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八年级下册勾股定理知识点归纳

八年级下册勾股定理知识点归纳
八年级下册勾股定理知识点归纳

八年级下册勾股定理知识点归纳

6.勾股数

①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即222a

b c +=中,a ,b ,c 为正整数时,称a ,b ,c 为一组勾股数

②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25,8,15,17等

③用含字母的代数式表示n 组勾股数: 221,2,1n n n -+(2,n ≥n 为正整数); 2221,22,221n n n n n ++++(n 为正整数);

2222,2,m n mn m n -+(,m n >m ,n 为正整数)

7.勾股定理的应用

勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.在使用勾股定理时,必须把握直角三角形的前提条件,了解直角三角形中,斜边和直角边各是什么,以便运用勾股定理进行计算,应设法添加辅助线(通常作垂线),构造直角三角形,以便正确使用勾股定理进行求解.

8.勾股定理逆定理的应用

勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形,在具体推算过程中,应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较,切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错

A B C 30°

D C B A A D B C 误的结论.

9.勾股定理及其逆定理的应用

勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中,是密不可分的一个整体.通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形,又要用勾股定理求出边的长度,二者相辅相成,完成对问题的解决.常见图形:

二、经典例题精讲

题型一:直接考查勾股定理

例1.在ABC ?中,90C ∠=?.

⑴已知6AC =,8BC =.求AB 的长

⑵已知17AB =,15AC =,求BC 的长分析:直接应用勾股定理222

a b c += 解:⑴2210AB AC BC =+ ⑵22

8BC AB AC =-= 题型二:利用勾股定理测量长度

例题1 如果梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米?

C B

D A

勾股定理知识点总结

第18章 勾股定理复习 一.知识归纳 1.勾股定理 内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方; 表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么222a b c += 勾股定理的由来:勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦.早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了“勾三,股四,弦五”形式的勾股定理,后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为:两直角边的平方和等于斜边的平方 2.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下: 方法一:4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ,221 4()2 ab b a c ?+-=,化简可证. c b a H G F E D C B A 方法二: b a c b a c c a b c a b 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221 422S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三:1()()2S a b a b =+?+梯形,211 2S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形,化简得证

a b c c b a E D C B A 3.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征,因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形 4.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长,求第三边 在ABC ?中,90C ∠=? ,则c ,b = ,a ②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 5 、利用勾股定理作长为 的线段 作长为 、 、 的线段。 思路点拨:由勾股定理得,直角边为1的等腰直角三角形,斜边长就等于,直角边为 和1的直 角三角形斜边长就是,类似地可作 。 作法:如图所示 (1)作直角边为1(单位长)的等腰直角△ACB ,使AB 为斜边; (2)以AB 为一条直角边,作另一直角边为1的直角。斜边为 ; (3)顺次这样做下去,最后做到直角三角形,这样斜边 、 、 、 的长度就是 、 、 、 。 举一反三 【变式】在数轴上表示的点。 解析:可以把 看作是直角三角形的斜边, , 为了有利于画图让其他两边的长为整数, 而10又是9和1这两个完全平方数的和,得另外两边分别是3和1。

【人教版】八年级下数学《勾股定理》单元训练(含答案)

勾股定理专项训练 专训1.巧用勾股定理求最短路径的长 名师点金: 求最短距离的问题,第一种是通过计算比较解最短问题;第二种是平面图形,将分散的条件通过几何变换(平移或轴对称)进行集中,然后借助勾股定理解决;第三种是立体图形,将立体图形展开为平面图形,在平面图形中将路程转化为两点间的距离,然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程(距离).用计算法求平面中最短问题 1.如图,学校有一块长方形花圃,有极少数人从A走到B,为了避免拐角C走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”,他们仅仅少走了________步路(假设2步为1 m),却踩伤了花草. (第1题) 2.小明听说“武黄城际列车”已经开通,便设计了如下问题:如图,以往从黄石A坐客车到武昌客运站B,现在可以在黄石A坐“武黄城际列车”到武汉青山站C,再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B.设AB=80 km,BC=20 km,∠ABC=120°.请你帮助小明解决以下问题: (1)求A,C之间的距离.(参考数据21≈4.6) (2)若客车的平均速度是60 km/h,市内的公共汽车的平均速度为40km/h,“武黄城际列车”的平均速度为180 km/h,为了在最短时间内到达武昌客运站,小明应选择哪种乘车方案?请说明理由.(不计候车时间) (第2题) 用平移法求平面中最短问题 3.如图是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别是50 cm,30c m,10 cm,A和B是这个台阶的两个相对的端点,A点上有一只壁虎,它想到B点去吃可口的食物,请你想一想,这只壁虎从A点出发,沿着台阶面爬到B点,至少需爬( ) A.13 cm B.40 cmC.130 cm D.169 cm

勾股定理知识点归纳和题型归类

勾股定理知识点归纳和题型归类 一.知识归纳 1.勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方; 表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么222a b c += 2.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法,用拼图的方法验证勾股定理的思路是: ①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下: 方法一:4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ,2214()2 ab b a c ?+-=,化简可证. 方法二: 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++,所以222a b c += 方法三:1()()2S a b a b =+?+梯形,2112S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形,化简得证 3.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征,因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形 4.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长,求第三边 在ABC ?中,90C ∠=? ,则c ,b = ,a ②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 5.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ,b ,c 满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形,其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较,若它们相等时,以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形;若222a b c +<,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是钝角三角形;若222a b c +>,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是锐角三角形; c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A

勾股定理知识点总结

第十七章勾股定理知识点总结 一.基础知识点: 1:勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。(即:a2+b2=c2) 要点诠释: 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一,其主要应用: (1)已知直角三角形的两边求第三边(在ABC ?中,90 ∠=?,则c, C b,a=) (2)已知直角三角形的一边与另两边的关系,求直角三角形的另两边 (3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2:勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长:a、b、c,则有关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释: 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时应注意:(1)首先确定最大边,不妨设最长边长为:c; (2)验证c2与a2+b2是否具有相等关系,若c2=a2+b2,则△ABC是以∠C为直角的直角三角形 (若c2>a2+b2,则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形;若c2

区别:勾股定理是直角三角形的性质定理,而其逆定理是判定定理; 联系:勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反,都与直角三角形有关。 4:互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。 规律方法指导 1.勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。 2.勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系,可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。 3.勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边,这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。 4. 勾股定理的逆定理:如果三角形的三条边长a ,b ,c 有下列关系:a 2+b 2=c 2,?那么这个三角形是直角三角形;该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法. 5.?应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算,通过学习加深对“数形结合”的理解. 我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。(例:勾股定理与勾股定理逆定理) 5:勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下: 方法一:4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ,221 4()2 ab b a c ?+-=,化简可证. c b a H G F E D C B A

最新人教版八年级下学期数学勾股定理》知识点归纳

勾股定理知识点归纳和题型归类 一.知识归纳 1.勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方; 表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么222a b c += 2.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法,用拼图的方法验证勾股定理的思路是: ①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下: 方法一: 4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ,2214()2 ab b a c ?+-=, 化简可证. 方法二: 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++,所以 222a b c += 方法三: 1 ()()2S a b a b =+?+梯形, 211 2S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形,化简 得证 3.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征,因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形 4.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长,求第三边 在ABC ?中,90C ∠=?, 则c b ,a ②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 5.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ,b , c 满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形,其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是 否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较,若它们相等时,以a , b , c 为三边的三角形是直角三角形;若 222a b c +<,时,以a ,b ,c 为三边的三角形 是钝角三角形;若222a b c +>,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是锐角三角形; c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A

勾股定理知识点与常见题型总结

勾股定理知识点与常见题型总结

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勾股定理复习 一.知识归纳 1.勾股定理 内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方; 表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么222a b c += 勾股定理的由来:勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦.早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了“勾三,股四,弦五”形式的勾股定理,后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为:两直角边的平方和等于斜边的平方 2.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下: 方法一:4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ,2214()2 ab b a c ?+-=,化简可证. c b a H G F E D C B A 方法二: b a c b a c c a b c a b 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三:1()()2S a b a b =+?+梯形,2112S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形,化简得证

勾股定理全章知识点归纳总结

全国中考信息资源门户网站 https://www.sodocs.net/doc/3617124530.html, 勾股定理全章知识点归纳总结 一.基础知识点: 1:勾股定理 直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。(即:a 2+b 2=c 2) 要点诠释: 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一,其主要应用: (1)已知直角三角形的两边求第三边(在A B C ?中,90C ∠=? ,则22 c a b = +, 2 2 b c a = -,22 a c b = -) (2)已知直角三角形的一边与另两边的关系,求直角三角形的另两边 (3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2:勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长:a 、b 、c ,则有关系a 2+b 2=c 2,那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释: 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时应注意: (1)首先确定最大边,不妨设最长边长为:c ; (2)验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系,若c 2=a 2+b 2,则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形 (若c 2>a 2+b 2,则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形;若c 2

全国中考信息资源门户网站 https://www.sodocs.net/doc/3617124530.html, 3:勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别:勾股定理是直角三角形的性质定理,而其逆定理是判定定理; 联系:勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反,都与直角三角形有关。 4:互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。 规律方法指导 1.勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。 2.勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系,可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。 3.勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边,这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。 4. 勾股定理的逆定理:如果三角形的三条边长a ,b ,c 有下列关系:a 2+b 2=c 2,?那么这个三角形是直角三角形;该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法. 5.?应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算,通过学习加深对“数形结合”的理解. 我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。(例:勾股定理与勾股定理逆定理) 5:勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下: 方法一:4EFGH S S S ? +=正方形正方形ABCD ,22 14()2 ab b a c ? +-=,化简可证. c b a H G F E D C B A

八年级数学下册知识点总结-勾股定理

第十八章勾股定理 知识点一:勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。(即:a2+b2=c2) 要点诠释: 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一,其主要应用: (1)已知直角三角形的两边求第三边 (2)已知直角三角形的一边与另两边的关系,求直角三角形的另两边 (3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 知识点二:勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长:a、b、c,则有关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释: 用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意: (1)首先确定最大边,不妨设最长边长为:c; (2)验证c2与a2+b2是否具有相等关系,若c2=a2+b2,则△ABC是以∠C为直角的直角三角形 (若c2>a2+b2,则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形;若c2

勾股定理知识点总结及练习

第 课时 第十八章 勾股定理 一.基础知识点: 1:勾股定理 直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。(即:a 2 +b 2 =c 2) 要点诠释: 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一,其主要应用: (1)已知直角三角形的两边求第三边(在A B C ?中,90C ∠=?,则 2 2 c a b = +,22 b c a = -,22 a c b = -) (2)已知直角三角形的一边与另两边的关系,求直角三角形的另两边 (3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2:勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下: 方法一:4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ,22 14()2 ab b a c ?+-=,化简可证. 方法二: 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为2 2 1422 S ab c ab c =? +=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三:1()()2 S a b a b = +?+梯形,2 112S 22 2 ADE ABE S S ab c ??=+=? + 梯形,化简得证 3:勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即222a b c +=中,a ,b ,c 为正整数时,称a ,b ,c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数:221,2,1n n n -+(2,n ≥n 为正整数); 2 2 21,22,221n n n n n ++++(n 为正整数)2 2 2 2 ,2,m n mn m n -+(,m n >m ,n 为正整数) 规律方法指导 1.勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。 2.勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系,可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。 c b a H G F E D C B A a b c c b a E D C B A c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b

人教版勾股定理知识要点--总结及练习

勾股定理知识总结 一.基础知识点: 1:勾股定理 直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。(即:a 2+b 2=c 2 ) 2:勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长:a 、b 、c ,则有关系a 2 +b 2 =c 2 ,那么这个三角形是直角三角形。 3:勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即222a b c +=中,a ,b ,c 为正整数时,称a ,b ,c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等 二、经典例题精讲: 题型一:直接考查勾股定理: 例1.在ABC ?中,90C ∠=?. ⑴已知6AC =,8BC =.求AB 的长 ⑵已知17AB =,15AC =,求BC 的长分析:直接应用勾股定理222a b c += 题型二:利用勾股定理测量长度: 例题1 如梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米? 例题2 如图(8),水池中离岸边D 点1.5米的C 处,直立长着一根芦苇,出水部分BC 的长是0.5米,把芦苇拉到岸 边,它的顶端B 恰好落到D 点,并求水池的深度AC. 题型三:勾股定理和逆定理并用— 例题3 如图3,正方形ABCD 中,E 是BC 边上的中点,F 是AB 上一点,且AB FB 4 1 = 那么△DEF 是直角三角形吗?为什么? 题型四:关于翻折问题: 例1、 如图,矩形纸片ABCD 的边AB=10cm ,BC=6cm ,E 为BC 上一点,将矩形纸片沿AE 折叠,点B 恰好落在CD 边上

的点G 处,求BE 的长. 勾股定理练习(随堂练) 一.填空题: 1. 在Rt △ABC 中,∠C=90° (1)若a=5,b=12,则c=________________________; (2)b=8,c=17,则S △ ABC =________。 2.若一个三角形的三边之比为5∶12∶13,则这个三角形是________(按角分类)。 3. 直角三角形的三边长为连续自然数,则其周长为____________________。 4.一只蚂蚁从长、宽都是3,高是8的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点,那么它所 行的最短路线的长是_______________________。 二.选择题: 5.观察下列几组数据 :(1) 8, 15, 17; (2) 7, 12, 15; (3)12, 15, 20; (4) 7, 24, 25. 其中能作为直角三角形的三边长的有( )组 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.三个正方形的面积如图,正方形A 的面积为( ) A. 6 B.4 C. 64 D. 8 7.已知直角三角形的两条边长分别是5和12,则第三边为 ( ) A.13 B.119 C.13或119 D. 不能确定 8.下列命题①如果a 、b 、c 为一组勾股数,那么4a 、4b 、4c 仍是勾股数;②如果直角三角形的两边是5、12,那么斜边必是13;③如果一个三角形的三边是12、25、21,那么此三角形必是直角三角形;④一个等腰直角三角形的三边是a 、b 、c ,(a>b=c ),那么a 2 ∶b 2 ∶c 2 =2∶1∶1。其中正确的是( ) A 、①② B 、①③ C 、①④ D 、②④ 9.三角形的三边长为(a+b )2 =c 2+2ab,则这个三角形是( ) A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C. 直角三角形; D. 锐角三角形. A B 第8题图 A 10 6

人教版数学八年级下册《勾股定理》基础练习题

勾股定理 一、选择题(每小题4分,共12分) 1.(2013·黔西南州中考)一直角三角形的两边长分别为3和4.则第三边的长为 ( ) A.5 B. C. D.5或 2.如图,有一块直角三角形纸板ABC,两直角边 AC=6cm,BC=8cm.现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜 边AB上,且点C落到点E处,则CD等于( ) A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm 3.(2013·资阳中考)如图,点E在正方形ABCD内,满足 ∠AEB=90°,AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是( ) A.48 B.60 C.76 D.80 二、填空题(每小题4分,共12分) 4.(2013·莆田中考)如图是一株美丽的勾股树,其中所有 的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若 正方形A,B,C,D的面积分别为2,5,1,2.则最大的正方形 E的面积是. 5.如图,等腰△ABC中,AB=AC,AD是底边上的高,若AB=5cm,BC=6cm,则AD= cm.

6.(2013·桂林中考)如图,在△ABC中,CA=CB,AD⊥BC,BE⊥AC,AB=5,AD=4,则AE= . 三、解答题(共26分)[ 7.(8分)已知,如图,在△ABC中,∠C=90°,∠1=∠2,CD=15,BD=25,求AC的长. 8.(8分)在△ABC中,AB=15,AC=20,BC边上的高AD=12,试求BC边的长. 【拓展延伸】 9.(10分)有一块直角三角形的绿地,量得两直角边长分别为6m,8m.现在要将绿地扩充成等腰三角形,且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形,求扩充后等腰三角形绿地的周长.(图2,图3备用)

八年级下册勾股定理知识点归纳

八年级下册勾股定理知识点和典型例习题 一、基础知识点: 1.勾股定理 内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方; 表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么222a b c += 2.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形通过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下: 方法一:4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD , ,化简可证. 方法二:四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个直角三角形 的面积与小正方形面积的和为221 422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为 2 22() 2S a b a a b b =+=++ 所以222a b c += 方法三:1()()2S a b a b =+?+梯形,211 2S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形,化简得证 3.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征,因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形 4.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长,求第三边在ABC ?中,90C ∠ =?,则c =,b ,a =②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实 际问题 5.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ,b ,c 满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形,其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较,若它们相等时,以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形;否则,就不是直角三角形。 ②定理中a ,b ,c 及222a b c +=只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长a ,b ,c 满足222a c b +=,那么以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形,但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时,不能说成:当斜边的平方等于两条直角边的平方和时,这个三角形是直角三角形 6.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即222a b c +=中,a ,b ,c 为正整数时,称a ,b ,c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25,8,15,17等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数: c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A

最新部编人教版初中八年级下册数学勾股定理知识点

勾股定理知识点 一、勾股定理: 1、勾股定理定义:如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么 a2+b2=c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 A B C a b c 弦 股 勾 勾:直角三角形较短的直角边 股:直角三角形较长的直角边 弦:斜边 勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c有下面关系:a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。 2. 勾股数:满足a2+b2=c2的三个正整数叫做勾股数(注意:若a,b,c、为勾股数,那么ka,kb,kc同样也是 勾股数组。) *附:常见勾股数:3,4,5; 6,8,10; 9,12,15; 5,12,13 3. 判断直角三角形:如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ,那么这个三角形是直角三角形。(经典直角三角 形:勾三、股四、弦五) 其他方法:(1)有一个角为90°的三角形是直角三角形。 (2)有两个角互余的三角形是直角三角形。 用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是: (1)确定最大边(不妨设为c); (2)若c2=a2+b2,则△ABC是以∠C为直角的三角形; 若a2+b2<c2,则此三角形为钝角三角形(其中c为最大边); 若a2+b2>c2,则此三角形为锐角三角形(其中c为最大边) 4.注意:(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 (2)在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。 (3)在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于30°。 5. 勾股定理的作用: (1)已知直角三角形的两边求第三边。 (2)已知直角三角形的一边,求另两边的关系。 (3)用于证明线段平方关系的问题。

勾股定理知识点总结、经典例题

知识点及例题 知识点一:勾股定理 如果直角三角形的两直角边长分别为:a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方. 要点诠释:(1)勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。 (2)勾股定理只适用于直角三角形,而不适用于锐角三角形和钝角三角。 (3)理解勾股定理的一些变式: c2=a2+b2, a2=c2-b2,b2=c2-a2,c2=(a+b)2-2ab 知识点二:用面积证明勾股定理 方法一:将四个全等的直角三角形拼成如图(1)所示的正方形。 图(1)中,所以。 方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图(2)所示的正方形。 图(2)中,所以。 方法三:将四个全等的直角三角形分别拼成如图(3)—1和(3)—2所示的两个形状相同的正方形。 在(3)—1中,甲的面积=(大正方形面积)—(4个直角三角形面积), 在(3)—2中,乙和丙的面积和=(大正方形面积)—(4个直角三角形面积), 所以,甲的面积=乙和丙的面积和,即:. 方法四:如图(4)所示,将两个直角三角形拼成直角梯形。 ,所以。

知识点三:勾股定理的作用 1.已知直角三角形的两条边长求第三边;2.已知直角三角形的一条边,求另两边的关系; 3.用于证明平方关系的问题;4.利用勾股定理,作出长为的线段。 2. 在理解的基础上熟悉下列勾股数 满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数,称为勾股数(又称为高数或毕达哥拉斯数),显然,以x,y,z为三边长的三角形一定是直角三角形。 熟悉下列勾股数,对解题是会有帮助的: ①3、4、5②5、12、13;③8、15、17;④7、24、25;⑤10、24、26;⑥9、40、41. 如果(a,b,c)是勾股数,当t>0时,以at,bt,ct为三角形的三边长,此三角形必为直角三角形。 经典例题透析类型一:勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中,∠C=90° (1)已知a=6,c=10,求b,(2)已知a=40,b=9,求c;(3)已知c=25,b=15,求a. 思路点拨:写解的过程中,一定要先写上在哪个直角三角形中,注意勾股定理的变形使用。 解析:(1) 在△ABC中,∠C=90°,a=6,c=10,b= (2) 在△ABC中,∠C=90°,a=40,b=9,c= (3) 在△ABC中,∠C=90°,c=25,b=15,a= 总结升华:有一些题目的图形较复杂,但中心思想还是化为直角三角形来解决。如:不规则图形的面积,可转化为特殊图形求解,本题通过将图形转化为直角三角形的方法,把四边形面积转化为三角形面积之差或和。 举一反三 【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少? 【答案】∵∠ACD=90° AD=13, CD=12 ∴AC2 =AD2-CD2 =132-122 =25 ∴AC=5 又∵∠ABC=90°且BC=3 ∴由勾股定理可得 AB2=AC2-BC2 =52-32 =16 ∴AB= 4 ∴AB的长是4. 类型二:勾股定理的构造应用 2、如图,已知:在中,,,. 求:BC的长. 思路点拨:由条件,想到构造含角的直角三角形,为此作于D,则有 ,,再由勾股定理计算出AD、DC的长,进而求出BC的 长. 解析:作于D,则因,

勾股定理知识点与常见题型总结(1)

勾股定理知识点与常见题型总 结(1) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

《勾股定理分类练习》 题型一:直接考查勾股定理:直角三角形中,若a, b 分别为直角边,c 为斜边,那么直角三角形三边的关系为 a 2 +b 2 =c 2 注意:直角三角形中,最长的边为斜边,较短的两边为直角边 1、如图1中,64、400分别为所在正方形的面积,则图中A 字母所代表的正方形面积是 2、 如图4,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A ,B ,C ,D 的面积之和为___________cm 2。 3、在Rt △ABC 中,斜边AB 2 =3,则AB 2+BC 2+AC 2的值是______ “知二求一”的题,可以直接利用勾股定理! 4、在ABC ?中,90C ∠=?. ⑴已知6AC =,8BC =.求AB 的长 ⑵已知17AB =,15AC =,求BC 的长 5、已知一个直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是( ) A .25 B .14 C .7 D .7或25 题型二:应用勾股定理建立方程(“知一求二”的题,应设未知数) 3:4152、已知直角三角形的周长为30cm ,斜边长为13cm ,则这个三角形的面积为 3、已知△ABC ,∠A=90 °, ∠B=30°,AB=5,求AC,BC 的值. 题型三:勾股定理的逆定理: 1、以下列各组数为边长,能组成直角三角形的是( ) A .2,3,4 B .10,8,4 C .7,25,24 D .7,15,12 2、分别有下列几组数据:①6、8、10 ②12、1 3、5 ③ 17、8 、15 ④ 4、11、9其中能构成直 角三形的有:( ) A、4组 B、3组 C、2组 D、1组 3、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( ) A. 钝角三角形; B. 锐角三角形; C. 直角三角形; D. 等腰三角形 4、请写出“对顶角相等”和“垂直平分线上的点到线段两端距离相等”的逆命题 题型四、与直角三角形面积相关 A B C D 7cm

八年级数学下勾股定理-单元测试题(带答案)

(第6题) A B D C (第12题) 30 7米5米 八年级下勾股定理测试题 姓名: 分数: 一、耐心填一填(每小题3分,共36分) 1、在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=3,BC=4,则AB=___________; 2、如图,小明的爸爸在院子的门板上钉了一个加固板,从数学的角度看, 这样做的道理是 . 3、小明同学要做一个直角三角形小铁架,他现有4根长度分别为4cm 、6cm 、8cm 、10cm 的铁棒,可用于制作成直角三角形铁架的三条铁棒分别是________________________; 4、若三角形三条边的长分别为7,24,25,则这个三角形的最大内角是 度. 5、在△ABC 中,∠C =90°,若c =10,a ∶b =3∶4,则ab = . 6、如图,在等腰△ABC 中,AB=AC=10,BC=12,则高AD=________; 7、等腰△ABC 的面积为12cm 2 ,底上的高AD =3cm , 则它的周长为________. 8、在Rt △ABC 中,斜边AB =2,则AB 2+BC 2+CA 2=________. 9、有一个三角形的两边长是4和5,要使这个三角形成为直角三角形,则第三边长为 ; 10、有两棵树,一棵高6米,另一棵高3米,两树相距4米.一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,至少飞了________米. 11、一个三角形的三边的比为5∶12∶13,它的周长为60cm ,则它的面积是________. 12、如图,今年第8号台风“桑美”是50多年以来登陆我国大陆地区 最大的一次台风,一棵大树受“桑美”袭击于离地面5米 处折断倒下,倒下部分的树梢到树的距离为7米, 则这棵大树折断前有__________米(保留到0.1米)。 二、精心选一选(每小题4分,共24分) 13、下列各组数据为边的三角形中,是直角三角形的是( ) A 、 2、3、7 B 、5、4、8 C 、5、2、1 D 、2、3、 5 14、正方形ABCD 中,AC=4,则正方形ABCD 面积为( ) A 、 4 B 、8 C 、 16 D 、32 15、已知Rt △ABC 中,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别为a,b,c ,若∠B=90○ ,则( ) A 、b 2= a 2+ c 2 ; B 、c 2= a 2+ b 2; C 、a 2+b 2=c 2; D 、a +b =c 16、三角形的三边长a,b,c满足2ab=(a+b)2 -c2,则此三角形是 ( ). A 、钝角三角形 B 、锐角三角形 C 、直角三角形 D 、等边三角形 17、将Rt △ABC 的三边都扩大为原来的2倍,得△A ’B ’C ’,则△A ’B ’C ’为( )

勾股定理知识点梳理

勾股定理知识点梳理Revised on November 25, 2020

勾股定理知识点梳理 1.直角三角型有哪些特殊的性质;①角,直角三角型的两锐角互余;②边,直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方,用符号表示:在Rt △ABC 中, c b a 2 22=+;③面积,两种计算面积的方法。 2.如何判定一个三角形是直角三角形呢 ①有一个内角为直角的三角形是直角三角形;②两个内角互余的三角形是直角三角形;③如果三角形的三边长为a 、b 、c 满足c b a 222=+,那么这个三角形是直角三角形 3.勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别:勾股定理是直角三角形的性质定理,而其逆定理是判定定理; 联系:勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反,都与直角三角形有关。 4.互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。 5.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即222a b c +=中, a , b , c 为正整数时,称a ,b ,c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25,8,15,17;9,40,41等 6.勾股定理的证明 c b a H G F E D C B A

勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下: 方法一:4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ,2214()2 ab b a c ?+-=,化简可证. 方法二: 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为2 2 2 ()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三:1()()2S a b a b =+?+梯形,2112S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形,化简得证 一. 典型例题 类型一:勾股定理的直接用法 1、在Rt △ABC 中,∠C=90° (1)已知a=6, c=10,求b , (2)已知a=40,b=9,求c ; (3)已知c=25,b=15,求a. 思路点拨: 写解的过程中,一定要先写上在哪个直角三角形中,注意勾股定理的变形使用。 举一反三 【变式】:如图∠B =∠ACD =90°, AD =13,CD =12, BC =3,则AB 的长是多少 类型二:勾股定理的构造应用 2、如图,已知:在中,,,. 求:BC 的长. b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A

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