华中科技大学考研数学分析真题答案
2008年华中科技大学招收硕士研究生.
入学考试自命题试题数学分析
一、 求极限1
111lim(1...)23n n I n
→∞=++++
解: 一方面显然1I ≥
另一方面111
1...23n n
++++≤，且1lim 1n n n →∞=
由迫敛性可知1I =。
注：1
lim 1n
n n →∞
=可用如下两种方式证明
1） 1n h =+，则22
(1)2(1)1(2)2n n n n n n n h h h n n
-=+≥+
?≤≥ 即lim 0n n h →∞
=，从而1lim 1n
n n →∞
=
2） =有lim 11n n n
n →∞==-。 二、证明2232(38)(812)y x y xy dx x x y ye dy ++++为某个函数的全微分，并求它的原函数。
证明：记22(,)38P x y x y xy =+，32(,)812y Q x y x x y ye =++，则
2316P x xy y ?=+?，2316Q
x xy x ?=+??
P Q y x ??=?? Pdx Qdy ∴+是某个函数的全微分
设原函数为(,)x y Φ，则x y d dx dy Pdx Qdy Φ=Φ+Φ=+
2232238(,)4()x x y xy x y x y x y y ?∴Φ=+?Φ=++
32328()812y y x x y y x x y ye ?'?Φ=++=++
()12()12(1)y y y ye y y e C ??'?=?=-+
322(,)412(1)y x y x y x y y e C C ∴Φ=++-+所求原函数为（为常数）
三、设Ω是空间区域且不包含原点，其边界∑为封闭光滑曲面：用n 表示∑的单位外法向量，(,,)r x y z =和2r r x y ==+，证明：
cos(,)2n r dS r Ω
∑
=????? 证明：设n 的方向余弦为cos ,cos ,cos αβγ。因为r 的方向余弦为,,x y z
r r r
，所以
cos(,)cos cos cos x y z
n r r r r
αβγ=++，由于原点不在空间区域，根据高斯公
式，有
11cos(,)(cos cos cos )22121()()()2x y z
n r dS dS r r r x y z
dydz dzdx dxdy r r r
x y z dxdydz x r y r z r dxdydz r αβγ∑∑∑ΩΩ
=++=
++??
???=++ ??????=????????????
注：当原点也在该区域时，结论也成立，详细参考课本P296第8题答案。
四、设()f t 为连续函数，证明：11()()()()1b y b n
n a a a dy y x f x dx b x f x dx n +-=-+??? 证明：记(,)()()n F x y y x f x =-，{(,)|,}D x y a x y a y b =≤≤≤≤
由于()f t 为连续函数，故(,)F x y 在D 上连续，从而在D 上可积。
而对每个[,]y a b ∈，(,)y
a
F x y dx ?存在，
从而累次积分(,)b
y
a
a
dy F x y dx ??也存在，同理(,)b x
a
a
dx F x y dy ??也存在。于是
(,)(,)(,)b
y b x
a
a
a
a
D
F x y dxdy dy F x y dx dx F x y dy ==????
??
即
11()()()()1b
y
b
n
n a
a
a
dy y x f x dx b x f x dx n +-=-+?
?
? 五、设1x =11,2,3,...)n x n +==，证明{}n x 收敛并求其极限。
2n x ≤≤，即{}n x 有界。
另一方面2117
)024
n n n x x x +-==-+≥
于是{}n x 单调，从而{}n x 收敛。 设lim n n x x →∞
=，则x =解得2x =
n n →∞
六、设反常积分0
()f x dx ∞?绝对收敛且lim ()0x f x →∞
=，证明20
()f x dx ∞
?收敛。
证明：由于lim ()0x f x →∞
=，故10A ?>，当1x A >时，()1f x <，此时2()()f x f x <
再由0
()f x dx ∞?绝对收敛知，对0ε?>，20A ?>有2
()A f x dx ε∞
取12max{,}A A A =，则2
2()()()A
A
A f x dx f x dx f x dx ε∞∞∞
≤≤
故20
()f x dx ∞
?收敛。
注：这里还差0不是 ()f x 的瑕点这一条件，若不然讨论32
sin x xdx ∞-
?
由下题可知32
sin x xdx ∞-
?绝对收敛，但23
sin x
dx x ∞
?
发散。这是因为 230
0sin 14x dx dx x x δ
δ>?
?发散；2
33sin 1x dx dx x x
δδ∞∞
sin p
x
dx x ∞
?的敛散性（包括绝对收敛、条件收敛和发散）
，其中0p >为常数。 解：记1120
01sin sin sin p p p x x x I dx dx dx I I x x x
∞∞==+=+?
?? 1） 先讨论1I （可以用瑕积分收敛判别的推论）
由0sin lim
1x x x →=可知，0δ?>，当0x δ<<时，1sin 322x x <<
110sin sin p p x x I dx dx x x
δδ=+??，1sin p x dx x δ?是定积分，只需考虑0sin p x
dx x δ? 当02p <<时，1sin 32p p x x x
-<，由103
(2)2p dx p x δ-
绝对收敛；
当2p ≥时，1sin 12p p x x x
->，由101
(2)2p dx p x δ-≥?发散知0sin p x dx x δ?发散。 2） 再讨论2I
当1p >时，sin 1
p p x x x ≤，由11p dx x ∞?收敛知1sin p
x dx x ∞?绝对收敛
当01p <≤时，
1
sin p x
dx x
∞
?
条件收敛，这是由于对任意1u ≥，有
1
sin cos cos12u
xdx u =-≤?
，而
1
p
x 单调趋于0()x →∞，由狄利克雷判别法知1
sin p x
dx x
∞?
收敛。 另外2sin sin 1cos 2(1)22p x x x x x x x x
≥=-≥，其中12cos 21cos 22x t
dx dt x t ∞∞=??满足狄利克雷条件，是收敛的。但1
1
2dx x
∞
?
是发散的。 所以当01p <≤时，2I 是条件收敛的。 综上所述，
当01p <≤时，I 条件收敛； 当12p <<时，I 绝对收敛； 当2p ≥时，I 发散。
八、将函数()()([0,])f x x x x ππ=-∈展开为余弦级数。 解：对()f x 作偶式周期延拓，则()f x 的傅里叶系数为：
0,1,2,...n b n ==
2
00
2
()3
a x x dx π
πππ=
-=
?
0020
20022
2
()cos ()sin 2()sin (2)sin 2(2)cos 2(2)cos 2cos 2
(cos 1)
n a x x nxdx x x d nx
n x x nx x nxdx n x d nx n x nx nxdx n n n
π
π
ππ
π
ππ
πππ
π
ππππππππ=
-=
-??
=---?
???=-??
=-+????=-+?
?
???
即22
1
k a k =-
，210k a +=（1,2,...k =） 2
2
1
cos 2()~
6
k kx
f x k π∞
=∴-∑
九、证明函数2
cos ()1()
x
I y dx x y +∞
=++?
在[0,)+∞上可微 证明：对0y ?≥，22
0cos 1()1()12
x I y dx dx x y x π+∞
+∞=≤=+++??收敛 记2
cos (,)1()x f x y x y =
++，则()
22()cos (,)1()y
x y x f x y x y +=-++。 (,)f x y 与(,)x f x y 在[0,)[0,)∞?∞上均连续
由于对,0x y ?≥，21()2()x y x y ++≥+，因此
220
001cos 1(,)21()12x x f x y dx dx dx x y x π
∞
+∞+∞≤≤=+++?
?? 即0
(,)x f x y dx ∞
?在[0,)+∞上收敛
故20
cos ()1()x
I y dx x y +∞
=++?
在[0,)+∞上可微且
()
2
2()cos (),01()x y x
I y dx y x y +∞
+'=-
≥++?
十、设()f x 在[0,1]上二阶可导，且在[0,1]上成立()1f x ≤，()2f x ''≤。证明在
[0,1]上成立()3f x '≤。
证明：根据泰勒公式，分别将(0)f 与(1)f 在x 处展开：
2
2()(0)()()()([0,])2()
(1)()()(1)(1)([,1])
2f f f x f x x x x f f f x f x x x x ξξηη'''=+-+
∈'''=+-+-∈ 两式相减得
22()()
()(1)(0)(1)22
f f f x f f x x ξη'''''=-+
-- 2222()()
()(1)(0)(1)22
(1)(0)(1)15
2()3
22
f f f x f f x x f f x x x ξη'''''∴≤++
+-≤+++-≤-+≤