新七年级数学暑假培训班讲义Word版
前言
同学们已经有了六年学习数学的经验，你认为数学是个什么样子的呢？
为什么“学数学可以使人‘变得更聪明’呢”？
数学有非常广泛的用途，数学的内涵极其丰富，“生活中处处都有数学”，你同意这种观点吗？
请同学们来讨论下面的几个问题：
（1）几个老人去赶集，半路买了一堆梨，每人一个多一个，每人两个少两个，请你用心想一想究竟有几个老人几个梨?
（2）你能将两个同样大小的正方形适当地分割，再拼成一个较大的正方形么？你还能将三个同样大小的正方形适当分割后，再将其拼成一个较大正方形么?
（3）有这样一个故事：太平洋中有A、B两个靠得较近的小岛．A岛居民都是诚实的人，向他们问问题都能得到真实的答案；而B岛的居民则恰恰相反，都不诚实，向他们问问题都不会得到真话回答．某天一个旅游者独自登上了A、B两岛中的一个，但不能分辨这个岛是A岛还是B岛，而且这个岛上的人既有该岛的居民，也有从另一个岛来的客人．旅游者想问岛上的人“这是A岛还是B岛？”却又无法判断被问者的答案是否正确．旅游者动了动脑筋，想了想，终于想出一个好办法：他只需问遇到的任何一个人一句话，就能从对方的回答中断定这里是A岛还是B岛．
你知道这个旅游者问的问题是什么吗？他又是怎样做出判断的呢？
数学所包括的内容是丰富多彩的，既有关于数的问题，如第（1）题；也有关于图形的问题，如第（2）题；也有关于逻辑推理的问题，如第（3）题，等等．
此外，数学的运用也是非常广泛的．我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学．”
下面我们来尝试解答以上三个问题。
第（1）题可能有下面几种不同的解法，如果学生给出我们可能没有想到的“新”解法，则需要老师灵活处理．
法一：由于梨的总数与人数不变，而两种不同的分梨方法使得梨的总数量相差3个，而每人所分得的梨的个数相差1个，因此由3÷1=3可知有3个老人，于是由3×2－2=4可知有4个梨．
法二：假设有2个老人，借助检验可以发现与实际情形不相符；假设有3个老人，借助检验可以发现老人的数量与题目叙述是一致的，于是可以在此基础上求得一共有4个梨．法三：假设有x个老人，则有（x+1）个梨；而每人分2个梨，于是一共有（2x－2）个梨．从而有方程2x－2＝x＋1，解此方程得x = 3．因此，我们知道一共有3个老人，4个梨．按照假设法解答这个问题，答案正确是予肯定的．但假设法并不能说明除此解之外，就一定没有其他符合这个问题的解了．因此，还需要做更深入的继续思考．
假设法虽然有一定的局限性，但是也有其合理性，当你还不能全面把握这个问题之前，试探性地假设一些数据去探索这个问题的属性，有助于我们更深刻地揭示问题的本质，进而在把握问题本质的基础上去寻找解决的方法，因此假设法对我们解决数学问题是有帮助的，而且也是我们常用的一种数学问题解决的途径之一．
设未知数列方程来解答数学问题，也是一种很好的解决数学的途径之一，而且这种方法也是初中数学常用的一种重要的方法，在七年级第一学期将要重要学习，需要同学们引起足够的重视
．
对于第（2）个问题，我们可以通过动手操作来解决问题。
比如先可以将三个正方形中的两个沿对角线剪开，如图1，然后再拼成图2的形状．再在
图2的基础上，连结AB 、BC 、CD 、DA ，将画阴影的四个三角形剪掉，补到黑色部分上去，如
图3，这样所得到的四边形ABCD 就是一个符合条件的较大的正方形了．
这个问题的求解过程，作为图形的拼合时
用到了旋转的方法；若要证明最后拼合而成的四边形是一个正方形的话，则需要用到全等或者图形的旋转等．不论是旋转变换，还是全等
等方法都是初中数学所不可回避的重要内容．
第（3）题是一道逻辑推理题，可以先把
学生分成小组让他们讨论几分钟，让他们相互
交流一下思想，然后再找学生来谈自己的想法
或推导过程，教师再在此基础上综合学生的发
言，进行适当的补充或深化．
我们在下表中列出了在不同的地点，不同问题：你是这个岛的居民吗？
问话的地点
被访问者 A 岛居民 B 岛居民
A 岛
回答 是 是 B 岛 不是 不是 借助这张表我们可以一目了然地得到这样的一个结论：如果这个问题是在A 岛提出来的，
那么不论是A 岛的居民，还是B 岛的居民，给出的答案都应该是“是”；如果这个问题在B 岛
提出来的，答案总“不是”．
这就为旅游者判断提问的地方是哪个岛提供了依据，于是“问路问题”就得到了解决．聪
明的旅游者的问话是“你是这个岛的居民吗？”如果对方回答“是”，那么这个岛一定是A
岛；如果对方回答“不是”，那么这个岛就一定是B 岛．
学习数学是件很有趣的事情，数学可以让我们变得聪明，“数学是思维的体操”，只要
我们多与数学打交道，与数学交朋友，坚持用数学的眼光去看问题，用数学的头脑去想问题
我们就一定能感受到数学的魅力与乐趣，就一定能够学好数学，成为主宰世界未来的科学家。
拓展练习
（1）如图4，要在所有的台阶上铺上地毯，至少需要长为
多少米地毯？ （2）用火柴棒拼成图5所示的“田”字形图，拼1个“田”
字要12根火柴棒，拼2个这样的田字形图，需要多少根火柴棒？
拼3个呢？4个呢？5个呢？你能从中找到规律，拼写n 个这样的田字形图，需要多少根火柴棒吗？
（3）扑克牌游戏：在扑克牌1~k 中，请你任抽一张，点数
记在心，然后做下面的计算：把这张牌的点数乘以2，再加上3，
把得数乘以5，最后减去25．我将这个得数加上10后再除以
10就可以知道你抽取的牌的点数了，你知道
图153421图2 图3 图5
图42.8米
个中的缘由吗?
第一章 有 理 数
正数 负数(1)
一、学前准备
1、小学里学过哪些数请写出来： 、 、 .
2、在生活中，仅有整数和分数够用了吗？有没有比0小的数？如果有，那叫做什么数？
二、探究新知
1、正数与负数的产生
1）、生活中具有相反意义的量
如：运进5吨与运出3吨；上升7米与下降8米；向东50米与向西47米等都是生活中
遇到的具有相反意义的量.
请你也举一个具有相反意义量的例子： .
2）负数的产生同样是生活和生产的需要
2、正数和负数的表示方法
1）一般地，我们把上升、运进、零上、收入、前进、高出等规定为正的，而与它相反
的量，如：下降、运出、零下、支出、后退、低于等规定为负的。正的量就用小学里学过的
数表示，有时也在它前面放上一个“+”（读作正）号，如前面的5、7、50；负的量用小学
学过的数前面放上“—”（读作负）号来表示，如上面的—3、—8、—47。
2）活动 两个同学为一组，一同学任意说意义相反的两个量，另一个同学用正负数表
示.
3、正数、负数的概念
1）大于0的数叫做 ，小于0的数叫做 。
2）正数是大于0的数，负数是 的数，0既不是正数也不是负数。
三、练习
1、读出下列各数，指出其中哪些是正数，哪些是负数？
—2， 0.6， +1
3， 0， —3.1415， 200， —754200，
2、举出几对（至少两对）具有相反意义的量，并分别用正、负数表示
四、应用迁移，巩固提高（A 组为必做题）
A 组
1．任意写出5个正数：________________；任意写出5个负数：_______________．
2．小明的姐姐在银行工作，她把存入3万元记作+3万元，那么支取2万元应记作_______,-4
万元表示________________．
3．已知下列各数：51-，432-，3.14，+3065，0，-239． 则正数有_____________________；负数有____________________．
4．如果向东为正，那么 -50m 表示的意义是………………………（ ）
A ．向东行进50m C ．向北行进50m
B ．向南行进50m D ．向西行进50m
5．下列结论中正确的是 …………………………………………（ ）
A ．0既是正数，又是负数
B ．O 是最小的正数
C ．0是最大的负数
D ．0既不是正数，也不是负数
6．给出下列各数：-3，0，+5，213
-，+3.1，21-，2004，+2008．
其中是负数的有 ……………………………………………………（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
B 组
1．零下15℃，表示为_________，比O ℃低4℃的温度是_________．
2．地图上标有甲地海拔高度30米，乙地海拔高度为20米，丙地海拔高度为-5米，其中最
高处为_______地，最低处为_______地．
3．“甲比乙大-3岁”表示的意义是______________________．
C 组
1．写出比O 小4的数，比4小2的数，比-4小2的数．
2．如果海平面的高度为0米，一潜水艇在海水下40米处航行，一条鲨鱼在潜水艇上方10
米处游动，试用正负数分别表示潜水艇和鲨鱼的高度．
正数 负数(2)
一、学前准备
通过上节课的学习,我们知道在实际生产和生活中存在着两种不同意义的量,为了区分
它们,我们用正数和负数来分别表示它们.
问题1：“零”为什么即不是正数也不是负数呢?
思考讨论,借助举例说明.参考例子:温度表示中的零上,零下和零度.
二.探究理解 解决问题
问题2：先分析，再独立完成
例 (1)一个月内,小明体重增加2kg,小华体重减少1kg,小强体重无变化,写出他们这个
月的体重增长值;
(2)2001年下列国家的商品进出口总额比上一年的变化情况是:
美国减少6.4%, 德国增长1.3%, 法国减少2.4%, 英国减少3.5%,
意大利增长0.2%, 中国增长7.5%.
写出这些国家2001年商品进出口总额的增长率.
三、巩固练习
从0表示一个也没有,是正数和负数的分界
用正负数表示加工允许误差.
问题:1.直径为30.032mm 和直径为29.97的零件是否合格?
2.你知道还有那些事件可以用正负数表示允许误差吗?请举例.
四、练习
1）.甲冷库的温度是-12°C,乙冷库的温度比甲冷酷低5°C,则乙冷库的温度是 .
2.）一种零件的内径尺寸在图纸上是9±0.05(单位:mm),表示这种零件的标准尺寸是9mm,
加工要求最大不超过标准尺寸多少?最小不小于标准尺寸多少?
有 理 数
一、探究新知
1、通过两节课的学习,我们已经将数的范围扩大了,那么你能写出3个不同类的数吗?.
问题1：任意写出9个数，再将这9个数做一下分类..
该分为几类，又该怎样分呢？先分组讨论交流，再写出来
分为 类，分别是：
引导归纳：
统称为整数， 统称为有理数.
问题2：我们是否可以把上述数分为两类?如果可以,应分为哪两类?
2、正数集合与负数集合
所有的正数组成 集合，所有的负数组成 集合
二、知识应用
把下列各数填入它所属于的集合的圈内: 15, -91, -5, 152, 813-
, 0.1, -5.32, -80, 123, 2.333.
正整数集合 负整数集合
正分数集合 负分数集合
三、引导归纳
有理数分类
???????????????负分数负整数负有理数零
正分数正整数正有理数有理数 或者
?????????????????正整数整数零负整数有理数正分数分数负分数
四、练习
1、下列说法中不正确的是……………………………………………（ ）
A ．-3.14既是负数，分数，也是有理数
B ．0既不是正数，也不是负数，但是整数
c ．-2000既是负数，也是整数，但不是有理数
D ．O 是正数和负数的分界
2、在下表适当的空格里画上“√”号
数轴
一、创设情境，引入新课
1、观察下面的温度计,读出温度.分别是°C、°C、°C.
2、在一条东西向的马路上,有一个汽车站,汽车站东3m和7.5m处分别有一棵柳树和一棵杨树,汽车站西3m和4.8m处分别有一棵槐树和一根电线杆,试画图表示这一情境?
东
汽车站
请同学们分小组讨论，交流合作，动手操作
二、合作交流，探究归纳
1、由上面的两个问题，你受到了什么启发？能用直线上的点来表示有理数吗？
2、自己动手操作，看看可以表示有理数的直线必须满足什么条件？
1）、画数轴需要三个条件，即、方向和长度.
2）数轴：
有理数整数分数正整数负分数自然数-9是
-2.35是
O是
+5是
三、动手操作，学用新知
2、利用上面的数轴表示下列有理数
1.5，—2， 2，—
2.5，9
2，
2
3
-
， 0.
四、寻找规律，探究新知
1、观察数轴，哪些数在原点的左边，哪些数在原点的右边，由此你有什么发现？
2、每个数到原点的距离是多少？由此你又有什么发现？
五、巩固练习
1.在数轴上,表示数-3,
2.6,5
3
-
,0,3
1
4
,3
2
2
-
,-1的点中,在原点左边的点有个.
2. 写出数轴上点A,B,C,D,E所表示的数:
3、在数轴上点A表示-4,如果把原点O向负方向移动1个单位,那么在新数轴上点A表示的数是( )
A.-5，
B.-4
C.-3
D.-2
4、你觉得数轴上的点表示数的大小与点的位置有关吗?为什么?
相反数
一、学前准备
1、请把下列四个数分成两类，再说说你这样分的理由： 5，—2，—5，2
2、把上面的四个数画在数轴上，请观察它们表示的点具有的特征是
.换成2.5和—2.5试试，怎么样？
从上面问题可以看出，一般地，如果a是一个正数，
那么数轴上与原点的距离是a的点有两个，即一个表示a，另一个是，它们分别在原点的左边和右边，我们说，这两点关于原点对称.
二、探究新知
1、相反数的概念
像2和—2、5和—5、2.5和—2.5这样，只有
不同的两个数叫做互为相反数.
2、练习
1）、3.5的相反数是，—
1
1
5和是互为相反数，的相反数是73.24.
2）、a和互为相反数，也就是说，—a是的相反数
例如a=7时，—a=—7，即7的相反数是—7. a=—5时，—a=—（—5），“—（—5）”
读作“－5的相反数”，而—5的相反数是5，所以，—（—5）=5
你发现了吗，在一个数的前面添上一个“—”号，这个数就成了原数的
3）简化符号：－(＋0.75)= ，－(－68)= ，－(－0.5 )= ，－(＋3.8)= . 4）、0的相反数是 .
3、数轴上表示相反数的两个点和原点的距离 .
三、练习
1.分别写出下列各数的相反数：
2.
3.填空：
(1)－1.6是______的相反数，______的相反数是－0.2.
4.化简下列各数：
(1)－(－16)； (2)－(＋20)； (3)＋(＋50)；
5.填空：