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第26届北京市高中力学竞赛决赛考试

第26届北京市高中力学竞赛决赛考试

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第26届北京市高中力学竞赛决赛试题

(景山学校杯)

一、填空题(6小题,每小题8分,共48分)

1. 北京在地球表面的位置约是东经117o、北纬37o,莫斯科的位置

约是东经37o、北纬56o.据报道说,习近平主席计划莫斯科时间上午10点在莫

斯科国际关系学院举行报告.试估计在北京的时间应是 ,理由是 .

2. 如图1所示,光滑轨道P ABCDE 由直轨道和两个半径均相同的圆弧轨道连接而成. 小滑块由高h 的P 点释放滑下,无论h 取何值,滑块不会脱离轨道的部分是 ,可能最先脱离轨道的部分是 ,经过该部分之后可能脱离轨道的部分是 .

3. 如图2所示,一块密度为水密度的1/2的塑料块连接到轻弹簧的一端,

弹簧另一端固定在桶底,塑料块完全浸没在水中时弹簧伸长5mm 。如果水桶以加速度g a 2

1

匀加速上升,塑料块达到稳定状态后弹簧伸长 mm ,理由是 。

得 分

h

A

B

C

D

E F O 1

O 2

R R R

R R 图1

P

图2

4. 体重60kg 的短跑运动员,在50m 的比赛中,起跑后的1.0s内加速,后来匀速,经8.0s跑到终点. 我们可估算出运动员在跑动中的最大功率是W.(保留两位有效数字)

5. 有一种绳系卫星,母星在确定的轨道上运动,母星上用细绳悬吊一个子星,如图3所示. 稳定时母星和子星间的细绳方向应指向地心,但有时子星会发生摆动,子星上无动力装置,为消除摆动使细绳方向指向地心,可采取的措施是,理由是

.

6. 如图4所示,一鼓轮放在粗糙地面上,右边紧靠光滑的竖直墙壁,鼓轮重量不计,其上由绳索悬吊一重物G,已知r =R/3,鼓轮与地面间的摩擦因数为μ,鼓轮处于静止平衡状态. 如果增大r,其他条件不变,鼓轮是否能处于平衡状态?答:,

理由是.

二、计算题(共102分)图

图3 母星子星

图5

A

B C

D

v 1

v 1

v 2

x

y

7.(16分)如图5所示,球与台阶相碰的恢复系数为 e

)

(接近速度分离速度e =,每级台阶的宽度和

高度相同,均等于l ,该球在台阶上弹跳,每次均弹起同样高度且在水平部分的同一位置,即AB =CD ,求球的水平速度和每次弹起的高度,球与台阶间无摩擦.

8.(16分)特警战士距墙S 0,以速度0υ起跳,如图6所示,再用脚蹬墙面一次,身体变为竖直向上的运动以继续升高,墙与鞋

底之间的静摩擦因数为μ.求能使人体重心有最大总升高的起跳角θ.

图6

S 0

得 分

得 分

9.(20分)如图7所示,A、B、C、D、E五个杂技演员在连续靠

近放置的跳板上表演杂技.他们各自的质量分别为m1,m2,m3,m4和m5.A演员从h1高度跳到第一个跳板上. B、C、D接着一个个被竖直向上弹起后又竖直落下到相邻的跳板上.跳板的质量可以忽略,试求E演员被弹起的高度h5是多少?

10.(25分)如图8所示,一根质量可以忽略的细杆,长为2l,

两端和中心处分别固连着质量为m的小球B、D和C,开始时静止在光滑的水平桌面上. 桌面上另有一质量为M的小球A,以一给定速度v0沿垂直于杆DB的方向与右端小球B作弹性碰撞. 求刚碰后小球A、B、C、D的速度,并详细讨论以后可能发生的运动情况.

图7

图8

得分

得分

11.(25分)如图9所示,一均匀圆盘,质量为M ,半径为R ,静止放在一光滑水平地面上,中心不固定. 质量为m 的人,初始静

止站在圆盘边缘上(人可看作质点),当人以相对速率u 沿圆盘边缘走动后,盘的转动角速度大小为)(32R

u

M m m +=

ω,求盘心O 的速度大小.

第26届北京市高中力学竞赛决赛试题答案

(景山学校杯)

一、填空题

1.下午3点多(2分).地球由西向东自转,24小时转一周,经度为360o,每隔15o差1小时,117o-37o=80o,约5个多小时(6分).

2.A →B →C (2分) . C →D (3分) . E →F (3分).

3.7.5 (2分). 水和塑料块都超重,F 弹=F 浮-m 塑(g +a )=(ρ水-ρ塑)

V 塑(g +a )(6分).

4.2.7

103 (8分)

a=

P m =mav =W 3107.23

20

32060?=??

得 分

O

R A

.m

图9

5.子星摆动最低处放绳,

最高处收绳,放绳时绳拉力对子

星做负功,收绳时做正功,半个周

期内负功绝对值大于正功,拉力总

功为负,子星机械能减小.(

8分)

6. 能,不能(2分).平衡方程为fR=Gr,,平衡时(6分)

二、计算题

7、解:球每次弹起的速度v1都相同,每次落地的速度v2也相同,由能

量守恒:

2

2

2

1

2

1

2

1mv

mgl

mv=

+

gl

v

v

v

v

gl

v

v

y

x

y

x

2

,

22

1

2

1

2

2

2

2

2

1

2

2

=

-

-

+

=

-(2分)

由牛顿碰撞公式:②

y

y

ev

v

2

1

=

-(2分)

在水平方向动量守恒:③

x

x

x

x

v

v

mv

mv

2

1

2

1

,=

=

由①②③可求得:)

2(

1

2

)

2(

,

1

2

2

2

2

1

e

gl

v

e

gl

e

v

y

y-

=

-

-

=

平抛公式:⑥

④,2

2

1

1

1

1

,gt

t

v

y

t

v

l

gt

v

v

y

x

y

y

+

=

=

+

=

令v y=v2y,由④可求得球从弹起到落地的时间:

)

1(

)

1(

2

1

1

2

2

1

2

e

g

e

l

g

e

e

gl

g

v

v

t y

y

-

+

=

+

?

-

=

-

=)

2(分

代入⑤中即可求得球的水平速度:

)

1(2

)

1(

)

1(

2

)

1(

)

1(

)

1(

2

)

1(

)

1(

2

/

1e

e

gl

e

l

l e

g

e

g

e

l

e

g

e

l

l

t

l

v

x+

-

=

+

-

?

-

+

=

-

+

=

=)

2(分令v y=0,由④可求得球达最大高度所需时间:

T

2

T

1

T

1

>T

2

A

B

C

D

v1

v1

v2

x

y

)

1(21122

21e g l

e g e gl e

g

v t y -=?-=-

= 代入⑥中即可求得球所能达到的最大高度:

l e e g e g l ge e g l e e gl e y 2

2

22221)1(221)1(212-=-+-?--= )4(分

8、分析和解:在解答本题时,注意摩擦力的冲量远大于人体重力的冲量,抓住主要因素忽略次要因素,是经常用到的手段.

人以角θ起跳,水平初速度和竖直初速度分别为

00cos x υυθ=,00sin y υυθ= 从起跳到蹬墙时空中飞行的时间为

0cos s t υθ

=

则人蹬墙前竖直方向的速度为

000sin cos y y s gt g υυυθυθ

=-=-

人重心升高:

2220001000000111

sin ()tan ()2cos 2cos 2cos y s s s h t gt g s g υυθθυθυθυθ

=-

=-=-(6分)

设人蹬墙的时间为△t ,因△t 很小,则静摩擦力的冲量远大于人体重力的冲量,即f G I I >>,由动量定理得:f y I N t m μυ=?=?

而在水平方向同样由动量定理可知:cos x x o N t m m m υυυθ?=?==

(3分)

人蹬墙后获得竖直向上的速度:

000sin cos cos y y y gs υυυυθμυθυθ

'=+?=-+

人蹬墙后再上升的高度

2 0

222

02

00 200

(sin cos)

cos(sin cos)1

tan() 2222cos y

gs

s

h s s g

g g g

υθμθ

υυθυθμθ

θμ

υθ??

+-

??

'+

??

===--+

人体重心上升的总高度:

22

120

(sin cos)

2

H h h s

g

υθμθ

μ

+

=+=-

令tanφ=μ,则

υ、s0一定时,当

2

π

θ?

+=时H最大.

1

arctan

θ

μ

=时,人体的重心总升高最大.(7分)

9、解:首先我们注意一下图中的翘板,中间是一个无限重的支柱.A演员跳到

翘板的一端,同时把B演员弹到空中,我们可以看作是演员间“通过”翘板的

碰撞.假定碰撞的持续时间很短,由此我们可以不考虑

重力对碰撞本身的影响,因为在碰撞的时间△t里,每一个演员和重力相关的冲

量矩(对翘板中心计算)与△t成正比,是非常小的.

碰撞时翘板支点是不动的,我们可以采用角动量守恒定律来研究.又由于翘

板非常轻,我们可以认为翘板的转动惯量为零.根据题中后面的说明和上面的假设.我们可以认为碰撞时机械能是守恒的,也就是说是弹性碰撞.

1

υ'表示A演员碰撞后的速度.

1

υ'与图上的

1

υ指向同一个方向.由系统的角

动量和机械能守恒,可以写出

111122

m r m r m r

υυυ

'

=+(4分)

222

111122

111

222

m m m

υυυ

'

=+(4分)

解这个方程组,我们得到两组解

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