第26届北京市高中力学竞赛决赛考试
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第26届北京市高中力学竞赛决赛试题
(景山学校杯)
一、填空题(6小题,每小题8分,共48分)
1. 北京在地球表面的位置约是东经117o、北纬37o,莫斯科的位置
约是东经37o、北纬56o.据报道说,习近平主席计划莫斯科时间上午10点在莫
斯科国际关系学院举行报告.试估计在北京的时间应是 ,理由是 .
2. 如图1所示,光滑轨道P ABCDE 由直轨道和两个半径均相同的圆弧轨道连接而成. 小滑块由高h 的P 点释放滑下,无论h 取何值,滑块不会脱离轨道的部分是 ,可能最先脱离轨道的部分是 ,经过该部分之后可能脱离轨道的部分是 .
3. 如图2所示,一块密度为水密度的1/2的塑料块连接到轻弹簧的一端,
弹簧另一端固定在桶底,塑料块完全浸没在水中时弹簧伸长5mm 。如果水桶以加速度g a 2
1
匀加速上升,塑料块达到稳定状态后弹簧伸长 mm ,理由是 。
得 分
h
A
B
C
D
E F O 1
O 2
R R R
R R 图1
P
图2
4. 体重60kg 的短跑运动员,在50m 的比赛中,起跑后的1.0s内加速,后来匀速,经8.0s跑到终点. 我们可估算出运动员在跑动中的最大功率是W.(保留两位有效数字)
5. 有一种绳系卫星,母星在确定的轨道上运动,母星上用细绳悬吊一个子星,如图3所示. 稳定时母星和子星间的细绳方向应指向地心,但有时子星会发生摆动,子星上无动力装置,为消除摆动使细绳方向指向地心,可采取的措施是,理由是
.
6. 如图4所示,一鼓轮放在粗糙地面上,右边紧靠光滑的竖直墙壁,鼓轮重量不计,其上由绳索悬吊一重物G,已知r =R/3,鼓轮与地面间的摩擦因数为μ,鼓轮处于静止平衡状态. 如果增大r,其他条件不变,鼓轮是否能处于平衡状态?答:,
理由是.
二、计算题(共102分)图
图3 母星子星
地
图5
A
B C
D
v 1
v 1
v 2
x
y
7.(16分)如图5所示,球与台阶相碰的恢复系数为 e
)
(接近速度分离速度e =,每级台阶的宽度和
高度相同,均等于l ,该球在台阶上弹跳,每次均弹起同样高度且在水平部分的同一位置,即AB =CD ,求球的水平速度和每次弹起的高度,球与台阶间无摩擦.
8.(16分)特警战士距墙S 0,以速度0υ起跳,如图6所示,再用脚蹬墙面一次,身体变为竖直向上的运动以继续升高,墙与鞋
底之间的静摩擦因数为μ.求能使人体重心有最大总升高的起跳角θ.
图6
S 0
得 分
得 分
9.(20分)如图7所示,A、B、C、D、E五个杂技演员在连续靠
近放置的跳板上表演杂技.他们各自的质量分别为m1,m2,m3,m4和m5.A演员从h1高度跳到第一个跳板上. B、C、D接着一个个被竖直向上弹起后又竖直落下到相邻的跳板上.跳板的质量可以忽略,试求E演员被弹起的高度h5是多少?
10.(25分)如图8所示,一根质量可以忽略的细杆,长为2l,
两端和中心处分别固连着质量为m的小球B、D和C,开始时静止在光滑的水平桌面上. 桌面上另有一质量为M的小球A,以一给定速度v0沿垂直于杆DB的方向与右端小球B作弹性碰撞. 求刚碰后小球A、B、C、D的速度,并详细讨论以后可能发生的运动情况.
图7
图8
得分
得分
11.(25分)如图9所示,一均匀圆盘,质量为M ,半径为R ,静止放在一光滑水平地面上,中心不固定. 质量为m 的人,初始静
止站在圆盘边缘上(人可看作质点),当人以相对速率u 沿圆盘边缘走动后,盘的转动角速度大小为)(32R
u
M m m +=
ω,求盘心O 的速度大小.
第26届北京市高中力学竞赛决赛试题答案
(景山学校杯)
一、填空题
1.下午3点多(2分).地球由西向东自转,24小时转一周,经度为360o,每隔15o差1小时,117o-37o=80o,约5个多小时(6分).
2.A →B →C (2分) . C →D (3分) . E →F (3分).
3.7.5 (2分). 水和塑料块都超重,F 弹=F 浮-m 塑(g +a )=(ρ水-ρ塑)
V 塑(g +a )(6分).
4.2.7
103 (8分)
a=
P m =mav =W 3107.23
20
32060?=??
得 分
O
R A
.m
图9
5.子星摆动最低处放绳,
最高处收绳,放绳时绳拉力对子
星做负功,收绳时做正功,半个周
期内负功绝对值大于正功,拉力总
功为负,子星机械能减小.(
8分)
6. 能,不能(2分).平衡方程为fR=Gr,,平衡时(6分)
二、计算题
7、解:球每次弹起的速度v1都相同,每次落地的速度v2也相同,由能
量守恒:
2
2
2
1
2
1
2
1mv
mgl
mv=
+
①
gl
v
v
v
v
gl
v
v
y
x
y
x
2
,
22
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
=
-
-
+
=
-(2分)
由牛顿碰撞公式:②
y
y
ev
v
2
1
=
-(2分)
在水平方向动量守恒:③
x
x
x
x
v
v
mv
mv
2
1
2
1
,=
=
由①②③可求得:)
2(
1
2
)
2(
,
1
2
2
2
2
1
分
分
e
gl
v
e
gl
e
v
y
y-
=
-
-
=
平抛公式:⑥
⑤
④,2
2
1
1
1
1
,gt
t
v
y
t
v
l
gt
v
v
y
x
y
y
+
=
=
+
=
令v y=v2y,由④可求得球从弹起到落地的时间:
)
1(
)
1(
2
1
1
2
2
1
2
e
g
e
l
g
e
e
gl
g
v
v
t y
y
-
+
=
+
?
-
=
-
=)
2(分
代入⑤中即可求得球的水平速度:
)
1(2
)
1(
)
1(
2
)
1(
)
1(
)
1(
2
)
1(
)
1(
2
/
1e
e
gl
e
l
l e
g
e
g
e
l
e
g
e
l
l
t
l
v
x+
-
=
+
-
?
-
+
=
-
+
=
=)
2(分令v y=0,由④可求得球达最大高度所需时间:
T
2
T
1
T
1
>T
2
A
B
C
D
v1
v1
v2
x
y
)
1(21122
21e g l
e g e gl e
g
v t y -=?-=-
= 代入⑥中即可求得球所能达到的最大高度:
l e e g e g l ge e g l e e gl e y 2
2
22221)1(221)1(212-=-+-?--= )4(分
8、分析和解:在解答本题时,注意摩擦力的冲量远大于人体重力的冲量,抓住主要因素忽略次要因素,是经常用到的手段.
人以角θ起跳,水平初速度和竖直初速度分别为
00cos x υυθ=,00sin y υυθ= 从起跳到蹬墙时空中飞行的时间为
0cos s t υθ
=
则人蹬墙前竖直方向的速度为
000sin cos y y s gt g υυυθυθ
=-=-
人重心升高:
2220001000000111
sin ()tan ()2cos 2cos 2cos y s s s h t gt g s g υυθθυθυθυθ
=-
=-=-(6分)
设人蹬墙的时间为△t ,因△t 很小,则静摩擦力的冲量远大于人体重力的冲量,即f G I I >>,由动量定理得:f y I N t m μυ=?=?
而在水平方向同样由动量定理可知:cos x x o N t m m m υυυθ?=?==
(3分)
人蹬墙后获得竖直向上的速度:
000sin cos cos y y y gs υυυυθμυθυθ
'=+?=-+
人蹬墙后再上升的高度
2 0
222
02
00 200
(sin cos)
cos(sin cos)1
tan() 2222cos y
gs
s
h s s g
g g g
υθμθ
υυθυθμθ
θμ
υθ??
+-
??
'+
??
===--+
人体重心上升的总高度:
22
120
(sin cos)
2
H h h s
g
υθμθ
μ
+
=+=-
令tanφ=μ,则
对
υ、s0一定时,当
2
π
θ?
+=时H最大.
即
1
arctan
θ
μ
=时,人体的重心总升高最大.(7分)
9、解:首先我们注意一下图中的翘板,中间是一个无限重的支柱.A演员跳到
翘板的一端,同时把B演员弹到空中,我们可以看作是演员间“通过”翘板的
碰撞.假定碰撞的持续时间很短,由此我们可以不考虑
重力对碰撞本身的影响,因为在碰撞的时间△t里,每一个演员和重力相关的冲
量矩(对翘板中心计算)与△t成正比,是非常小的.
碰撞时翘板支点是不动的,我们可以采用角动量守恒定律来研究.又由于翘
板非常轻,我们可以认为翘板的转动惯量为零.根据题中后面的说明和上面的假设.我们可以认为碰撞时机械能是守恒的,也就是说是弹性碰撞.
令
1
υ'表示A演员碰撞后的速度.
1
υ'与图上的
1
υ指向同一个方向.由系统的角
动量和机械能守恒,可以写出
111122
m r m r m r
υυυ
'
=+(4分)
222
111122
111
222
m m m
υυυ
'
=+(4分)
解这个方程组,我们得到两组解