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一线三等角模型、双垂直模型(自己总结)

一线三等角模型、双垂直模型(自己总结)
一线三等角模型、双垂直模型(自己总结)

如图,AB=12米,CA丄AB于点A , DB丄AB于点B,且AC=4米,点P从B向A运动, 每分钟走1米,点Q从B点向D运动,每分钟走2米,P、Q两点同时出发,运动几分钟后,△ CPA 与厶PQB全等?

D

C /

/

F - f

I

A p S

如图①所示,在△ ABC中,/ C=90 0,AC=BC,过点C在厶ABC外作直线MN,AM丄M

N于点M , BN丄MN于点N .

⑴求证:MN=AM + BN .

(2)如图②.若过点C直线MN与线段AB相交,AM丄MN于点M, BN丄MN于N ,(1)中的

结论是否仍然成立?说明理由.

图①图②

如图,已知/ B= / C=90 ° M是BC的中点,DM平分/ ADC.

(1) 求证:AM平分/ DAB

(2) 试说明线段DM与AM有怎样的位置关系?

(3) 线段CD、AB、AD间有怎样的关系?直接写出结果

如图,△ ABE EDC , E 在BD 上, AB 丄BD ,垂足为 B , △ AEC 是等腰直角三角形吗

? 为什么?

【练3】正方形ABCD,E是BC上一点,AE — EF,交/ DCH的平分线于点 F ,求证AE=EF

如图所示,在Rt ABC中,.ABC =90 ,点D在边AB上,使,过点D作EF _ AC,分别

交AC于点E,CB的延长线于点F。求证:AB=BF。( 8分)

如图(1),已知AB 丄BD,ED 丄BD,AB=CD,BC=DE,

⑴试判断AC与CE的位置关系,并说明理由.

(2)若将CD沿CB方向平移得到图②③④⑤的情形,其余条件不变,此时第(1)问中AC与CE的位置关系还成立吗?结论还成立吗?请任选一个说明理由.

如图,在△ ABC中,AB=AC , DE是过点A的直线,BD丄DE于D, CE丄DE于点E;

⑵若B. C在DE的两侧(如图所示),其他条件不变,AB与AC仍垂直吗?若是请给出证明; 若不是,请说明理由。

⑴若B. C在DE的同侧(如图所示)且AD=CE.求证:AB丄AC ;

如图,.AOB二90,OA=OB,直线1经过点O,分别过A、B两点作AC _丨交I于点C, BD _ I

交I于点D。求证:AC=OD。(6分)

如图,在△ ACB 中,/ ACB=90 °, CD 丄AB 于 D.

(1) 求证:/ ACD= / B;

(2) 若AF 平分/ CAB 分别交CD、BC 于E. F,求证:/ CEF= / CFE.

如图,已知:AB丄BD , ED丄BD , AB=CD , BC=DE,那么AC与CE有什么关系?写出你的猜想并说明理由。

如图1,在△ ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,点E在AD上。

(1)求证:BE=CE ;

⑵如图2,若BE的延长线交AC于点F,且BF丄AC,垂足为F, / BAC=45。,原题设其它条件不变。求证:△ AEF BCF.

(完整word版)几何模型:一线三等角模型.docx

一线三等角模型 一 . 一线三等角概念 “一线三等角” 是一个常见的相似模型, 指的是有 三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形, 这个角可以是直角, 也可以是锐角或钝角。 不同地区对此有不同的称呼, “K 形图”,“三垂直”,“弦图”等,以下称为“一线三等角” 。二 . 一线三等角的分类 全等篇 C D D C A P B A P B 锐角 直角 D D D C A P B 同侧 钝角 D A A B P P B A B P C C 相似篇 C 异侧 D C D C A P B A P B 锐角 直角 D D C A P B 同侧 钝角 D D A B P A B P A B P C C C 异侧 三、“一线三等角”的性质 1. 一般情况下,如图 3-1 ,由∠ 1=∠ 2=∠ 3,易得△ AEC ∽△ BDE. 2. 当等角所对的边相等时,则两个三角形全等 . 如图 3-1 ,若 CE=ED ,则△ AEC ≌△ BDE.

3.中点型“一线三等角” 如图 3-2,当∠ 1=∠2=∠3,且 D 是 BC 中点时,△ BDE∽△ CFD∽△ DFE. 4. “中点型一线三等角“的变式( 了解 ) 如图 3-3,当∠ 1=∠2 且BOC 901 BAC 时,点O是△ABC的内心.可以考虑构2 造“一线三等角”. 如图 3- 4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关, BOC901 BAC 这是内心的性质,反之未必是内心. 2 在图 3-4(右图)中,如果延长BE 与 CF,交于点 P ,则点 D 是△ PEF 的旁心 . 5.“一线三等角”的各种变式(图 3-5 ,以等腰三角形为例进行说明) 图 3-5 其实这个第 4 图,延长 DC 反而好理解 . 相当于两侧型的,不延长理解,以为是一种新型的,同侧穿越型?不管怎么变,都是由三等角确定相似三角形来进行解题 四、“一线三等角”的应用 1.“一线三等角”应用的三种情况 . a.图形中已经存在“一线三等角”,直接应用模型解题; b.图形中存在“一线二等角”,不上“一等角”构造模型解题;

一线三等角模型

专题九:“一线三角型”模型的应用 1、如图,在△ABC中,AB=AC,P、M分别在BC、AC边上,且APM B ∠=∠,AP=MP,求证:△APB≌△PMC。 分析:证明两个三角形全等,找边、角的等量关系,根据 已有的知识经验,学生很快能够解决。 2、如果把第1题中的等腰三角形改为等边三角形,如图, △ABC为等边三角形,60 APM? ∠=,BP=1, 2 3 CM=,求△ABC的边长。 3、如图,等腰梯形ABCD中,AD//BC,3,7,60 AD cm BC cm B? ==∠=,P为BC上一点(不与B、C重合),连结AP,过P点作PM交DC于M,使得APM B ∠=∠。 (1)求证:△ABP∽△PCM; (2)求AB的长; (3)在底边BC上是否存在一点P,使得DM:MC=5:3?若存在, 求出BP的长;若不存在,请说明理由。

4、如图,, ===, AB cm CD cm BD cm ⊥⊥,且6,4,14 AB BD CD BD 问:在BD上是否存在P点,使以P、B、A为顶点的三角形与以P、D、C 为顶点的三角形相似?如果存在,求BP的长;如果不存在,请说明理由。 5、已知在梯形ABCD中,AD//BC,AD BC <,且AD=5,AB=DC=2。 (1)如图a,P是AD上的一点,满足BPC A ∠=∠。 ①求证:△ABP∽△DPC;②求AP的长。 (2)如果点P在AD边上移动(点P与点A、D不重合),且满足BPE A ∠=∠,PE交直线BC于点E,同时交直线DC于点Q,那么: ①当点Q在线段DC的延长线上时,设, AP x CQ y ==,求y关于x的函数解析式,并写出函数自变量的取值范围; ②当CE=1时,求出AP的长。 6、正方形ABCD边长为4,M、N分别是BC、CD上的两个动点, 当M点在BC上运动时,保持AM和MN垂直,如图。 (1)证明Rt△ABM∽Rt△MCN; (2)设BM x =,梯形ABCN的面积为y,求y与x之间的函数 关系式;当M点运动到什么位置时,四边形ABCN面积最大,并求出

一线三等角模型、双垂直模型(自己总结)

如图,AB=12米,CA丄AB于点A , DB丄AB于点B,且AC=4米,点P从B向A运动, 每分钟走1米,点Q从B点向D运动,每分钟走2米,P、Q两点同时出发,运动几分钟后,△ CPA 与厶PQB全等? D C / / F - f I A p S 如图①所示,在△ ABC中,/ C=90 0,AC=BC,过点C在厶ABC外作直线MN,AM丄M N于点M , BN丄MN于点N . ⑴求证:MN=AM + BN . (2)如图②.若过点C直线MN与线段AB相交,AM丄MN于点M, BN丄MN于N ,(1)中的 结论是否仍然成立?说明理由. 图①图②

如图,已知/ B= / C=90 ° M是BC的中点,DM平分/ ADC. (1) 求证:AM平分/ DAB (2) 试说明线段DM与AM有怎样的位置关系? (3) 线段CD、AB、AD间有怎样的关系?直接写出结果 如图,△ ABE EDC , E 在BD 上, AB 丄BD ,垂足为 B , △ AEC 是等腰直角三角形吗 ? 为什么?

【练3】正方形ABCD,E是BC上一点,AE — EF,交/ DCH的平分线于点 F ,求证AE=EF 如图所示,在Rt ABC中,.ABC =90 ,点D在边AB上,使,过点D作EF _ AC,分别 交AC于点E,CB的延长线于点F。求证:AB=BF。( 8分) 如图(1),已知AB 丄BD,ED 丄BD,AB=CD,BC=DE, ⑴试判断AC与CE的位置关系,并说明理由. (2)若将CD沿CB方向平移得到图②③④⑤的情形,其余条件不变,此时第(1)问中AC与CE的位置关系还成立吗?结论还成立吗?请任选一个说明理由.

一线三等角典型例题

“  一线三等角”模型在初中数学中的应用 一、“一线三等角”模型的提炼 例1、(2015 年山东·德州卷) (1)问题:如图1,在四边形ABCD 中,点P 为AB上一点,∠DPC=∠A=∠B=90°.求证:AD·BC=AP·BP. (2)探究:如图2,在四边形ABCD 中,点P 为AB上一点,当∠DPC=∠A=∠B=θ时,上述结论是否依然成立?说明理由. (3)应用:请利用(1)、(2)获得的经验解决问题:如图3,在△ABD 中,AB=6,AD=BD=5.点P 以每秒1 个单位长度的速度,由点 A 出发,沿边AB 向点B 运动,且满足∠DPC=∠A.设点P 的运动时间为t(秒),当以D 为圆心,以DC 为半径的圆与A B相切,求t 的值. 变式1 ( 2012 年烟台) ( 1) 问题探究 如图6,分别以△ABC 的边AC 与边BC 为边,向△ABC 外作正方形ACD1E1 和正方形BCD2E2,过点C作直线KH 交直线AB 于点H,使∠AHK = ∠ACD1.作 D1M ⊥KH,D2N ⊥KH,垂足分别为点M、N.试探究线段D1M 与线段D2N 的数量关系,并加以证明. ( 2) 拓展延伸 1如图7,若将“问题探究”中的正方形改为正三角形,过点 C 作直线K1H1 ,K2H2,分别交直线AB 于点H1、H2,使∠AH1K1 = ∠BH2K2 = ∠ACD1.作D1M ⊥K1H1,D2N⊥K2H2,垂足分别为点M、N. D1M = D2N 是否仍成立? 若成立,给出证明; 若不成立,说明理由. 2如图8,若将① 中的“正三角形”改为“正五边形”,其他条件不变.D1M = D2N 是否仍成立? ( 要求:在图8 中补全图形,注明字母,直接写出结论,不需证明)

一线三等角模型(K型、三垂直模型)应用

《八年级数学期中培优》全等、等腰与勾股综合:一线三等角模型(K 型/三垂直模型)应用 1.(1)如图(1),已知:在△ABC 中,AB=AC ,∠BAC=90°,直线MN 过A 点,分别过B 、C 向直线MN 作垂线,垂 足为E 、F 。求证: EF=BE+CF 。 (2)若将(1)中的直线MN 绕着A 点旋转,使直线MN 与BC 相交,如图(2),而其他条件不变时,(1)中的 结论是否成立?若成立,请你证明;若不成立,你能得到什么结论?请给出证明。 2.如图1,△ABC 中,AG ⊥BC 于点G ,以A 为直角顶点,分别以AB 、AC 为直角边,向△ABC 外作等腰Rt △ABE 和等腰Rt △ACF ,过点E 、F 作射线GA 的垂线,垂足分别为P 、Q . (1)试探究EP 与FQ 之间的数量关系,并证明你的结论. (2)若连接EF 交GA 的延长线于H ,由(1)中的结论你能判断并证明EH 与FH 的大小关系吗? (3)图2中的△ABC 与△AEF 的面积相等吗?(不用证明) A B C E F 图(1) M N A B C E F 图(2) M N

3.[问题背景]如图1所示,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,点D为直线BC上的一个动点(不与B、C重合),连结AD,将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°,使点A旋转到点E,连结EC. [问题初探]如果点D在线段BC上运动,通过观察、交流,小明形成了以下的解题思路:过点E作EF⊥BC交直线BC于F,如图2所示,通过证明△DEF≌△,可推证△CEF是三角形,从而求得 ∠DCE=°. [继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动,如图3所示,求出∠DCE的度数. [拓展延伸]连接BE,当点D在直线BC上运动时,若AB=,请直接写出BE的最小值. 4、课间,小聪拿着老师的等腰直角三角板玩,不小心掉到两墙之间(如图),∠ACB=90°,AC=BC,从三角板的刻度可知AB=20cm,小聪很快就知道了砌墙砖块的厚度的平方(每块砖的厚度相等)为________cm. 5、如图,已知△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,三角形的顶点在相互平行的三条直线l1、l2、l3上,且l1、l2之间 的距离为2 , l2、l3之间的距离为3 ,则AC的长为。

几何模型:一线三等角模型知识讲解

几何模型:一线三等 角模型

一线三等角模型 一.一线三等角概念 “一线三等角”是一个常见的相似模型,指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形,这个角可以是直角,也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼,“K 形图”,“三垂直”,“弦图”等,以下称为“一线三等角”。 二.一线三等角的分类 全等篇 同侧 锐角直角钝角 P 异侧 相似篇 A 同侧锐角直角钝角 异侧

三、“一线三等角”的性质 1.一般情况下,如图 3-1,由∠1=∠2=∠3,易得△AEC ∽△BDE. 2.当等角所对的边相等时,则两个三角形全等.如图 3-1,若 CE=ED ,则△AEC ≌△BDE. 3.中点型“一线三等角” 如图 3-2,当∠1=∠2=∠3,且 D 是 BC 中点时,△BDE∽△CFD∽△DFE. 4.“中点型一线三等角“的变式(了解) 如图 3-3,当∠1=∠2 且1 902 BOC BAC ∠=?+∠时,点 O 是△ABC 的内心.可以考虑构造“一线三等角”. 如图 3-4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关, 1 902 BOC BAC ∠=?+∠这是内心的性质,反之未必是内心. 在图 3-4(右图)中,如果延长 BE 与 CF ,交于点 P ,则点 D 是△PEF 的旁心. 5.“一线三等角”的各种变式(图 3-5,以等腰三角形为例进行说明 ) 图 3-5 其实这个第 4 图,延长 DC 反而好理解.相当于两侧型的,不延长理解,以为是一种新型的,同侧穿越型?不管怎么变,都是由三等角确定相似三角形来进行解题 四、“一线三等角”的应用

一线三等角模型综合题解

【例1】已知正方形ABCD和等腰Rt△BEF,BE=EF,∠BEF=90°,按图①放置,使点F在BC上,取DF的中点G,连接EG、CG. (1)探索EG、CG的数量关系和位置关系并证明; (2)将图①中△BEF绕B点顺时针旋转45°,再连接DF,取DF中点G(如图②),问(1)中的结论是否仍然成立.证明你的结论; (3)将图①中△BEF绕B点转动任意角度(旋转角在0°到90°之间),再连接DF,取DF的中点G(如图③),问(1)中的结论是否仍然成立,证明你的结论.

【例2】如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=BC=6,AD=3.点M为边BC的中点,以M为顶点作∠EMF=∠B,射线ME交腰AB于点E,射线MF交腰CD于点F,连接EF. (1)求证:△MEF∽△BEM; (2)若△BEM是以BM为腰的等腰三角形,求EF的长; (3)若EF⊥CD,求BE的长.

【例3】如图,在梯形ABCD 中,AD∥BC,AD=6cm,CD=4cm,BC=BD=10cm,点P 由B 出发沿 BD 方向匀速运动,速度为1cm/s;同时,线段EF 由DC 出发沿DA 方向匀速运动,速度为1cm/s,交BD 于Q,连接PE.若设运动时间为t(s)(0<t<5).解答下列问题: (1)当t 为何值时,PE∥AB; (2)设△PEQ 的面积为y(cm 2),求y 与t 之间的函数关系式; (3)是否存在某一时刻t,使S△PEQ=25 2S△BCD?若存在,求出此时t 的值;若不存在,说明理由;(4)连接PF,在上述运动过程中,五边形PFCDE 的面积是否发生变化?说明理由.

一线三等角模型、双垂直模型[自己总结]

如图,AB=12 米,CA⊥AB 于点A,DB⊥ AB 于点B,且AC=4 米,点P 从 B 向 A 运动, 每分钟走1米,点Q从B点向D 运动,每分钟走2米,P、Q两点同时出发,运动几分钟 如图①所示,在△ABC 中,∠C=90°,AC=BC,过点 C 在△ABC 外作直线MN,AM⊥M N 于点M,BN⊥MN 于点N. (1)求证:MN=AM+BN. (2)如图②.若过点C 直线MN与线段AB相交,AM⊥MN于点M,BN⊥MN于N,(1)中的 结论是否仍然成立?说明理由. 图① 图②

如图,已知∠B=∠C=90°,M 是BC 的中点,DM 平分∠ADC. 1)求证:AM 平分∠DAB 2)试说明线段DM与AM有怎样的位置关系? 3)线段CD、AB、AD间有怎样的关系?直接写出结果。 如图,△ABE≌△EDC,E 在BD 上,AB⊥BD,垂足为B,△AEC 是等腰直角三角形吗?为什么?

练3】正方形ABCD,E 是BC上一点,AE ⊥EF,交∠DCH 的平分线于点F,求证AE=EF

交AC 于点E,CB 的延长线于点F。求证:AB=BF 。(8 分) 如图(1),已知AB⊥BD,ED⊥BD,AB=CD,BC=DE, (1)试判断AC与CE的位置关系,并说明理由. (2)若将CD沿CB方向平移得到图②③④⑤的情形,其余条件不变,此时第(1)问中AC与CE的位置关系还成立吗?结论还成立吗?请任选一个说明理由. 如图,在△ABC 中,AB=AC,DE 是过点A 的直线,BD⊥DE 于D,CE⊥DE 于点E;如图所示,在Rt ABC中,ABC = 90,

一线三等角模型

专题九:“一线三角型”模型的应用1如图,在△ ABC中,AB=AC P、M分别在BC AC边上, 且.APM ,AP=MP,求证:△ APB^A PMC 分析:证明两个三角形全等,找边、角的等量关系,根据已有的知识经验,学生很快能够解决。 2、如果把第1题中的等腰三角形改为等边三角形,如图, △ ABC为等边三角形,.APM =60 , BP=1,CM =?,求△ ABC的边长 3 AD//BC, AD 二3cm, BC 二7cm, 一B 二 3、如图,等腰梯形ABCD中, 60 , P为BC上一点(不与B C重合),连结AP,过P点作PM交DC于M,使得 APM "B。 (1)求证:△ ABP^A PCM (2)求AB的长; (3)在底边BC上是否存在一点P,使得DM:MC=5:3若存在, 求出BP的长;若不存在,请说明理由

4、如图,AB I BD,CD _ BD ,且 AB = 6cm,CD = 4cm, BD = 14cm , 问:在 BD 上是否存在P 点,使以P 、B 、A 为顶点的三角形与以P 、DC 为顶点的三角形相似?如果存在,求 BP 的长;如果不存在,请说明理由。 5、已知在梯形 ABCD 中, AD//BC, AD :: BC ,且 AD=5,AB=DC=2 (1) 如图a ,P 是AD 上的一点,满足.BPC- A ①求证:△ ABP^A DPC ②求AP 的长。 (2) 如果点P 在AD 边上移动(点P 与点A 、D 不重合),且满 足.BPE W^A ,PE 交直线BC 于点E ,同时交直线DC 于点Q,那么: ①当点Q 在线段DC 的延长线上时,设AP 二x,CQ 二y ,求y 关于x 的函数解析式, 并写出函数自变量的取值范围; ②当CE=1时,求出AP 的长 6、正方形ABCD 边长为4, M N 分别是BC CD 上的两个动点, 当M 点在BC 上运动时,保持AM 和 MN 垂直,如图。 (1) 证明 Rt △ ABMh Rt △ MCN (2) 设BM =x ,梯形ABCN 勺面积为y ,求y 与x 之间的函数 关系 式;当M 点运动到什么位置时,四边形 ABCNS 积最大,并求出 占 ~~

中考数学压轴题专项汇编专题一线三等角模型

专题17 一线三等角模型 破解策略 在直线AB 上有一点P ,以A ,B ,P 为顶点的∠1,∠2,∠3相等,∠1,∠2的一条边在直线AB 上,另一条边在AB 同侧,∠3两边所在的直线分别交∠1,∠2非公共边所在的直线于点C ,D . 1.当点P 在线段AB 上,且∠3两边在AB 同侧时. (1)如图,若∠1为直角,则有△ACP ∽△BP D . 321D B P A C (2)如图,若∠1为锐角,则有△ACP ∽△BP D . 3 C D P A 证明:∵∠DPB =180°-∠3-∠CPA ,∠C =180°-∠1-∠CPA ,而∠1=∠3 ∴∠C =∠DPB , ∵∠1=∠2,∴△ACP ∽△BPD (3)如图,若∠1为钝角,则有△ACP ∽△BP D . 231D B P A C 2.当点P 在AB 或BA 的延长线上,且∠3两边在AB 同侧时. 如图,则有△ACP ∽△BP D . 32 1C P D B A 证明:∵∠DPB =180°-∠3-∠CPA ,∠C =180°-∠1-∠CPA ,而∠1=∠3 ∴∠C =∠DPB , ∵∠1=∠2=∠PBD ,∴△ACP ∽△BPD 3.当点P 在AB 或BA 的延长线上,且∠3两边在AB 异侧时. 如图,则有△ACP ∽△BP D .

32 1C D B A P 证明:∵∠C =∠1-∠CPB ,∠BPD =∠3-∠CPB ,而∠1=∠3 ∴∠C =∠BP D . ∵∠1=∠2,∴∠PAC =∠DBP .∴△ACP ∽△BP D . 例题讲解 例1:已知:∠EDF 的顶点D 在△ABC 的边AB 所在直线上(不与点A ,B 重合).DE 交AC 所在直线于点M ,DF 交BC 所在直线于点N .记△ADM 的面积为S 1,△BND 的面积为S 2. (1)如图1,当△ABC 是等边三角形,∠EDF =∠A 时,若AB =6,AD =4,求S 1S 2的值; (2)当△ABC 是等腰三角形时,设∠B =∠A =∠EDF =α. ①如图2,当点D 在线段AB 上运动时,设AD =a ,BD =b ,求S 1S 2的表达式(结果用a ,b 和a 的三角函数表示). ②如图3,当点D 在BA 的延长线上运动时,设AD =a ,BD =b ,直接写出S 1S 2的表达式. N F C M E B D A F N M E B D A C F N D A B E M C 图1 图2 图3 解:(1)如图4,分别过点M ,N 作AB 的垂线,垂足分别为G ,H . H G A D B E M C F N 则S 1S 2= 1 2 MG AD 12 NH BD = 14 AD AM sin A BD BN sinB . 由题意可知∠A =∠B =60o,所以sin A =sin B =32 . 由“一线三等角模型”可知△AMD ∽△BDN . ∴ AM AD BD BN ,从而AM BN =AD BD =8,∴S 1S 2=12. (2)①如图5,分别过点M ,N 作AB 的垂线,垂足分别为G ,H .

几何模型:一线三等角模型 (最终版)

初中几何模型之“一线三等角模型” 一.【一线三等角概念】 “一线三等角”是一个常见的相似模型,指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形,这个角可以是直角,也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼,“K 形图”,“三垂直”,“弦图”等,以下称为“一线三等角”。 二.【一线三等角的分类】

2.1 全等篇_同侧 A P A P 锐角直角钝角2.2 全等篇_异侧 P D P P 锐角直角钝角

2.3 相似篇_同侧 D C A B P P 锐角直角钝角2.4 相似篇_异侧 P D P P 锐角直角钝角

三、【性质】 1.相似,如图 3-1,由∠1=∠2=∠3,或者α=α 2=α3易得△AEC∽△BDE. 2.当等角所对的边相等时,则两个三角形全等.如下图,若 CE=ED,则△AEC≌△BDE.异侧结果同样。

3.中点型“一线三等角”——相似中多了一位兄弟 如图 3-2,当∠1=∠2=∠3,且 D 是 BC 中点时,△BDE∽△CFD∽△DFE. 4.“中点型一线三等角“的变式(了解) 如图 3-3,当∠1=∠2 且1902 BOC BAC ∠=?+∠时,点 O 是△ABC 的内心.可以考虑构造“一线三等角”.

5.“一线三等角”的各种变式(图 3-5,以等腰三角形为例进行说明) 图 3-5 四、【“一线三等角”的应用】 1.应用的三种情况. a.图形中已经存在“一线三等角”,直接应用模型解题; b.图形中存在“一线二等角”,构造“一等角”模型解题; c.图形中只有直线上一个角,构造“二等角”模型解题.

几何模型:一线三等角模型

一线三等角模型 一.一线三等角概念 “一线三等角”是一个常见的相似模型,指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形,这个角可以是直角,也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼,“K形图”,“三垂直”,“弦图”等,以下称为“一线三等角”。二.一线三等角的分类 全等篇 C A P 锐角 D A B C 相似篇 C A P 锐角 D D D C C BA P B A P B同 侧 直角钝角 D D A A P P P B B C C 异侧 D D D C C BA P B A P B同 侧 直角钝角 D D D A B P A B P A B P C C C 异侧 三、“一线三等角”的性质 1.一般情况下,如图3-1,由∠1=∠2=∠3,易得△AEC∽△BDE.

2.当等角所对的边相等时,则两个三角形全等.如图3-1,若CE=ED,则△AEC≌△BDE.

3.中点型“一线三等角” 如图3-2 ,当∠1=∠2=∠3,且D是BC中点时,△BDE∽△CFD∽△DFE. 4.“中点型一线三等角“的变式(了解) 如图3-3 ,当∠1=∠2且BOC90 1 BAC时,点O是△ABC的内心.可以考虑构2 造“一线三等角”. 如图3-4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关, BOC 90 1 BAC这是内心的性质,反之未必是内心. 2 在图3-4 (右图)中,如果延长BE与CF,交于点P,则点D是△PEF的旁心. 5.“一线三等角”的各种变式(图3-5,以等腰三角形为例进行说明) 图3-5 其实这个第4图,延长DC反而好理解.相当于两侧型的,不延长理解,以为是一种新型的,同侧穿越型?不管怎么变,都是由三等角确定相似三角形来进行解题 四、“一线三等角”的应用 1.“一线三等角”应用的三种情况. a.图形中已经存在“一线三等角”,直接应用模型解题; b.图形中存在“一线二等角”,不上“一等角”构造模型解题;

相似三角形模型讲解一线三等角问题

第一部分相似三角形模型分析一、相似三角形判定的基本模型认识 (一)A字型、反A字型(斜A字型) B (平行) B (不平行) (二)8字型、反8字型 B C B C (蝴蝶型)(平行) (不平行) (三)母子型 B (四)一线三等角型: 三等角型相似三角形是以等腰三角形(等腰梯形)或者等边三角形为背景

(五)一线三直角型: (六)双垂型:

二、相似三角形判定的变化模型 旋转型:由A 字型旋转得到。 8字型拓展 C B E D A 共享性 G A B C E F 一线三等角的变形 一线三直角的变形

第二部分 相似三角形典型例题讲解 母子型相似三角形 例1:如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC ,对角线AC 、BD 交于点O ,BE ∥CD 交CA 延长线于E . 求证:OE OA OC ?=2 . 例2:已知:如图,△ABC 中,点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠. 求证:(1)DA DE DB ?=2 ; (2)DAC DCE ∠=∠. 例3:已知:如图,等腰△ABC 中,AB =AC ,AD ⊥BC 于D ,CG ∥AB ,BG 分别交AD 、AC 于E 、F . 求证:EG EF BE ?=2 . 相关练习: 1、如图,已知AD 为△ABC 的角平分线,EF 为AD 的垂直平分线.求证:FC FB FD ?=2 . A C D E B

2、已知:AD是Rt△ABC中∠A的平分线,∠C=90°,EF是AD的垂直平分线交AD于M,EF、BC的延长线交于一点N。 求证:(1)△AME∽△NMD; (2)ND2=NC·NB 3、已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,E是AC上一点,CF⊥BE于F。 求证:EB·DF=AE· DB 4.在?ABC中,AB=AC,高AD与BE交于H,EF BC ⊥,垂足为F,延长AD到G,使DG=EF,M是AH的中点。 求证:∠=? GBM90 5.(本题满分14分,第(1)小题满分4分,第(2)、(3)小题满分各5分) 已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,AC=4,P是斜边AB上的一个动点,PD⊥AB,交边AC 于点D(点D与点A、C都不重合),E是射线DC上一点,且∠EPD=∠A.设 A、P两点的距离为x,△BEP的面积为y. (1)求证:AE=2PE; (2)求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域;(3)当△BEP与△ABC相似时,求△BEP的面积.A B P D E (第25题图) G M F E H D C A

初二数学专题训练:一线三等角模型及应用A班 (答案与解析)

一线三等角模型及其应用A 班 (时间:60分钟 满分:100分) 姓名: 得分: 【知识点睛】 “一线三等角”在初中几何中出现得比较多,是一种常见的全等或相似模型,指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成全等或相似图形.这三个等角可以是直角也可以是锐角或钝角,可以是在直线的同侧,也可以是在直线的异侧. 一、“一线三等角”的基本构图: 二、“一线三等角”的基本性质: 1.如果123∠=∠=∠,那么D CBE ∠=∠,ABD E ∠=∠. 2.如果图中ABD ?与CEB ?中有一组对应边相等,则有ABD CEB ???. 三、“一线三等角”的基本应用: 对于八年级而言,“一线三等角”主要应用于导角证三角形的全等,最常见的是直角型“一线三等角”,其次是60?角和45?角及一般的角. 四、“一线三等角”的用法: 若一线三等角都具备则直接应用;若一线三等角不完全具备,则需要构造出一线三等角. 五、“一线三等角”的三大模块 (1)直角型“一线三等角”——“三垂直” 直角型“一线三等角”又称“三垂直”或“K ”形图,是“一线三等角”问题中最为常见的一种.认识“三垂直”模型:直线绕直角顶点旋转,由外到内,由一般到特殊. (2)等边三角形中的“一线三等角” (3)等腰直角三角形中的“一线三等角” 3 2 1132 C E B D D C B E l l

1、(16分)如图,ABC ?中,AB AC =,D 、 E 、 F 分别为AB 、BC 、AC 上的点,且BD CE =,DEF B ∠=∠. (1)求证:BDE CEF ∠=∠; (2)当60A ∠=?时,求证:DEF ?为等边三角形. 【解答】证明: (1)DEC ∠是BDE ?的一个外角, B BDE DEF CEF ∴∠+∠=∠+∠, DEF B ∠=∠, BDE CEF ∴∠=∠; (2)由(1)可知BDE CEF ∠=∠, AB AC =,60A ∠=? 60B C ∴∠=∠=?, 60DEF ∴∠=?, 在BDE ?和CEF ?中 B C BD CE BDE CEF ∠=∠?? =??∠=∠? ()BDE CEF ASA ∴???, DE EF ∴=, DEF ∴?为等边三角形

几何模型一线三等角模型

实用标准 一线三等角模型 一.一线三等角概念 “一线三等角”是一个常见的相似模型,指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形,这个角可以是直角,也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼,“K 形图”,“三垂直”,“弦图”等,以下称为“一线三等角”。 二.一线三等角的分类 全等篇 D D C D C C A P B A P B A P B同侧 锐角直角钝角 D D D A A P B B P A B P C C C 异侧相似篇 D D C D C C A P B A P B A P B同侧 锐角直角钝角 D D D A P B A P B A P B

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三、“一线三等角”的性质 1. 一般情况下,如图3-1 ,由∠1=∠2=∠3,易得△AEC∽△BDE. 2. 当等角所对的边相等时,则两个三角形全等. 如图3-1 ,若CE=ED,则△AEC≌△BDE. 3.中点型“一线三等角” 如图3-2 ,当∠1=∠2=∠3,且 D 是BC 中点时,△BDE∽△CFD∽△DFE. 4. “中点型一线三等角“的变式(了解) 如图3-3 ,当∠1=∠2 且造“一线三等角”. 1 BOC 90 BAC 时,点O 是△ABC 的内心. 可以考虑构2 如图3- 4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关, 1 BOC 90 BAC 这是内心的性质,反之未必是内心. 2 在图3-4 (右图)中,如果延长BE 与CF,交于点P,则点 D 是△PEF 的旁心. 5.“一线三等角”的各种变式(图3-5 ,以等腰三角形为例进行说明) 图3-5 其实这个第 4图,延长DC 反而好理解. 相当于两侧型的,不延长理解,以为是一种新型的,同侧穿越型?不管怎么变,都是由三等角确定相似三角形来进行解题

一线三等角模型

1. 如图,已知在△ABC 中, AB =AC =6,BC =5,D 是AB 上一点,BD =2,E 是BC 上一动点,联结DE , 并作DEF B ∠=∠, 射线EF 交线段AC 于F . (1)求证:△DBE ∽△ECF ; (2)当F 是线段AC 中点时,求线段BE 的长; (3)联结DF ,如果△DEF 与△DBE 相似,求FC 的长. 2如图,在△ABC 中,AB =AC =5cm ,BC =8,点P 为BC 边上一动点(不与点B 、C 重合),过点P 作射线 PM 交AC 于点M ,使∠APM =∠B ; (1)求证:△ABP ∽△PCM ; (2)设BP =x ,CM =y .求 y 与x 的函数解析式,并写出函数的定义域. (3)当△APM 为等腰三角形时, 求PB 的长. 3.如图,在△ABC 中,AB =AC =5,BC =6,P 是BC 上一点,且BP =2,将一个大小与∠B 相等的角的顶点放 在P 点,然后将这个角绕P 点转动,使角的两边始终分别与AB 、AC 相交,交点为D 、E 。 (1)求证△BPD ∽△CEP (2)是否存在这样的位置,△PDE 为直角三角形? 若存在,求出BD 的长;若不存在,说明理由。 4、已知在等腰三角形ABC 中,4,6AB BC AC ===,D 是AC 的中点, E 是BC 上的动点(不 与B 、C 重合),连结DE ,过点D 作射线DF ,使EDF A ∠=∠,射线DF 交射线E B 于点F , 交射线AB 于点H . (1)求证:CED ?∽ADH ?; (2)设,EC x BF y ==.①用含x 的代数式表示BH ; ②求y 关于x 的函数解析式,并写出x 的定义域. A B P C M F B A C D E H A B C D E F C P E A B D

几何模型一线三等角模型知识讲解

几何模型:一线三等型模角. 一线三等角模型 一.一线三等角概念 “一线三等角”是一个常见的相似模型,指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形,这个角可以是直角,也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼,“K 形图”,“三垂直”,“弦图”等,以下称为“一线三等角”。 二.一线三等角的分类 全等篇 D D C D C C BA BAP P ABP同侧 锐角直角钝角 D D D AP A A B P PB BC C C异侧 相似篇 D D C D C C BA BA P P ABP同侧

钝角直角锐角 D D D AP A B PB APB C C C异侧 三、“一线三等角”的性质BDE. ∽△,易得△AEC一般情况下,如图 3-1,由∠1=∠2=∠31.BDE. AEC≌△当等角所对的边相等时,则两个三角形全等.如图 3-1,若 CE=ED,则△2. 3.中点型“一线三等角”中点时,△BDE∽△CFD∽△DFE.如图 3-2,当∠1=∠2=∠3,且 D 是 BC ) 了解4.“中点型一线三等角“的变式(1??BOC?BAC90??时,点 O 是△ABC 的内心如图 3-3,当∠1=∠2 且.可以考虑构2造“一线三等角”. 如图 3-4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关, 1?BOC?90???BAC这是内心的性质,反之未必是内心. 2 在图 3-4(右图)中,如果延长 BE 与 CF,交于点 P,则点 D 是△PEF 的旁心. 5.“一线三等角”的各种变式(图 3-5,以等腰三角形为例进行说明)

图 3-5 其实这个第 4 图,延长 DC 反而好理解.相当于两侧型的,不延长理解,以为是一种新型的,同侧穿越型?不管怎么变,都是由三等角确定相似三角形来进行解题 四、“一线三等角”的应用. 1.“一线三等角”应用的三种情况. a.图形中已经存在“一线三等角”,直接应用模型解题; b.图形中存在“一线二等角”,不上“一等角”构造模型解题; c.图形中只有直线上一个角,不上“二等角”构造模型解题. 体会:感觉最后一种情况出现比较多,尤其是压轴题中,经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时,我经常构造“一线三等角”来解题. 2.在定边对定角问题中,构造一线三等角是基本手段,尤其是直角坐标系中的张角问题,在 x 轴或 y 轴(也可以是平行于 x 轴或 y 轴的直线)上构造一线三等角解决问题更是重要的手段. 3.构造一线三等角的步骤:找角、定线、构相似

相似三角形的基本模型(一线三等角)-精选.

模型中的相似三角形(2) 【基本模型】 C B B C C B A A A 1. 如图1,BDE EDF C B ??∠=∠=∠∽CFD ?(一线三等角) 如图2,ABD ADE C B ??∠=∠=∠∽DCE ?(一线三直角) 如图3,特别地,当D 是BC 中点时:BDE ?∽DFE ?∽ CFD ??ED 平分BEF ∠,FD 平分EFC ∠。 2. 一线三等角辅助线添加:一般情况下,已知一条直线上有两个等角(直角)或一个直角时,可构造“一线三等角”型相似。 【巩固提高】 1. 已知ABC ?中,120,6?=∠==BAC AC AB ,D 是BC 的中点,AB 边上有一点 AC E , 延长线上有一点F ,使.C EDF ∠=∠ 已知 4=BE ,则=CF 4 27

提示:,120,6?=∠==BAC AC AB ,D 是BC 的中点 ∴33 ==CD BD 由BDE ?∽CFD ? ∴CF DB DC BE = , 4 27 =CF 2. 如图,等边ABC ?中,D 是边BC 上的一点,且3:1:=DC BD ,把ABC ?折叠,使点A 落在BC 边上的点D 处.那么 AN AM 的值为 7 5 . A B C 提示:由翻折可得:A MDN DN AN DM AM ∠=∠==,, 设:,3,1==DC BD 则4,4=+=+DN CN DM BM ∵BDM ?∽CND ?, ∴ 7 5 3414=++===??CND BDM C C DN DM AN AM 3. 在矩形ABCD 中,6=AB ,8=AD ,把矩形ABCD 沿直线MN 翻折,点B 落在边AD 上的E 点处,若AM AE 2=,那么EN 的长

(完整版)2018年初中数学突破中考压轴题几何模型之相似三角形中的一线三等角模型

一线三等角 相似三角形判定的基本模型 A字型X字型反A字型反8字型 母子型旋转型双垂直三垂直 相似三角形判定的变化模型 C B E D A 一线三等角型相似三角形 三等角型相似三角形是以等腰三角形(等腰梯形)或者等边三角形为背景,一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上,角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示:

【应用】 1.如图,在平面直角坐标中,四边形OABC 是等腰梯形,CB ∥OA ,OA=7,BC=1,AB=5,点P 为x 轴上的一个动点,点P 不与点0、点A 重合.连接CP ,过点P 作PD 交AB 于点D . (1)直接写出点B 的坐标 . (2)当点P 在线段OA 上运动时,使得∠CPD=∠OAB ,且BD: AD=3:2 ,求点P 的坐标. 2、已知在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AD <BC ,且BC =6,AB =DC =4,点E 是AB 的中点. (1)如图,P 为BC 上的一点,且BP =2.求证:△BEP ∽△CPD ; (2)如果点P 在BC 边上移动(点P 与点B 、C 不重合),且满足∠EPF =∠C ,PF 交直线CD 于点F ,同时交直 线AD 于点M ,那么 ①当点F 在线段CD 的延长线上时,设BP =x ,DF =y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域;② 当BEP DMF S S ??=4 9 时,求BP 的长. 模型训练: 1. 如图,在△ABC 中,8==AC AB ,10=BC ,D 是BC 边上的一个动点,点E 在AC 边上,且C ADE ∠=∠. (1) 求证:△ABD ∽△DCE ; (2) 如果x BD =,y AE =,求y 与x 的函数解析式,并写出自变量x 的定义域; (3) 当点D 是BC 的中点时,试说明△ADE 是什么三角形,并说明理由. A B C D E E D C B A P (第25题图) E D C B A (备用图)

一线三等角模型、双垂直模型[自己总结]

如图,AB=12米,CA⊥AB于点A,DB⊥AB于点B,且AC=4米,点P从B向A运动,每分钟走1米,点Q从B点向D运动,每分钟走2米,P、Q两点同时出发,运动几分钟后,△CPA与△PQB全等? 如图①所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,过点C在△ABC外作直线MN,AM⊥M N于点M,BN⊥MN于点N. (1)求证:MN=AM+BN. (2)如图②.若过点C直线MN与线段AB相交,AM⊥MN于点M,BN⊥MN于N,(1)中的结论是否仍然成立?说明理由. 图①图②

如图,已知∠B=∠C=90°,M是BC的中点,DM平分∠ADC. (1)求证:AM平分∠DAB (2)试说明线段DM与AM有怎样的位置关系? (3)线段CD、AB、AD间有怎样的关系?直接写出结果。 如图,△ABE≌△EDC,E在BD上,AB⊥BD,垂足为B,△AEC是等腰直角三角形吗?为什么?

【练3】正方形ABCD,E是BC上一点,AE⊥EF,交∠DCH的平分线于点F,求证AE=EF 如图所示,在ABC EF⊥,分别Rt?中, 90 ∠ABC,点D在边AB上,使,过点D作AC = 交AC于点E,CB的延长线于点F。求证:AB=BF。(8分) 如图(1),已知AB⊥BD,ED⊥BD,AB=CD,BC=DE, (1)试判断AC与CE的位置关系,并说明理由. (2)若将CD沿CB方向平移得到图②③④⑤的情形,其余条件不变,此时第(1)问中AC与CE的位置关系还成立吗?结论还成立吗?请任选一个说明理由.

如图,在△ABC 中,AB=AC ,DE 是过点A 的直线,BD ⊥DE 于D ,CE ⊥DE 于点E ; (2)若B. C 在DE 的两侧(如图所示),其他条件不变,AB 与AC 仍垂直吗?若是请给出证明;若不是,请说明理由。 (1)若B. C 在DE 的同侧(如图所示)且AD=CE.求证:AB ⊥AC ; 如图, 90=∠AOB ,OA=OB ,直线l 经过点O ,分别过A 、B 两点作l AC ⊥交l 于点C ,l BD ⊥交l 于点D 。求证:AC=OD 。(6分) 如图,在△ACB 中,∠ACB=90゜,CD ⊥AB 于D.

相似三角形模型讲解-一线三等角问题

第一部分相似三角形模型分析 一、相似三角形判定的基本模型认识 (一)A字型、反A字型(斜A字型) B(平行)B(不平行) (二)8字型、反8字型 B C B C (蝴蝶型)(平行)(不平行) (三)母子型 B (四)一线三等角型: 三等角型相似三角形是以等腰三角形(等腰梯形)或者等边三角形为背景

(五)一线三直角型: (六)双垂型:

二、相似三角形判定的变化模型 旋转型:由A 字型旋转得到。 8字型拓展 C B E D A 共享性 G A B C E F 一线三等角的变形 一线三直角的变形

第二部分 相似三角形典型例题讲解 母子型相似三角形 例1:如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC ,对角线AC 、BD 交于点O ,BE ∥CD 交CA 延长线于E . 求证:OE OA OC ?=2 . 例2:已知:如图,△ABC 中,点E 在中线AD 上,ABC DEB ∠=∠. 求证:(1)DA DE DB ?=2 ; (2)DAC DCE ∠=∠. 例3:已知:如图,等腰△ABC 中,AB =AC ,AD ⊥BC 于D ,CG ∥AB ,BG 分别交AD 、AC 于E 、F . 求证:EG EF BE ?=2 . 相关练习: 1、如图,已知AD 为△ABC 的角平分线,EF 为AD 的垂直平分线.求证:FC FB FD ?=2 . A C D E B

2、已知:AD是Rt△ABC中∠A的平分线,∠C=90°,EF是 AD的垂直平分线交AD于M,EF、BC的延长线交于一点N。 求证:(1)△AME∽△NMD; (2)ND2=NC·NB 3、已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,E是AC上一点,CF⊥BE于F。 求证:EB·DF=AE· DB 4.在?ABC中,AB=AC,高AD与BE交于H,EF BC ⊥,垂足为F,延长AD到G,使DG=EF,M是AH的中点。求证:∠=? GBM90 5.(本题满分14分,第(1)小题满分4分,第(2)、(3)小题满分各5分) 已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,AC=4,P是斜边AB上的一个动点,PD⊥AB,交边AC 于点D(点D与点A、C都不重合),E是射线DC上一点,且∠EPD=∠ A.设A、P两点的距离为x,△BEP的面积为y. (1)求证:AE=2PE; (2)求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域;(3)当△BEP与△ABC相似时,求△BEP的面积.A B P D E (第25题图) G M F E H D C A

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