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【压轴题】数学高考试题附答案

【压轴题】数学高考试题附答案
【压轴题】数学高考试题附答案

【压轴题】数学高考试题附答案

一、选择题

1.设ω>0,函数y=sin(ωx+3π

)+2的图象向右平移43π个单位后与原图象重合,则ω的最小值是 A .

23

B .43

C .

32

D .3

2.在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测. 甲:我的成绩比乙高. 乙:丙的成绩比我和甲的都高. 丙:我的成绩比乙高.

成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为

A .甲、乙、丙

B .乙、甲、丙

C .丙、乙、甲

D .甲、丙、乙

3.将编号为1,2,3,4,5,6的六个小球放入编号为1,2,3,4,5,6的六个盒子,每个盒子放一个小球,若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同,则不同的放法种数是( ) A .40 B .60 C .80 D .100

4.一个频率分布表(样本容量为30)不小心被损坏了一部分,只记得样本中数据在

[)2060,上的频率为0.8,则估计样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数共有( )

A .14

B .15

C .16

D .17

5.设01p <<,随机变量ξ的分布列如图,则当p 在()0,1内增大时,( )

ξ

0 1 2

P

12

p

- 12

2

p

A .()D ξ减小

B .()D ξ增大

C .()

D ξ先减小后增大

D .()D ξ先增大后减小

6.下列四个命题中,正确命题的个数为( ) ①如果两个平面有三个公共点,那么这两个平面重合;

②两条直线一定可以确定一个平面; ③若M α∈,M β∈,l α

β= ,则M l ∈;

④空间中,相交于同一点的三直线在同一平面内. A .1

B .2

C .3

D .4

7.若,αβ是一组基底,向量γ=x α+y β (x,y ∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标,现已知向量α在基底p =(1,-1), q =(2,1)下的坐标为(-2,2),则α在另一组基底m =(-1,1),

n =(1,2)下的坐标为( )

A .(2,0)

B .(0,-2)

C .(-2,0)

D .(0,2)

8.下列各组函数是同一函数的是( )

①()f x =

与()f x =()f x y ==()f x x =与

()g x =

③()0

f x x =与()0

1g x x

=

;④()221f x x x =--与()2

21g t t t =--. A .① ② B .① ③

C .③ ④

D .① ④

9.设R λ∈,则“3λ=-”是“直线2(1)1x y λλ+-=与直线()614x y λ+-=平行”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件

D .既不充分又不必要条件

10.已知当m ,[1n ∈-,1)时,33sin sin

2

2

m

n

n m ππ-<-,则以下判断正确的是( )

A .m n >

B .||||m n <

C .m n <

D .m 与n 的大小关系不确定

11.在ABC ?中,A 为锐角,1lg lg()lgsin b A c

+==-,则ABC ?为( ) A .等腰三角形 B .等边三角形 C .直角三角形

D .等腰直角三角形

12.设a b ,为两条直线,αβ,为两个平面,下列四个命题中,正确的命题是( )

A .若a b ,与α所成的角相等,则a b ∥

B .若a αβ∥,b ∥,αβ∥,则a b ∥

C .若a b a b αβ??,,,则αβ∥

D .若a b αβ⊥⊥,,αβ⊥,则a b ⊥

二、填空题

13.设25a b m ==,且

11

2a b

+=,则m =______.

14.若x ,y 满足约束条件x y 102x y 10x 0

--≤??-+≥??≥?

,则x

z y 2=-+的最小值为______.

15.若9

()a x x

-的展开式中3x 的系数是84-,则a = .

16.已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点,则实数a 的取值范围是__________.

17.若,满足约束条件

则的最大值 .

18.学校里有一棵树,甲同学在A 地测得树尖D 的仰角为45?,乙同学在B 地测得树尖D 的仰角为30,量得10AB AC m ==,树根部为C (,,A B C 在同一水平面上),则

ACB =∠______________.

19.从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有_____________种.(用数字填写答案)

20.ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π

6,2,3

b a

c B ===,则ABC △的面

积为__________. 三、解答题

21.已知数列{}n a 满足1112,22n n n a a a ++==+. (1)设2n

n n

a b =

,求数列{}n b 的通项公式; (2)求数列{}n a 的前n 项和n S ; (3)记()

()

2

1

1422n

n

n n n n

n c a a +-++=

,求数列{}n c 的前n 项和n T .

22.已知函数2

()(1)1

x

x f x a a x -=+

>+. (1)证明:函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数;

(2)用反证法证明:()0f x =没有负数根. 23.设()34f x x x =-+-.

(Ⅰ)求函数()2()g x f x =-

(Ⅱ)若存在实数x 满足()1f x ax ≤-,试求实数a 的取值范围.

24.在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为1231x t y ?=??

??=-??

(t 为参数).在以

坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中,曲

线C 的极坐标方程是4πρθ??

=+

???

. (1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程;

(2)设点()0,1P -.若直l 与曲线C 相交于两点,A B ,求PA PB +的值. 25.选修4-5:不等式选讲 设函数()|2||1|f x x x =-++.

(1)求()f x 的最小值及取得最小值时x 的取值范围; (2)若集合{|()10}x f x ax +->=R ,求实数a 的取值范围.

26.红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛,甲对A ,乙对B ,丙对C 各一盘,已知甲胜A ,乙胜B ,丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5,假设各盘比赛结果相互独立.

(I )求红队至少两名队员获胜的概率;

(II )用ξ表示红队队员获胜的总盘数,求ξ的分布列和数学期望E ξ.

【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除

一、选择题 1.C 解析:C 【解析】 函数sin 23y x πω?

?

=+

+ ??

?的图象向右平移43

π

个单位后44sin 2sin 23333w y w x wx π

πππ?????

?

=-

++=+-+ ? ???????

??

所以有4333

20132

22

w k

k k w w k w ππ=∴=>∴≥∴=

≥ 故选C

2.A

解析:A 【解析】 【分析】

利用逐一验证的方法进行求解. 【详解】

若甲预测正确,则乙、丙预测错误,则甲比乙成绩高,丙比乙成绩低,故3人成绩由高到低依次为甲,乙,丙;若乙预测正确,则丙预测也正确,不符合题意;若丙预测正确,则

甲必预测错误,丙比乙的成绩高,乙比甲成绩高,即丙比甲,乙成绩都高,即乙预测正确,不符合题意,故选A . 【点睛】

本题将数学知识与时政结合,主要考查推理判断能力.题目有一定难度,注重了基础知识、逻辑推理能力的考查.

3.A

解析:A

【解析】解:三个小球放入盒子是不对号入座的方法有2 种,由排列组合的知识可得,不

同的放法总数是: 3

6240C = 种.

本题选择A 选项.

4.B

解析:B 【解析】 【分析】

计算出样本在[)2060,的数据个数,再减去样本在[)20,40的数据个数即可得出结果. 【详解】

由题意可知,样本在[)2060,的数据个数为300.824?=, 样本在[)20,40的数据个数为459+=,

因此,样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数为24915. 故选:B. 【点睛】

本题考查利用频数分布表计算频数,要理解频数、样本容量与频率三者之间的关系,考查计算能力,属于基础题.

5.D

解析:D 【解析】 【分析】

先求数学期望,再求方差,最后根据方差函数确定单调性. 【详解】

111

()0122222

p p E p ξ-=?+?+?=+, 2222111111()(0)(1)(2)2222224

p p D p p p p p ξ-∴=

--+--+--=-++, 1

(0,1)2

∈,∴()D ξ先增后减,因此选D. 【点睛】

2

221

1

1

(),()(())().n n n

i i i i i i i i i E x p D x E p x p E ξξξξ=====-=-∑∑∑

6.A

解析:A 【解析】 【分析】 【详解】

试题分析:如果两个平面有三个公共点,那么这两个平面重合或者是相交,故(1)不正确;

两条异面直线不能确定一个平面,故(2)不正确; 若M ∈α,M ∈β,α∩β=l ,则M ∈l ,故(3)正确;

空间中,相交于同一点的三直线不一定在同一平面内(如棱锥的3条侧棱),故(4)不正确,

综上所述只有一个说法是正确的, 故选A .

7.D

解析:D 【解析】 【分析】 【详解】

由已知α=-2p +2q =(-2,2)+(4,2)=(2,4), 设α=λm +μn =λ(-1,1)+μ(1,2)=(-λ+μ,λ+2μ),

则由224λμλμ-+=??+=?解得02λμ=??=?

∴α=0m +2n ,∴α在基底m , n 下的坐标为(0,2).

8.C

解析:C 【解析】 【分析】

定义域相同,对应关系一致的函数是同一函数,由此逐项判断即可. 【详解】

①中()f x =

的定义域为(),0∞-,()f x =(),0∞-,但

()

f x ==-与()f x =

②中()f x x =与()g x =

R ,但()g x x ==与()f x x =对应关系不

一致,所以②不是同一函数;

③中()0

f x x =与()01

g x x =

定义域都是{}|0x x ≠,且()0

1f x x ==,()

11g x x ==对应关系一致,所以③是同一函数;

④中()2

21f x x x =--与()2

21g t t t =--定义域和对应关系都一致,所以④是同一函数.

故选C 【点睛】

本题主要考查同一函数的概念,只需定义域和对应关系都一致即可,属于基础题型.

9.A

解析:A 【解析】 【分析】

当3λ=-时,两条直线是平行的,但是若两直线平行,则3λ=-或1λ=,从而可得两者之间的关系. 【详解】

当3λ=-时,两条直线的方程分别为:6410x y ++=,3220x y +-=,此时两条直线平行;

若两条直线平行,则()()2161λλλ?-=--,所以3λ=-或1λ=,经检验,两者均符合,

综上,“3λ=-”是“直线()211x y λλ+-=与直线()614x y λ+-=平行” 的充分不必要条件,故选A. 【点睛】

充分性与必要性的判断,可以依据命题的真假来判断,若“若p 则q ”是真命题,“若q 则p ”是假命题,则p 是q 的充分不必要条件;若“若p 则q ”是真命题,“若q 则p ”是真命题,则p 是q 的充分必要条件;若“若p 则q ”是假命题,“若q 则p ”是真命题,则p 是q 的必要不充分条件;若“若p 则q ”是假命题,“若q 则p ”是假命题,则

p 是q 的既不充分也不必要条件.

10.C

解析:C 【解析】 【分析】

由函数的增减性及导数的应用得:设3

()sin

,[1,1]2

x

f x x x π=+∈-,求得可得()f x 为增

函数,又m ,[1n ∈-,1)时,根据条件得()()f m f n <,即可得结果.

【详解】

解:设3

()sin

,[1,1]2

x

f x x x π=+∈-,

则2

()3cos

02

2

x

f x x π

π'=+

>,

即3

()sin

,[1,1]2

x

f x x x π=+∈-为增函数,

又m ,[1n ∈-,1),33sin sin

2

2

m

n

n m ππ-<-,

即33sin

sin

22m

n

m n ππ+<+,

所以()()f m f n <,

所以m n <. 故选:C . 【点睛】

本题考查了函数的增减性及导数的应用,属中档题.

11.D

解析:D 【解析】 【分析】 【详解】

试题分析:由1lg lg()lgsin b A c

+==-lg

lg 22

b b

c c =?=且

sin A =

A 为锐角,所以45A =,由b =,根据正弦定理,得

sin sin sin(135)cos sin 22

B C B B B =

=-=+,解得cos 090B B =?=,所以三角形为等腰直角三角形,故选D. 考点:三角形形状的判定.

12.D

解析:D 【解析】 【分析】 【详解】

试题分析:A 项中两直线a b ,还可能相交或异面,错误; B 项中两直线a b ,还可能相交或异面,错误; C 项两平面αβ,还可能是相交平面,错误; 故选D.

二、填空题

13.【解析】【分析】变换得到代入化简得到得到答案【详解】则故故答案为

:【点睛】本题考查了指数对数变换换底公式意在考查学生的计算能力解析:10

【解析】

【分析】

变换得到2

log

a m

=,

5

log

b m

=,代入化简得到

11

log102

m

a b

+==,得到答案.

【详解】

25

a b m

==,则2

log

a m

=,

5

log

b m

=,

11

log2log5log102,10

m m m

m

a b

+=+==∴=.

故答案为:10.

【点睛】

本题考查了指数对数变换,换底公式,意在考查学生的计算能力.

14.-1【解析】【分析】画出约束条件表示的平面区域由图形求出最优解再计算目标函数的最小值【详解】画出约束条件表示的平面区域如图所示由图形知当目标函数过点A时取得最小值由解得代入计算所以的最小值为故答案为

解析:-1

【解析】

【分析】

画出约束条件表示的平面区域,由图形求出最优解,再计算目标函数

1

z x y

2

=-+的最小值.

【详解】

画出约束条件

10

210

x y

x y

x

--≤

?

?

-+≥

?

?≥

?

表示的平面区域如图所示,

由图形知,当目标函数

1

z x y

2

=-+过点A时取得最小值,由{x0

x y10

=

--=,解得

()A 0,1-,代入计算()z 011=+-=-,所以1

z x y 2

=-+的最小值为1-.

故答案为1-. 【点睛】

本题考查了线性规划的应用问题,也考查了数形结合的解题方法,是基础题.

15.1【解析】【分析】先求出二项式的展开式的通项公式令的指数等于求出的值即可求得展开式中的项的系数再根据的系数是列方程求解即可【详解】展开式的的通项为令的展开式中的系数为故答案为1【点睛】本题主要考查二

解析:1 【解析】 【分析】

先求出二项式9

()a x x

-的展开式的通项公式,令x 的指数等于4,求出r 的值,即可求得

展开式中3x 的项的系数,再根据3x 的系数是84-列方程求解即可. 【详解】

9()a x x -展开式的的通项为()992199r

r r r r r

r a T C x C x a x --+??=-=- ???

, 令9233r r -=?=,

9()a x x

-的展开式中3x 的系数为()339841C a a -=-?=,

故答案为1. 【点睛】

本题主要考查二项展开式定理的通项与系数,属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一,关于二项式定理的命题方向比较明确,主要从以下几个方面命题:(1)考

查二项展开式的通项公式1C r n r r

r n T a b -+=;(可以考查某一项,也可考查某一项的系数)

(2)考查各项系数和和各项的二项式系数和;(3)二项展开式定理的应用.

16.【解析】令函数有两个极值点则在区间上有两个实数根当时则函数在区间单调递增因此在区间上不可能有两个实数根应舍去当时令解得令解得此时函数单调递增令解得此时函数单调递减当时函数取得极大值当近于与近于时要使

解析:.

【解析】

()()()2ln 0,'ln 12f x x x ax x f x x ax =->=+-,令()ln 12,g x x ax =+-函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点,则()0g x =在区间()0,∞+上有两个实数根,

()112'2ax g x a x x

-=

-=,当0a ≤时,()'0g x >,则函数()g x 在区间()0,∞+单调递增,因此()0g x =在区间()0,∞+上不可能有两个实数根,应舍去,当0a >时,令

()'0g x =,解得12x a =,令()'0g x >,解得102x a <<,此时函数()g x 单调递增,令()'0g x <,解得12x a >

,此时函数()g x 单调递减,∴当12x a

=时,函数()g x 取得极大值,当x 近于0与x 近于+∞时,()g x →-∞,要使()0g x =在区间()0,∞+有两个实数根,则11ln 022g a a ??

=> ???,解得10,2

a <<∴实数a 的取值范围是102a <<,故答案为1

02

a <<

. 17.3【解析】作出可行域如图中阴影部分所示由斜率的意义知yx 是可行域内一点与原点连线的斜率由图可知点A (13)与原点连线的斜率最大故yx 的最大值为3考点:线性规划解法 解析:

【解析】

作出可行域如图中阴影部分所示,由斜率的意义知,是可行域内一点与原点连线的斜率,由图可知,点A (1,3)与原点连线的斜率最大,故的最大值为3.

考点:线性规划解法

18.【解析】【分析】作出立体图利用直角三角形中的三角函数关系求得对应的边长再利用余弦定理求解即可【详解】如图所示在中∵∴在中∵∴在中∴故答案为:【点睛】本题主要考查了解三角形求解实际情景中的角度问题依据 解析:30

【解析】 【分析】

作出立体图,利用直角三角形中的三角函数关系求得对应的边长,再利用余弦定理求解

cos ACB ∠即可. 【详解】

如图所示,在Rt ACD 中,∵10,45AC m DAC =∠=?,∴10DC m = 在Rt DCB △中,∵30DBC ∠=?,∴103BC m =.

在ABC中,

)2

22

10103103

cos

2

210103

ACB

+-

∠==

??

,∴30

ACB

∠=?.

故答案为:30

【点睛】

本题主要考查了解三角形求解实际情景中的角度问题,依据题意正确画出立体图形,确定边的关系再利用余弦定理求解即可.属于基础题.

19.【解析】【分析】首先想到所选的人中没有女生有多少种选法再者需要确定从人中任选人的选法种数之后应用减法运算求得结果【详解】根据题意没有女生入选有种选法从名学生中任意选人有种选法故至少有位女生入选则不同解析:16

【解析】

【分析】

首先想到所选的人中没有女生,有多少种选法,再者需要确定从6人中任选3人的选法种数,之后应用减法运算,求得结果.

【详解】

根据题意,没有女生入选有3

44

C=种选法,从6名学生中任意选3人有3

620

C=种选法,故至少有1位女生入选,则不同的选法共有20416

-=种,故答案是16.

【点睛】

该题是一道关于组合计数的题目,并且在涉及到“至多、至少”问题时多采用间接法,一般方法是得出选3人的选法种数,间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数,该题还可以用直接法,分别求出有1名女生和有两名女生分别有多少种选法,之后用加法运算求解.

20.【解析】【分析】本题首先应用余弦定理建立关于的方程应用的关系三角形面积公式计算求解本题属于常见题目难度不大注重了基础知识基本方法数学式子的变形及运算求解能力的考查【详解】由余弦定理得所以即解得(舍去

解析:3

【解析】

【分析】

本题首先应用余弦定理,建立关于c 的方程,应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解,本题属于常见题目,难度不大,注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查. 【详解】

由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-, 所以2

2

21

(2)2262

c c c c +-???=, 即212c =

解得c c ==-

所以2a c ==

11sin 22ABC S ac B ?=

=?= 【点睛】

本题涉及正数开平方运算,易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误.解答此类问题,关键是在明确方法的基础上,准确记忆公式,细心计算.

三、解答题

21.(1)n b n =(2)()1

122n n S n +=-+(3)()()()1

1

4123312

n n n n +++---+? 【解析】 【分析】 【详解】

(1)由1

122n n n a a ++=+得11n n b b +=+,得n b n =;

(2)易得2n

n a n =,1223112222,212222,n n n n S n S n +=?+?++?=?+?++?

错位相减得12

1

1122222

2212

n

n n n n S n n ++--=+++-?=?-?-

所以其前n 项和()1

122n n S n +=-+; (3)()

()

()()

()()()()()()2

2

2

1

1

1

1422142

121·2?12?12?12n

n

n

n

n n n n n n

n n

n n

n n n

c n n n n n n +++-++-++-++++=

=

=+++

()()()()()()1

1

1111111

1112?21?222?21?2n

n n n n

n n n n n n n n n ++++????---?? ?=

+-+=-+- ? ? ? ?++??????

, ()()()()()()2231

2

1223

1111111111122221?22?22?23?2?21?2n n n

n n n T n n ++??????

????------????

??

?? ? ? ?=-+-+

+-+-+-++-

?? ? ? ? ? ? ?+??????

??

????????????

()

()1

112113621?2n n

n n ++-??=-

+-- ?+??或写成()()

()1

1

412

331?2

n n n n +++---+. 点睛:用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形;(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式;(3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解. 22.见解析. 【解析】

试题分析:(1)借助题设条件运用函数的单调性进行推证;(2)借助题设条件运用反证法推证. 试题解析:

(1)任取1x ,2(1,)x ∈-+∞,不妨设12x x <,

则210x x ->,210x +>,110x +>,又1a >,所以21x x a a >,

所以21

21212122()()11x x x x f x f x a a x x ++-=-+

-++2121213()

0(1)(1)

x x x x a a x x -=-+>++, 故函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数.

(2)设存在00x <(01x ≠-)满足0()0f x =, 则0

0021x x a

x -=

+,且001x a <<,所以002

011x x -<

<+,即0122

x <<, 与假设00x <矛盾,故方程()0f x =没有负根.

考点:函数单调性的定义及反证法等有关知识的综合运用. 23.(Ⅰ)59[,]22;(Ⅱ)1

(,2[,)2

-∞-?+∞). 【解析】 【分析】 【详解】

试题分析:(Ⅰ)先用零点分段法将()f x 表示分段函数的形式,然后再求定义域;(Ⅱ)利用函数图象求解.

试题解析:(Ⅰ)72,3

()34{1,3427,4

x x f x x x x x x -<=-+-=->,它与直线2y =交点的横坐标

52和92

∴不等式()g x 59

[,

]22

. (Ⅱ)函数1y ax =-的图象是过点(0,1)-的直线,

结合图象可知,a 取值范围为1(,2)[,)2

-∞-?+∞.

考点:1、分段函数;2、函数的定义域;3、函数的图象. 24.(1310x y --=,2

2

(1)(1)2x y -+-=;(2)231. 【解析】 【分析】

(1)利用代入法消去参数方程中的参数可求直线l 的普通方程,极坐标方程展开后,两边同乘以ρ,利用2

2

2

,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+== ,即可得曲线C 的直角坐标方程;

(2)直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程,利用韦达定理、直线参数方程的几何意义即可得结果. 【详解】

(1)将直线l 的参数方程消去参数t 并化简,得 直线l 310x y --=. 将曲线C 的极坐标方程化为2

22

22ρρθθ?=????

. 即2

2sin 2cos ρρθρθ=+.∴x 2+y 2=2y+2x.

故曲线C 的直角坐标方程为()()2

2

112x y -+-=. (2)将直线l 的参数方程代入()()2

2

112x y -+-=中,得

2

2

13

12222t ????-+-= ? ? ?????

. 化简,得(2

12330t t -++=.

∵Δ>0,∴此方程的两根为直线l 与曲线C 的交点A ,B 对应的参数t 1,t 2. 由根与系数的关系,得12231t t +=,123t t =,即t 1,t 2同正. 由直线方程参数的几何意义知,

1212231PA PB t t t t +=+=+=+

.

【点睛】

本题主要考查参数方程和普通方程的转化、极坐标方程和直角坐标方程的转化以及直线参数方程的应用,属于中档题. 消去参数方程中的参数,就可把参数方程化为普通方程,消去参数的常用方法有:①代入消元法;②加减消元法;③乘除消元法;④三角恒等式消元法;极坐标方程化为直角坐标方程,只要将cos ρθ和sin ρθ换成x 和y 即可. 25.(1)min ()3f x =,此时x ∈[]

1,2-(2)()1,2- 【解析】 【分析】

(1)利用绝对值不等式公式进行求解;

(2)集合(){}

10x f x ax R +-=表示x R ?∈,()1f x ax >-+,令()1g x ax =-+, 根据几何意义可得()y f x =的图像恒在()y g x =图像上方,数形结合解决问题. 【详解】

解(1)因为()()21213x x x x -++≥--+=,

当且仅当()()210x x -+≤,即12x -≤≤时,上式“=”成立, 故函数()21f x x x =++-的最小值为3, 且()f x 取最小值时x 的取值范围是[]

1,2-. (2)因为(){}

10x f x ax R +-=, 所以x R ?∈,()1f x ax >-+.

函数()21f x x x =-++化为()21,13,1221,2x x f x x x x -+<-??

=-≤≤??->?

.

令()1g x ax =-+,

其图像为过点()0,1P ,斜率为a -的一条直线. 如图,()2,3A ,()1,3B -.

则直线PA 的斜率131

120

k -==-, 直线PB 的斜率231

210

k -=

=---. 因为()()f x g x >,所以21a -<-<,即12a -<<, 所以a 的范围为()1,2-. 【点睛】

本题考查了绝对值不等式问题与不等式恒成立问题,不等式恒成立问题往往可以借助函数的图像来研究,数形结合可以将抽象的问题变得更为直观,解题时应灵活运用. 26.(Ⅰ)0.55;(Ⅱ)详见解析 【解析】 【分析】 【详解】

解:(I )设甲胜A 的事件为D ,乙胜B 的事件为E ,丙胜C 的事件为F , 则,,D E F 分别表示甲不胜A 、乙不胜B ,丙不胜C 的事件.

因为()0.6,()0.5,()0.5===P D P E P F ,()0.4,()0.5,()0.5∴===P D P E P F . 红队至少两人获胜的事件有:,,,DEF DEF DEF DEF ,

由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立,因此红队至少两人获胜的概率

()()()()

0.60.50.50.60.50.50.40.50.50.60.50.50.55

P P DEF P DEF P DEF P DEF =+++=??+??+??+??=

(II )由题意知ξ可能的取值为0,1,2,3.

又由(I )知,,DEF DEF DEF 是两两互斥事件,且各盘比赛的结果相互独立, 因此(0)()0.40.50.50.1P P DEF ξ===??=,

(1)()()()ξ==++P P DEF P DEF P DEF

(1)0.40.50.50.40.50.50.60.50.50.35ξ==??+??+??=P (3)()0.60.50.50.15P P DEF ξ===??=,

由对立事件的概率公式得(2)1[(0)(1)(3)]0.4.P P P P ξξξξ==-=+=+== 所以ξ的分布列为:

因此

数学建模竞赛简介

数学建模竞赛简介 数学建模就是建立、求解数学模型的过程和方法,首先要通过分析主要矛盾,对各种实际问题进行抽象简化,并按照有关规律建立起变量,参数间的明确关系,即明确的数学模型,然后求出该数学问题的解,并通过一定的手段来验证解的正确性。 数学建模竞赛于1985年起源于美国,起初竞赛题目通常由工业部门、军事部门提出,然后由数学工作者简化或修正。1989年我国大学生开始参加美国大学生数学建模竞赛,1990年我国开始创办我国自己的大学生数学建模竞赛。1993年国家教委(现教育部)高教司正式发文,要求在全国普通高等学校中开展数学建模竞赛。从1994年开始,大学生数学建模竞赛成为教育部高教司和中国工业的应用数学学会共同主办,每年一届的,面向全国高等院校全体大学生的一项课外科技竞赛活动。2010年全国共有30省(市、自治区)九百多所院校一万多个队三万多名大学生参赛,成为目前全国高等学校中规模最大的课外科技活动。数学建模竞赛是教育主管部门主办的大学生三大竞赛之一。 现在的竞赛题目来源于更广泛的领域,都是各行各业的实际问题经过适当简化,提炼出来的极富挑战性的问题,每次两道题,学生任选一题,可以使用计算机、软件包,可以参阅任何资料(含上网参阅任何资料)。竞赛以三人组成的队为单位,三人之间通力合作,在三天三夜内完成一篇论文。不给论文评分,而是按论文的水平为四档:全国一等奖、全国二等奖、赛区一等奖,赛区二等奖,成功参赛奖。我校于2001年开始参加这项竞赛活动。多次获全国一等奖、二等奖、湖北赛区一等奖、二等奖。 数学建模竞赛活动培养了学生的创造力、应变能力、团队精神和拼搏精神,适应了21世纪经济发展和人才培养的挑战。不少参加过全国大学生数学建模竞赛的同学都深有感触,他们说:“参加这次活动是我们大学四年中最值得庆幸的一件事,我们真正体会这几年内学到了什么,自己能干什么。”“那不寻常的三天在我们记忆中留下了永恒的一瞬,真是一次参赛,终身受益。”团队精神贯穿在数学建模竞赛的全过程,它往往是成败的关键。有些参赛队员说:“竞赛使我们三个人认识到协作的重要性,也学会了如何协作,在建模的三天中,我们真正做到了心往一处想,劲往一处使,每个人心中想的就是如何充分发挥自己的才华,在短暂的时间内做出一份尽量完善的答卷。三天中计算机没停过,我们轮流睡觉、轮流工作、轮流吃饭,可以说是抓住了每一滴可以抓住的时间。”“在这不眠的三天中,我们真正明白了团结就是力量这个人生真谛,而这些收获,将会伴随我们一生,对我们今后的学习,工作产生巨大的影响。”

东南大学_数学建模试卷_09-10-3A(含答案)

东 南 大 学 考 试 卷(A 卷) 课程名称 数学建模与数学实验 考试学期 09-10-3 得分 适用专业 理工各专业 考试形式 开卷闭卷半开卷 考试时间长度 120分钟 (可 带 计 算 器 ) 题目 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分 批阅人 注:以下各题只需计算到小数点后两位。 一 填空与选择(每题3分,共30分) 1 已知113,(mod19)02A A -?? ==???? 则 。 2 已知一组(1,1),(2,1),(3,2)-观测数据,则其分段线性插值多项式为 。 3 根据一组等距节点的观测数据分析知其2阶差分波动最小,则其最合适的拟合多项式阶数是 。 4 已知微分方程'()0.005(1/10000)(0)2000 x t x x x =-?? =?,则其变化率最大时间为 。 5考虑V olterra 模型'0.050.001'0.10.0001x x xy y x xy =-?? =-+?, 则,x y 的周期平均值为 x y ?? ? ??? = 6 已知非线性差分方程 21(2)n n n x bx x +=-的正平衡点稳定 (b>0), 则参数b 的取值范围为 。 7 记123 ()((),(),())a k a k a k a k =考虑马氏链 0.40.30.3(1)()0.40.40.2(0)(0.3.0.4.0.3)0.30.20.5a k a k a ?? ??+==?????? ,,其正平衡点为 。 自 觉 遵 守 考 场 纪 律 如 考 试 作 弊 此 答 卷 无 效 密 封 线 学号 姓名

8 轮渡船上甲板总面积为A 。它能运载小轿车,每辆小轿车所占甲板面积为C ,能运载卡车,每辆卡车所占甲板面积为 L 。每辆小轿车要付渡船费p 元;每辆卡车要付q 元。调度想知道在渡船上运载多少辆小轿车(x) 和多少辆卡车(y)才能获取最大的利润? 下列哪一个选项给出利润函数及需满足的约束条件? ( ) A. yq xp +,满足 A xL yC ≤+ B. yq xp +,满足 A yL xC ≤+ C. ))((q p y x ++, 满足A yL xC ≤+ D. ))((q p y x ++ ,满足A L C y x ≤++))(( 9 下面哪一个选项最接近小轿车从静止开始起步的的速度变化模型? ( ) A t e --1 B 2 )1(t - C 2t t - D 1t e -+ 10 模型检验是建模过程中的必要步骤,以下哪一个选项不是常见的模型检验过程。( ) A 已知数据回代 B 分析参数变化对结果影响 C 与相关模型作对比分析 D 对未来趋势作预测 二 (10分) 假设某种物资有10个产地,5个销售地,第i 个产地产量为 i a ,第j 个销售地 的需求量为 j b ,其中 105 1 1 i j i j a b ==≥∑∑。由产地i 到销售地j 的距离为 ij d ,问如何安排运输, 才能既满足各地销售要求,又使运输总吨公里数(吨公里指运输量×路程)最少?请建立该问题的数学模型(不需求解,记产地i 到销售地j 的运输量为ij x )

数学建模期末考试A试的题目与答案

华南农业大学期末考试试卷(A 卷) 2012-2013学年第 二 学期 考试科目:数学建模 考试类型:(闭卷)考试 考试时间: 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一篮白菜从河岸一边带到河岸对面,由于船的限制,一次只能带 一样东西过河,绝不能在无人看守的情况下将狼和羊放在一起;羊和白菜放在一起,怎样才能将它们安全的带到河对岸去? 建立多步决策模型,将人、狼、羊、白菜分别记为i = 1,2,3,4,当i 在此岸时记x i = 1,否则为0;此岸的状态下用s =(x 1,x 2,x 3,x 4)表示。该问题中决策为乘船方案,记为d = (u 1, u 2, u 3, u 4),当i 在船上时记u i = 1,否则记u i = 0。 (1) 写出该问题的所有允许状态集合;(3分) (2) 写出该问题的所有允许决策集合;(3分) (3) 写出该问题的状态转移率。(3分) (4) 利用图解法给出渡河方案. (3分) 解:(1) S={(1,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,1), (1,0,1,1), (1,0,1,0)} 及他们的5个反状(3分) (2) D = {(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (1,0,0,0)} (6分) (3) s k+1 = s k + (-1) k d k (9分) (4)方法:人先带羊,然后回来,带狼过河,然后把羊带回来,放下羊,带白菜过去,然后再回来把羊带过去。 ?或: 人先带羊过河,然后自己回来,带白菜过去,放下白菜,带着羊回来,然后放下羊,把狼带过去,最后再回转来,带羊过去。 (12分) 1、 二、(满分12分) 在举重比赛中,运动员在高度和体重方面差别很大,请就下面两种假设,建立一个举重能力和体重之间关系的模型: (1) 假设肌肉的强度和其横截面的面积成比例。6分 (2) 假定体重中有一部分是与成年人的尺寸无关,请给出一个改进模型。6分 解:设体重w (千克)与举重成绩y (千克) (1) 由于肌肉强度(I)与其横截面积(S)成比例,所以 y ?I ?S 设h 为个人身高,又横截面积正比于身高的平方,则S ? h 2 再体重正比于身高的三次方,则w ? h 3 (6分) ( 12分) 14分) 某学校规定,运筹学专业的学生毕业时必须至少学

东南大学高数(上)至年期末考试(附答案)

东南大学高数(上)至年期末考试(附答案)

————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期:

03~10级高等数学(A )(上册)期末试卷 2003级高等数学(A )(上)期末试卷 一、单项选择题(每小题4分,共16分) 1.设函数()y y x =由方程 ? +-=y x t x dt e 1 2 确定,则 ==0 x dx dy ( ) .e 2(D) ; 1-e (C) ; e -1(B) ;1)(+e A 2.曲线41 ln 2+-+ =x x x y 的渐近线的条数为( ) . 0 (D) ; 3 (C) ; 2 (B) ; 1 )(A 3.设函数)(x f 在定义域内可导,)(x f y =的图形如右图所示, 则导函数)(x f y '=的图形为( ) 4.微分方程x y y 2cos 34=+''的特解形式为( ) . 2sin y )( ;2sin 2cos y )(;2cos y )( ;2cos y )( * ***x A D x Bx x Ax C x Ax B x A A =+=== 二、填空题(每小题3分,共18分) 1._____________________)(lim 2 1 =-→x x x x e 2.若)(cos 21arctan x f e x y +=,其中f 可导,则_______________=dx dy 3.设,0, 00 ,1sin )(?????=≠=α x x x x x f 若导函数)(x f '在0=x 处连续,则α的取值范围是__________。

数学建模常见评价模型简介

常见评价模型简介 评价类数学模型是全国数学建模竞赛中经常出现的一类模型,如2005年全国赛A题长江水质的评价问题,2008年B题高校学费标准评价体系问题等。主要介绍三种比较常用的评价模型:层次分析模型,模糊综合评价模型,灰色关联分析模型,以期帮助大家了解不同背景下不同评价方法的应用。 层次分析模型 层次分析法(AHP)是根据问题的性质和要求,将所包含的因素进行分类,一般按目标层、准则层和子准则层排列,构成一个层次结构,对同层次内诸因素采用两两比较的方法确定出相对于上一层目标的权重,这样层层分析下去,直到最后一层,给出所有因素相对于总目标而言,按重要性程度的一个排序。其主要特征是,它合理地将定性与定量决策结合起来,按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化。 运用层次分析法进行决策,可以分为以下四个步骤: 步骤1 建立层次分析结构模型 深入分析实际问题,将有关因素自上而下分层(目标—准则或指标—方案或对象),上层受下层影响,而层内各因素基本上相对独立。 步骤2构造成对比较阵 对于同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较,借助1~9尺度,构造比较矩阵; 步骤3计算权向量并作一致性检验 由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重,并进行一致性检验,若通过,则最大特征根对应的特征向量做为权向量。

步骤4计算组合权向量(作组合一致性检验) 组合权向量可作为决策的定量依据 通过一个具体的例子介绍层次分析模型的应用。 例(选择旅游地决策问题)如何在桂林、黄山、北戴河3个目的地中按照景色、费用、居住条件、饮食、旅途条件等因素进行选择。 步骤1 建立系统的递阶层次结构 将决策问题分为3个层次:目标层O,准则层C,方案层P;每层有若干元素,各层元素间的关系用相连的直线表示。

东南大学2014学年数学建模与数学实验考试卷(A卷)

东南大学2014学年数学建模与数学实验考试卷(A 卷) 课程名称 数学建模与数学实验 考试学期 得分 适用专业 理工各专业 考试形式 开卷闭卷半开卷 考试时间长度 120分钟 (可带计算器) 自 觉 遵 守 考 场 纪 律 如 考 试 作 弊 此 答 卷 无 效

注:以下各题只需计算到小数点后两位。 一 填空与选择(每题3分,共30分) 1 已知113,(mod19)02A A -??==???? 则 。 2 已知一组(1,1),(2,1),(3,2)-观测数据,则其分段线性插值多项式为 。 3 根据一组等距节点的观测数据分析知其2阶差分波动最小,则其最合适的拟合多项式阶数是 。 4 已知微分方程'()0.005(1/10000)(0)2000 x t x x x =-??=?,则其变化率最大时间为 。 5考虑V olterra 模型'0.050.001'0.10.0001x x xy y x xy =-??=-+? , 则,x y 的周期平均值为 x y ?? ? ??? = 6 已知非线性差分方程 21(2)n n n x bx x +=-的正平衡点稳定 (b>0), 则参数b 的取值范围为 。 7 记123 ()((),(),())a k a k a k a k =考虑马氏链 0.40.30.3(1)()0.40.40.2(0)(0.3.0.4.0.3)0.30.20.5a k a k a ????+==?????? ,,其正平衡点为 。

8 轮渡船上甲板总面积为A 。它能运载小轿车,每辆小轿车所占甲板面积为C ,能运载卡车,每辆卡车所占甲板面积为 L 。每辆小轿车要付渡船费p 元;每辆卡车要付q 元。调度想知道在渡船上运载多少辆小轿车(x) 和多少辆卡车(y)才能获取最大的利润? 下列哪一个选项给出利润函数及需满足的约束条件? ( ) A. yq xp + ,满足 A xL yC ≤+ B. yq xp +,满足 A yL xC ≤+ C. ))((q p y x ++, 满足A yL xC ≤+ D. ))((q p y x ++ ,满足A L C y x ≤++))(( 9 下面哪一个选项最接近小轿车从静止开始起步的的速度变化模型? ( ) A t e --1 B 2)1(t - C 2t t - D 1t e -+ 10 模型检验是建模过程中的必要步骤,以下哪一个选项不是常见的模型检验过程。( ) A 已知数据回代 B 分析参数变化对结果影响 C 与相关模型作对比分析 D 对未来趋势作预测 二 (10分) 假设某种物资有10个产地,5个销售地,第i 个产地产量为i a ,第j 个销售地的需求量为j b ,其中10511i j i j a b ==≥∑∑。由产地i 到销售地j 的距离为ij d ,问如何安排运输, 才能既满足各地销售要求,又使运输总吨公里数(吨公里指运输量×路程)最少?请建立该问题的数学模型(不需求解,记产地i 到销售地j 的运输量为ij x )

数学建模简介

数学建模简介 当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时,人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上,用数学的符号和语言作表述,也就是建立数学模型,然后用通过计算得到的结果来解释实际问题,并接受实际的检验。这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。 数学建模的广泛应用 数学建模的应用逐渐变的广泛,数学建模大量用于一般工程技术领域,用于代替传统工程设计中的现场实验、物理模拟等手段;在高新科技领域,成为必不可少的工具,无论是在通信、航天、微电子、自动化都是创新工艺、开发新 产品的必要手段;在新的科研领域在用数学方法研究 其中的定量关系时,数学建模就成为首要的、关键的 步骤和这些学科发展和应用的基础。 将计算机技术和数学建模进行紧密结合,使得原 本抽象的数学模型生动具体的呈现在研究者面前,使 得问题得到更好的解决。 数学建模的分支——数据挖掘 数据挖掘(Data Mining,DM)是目前人工智能和数 据库领域研究的热点问题,所谓数据挖掘是指从数据库 的大量数据中揭示出隐含的、先前未知的并有潜在价值 的信息的非平凡过程。数据挖掘是一种决策支持过程, 它主要基于人工智能、机器学习、模式识别、统计学、 数据库、可视化技术等,高度自动化地分析企业的数据, 做出归纳性的推理,从中挖掘出潜在的模式,帮助决策 者调整市场策略,减少风险,做出正确的决策。 数据挖掘是通过分析每个数据,从大量数据中寻找其规律的技术,主要有数据准备、规律寻找和规律表示3个步骤。数据准备是从相关的数据源中选取所需的数据并整合成用于数据挖掘的数据集;规律寻找是用某种方法将数据集所含的规律找出来;规律表示是尽可能以用户可理解的方式(如可视化)将找出的规律表示出来。 数据挖掘的任务有关联分析、聚类分析、分类分析、异常分析、特异群组分析和演变分析,等等。

数学模型期末考试试题及答案

山东轻工业学院 08/09学年 II 学期《数学模型》期末考试A 试 卷 (本试卷共4页) 说明: 本次考试为开 卷考试,参加考试的同学可以携带任何资料,可以使用计算器,但上述物品严 禁相互借用。 一、简答题(本题满分16分,每小题8分) 1、在§2.2录像机计数器的用途中,仔细推算一下(1)式,写出与(2)式的差别,并解释这个差别; 2、试说明在§3.1中不允许缺货的存储模型中为什么没有考虑生产费用,在什么条件下可以不考虑它; 二、简答题(本题满分16分,每小题8分) ?1、对于§5.1传染病的SIR 模型,叙述当σ 1 > s 时)(t i 的变化情况 并加以证明。 2、在§6.1捕鱼业的持续收获的效益模型中,若单位捕捞强度的费用为捕捞强度E 的减函数, 即)0,0(,>>-=b a bE a c ,请问如何达到最大经济效益? 三、简答题(本题满分16分,每小题8分) 1、在§9.3 随机存储策略中,请用图解法说明为什么s 是方程)()(0S I c x I +=的最小正根。 2、请结合自身特点谈一下如何培养数学建模的能力? 四、(本题满分20分) 某中学有三个年级共1000名学生,一年级有219人,二年级有 316人,三年级有465人。现要选20名校级优秀学生,请用下列办 法分配各年级的优秀学生名额:(1)按比例加惯例的方法;(2)Q 值法。另外如果校级优秀学 生名额增加到21个,重新进行分配,并按照席位分配的理想化准则分析分配结果。 五、(本题满分16分) 大学生毕业生小李为选择就业岗位建立了层次分析模型,影响就 业的因素考虑了收入情况、发展空间、社会声誉三个方面,有三个 就业岗位可供选择。层次结构图如图,已知准则层对目标层的成对比较矩阵 选择就业岗位

东南大学往年高数期末考试试题及答案-8篇整合

东南大学往年高数期末考试试题及答案-8篇 整合 https://www.sodocs.net/doc/371982473.html,work Information Technology Company.2020YEAR

2 东 南 大 学 考 试 卷( A 卷) 一.填空题(本题共5小题,每小题4分,满分20分) 1.2 2lim sin 1 x x x x →∞ =+ 2 ; 2.当0x →时 ,()x α=2()x kx β=是等价无穷小,则 k = 3 4 ; 3.设()1sin x y x =+,则d x y π == d x π- ; 4.函数()e x f x x =在1x =处带有Peano 余项的二阶Taylor 公式为 ()223e e 2e(1)(1)(1)2 x x x ο+-+ -+- ; 5.已知函数3 2e sin , 0()2(1)9arctan ,0 x a x x f x b x x x ?+

东南大学数学建模试卷10-11-2A做

东 南 大 学 考 试 卷(A 卷) 课程名称 数学建模与数学实验 考试学期 2010-2011-2 得分 适用专业 各专业 考试形式 闭卷 考试时间长度 120分钟 (考试可带计算器) 所有数值结果精度要求为保留小数点后两位 一.填空题:(每题2分,共10分) 1. 用Matlab 做AHP 数学实验,常用的命令有 , 等等。 2. 矩阵A 关于模36可逆的充要条件是: 。 3. 泛函332230()()2()3J x x t t x t t dt ??=++???&取极值的必要条件为 。 4. 请补充一致矩阵缺失的元素136A ?? ?= ? ???。 5. 请列出本人提交的上机实验内容(标题即可) 。 二.选择题:(每题2分,共10分) 1. 在下列Leslie 矩阵中,能保证主特征值唯一的是 ( ) A. 0230.20000.40?? ? ? ???; B. 0 1.200.10000.30?? ? ? ???; C. 0070.30000.10?? ? ? ???; D.以上都对 2. 下列论述正确的是 ( ) A.判断矩阵一定是一致矩阵 B.正互反矩阵一定是判断矩阵 C.能通过一致性检验的矩阵是一致矩阵 D.一致矩阵一定能通过一致性检验 3. n 阶Leslie 矩阵有 个零元素。 ( ) A.不超过2(1)n -; B.不少于2(1)n -; C.恰好2(1)n -; D.恰好21n - 4. Matlab 软件内置命令不可以 ( ) A.求矩阵的主特征值 B. 做曲线拟合; C. 求解整数线性规划 D. 求样条插值函数 5. 关于等周问题,下面的描述不正确的有 ( ) A.目标泛函可以表示为最简泛函; B.条件泛函为最简泛函; C.条件泛函取值为常数; D. 函数在区间两个端点处可以取任意值 三.判断题(每题2分,共10分) 1. 马氏链模型中,矩阵一定有特征值1。 ( ) 2. 插值函数不要求通过样本数据点。 ( ) 3. Matlab 软件内置命令程序可以直接求解0-1整数线性规划问题。 ( )

数学建模试题

2012-2013第一学期 《数学建模》试题卷 班级:2010级 统计 姓名:石光顺 学号:20101004025 成绩: 一、用Matlab 求解以下优化问题(10分) 用Matlab 求解下列线性规划问题: 解:首先化Matlab 标准型,即 123121114123x x x ?? -??????≤??????---???? ???? , 然后编写Matlab 程序如下: f=[-3,1,1]; a=[1,-2,1;4,-1,-2]; b=[11,-3]; aeq=[-2,0,3]; beq=1; [x,y]=linprog(f,a,b,aeq,beq,zeros(3,1)); x,y=-y 运行结果: x = 0.0000 2.3333 0.3333 y = -2.6667 即当1230, 2.3333,0.3333x x x ===时,max 2.6667z =-。 二、求解以下问题,列出模型并使用Matlab 求解(20分) 某厂生产三种产品I ,II ,III 。每种产品要经过A , B 两道工序加工。设该厂有两种规格的设备能完成A 工序,它们以A 1, A 2表示;有三种规格的设备能完

成B工序,它们以B1, B2, B3表示。产品I可在A, B任何一种规格设备上加工。产品II可在任何规格的A设备上加工,但完成B工序时,只能在B1设备上加工;产品III 只能在A2与B2设备上加工。已知在各种机床设备的单件工时,原材料费,产品销售价格,各种设备有效台时以及满负荷操作时机床设备的费用如表1,求安排最优的生产计划,使该厂利润最大。 表1 解:(1)根据题意列出所有可能生产产品I、II、III的工序组合形式,并作如下假设: 按(A1,B1)组合生产产品I,设其产量为 x ; 1 按(A1,B2)组合生产产品I,设其产量为 x; 2 按(A1,B3)组合生产产品I,设其产量为 x; 3 按(A2,B1)组合生产产品I,设其产量为 x; 4 按(A2,B2)组合生产产品I,设其产量为 x; 5 按(A2,B3)组合生产产品I,设其产量为 x; 6 按(A1,B1)组合生产产品II,设其产量为 x; 7 按(A2,B1)组合生产产品II,设其产量为 x; 8 按(A2,B2)组合生产产品III,设其产量为 x; 9 则目标函数为: 约束条件为: 目标函数整理得: (2)用Matlb程序求解目标函数,编写程序如下: f=[-0.37;-0.31;-0.40;-0.34;-0.34;-0.43;-0.65;-0.86;-0.68]; a=[5,5,5,0,0,0,10,0,0 0,0,0,7,7,7,0,9,12 6,0,0,6,0,0,8,8,0 0,4,0,0,4,0,0,0,11 0,0,7,0,0,7,0,0,0]; b=[6000;10000;4000;7000;4000]; [x,y]=linprog(f,a,b,[],[],zeros(9,1)); x,y=-y 输出结果为:

[整理]东南大学高等数学期中期末试卷.

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------------- ------------- (A) ∑ ∞ =1 21 n n (B) ∑∞ =??? ??+111ln n n (C) ()n n n n n ??? ??+-∑∞ =111 (D) ∑?∞=+1 1 04 d 1n n x x x 4. 下列结论正确的是 [ ] (A) 若[][]b a d c ,,?,则必有 ()()?? ≤b a d c x x f x x f d d . (B) 若()x f 在区间[]b a ,上可积,则()x f 在区间[]b a ,上可积. (C) 若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有()()?? +=T T a a x x f x x f 0 d d . (D) 若()x f 在区间[]b a ,上可积,则()x f 在[]b a ,内必有原函数. 三. (每小题7分,共35分) 1. ()()30 2 0d cos ln lim x t t t x x ?+→. 2. 判断级数 ∑∞ =-1 354n n n n 的敛散性. 3. x x x x d cos cos 04 2?-π. 4. ?∞+13 d arctan x x x . 5. 求初值问题 ()()?? ? ??-='=+=+''210,10sin y y x x y y 的解. 四.(8分) 在区间[]e ,1上求一点ξ,使得图中所示阴影部分绕 x 轴旋转所得旋转体的体积最小 五.(7分) 设 b a <<0,求证 ()b a a b a b +-> 2ln . 六.(7分) 设当1->x 时,可微函数()x f 满足条件 ()()()0d 1 10=+- +'?x t t f x x f x f 且()10=f ,试证:当0≥x 时,有 ()1e ≤≤-x f x 成立. 七.(7分) 设()x f 在区间[]1,1-上连续,且 ()()0d tan d 1 1 11 ==??--x x x f x x f , x ln

东南大学数学建模考试卷09-10-3

共6页 第1页 东 南 大 学 考 试 卷(A 卷) 姓名 学号 班级 课程名称 数学建模与实验 考试学期 得分 适用专业 各专业 考试形式 闭卷 考试时间长度 120分钟 一.填空题:(每题2分,共10分) 1. 阻滞增长模型0.5(10.001)(0)100 dx x x dt x ?=-???=?的解为 。 2. 用Matlab 做常微分方程数学实验,常用的命令有 。 3. 整数m 关于模12可逆的充要条件是: 。 4. 根据Malthus 模型,如果自然增长率为2%,则人口数量增长为初值3倍所需时间为(假 设初值为正) 。 5. 请补充判断矩阵缺失的元素13 19 2 A ?? ?= ? ??? 。 二.选择题:(每题2分,共10分) 1. 在下列Leslie 矩阵中,不能保证模最大特征值唯一的是 ( ) A. 0 230.20000.40?? ? ? ???; B. 1.1 1.230.20000.40?? ? ? ???; C. 0 030.20000.40?? ? ? ??? ; D.以上都不对 2. 判断矩阵能通过一致性检验的标准是 ( ) A. 0.1CR < B. 0.1CI < C. 0.1CR > D.0.01CR < 3. 模28倒数表中可能出现的数是 ( ) A. 12 B.5 C.14 D.7 4. 线性最小二乘法得到的函数不可能为 ( ) A.线性函数 B. 对数函数 C. 样条函数 D. 指数函数 5. 关于泛函极值问题,下面的描述正确的有 ( ) A.泛函()J x 在x *处取极值的充要条件是泛函变分()0J x δ* =; B. 泛函()J x 在x *处取极值的充分条件是泛函变分()0J x δ* =; C. 泛函()J x 在x * 处取极值的必要条件是泛函变分()0J x δ* =; D. A,B,C 均正确

附录:全国大学生数学建模竞赛简介

全国大学生数学建模竞赛简介 全国大学生数学建模竞赛(China Undergraduate Mathematical Contest in Modeling,简称CUMCM)是由国家教育部高等教育司和中国工业与应用数学学会联合举办的,在全国高校中规模最大的课外科技活动之一. 其竞赛宗旨是:创新意识、团队精神、重在参与、公平竞争. 本竞赛每年9月(一般在中旬某个周末的星期五至下周星期一共3天,72小时)举行,竞赛面向全国大专院校的学生,不分专业(但竞赛分本科、专科两组,本科组竞赛所有大学生均可参加,专科组竞赛只有专科生(包括高职、高专生)可以参加).同学们可以向本校教务部门咨询,如有必要也可直接与全国竞赛组委会或各省(市、自治区)赛区组委会联系. 全国大学生数学建模竞赛章程(2008年)第一条总则 全国大学生数学建模竞赛(以下简称竞赛)是教育部高等教育司和中国工业与应用数学学会共同主办的面向全国大学生的群众性科技活动,目的在于激励学生学习数学的积极性,提高学生建立数学模型和运用计算机技术解决实际问题的综合能力,鼓励广大学生踊跃参加课外科技活动,开拓知识面,培养创造精神及合作意识,推动大学数学教学体系、教学内容和方法的改革. 第二条竞赛内容 竞赛题目一般来源于工程技术和管理科学等方面经过适当简化加工的实际问题,不要求参赛者预先掌握深入的专门知识,只需要学过高等学校的数学课程.题目有较大的灵活性供参赛者发挥其创造能力.参赛者应根据题目要求,完成一篇包括模型的假设、建立和求解、计算方法的设计和计算机实现、结果的分析和检验、模型的改进等方面的论文(即答卷).竞赛评奖以假设的合理性、建模的创造性、结果的正确性和文字表述的清晰程度为主要标准. 第三条竞赛形式、规则和纪律 1.全国统一竞赛题目,采取通讯竞赛方式,以相对集中的形式进行. 2.竞赛每年举办一次,一般在某个周末前后的三天内举行. 3.大学生以队为单位参赛,每队3人(须属于同一所学校),专业不限.竞赛分本科、专科两组进行,本科生参加本科组竞赛,专科生参加专科组竞赛(也可参加本科组竞赛),研究生不得参加.每队可设一名指导教师(或教师组),从事赛前辅导和参赛的组织工作,但在竞赛期间必须回避参赛队员,不得进行指导或参与讨论,否则按违反纪律处理. 4.竞赛期间参赛队员可以使用各种图书资料、计算机和软件,在国际互联网上浏览,

数学建模的介绍

一、数学建模的意义 数学建模是一种数学的思考方法,是运用数学的语言和方法,通过抽象、简化建立能近似刻画并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。 数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程。这里的实际现象既包涵具体的自然现象比如自由落体现象,也包涵抽象的现象比如顾客对某种商品所取的价值倾向。这里的描述不但包括外在形态,内在机制的描述,也包括预测,试验和解释实际现象等内容。 我们也可以这样直观地理解这个概念:数学建模是一个让纯粹数学家(指只懂数学不懂数学在实际中的应用的数学家)变成物理学家,生物学家,经济学家甚至心理学家等等的过程。 数学模型一般是实际事物的一种数学简化。它常常是以某种意义上接近实际事物的抽象形式存在的,但它和真实的事物有着本质的区别。要描述一个实际现象可以有很多种方式,比如录音,录像,比喻,传言等等。为了使描述更具科学性,逻辑性,客观性和可重复性,人们采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象,这种语言就是数学。使用数学语言描述的事物就称为数学模型。有时候我们需要做一些实验,但这些实验往往用抽象出来了的数学模型作为实际物体的代替而进行相应的实验,实验本身也是实际操作的一种理论替代。 应用数学去解决各类实际问题时,建立数学模型是十分关键的一步,同时也是十分困难的一步。建立教学模型的过程,是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。要通过调查、收集数据资料,观察和研究实际对象的固有特征和内在规律,抓住问题的主要矛盾,建立起反映实际问题的数量关系,然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题。这就需要深厚扎实的数学基础,敏锐的洞察力和想象力,对实际问题的浓厚兴趣和广博的知识面。数学建模是联系数学与实际问题的桥梁,是数学在各个领械广泛应用的媒介,是数学科学技术转化的主要途径,数学建模在科学技术发展中的重要作用越来越受到数学界和工程界的普遍重视,它已成为现代科技工作者必备的重要能力之。为了适应科学技术发展的需要和培养高质量、高层次科技人才,数学建模已经在大学教育中逐步开展,国内外越来越多的大学正在进行数学建模课程的教学和参加开放性的数学建模竞赛,将数学建模教学和竞赛作为高等院校的教学改革和培养高层次的科技人才的个重要方面,现在许多院校正在将数学建模与教学改革相结

东 南 大 学 高等数学下期末考试( A 卷)

共 5 页 第 1 页 东 南 大 学 考 试 卷( A 卷) 一. 填空题 1.设一平面过原点及点()6,3,2-,且与平面428x y z -+=垂直,则此平面的方程是 . 2. 幂级数() () 1 1 12ln 1n n n n x n ∞ =-+∑的收敛域为 . 3. 交换积分次序:()()12 20 01 d ,d d ,d y y y f x y x y f x y x -+=??? ? . 4. 设曲线C 为圆周2 2 1x y +=,则曲线积分()2 23d C x y x s +-=? . 二. 单项选择题 1.曲面24e 3z xy z +-=在点()1,2,0处的法线与直线 12 112 x y z --== -的夹角为 [ ] (A) 4π (B) 3π (C) 2 π (D) 0 2.设区域D 由直线,y x y x ==-和1x =围成,1D 是D 位于第一象限的部分,则[ ] (A )()()1 sin d d 2d d D D xy y xy x y xy x y +=???? (B )()()()1 sin d d 2sin d d D D xy y xy x y y xy x y +=???? (C )()()()()1 sin d d 2sin d d D D xy y xy x y xy y xy x y +=+???? (D ) ()()sin d d 0D xy y xy x y +=?? 3.设∑ 为上半球面z = ,则曲面积分 ∑ 的值为 [ ] (A )4π (B ) 165π (C )16 3 π (D )83π

数模201001A卷

东南大学考试卷(A卷) 姓名 学号 班级 课程名 称数学建模与实 验 考试学 期 09-10-2得分 适用专业各专业考试 形式 闭卷 考试时 间长度 120分 钟 学号姓名 一.填空题:(每题2分,共10分) 1. 阻滞增长模型的解为。 2. 用Matlab做常微分方程数学实验,常用的命令有。 3. 整数m关于模12可逆的充要条件是:。 4. 根据Malthus模型,如果自然增长率为2%,则人口数量增长为初 值3倍所需时间为(假设初值为正) 。 5. 请补充判断矩阵缺失的元素。 二.选择题:(每题2分,共10分) 1. 在下列Leslie矩阵中,不能保证模最大特征值唯一的是 ( ) A. ; B. ; C. ; D.以上都不对 2. 判断矩阵能通过一致性检验的标准是( ) A. B. C. D. 3. 模28倒数表中可能出现的数是 ( ) A. 12 B.5 C.14 D.7 4. 线性最小二乘法得到的函数不可能为() A.线性函数 B. 对数函数 C. 样条函数 D. 指数函数 5. 关于泛函极值问题,下面的描述正确的有() A.泛函在处取极值的充要条件是泛函变分; B. 泛函在处取极值的充分条件是泛函变分; C. 泛函在处取极值的必要条件是泛函变分; D. A,B,C均正确 三.判断题(每题2分,共10分)

1. Hill密码体系中,任意一个可逆矩阵都可以作为加密矩阵。( ) 2. 拟合函数不要求通过样本数据点。() 3. Matlab软件内置命令程序可以直接求解一般的整数线性规划问题。 () 4. Volterra模型得到的周期解里,食饵与捕食者可以同时达到峰值。 () 5.一阶线性齐次差分方程平衡点的稳定性由系数矩阵谱半径决定。 ( ) 四.应用题(共70分) 1.(5分)某外贸进出口公司拟用集装箱托运甲乙两种货物,每包体 积、重量、可获利润及集装箱数目所受限制见下表: 货物 (包) 体积(立方米)重量(千克)利润(千元) 甲乙5 4 2 5 20 10 集装箱限 制 2413 问每个集装箱中两种货物各装多少包,可以使所获利润最大?试对该问题建立合适的数学模型,不需要求出具体结果。

东南大学高数上期末往年试题

2003级高等数学(A )(上)期末试卷 一、单项选择题(每小题4分,共16分) 1.设函数()y y x =由方程 ? +-=y x t x dt e 1 2 确定,则 ==0 x dx dy ( ) .e 2(D) ; 1-e (C) ; e -1(B) ;1)(+e A 2.曲线41 ln 2+-+ =x x x y 的渐近线的条数为( ) . 0 (D) ; 3 (C) ; 2 (B) ; 1 )(A 3.设函数)(x f 在定义域内可导,)(x f y =的图形如右图所示, 则导函数)(x f y '=的图形为( ) 4.微分方程x y y 2cos 34=+''的特解形式为( ) . 2sin y )( ;2sin 2cos y )(;2cos y )( ;2cos y )( * * **x A D x Bx x Ax C x Ax B x A A =+=== 二、填空题(每小题3分,共18分) 1._____________________ )(lim 2 1 =-→x x x x e 2.若)(cos 21arctan x f e x y +=,其中f 可导,则_______________=dx dy 3.设,0,00 ,1sin )(?????=≠=α x x x x x f 若导函数)(x f '在0=x 处连续,则α的取值范围是__________。 4.若dt t t x f x ?+-=2032 4 )(,则)(x f 的单增区间为__________,单减区间为__________. 5.曲线x xe y -=的拐点是__________ 6.微分方程044='+''+'''y y y 的通解为__________________________=y

数学建模课程简介

《数学建模》课程简介 20053025 数学建模 4.5 Mathematical Modeling 4-1 预修要求:微积分、线性代数 面向对象:竺可桢学院工程高级班 内容简介: 本课程以物理、生态、环境、医学、管理、经济、信息技术等领域的一些典型实例为背景,阐述如何通过建立数学模型的方法来研究、解决实际问题的基本方法和技能。开设本课程的目的是,在传授知识的同时,通过典型建模实例的分析和参加建模实践活动,培养和增强学生自学能力、创新素质。参加数学建模课的学习,应自己动手解决一、二个实际问题,以求在实际参与中获取真知。 本课程包括一定学时的讨论班,学生可利用课外时间自己参与建模实践活动并自愿参加由指导教师组织的讨论班活动。选修本课程的本科生经双向选择还有机会参加全国大学生数学建模竞赛(每年约90人)和美国大学生数学建模竞赛(每年为21人)。 推荐教材或参考书: “数学建模”,杨启帆、谈之奕、何勇编著,浙江大学出版社出版,2006年7月 《数学建模》教学大纲 20053025 数学建模 4.5 Mathematical Modeling 4-1 预修要求:微积分、线性代数 面向对象:竺可桢学院工程高级班 一、教学目的与基本要求: 通过典型数学模型分析和课外建模实践,使学生基本掌握运用数学知识建立数学模型来研究科研问题或实际课题的基本技能与基本技巧,本课程教学除传授知识外还要求学生在实际建模中注意培养和提高自身的能力,以便提高自己的综合素质与实际本领。 二、主要内容及学时分配: 1.数学建模概论,3学时 2.初等模型,8学时:舰艇的汇合,双层玻璃的功效,崖高的估算,经验模型,参数 识别,量纲分析法建模,方桌问题、最短路径与最速方案等 3.微分方程建模,14学时:马尔萨斯模型和罗杰斯蒂克模型,为什么要用三级火箭发 射人造卫星,药物在体内的分布,传染病模型,捕食系统的P-P模型,双种群生态 系统研究等

高等数学AB上册期中期末试卷完整版0309东南大学

03~09级高等数学(A )(上册)试卷 东南大学 2003级高等数学(A )(上)期中试卷 一、单项选择题(每小题4分,共12分) 1.2)( ,)( ='=οοx f x x f y 且处可导在点函数, 是时则当dy x ,0→?() (A )等价的无穷小与x ?;(B )同价但非等价的无穷小与x ?; (C )低价的无穷小比x ?;(D )高价的无穷小比x ?。 2.方程内恰有在) ,(0125 ∞+-∞=-+x x () (A ) 一个实根;(B )二个实根;(C )三个实根;(D )五个实根。 3.已知函数 ,0)0( , 0 ==f x f 的某个邻域内连续在 ,1cos 1) (lim 0=-→x x f x 则处在 0 =x f () (A ) 不可导;(B )可导且0)0(≠'f ;(C )取得极大值;(D )取得极小值。 二、填空题(每小题4分,共24分) 1.=?????=≠-=a x a x x x x x f 0., ,0,3cos 2cos )(2则当若 时,处连续在 0 )( =x x f . 2.设函数nx nx n e e x x x f +++=∞ →11lim )( 2,则=x x f )( 在 0 处 , 其类型是 . 3.函数Lagrange x xe x f x 处的带在1)(==ο余项的三阶Taylor 公式为 4.设函数所确定由方程 1)sin()(=-=x ye xy x y y ,则=dy . 5.已知)1ln()(x x f -=,则=)0() (n f . 6.设2 2tan )(cos x x f y +=,其中可导 f ,=dx dy 则 三、(每小题7分,共28分) 1.求极限x x x 2cot 0 )]4 [tan(lim π +→. 2.求极限)sin 1(sin lim x x x -++∞ →

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