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北师大版七年级下册数学培优压轴题
一．解答题（共8 小题）
1．已知四边形 ABCD中， AB=BC，∠ ABC=120°，∠ MBN=60°，∠ MBN 绕 B 点旋转，它的两边分别交 AD，DC（或它们的延长线）于 E，F．
当∠ MBN 绕 B 点旋转到 AE=CF时（如图 1），易证 AE+CF=EF；
当∠ MBN 绕 B 点旋转到 AE≠CF时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
2．（1）如图，在四边形 ABCD中， AB=AD，∠ B=∠ D=90°，E、F 分别是边BC、CD上的点，且∠ EAF= ∠BAD．
求证： EF=BE+FD；
（2）如图，在四边形 ABCD中， AB=AD，∠ B+∠D=180°，E、F 分别是边 BC、CD 上的点，且∠ EAF= ∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？
（ 3）如图，在四边形ABCD中， AB=AD，∠ B+∠ADC=180°， E、 F 分别是边 BC、
CD延长线上的点，且∠ EAF= ∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请
证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
3．如图 1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和 DEC重合放置，其中∠ C=90°，∠B=∠E=30°．
（ 1）操作发现
如图 2，固定△ ABC，使△ DEC绕点 C 旋转，当点 D 恰好落在 AB 边上时，填空：
①线段 DE与 AC的位置关系是；
②设△ BDC的面积为 S1，△ AEC的面积为 S2，则 S1与 S2的数量关系是．
（ 2）猜想论证
当△ DEC绕点 C 旋转到如图 3 所示的位置时，小明猜想（ 1）中 S1与 S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△ AEC中 BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．
（ 3）拓展探究
已知∠ ABC=60°，点 D 是角平分线上一点， BD=CD=4，DE∥AB 交 BC于点 E（如图 4）．若在射线 BA 上存在点 F，使 S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的 BF的长．
4．如图 1，已知线段 AB 的长为 2a，点 P 是 AB上的动点（ P 不与 A，B 重合），
分别以 AP、PB为边向线段 AB 的同一侧作正△ APC和正△ PBD．
（ 1）当△ APC与△ PBD的面积之和取最小值时，AP=；（直接写结果）
（2）连接 AD、BC，相交于点 Q，设∠ AQC=α，那么α的大小是否会随点 P 的
移动而变化？请说明理由；
（3）如图 2，若点 P 固定，将△ PBD绕点 P 按顺时针方向旋转（旋转角小于180°），此时α的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）
5．如图 1，Rt△ ABC中 AB=AC，点 D、E 是线段 AC 上两动点，且 AD=EC，AM 垂
直BD，垂足为 M，AM 的延长线交 BC于点 N，直线 BD 与直线 NE 相交于点
F．试判断△ DEF的形状，并加以证明．
说明：（ 1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中
的某种思路写出来（要求至少写 3 步）；（ 2）在你经历说明（ 1）的过程之后，
可以从下列①、②中选取一个补充或者更换已知条件，完成你的证明．
1、画出将△ BAD沿 BA 方向平移 BA 长，然后顺时针旋转90°后图形；
2、点 K 在线段 BD 上，且四边形 AKNC为等腰梯形（ AC∥KN，如图 2）．
附加题：如图 3，若点 D、 E 是直线 AC 上两动点，其他条件不变，试判断△DEF
的形状，并说明理由．
6．如图，已知等边三角形ABC中，点 D， E， F 分别为边 AB，AC， BC的中点，
M 为直线 BC上一动点，△ DMN 为等边三角形（点 M 的位置改变时，△ DMN 也
随之整体移动）．
（ 1）如图 1，当点 M 在点 B 左侧时，请你判断 EN 与 MF 有怎样的数量关系？点
F 是否在直线 NE 上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；
（2）如图 2，当点 M 在 BC上时，其它条件不变，（1）的结论中 EN与 MF 的数
量关系是否仍然成立？若成立，请利用图 2 证明；若不成立，请说明理由；
（3）若点 M 在点 C 右侧时，请你在图 3 中画出相应的图形，并判断（ 1）的结论
中 EN 与 MF 的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明
理由．
7．已知：等边三角形ABC
（ 1）如图 1， P 为等边△ ABC外一点，且∠ BPC=120°．试猜想线段BP、 PC、AP 之间的数量关系，并证明你的猜想；
（ 2）如图 2，P 为等边△ ABC内一点，且∠ APD=120°．求证： PA+PD+PC＞BD．
8．真材料，然后回答：
我初中学了多式的运算法，相的，我可以算出多式的展开式，
如：（a+b）1=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3，?下面我依次（ a+b）n展开式的各系数一步研究，当 n 取正整数可以独列成表中的形式：
上面的多式展开系数表称“ 三角形”；仔察“ 三角形”，用你的律回答下列：
（1）多式（ a+b）n的展开式是一个几次几式？并第三的系数；
（2）你一下多式（ a+b）n展开式的各系数之和．
（3）合上述材料，推断出多式（ a+b）n（ n 取正整数）的展开式的各系数之和 S，（果用含字母 n 的代数式表示）．
2018 年 05 月 08 日 wujun 的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．解答题（共8 小题）
1．已知四边形ABCD中， AB=BC，∠ ABC=120°，∠ MBN=60°，∠ MBN 绕 B 点旋转，它的两边分别交 AD，DC（或它们的延长线）于 E，F．当∠
MBN 绕 B 点旋转到 AE=CF时（如图 1），易证 AE+CF=EF；
当∠ MBN 绕 B 点旋转到 AE≠CF时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是
否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关
系？请写出你的猜想，不需证明．
【解答】解：∵AB ⊥AD ，BC ⊥CD ，AB=BC ，AE=CF ，
在△ ABE和△ CBF中，
，
∴△ ABE≌△ CBF（SAS）；
∴∠ ABE=∠CBF，BE=BF；
∵∠ ABC=120°，∠ MBN=60°，
∴∠ ABE=∠CBF=30°，
∴AE= BE，CF= BF；
∵∠ MBN=60°，BE=BF，
∴△ BEF为等边三角形；
∴AE+CF= BE+ BF=BE=EF；
图2 成立，图 3 不成
立．证明图 2．
延长 DC至点 K，使 CK=AE，连接BK，在△ BAE和△ BCK中，
则△ BAE≌△ BCK，
∴BE=BK，∠ ABE=∠ KBC，
∵∠ FBE=60°，∠ ABC=120°，
∴∠ FBC+∠ABE=60°，∴∠
FBC+∠KBC=60°，∴∠
KBF=∠FBE=60°，
在△ KBF和△ EBF中，
∴△ KBF≌△ EBF，
∴KF=EF，
∴KC+CF=EF，
即 AE+CF=EF．
图 3 不成立，
AE、CF、 EF的关系是 AE﹣CF=EF．
2．（1）如图，在四边形ABCD中， AB=AD，∠ B=∠ D=90°，E、F 分别是边 BC、CD上的点，且∠ EAF= ∠BAD．
求证： EF=BE+FD；
（2）如图，在四边形 ABCD中， AB=AD，∠ B+∠D=180°，E、F 分别是边 BC、CD 上的点，且∠ EAF= ∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？
（3）如图，在四边形 ABCD中， AB=AD，∠ B+∠ADC=180°， E、 F 分别是边 BC、CD延长线上的点，且∠ EAF= ∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
【解答】证明：（1）延长 EB到 G，使 BG=DF，连接 AG．
∵∠ ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD，
∴△ ABG≌△ ADF．
∴AG=AF，∠ 1=∠2．
∴∠ 1+∠ 3=∠2+∠3=∠EAF= ∠BAD．
∴∠ GAE=∠EAF．
又∵ AE=AE，
∴△ AEG≌△ AEF．
∴EG=EF．
∵ EG=BE+BG．
∴EF=BE+FD
（2）（1）中的结论 EF=BE+FD仍然成立．
（3）结论 EF=BE+FD 不成立，应当是 EF=BE﹣FD．
证明：在 BE上截取 BG，使 BG=DF，连接 AG．
∵∠ B+∠ ADC=180°，∠ ADF+∠ ADC=180°，
∴∠ B=∠ ADF．
∵AB=AD，
∴△ ABG≌△ ADF．
∴∠ BAG=∠DAF， AG=AF．
∴∠ BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD
=∠EAF= ∠BAD．
∴∠ GAE=∠EAF．
∵AE=AE，
∴△ AEG≌△ AEF．
∴EG=EF
∵EG=BE﹣BG
∴EF=BE﹣FD．
3．如图 1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和 DEC重合放置，其中∠ C=90°，∠B=∠E=30°．
（ 1）操作发现
如图 2，固定△ ABC，使△ DEC绕点 C 旋转，当点 D 恰好落在 AB 边上时，填空：
①线段 DE与 AC的位置关系是DE∥ AC；
②设△ BDC的面积为 S1，△AEC的面积为 S2，则 S1与 S2的数量关系是S1=S2．
（ 2）猜想论证
当△ DEC绕点 C 旋转到如图 3 所示的位置时，小明猜想（ 1）中 S1与 S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△ AEC中 BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．
（ 3）拓展探究
已知∠ ABC=60°，点 D 是角平分线上一点， BD=CD=4，DE∥AB 交 BC于点 E（如图 4）．若在射线 BA 上存在点 F，使 S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的 BF的长．
【解答】解：（1）①∵△ DEC绕点 C 旋转点 D 恰好落在 AB 边上，
∴AC=CD，
∵∠ BAC=90°﹣∠ B=90°﹣ 30°=60°，
∴△ ACD是等边三角形，
∴∠ ACD=60°，
又∵∠ CDE=∠BAC=60°，
∴∠ ACD=∠CDE，
∴DE∥AC；
②∵∠ B=30°，∠ C=90°，
∴CD=AC= AB，
∴BD=AD=AC，
根据等边三角形的性质，△ACD的边 AC、AD 上的高相等，
∴△ BDC的面积和△ AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），
即S1=S2；
故答案为： DE∥ AC；S1=S2；
（2）如图，∵△ DEC是由△ ABC绕点 C 旋转得
到，∴ BC=CE，AC=CD，
∵∠ ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°﹣ 90°=90°，
∴∠ ACN=∠DCM，
∵在△ ACN和△ DCM中，
，
∴△ ACN≌△ DCM（ AAS），
∴AN=DM，
∴△ BDC的面积和△ AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2；
（3）如图，过点 D 作 DF1∥BE，易求四边形 BEDF1是菱
形，所以 BE=DF1，且 BE、 DF1上的高相等，
此时 S△DCF1=S△BDE；
过点 D 作 DF2⊥BD，
∵∠ ABC=60°，F1D∥BE，
∴∠ F2F1D=∠ ABC=60°，
∵ BF1=DF1，∠ F1 BD= ∠ABC=30°，∠ F2DB=90°，
∴∠ F1DF2=∠ ABC=60°，
∴△ DF1F2是等边三角形，
∴DF1=DF2，
∵BD=CD，∠ ABC=60°，点 D 是角平分线上一
点，∴∠ DBC=∠DCB= ×60°=30°，
∴∠ CDF1=180°﹣∠ BCD=180°﹣ 30°=150°，
∠CDF2=360°﹣ 150°﹣60°=150°，
∴∠ CDF1=∠CDF2，
∵在△ CDF1和△ CDF2中，
，
∴△ CDF1≌△ CDF2（SAS），
∴点 F2也是所求的点，
∵∠ ABC=60°，点 D 是角平分线上一点， DE∥AB，∴∠ DBC=∠BDE=∠ABD= ×60°=30°，
又∵ BD=4，
∴ BE= ×4÷cos30°=2÷= ，
∴ BF1，21 1 2
+= ，
= BF =BF+F F =
故 BF 的长为或．
4．如图 1，已知线段 AB 的长为 2a，点 P 是 AB上的动点（ P 不与 A，B 重合），分别以 AP、PB为边向线段 AB 的同一侧作正△ APC和正△ PBD．
（1）当△ APC与△ PBD的面积之和取最小值时， AP= a ；（直接写结果）
（2）连接 AD、BC，相交于点 Q，设∠ AQC=α，那么α的大小是否会随点 P 的移动而变化？请说明理由；
（3）如图 2，若点 P 固定，将△ PBD绕点 P 按顺时针方向旋转（旋转角小于180°），此时α的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）
【解答】解：（1）设 AP 的长是 x，则 BP=2a﹣ x，
∴S△APC+S△PBD= x? x+ （2a﹣ x） ? （2a﹣x）
=x2﹣ ax+ a2，
当x=﹣ =﹣ =a 时△ APC与△ PBD的面积之和取最小值，故答案为： a；
（2）α的大小不会随点 P 的移动而变
化，理由：∵△ APC是等边三角形，
∴PA=PC，∠ APC=60°，
∵△ BDP是等边三角形，
∴PB=PD，∠ BPD=60°，
∴∠ APC=∠BPD，
∴∠ APD=∠CPB，
∴△ APD≌△ CPB，
∴∠ PAD=∠PCB，
∵∠ QAP+∠QAC+∠ ACP=120°，
∴∠ QCP+∠QAC+∠ACP=120°，
∴∠ AQC=180°﹣ 120°=60°；
（3）此时α的大小不会发生改变，始终等于
60°．理由：∵△ APC是等边三角形，
∴PA=PC，∠ APC=60°，
∵△ BDP是等边三角形，
∴PB=PD，∠ BPD=60°，
∴∠ APC=∠BPD，∴∠
APD=∠CPB，∴△
APD≌△ CPB，∴∠
PAD=∠PCB，
∵∠ QAP+∠QAC+∠ ACP=120°，
∴∠ QCP+∠QAC+∠ACP=120°，
∴∠ AQC=180°﹣ 120°=60°．
5．如图 1，Rt△ ABC中 AB=AC，点 D、E 是线段 AC 上两动点，且 AD=EC，AM 垂直BD，垂足为 M，AM 的延长线交 BC于点 N，直线 BD 与直线 NE 相交于点F．试判断△ DEF的形状，并加以证明．
说明：（ 1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写 3 步）；（ 2）在你经历说明（ 1）的过程之后，
可以从下列①、②中选取一个补充或者更换已知条件，完成你的证明．
1、画出将△ BAD沿 BA 方向平移 BA 长，然后顺时针旋转90°后图形；
2、点 K 在线段 BD 上，且四边形 AKNC为等腰梯形（ AC∥KN，如图 2）．
附加题：如图 3，若点 D、 E 是直线 AC 上两动点，其他条件不变，试判断△ DEF 的形状，并说明理由．
【解答】解：△ DEF是等腰三角形
证明：如图，过点 C 作 CP⊥AC，交 AN 延长线于点 P
∵Rt△ABC中 AB=AC
∴∠ BAC=90°，∠ ACB=45°
∴∠ PCN=∠ACB，∠ BAD=∠ACP
∵AM⊥ BD
∴∠ ABD+∠BAM=∠ BAM+∠CAP=90°
∴∠ ABD=∠CAP
∴△ BAD≌△ ACP
∴AD=CP，∠ ADB=∠P
∵AD=CE
∴CE=CP
∵CN=CN
∴△ CPN≌△ CEN
∴∠ P=∠ CEN
∴∠ CEN=∠ADB
∴∠ FDE=∠FED
∴△ DEF是等腰三角形．
附加题：△ DEF为等腰三角形
证明：过点 C 作 CP⊥ AC，交 AM 的延长线于点 P ∵Rt△ABC中 AB=AC
∴∠ BAC=90°，∠ ACB=45°
∴∠ PCN=∠ACB=∠ECN
∵AM⊥ BD
∴∠ ABD+∠BAM=∠ BAM+∠CAP=90°
∴∠ ABD=∠CAP
∴△ BAD≌△ ACP
∴AD=CP，∠ D=∠ P
∵AD=EC，CE=CP
又∵ CN=CN
∴△ CPN≌△ CEN
∴∠ P=∠ E
∴∠ D=∠ E
∴△ DEF为等腰三角形．
6．如图，已知等边三角形ABC中，点 D， E， F 分别为边 AB，AC， BC的中点，M 为直线 BC上一动点，△ DMN 为等边三角形（点 M 的位置改变时，△ DMN 也随之整体移动）．
（1）如图 1，当点 M 在点 B 左侧时，请你判断 EN 与 MF 有怎样的数量关系？点F 是否在直线 NE 上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；
（2）如图 2，当点 M 在 BC上时，其它条件不变，（1）的结论中 EN与 MF 的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图 2 证明；若不成立，请说明理由；
（3）若点 M 在点 C 右侧时，请你在图 3 中画出相应的图形，并判断（ 1）的结论中 EN 与 MF 的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由．
【解答】解：（1）判断： EN 与 MF 相等（或 EN=MF），点 F 在直线 NE 上，
（ 2）成立．
连接 DF，NF，证明△ DBM 和△ DFN 全等（ AAS），
∵△ ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC．
又∵ D，E，F 是三边的中点，
∴EF=DF=BF．
∵∠ BDM+∠ MDF=60°，∠ FDN+∠MDF=60°，
∴∠ BDM=∠ FDN，
在△ DBM 和△ DFN 中，，
∴△ DBM≌△ DFN，
∴BM=FN，∠ DFN=∠FDB=60°，
∴NF∥BD，
∵E， F 分别为边 AC， BC的中
点，∴ EF是△ ABC的中位线，
∴ EF∥BD，
∴ F 在直线 NE 上，
∵BF=EF，
∴MF=EN．
（ 3）如图③， MF 与 EN相等的结论仍然成立（或MF=NE成立）．连接 DF、DE，
由（ 2）知 DE=DF，∠ NDE=∠FDM， DN=DM，
在△ DNE和△ DMF 中，
∴△ DNE≌△ DMF，
∴MF=NE．
7．已知：等边三角形ABC
（ 1）如图 1， P 为等边△ ABC外一点，且∠ BPC=120°．试猜想线段 BP、PC、AP之间的数量关系，并证明你的猜想；
（2）如图 2，P 为等边△ ABC内一点，且∠ APD=120°．求证： PA+PD+PC＞BD．
【解答】猜想： AP=BP+PC，
（1）证明：延长 BP 至 E，使 PE=PC，连接 CE，
∵∠ BPC=120°，
∴∠ CPE=60°，又 PE=PC，
∴△ CPE为等边三角形，∴
CP=PE=CE，∠ PCE=60°，
∵△ ABC为等边三角形，∴
AC=BC，∠ BCA=60°，
∴∠ ACB=∠PCE，
∴∠ ACB+∠BCP=∠PCE+∠BCP，
即：∠ ACP=∠BCE，
∴△ ACP≌△ BCE
（SAS），∴ AP=BE，
∵BE=BP+PE，
∴ AP=BP+PC．
（2）证明：在 AD 外侧作等边△ AB′D，则点 P 在三角形 ADB′外，连接 PB'，B'C，∵∠ APD=120°∴由（ 1）得 PB′=AP+PD，在△ PB′C中，有 PB′+PC＞CB′，
∴PA+PD+PC＞CB′，
∵△ AB′D、△ ABC是等边三角形，
∴AC=AB，AB′=AD，∠
BAC=∠ DAB′=60，°
∴∠ BAC+∠CAD=∠DAB′+∠
CAD，即：∠ BAD=∠CAB′，
∴△ AB′C≌△ ADB，
∴CB′=BD，
∴PA+PD+PC＞BD．
8．认真阅读材料，然后回答问题：