初等数论习题
https://www.sodocs.net/doc/3615301610.html,
《初等数论》习题集
第1章
第 1 节
1. 证明定理1。
2. 证明：若m - p ∣mn + pq ，则m - p ∣mq + np 。
3. 证明：任意给定的连续39个自然数，其中至少存在一个自然数，使得这个自然数的数字和能被11整除。
4. 设p 是n 的最小素约数，n = pn 1，n 1 > 1，证明：若p >3n ，则n 1是素数。
5. 证明：存在无穷多个自然数n ，使得n 不能表示为
a 2 + p （a > 0是整数，p 为素数）
的形式。
第 2 节
1. 证明：12∣n 4 + 2n 3 + 11n 2 + 10n ，n ∈Z 。
2. 设3∣a 2 + b 2，证明：3∣a 且3∣b 。
3. 设n ，k 是正整数，证明：n k 与n k + 4的个位数字相同。
4. 证明：对于任何整数n ，m ，等式n 2 + (n + 1)2 = m 2 + 2不可能成立。
5. 设a 是自然数，问a 4 - 3a 2 + 9是素数还是合数？
6. 证明：对于任意给定的n 个整数，必可以从中找出若干个作和，使得这个和能被n 整除。
第 3 节
1. 证明定理1中的结论(ⅰ)—(ⅳ)。
2. 证明定理2的推论1, 推论2和推论3。
3. 证明定理4的推论1和推论3。
4. 设x ，y ∈Z ，17∣2x + 3y ，证明：17∣9x + 5y 。
5. 设a ，b ，c ∈N ，c 无平方因子，a 2∣b 2c ，证明：a ∣b 。
6. 设n 是正整数，求1
223212C ,,C ,C -n n n n 的最大公约数。
第 4 节
1. 证明定理1。
2. 证明定理3的推论。
3. 设a ，b 是正整数，证明：(a + b )[a , b ] = a [b , a + b ]。
4. 求正整数a ，b ，使得a + b = 120，(a , b ) = 24，[a , b ] = 144。
5. 设a ，b ，c 是正整数，证明：
)
,)(,)(,(),,(],][,][,[],,[2
2a c c b b a c b a a c c b b a c b a =。
6. 设k 是正奇数，证明：1 + 2 + + 9∣1k + 2k + + 9k 。
第 5 节
1. 说明例1证明中所用到的四个事实的依据。
2. 用辗转相除法求整数x ，y ，使得1387x - 162y = (1387, 162)。
3. 计算：(27090, 21672, 11352)。
4. 使用引理1中的记号，证明：(F n + 1, F n ) = 1。
5. 若四个整数2836，4582，5164，6522被同一个大于1的整数除所得的余数相同，且不等于零，求除数和余数各是多少？
6. 记M n = 2n - 1，证明：对于正整数a ，b ，有(M a , M b ) = M (a , b )。
第 6 节
1. 证明定理1的推论1。
2. 证明定理1的推论2。
3. 写出22345680的标准分解式。
4. 证明：在1, 2, , 2n 中任取n + 1数，其中至少有一个能被另一个整除。
5. 证明：n
1
211+++ （n ≥ 2）不是整数。
6. 设a ，b 是正整数，证明：存在a 1，a 2，b 1，b 2，使得
a = a 1a 2，
b = b 1b 2，(a 2, b 2) = 1，
并且[a , b ] = a 2b 2。
第 7 节
1. 证明定理1。
2. 求使12347!被35k 整除的最大的k 值。
3. 设n 是正整数，x 是实数，证明：∑∞
=-+1
1
][22r r r n = n 。 4. 设n 是正整数，求方程
x 2 - [x 2] = (x - [x ])2
在[1, n ]中的解的个数。
5. 证明：方程
f (x ) = [x ] + [2x ] + [22x ] + [23x ] + [24x ] + [25x ] = 12345
没有实数解。
6. 证明：在n !的标准分解式中，2的指数h = n - k ，其中k 是n 的二进制表示的位数码之和。
第 8 节
1. 证明：若2n + 1是素数，则n 是2的乘幂。
2. 证明：若2n - 1是素数，则n 是素数。
3. 证明：形如6n + 5的素数有无限多个。
4. 设d 是正整数，6|/d ，证明：在以d 为公差的等差数列中，连续三项都是素数的情况最多发生一次。
5. 证明：对于任意给定的正整数n ，必存在连续的n 个自然数，使得它们都是合数。
6. 证明：级数∑∞=11
n n
p 发散，此处使用了定理1注2中的记号。
第2章
第 1 节
1. 证明定理1和定理2。
2. 证明定理4。
3. 证明定理5中的结论(ⅰ)—(ⅳ)。
4. 求81234被13除的余数。
5. 设f (x )是整系数多项式，并且f (1), f (2), , f (m )都不能被m 整除，则f (x ) = 0没有整数解。
6. 已知99∣42762αβ，求α与β。
第 2 节
1. 证明定理1。
2. 证明：若2p + 1是奇素数，则
(p !)2 + (-1)p ≡ 0 (mod 2p + 1)。 3. 证明：若p 是奇素数，N = 1 + 2 + + ( p - 1)，则
(p - 1)! ≡ p - 1 (mod N )。
4. 证明Wilson 定理的逆定理：若n > 1，并且
(n - 1)! ≡ -1 (mod n )，
则n 是素数。
5. 设m 是整数，4∣m ，{a 1, a 2, , a m }与{b 1, b 2, , b m }是模m 的两个完全剩余系，证明：{a 1b 1, a 2b 2, , a m b m }不是模m 的完全剩余系。
6. 设m 1, m 2, ,m n 是两两互素的正整数，δi （1 ≤ i ≤ n ）是整数，并且
δi ≡ 1 (mod m i )， 1 ≤ i ≤ n ， δi ≡ 0 (mod m j )，i ≠ j ，1 ≤ i , j ≤ n 。
证明：当b i 通过模m i （1 ≤ i ≤ n ）的完全剩余系时， b 1δ1 + b 2δ2 + + b n δn
通过模m = m 1m 2 m n 的完全剩余系。
第 3 节
1. 证明定理1。
2. 设m 1, m 2, , m n 是两两互素的正整数，x i 分别通过模m i 的简化剩余系（1 ≤ i ≤ n ），
m = m 1m 2 m n ，M i =i
m m
，则
M 1x 1 + M 2x 2 + + M n x n
通过模m 的简化剩余系。
3. 设m > 1，(a , m ) = 1，x 1, x 2, ?, x ?(m )是模m 的简化剩余系，证明：
∑
==)
(1
)(2
1}{m i i m m
ax ??。 其中{x }表示x 的小数部分。
4. 设m 与n 是正整数，证明：
?(mn )?((m , n )) = (m , n )?(m )?(n )。
5. 设a ，b 是任意给定的正整数，证明：存在无穷多对正整数m 与n ，使得
a ?(m ) =
b ?(n )。
6. 设n 是正整数，证明：
(ⅰ) ?(n ) >
n 2
1
； (ⅱ) 若n 是合数，则?(n ) ≤ n -n 。
第 4 节
1. 证明：1978103 - 19783能被103整除。
2. 求313159被7除的余数。
3. 证明：对于任意的整数a ，(a , 561) = 1，都有a 560 ≡ 1 (mod 561)，但561是合数。
4. 设p ，q 是两个不同的素数，证明：
p q - 1 + q p - 1 ≡ 1 (mod pq )。
5. 将612 - 1分解成素因数之积。
6. 设n ∈N ，b ∈N ，对于b n + 1的素因数，你有甚麽与例6相似的结论？
第 5 节
1. 证明例2中的结论。
2. 证明定理2。
3. 求∑n d d |1
。
4. 设f (n )是积性函数，证明： (ⅰ) ∏∑-
=n
p n
d p f d f d ||))(1()()(μ
(ⅱ)
∏∑+
=n
p n
d p f d f d ||2))(1()()(μ。
5. 求?(n )的Mobius 变换。
第3章
第 1 节
1. 证明定理3。
2. 写出789的二进制表示和五进制表示。
3. 求
21
8
的小数的循环节。 4. 证明：七进制表示的整数是偶数的充要条件是它的各位数字之和为偶数。
5. 证明：既约正分数
n
m
的b 进制小数(0.a -1a -2a -3 )b 为有限小数的充要条件是n 的每个素因数都是b 的素因数。
第 2 节
1. 设连分数? α1, α2, , αn , ?的第k 个渐近分数为
k
k
q p ，证明： k
k k k a a a a k a a a a a k q p 10
0011000
01100012000000110
00
11000
11000121000111313
---------=
=，，
2. 设连分数? α1, α2, , αn , ?的第k 个渐近分数为
k
k
q p ，证明： ???
?
??=???? ?????? ?????? ??--112
101
101
1011k k
k k
k
q q p p a a a ，k ≥ 2。 3. 求连分数? 1, 2, 3, 4, 5, ?的前三个渐近分数。
4. 求连分数? 2, 3, 2, 3, ?的值。
5. 解不定方程：7x - 9y = 4。
第 3 节
1. 证明定理4。
2. 求13的连分数。
3. 求32+的误差≤ 10 - 5的有理逼近。
4. 求sin18?的误差≤ 10 - 5的有理逼近。
5. 已知圆周率π = ? 3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 21, ?，求π的误差 ≤ 10 - 6的有理逼近。
6. 证明：
251+连分数展开的第k 个渐近分数为k
k F F
1+。此处{F n }是Fibonacci 数列。 第 4 节
1. 将方程3x 2 + 2x - 2 = 0的正根写成连分数。
2. 求α = ?3,2
,1 ?之值。 3. 设a 是正整数，求12+a 的连分数。
4. 设无理数d = ? a 1, a 2, , a n , ?的第k 个渐近分数为
k
k
q p ，证明：??=1212,,,,a a a
a d n 的充要条件是
p n = a 1q n + q n -1，dq n = a 1p n + p n -1。
5. 设无理数d = ? a 1, a 2, , a n , ?的第k 个渐近分数为
k
k
q p ，且正整数n 使得 p n = a 1q n + q n -1，dq n = a 1p n + p n -1，
证明：
(ⅰ) 当n 为偶数时，p n ，q n 是不定方程x 2 - dy 2 = 1的解； (ⅱ) 当n 为奇数时，p 2n ，q 2n 是不定方程x 2 - dy 2 = 1的解。
第4章
第 1 节
1. 将
105
17
写成三个既约分数之和，它们的分母分别是3，5和7。 2. 求方程x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 41的所有正整数解。 3. 求解不定方程组：
??
?=+-=++1120527
32321
321x x x x x x 。 4. 甲班有学生7人，乙班有学生11人，现有100支铅笔分给这两个班，要使甲班的
学生分到相同数量的铅笔，乙班学生也分到相同数量的铅笔，问应怎样分法？
5. 证明：二元一次不定方程ax + by = n ，a > 0，b > 0，(a , b ) = 1的非负整数解的个数为][][
ab
n ab n
或+ 1。 6. 设a 与b 是正整数，(a , b ) = 1，证明：1, 2, , ab - a - b 中恰有2
)
1)(1(--b a 个整数
可以表示成ax + by （x ≥ 0，y ≥ 0）的形式。
第 2 节
1. 证明定理2推论。
2. 设x ，y ，z 是勾股数，x 是素数，证明：2z - 1，2(x + y + 1)都是平方数。
3. 求整数x ，y ，z ，x > y > z ，使x - y ，x - z ，y - z 都是平方数。
4. 解不定方程：x 2 + 3y 2 = z 2，x > 0，y > 0，z > 0，(x , y ) = 1。
5. 证明下面的不定方程没有满足xyz ≠ 0的整数解。
(ⅰ) x 2 + y 2 + z 2 = x 2y 2； (ⅱ) x 2 + y 2 + z 2 = 2xyz 。
6. 求方程x 2 + y 2 = z 4的满足(x , y ) = 1，2∣x 的正整数解。
第 3 节
1. 求方程x 2 + xy - 6 = 0的整数解。
2. 求方程组?
??-=++=++180
3
33z y x z y x 的整数解。
3. 求方程2x - 3y = 1的正整数解。
4. 求方程z y x 1
11=+的正整数解。
5. 设p 是素数，求方程
y
x p 1
12+=的整数解。 6. 设2n + 1个有理数a 1, a 2, , a 2n + 1满足条件P ：其中任意2n 个数可以分成两组，每组n 个数，两组数的和相等，证明：
a 1 = a 1 = = a 2n + 1。
第5章
第 1 节
1. 证明定理1。
2. 解同余方程：
(ⅰ) 31x ≡ 5 (mod 17)；
(ⅱ) 3215x ≡ 160 (mod 235)。 3. 解同余方程组：
?
?
?≡-≡+)47(m od 10)
47(m od 3853y x y x 。 4. 设p 是素数，0 < a < p ，证明：
!
)
1()2)(1()1(1
a a p p p
b x a +-???---≡-(mod p )。
是同余方程ax ≡ b (mod p )的解。
5. 证明：同余方程a 1x 1 + a 2x 2 + + a n x n ≡ b (mod m )有解的充要条件是
(a 1, a 2, , a n , m ) = d ∣b 。
若有解，则恰有d ?m n -1个解，mod m 。
6. 解同余方程：2x + 7y ≡ 5 (mod 12)。
第 2 节
1. 解同余方程组：?????
??≡≡≡≡。)11(m od )7(m od )
6(m od )5(m od 4321b x b x b x b x
2. 解同余方程组：??
?
??≡≡≡。)25(m od 13)8(m od 5)15(m od 8x x x
3. 有一队士兵，若三人一组，则余1人；若五人一组，则缺2人；若十一人一组，则余3人。已知这队士兵不超过170人，问这队士兵有几人？
4. 求一个最小的自然数n ，使得它的
21是一个平方数，它的3
1
是一个立方数，它的51
是一个5次方数。
5. 证明：对于任意给定的n 个不同的素数p 1, p 2, …, p n ，必存在连续n 个整数，使得它们中的第k 个数能被p k 整除。
6. 解同余方程：3x 2 + 11x - 20 ≡ 0 (mod 105)。
第 3 节
1. 证明定理的推论。
2. 将例2中略去的部分补足。
3. 将例4中略去的部分补足。
4. 解同余方程x 2 ≡ -1 (mod 54)。
5. 解同余方程f (x ) = 3x 2 + 4x - 15 ≡ 0 (mod 75)。
6. 证明：对于任意给定的正整数n ，必存在m ，使得同余方程x 2 ≡ 1 (mod m )的解数T > n 。
第 4 节
1. 解同余方程：
(ⅰ) 3x 11 + 2x 8 + 5x 4 - 1 ≡ 0 (mod 7)；
(ⅱ) 4x 20 + 3x 12 + 2x 7 + 3x - 2 ≡ 0 (mod 5)。 2. 判定
(ⅰ) 2x 3 - x 2 + 3x - 1 ≡ 0 (mod 5)是否有三个解； (ⅱ) x 6 + 2x 5 - 4x 2 + 3 ≡ 0 (mod 5)是否有六个解？
3. 设(a , m ) = 1，k 与m 是正整数，又设x 0k ≡ a (mod m )，证明同余方程
x k ≡ a (mod m )
的一切解x 都可以表示成x ≡ yx 0 (mod m )，其中y 满足同余方程y k ≡ 1 (mod m )。 4. 设n 是正整数，p 是素数，(n , p - 1) = k ，证明同余方程x n ≡ 1 (mod p )有k 个解。 5. 设p 是素数，证明：
(ⅰ) 对于一切整数x ，x p - 1 - 1 ≡ (x - 1) (x - 2) (x - p + 1) (mod p )； (ⅱ) (p - 1)! ≡ - 1 (mod p )。
6. 设p ≥ 3是素数，证明：(x - 1)(x - 2) (x - p + 1)的展开式中除首项及常数项外，所有的系数都是p 的倍数。
第 5 节
1. 同余方程x 2 ≡ 3 (mod 13)有多少个解？
2. 求出模23的所有的二次剩余和二次非剩余。
3. 设p 是奇素数，证明：模p 的两个二次剩余的乘积是二次剩余；两个二次非剩余的乘积是二次剩余；一个二次剩余和一个二次非剩余的乘积是二次非剩余。
4. 设素数 p ≡ 3 (mod 4)，)(p
n
= 1，证明x ≡ ±41
+p n
(mod p )是同余方程
x 2 ≡ n (mod p )
的解。
5. 设p 是奇素数，(n , p ) = 1，α是正整数，证明同余方程
x 2 ≡ n (mod p α)
有解的充要条件是)(
p
n
= 1。 6. 设p 是奇素数，证明：模p 的所有二次剩余的乘积与2
1
)1(+-p 对模p 同余。
第 6 节
1. 已知769与1013是素数，判定方程 (ⅰ) x 2 ≡ 1742 (mod 769)； (ⅱ) x 2 ≡ 1503 (mod 1013)。 是否有解。
2. 求所有的素数p ，使得下面的方程有解：
x 2 ≡ 11 (mod p )。
3. 求所有的素数p ，使得 -2∈QR (p )，-3∈QR (p )。
4. 设(x , y ) = 1，试求x 2 - 3y 2的奇素数因数的一般形式。
5. 证明：形如8k + 5（k ∈Z ）的素数无穷多个。
6. 证明：对于任意的奇素数p ，总存在整数n ，使得
p ∣(n 2 + 1)(n 2 + 2)(n 2 - 2)。
第 7 节
1. 证明定理的结论(ⅱ)，(ⅲ)，(ⅳ)。
2. 已知3019是素数，判定方程x 2 ≡ 374 (mod 3019)是否有解。
3. 设奇素数为p = 4n + 1型，且d ∣n ，证明：)(p d
= 1。
4. 设p ，q 是两个不同的奇素数，且p = q + 4a ，证明：)()(q
a p a
=。 5. 设a > 0，b > 0，b 为奇数，证明：
?????≡-≡=+。
，当，当)4(m od 32)
4(m od 102)
()()(a b
a a
b a b a a
6. 设a ，b ，c 是正整数，(a , b ) = 1，2|/b ，b < 4ac ，求)()(
4b
a b ac a
与-的关系。 第6章
第 1 节
1. 设n 是正整数，证明：不定方程x 2 + y 2 = z n 总有正整数解x ，y ，z 。
2. 设p 是奇素数，(k , p ) = 1，则
1)(1
)(-=+∑
-=p i p
k i i ，
此处)(
p
a
是Legender 符号。 3. 设素数p ≡ 1 (mod 4)，(k , p ) = 1，记
∑-=+=1
2)()
()(p i p k i i k S ，
则2∣S (k )，并且，对于任何整数t ，有
)()()(
2k S p
t
kt S =， 此处)(
p
a
是Legender 符号。 4. 设p 是奇素数，11)()(
-==p
n p m
，，则 2
22222)2
1(212121)(
-???-???p n n n p m m m ，，，，，，， 构成模p 的一个简化剩余系。
5. 在第3题的条件下，并沿用第2题的记号，有
22)()()(2
1
)(21n S m S p +=。
即上式给出了形如4k + 1的素数的二平方和表示的具体方法。
6. 利用题5的结论，试将p = 13写成二平方和。
第 2 节
1. 若(x , y , z ) = 1，则不存在整数n ，使得
x 2 + y 2 + z 2 = 4n 2。
2. 设k 是非负整数，证明2k 不能表示三个正整数平方之和。
3. 证明：每一个正整数n 必可以表示为5个立方数的代数和。
4. 证明：16k + 15型的整数至少需要15个四次方数的和表之。
5. 证明：16k ?31不能表示为15个四次方数的和。
第7章
第 1 节
2. 求模14的全部原根。
3. 设m > 1，模m 有原根，d 是?(m )的任一个正因数，证明：在模m 的简化剩余系中，恰有?(d )个指数为d 的整数，并由此推出模m 的简化剩余系中恰有?(?(m ))个原根。
4. 设m ≥ 3，g 是模m 的原根，x 1, x 2, , x ?(m )是模m 的简化剩余系，证明： (ⅰ)
2
)(m g ?≡ -1 (mod m )；
(ⅱ) x 1x 2 x ?(m ) ≡ -1 (mod m )。
5. 设p = 2n + 1是一个奇素数，证明：模p 的全部二次非剩余就是模p 的全部原根。
6. 证明：
(ⅰ) 设p 奇素数，则M p = 2p - 1的素因数必为2pk + 1型； (ⅱ) 设n ≥ 0，则F n =n
22+ 1的素因数必为2n + 1k + 1型。
第 2 节
1. 求模29的最小正原根。
2. 分别求模293和模2?293的原根。
3. 解同余方程：x 12 ≡ 16 (mod 17)。
4. 设p 和q = 4p + 1都是素数，证明：2是模q 的一个原根。
5. 设m ≥ 3，g 1和g 2都是模m 的原根，则g = g 1g 2不是模m 的原根。
6. 设p 是奇素数，证明：当且仅当p - 1|/
n 时，有 1n + 2n + + (p - 1)n ≡ 0 (mod p )。
第8章
第 1 节
1. 补足定理1的证明。
2. 证明定理2。
3. 证明：有理数为代数整数的充要条件是这个有理数为整数。
第 2 节
1. 证明例中的结论。
2. 证明连分数
+++++!!
3!2101
101101101n 是超越数。
3. 设ξ是一个超越数，α是一个非零的代数数，证明：ξ + α，ξ α，
α
ξ
都是超越数。
第 3 节
1. 证明引理1。
2. 证明定理3中的F )(
b
a
+ F (0)是整数。 第9章
第 1 节
1. 问：1948年2月14日是星期几？
2. 问：1999年10月1日是星期几？
第 2 节
1.编一个有十个球队进行循环赛的程序表。
2.编一个有九个球队进行循环赛的程序表。
第 3 节
1.利用例1中的加密方法，将“ICOMETODAY”加密。
2. 已知字母a，b， ，y，z，它们分别与整数00，01， ，24，25对应，又已知明文h与p分别与密文e与g对应，试求出密解公式：
P ≡a'E+b' (mod 26)，
并破译下面的密文：“IRQXREFRXLGXEPQVEP”。
第 4 节
1.设一RSA的公开加密钥为n = 943，e = 9，试将明文P = 100加密成密文E。
2. 设RSA(n A, e A) = RSA(33, 3)，RSA(n B, e B) = RSA(35, 5)，A的签证信息为M = 3，试说明A向B发送签证M的传送和认证过程。
第 5 节
1.设某数据库由四个文件组成：F1 = 4，F2 = 6，F3 = 10，F4 = 13。试设计一个对该数据库加密的方法，但要能取出个别的F i（1 ≤i≤ 4），同时不影响其他文件的保密。
2.利用本节中的秘密共享方案，设计一个由三方共管文件M = 3的方法，要求：只要有两方提供他们所掌握的数据，就可以求出文件M，但是，仅由任何一方的数据，不能求出文件M。（提示：取p = 5，m1 = 8，m2 = 9，m3 = 11）
第 6 节
1.设明文P的二进制表示是P = (p1p2p3p4p5p6p7p8)2，与P对应的密文是E是E = a1p1+a2p2+ +a8p8，如果这里的超增背包向量(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) = (5, 17, 43, 71, 144, 293, 626, 1280)，并且已知密文E = 1999，求明文P。
2.给定超增背包向量(2, 3, 7, 13, 29, 59)，试设计一个背包型加密方法，将明文P = 51加密。（提示：取M = 118，k = 77）。
初等数论练习题及答案
初等数论练习题一 一、填空题 1、τ(2420)=27；?(2420)=_880_ 2、设a ，n 是大于1的整数，若a n -1是质数，则a=_2. 3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4}. 4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x ≡11(mod 37)。 5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t ，y=700+18t t ∈Z 。. 6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_?(m )_。 7 8、??? ??10365 =-1。 9、若p 是素数，则同余方程x p - 1 ≡1(mod p )的解数为二、计算题 1、解同余方程：3x 2+11x -20≡0 (mod 105)。 解：因105 = 3?5?7， 同余方程3x 2+11x -20≡0 (mod 3)的解为x ≡1 (mod 3)， 同余方程3x 2+11x -38 ≡0 (mod 5)的解为x ≡0，3 (mod 5)， 同余方程3x 2+11x -20≡0 (mod 7)的解为x ≡2，6 (mod 7)， 故原同余方程有4解。 作同余方程组：x ≡b 1 (mod 3)，x ≡b 2 (mod 5)，x ≡b 3 (mod 7)， 其中b 1 = 1，b 2 = 0，3，b 3 = 2，6， 由孙子定理得原同余方程的解为x ≡13，55，58，100 (mod 105)。 2、判断同余方程x 2≡42(mod 107)是否有解？ 11074217 271071107713231071107311072107 710731072107732107422110721721107213)(=∴-=-=-==-=-=-==??≡-?--?-）（）（）（）（），（）（）（）（），（）（））（）（（ ）（解： 故同余方程x 2≡42(mod 107)有解。 3、求（127156+34）28除以111的最小非负余数。
初等数论试卷和答案
初等数论试卷和答案 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
初等数论考试试卷1 一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、如果a b ，b a ，则( ). A b a = B b a -= C b a ≤ D b a ±= 2、如果n 3，n 5，则15（ ）n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定 3、在整数中正素数的个数（ ）. A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ B b a = C ac T )(mod m bc D b a ≠ 5、如果( ),则不定方程c by ax =+有解. A c b a ),( B ),(b a c C c a D a b a ),( 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 二、填空题(每题3分，共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）. 2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ). 3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为 ( ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ). 6、如果b a ,是两个正整数,则存在( )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.
三、计算题(每题8分，共32分) 1、求[136,221,391]= 2、求解不定方程144219=+y x . 3、解同余式)45(mod 01512≡+x . 4、求 ??? ??563429,其中563是素数. （8分） 四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共 32分) 1、证明对于任意整数n ,数6233 2n n n ++是整数. 2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除. 3、证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和. 试卷1答案 一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、D. 2、A 3、C 4、A 5、A 6、B 二、填空题(每题3分，共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）. 2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是(b m a ),(). 3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ][b a ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( 与p 互素 ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ). 6、如果b a ,是两个正整数,则存在( 唯一 )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.
初等数论试题
2 010年7月高等教育自学考试 初等数论试题 课程代码：10021 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.-30被-9除的余数是() A.-3 C.3 2.下列给出的数中是合数的是() A.1063 C.1093 1000 3.400 xx5的幂指数是() B.-6 D.6 B.1073 D.1103
A.1 C.3B.2 D.4 4.不能表示为5x+7y（x,y是非负整数）的最大整数是() A.23 C.25B.24 D.26 5.下列给出的素数模数中，3是平方非剩余的是() A.37 C.53 二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1.60480的标准分解式为___. 2.μ (50400)=___. 3.π( 55.5)＝___. 4.对任意的正整数n，最大公因数(12n+1,30n+3)=___. 5.若(n)=4，则n=___. 6.同余方程6x≡7(mod 23)的解是___. 7.不定方程6x+9y=30的通解是___.
8.写出模10的一个最小的非负简化剩余系，并要求每项都是7的倍数，则此简化剩余系为 B.47 D.59 ___. 9.326 被50除的余数是___. 10.xxM 23是___（填素数或合数）. 三、计算题(本大题共4小题，每小题10分，共40分) 1.已知两正整数中，每一个除以它们的最大公约数所得的商之和等于18，它们的最小公倍数等于975，求这两个数。 2.有一队士兵，若三人一组，则余1人；若五人一组，则缺2人；若十一人一组，则余3人。 已知这队士兵不超过170人，问这队士兵有几人？ 3.求正整数x，使x2-1216是完全平方数。 4.已知563是素数，判断不定方程x2+563y=429是否有整数解。 四、证明题(本大题共2小题，每小题10分，共20分) 1.证明当n为整数时，504|n9-n3。 2.设(a,m)=1，若x通过模m的完全剩余系，则ax+b也通过模m的完全剩余系.
2013年春_西南大学《初等数论》作业及答案(共4次_已整理)
2013年春西南大学《初等数论》作业及答案(共4次,已整理) 第一次作业 1、设n，m为整数，如果3整除n，3整除m，则9（）mn。 A：整除 B：不整除 C：等于 D：小于 正确答案：A 得分：10 2、整数6的正约数的个数是（）。 A：1 B：2 C：3 D：4 正确答案：D 得分：10 3、如果5|n ，7|n，则35（）n 。 A：不整除 B：等于 C：不一定 D：整除 正确答案：D 得分：10 4、如果a|b，b|a ，则（）。 A：a=b B：a=-b C：a=b或a=-b D：a，b的关系无法确定 正确答案：C 得分：10 5、360与200的最大公约数是（）。 A：10 B：20 C：30 D：40 正确答案：D 得分：10 6、如果a|b，b|c，则（）。 A：a=c B：a=-c C：a|c D：c|a
正确答案：C 得分：10 7、1到20之间的素数是（）。 A：1，2，3，5，7，11，13，17，19 B：2，3，5，7，11，13，17，19 C：1，2，4，5，10，20 D：2，3，5，7，12，13，15，17 正确答案：B 得分：10 8、若a，b均为偶数，则a + b为（）。 A：偶数 B：奇数 C：正整数 D：负整数 正确答案：A 得分：10 9、下面的（）是模12的一个简化剩余系。 A：0，1，5，11 B：25，27，13，-1 C：1，5，7，11 D：1，-1，2，-2 正确答案：C 得分：10 10、下面的（）是模4的一个完全剩余系。 A：9，17，-5，-1 B：25，27，13，-1 C：0，1，6，7 D：1，-1，2，-2 正确答案：C 得分：10 11、下面的（）是不定方程3x + 7y = 20的一个整数解。 A：x=0,y=3 B：x=2,y=1 C：x=4,y=2 D：x=2,y=2 正确答案：D 得分：10 12、设a,b,c,d是模5的一个简化剩余系，则a+b+c+d对模5同余于（）。 A：0 B：1 C：2 D：3 正确答案：A 得分：10 13、使3的n次方对模7同余于1的最小的正整数n等于（）。 A：6 B：2
最新初等数论试卷,最全面的答案,包括截图
初等数论考试试卷 一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分） 1．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( A ) Ａ．[][]1x x x ≤<+； Ｂ．[][]1x x x <≤+； Ｃ．[][]1x x x ≤≤+； Ｄ．[][]1x x x <<+． 2．下列命题中不正确的是( B ) Ａ．整数12,,,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数； Ｂ．整数12,,,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数 【有最小的吗？】 Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数 Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数 3．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解 ()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( C ) Ａ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d =- =+ =±± Ｂ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d =+= -=±± Ｃ．00,,0,1,2,;b a x x t y y t t d d =+= -=±± Ｄ．00,,0,1,2,;b a x x t y y t t d d =-= -=±± 4．下列各组数中不构成勾股数的是( D ) Ａ．5，12，13； Ｂ．7，24，25； Ｃ．3，4，5； Ｄ．8，16，17 5．下列推导中不正确的是( D ) Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡?+≡+ Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡?≡ Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡?≡ Ｄ．()()112211mod mod .a b m a b m ≡?≡ 6．模10的一个简化剩余系是( D )
初等数论 1 习题参考答案
附录1 习题参考答案 第一章习题一 1. (ⅰ) 由a b知b = aq，于是b = (a)(q)，b = a(q)及b = (a)q，即a b，a b及a b。反之，由a b，a b及a b 也可得a b； (ⅱ) 由a b，b c知b = aq1，c = bq2，于是c = a(q1q2)，即a c； (ⅲ) 由b a i知a i= bq i，于是a1x1a2x2a k x k = b(q1x1 q2x2q k x k)，即b a1x1a2x2a k x k；(ⅳ) 由b a知a = bq，于是ac = bcq，即bc ac； (ⅴ) 由b a知a = bq，于是|a| = |b||q|，再由a 0得|q| 1，从而|a| |b|，后半结论由前半结论可得。 2. 由恒等式mq np= (mn pq) (m p)(n q)及条件m p mn pq可知m p mq np。 3. 在给定的连续39个自然数的前20个数中，存在两个自然数，它们的个位数字是0，其中必有一个的十位数字不是9，记这个数为a，它的数字和为s，则a, a 1, , a 9, a 19的数字和为s, s 1, , s 9, s 10，其中必有一个能被11整除。 4. 设不然，n1= n2n3，n2p，n3p，于是n = pn2n3p3，即p3n，矛盾。 5. 存在无穷多个正整数k，使得2k1是合数，对于这样的k，(k1)2
不能表示为a2p的形式，事实上，若(k 1)2= a2p，则(k 1 a)( k 1 a) = p，得k 1 a = 1，k 1 a = p，即p = 2k 1，此与p为素数矛盾。 第一章习题二 1. 验证当n =0,1，2，… ,11时，12|f(n)。 2.写a = 3q1r1，b = 3q2r2，r1, r2 = 0, 1或2，由3a2b2 = 3Q r12r22知r1 = r2 = 0，即3a且3b。 3.记n=10q+r, (r=0,1,…,9)，则n k+4-n k被10除的余数和r k+4-r k=r k(r4-1)被10 除的余数相同。对r=0,1,…,9进行验证即可。 4. 对于任何整数n，m，等式n2 (n 1)2 = m2 2的左边被4除的余数为1，而右边被4除的余数为2或3，故它不可能成立。 5 因a4 3a2 9 = (a2 3a 3)( a2 3a 3)，当a = 1，2时，a2 3a 3 = 1，a4 3a2 9 = a2 3a 3 = 7，13，a4 3a2 9是素数；当a 3时，a2 3a 3 > 1，a2 3a 3 > 1，a4 3a2 9是合数。 6. 设给定的n个整数为a1, a2, , a n，作 s1 = a1，s2 = a1a2，，s n = a1a2a n， 如果s i中有一个被n整除，则结论已真，否则存在s i，s j，i < j，使得s i与s j 被n除的余数相等，于是n s j s i = a i + 1a j。
初等数论试卷
初等数论试卷 一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分） １．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( A ) Ａ．[][]1x x x ≤<+； Ｂ．[][]1x x x <≤+； Ｃ．[][]1x x x ≤≤+； Ｄ．[][]1x x x <<+． ２．下列命题中不正确的是( B ) Ａ．整数12,, ,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数； Ｂ．整数12,,,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数 Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数 Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数 ３．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( C ) Ａ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d =-=+=±± Ｂ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d =+=-=±± Ｃ．00,,0,1,2,;b a x x t y y t t d d =+=-=±± Ｄ．00,,0,1,2,;b a x x t y y t t d d =-=-=±± ４．下列各组数中不构成勾股数的是( D ) Ａ．５，１２，１３； Ｂ．７，２４，２５； Ｃ．３，４，５； Ｄ．８，１６，１７ ５．下列推导中不正确的是( D ) Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡?+≡+ Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡?≡ Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡?≡ Ｄ．()()112211mod mod .a b m a b m ≡?≡ ６．模１０的一个简化剩余系是( D ) Ａ．0,1,2,,9; Ｂ．1,2,3,,10;
初等数论习题集
《初等数论》习题集 第1章 第 1 节 1. 证明定理1。 2. 证明：若m - p ∣mn + pq ，则m - p ∣mq + np 。 3. 证明：任意给定的连续39个自然数，其中至少存在一个自然数，使得这个自然数的数字和能被11整除。 4. 设p 是n 的最小素约数，n = pn 1，n 1 > 1，证明：若p >3n ，则n 1是素数。 5. 证明：存在无穷多个自然数n ，使得n 不能表示为 a 2 + p （a > 0是整数，p 为素数） 的形式。 第 2 节 1. 证明：12∣n 4 + 2n 3 + 11n 2 + 10n ，n ∈Z 。 2. 设3∣a 2 + b 2，证明：3∣a 且3∣b 。 3. 设n ，k 是正整数，证明：n k 与n k + 4的个位数字相同。 4. 证明：对于任何整数n ，m ，等式n 2 + (n + 1)2 = m 2 + 2不可能成立。 5. 设a 是自然数，问a 4 - 3a 2 + 9是素数还是合数？ 6. 证明：对于任意给定的n 个整数，必可以从中找出若干个作和，使得这个和能被n 整除。 第 3 节 1. 证明定理1中的结论(ⅰ)—(ⅳ)。 2. 证明定理2的推论1, 推论2和推论3。 3. 证明定理4的推论1和推论3。 4. 设x ，y ∈Z ，17∣2x + 3y ，证明：17∣9x + 5y 。 5. 设a ，b ，c ∈N ，c 无平方因子，a 2∣b 2c ，证明：a ∣b 。 6. 设n 是正整数，求1223212C ,,C ,C -n n n n 的最大公约数。 第 4 节 1. 证明定理1。 2. 证明定理3的推论。 3. 设a ，b 是正整数，证明：(a + b )[a , b ] = a [b , a + b ]。 4. 求正整数a ，b ，使得a + b = 120，(a , b ) = 24，[a , b ] = 144。 5. 设a ，b ，c 是正整数，证明： ) ,)(,)(,(),,(],][,][,[],,[2 2a c c b b a c b a a c c b b a c b a =。 6. 设k 是正奇数，证明：1 + 2 + + 9∣1k + 2k + + 9k 。 第 5 节 1. 说明例1证明中所用到的四个事实的依据。 2. 用辗转相除法求整数x ，y ，使得1387x - 162y = (1387, 162)。
初等数论试卷模拟试题和答案
初等数论试卷一 一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分） １．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( ) Ａ．[][]1x x x ≤<+； Ｂ．[][]1x x x <≤+； Ｃ．[][]1x x x ≤≤+； Ｄ．[][]1x x x <<+． ２．下列命题中不正确的是( ) Ａ．整数12,,,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数； Ｂ．整数12,, ,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数 Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数 Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数 ３．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解 ()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( ) Ａ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d =- =+ =±± Ｂ．00,,0,1,2, ;a b x x t y y t t d d =+= -=±± Ｃ．00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =+= -=±± Ｄ．00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =-= -=±± ４．下列各组数中不构成勾股数的是( ) Ａ．５，１２，１３； Ｂ．７，２４，２５； Ｃ．３，４，５； Ｄ．８，１６，１７ ５．下列推导中不正确的是( ) Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡?+≡+ Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡?≡ Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡?≡ Ｄ．()()112 2 11mod mod .a b m a b m ≡?≡ ６．模１０的一个简化剩余系是( ) Ａ．0,1,2, ,9; Ｂ．1,2,3,,10;
(完整word版)初等数论练习题一(含答案)
《初等数论》期末练习二 一、单项选择题 1、=),0(b （ ）. A b B b - C b D 0 2、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（ ）. A a B b C 1 D b a + 3、小于30的素数的个数（ ）. A 10 B 9 C 8 D 7 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ B b a = C (mod )ac bc m ≡/ D b a ≠ 5、不定方程210231525=+y x （ ）. A 有解 B 无解 C 有正数解 D 有负数解 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 7、如果a b ，b a ，则( ). A b a = B b a -= C b a ≥ D b a ±= 8、公因数是最大公因数的（ ）. A 因数 B 倍数 C 相等 D 不确定 9、大于20且小于40的素数有（ ）. A 4个 B 5个 C 2个 D 3个 10、模7的最小非负完全剩余系是( ). A -3，-2,-1,0,1,2，3 B -6，-5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5，6 D 0,1,2,3,4，5，6 11、因为( ),所以不定方程71512=+y x 没有解. A [12，15]不整除7 B （12，15）不整除7 C 7不整除（12，15） D 7不整除[12，15] 12、同余式)593(mod 4382≡x （ ）. A 有解 B 无解 C 无法确定 D 有无限个解 二、填空题 1、有理数 b a ，0,(,)1a b a b <<=，能写成循环小数的条件是（ ）. 2、同余式)45(mod 01512≡+x 有解，而且解的个数为( ). 3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为( ). 4、设n 是一正整数，Euler 函数)(n ?表示所有( )n ，而且与n （ ）的正整数的个数. 5、设b a ,整数，则),(b a （ ）=ab . 6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（ ）数码的和能被3整除. 7、+=][x x （ ）. 8、同余式)321(mod 75111≡x 有解,而且解的个数( ). 9、在176与545之间有( )是17的倍数.
初等数论试卷
一、判断题（对的写A ，错的写B ，3'1030?=） 1.12,,,k a a a 两两互素可以推出12,,,k a a a 互素，反之亦真。 （ ） 2.设10n n N a a a -=是整数N 的十进制表示，则0 1111(1)n i i i N a =?-∑。 （ ） 3.设,,a b m 是整数，(,)1a m =，若x 通过模m 的简化剩余系，则ax b +也通过模m 的简化剩余系。 （ ） 4.对于正整数k ，Euler 函数()k ?的值等于模k 简化剩余系中元素的个数。 （ ） 5.形如65n +的素数有无穷多个。 （ ） 6.32514805112133=????是51480的标准分解式。 （ ） 7. 已知(,,)x y z 是不定方程222x y z +=满足(,)1x y =的正整数解，则,x y 有不同的奇偶性。 （ ） 8.同余方程322310(mod5)x x x -+-≡的解数小于3。 （ ） 9. 3,5,9(mod14)x ≡是模14的全部原根。 （ ） 10.设,x y 是任意实数，则[][][]x y x y +=+。 （ ） 二、填空（3'1030?=） 1.159313被7除的余数是 。 2.使12347！被35k 整除的最大的k = 。 3.用(,)a b ，[,]a b 分别表示整数,a b 的最大公约数和最小公倍数，则[,](,)a b a b ＝ 。 4.设n 是正整数，12,,,k p p p 是它的全部素因数，则 ()n ?＝ 。 5.同余方程2 1(mod61)x ≡-的解数是 。 6.设,a b 是整数，0(mod )a m ≠，则同余方程(mod )ax b m ≡有解的充要条件是 。若有解，则恰有 个解，mod m 。 7.模11的所有二次剩余是 。
02013初等数论复习题题库及答案
《初等数论》本科 一、填空题（每空2分） 1.写出30以内的所有素数 2.,a b 设 3.若,a b 是非零整数，则a 与b 互素的充要条件是存在整数,x y ，使1ax by += 4.写出180的标准分解式是(2+1)(2+1)(1+1)=18个. 5.,1,2, ,a b a b 设与是正整数则在中能被. 6.设,a b 是非零整数，c 是整数，方程ax by c +=有整数解(,x y )的充要条件是(,)|a b c 7.A m 的完全剩余系，则A 中含有m 个整数. 8.?9.当p 素数时，(1)()p ?=1p -;(2)()k p ?=1k k p p --. 10.(),(,)1,1m m a m a ?=-设是正整数则).m 11.,,p p a a a -设是素数则对于任意的整数有).p 12.已知235(mod 7)x +≡，则x 7). 13.同余方程22(mod7)x ≡14.同余方程2310120(mod9)x x ++≡的解是X=6+9t(t ∈Z ). 15.(,)1n p =若，n p 是模的二次剩余的充要条件是-12 1(mod ).p n p ≡. 16.(,)1n p =若，n p 是模的二次非剩余的充要条件是-12 1(mod ).p n p ≡-. 17.3(54 (5 18.,p 设是奇素数则2()p = 218(1).p --. 19.,p 设是奇素数则1()p -1 ()p = 20.5()=92 ()=45 二、判断题。(判断下列结论是否成立，每题2分). 1.||,|a b a c x y Z a bx cy ?∈+且对任意的有.成立 2.(,)(,),[,][,]a b a c a b a c ==若则.不成立
初等数论第2版习题答案
第一章 §1 1 证明：n a a a ,,21 都是m 的倍数。 ∴存在n 个整数n p p p ,,21使 n n n m p a m p a m p a ===,,,222111 又n q q q ,,,21 是任意n 个整数 m p q p q q p a q a q a q n n n n )(22112211+++=+++∴ 即n n a q a q a q +++ 2211是m 的整数 2 证： )12)(1()12)(1(-+++=++n n n n n n n )1()1()2)(1(+-+++=n n n n n n )1()1/(6),2)(1(/6+-++n n n n n n )1()1()2)(1(/6+-+++∴n n n n n n 从而可知 )12)(1(/6++n n n 3 证： b a , 不全为0 ∴在整数集合{}Z y x by ax S ∈+=,|中存在正整数，因而 有形如by ax +的最小整数00by ax + Z y x ∈?,，由带余除法有00000,)(by ax r r q by ax by ax +<≤++=+ 则 S b q y y a q x x r ∈-+-=)()(00，由00by ax +是S 中的最小整数知0=r by ax by ax ++∴/00 下证8P 第二题 by ax by ax ++/00 （y x ,为任意整数） b by ax a by ax /,/0000++∴ ).,/(00b a by ax +∴ 又有b b a a b a /),(,/),( 00/),(by ax b a +∴ 故),(00b a by ax =+ 4 证：作序列 ,2 3, ,2 , 0,2 ,,2 3,b b b b b b - -- 则a 必在此序列的某两项之间
初等数论试卷
一、填空题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1.μ(2002)=_________； d(2002)=_________. 2.自然数225，226，…，240中的素数是_________. 3.n+2,2n+3,3n+1中必定互素的一组数是_________. 4.模7的绝对值最小简化剩余系是_________. 5.同余方程16x ≡6(mod 46)的解是_________. 6.不定方程3x+4y=5的通解是_________. 7.17|(2002n -1)，则正整数n 的最小值是_________. 8.满足?(n) =20的n 有多个，其中两个是_________. 9.弗罗贝纽斯(Frobenius)问题可表述为_________. 10.?? ? ??17954 =_________. 二、计算题(本大题共3小题，第1，2小题各7分，第3小题9分，共23分) 1.判断下面同余方程组是否有解，如有解则求出其解： ?? ???≡≡≡9).5(mod x 20),7(mod x 15),2(mod x 2.试求不定方程y 2+x=x 2 +y-22的所有正整数解. 3.判断同余方程x 2≡62(mod 113)是否有解，如有解，则使用高斯(Gauss)逐步淘汰法求其解. 三、论证题(本大题共4小题，第1，2小题各8分，第3小题10分，第4题11分，共37 分) 1.试证一个正整数的平方，必与该正整数的各位数码字的和的平方，关于模9同余。 2.设(a,m)=1,x 通过模m 的一个简化剩余系，试证ax 也通过模m 的简化剩余系. 3.设F n =n 22+1，试证(F n ,F n+1)=1. 4.试证在两继自然数的平方之间，不存在四个自然数a 第三次作业答案： 一、选择题 1、整数5874192能被( B )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 2、整数637693能被(C )整除. A 3 B 5 C 7 D 9 3、模5的最小非负完全剩余系是( D ). A -2,-1,0,1,2 B -5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5 D 0,1,2,3,4 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则（A ） A )(mod m bc ac ≡ B b a = C ac T )(m od m bc D b a ≠ 二、解同余式（组） （1）)132(mod 2145≡x . 解 因为(45,132)=3|21,所以同余式有3个解. 将同余式化简为等价的同余方程 )44(mod 715≡x . 我们再解不定方程 74415=-y x , 得到一解(21,7). 于是定理4.1中的210=x . 因此同余式的3个解为 )132(mod 21≡x , )132(mod 65)132(mod 3 13221≡+ ≡x , )132(mod 109)132(mod 3132221≡?+≡x . （2）)45(mod 01512≡+x 解 因为(12,45)=3|15,所以同余式有解,而且解的个数为3. 又同余式等价于)15(mod 054≡+x ,即y x 1554=+. 我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3), 即定理4.1中的100=x . 因此同余式的3个解为 )45(mod 10≡x , )45(mod 25)45(mod 3 4510≡+≡x , )45(mod 40)45(mod 3 45210≡?+≡x . （3）)321 (m od 75111≡x . 解 因为(111,321)=3|75,所以同余式有3个解. 将同余式化简为等价的同余方程 )107(mod 2537≡x . 我们再解不定方程 2510737=+y x , 得到一解(-8,3). 于是定理4.1中的80-=x . 因此同余式的3个解为 )321(mod 8-≡x , )321(mod 99)321(mod 3 3218≡+-≡x , )321(mod 206)321(mod 3 32128≡?+-≡x . （4）?? ???≡≡≡)9(mod 3)8(mod 2)7(mod 1x x x . 解 因为(7,8,9)=1,所以可以利用定理5.1.我们先解同余式 )7(mod 172≡x ,)8(mod 163≡x ,)9(mod 156≡x , 得到)9(mod 4),8(mod 1),7(mod 4321-=-==x x x .于是所求的解为 ). 494(mod 478)494(mod 510 )494(mod 3)4(562)1(631472=-=?-?+?-?+??≡x （5）???????≡≡≡≡) 9(mod 5)7(mod 3)5(mod 2)2(mod 1x x x x . (参考上题) 1 浙江省2018年4月高等教育自学考试 初等数论试题 课程代码：10021 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号 内。错选、多选或未选均无分。 1. 30被-7除的带余除法表达式是( ) A.30=（－7）×（－5）－5 B.30=（－7）×（－4）+2 C.30=（－7）×（－3）+9 D.30=（－7）×（－6）－12 2．100至500的正整数中，能被17整除的个数是( ) A. 23 B. 24 C. 25 D. 26 3．设 α3|500!，但13+α 500！，则α=( ) A. 245 B.246 C.247 D. 248 4．以下数组中，成为模7的完全剩余系的是( ) A. －14，－4，0，5，15，18，19 B. 7，10，14，19，25，32，40 C. －4，－2，8，13，32，35，135 D. －3，3，－4，4，－5，5，0 5.设n 是正整数，则以下各式中一定成立的是( ) A.(n +1，3n ＋1)=1 B.（2n －1，2n ＋1）=1 C.（2n ，n ＋1）=1 D.（2n ＋1，n －1）=1 二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1.?(120)=________________。 2.25736被50除的余数是________________。 3. 反转定律是________________。 4. 同余方程3x ≡5(mod16) 的解是________________。 5. 不定方程9x －12y =15的通解是________________。 6.?? ? ??41323 =________________。 7. 实数的小数部分记为{x } ，则 {－4 5}＝________________。 初等数论考试试卷1 一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、如果a b ，b a ，则( ). A b a = B b a -= C b a ≤ D b a ±= 2、如果n 3，n 5，则15（ ）n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定 3、在整数中正素数的个数（ ）. A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ B b a = C ac T )(m od m bc D b a ≠ 5、如果( ),则不定方程c by ax =+有解. A c b a ),( B ),(b a c C c a D a b a ),( 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 二、填空题(每题3分，共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）. 2、同余式)(m od 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ). 3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ). 6、如果b a ,是两个正整数,则存在( )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0. 三、计算题(每题8分，共32分) 1、求[136,221,391]=? 2、求解不定方程144219=+y x . 3、解同余式)45(mod 01512≡+x . 4、求 ??? ??563429,其中563是素数. （8分） 四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分) 初等数论学习总结 本课程只介绍初等数论的的基本内容。由于初等数论的基本知识和技巧与中学数学有着密切的关系， 因此初等数论对于中学的数学教师和数学系(特别是师范院校)的本科生来说，是一门有着重要意义的课程，在可能情况下学习数论的一些基础内容是有益的．一方面通过这些内容可加深对数的性质的了解，更深入地理解某些他邻近学科，另一方面，也许更重要的是可以加强他们的数学训练，这些训练在很多方面都是有益的．正因为如此，许多高等院校，特别是高等师范院校，都开设了数论课程。 最后，给大家提一点数论的学习方法，即一定不能忽略习题的作用，通过做习题来理解数论的方法和技巧，华罗庚教授曾经说过如果学习数论时只注意到它的内容而忽略习题的作用，则相当于只身来到宝库而空手返回而异。 数论有丰富的知识和悠久的历史，作为数论的学习者，应该懂得一点数论的常识，为此在辅导材料的最后给大家介绍数论中著名的“哥德巴赫猜想”和费马大定理的阅读材料。 初等数论自学安排 第一章：整数的可除性（6学时）自学18学时 整除的定义、带余数除法 最大公因数和辗转相除法 整除的进一步性质和最小公倍数 素数、算术基本定理 [x]和{x}的性质及其在数论中的应用 习题要求3p ：2，3 ； 8p ：4 ；12p ：1；17p ：1，2，5；20p ：1。 第二章：不定方程（4学时）自学12学时 二元一次不定方程c by ax =+ 多元一次不定方程c x a x a x a n n =++ 2211 勾股数 费尔马大定理。 习题要求29p ：1，2，4；31p ：2，3。 第三章：同余（4学时）自学12学时 同余的定义、性质 剩余类和完全剩余系 欧拉函数、简化剩余系 欧拉定理、费尔马小定理及在循环小数中的应用 习题要求43p ：2，6；46p ：1；49p ：2，3；53p 1，2。 第四章：同余式（方程）（4学时）自学12学时 同余方程概念 孙子定理 高次同余方程的解数和解法 素数模的同余方程 威尔逊定理。 习题要求60p ：1；64p ：1，2；69p ：1，2。 第五章：二次同余式和平方剩余（4学时）自学12学时 二次同余式 单素数的平方剩余与平方非剩余 勒让德符号 二次互反律 雅可比符号、 素数模同余方程的解法 习题要求78p ：2； 81p ：1，2，3；85p ：1，2；89p ：2；93p ：1。 第一章：原根与指标（2学时）自学8学时 指数的定义及基本性质 原根存在的条件 指标及n 次乘余 模2 及合数模指标组、 初等数论考试试卷（一） 一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、如果a b ，b a ，则( ). A b a = B b a -= C b a ≤ D b a ±= 2、如果n 3，n 5，则15（ ）n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定 3、在整数中正素数的个数（ ）. A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 4、如果)(mod m b a ≡，c 是任意整数，则 A ) (mod m bc ac ≡ B b a = C ac T )(m od m bc D b a ≠ 5、如果( )，则不定方程c by ax =+有解. B ),(b a c C c a D a b a ),( 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 二、填空题(每题3分，共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）. 2、同余式)(m od 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ). 3、如果b a ,是两个正整数，则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ). 4、如果p 是素数，a 是任意一个整数，则a 被p 整除或者( ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ). 6、如果b a ,是两个正整数，则存在( )整数r q ,，使r bq a +=，b r ≤0. 三、计算题(每题8分，共32分) 1、求[136，221，391]=? 2、求解不定方程144219=+y x . 3、解同余式)45(mod 01512≡+x . 4、求? ?? ??563429，其中563是素数. （8分） 四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分) 1、证明对于任意整数n ，数62 332n n n + +是整数. 2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除. 3、证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和. 初等数论考试试卷（一）答案 一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、D. 2、A 3、C 4、A 5、A 6、B 二、填空题(每题3分，共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）. 2、同余式)(m od 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是(b m a ),(). 3、如果b a ,是两个正整数，则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ] [b a ). 4、如果p 是素数，a 是任意一个整数，则a 被p 整除或者( 与p 互素 ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ). 6、如果b a ,是两个正整数，则存在( 唯一 )整数r q ,，使r bq a +=，b r ≤0. 三、计算题(每题8分，共32分) 1、 求[136，221，391]=?（8分） 解 [136，221，391] =[[136，221]，391] =[391,17221 136?] =[1768，391] ------------(4分) = 173911768? =104?391 =40664. ------------（4分） 2、求解不定方程144219=+y x .（8分）初等数论作业(3)答案
(全新整理)4月浙江自考初等数论试题及答案解析
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初等数论总复习题及知识点总结
02013初等数论两套试卷及答案