由三角函数图象求解析式
已知函数()f x =Acos(x ω?+)的图象如图所示，2
()2
3
f π
=-
，则(0)f =（ ） （A ）23-
(B) 23 (C)－ 12 (D) 1
2
2π
3，于是f(0)【解析】选B.由图象可得最小正周期为
＝f(2π3),注意到2π3与π2关于7π12对称，
所以f(2π3
)
＝－f(π2)＝23.
如果函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π??
???
，0中心对称，那么||?的最小值 为（ ） （A ）
6π （B ）4π （C ）3π (D) 2
π
【解析】选A.
函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π??
???
，0中心对称w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
4232k ππφπ∴?
+=+13()6k k Z πφπ∴=-∈由此易得min ||6
π
φ=. 已知函数y=sin （ωx+?）（ω>0, -π≤?<π）的图像如图所示，则 ?=________________
【解析】由图可知，
()544,,2,1255T x πωπ???
=
∴=+ ???
把代入y=sin 有： 89,510ππ????
+∴= ???
1=sin
已知函数()2sin()f x x ωφ=+的图像如图所示，则712
f π
??
=
???
。
【解析】由图象知最小正周期T ＝
32（445ππ-）＝
32π＝ωπ2，故ω＝3，又x ＝4
π时，f （x ）＝0，即2φπ
+?
4
3sin(）＝0，可得4
π
φ=
，所以，712f π
??
=
?
??
2)41273sin(ππ+?＝0。 ）已知函数()sin(),f x A x x R ω?=+∈（其中0,0,02
A π
ω?>><<
）的图象与x 轴的
交点中，相邻两个交点之间的距离为2
π
，且图象上一个最低点为2(,2)3M π-.
(Ⅰ)求()f x 的解析式； （Ⅱ）当[
,]122
x ππ
∈，求()f x 的值域.
【解析】（1）由最低点为2(,2)3
M π
-得A=2.
由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为2π得2T =2
π
，即T π=，222T ππωπ===
由点2(,2)3M π-在图像上得242sin(2)2,)133ππ
???+=-+=-即sin(
故42,32k k Z ππ?π+=-∈ 1126
k π?π∴=- 又(0,
),,()2sin(2)266f x x π
ππ
??∈∴=
=+故
（2）7[,],2[,]122636x x πππππ
∈∴+∈
当26x π+=2π，即6x π=时，()f x 取得最大值2；当7266
x ππ+=
即2
x π
=时，()f x 取得最小值-1，故()f x 的值域为[-1,2]把函数y ＝cos(3x ＋4
π
)的图象适当变动就可以得到y ＝sin(－3x )的图象，这种变动可以是( )
A.向右平移
4π B.向左平移4
π
C.向右平移
12π D.向左平移12
π 分析：三角函数图象变换问题的常规题型是：已知函数和变换方法，求变换后的函数或
图象，此题是已知变换前后的函数，求变换方式的逆向型题目，解题的思路是将异名函数化为同名函数，且须x 的系数相同.
解：∵y ＝cos(3x ＋4π)＝sin(4π－3x )＝sin ［－3(x －12π)］ ∴由y ＝sin ［－3(x -12π)］向左平移12
π
才能得到y ＝sin(－3x )的图象.
答案：D
4.将函数y ＝f (x )的图象沿x 轴向右平移
3
π
，再保持图象上的纵坐标不变，而横坐标变为原来的2倍，得到的曲线与y ＝sin x 的图象相同，则y ＝f (x )是( )
A.y ＝sin(2x ＋
3π) B.y ＝sin(2x －3π) C.y ＝sin(2x ＋32π) D.y ＝sin(2x －3
2π
)
分析：这是三角图象变换问题的又一类逆向型题，解题的思路是逆推法.
解：y ＝f (x )可由y ＝sin x ，纵坐标不变，横坐标压缩为原来的1/2，得y =sin2x ;再沿x 轴向左平移3π得y ＝sin2(x ＋3π)，即f (x )＝sin(2x ＋3
2π).
若函数f (x )＝sin2x ＋a cos2x 的图象关于直线x ＝－
8
π
对称，则a ＝–1. 分析：这是已知函数图象的对称轴方程，求函数解析式中参数值的一类逆向型题，解题的关键是如何巧用对称性.
解：∵x 1＝0，x 2＝－4π是定义域中关于x ＝－8
π
对称的两点 ∴f (0)＝f (－
4
π) 即0＋a ＝sin(－2π)＋a cos(－2
π) ∴a ＝－1
若对任意实数a ，函数y ＝5sin(
312+k πx －6π)(k ∈Ｎ)在区间［a ，a ＋3］上的值4
5
出
现不少于4次且不多于8次，则k 的值是( )
A.2
B.4
C.3或4
D.2或3
分析：这也是求函数解析式中参数值的逆向型题，解题的思路是：先求出与k 相关的周期T 的取值范围，再求k .
解：∵T ＝
3)3(,1
26
3
122=-++=+a a k k ππ
又因每一周期内出现45值时有2次，出现4次取2个周期，出现4
5
值8次应有4个周期.
∴有4T ≥3且2T ≤3
即得43≤T ≤23，∴43≤126+k ≤23
解得23≤k ≤2
7
，∵k ∈Ｎ，∴k ＝2或3.
巧求初相角
求初相角是高中数学学习中的一个难点，怎样求初相角?初相角有几个?下面通过错解剖析，介绍四种方法.
如图，它是函数y ＝A sin(ωx ＋?)(A ＞0，ω＞0)，｜?｜＜π的图象，
由图中条件，写出该函数解析式. 错解：
由图知：A ＝5
由
2
3252π
ππ=
-=T 得T ＝3π，∴ω＝T π2＝3
2
∴y ＝5sin(3
2
x ＋?)
将(π，0)代入该式得：5sin(3
2
π＋?)＝0 由sin(
32π＋?)＝0，得32π＋?＝k π ?＝k π－3
2π
(k ∈Z )
∵｜?｜＜π，∴?＝－3
2π或?＝3π
∴y ＝5sin(32x －32π)或y ＝5sin(3
2x ＋3π
)
分析：由题意可知，点(4π，5)在此函数的图象上，但在y ＝5sin(32x －3
2π)中，令x ＝4π
，
则y ＝5sin(6π－32π)＝5sin(－2π)＝－5，由此可知：y ＝5sin(32x －3
2π
)不合题意.
那么，问题出在哪里呢?我们知道，已知三角函数值求角，在一个周期内一般总有两个
解，只有在限定的范围内才能得出惟一解.
正解一：(单调性法)
∵点(π，0)在递减的那段曲线上
∴
32π＋?∈［2π＋2k π，3
2π＋2k π］(k ∈Z )
由sin(
32π＋?)＝0得3
2π＋?＝2k π＋π ∴?＝2k π＋3
π
(k ∈Z )
∵｜?｜＜π，∴?＝3
π
正解二：(最值点法)
将最高点坐标(4π，5)代入y ＝5sin(3
2x ＋?)得5sin(6π
＋?)＝5 ∴6π＋?＝2k π＋2
π ∴?＝2k π＋3π (k ∈Z )取?＝3
π
正解三：(起始点法)
函数y ＝A sin(ωx ＋?)的图象一般由“五点法”作出，而起始点的横坐标x 正是由ω
x +?=0解得的，故只要找出起始点横坐标x 0,就可以迅速求得角?.由图象求得x 0=-2
x
,∴?=-ωx 0=-
3
2 (-2π)=3π.
正解四：(平移法)
由图象知，将y =5sin(
3
2x )的图象沿x 轴向左平移2π
个单位，就得到本题图象，故所求
函数为y ＝5sin 32(x ＋2π)，即y ＝5sin(3
2x ＋3π
).
【基础知识精讲】
1.用五点法作y=Asin(ωx+φ)(ω＞0)的图像时，我们采用换元法，将ωx+φ看成y=sinx 中的x ，模仿y=sinx 的五点法来作.
ωx 1+φ=0?x 1=-ωΦ
,ωx 2+φ=2π?x 2=ωπ
Φ
-2
ωx 3=π?x 3=ωπΦ-,ωx 4+φ=23π?x 4=ωπΦ
-2
3,ωx 5+φ=2π?x 5=ωπΦ-2.
即五点(-ωΦ,0),( ωπΦ-2,A),( ωπΦ-,0).(
ωπΦ
-2
3,-A).( ωπΦ-2,0)
2.函数y=Asin(ωx+φ)的图像与y=sinx 的图像关系.
(1)振幅变换
函数y=Asinx(A ＞0,且A ≠1)的图像，可以看作是y=sinx 图像上所有点的纵坐标伸长(A ＞1)或缩短(0＜A ＜1)到原来的A 倍(横坐标不变)而得到的.这种变换叫振幅变换，它实质上是纵向的伸缩.
(2)周期变换
函数y=sin ωx(ω＞0,且ω≠1)的图像，可以看作是把y=sinx 的图像上各点的横坐标都缩
短(ω＞1)或伸长(0＜ω＜1)到原来的ω1
倍(纵坐标不变)而得到的，由y=sinx 的图像变换为
y=sin ωx 的图像，其周期由2π变ωπ
2.这种变换叫做周期变换.它实质上是横向的伸缩.
(3)相位变换
函数y=sin(x+φ)(φ≠0)的图像，可以看作是把y=sinx 的图像上各点向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移｜φ｜个单位而得到的.这种由y=sinx 的图像变换为y=sin(x+φ)的图像的变换，使相位x 变为x+φ,我们称它为相位变换.它实质上是一种左右平移变换.
应用振幅变换、周期变换、相位变换(左右平移变移)和上下平移变换可由y=sinx 的图像得到y=Asin(ωx+φ)+k 的图像.
事实上，设f 、t 、h 分别表示相位变换，周期变换，振幅变换，则变换作图法共有以下不同的程序.
(1)f →t →h;(2)f →g →t(3)t →h →f;(4)t →f →h;(5)h →f →t;(6)h →t →f
3.y=Asin(ωx+φ)(A ＞0，ω＞0)与振动
在物理学中，y=Asin(ωt+φ)(A ＞0,ω＞0),其中t ∈［0，+∞)，表示简谐振动的运动方程.这时参数A ，ω，φ有如下物理意义.
A 称为振幅，它表示振动时物体离开平衡位置的最大距离.
T=ωπ
2称为周期，它表示振动一次所需的时间(亦即函数y 的最小正周期).
f=T 1
= πω2称为振动的频率，它表示单位时间内往复振动的次数，ωt+φ叫做相位，当
t=0时的相位，即φ称为初相.
4.函数图像的对称变换
一个函数的图像经过适当的变换(例如对称、平移、伸缩等)得到与其图像有关函数的图像，叫做函数的初等变换.
前面的平移、伸缩变换均属初等变换. 对称变换主要指下面几种：
(1)函数y=-f(x)的图像与y=f(x)的图像关于x 轴对称. (2)函数y=f(-x)的图像与y=f(x)的图像关于y 轴对称. (3)函数y=f(-x)的图像与y=-f(x)的图像关于原点对称.
(4)函数y=f -1
(x)(或x=f(y))的图像与y=f(x)的图像关于直线y=x 对称. 【重点难点解析】
重点：用“五点法”画函数y=Asin(ωx+φ)的简图及三角函数的图像变换. 难点：三角函数的图像变换.即由y=sinx 的图像变换到y=Asin(ωx+φ)的过程. 关键：理解A 、ω、φ的对图像变化所起的作用.
例1 函数y=3cos(2x -4π
)的图像可以由y=sinx 的图像经过怎样的变换得到?
解：y=3cos(2x -4π)=3sin ［2π
+( 2x -4π)］