝对值 在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离,叫做该数的绝对值。(|a|≥0)。零的绝对值是它本身,也可看成它的相反数,若|a|=a ,则a ≥0;若|a|=-a ,则a ≤0。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数,则有ab=1,反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时,要注意上述规定的三要素缺一不可)。

最新北师大版八年级数学上册知识点总结

最新北师大版八年级数学上册知识点总结 第一章 勾股定理 1.勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;即222 a b c +=。 2.勾股定理的证明:用三个正方形的面积关系进行证明(两种方法)。 3.勾股定理逆定理:如果三角形的三边长a ,b ,c 满足222 a b c +=,那么这个三角形是直角 三角形。满足222 a b c +=的三个正整数称为勾股数。 第二章 实数 1.平方根和算术平方根的概念及其性质: (1)概念:如果2 x a =,那么x 是a 的平方根,记作: a (2)性质:①当a ≥0≥0;当a =a a =。 2.立方根的概念及其性质: (1)概念:若3 x a =,那么x 是a (2a =;②3 a = 3.实数的概念及其分类: (1)概念:实数是有理数和无理数的统称; (2)分类:按定义分为有理数可分为整数的分数;按性质分为正数、负数和零。无理数就是无限不循环小数;小数可分为有限小数、无限循环小数和无限不循环小数;其中有限小数和无限循环小数称为分数。 4.与实数有关的概念: 在实数范围内,相反数,倒数,绝对值的意义与有理数范围内的意义完全一致;在实数范围内,有理数的运算法则和运算律同样成立。每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数,即实数和数轴上的点是一一对应的。因此,数轴正好可以被实数填满。 5 (a ≥0,b ≥0) a ≥0,b >0)。 第三章 1.平移:在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移。平移不改变图形大小和形状,改变了图形的位置;经过平移,对应点所连的线段平行且相等;对应线段平行且相等,对应角相等。 2.旋转:在平面内,将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转。这点定点称为旋转中心,转动的角称为旋转角。旋转不改变图形大小和形状,改变了图形的位置;经过旋转,图形点的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同和角度;任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角;对应点到旋转中心的距离相等。 3.作平移图与旋转图。 第四章 四边形性质的探索 1.多边形的分类: 2.平行四边形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形的定义、性质、判别: (1)平行四边形:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形的对边平行且相等;对角相等,邻角互补;对角线互相平分。两条对角线互相平分的四边形是平行四边形;一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;两组对边分别相等的四边形是平行四边形;两组对角分别相=b a b =

北师大版数学八年级上册知识点总结

北师大版八年级上册数学知识点总结 第一章勾股定理 1、勾股定理(1)直角三角形两直角边a ,b 的平方和等于斜边c 的平方,即2 2 2 c b a =+ (2)勾股定理的验证:测量、数格子、拼图法、面积法,如青朱出入图、五巧板、玄 图、总统证法……(通过面积的不同表示方法得到验证,也叫等面积法或等积法) (3)勾股定理的适用范围:仅限于直角三角形 2、勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a ,b ,c 有关系2 2 2 c b a =+,那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数:满足2 2 2 c b a =+的三个正整数,称为勾股数。 常见的勾股数有:(6,8,10)(3,4,5)(5,12,,13)(9,12,15)(7,24,25)(9,40,41) 4、 勾股数的规律: (1),短直角边为奇数,另一条直角边与斜边是两个连续的自然数, 两边之和是短直角边的平方。即当a 为奇数且a <b 时,如果b+c=a2, 那么a,b,c 就是一组勾股数.如(3,4,5)(5,12,,13)(7,24,25)(9,40,41)…… (2)大于2的任意偶数,2n(n >1)都可构成一组勾股数分别是:2n,n2-1,n2+1 如: (6,8,10)(8,15,17)(10,24,26) 实数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数:无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一时之,归纳起来有四类: (1)开方开不尽的数,如32,7等;

新北师大版八年级下数学第一章三角形的证明.

1 八年级下第一章三角形的证明 【基础知识】 1、全等三角形 (1)定义: 能够完全 的三角形是全等三角形。 (2)性质:全等三角形的 、 相等。 (3)判定:“SAS ”、 、 、 、 。 三边 :边边边(SSS ) 两边: 边角边(SAS ) 一边 边角边(ASA ) 角角边(AAS ) ※※注:SSA,AAA 不能作为判定三角形全等的方法,判定两个三角形全等时,必 须有边的参与,若有两边一角相等时,角必须是两边的夹角 ※※证题的思路: ? ? ? ?? ??? ???? ? ? ???????????????? ???????)找任意一边()找两角的夹边(已知两角)找夹已知边的另一角()找已知边的对角( )找已知角的另一边(边为角的邻边)任意角(若边为角的对边,则找已知一边一角)找第三边()找直角() 找夹角(已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 注意:公共边、公共角、对顶角、最长的边(或最大的角)、最短的边(或最小的 角) 2、等腰三角形 (1)定义:有两条 的三角形是等腰三角形。 (2)性质:①等腰三角形的 相等。(“等边对等角”) ②等腰三角形的顶角平分线、 、 互相重合。 (3)判定:①定义 ②“ ” 3、等边三角形 (1) 定义: 的三角形是等边三角形。 (2)性质:①三角都等于 ②具有等腰三角形的一切性质。 (3)判定:①定义 ②三个角都相等的三角形是等边三角形 ③有一个角 是等边三角形。 4、直角三角形 (1)定理:在直角三角形中,如果一个锐角是30度,那么它所对的直角边等于斜边的一半。 (2)勾股定理及其逆定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形 (3)“斜边、直角边”或“HL ” 直角三角形全等的判定定理:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 定理的作用:判定两个直角三角形全等

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