近世代数 第11讲
第11 讲
§8 子群（Subgroups）
本讲教学目的和要求：对于群这个新的教对象，应该如何入手，从哪几个方面去研究它，这一直是我们所关心的问题。概括些说，对群的研究，可分为互相联系的两个方面：群的结构和群的表示。与集合比较，群就是多了一个运送（正是这个运算才给群带来了生命力），所以群论研究的初步可以仿照集合论去讨论，只是关系群的一切讨论都要围绕这个运送展开，子群是非常重要的概念，了解子群是了解群的结构的一个重要渠道，本讲中要求：
1、能判断子群的构成和掌握彼此等价的判断条件
2、有限群的判断定理
3、子群（集）的乘积和生成子群的概念
4、循环群的子群所具有的特性
本讲的重点和难点：为了更好的学习下一讲内容，本讲中增添了部分内容（也都是群论中最基本的内容）。循环群的子群的性质；子群之积的性质，…都是本讲中的要点和难点，通过这方面的训练可使我们对子群有一个更深入的了解。生成子群的概念在本教材中谈的很少，本讲中也作了适当地加强。结合高等代数中生成子空间的理论，会使我们有一种温故而知新的感觉。此外，本讲中还引入了中心，中心化子，正规化子等概念，以便拓宽知识量。
一、 子群的定义及判定条件
定义1、设G 是一个群，而φ≠?H G H ,，如果H 关于G 中的运算本身也能作成群，则称H 是G 的一个子群记为
例 1 设G 为任意一个群，那么由G 的单位元组成子集}{e ，自然有G e ≤}{，另外G 本身也有G G ≤，所以G 一般有两个子群，统称它们为的G 平凡子群。如果G 除了平凡子群外还有其他子群，那就称为G 的真子群，记为G H <。
例2 Z 是整数加群，而一切偶数构成的集合为Z 2，其中：
},4,2,0,2,4,{2 --=Z ，那么关于整数的加法有Z Z ≤2
明示1：任取一个整数m ，那么}|{Z n n m mZ ∈??=为一切m 的倍数构成的集合，可知Z mZ ≤.
例3 设}0|||)({≠∈=A R M A L n 表示一切可逆n 阶方阵组成的集合，用
矩阵通常的乘法可知：
? L 中方阵对乘法封闭（任二个n 阶可逆阵之积仍可逆） ? L 中方阵满足乘法结合律
?单位元为E
?A L A ?∈.的逆元为A A —1-的逆阵
所以L 是个群。
若?????
???????= k k k kE 令为L 中的n 阶数乘阵，那么}0,|{≠∈?=k R k kE K 是L 的非空子集，且必有L K ≤。
例4 设)}132(),123(),23(),13(),12(),1{(3=S 为三次对称群，令)}
12(),1{(=H
和三次交错群)}132(),123(),1{(3=A 。易知333,S A S H ≤≤ .
例5 设模6剩余类加群]}5[],4[],3[],2[],1[],0{[6=Z 。令
， ]}3[],0{[]}4[],2[],0{[21==H H ,可知61Z H ≤,可知62Z H ≤ 子群的性质：设G H ≤，那么
性质1：若H 中的单位元为H l ，中的单位元为G l ，那么G H l l =. 证明：??
??=?∈=?∈H H H H H H H G H G l l l H l H l l l l G l G l 又的单位元是而的单位元是,, H G H H H G l l l l l l 消去律?=
这说明子群H 中的单位元就是母群G 的单位元.
性质2：设H a ∈，那么若a 在G 中的逆元为1-G a ，a 在H 中的逆元为1-H a ，
则11--=H
G a a . 证明：111111------=?=???
???==H G H G H G a a aa aa e aa e aa 消去律 子群的判定定理1：设G H ?≠φ，那么?≤G H
（1）H ab H b a ∈?∈?,,（2）H a H a ∈?∈?-1
证明：
)(?若G H ≤，（1）显然成立，而上述性质2恰说明（2）成立. )(?
? 因为（1）成立H ?中元素乘法封闭。
? 结合律在G 中成立，自然在H 中也成立。
?.,H a H ∈?∴≠? 由（2）H a ∈?-1，再由（1）知H e H aa e ∈∴∈=-,1。
?由（2）H a H a ∈∈??-1,.
于是可知G H ≤.
如果将上述定理1中的（1）和（2）进行合并，则得：
子群的判定定理2：设.G H ?≠φ，则H b a G H ∈??≤,，有H ab ∈-1 证明：G H ≤? )(. 由定理1中
（2）H b ∈?-1，再由（1）知.1H ab ∈- )(?（往证（1）和（2）成立）
H x ∈?.由条件知H xx ∈-1，即H l ∈，那么H b lb H b a ∈=∈?--11,,，并且H b a ab ∈=--11)(，所以（1）和（2）都成立，由定理1G H ≤?。 有限子群的判定定理：设G H ?≠φ，且+∞<||H ，那么H b a G H ∈??≤,有H ab ∈.
证明：
必要性：显然。
充分性：（1）条件表明H 满足封闭.
（2）G 中满足结合律H ?也满足结合律.
（3）因为G 中满足消去律H ?中也满足消去律.
由（1）、（2）和（3）G H ≤?（注H 是有限集）.
思考题1：
?每个群都有二个不同的平凡子群吗？
?G 的二个子群1H 和2H 有可能会?=21H H 吗？
为了加深印象，可从集合的角度对上述定理进行论述：
设B A ,是群G 的两个非空子群，那么定义：
},|{B b A a ab AB ∈?∈?=
}|{11A a a A ∈?=--
显然AB 和1-A 都是G 的非空子集，至此，可以重新定义子群： 结论1：设G H ?≠φ，那么H HH G H ??≤且H H ∈-1
结论2：设G H ?≠φ，那么H HH G H ??≤-1
对于上述结论的证明是显而易见的。
注意：结论1正是判定定理1的另一种表述；
结论2是判定定理2另一种表述。
思考题2：一个群G 能表成它的两个真子空间的并集吗？ 答：不能。如果G H G H <<21,，且21H H G ?=。那么必有21H H ?且
12H H ?。
故存在，11H h ∈且21H h ?，22H h ∈且12H h ?，而21H H G ?=是群G h h ∈?21，即121H h h ∈或221H h h ∈，但若121112121)(H h h h h H h h ∈=?∈-矛盾。同理，若212211221)(H h h h h H h h ∈=?∈-，矛盾。这表明21H H G ?=是不可能的。
思考题3：一个群能否表成它的三、四个真子群的并集？ 例6 设)}23)(14(),24)(13(),34)(12(),1{(4=K ，则易知4K 是群。（即
44S K ≤），现令)}34)(12(),1{(1=H ，)}24)(13(),1{(2=H ，)}23)(14(),1{(3=H 。
可知i H 都是4K 的真子群)321(??=i ，显然3214H H H K ??=。
例7 对于三次对称群)}132(),123(),23(),13(),12(),1{(3=S ，
令)}132(),123(),1{()},23(),1{()},13(),1{()},12(),1{(4321====H H H H ， 可知)4,3,2,1.(3=≤i S H i ，并显然43213H H H H S =,
上二例表明：群有可能表成三个或四个真子群的并。
二、 生成子群
任取出G 的一个非空子集S ，它未必能构成子群。也就是说，S 可能不满足“S SS ?或S S ?-1”.
仔细分析，S 不能构成群的本质原因是“不够大”。也就是说，需要对S 扩张——往S 中添加其他元素，但应添加什么元素呢？——添加那些S 应具备，但没具备的元素。
如果将那些应添加的元素做成的集合记为1S ，则
}.,,,,,{11111111 -------=lcb ag b dcg bc a c a S 。
现令1S S K =，那么K 中元素应如何表示？K 是什么结构？
结论3：设G S ?≠?，那么上述的K 为
m i N m r S a a a a K i i r m r r m ,,3,2,1,,1,2121 =∈±=∈=
其中K 是含有S 的最小的群。
证明：
（1）?≠S ，且S 中每元素都能表示m
r m r r a a a 2121的形式（取1,11==r m ，即可）∴K S ?.且?≠K .
（2）K b b b y a a a x n
m t n t t r m r r ∈==? 21212121,,其中：1,1,,±=±=∈j i j i t r S b a ,
N n m ∈,于是.K K b b a a xy n m t n t r m r ?∈=.1111 中乘法封闭。
其次1
2122112121211)(u u u m r r r m r m r r a a a a a a a a a x m m m ===-----，其中)2,1(,1m i u i =±= ∴K x ∈-1.由上知G K ≤.
（3）如果G K ≤且H S ≤，那么S 中有限个元素的乘积，逆元素的乘积，元素与逆元素的乘积都含在H 中，H S S K H S ∈?=∴??11..
由H 的任意性，K ?是含S 的最小的子群。
定义2：设,G S ?≠?，那么有
（1） 子群},1,|{2121N m r S a a a a K i i r m r r m
∈±=∈= .叫做由子集S 生成的子群，记作)(S K =，并称S 为K 的生成子集，
（2） 若},,,{21n a a a S =为有限集，那么称)(S K =是有限生成的，并称
n a a a ,,,21 为K 的生成元集，此时可记),,,()(21n a a a S K ==.
（3） 若}{a S =为单元集时，)(a K =就叫做循环群，其中a 为K 的生成
元（这正是§7中的内容）
明示2：如果G S ≤时，那么S S =)(.
例8 在例6中)}23)(14(),24)(13(),34)(12(),1{(4=K .若令)34)(12(),1(==a e
)23)(14(),24)(13(==c b .那么e c b a ===222且b ca ac c ba ab ====,.
a c
b b
c ==.这说明:),(),(),(4c b c a b a K ===.
也就是说，4K 可由c b a ,,中任意两个元素生成，但不可能由一个 元素生成，即4K 不是循环群。
例9 设}0|||)({≠∈=A R M A L n ，而令}|{阶初等矩阵
是n A L A S ∈=。由高等代数知识知：“每个可逆阵可写成初等矩阵之积”，所以
)(S L =.
三、子群的积
首先观察下例
设)}13(),1{()},12(),1{(==K H ，那么易知33,S K S H ≤≤，那么
HK HK )},123(),12(),13(),1{(=，会成为群吗？事实上，HK ∈)13(),12(, 但HK ?=)132()12)(13(这说明HK 对乘法不封闭HK ?不是群.
上例是告戒我们，两个子群的积未必成为群（问题出在哪？），经分析，关键是HK 中元素对乘法不适合封闭性。
HK 满足乘法封闭性的实质是什么？
HK k h y k h x ∈==?1111,,若HK k h HK k h k h xy ∈??∈=332211
使k h k k h h k k h h k k h k h k h ''===?=----))((1233111231121332211,
经分析知:KH HK h k hk H h K k H h K k =''=∈'∈'∈?∈?即使和，有,, 定义3：设G K K H ≤≤,如果KH HK =，则称H 与K 可交换 注意：KH HK =只是意味着左右两个集合相等，而绝不意味着H 的元素与K 中元素乘积可交换。
结论4 设G K G H ≤≤,，则KH HK G HK =?≤.
证明：KH kh ∈?? )(.显然HK k h ∈--11。但.G HK ≤
HK k h ∈∴---111)(但HK kh hk k h ∈?=---.)(111
由kh 的任意性HK KH ??。同理HK hk ∈?.由于
HK k h HK KH h k ∈???∈--''11 使
KH h k hk k h h k k h h k ∈=?=?=--------1
1''1''111''11)()( 由hk 的任意性KH HK ??.
∴KH HK =.
KH HK =? )(由前面的分析知，HK 中元素满足封闭性。
另外：HK hk ∈?.则HK KH h k hk =∈=---111)(,∴?∈-HK hk 1)(逆元封闭。
所以G HK ≤.
思考题4 取3S 的一个子集)}123(),12{(=S ，试问S 生成的子群)(S H =中包含了哪些元素？试问一个群的两个不同的子集能生成同一个子群吗？
解：)(S H =中元素是S 中元素一切可能的元素和逆元之积组成的。即：含有)23()12)(123(),13()123)(12(),132()123)(123(),1()12)(12(====。自然还有
)123(),12(.∴3)}132(),123(),23(),13(),12(),1{()(S S H ===
另外：设)}132(),12{(=T ,但3)(S T N ==（验证过程略）
由上可知尽管S T ≠.但?=)()(S T 两个不同的子集可能生成相同的子集。
训练题 设8||=a ，找出)(a G =的全部子集。（注：有二个重要命题需要用到：（1）循环群的子群必是循环群。（2）n 阶循环G 中，n 的任一个正因子r ，G 都有唯一的一个r 阶子群）
解：由上命题（1）知，G 的每个子群都必是循环群。由命题（2）知8的正因子只有G ?8,4,2,1只有4个子群。
)()()()()()().().(7534623421a a a a H a a H a H e H ======== 作业：P65 （1）（2）（5）（6）
注: ·模12的剩余类加群])1([12=Z 是12阶循环群，故可用上训练题的方法解决。
·111---=?==k k k a a a a a e
近世代数第四章 环与域题解讲解
第四章环与域 §1 环的定义 一、主要内容 1．环与子环的定义和例子。在例子中，持别重要的是效域上的多项式环、n阶全阵环和线性变换环，以及集M的幂集环． 2．环中元素的运算规则和环的非空子集S作成子环的充要条件： 二、释疑解难 1．设R是一个关于 代数运算十，·作成的环．应注意两个代数运算的地位是不平等的，是要讲究次序的．所以有时把这个环记为(R，十，·)(或者就直接说“R对十，·作成一个环”)．但不能记为R，·，十)．因为这涉及对两个代数运算所要求满足条件的不同．我们知道，环的代数运算符号只是一种记号．如果集合只有二代数运算记为 ，⊕，又R对 作成一个交换群，对⊕满足结合律且⊕对 满足左、右分配律，即 就是说，在环的定义里要留意两个代数运算的顺序． 2．设R对二代数运算十，·作成一个环．那么，R对“十”作成一个加群，这个加群记为(R,十)；又R对“·”作成一个半群，这个乍群记为(R，·)．再用左、右分配律把二者联系起来就得环(R，十．·)．
1． 2．
3． 4． 5．
6． 7． 8．证明：循环环必是交换环，并且其子环也是循环环． §4．2 环的零因子和特征 一、主要内容 １．环的左、右零因子和特征的定义与例子． 2．若环R 无零因子且阶大于1，则R 中所有非零元素对加法有相同的阶．而且这个相同的阶不是无限就是一个素数． 这就是说，阶大于l 且无零因子的环的特征不是无限就是一个素数． 有单位元的环的特征就是单位元在加群中的阶． 3．整环(无零因子的交换环)的定义和例子． 二、释疑解难 １．由教材关于零因子定义直接可知，如果环有左零因子，则R 也必然有右零因子．反之亦然． 但是应注意，环中一个元素如果是一个左零因子，则它不一定是一个右零因子．例如，教材例l 中的元素??? ? ??0001就是一个例子．反之，一个右零因子也不一定是一个左零因子．例如，设置为由一切方阵 ),(00Q y x y x ∈???? ? ??
近世代数 第17讲
第17 讲 §交换律、单位元、零因子、整环. (Commutatine Law,unity,divisor of zero and integral domain) 讲本讲教学目的和要求:由环的定义,环{}?+,,R是在某集合R上定义了两种代数运算,而这二个运算是通过分配律建立了彼此的联系.很明显,环中的这两种运算立法机关的要求是很不平衡的.特别是环中的乘法只要求满足半群—乘法封闭和结合律.所以为环在乘法方面留下了很大的余地,一旦某些乘法方面再满期点头其它一些条件,则变成了一些特殊的类型的环.本节主要介绍交换环有单位元的环,没有零因子的环和整环,扩大环论的知识面.在学习方面要求掌握: 1、交换环仅是对乘法而言,可交换的一种环.由此可得到什么新结果. 2、有单位元的环(习惯上称心内幺元)具有的一些重要性质. 3、零因子的概念以及没有零因子与满足消去律的等价性. 4、什么是整环,什么是除环和域,它们之间的差别和联系. 本讲的重点和难点:零因子是一个新的概念,要真正了解并掌握它不是件易事.而”没有零因子”与”有消去律”之间的等价性的证明是难点. 一．交换环
设},;{?+R 为环,已知R 关于加法”+”而言,已可以交换,至于对于乘法”·”,R 也有满足交换律的可能(比如数环,多项式环等),所以我们有 定义1.如果环},;{?+R 关于乘法满足交换律:R b a ∈?, 都有ba ab =,那么称此环是交换环. 例1.易知,在§1中所介绍的所有数环,一元多项式][x F ,和剩余类环m Z 都分别是变换环.但n 价矩阵环)(F M n 不是变换环. 例2.设环},;{?+R 的加法群是循环群,那么环F 必是变换环. 证明: };{+R 是循环群,即}|{)(R n na a R ∈== ∴,,,ma y na x R y x ==?∈? ∴))((ma na xy = 22][)]([nma ma n ma a n ===, 而 ))((na ma yx = 222][)]([nma mna na m na a m ==== ∴yx xy =. 明示1.在第二章中已知:每个阶5≤的群必是交换群.而一旦环R 中元素个数3≤,那么R 必是变换环. 交换环的性质:设R 是交换环.R b a ∈?,.那么 (1)n n n b a ab N n =∈?)(, (2) R 中满足:222 2)(b ab a b a +±=±,))((22b a b a b a -+=- ))(()(2233b ab a b a b a +±=± (3) R 中满足二项式公式: n n n n n n n n n n b ab C b a C b a C a b a +++++=+----1122211)( 二． 无零因子环
近世代数试卷
近 世 代 数 试 卷 一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。 （ ） 2、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。（ ） 3、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f 。 （ ） 4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。 （ ） 5、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。 （ ） 6、群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。 （ ） 7、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠。 （ ） 8、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。 （ ） 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。 （ ） 10、若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与()p Z 同构的子域，这里Z 是整数环，()p 是由素数p 生成的主理想。 （ ） 二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ??? 21到D 的一个映射，那么（ ） ①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；②n A A A ,,,21 的次序不能调换； ③n A A A ??? 21中不同的元对应的象必不相同； ④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算是二元运算（ ） ①在整数集Z 上，ab b a b a += ； ②在有理数集Q 上，ab b a = ； ③在正实数集+R 上，b a b a ln = ；④在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。 3、设 是整数集Z 上的二元运算，其中{}b a b a ,max = （即取a 与b 中的最大者），那么 在Z 中（ ） ①不适合交换律；②不适合结合律；③存在单位元；④每个元都有逆元。
近世代数9
题 号 一 二 三 四 五 六 是否缺考 题 分 15 20 15 10 20 20 得 分 《近世代数》试卷 一、填空题（每空2分，共20分） 1、设G =)(a 是15阶循环群，则G 的子群的个数为_________. 2、整数加群Z 是一个循环群，它有且仅有两个生成元是______和_____. 3、4次对称群4S 的阶是___，在4S 中，(134)(12)=_______,(1324)1 =_______,元素(1234)的阶 是______. 4、在剩余类环18Z 中，[11]+[8]=_______,[5][6]=_______. 5、整数环Z 上的一元多项式环][x Z 中的理想_______不是一个主理想. 6、_______是整数环Z 的一个商域. 二、判断题（对打“√”,错打“×”，不说明理由，每小题2分，共20分） 1、（ ）一个阶是13的群只有两个子群。 2、（ ）交换群的子群是不变子群。 3、（ ）全体整数的集合对于普通减法构成一个群。 4、（ ）无零因子环的特征不可能是2007。 5、（ ）群G 的指数是2的子群一定是不变子群。 6、（ ）模15的剩余类环15Z 是域。 7、（ ）在一个环中，若左消去律成立，则右消去律成立。 得分 评卷人 复查人 得分 评卷人 复查人
8、（ ）除环的中心是域。 9、（ ）欧氏环一定是主理想整环。 10、（ ）无零因子环的同态象无零因子。 三、解答题（第1题15分，第2，3题各10分，共35分） 1、设)}13(),1{( H 是3次对称群3S 的子群，求H 的所有左陪集和右陪集，试问H 是否是 3S 的不变子群？为什么？ 得分 评卷人 复查人
近世代数试题库
近 世代数 一、单项选择题 1、若A={1，2，3，5}，B={2，3，6，7}，则B A ?=（ ） A C 2A C 3A C 4A 、 对于,,bH aH ?有φ=?bH aH 或bH aH = B 、 以上都对 答案：D 5、设A=R （实数域）， B=R+（正实数域） f ?:a→10a ??a ∈A 则 f 是从A 到B 的（ ） A 、单射 B 、满射
C 、一一映射 D 、既非单射也非满射 答案：D 6、有限群中的每一个元素的阶都（ ） A 、有限 B 、无限 C 、为零 D 、为1 答案：A 7A C 8A C 9A C 答案：B 10、偶数环的单位元个数为（ ） A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、无数个 答案：A 11、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ??? 21到D 的一个映射，那么（ ）
A 、集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同； B 、n A A A ,,,21 的次序不能调换； C 、n A A A ??? 21中不同的元对应的象必不相同； D 、一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。 答案：B 12、指出下列那些运算是二元运算（ ） A B C D 13 在Z A C 14那么群 ,G 中的单位元e 和元x 的逆元分别是（ ） A 、0和x -； B 、1和0； C 、k 和k x 2-； D 、k -和)2(k x +-。 答案：D 15、设c b a ,,和x 都是群G 中的元素且xac acx bxc a x ==-,12，那么=x （ ） A 、11--a bc ； B 、11--a c ； C 、11--bc a ； D 、ca b 1-。 答案：A
近世代数知识点教学文稿
近世代数知识点
近世代数知识点 第一章基本概念 1.1集合 ●A的全体子集所组成的集合称为A的幂集，记作2A. 1.2映射 ●证明映射： ●单射：元不同，像不同；或者像相同，元相同。 ●满射：像集合中每个元素都有原像。 Remark：映射满足结合律！ 1.3卡氏积与代数运算 ●{（a,b）∣a∈A,b∈B }此集合称为卡氏积，其中（a,b）为有序元素对，所以一般 A*B不等于B*A. ●集合到自身的代数运算称为此集合上的代数运算。 1.4等价关系与集合的分类 ★等价关系：1 自反性：?a∈A,a a; 2 对称性：?a,b∈R, a b=>b a∈R; 3 传递性：?a,b,c∈R,a b,b c =>a c∈R. Remark：对称+传递≠自反 ★一个等价关系决定一个分类，反之，一个分类决定一个等价关系 ★不同的等价类互不相交，一般等价类用[a]表示。 第二章群 2.1 半群 1.半群=代数运算+结合律，记作（S,） Remark: i.证明代数运算：任意选取集合中的两个元素，让两元素间做此运算，观察运算后的结果是否还在定义的集合中。 ii.若半群中的元素可交换，即a b=b a,则称为交换半群。 2.单位元 i.半群中左右单位元不一定都存在，即使存在也可能不唯一，甚至可能都 不存在；若都存在，则左单位元=右单位元=单位元。 ii.单位元具有唯一性，且在交换半群中：左单位元=右单位元=单位元。 iii.在有单位元的半群中，规定a0=e. 3.逆元
i.在有单位元e的半群中，存在b,使得ab=ba=e,则a为可逆元。 ii.逆元具有唯一性，记作a-1且在交换半群中，左逆元=右逆元=可逆元。 iii.若一个元素a既有左逆元a1，又有右逆元a2，则a1=a2,且为a的逆元。 4.子半群 i.设S是半群，≠T S,若T对S的运算做成半群，则T为S的一个 子半群 ii.T是S的子半群a,b T,有ab T 2.2 群 1．群=半群+单位元+逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元 Remark：i. 若代数运算满足交换律，则称为交换群或Abel群. ii. 加群=代数运算为加法+交换群 iii.单位根群Um={m=1},数域P上全体n阶可逆（满秩）矩 阵集合GL(n,P),数域P上全体n阶的行列式为1的矩阵集合 SL(n,p). 2. 群=代数运算+结合律+左（右）单位元+左（右）逆元 =代数运算+结合律+单位元+逆元 =代数运算+结合律+?a,b G,ax=b,ya=b有解 3. 群的性质 i. 群满足左右消去律 ii.设G是群，则?a,b G,ax=b,ya=b在G中有唯一解 iii.e是G单位元? e2=e iv.若G是有限半群，满足左右消去律，则G是一个群 4. 群的阶 群G的阶，即群G中的元素个数，用表示。若为无限群，则=。 Remark：i.克莱因四元群是一个Abel群 ii.四阶群只有克莱因四元群和模4的剩余类群 2.3元素的阶
近世代数复习
一、选择题(每题2分,共16分) 1.若(),G a ord a n ==,（）则下列说法正确的是 2.假定φ是A 与()A A A =Φ间的一一映射,A a ∈,则)]([1a φφ-和)]([1a -φφ分别为 3.若G 是群,,()18,a G ord a ∈=则8()ord a = 4.指出下列那些运算是二元运算 5.设12,,,n A A A 和D 都是非空集合,而f 是12n A A A ???到D 的一个映射,那么 6.设是正整数集合N +上的二元运算,其中max(,)a b a b =,那么在Z 中 7.在群G 中,G b a ∈,,则方程b ax =和b ya =分别有唯一解为 8.设H 是群G 的子群,且G 有左陪集分类{,,,}H aH bH cH .如果[:]6G H =,那么G = 9.设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（ ）个元素。 10.设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射?：x →x ＋2，?x ∈R ，则?是从A 到B 的 11.设Z 15是以15为模的剩余类加群，那么，Z 15的子群共有（ ）个。 12、G 是12阶的有限群，H 是G 的子群，则H 的阶可能是 13、下面的集合与运算构成群的是 14、关于整环的叙述，下列正确的是 15、关于理想的叙述，下列不正确的是 16.整数环Z 中，可逆元的个数是 17. 设M 2(R)=????????? ??d c b a a,b,c,d ∈R ，R 为实数域??? 按矩阵的加法和乘法构成R 上的二阶方阵环，那么这个方阵环是 18. 设Z 是整数集，σ(a)=?????+为奇数时当为偶数时 当a ,2 1a a ,2a ，Z a ∈，则σ是R 的 19、设A={所有实数x}，A 的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A 到A 的一个子集 的 同态满射的是( ). 20、设 是正整数集Z 上的二元运算，其中{}max ,a b a b =（即取a 与b 中的最大者），那么 在Z 中（ ） 21.设3S ={（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则3S 中与元（1 2 3）不能交换的元的个数是( ) 22、设(),G 为群，其中G 是实数集，而乘法:a b a b k =++，这里k 为G 中固定的常数。那么群(),G 中的单位元e 和元x 的逆元分别是（ ） 23、设H 是有限群G 的子群，且G 有左陪集分类{},,,H aH bH cH 。如果H =6,那么G 的阶G = 16.整数环Z 中，可逆元的个数是( ). 24、设12:f R R →是环同态满射，()f a b =，那么下列错误的结论为（ ）
近世代数基础习题课答案到第二章9题
第一章 第二章 第一章 1. 如果在群G 中任意元素,a b 都满足222()ab a b =, 则G 是交换群. 证明: 对任意,a b G ∈有abab aabb =. 由消去律有ab ba =. □ 2. 如果在群G 中任意元素a 都满足2a e =,则G 是交换群. 证明: 对任意,a b G ∈有222()ab e a b ==. 由上题即得. □ 3. 设G 是一个非空有限集合, 它上面的一个乘法满足: (1) ()()a bc ab c =, 任意,,a b c G ∈. (2) 若ab ac =则b c =. (3) 若ac bc =则a b =. 求证: G 关于这个乘法是一个群. 证明: 任取a G ∈, 考虑2{,,,}a a G ??. 由于||G <∞必然存在最 小的i +∈ 使得i a a =. 如果对任意a G ∈, 上述i 都是1, 即, 对任意x G ∈都有2x x =, 我们断言G 只有一个元, 从而是幺群. 事实上, 对任意,a b G ∈, 此时有: ()()()ab ab a ba b ab ==, 由消去律, 2bab b b ==; 2ab b b ==, 再由消去律, 得到a b =, 从而证明了此时G 只有一个元, 从而是幺群. 所以我们设G 中至少有一个元素a 满足: 对于满足 i a a =的最小正整数i 有1i >. 定义e G ∈为1i e a -=, 往证e
为一个单位元. 事实上, 对任意b G ∈, 由||G <∞, 存在 最小的k +∈ 使得k ba ba =. 由消去律和i 的定义知k i =: i ba ba =, 即be b =. 最后, 对任意x G ∈, 前面已经证明了有最小的正整数k 使得k x x =. 如果1k =, 则2x x xe ==, 由消去律有x e = 从而22x e e ==, 此时x 有逆, 即它自身. 如果1k >, 则11k k k x x xe xx x x --====, 此时x 也有逆: 1k x -. □ 注: 也可以用下面的第4题来证明. 4. 设G 是一个非空集合, G 上有满足结合律的乘法. 如果该乘法 还满足: 对任意,a b G ∈, 方程ax b =和ya b =在G 上有解, 证明: G 关于该乘法是一个群. 证明: 取定a G ∈. 记ax a =的在G 中的一个解为e . 往证e 是G 的单位元. 对任意b G ∈, 取ya b =的一个解c G ∈: ca b =. 于是: ()()be ca e c ae ca b ====. 得证. 对任意g G ∈, 由gx e =即得g 的逆. □ 5. 找两个元素3,x y S ∈使得222()xy x y =/. 解: 取(12)x =, (13)y =. □ 6. 对于整数2n >, 作出一个阶为2n 的非交换群. 解: 二面体群n D . □ 7. 设G 是一个群. 如果,a b G ∈满足1r a ba b -=, 其中r 是正整数, 证 明: i i i r a ba b -=, i 是非负整数.
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近世代数练习题题库 LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020
§1 第一章 基础知识 1 判断题： 1.1 设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。（ ） 1.2 A ×B = B ×A （ ） 1.3 只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1 -f 。（ ） 1.4 如果?是A 到A 的一一映射,则?[?(a)]=a 。( ) 1.5 集合A 到B 的可逆映射一定是A 到B 的双射。（ ） 1.6 设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。（ ） 1.7 在整数集Z 上，定义“ ”：a b=ab(a,b ∈Z)，则“ ”是Z 的一个二元运算。（ ） 1.8 整数的整除关系是Z 的一个等价关系。( ) 2 填空题： 2.1 若A={0,1} , 则A ?A= __________________________________。 2.2 设A = {1，2}，B = {a ，b}，则A ×B =_________________。 2.3 设={1,2,3} B={a,b},则A ?B=_______。 2.4 设A={1,2}, 则A ?A=_____________________。 2.5 设集合{}1,0,1-=A ；{ }2,1=B ，则有=?A B 。 2.6 如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则 ()[]=-a f f 1 。 2.7 设A =｛a 1, a 2,…a 8｝，则A 上不同的二元运算共有 个。
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近世代数一、单项选择题 A?=（） 1、若A={1，2，3，5}，B={2，3，6，7}，则B A、{1，2，3，4} B、{2，3，6，7} C、 2 A C 3 A、 C 4 A、 B、 5、设 是从A到B的（） A、单射 B、满射 C、一一映射 D、既非单射也非满射 答案：D 6、有限群中的每一个元素的阶都（） A、有限 B、无限
C 、为零 D 、为1 答案：A 7、整环（域）的特征为（） A 、素数B 、无限 C 、有限 D 、或素数或无限 答案：D 8、若S 是半群,则() A C 9A 、C 、10A 、C 、11 A B 、A 1 C 、n A A A ??? 21中不同的元对应的象必不相同； D 、一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。 答案：B 12、指出下列那些运算是二元运算（） A 、在整数集Z 上，ab b a b a += ；
B 、在有理数集Q 上，ab b a = ； C 、在正实数集+R 上，b a b a ln = ； D 、在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。 答案：D 13、设 是整数集Z 上的二元运算，其中{}b a b a ,m ax = （即取a 与b 中的最大者），那么 在Z 中（） A C 14() ,G A 、015A 、bc 16（） A 、61721A 、f 的同态核是1G 的不变子群； B 、2G 的不变子群的逆象是1G 的不变子群； C 、1G 的子群的象是2G 的子群； D 、1G 的不变子群的象是2G 的不变子群。 答案：D
18、设21:R R f →是环同态满射，b a f =)(，那么下列错误的结论为（） A 、若a 是零元，则b 是零元；B 、若a 是单位元，则b 是单位元； C 、若a 不是零因子，则b 不是零因子； D 、若2R 是不交换的，则1R 不交换。 答案：C 19、下列正确的命题是（） A 、欧氏环一定是唯一分解环； B 、主理想环必是欧氏环； C 20A 、(E C 、(I :12、设答：3．设21Rl l 4、设群G 中的元素a 的阶为m ，则e a n =的充要条件是（）。 答：n m 5、群G 的非空子集H 作成G 的一个子群的充要条件是（）。 答：,,H b a ∈?有H ab ∈-1 6、n 次对称群n S 的阶是（）。
近世代数讲义(电子教案)
《近世代数》课程教案 第一章 基本概念 教学目的与教学要求：掌握集合元素、子集、真子集。集合的交、并、积概念；掌握映射的定义及应注意的几点问题，象，原象的定义；理解映射的相同的定义；掌握代数运算的应用；掌握代数运算的一般结合运算，理解几个元素作代数运算的特点；理解代数运算的结合律；掌握并能应用分配律与结合律的综合应用；掌握满射，单射，一一映射及逆映射的定义。理解满射，单射，一一映射及逆映射的定义；掌握同态映射、同态满射的定义及应用；掌握同构映射与自同构的定义；掌握等价关系的定义，理解模n 的剩余类。 教学重点：映射的定义及象与原象的定义，映射相同的定义；代数运算的应用，对代数运算的理解；代数运算的结合律；对定理的理解与证明；同态映射，同态映射的定义；同构映射的定义以及在比较集合时的效果；等价关系，模n 的剩余类。 教学难点：元素与集合的关系（属于），集合与集合的关系（包含）；映射定义，应用该定义应注意几点；代数运算符号与映射合成运算符号的区别；结合率的推广及满足结合律的代数运算的定义；两种分配律与⊕的结合律的综合应用；满射，单射，一一映射及逆映射的定义；同态映射在比较两个集合时的结果；模n 的剩余类。 教学措施：网络远程。 教学时数：8学时。 教学过程： §1 集合 定义：若干个（有限或无限多个）固定事物的全体叫做一个集合（简称集）。集 合中的每个事物叫做这个集合的元素（简称元）。 定义：一个没有元素的集合叫做空集，记为?，且?是任一集合的子集。 （1）集合的要素：确定性、相异性、无序性。 （2）集合表示： 习惯上用大写拉丁字母A ，B ，C …表示集合， 习惯上用小写拉丁字母a ，b ，c …表示集合中的元素。 若a 是集合A 中的元素，则记为A a A a ?∈否则记为,。 表示集合通常有三种方法： 1、枚举法（列举法）： 例：A =｛1，2，3，4｝，B =｛1，2，3，…，100｝。 2、描述法：{})(,)(x p x p x A =—元素x 具有的性质。 例：{}41≤≤∈=a Z a a A 且。显然例6中的A 就是例5的A 。 3、绘图法：用文氏图（Diagram Venn ）可形象地表现出集合的特征及集合之
最新近世代数复习提纲
近世代数复习提纲 群论部分 一、基本概念 1、群的定义（四个等价定义） 2、基本性质 （1）单位元的唯一性； （2）逆元的唯一性； （3）11111(),()ab b a a a -----==； （4）ab ac b c =?=； （5）1ax b x a b -=?=；1ya b y ba -=?=。 3、元素的阶 使m a e =成立的最小正整数m 叫做元素a 的阶，记作||a m =；若这样的正整数不存在，则称a 的阶是无限的，记作||a =∞。 （1）11|,||||()|||a g ag g G a a --=?∈=。 （2）若m a e =，则 ①||a m ≤； ②||a m =?由n a e =可得|m n 。 （3）当群G 是有限群时，a G ?∈，有||a <∞且||||a G 。 （4）||||r n a n a d =?= ，其中(,)d r n =。 证明 设|||r a k =。因为()()n r r n d d a a e ==，所以n k d 。 另一方面，因为()r k rk a a e ==，所以n rk ，从而 n r k d d ，又(,)1r n d d =，所以 n k d ，故n k d =。
注：1? ||||||ab a b ≠，但若ab ba =，且(||,||)1a b =，则有||||||ab a b =（P70.3）。 2? ||,||G a G a <∞??∈<∞；但,||||a G a G ?∈<∞?<∞/。 例1 令{|,1}n G a C n Z a =∈?∈?=，则G 关于普通乘法作成群。显然，1是G 的单位元，所以a G ?∈，有||a <∞，但||G =∞。 二、群的几种基本类型 1、有限群：元素个数（即阶）有限的群，叫做有限群。 2、无限群：元素个数（即阶）无限的群，叫做无限群。 3、变换群：集合A 上若干一一变换关于变换乘法作成的群，叫做集合A 上的变换群。 （1）变换群的单位元是A 的恒等变换。 （2）A 的所有一一变换的集合关于变换的乘法作成A 上最大的变换群。 （3）一般地，变换群不是交换群。 （4）任一个群都与一个变换群同构。 4、置换群：有限集合A 上的一一变换叫做置换，若干置换作成的变换群叫做置换群。即有限集合上的变换群叫做置换群。 例2 设(123),(13)(24)αβ==是5S 中元素，求αβ。 解 12345123451234512345(123)(13)(24)(142)23145321451432541325αβ????????==== ????? ????????? （1）n 元集合A 的所有置换作成的置换群，叫做n 次对称群，记作n S 。 （2）||!n S n =。 （3）每个n 元置换都可表示为若干个没有公共数字的循环置换的乘积。 （4）11221()()k k i i i i i i -=L L 。 （5）任一有限群都与一个置换群同构。 5、循环群：若群G 中存在元素a ，使得(){|}n G a a n Z ==∈，则称G 是循环群。 （1）循环群是交换群（P61.1）。 （2）素数阶群是循环群（P70.1）。
近世代数 第11讲
第11 讲 §8 子群（Subgroups） 本讲教学目的和要求：对于群这个新的教对象，应该如何入手，从哪几个方面去研究它，这一直是我们所关心的问题。概括些说，对群的研究，可分为互相联系的两个方面：群的结构和群的表示。与集合比较，群就是多了一个运送（正是这个运算才给群带来了生命力），所以群论研究的初步可以仿照集合论去讨论，只是关系群的一切讨论都要围绕这个运送展开，子群是非常重要的概念，了解子群是了解群的结构的一个重要渠道，本讲中要求： 1、能判断子群的构成和掌握彼此等价的判断条件 2、有限群的判断定理 3、子群（集）的乘积和生成子群的概念 4、循环群的子群所具有的特性 本讲的重点和难点：为了更好的学习下一讲内容，本讲中增添了部分内容（也都是群论中最基本的内容）。循环群的子群的性质；子群之积的性质，…都是本讲中的要点和难点，通过这方面的训练可使我们对子群有一个更深入的了解。生成子群的概念在本教材中谈的很少，本讲中也作了适当地加强。结合高等代数中生成子空间的理论，会使我们有一种温故而知新的感觉。此外，本讲中还引入了中心，中心化子，正规化子等概念，以便拓宽知识量。
一、 子群的定义及判定条件 定义1、设G 是一个群，而φ≠?H G H ,，如果H 关于G 中的运算本身也能作成群，则称H 是G 的一个子群记为 例 1 设G 为任意一个群，那么由G 的单位元组成子集}{e ，自然有G e ≤}{，另外G 本身也有G G ≤，所以G 一般有两个子群，统称它们为的G 平凡子群。如果G 除了平凡子群外还有其他子群，那就称为G 的真子群，记为G H <。 例2 Z 是整数加群，而一切偶数构成的集合为Z 2，其中： },4,2,0,2,4,{2 --=Z ，那么关于整数的加法有Z Z ≤2 明示1：任取一个整数m ，那么}|{Z n n m mZ ∈??=为一切m 的倍数构成的集合，可知Z mZ ≤. 例3 设}0|||)({≠∈=A R M A L n 表示一切可逆n 阶方阵组成的集合，用 矩阵通常的乘法可知： ? L 中方阵对乘法封闭（任二个n 阶可逆阵之积仍可逆） ? L 中方阵满足乘法结合律 ?单位元为E ?A L A ?∈.的逆元为A A —1-的逆阵 所以L 是个群。 若????? ???????= k k k kE 令为L 中的n 阶数乘阵，那么}0,|{≠∈?=k R k kE K 是L 的非空子集，且必有L K ≤。 例4 设)}132(),123(),23(),13(),12(),1{(3=S 为三次对称群，令)} 12(),1{(=H
近世代数期末考试题库
近世代数模拟试题一 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射?：x →x ＋2，?x ∈R ，则?是从A 到B 的（ ） A 、满射而非单射 B 、单射而非满射 C 、一一映射 D 、既非单射也非满射 2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（ ）个元素。 A 、2 B 、5 C 、7 D 、10 3、在群G 中方程ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（ ）乘法来说 A 、不是唯一 B 、唯一的 C 、不一定唯一的 D 、相同的(两方程解一样) - 4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数（ ） A 、不相等 B 、0 C 、相等 D 、不一定相等。 5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的（ ） A 、倍数 B 、次数 C 、约数 D 、指数 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=?A B ---------。 2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ，都有ae=ea=a ，则e 称为环R 的--------。 3、环的乘法一般不交换。如果环R 的乘法交换，则称R 是一个------。 4、偶数环是---------的子环。 5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个--------。 ~ 6、每一个有限群都有与一个置换群--------。 7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是---，元a 的逆元是-------。 8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ??，如果I 是R 的最大理想，那么---------。 9、一个除环的中心是一个-------。 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 1、设置换σ和τ分别为：? ? ????=6417352812345678σ，??? ???=2318765412345678τ，判断σ和τ的奇偶性，并把σ和τ写成对换的乘积。 ， 2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。
近世代数知识点
近世代数知识点 第一章基本概念 1.1 集合 A 的全体子集所组成的集合称为A 的幂集，记作2 A. 1.2 映射 证明映射： 单射：元不同，像不同；或者像相同，元相同。 满射：像集合中每个元素都有原像。 Remark ：映射满足结合律！ 1.3 卡氏积与代数运算 { (a,b ) la €A,b €B }此集合称为卡氏积，其中(a,b )为有序元素对，所以一般A*B不等于B*A. 集合到自身的代数运算称为此集合上的代数运算。 1.4 等价关系与集合的分类 ★等价关系：1 自反性：? a€A,a~a; 2 对称性：? a,b€R, a~b=>b ~a€R; 3 传递性：? a,b,c€R,a~b,b ~c =>a ~c€R. Remark :对称+传递工自反 ★一个等价关系决定一个分类，反之，一个分类决定一个等价关系 ★不同的等价类互不相交，一般等价类用[a] 表示。
第二章群 2.1 半群 1. 半群=代数运算 +结合律，记作（ S,°） Remark: i. 证明代数运算：任意选取集合中的两个元素，让两元素间做此运算，观察运算后的结果是否还在定义的集合中。 ii. 若半群中的元素可交换，即 a°b=b °a, 则称为交换半群。 2. 单位元 i. 半群中左右单位元不一定都存在，即使存在也可能不唯一，甚至可能都不 存在；若都存在，则左单位元 =右单位元 =单位元。 ii. 单位元具有唯一性，且在交换半群中：左单位元= 右单位元 = 单位元。 iii. 在有单位元的半群中，规定 a0=e. 3. 逆元 i. 在有单位元 e 的半群中，存在 b, 使得 ab=ba=e, 则 a 为可逆元。 ii. 逆元具有唯一性，记作 a-1且在交换半群中，左逆元=右逆元= 可逆元。 iii. 若一个元素a既有左逆元al,又有右逆元a2,则a1=a2,且为a的逆元。 4. 子半群 i. 设S是半群，？ T?S若T对S的运算做成半群，贝U T为S的一个 子半群
《近世代数》模拟试题2及答案
近世代数模拟试题 一、单项选择题(每题5分,共25分) 1、在整数加群(Z,＋)中,下列那个就是单位元( )。 A 0 B 1 C －1 D 1/n,n就是整数 2、下列说法不正确的就是( )。 A G只包含一个元g,乘法就是gg＝g。G对这个乘法来说作成一个群 B G就是全体整数的集合,G对普通加法来说作成一个群 C G就是全体有理数的集合,G对普通加法来说作成一个群 D G就是全体自然数的集合,G对普通加法来说作成一个群 3、下列叙述正确的就是( )。 A 群G就是指一个集合 B 环R就是指一个集合 C 群G就是指一个非空集合与一个代数运算,满足结合律,并且单位元,逆 元存在 D 环R就是指一个非空集合与一个代数运算,满足结合律,并且单位元,逆 元存在 4、如果集合M的一个关系就是等价关系,则不一定具备的就是( )。 A 反身性 B 对称性 C 传递性 D 封闭性 S的共轭类( )。 5、下列哪个不就是 3 A (1) B (123),(132),(23) C (123),(132) D (12),(13),(23) 二、计算题(每题10分,共30分) S的正规化子与中心化子。 1、求S＝{(12),(13)}在三次对称群 3
2、设G ＝{1,－1,i,－i},关于数的普通乘法作成一个群,求各个元素的阶。 3、设R 就是由一切形如??? ? ??0,0,y x (x,y 就是有理数)方阵作成的环,求出其右零因子。
三、证明题(每小题15分,共45分) 1、设R 就是由一切形如??? ? ??0,0,y x (x,y 就是有理数)方阵作成的环,证明??? ? ??0,00,0就是其零因子。 2、设Z 就是整数集,规定a ·b ＝a ＋b －3。证明:Z 对此代数运算作成一个群,并指出其单位元。
近世代数第3讲
第 3 讲 §7—9 一一映射，同态及同构（2课时） (Bijection Homomorphism and Osomorphism ) 本讲教学目的和要求：通过了解双射，同态及同构的理论，为后继课程中学习群同态，群同构（群第一、二同构定理）环同态，环同构理论做准备。具体要求： 1、在第一讲的基础上，对各类映射再做深入的研究。 2、充分了解双射（一一映射）的特性以及由此引导出的逆映射。 3、两个代数系统的同态的概念，尤其是同态的满射所具有的性质。 4、掌握同构映射的实质，为以后教学内容奠定基础， 本讲的重点和难点：本讲的重点在于对同态映射定义的了解；由同态满射引导的一系列性质及同构映射本质的掌握。而对双射及自身的逆映射之间的关系学生不易把握，需要认真对待。 本讲的教法和教具：在多媒体教室使用投影仪。在教学活动中安排时间让学生展开讨论。 本讲思考题及作业：本讲思考题将随教学内容而适当地展开。作业布置在本讲结束之后。 一、一一映射 在第1讲中，已对各类映射作了系列性的介绍，这里只对重要的
一一映射作重点的讨论。 定义1、设?是集合A 到A 的映射，且?既是单的又是满的，则称?是一个一一映射（双射）。 例1：},4,2,0,2,4,{2},2,1,0,1,2,{: --=→--=Z Z ?， 其中Z n n n ∈?=,2)(?，可知?显然是一个双射。 注意：Z 与偶数集Z 2之间存在双射，这表明：Z 与它的一个真子集Z 2一样“大”。 思考题：从例1中得知：一个无限集与其的某个真子集一样“大”。这是否可作为无限集都有的特性？即我们是否有如下的结论：A 为无限集的充要条件是A 与其某个真子集之间存在双射。 定理1：设?是A 到A 的一个双射，那么由?可诱导出（可确定出）A 到A 的一个双射1-?（通常称1-?是?的逆映射） 证明：由于?是A 到A 的双射，那么就A 中任一个元素a ，它在A 中都有逆象a ，并且这个逆象a 是唯一的。利用?的这一特点，则可确定由A 到A 的映射1-?： a a A a A A =∈?→--)(,,:11??，如果a a =)(?，由上述说明，易知1-?是映射。 1-?是满射：A a ∈?，因?是映射a a A a =∈??)(,?使，再由1-?的定义知a a =-)(1?，这恰说明，a 是a 在1-?下的逆象。由a 的任意性，知1-?是满射。 1-?是单射：2121,,a a A a a ≠∈?若由?是满射21a a 及?的逆象分别是 22111121)(,)(,a a a a a a ==--??即及，又?是单射21a a ≠?，
近世代数期末考试试题和答案解析
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、 {}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群 A 、G 为整数集合，*为加法 B 、G 为偶数集合，*为加法 C 、G 为有理数集合，*为加法 D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ） A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ ） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于------。 4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。 6、若映射?既是单射又是满射，则称?为-----------------。 7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。
抽象代数复习题及答案
《抽象代数》试题及答案 本科 一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案， 并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题3分) 1. 设Q 是有理数集，规定f(x)= x +2；g(x)=2 x +1,则（fg ）(x)等于（ B ） A. 2 21x x ++ B. 2 3x + C. 2 45x x ++ D. 2 3x x ++ 2. 设f 是A 到B 的单射，g 是B 到C 的单射，则gf 是A 到C 的 （ A ） A. 单射 B. 满射 C. 双射 D. 可逆映射 3. 设 S 3 = {（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S 3中与元素（1 32）不能交换的元的个数是( C )。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 在整数环Z 中，可逆元的个数是( B )。 \ A. 1个 B. 2个 C. 4个 D. 无限个 5. 剩余类环Z 10的子环有( B )。 A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 6. 设G 是有限群，a ∈G, 且a 的阶|a|=12, 则G 中元素8 a 的阶为( B ) A ． 2 B. 3 C. 6 D. 9 7．设G 是有限群，对任意a,b ∈G ，以下结论正确的是( A ) A. 111 ) (---=a b ab B. b 的阶不一定整除G 的阶 C. G 的单位元不唯一 D. G 中消去律不成立 8. 设G 是循环群，则以下结论不正确．．．的是( A ) A. G 的商群不是循环群 B. G 的任何子群都是正规子群 [ C. G 是交换群 D. G 的任何子群都是循环群 9. 设集合 A={a,b,c}, 以下A ?A 的子集为等价关系的是( C ) A. 1R = {(a,a),(a,b),(a,c),(b,b)} B. 2R = {(a,a),(a,b),(b,b),(c,b),(c,c)} C. 3R = {(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)} D. 4R = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(b,c),(c,b)} 10. 设f 是A 到B 的满射，g 是B 到C 的满射，则gf 是A 到C 的 （ B ） A. 单射 B. 满射 C. 双射 D. 可逆映射 11. 设 S 3 = {（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S 3中与元素（1 2）能交换的元的个数是( B )。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 … 12. 在剩余类环8Z 中，其可逆元的个数是( D )。 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 13. 设（R ，+，·）是环 ，则下面结论不正确的有( C )。 A. R 的零元惟一 B. 若0x a +=，则x a =-