暑假七年级数学复习班学习资料
2014年暑假七年级数学复习班学习资料（01）
理想文化教育培训中心 学生姓名:_________ 成绩____
一、知识点梳理
1、相交线：在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线就相交；这个公共点就叫做交点。
2、两直线相交，邻补角互补，对顶角相等。
3、垂线：如果两条相交线有一个夹角是直角，那么这两条直线互相垂直。
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
公理：垂线段最短。
4、三线八角：同位角、内错角、同旁内角。
二、典型例题
例1、如图 ， OC ⊥AB ，DO ⊥OE ，图中与∠COD 互余的角是 ，
若∠COD=600，则∠AOE= 0。 例2、如图，直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，则∠AOC 的对顶角是_____________， ∠AOD 的对顶角是_____________
例3、如图∠B 与∠_____是直线______和直线_______被直线_________所截的同位角。 例4、已知：如图，AB ⊥CD ，垂足为O ，EF 经过点O ，∠２＝４∠１，
求∠２，∠３，∠ＢＯＥ的度数。
三、强化训练
1.如图所示,∠1和∠2是对顶角的图形有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个 2.如图1所示,三条直线AB,CD,EF 相交于一点O,则∠AOE+∠DOB+∠COF 等于( ? ) A.150° B.180° C.210° D.120°
(1) (2) (3)
3.下列说法正确的有( )
①对顶角相等;②相等的角是对顶角;③若两个角不相等,则这两个角一定不是对顶角;④若两个角不是对顶角,则这两个角不相等.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
例3图
F C B A
F E
O
D
C B
A 321
4.如图2所示,直线AB和CD相交于点O,若∠AOD与∠BOC的和为236°,则∠AOC?的
度数为( ) A.62° B.118° C.72° D.59°
5.如图3所示,直线L
1,L
2
,L
3
相交于一点,则下列答案中,全对的一组是( )
A.∠1=90°,∠2=30°,∠3=∠4=60°;
B.∠1=∠3=90°,∠2=∠4=30
C.∠1=∠3=90°,∠2=∠4=60°;
D.∠1=∠3=90°,∠2=60°,∠4=30°
6.如图4所示,AB与CD相交所成的四个角中,∠1的邻补角是______,∠1的对顶角___.
(4) (5) (6)
7.如图4所示,若∠1=25°,则∠2=_______,∠3=______,∠4=_______.
8.如图5所示,直线AB,CD,EF相交于点O,则∠AOD的对顶角是_____,∠AOC的邻补角是
_______;若∠AOC=50°,则∠BOD=______,∠COB=_______.
9.如图6所示,已知直线AB,CD相交于O,OA平分∠EOC,∠EOC=70°,则∠
BOD=?______.
10.对顶角的性质是______________________.
11.如图7所示,直线AB,CD相交于点O,若∠1-∠2=70,则∠BOD=_____,∠2=____. (7) (8) (9)
12.如图8所示,直线AB,CD相交于点O,OE平分∠AOC,若∠AOD-∠DOB=50°,?则∠
EOB=______________.
13.如图9所示,直线AB,CD相交于点O,已知∠AOC=70°,OE把∠BOD分成两部分,?
且∠BOE:∠EOD=2:3, 则∠EOD=________.
（三）、训练平台:(每小题10分,共20分)
1.如图所示,AB,CD,EF交于点O,∠1=20°,∠BOC=80°,求∠2的度数.
2.如图所示,L
1,L
2
,L
3
交于点O,∠1=∠2,∠3:∠1=8:1,求∠4的度数.
（四）、提高训练:(每小题6分,共18分)
1.如图所示,AB,CD相交于点O,OE平分∠AOD,∠AOC=120°,求∠BOD,∠AOE?的度数.
2.如图所示,直线AB与CD相交于点O,∠AOC:∠AOD=2:3,求∠BOD的度数.
3.如图所示,直线a,b,c两两相交,∠1=2∠3,∠2=65°,求∠4的度数.
2014年暑假七年级数学复习班学习资料（02）理想文化教育培训中心学生姓名:_________ 成绩____
一、知识点梳理
1、平行线：在同一平面内，如果两条直线没有公共点，那么这两条直线就互相平行。
2、公理：经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。
3、性质：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
4、平行线的判定：（1）同位角相等，两直线平行；
（2）内错角相等，两直线平行；
（3）同旁内角互补，两直线平行。
5、垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
6、平行线的性质：（1）两直线平行，同位角相等；
（2）两直线平行，内错角相等；
（3）两直线平行，同旁内角互补。
二、典型例题：
例1、 如图1，直线AB 分别交直线EF ，CD 于点M ，N 只需添一个条件
就可得到EF ∥CD(只写出一个即可)。
例2、推理填空：
如图2： ① 若∠1=∠2
则 ∥ （ ）
若∠DAB+∠ABC=1800
则 ∥ （ ）
② 当 ∥ 时
∠ C+∠ABC=1800 （ ）
当 ∥ 时
∠3=∠C （ ）
例3、已知：如图，ＡＢ∥ＣＤ，ＥＦ交ＡB 于G ，交CD 于F ，FH 平分∠EFD ，交AB
于H ，∠AGE=500. 求：∠BHF 的度数。
二、强化训练
1、如图（1），若=∠=∠=∠+∠1,65,18000则C B A ０，∠２＝ ０
2、如图（2），ＡＢ∥ＣＤ，∠Ａ＝４８０，∠Ｃ＝２９０，则∠ＡＥＣ＝ 度。
3、如图（3
），ＡＢ∥ＣＤ，则∠１＋∠２＋∠３＋……＋∠2n=
度。
N M F E D C B A 321D C B A
图（1） 2 1
D
C
B
A
A 2850 a
C
b B 图（5） 4、如图（4），Ｄ是ＡＢ上一点，ＣＥ∥ＢＤ，ＣＢ∥ＥＤ，ＥＡ⊥ＢＡ于点Ａ，
若∠ＡＢＣ＝３８０，则∠ＡＥＤ＝
０ 5、如图（5），直线a ∥b ，则∠ACB=_______。 4521l 1l 23 图（6） 图（7）
6、如图（6），请你写出一个能判定l 1∥l 2的条件： _______.
7、如图（7），一个零件ABCD 需要AB 边与CD 边平行，现只有一个量角器，测得拐角
∠ABC=120°，∠BCD=60°这个零件合格吗_
_________填（“合格”或“不合格”）
8、如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直（或平行），那么这两个角的关系是
_________。
9、已知，如图（8），N M AED BAE ∠=∠=∠+∠,1800
试说明：21∠=∠
解：∵ ∠ＢＡＥ＋∠ＡＥＤ＝１８００（ ）
∴ （ ）____（ ）
∴ ∠ＢＡＥ＝ （ ）
又 ∵ ∠Ｍ＝∠Ｎ （ ） ∴ ∥ （ ） 图（8）
∴ ∠ＭEA ＝ （ ）
∴ ∠ＢＡＥ－∠N ＡＥ＝ －
即 ∠１＝∠２（ ）
10、一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这
两次拐弯的角度可能是（ ）
A 、第一次向左拐300，第二次向右拐300 ;
B 、第一次向右拐500，第二次向
左拐1300;
C 、第一次向右拐500，第二次向右拐1300 ;
D 、第一次向左拐500，第二次向左
拐1300.
C B
D A M N
E 21D
C B A
11、如图（10），AB ∥CD ，那么∠A+∠C+∠AEC ＝（ ）
A ．360°
B ．270°
C ．200°
D ．180°
图（11） 图（12） E 在AC 的延长线上，下列条件中能判断．．．CD AB //（ ）
A. 43∠=∠
B. 21∠=∠
C. DCE D ∠=∠
D. 180=∠+∠ACD D
13、 如图（12）所示，BE 平分ABC ∠，BC DE //，图中相等的角共有（ ）
A. 3对
B. 4对
C. 5对
D. 6对
14、如图（13），DH ∥EG ∥BC ，且DC ∥EF ，那么图中和∠1相等的角的个数是（ ）
A 、2
B 、4
C 、5
D 、6
15、如图（14），如果AB ∥CD ，CD ∥EF ，那么∠BCE 等于（ ）
A 、∠1+∠2
B 、∠2-∠1
C 、 180-∠2 +∠1
D 、 180-∠1+∠2
16、如图（15），一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而 过，如果第一次拐弯的角
∠A 是120°，第二次拐弯的角∠B 是150°，第三次拐弯的角是∠C ，这时道路恰好
和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C 是（ ）
A 、120°
B 、130°
C 、 140°
D 、 150°
图（15） ∠ＢＡＤ＝∠ＢＣＤ，则下列结论：=∠ＡＣＢ正确
Ａ、１个 Ｂ、２个 Ｃ、３个 Ｄ、４个
（三）解答题：
18、填写推理的理由：
已知，ＡＢ⊥ＭＮ，ＣＤ⊥ＭＮ，垂足为Ｂ、Ｄ，ＢＥ、ＤＦ分别平分
∠ＡＢＮ，∠ＣＤＮ。
求证：∵ＡＢ⊥ＭＮ，ＣＤ⊥ＭＮ E D C B A
E D C B
A 4321H C 1G D F E
B A
图（16） 2 1 D
C
B
A
∴∠ＡＢＤ＝∠ＣＤＮ＝９０°
∵ＢＥ、ＤＦ分别平分∠ＡＢＮ、∠ＣＤＮ
∴∠１＝ ，∠２＝ （ ）
∴ ＝
∴ＢＥ∥ＤＦ（ ）
∴∠Ｅ＋∠Ｆ＝１８０°（ ）
19、如图ＡＢ∥ＣＤ，∠ＮＣＭ＝９０°，∠ＮＣＢ＝３０°，ＣＭ平分∠ＢＣＥ，
求∠B 的大小。
20、已知，ＡＢ∥ＣＤ，分别探讨四个图形中∠ＡＰＣ，∠ＰＡＢ，∠ＰＣＤ的关系，
请你从所得四个关系中任选一个加以证明。
2014年暑假七年级数学复习班学习资料（03） 理想文化教育培训中心 学生姓名:_________ 成绩____ 一、知识点梳理
1、命题：判断一件事情对或错的句子。 命题分为题设和结论两部分，每一个命题都可以写成“如果……那么……”的形式。
2、定理：经过人们的证明、推理等得到的是正确的命题。
3、公理 ：经过人们的实践检验得到的正确的命题，公理不需要证明。
4、图形的平移，只改变图形的位置，不会改变图形的形状和大小。
二、强化训练
(一)选择题：（3分×8=24分）
1．命题 ：①对顶角相等；②垂直于同一条直线的两直线平行；③相等的角是对顶角；
④ 同位角相等。 其中错误的有（ ）
Ａ、1个 Ｂ、２个 Ｃ、３个 Ｄ、 ４个
2．如图 直线ＡＢ、ＣＤ相交于点Ｏ，ＯＥ⊥ＡＢ于Ｏ，∠ＤＯＥ＝５５°，
则∠ＡＯＣ的度数为（ ）
Ａ、４０° Ｂ、４５° Ｃ、３０° Ｄ、３５°
3．如图两条非平行的直线AB ，CD 被第三条直线EF 所截，交点为PQ ，那么这条直线将
所在平面分成（ ）
N M 21F E D
C B A （3）
P D C B
A （4）P
D C B A
A 、 5个部分
B 、 6个部分
C 、7个部分
D 、 8个部分 ４．如图ＡＢ∥ＣＤ，ＡＣ⊥ＢＣ，图中与∠ＣＡＢ互余的角有（ ） Ａ、１个 Ｂ、２个 Ｃ、３个 Ｄ、４个
5．如图下列条件中，不能判断直线l l 21//的是（ ）
Ａ、∠１＝∠３ Ｂ、∠２＝∠３
Ｃ、∠４＝∠５ Ｄ、∠４＋∠２＝１８０°
6．如图已知∠１＝∠２，∠ＢＡＤ＝∠ＢＣＤ，则下列结论⑴ＡＢ∥ＣＤ
⑵ＡＤ∥ＢＣ⑶∠Ｂ＝∠Ｄ⑷∠Ｄ=∠ＡＣＢ正确的有（ ）
Ａ、１个 Ｂ、２个 Ｃ、３个 Ｄ、４个
7．如果两条直线被第三条直线所截，那么一组内错角的平分线（ ）
Ａ、互相垂直 Ｂ、互相平行 Ｃ、互相重合 Ｄ、 以上均不正确
8．如图已知∠１＋∠３＝１８０°，则图中与∠１互补的角还有（ ）
Ａ、１个 Ｂ、２个 Ｃ、３个 Ｄ、４个
(二)填空题（2分×18=36分）
9．如图点Ｏ是直线ＡＢ上的一点，ＯＣ⊥ＯＤ，∠ＡＯＣ－∠ＢＯＤ＝２０°，
则∠ＡＯＣ＝ 10．如图，∠2011．如图a//b,∠４＝
12是 和_ 13．现有一张长４０，宽２０的长方形纸片，要从中剪出长为１８，宽为１２的长方形纸片，最多能剪出 张
(三) 操作题:
14．在方格中平移△ＡＢＣ， ① 使点Ａ移到点Ｍ，使点Ａ移到点Ｎ
② 分别画出两次平移后的三角形
（四）解答题：
15．如图，∠1=300，∠B=600，AB ⊥AC
① ∠DAB+∠B= 0 5
第（5）题L 2L 14321第（6）题21D C B A 8765第（8）题
43211D
C
B A
② AD 与BC 平行吗？试说明理由。
16．已知：如图AE ⊥BC 于点E ，∠DCA=∠CAE ，试说明：CD ⊥BC 。
17．对于同一平面的三条直线，给出下列５个论断， ①a ∥b ②b ∥c ③a ⊥b ④a ∥c ⑤a
⊥c 以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题。
已知： 结论
理由：
18．如图已知∠１＝∠２，再添上什么条件，可使ＡＢ∥ＣＤ成立（至少写出四组条
件，其中每一组条件均能使ＡＢ∥ＣＤ成立）
并说明理由。
19. 已知：如图∠1=∠2，∠C=∠D ，∠A=∠F 相等吗？试说明理由。
附加题：
20．如图已知ＡＢ、ＢＥ、ＥＤ、ＣＤ依次相交于Ｂ、Ｅ、Ｄ，
∠Ｅ＝∠Ｂ＋∠Ｄ。
试说明ＡＢ∥ＣＤ 2014年暑假七年级数学复习班学习资料（04） 理想文化教育培训中心 学生姓名:_________ 成绩____ 本节主要内容是有关相交线与平行线的计算和证明的一节专题复习课，也是这一
章的难点和重点。
例1、填写推理理由：
如图AB ∥CD ∠1=∠2
，∠3=∠4，试说明：AD ∥BE
解：∵AB ∥CD （已知）
∴∠4=∠_____（ ）
∵∠3=∠4（已知）
∴∠3=∠_____（ ）
∵∠1=∠2（已知） 21E N
M C F D B A
E
C D
B A E
C B
∴∠ 1+∠CAF=∠2+∠CAF （ ）
即 ∠_____ =∠_____（ ）
∴∠３＝∠_____
∴ＡＤ∥ＢＥ（ ）
课堂练习1：
填写推理理由：
1. 如图，填空：
⑴∵1A ∠=∠（已知）
∴_____________（ ）
⑵∵2B ∠=∠（已知）
∴_____________（ ）
⑶∵1D ∠=∠（已知）
∴______________（ ）
例2、如图：已知；ＡＢ∥ＣＤ，ＡＤ∥ＢＣ，∠Ｂ与∠Ｄ相等吗？试说明理由。
课堂练习2：
（1）如图a ∥b,∠1与∠2互余，试说明：①∠2+∠4=1800 ；②∠2+∠3=900。
（2）如图，直线a 、b 被直线c 所截,已知∠1=1180，∠2=720，试说明：a ∥b 。
例2、 已知：如图ＡＢ∥ＣＤ，ＥＦ交ＡB 于G ，交CD 于F ，FH 平分∠EFD ，交AB 于H ，
∠BHF=1100。求：∠AGE 的度数。
课堂练习3： 如图，Ｄ是ＡＢ上一点，ＣＢ∥ＥＤ，ＥＡ⊥ＢＡ于点Ａ，若∠ＡＢＣ＝３８0，
求:∠ＡＥＤ的度数。
强化训练：
1、如图，AOC ∠与BOC ∠是邻补角，OD 、OE 分别是AOC ∠与BOC ∠的平分线，试判
断OD 与OE 的位置关系，并说明理由．
2、如图，已知：D 、E 、F 分别是BC 、CA 、AB 上的点，DE ∥BA ，DF ∥CA 。
求证：∠FDE ＝∠A 。
3、如图6，BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ，且MN ∥BC ，设AB ＝12，BC ＝24，AC ＝18，
求△AMN 的周长。 H G F E D
C B
A
4、如下图，EO ⊥AB 于O ，直线CD 过O 点，∠EOD ∶∠EOB=1∶3，求∠AOC 、∠AOE 的度
数.
5、如图，已知：∠B+∠BED+∠D=360°.求证：AB ∥CD.
6、图形的操作过程(本题中四个矩形的水平方向的边长
为a ，竖直方向的边长b)
?在图甲中，将线段21A A 向右平移1个单位得到
21B B ，得到封闭图形21A A 21B B (即阴影部分)；
?在图乙中， 将折线321A A A 向右平移1个单位得到321B B B ，得到封闭图形
321A A A 321B B B (即阴影部分)；
(1)在图丙中，请你类似的画一条有两个折点的折线，同样向右平移一个单位，从
而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影；
(2)请你分别写出上述三个图形中阴影部分的面积:
=1S _________；=2S __________；=3S ___________．
(3)联想与探索:如图丁，在一个矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路(小路任何地
方的水平宽度都是1个单位)，请你猜想空白部分表示的草地面积是多少?并说明
你猜想的正确性．
2014年暑假七年级数学复习班学习资料（05） 理想文化教育培训中心 学生姓名:_________ 成绩
____ 一、知识点梳理：
1、平方根：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根(二次方根)．
若a x =2
)(0≥a ，则х叫做a 的平方根．即x ＝a ± 2、立方根： 如果一个数的立方等于a ，这个数就叫做a 的立方根．(也称数a 的三次
方根)
若x 3
=a ，则x 叫做a 的立方根，或称x 叫做a 的三次方根。即x ＝3a A 1 A 2 B 1
B 2 甲 A 1 A 2 B 1 B 2 乙 A 3 B 3 丙 丁 草地 草地
3、两个重要公式：==a a 2)
1( )0(≥a a （2）a a =33
二、典型例题： 例1：若9x 2=，那么(4-x)的算术平方根是多少？
例2： 已知x 的平方根是2a+3和1-3a ，y 的立方根为a ，求x+y 的值．
例3：（1）已知a 是7的整数部分，b 是7的小数部分，求22)2b ()a (++-的值。
（2）已知（x-1）2+│x-y+z+1│=0，求x+y+z 的平方根．
例4：求下列各式中的x 的值：
（1）()23216x += （2）31(21)42
x -=-
三、强化训练：
1. 81 的算术平方根是 （ ）
A ．9 B.－9 C. 9 D. 3
2. 下列各数中，不是无理数的是 （ ）
A. 7
B. 0.5
C. 2π…
3. 一个数若有两个不同的平方根，则这两个平方根的和为（ ）
A 、大于0
B 、等于0
C 、小于0
D 、不能确定
4. 下列说法错误的是（ ）
A. 1的平方根是±1
B. –1的立方根是–1
C. 2是2的算术平方根
D. –3是2)3(-的平方根
5.下列说法正确的是（ ）
A.064.0-的立方根是0.4
B.9-的平方根是3±
C.16的立方根是316
6. 下列说法中正确的是 （ ）
A. 实数2a -是负数
B. a a =2
C. a -一定是正数
D. 实数a -的绝
对值是a
7. 144的算术平方根是 ，16的平方根是 ； 8.327= ， 64-的立方根是 ； 9、7的平方根为 ，21.1= ；
10、一个数的平方是9，则这个数是 ，一个数的立方根是1，则这个数是 ；
11、平方数是它本身的数是 ；平方数是它的相反数的数是 ；
12、若164=x ，则x= ；若813=n ，则n= ；
13、若0|2|1=-++y x ，则x+y= ；
14、计算：38169
2553+-= ； 15、求下列各式的值：
（1）22225-+ （2）49.0381003?-?
（3） 233221-+-+- （4）
16、求下列各式中的x 的值：
（1）0492=-x ； （2）0142=-x ； (3) 164
61)21(3=-+x 17、若一正数a 的两个平方根分别是2m-3和5-m,求a 的值。
18、实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，请化简：22b a a --．
19、一个正方体的体积是16 ,另一正方体的体积是这个正方体体积的4倍，求另一
个正方体的表面积。
20、观察下列等式：
第1个等式：1111133
a 12=
=?-?（）； 第2个等式：21113521a 35
=?-?=（）； 第3个等式：31115721a 57
=?-?=（）； 第4个等式：41117921a 79=?-?=（）； …
请解答下列问题：
（1）按以上规律列出第5个等式：a 5= = ； （2）用含有n 的代数式表示第n 个等式：a n = = （n 为正整数）；
（3）求a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 100的值． 2014年暑假七年级数学复习班学习资料（06）
理想文化教育培训中心 学生姓名:_________ 成绩____
一、选择题:
1．4的算术平方根是（ ）
A ．2±
B ．2
C ．2±
D ．2
2、下列实数中,无理数是 （ ） A.4 B.2π C.1
3 D.1
2
3．下列运算正确的是（ ）
A 、39±=
B 、33-=-
C 、39-=-
D 、932=-
4、327-的绝对值是（ ）
A ．3
B ．3-
C ．13
D ．1
3-
5、若使式子2x -在实数范围内有意义．．．，则x 的取值范围是
A ． 2x ≥
B ．2x >
C ．2x <
D ．2x ≤
6、若x y ，为实数，且220x y +-=，则2009
x y ?? ???
的值为（ ）
A ．1
B ．1-
C ．2
D ．2-
7、有一个数值转换器，原理如图，当输入的x 为64时，输出的y 是（
）
A 、8
B 、22
C 、32
D 、23
8．若225a =，3b =，则a b +=（ ）
A ．-8
B ．±8
C ．±2
D ．±8或±2
二、填空题:
9、9的平方根是 .
10、在3，0，2-，2四个数中，最小的数是
112(3)3a a -=-，则a 与3的大小关系是
12、请写出一个比5小的整数 ． 13、计算：=---0123）（ 。 14、如图2，数轴上表示数3的点是 . 15、化简：32583-的结果为 。
16、对于任意不相等的两个数a ，b ，定义一种运算※如下：a ※b =b a b a -+，如3※2=
52323=-+．那么12※4= ． 三、计算:
17（1）计算：0
133163??--+ ???． （2）计算：31804+- 18、将下列各数填入相应的集合内。
－7，0.32, 1
3，0，8，12
，3125，π… ①有理数集合｛ … ｝
②无理数集合｛ … ｝
③负实数集合｛ … ｝
19、求下列各式中的x
（1）x 2 = 17； （2）x 2 -12149
= 0。 20、实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，请化简：22b a a --．
21、写出所有适合下列条件的数：
（1）大于17-11
（218
22622136+---
23、一个正数x 的平方根是2a -3与5-a ，则a 是多少？
24、若0)13(12=-++-y x x ，求25y x +的值。
25、已知2a-1的平方根是±6， 3a+b-1的算术平方根是8，求a+2b 的平方根
26、比较大小
21
6-
21
2+
.
; 填“>”或“<”)
27、观察下列各式及其验算过程：
验证：====
验证：====
按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想
证;
针对上述各式反映的规律，写出用n（n为任意自然数，且2
n≥）表示的等
式，并给出证明。
2014年暑假七年级数学复习班学习资料（07）理想文化教育培训中心学生姓名:_________ 成绩____
一、知识点梳理：
1、平面直角坐标系：在平面内两条互相垂直，原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
2、点在平面直角坐标系的位置：设P（a , b）
（1）若a>0,b>0,则点P在第一象限；(+ ,+ ) （2）若a<0,b>0,则点P在第二象限；(- , + )
（3）若a<0,b<0,则点P在第三象限；(- , - ) （4）若a>0,b<0,则点P在第四象限；(+,- )
(5)若a≠0,b=0，则点P在x轴上; (6)若a=0,b≠0, 则点P在y轴上;
(7) 若a=0,b=0, 则点P为原点;
例1：（1）已知点A（-2，0）B（4，0）C（-2，-3）。
①求A、B两点之间的距离。②求点C到X轴的距离。③求△ABC的面积。
（2）在平面直角坐标系中，点(-1,2
m +1)一定在( )
A、第一象限
B、第二象限
C、第三象限
D、第四象限
（3）点P（m+3,m+1）在x轴上，则点p坐标为（）
A（0，-4） B（4，0） C（0，-2） D（2，0）
4、（1）点P（a,b）关于x对称的点的坐标为（ a ,-b）；
（2）点P（a,b）关于y对称的点的坐标为（-a , b）；
（3）点P（a,b）关于原点对称的点的坐标为（-a ,-b）；
例2：（1）点A(-3,4)关于y轴的对称点的坐标是：
（2）已知P(X, Y) Q(a,b)若X+ a=0，Y- b=0，那么P、 Q（）
A、关于原点对称
B、关于x轴对称
C、关于y轴对称
D、无对称关系
（3）如果点A（a，b）在第三象限，则点B（－a+1,3b－5）关于原点的对称点是( ) A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
【课堂练习1】
（1）点M在第四象限，它到x轴、y轴的距离分别为8和5，则点M的坐标为（）A（8，5） B（5，-8） C（-5，8） D（-8，5）
（2）点P（m+3,m+1）在x轴上，则点p坐标为（）
A（0，-4） B（4，0） C（0，-2） D（2，0）
（3）下列说法正确地有（）
①点（1，-a）一定在第四象限；②坐标上的点不属于任一象限；③横坐标为0的点在y轴上纵坐标为0的点在x轴上；④直角坐标系中，在y轴上且到原点的距离为5的点的坐标是（0，5）。
A 1个
B 2个
C 3个
D 4个
（4）①在平面直角坐标系中，作出下列各点，A（-3，4），B（-1，-2），O（0，0）
②求△ABO的面积。
3、用坐标表示平移：在平面直角坐标系中，将点（x , y）:
（1）向上平移a个单位长度，可以得到对应点(x , y + a );
（2）向下平移a个单位长度，可以得到对应点(x , y - a );
（3）向右平移a个单位长度，可以得到对应点(x + a, y );
（4）向左平移a个单位长度，可以得到对应点(x - a , y );
例3：（1）已知三角形的三个顶点坐标分别是（－1，4）、（1，1）、（－4，－1），现将这三个点先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后三个顶点的坐标是（）
A、（－2，2），（3，4），（1，7）
B、（－2，2），（4，3），（1，7）
C、（2，2），（3，4），（1，7）
D、（2，－2），（3，3），（1，7）
（2）三角形A’B’C’是由三角形ABC平移得到的，点A（－1，－4）的对应点为A’（1，－1），则点B（1，1）的对应点B’、点C（－1，4）的对应点C’的坐标分别为（）A、（2，2）（3，4） B、（3，4）（1，7） C、（－2，2）（1，7） D、（3，4）（2，－2）
（3）①如图如果图中四个点的横坐标不变，纵坐标都减小2，在直角坐标系中画出新图形并比较新图形与原图形有何关系？
②如果此图形中四个点的纵坐标不变，横坐标都乘-1，在直角坐标中画出新图形，并比较新图形与原图形有何关系。
三、强化训练
1、课间操时，小华、小军、小刚的位置如图，
小华对小网说，如果我的位置用（0，0）
表示，小军的位置用（2，1）表示，那么
小刚的位置可以表示成（）
A．（5，4） B．（4，5） C．（3，
4） D．（4，3）
2、如图，下列说法正确的是（）
A．A与D的横坐标相同。 B．C与D的横坐标相同。
C．B与C的纵坐标相同。 D．B与D的纵坐标相同。
3、若x轴上的点P到y轴的距离为3，则点P的坐标为（）
A．（3，0） B．（3，0）或（–3，0） C．（0，3） D．（0，3）或（0，–3）
4、小虫在小方格上沿着小方格的边爬行，它的起始位置是A（2，2）先爬到B（2，4），再爬到C（5，4），最后爬到D(5,6)，则小虫共爬了（）
A、7个单位长度
B、5个单位长度
C、4个单位长度
D、3个单位长度
5、线段CD是由线段AB平移得到的。点A（–1，4）的对应点为C（4，7），则点B（–4，– 1）的对应点D的坐标为（）
A．（2，9） B．（5，3） C．（1，2） D．（– 9，– 4）
6、一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（–1，–1）、（–1，2）、（3，
– 1），则第四个顶点的坐标为（）
A．（2，2） B．（3，2） C．（3，3） D．（2，3）
7、点M（-3，-5）向上平移7个单位到点M
的坐标为( )
1
A.(-3,2)
B.(-2,-12)
C.(4,-5 )
D.(-10,-5)
8、点M在y轴的左侧，到x轴，y轴的距离分别是3和5，则点M的坐标是（）
A.(-5,3) C．(5，3)或（-5，3） B。(-5，-3) D。(-5，3)或（-5，
-3）
9、一个正方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（－2，－3），（－2，1），（2，1），
则第四个顶点的坐标为（）
A、（2，2）；
B、（3，2）；
C、（2，－3）；
D、（2，3）
10、△DEF（三角形）是由△ABC平移得到的，点A（－1，－4）的对应点为D（1，－1），
则点B（1，1）的对应点E、点C（－1，4）的对应点F的坐标分别为（）
A、（2，2），（3，4）；
B、（3，4），(1，7)；
C、（－2，2），（1，7）
D、（3，4），（2，－2）
11、已知M（1,-2），N(-3,-2)则直线MN与x轴，y轴的位置关系分别为（）
A.相交，相交
B.平行，平行
C.垂直相交，平行
D.平行，垂直相
交
12、点A（m，n）满足＝
mn0，则点A在（）上
A、原点；
B、坐标轴；
C、x轴；
D、y轴
13、已知(a-1)2+︱b+2︱=0,P（-a,-b）的坐标为 _________。
14、如图，小强告诉小华图中A、B两点的坐标分别为（–3，5）、（3，5），小华一下
就说出了C在同一坐标系下的坐标。
15、在平面上有A、B两点，若以点B为原点建立平面直角坐标系，则点
A坐标为（2，3）；若以点A为原点建立平面直角坐标系，则点B的坐标
为_____________。
第14 16、如图，这是某市部分简图，请以火车站为坐标原点建立平面直角坐标系，
并分别写出各地的坐标。
17、如图所示，在直角梯形O ABC 中，CB ∥O A ，CB ＝8，O C ＝8，∠O AB ＝45°
（1）求点A 、B 、C 的坐标； （2）求△ABC 的面积
18、如图，四边形ABCD 各个顶点的坐标分别为 （– 2，8），（– 11，6），（– 14，
0），（0，0）。
（1）确定这个四边形的面积，你是怎么做的?
（2）如果把原来ABCD 各个顶点纵坐标保持不变，
横坐标增加2，所得的四边形面积又是多少？ 2014年暑假七年级数学复习班学
习资料（08）
理想文化教育培训中心 学
生姓名:_________ 成绩____
一、知识点梳理
1、二元一次方程组的概念：两个方程中含有两个未知数，并且未知数的次数都是一次
的两个方程组成方程组叫做二元一次方程组。
2、二元一次方程组的解法：代入消元法、加减消元法。
3、解二元一次方程组的思想：消元、降次。
二、典型例题
例1、（1）把方程2x －y －5＝0化成含y 的代数式表示x 的形式：x ＝ ．
（2）若y x n m -23和y x n 42-是同类项，则2m - n=________.
（3）若∣x －2y ＋1∣＋∣x ＋y －5∣＝0，则x ＝ ，y ＝ .
（4）下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）
A 、 ???==+5723xy y x
B 、 ???=+=+212z x y x
C 、 ?????=+=-243123y x y x
D 、 ?????=+=+322135y x y x
例2、用代入法解下列方程组：
（1）21,731;y x x y =-??-=? （2）34,25;x y x y =??-=-?
O C B A
例3、用加减法解下列方程组：
（1）3216,31;m n m n +=??-=? （2）234,443;x y x y +=??-=?
例3、有一只驳船，载重量是800吨，容积是795立方米，现在装运生铁和棉花两种物
资，生铁每吨的体积为0.3立方米，棉花每吨的体积为4立方米，生铁和棉花各装多
少吨，才能充分利用船的载重量和容积？
三、强化训练
1、用代入法解方程组310,35 2.x y x y +=??-=?
较简便的步骤是：先把方程________变形为__________，再代入方程___________，求得_________的值，然后再求________的
值．
2、用加、减法解方程组436,43 2.x y x y +=??-=?
，若先求x 的值，应先将两个方程组相_______；若先求y 的值，应先将两个方程组相________．
3、解一次方程组的基本思想是 ，基本方法是 和 。
4、二元一次方程52=+x y 在正整数范围内的解是 。
5、5+=x y 中，若3-=x 则=y _______。
4、由==--y y x y x 得表示用,,06911_______，=x x y 得表示,_______。
5、如果方程组???-=-=+1242a by x b y ax 的解是???-==11y x ，则=a ，=b 。
6、
7、若23x 5m+2n+2y 3与-34
x 6y 3m-2n-1的和是单项式，则m=_______，n=________． 8、用代入法解方程组2320,419x y x y +-=??+=?
的正确解法是（ ） A ．先将①变形为x=
322y -，再代入② B ．先将①变形为y=223
x -，再代入② C ．先将②变形为x=94y-1，再代入① D ．先将②变形为y=9（4x+1），再代入
初三数学暑假衔接班讲义(好)
目录 本次培训具体计划如下，以供参考： 第一讲如何做几何证明题 第二讲平行四边形（一） 第三讲平行四边形（二） 第四讲梯形 第五讲中位线及其应用 第六讲一元二次方程的解法 第七讲一元二次方程的判别式 第八讲一元二次方程的根与系数的关系 第九讲一元二次方程的应用 第十讲专题复习一：因式分解、二次根式、分式 第十一讲专题复习二：代数式的恒等变形 第十二讲专题复习三：相似三角形 第十三讲结业考试（未装订在内，另发） 第十四讲试卷讲评
第一讲：如何做几何证明题 【知识梳理】 1、几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。 2、掌握分析、证明几何问题的常用方法： （1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决； （2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止； （3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。 3、掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。 【例题精讲】 【专题一】证明线段相等或角相等 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。 【例1】已知：如图所示，?A B C 中，∠=?===C AC BC AD DB AE CF 90，，，。 求证：DE ＝DF 【巩固】如图所示，已知?A B C 为等边三角形，延长BC 到D ，延长BA 到E ，并且使AE ＝BD ，连结CE 、DE 。 求证：EC ＝ED F E D C B A
初三数学暑假班讲义第05讲一平行四边形综合-学案
初三数学暑假班讲义第05讲一平行四边形综 合-学案 高效提分源于优学 第05讲平行四边形温故知新问题1你能利用手中两张全等的三角形纸板拼出平行四边形吗请同学将拼出的六种形状不同的四边形展示在黑板上问题2观察拼出的这个四边形的对边有怎样的位置关系说说你的理由结合拼出的这个特殊四边形，给出平行四边形定义定义的几何语言表述ABCDADBC四边形ABCD是平行四边形课堂导入知识要点一 一.平行四边形的性质（1）平行四边形的概念定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 表示方法用符号“”表示，平行四边形记作“”。 （2）平行四边形的边.角性质边的性质平行四边形的对边平行；平行四边形的对边相等。 角的性质平行四边形的对角相等；平行四边形的邻角互补。 （3）两条平行线之间的距离两条平行线中，一条直线上任意一点到另外一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离。 （4）平行四边形的对角线的性质平行四边形的对角线互相平分。.（5）平行四边形的周长与面积面积公式平行四边形的面积
底高；等底等高的平行四边形的面积相等；平行四边形的周长等于两邻边和的2倍。 二.平行四边形判定方法（1）从边看两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（2）从角看两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（3）从对角线看对角线互相平分的四边形是平行四边形。 三.三角形的中位线（1）定义连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；（2）中位线定理三角形的中位线平行于三角形的 第三边，并且等于第三边的一半。 典例分析例 1.如图，在平行四边形ABCD中，ABC的平分线交AD于E，BED150，则A的大小为（）A150B130C120D100例 2.如图，ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD8，BD12，AC6，则OBC的周长为（）A13B17C20D26例 3.已知四边形ABCD是平行四边形，对角线A C.BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是（）AOEDCBOAOCCBOEOBADOBEOCE例 4.如图，在ABCD中，E为边CD上一点，将ADE沿AE折叠至ADE处，AD与CE交于点F若B52，DAE20，则FED的大小为例
初中九年级数学竞赛培优讲义全套专题01 二次根式的化简与求值-精编
专题01 二次根式的化简与求值 阅读与思考 二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、换元等技巧. 有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是： 1、直接代入 直接将已知条件代入待化简求值的式子. 2、变形代入 适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值. 数学思想： 数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展. =x , y , n 都是正整数） 例题与求解 【例1】 当12 x += 时，代数式32003 (420052001)x x --的值是（ ） A 、0 B 、－1 C 、1 D 、2003 2- （绍兴市竞赛试题） 【例2】 化简 （1(b a b ab b -÷-- （黄冈市中考试题） （2 （五城市联赛试题）
（3 （北京市竞赛试题） （4 （陕西省竞赛试题） 解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解. 思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度. 【例3】比6大的最小整数是多少？ （西安交大少年班入学试题） 解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设x y == 想一想：设x=求 432 32 621823 7515 x x x x x x x --++ -++ 的值. （“祖冲之杯”邀请赛试题） 的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式.
中考数学九年级寒假尖子班专题讲义
第一单元：数与式………………………………………………………………………… 第一关：规律探究 (5) 第二关：数与式求值……………………………………………………………… 第三关：解方程与不等式（组）………………………………………………… 第四关：方程应用 (12) 第二单元：函数………………………………………………………………………… 第一关：利用图象求解相关题型 (16) 1-1 利用图象求值 (16) 1-2 利用图象判断式子的正误 (1) 1-3 双图象问题 (2) 第二关：函数解析式求法……………………………………………………… 第三关：函数与实际问题……………………………………………………… 第四关：函数综合………………………………………………………………第三单元：几何………………………………………………………………………… 第一关：三角形………………………………………………………………… 1-1 三角形三线…………………………………………………………… 1-2 等腰及直角三角形相关计算与证明…………………………… 1-3 全等三角形……………………………………………………………
1-5 解直角三角形 (56) 第二关：四边形 (60) 第三关：圆 (68) 第四单元：专题复习 (77) 专题一：新定义问题 (77) 专题二：动点问题 (88) 专题三：中考作图题 (103) 专题四：阅读理解问题 (108)
一、考点透视 1. 能结合实例理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小. 2. 能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数与绝对值. 3. 能利用数轴解决与实数有关的问题. 4. 能说出乘方的意义，能运用法则进行实数的混合运算，会用科学记数法表示一个大数. 5. 会求一个数的算术平方根、立方根、会估计一个无理数的大小. 6. 会分析简单问题中的数量关系(含探索规律),并能用代数式表示. 7. 会求代数式的值,知道代数式的值随其中字母取值的变化而变化. 8. 会进行整式的加,减运算,会进行整式乘法运算. 9. 能运用提取公因式法,公式法进行因式分解,体会数学中等值变形的方法. 10. 能正确运用两个乘法公式进行整式运算,并能解释两个公式的几何背景. 11. 了解分式的概念,能求出分式值为零时字母的值,知道分式无意义的条件. 12. 会利用分式的基本性质进行通分与约分,会进行分式加、减、乘、除运算;会进行分式的混合 运算与分式的化简求值. 13. 了解二次根式的概念、性质及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四 则运算. 14. 理解合并同类项与合并同类二次根式之间的关系. 15. 能举例说明一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程（组）及其根的概念，会将一元二 次方程化成一般形式. 16. 能正确观察利用一次函数的图象得到相应一元一次方程的近似解, 了解二元一次方程组的 图象解法感受它们的关系. 17. 理解配方法,会用因式分解、配方法、公式法求简单系数的一元二次方程. 第一章 数与式
高一物理暑假目标班讲义第3讲匀变速直线.教师版
28 第一级（上）·第3讲·目标班·教师版 教师版说明：这里介绍打点计时器，主要是为了在处理纸带数据时，引出匀变速直线运动的两个推论，并不打算详细的讲实验操作和数据处理，因此，对数据只进行简单计算，没有讨论误差分析的事情，也没有讲逐差法。 **************************************************************************************** 1．用打点计时器研究匀变速直线运动的速度、加速度 ⑴ 电磁打点计时器原理 电磁打点计时器是一种能够按照相同的时间间隔，在纸带上连续打点的仪器。它使用交流电源，由学生电源供电，工作电压在6V 以下，电源的频率是50Hz 时，它每隔0.02s 打一个点。 电磁打点计时器的构造如图所示。通电之前，把纸带穿过限位孔，再把套在轴上的复写纸片压在纸带的上面。接通电源后，在线圈和永久磁铁的作用下，振片便振动起来，带动其上的振针上下振动。这时，如果纸带运动，振针就通过复写纸在纸带上留下一行小点。 如果把纸带跟运动的物体连在一起，即由物体带动纸带一起运动，纸带上各点之间的距离就表示相应时间间隔中物体的位移。由这些点的位置，我们可以了解物体的运动情况。 ⑵ 电磁打点计时器使用方法 ① 将纸带穿过限位孔，复写纸套在定位轴上，并压在纸带上。 ② 在打点计时器的两接线柱上分别接上导线，两根导线的另一端分别接低压交流电源（4~6V ）的两个接线柱。 ③ 先打开电源开关，再使纸带按实验需要运动，纸带上被打下许多小点。 ④ 取下纸带，从能看清楚的点算起，标出点数，根据不同实验的要求，取出计数点（一般以每 3.1 匀变速直线运动的两个推论 知识点睛 第3讲 匀变速直线 运动的应用 在前两讲，我们学习了一些运动学的概念和规律，下面我们介绍一种在实验室
九年级数学总复习讲义
九年级数学总复习讲义 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
九年级数学总复习讲义 班级： 姓名： 一、选择题（每小题3分，共24分） 1．3-的倒数为（ ） A.3- B.31 C.3 D. 3 1- 2．下列运算正确的是（ ） A.623a a a =? B. 632)(a a -=- C. 33)(ab ab = D.428a a a =÷ 3． A.810305.4?亩 B. 610305.4?亩 C. 71005.43?亩 D. 710305.4?亩 4．下面四个几何体中，主视图与其它几何体的主视图不同的是（ ） A. B. C. D. 5．下列函数中，y 随x 增大而增大的是（ ） A.x y 3-= B. 5+-=x y C. x y 21-= D. )0(2 12<=x x y 6．下列命题：①正多边形都是轴对称图形；②通过对足球迷健康状况的调查可以了解我国公民的健康状况；③方程1 312112-=+--x x x 的解是0=x ；④如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等。其中真命题的个数有（ ） 个 个 个 个 7．一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm 、30cm 、36cm ，要估做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27cm 、45cm 的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边。截法有（ ） 种 B. 1种 C. 2种 D. 3种
8．已知m m Q m P 158,11572-=-=（m 为任意实数），则P 、Q 的大小关系为( ) A.Q P > B. Q P = C. Q P < D.不能确定 二、填空题（每小题3分，共30分） 9．数据-1，0，2， -1，3的众数为 ． 10．不等式642-
九年级数学锐角三角函数(学生讲义)之欧阳光明创编
锐角三角函数与解直角三角形 欧阳光明（2021.03.07） 【考纲要求】 1.理解锐角三角函数的定义、性质及应用，特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现； 2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB 记为c，叫做斜边． 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即 sin A a A c ∠ == 的对边 斜边； 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即 cos A b A c ∠ == 的邻边 斜边； 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即 C a b
tan A a A A b ∠ == ∠ 的对边 的邻边. 同理 sin B b B c ∠ == 的对边 斜边； cos B a B c ∠ == 的邻边 斜边； tan B b B B a ∠ == ∠ 的对边 的邻边． 要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知： 当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA ＞0． 考点二、特殊角的三角函数值 利用三角函数的定义，可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，归纳如下： 要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了
最新九年级数学总复习讲义
九年级数学总复习讲义 班级：姓名： 一、选择题（每小题3分，共24分） 1．3 -的倒数为（） A.3 - B.3 1 C. 3 D. 3 1 - 2．下列运算正确的是（） A. 6 2 3a a a= ? B. 6 3 2) (a a- = - C. 3 3 ) (ab ab= D.4 2 8a a a= ÷ 3．据新华社2010年2月报到：受特大干旱天气影响，我国西南地区林地受灾面积达到43050000亩。用科学计数法可表示为（） A.8 10 305 .4?亩 B. 6 10 305 .4?亩 C. 7 10 05 . 43?亩 D. 7 10 305 .4?亩 4．下面四个几何体中，主视图与其它几何体的主视图不同的是（） A. B. C. D. 5．下列函数中，y随x增大而增大的是（） A.x y 3 - = B. 5 + - =x y C. x y 2 1 - = D. )0 ( 2 1 2< =x x y 6．下列命题：①正多边形都是轴对称图形；②通过对足球迷健康状况的调查可以了解我国公民的健康状 况；③方程 1 3 1 2 1 1 2- = + - -x x x 的解是0 = x；④如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等。其中真命题的个数有（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7．一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm、30cm、36cm，要估做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27cm、45cm的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边。截法有（） A.0种 B. 1种 C. 2种 D. 3种 8．已知m m Q m P 15 8 ,1 15 7 2- = - =（m为任意实数），则P、Q的大小关系为( ) A.Q P> B. Q P= C. Q P< D.不能确定 二、填空题（每小题3分，共30分） 9．数据-1，0，2， -1，3的众数为． 10．不等式6 4 2- 数与式 知识结构 模块一：实数与运算 知识精讲 一、数的整除 1、整数的意义和分类： 自然数：零和正整数统称为自然数； 整数：正整数、零、负整数，统称为整数． 2、整除： (1)整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a． (2)整除的条件(两个必须同时满足)： ○1除数、被除数都是整数；○2被除数除以除数，商是整数且余数为零． 3、除尽与整除的异同点： 相同点：除尽与整除，都没有余数，即余数都为0；除尽中包含整除； 不同点：整除中被除数、除数和商都为整数，余数为零； 除尽中被除数、除数和商不一定为整数，余数为零． 4、因数和倍数： 整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数(也称为约数)． 注意：(1)在整除的条件下，才有因数和倍数的概念； (2)倍数和因数是相互依存的，不能单独存在． 5、求一个数的因数的方法： (1)列乘法算式：根据因数的意义，有序地写出某数的所有两个数乘积的乘法算式，乘法算式中的因数就是 该数的因数． (2)列除法算式：用此数除以任意整数，所得商是整数而无余数，这些除数和商就是该数的因数． 6、求一个数的倍数的方法： 求一个数的倍数，就是用这个数，依次与非零自然数相乘，所得之数就是这个数的倍数． 7、因数和倍数的性质(规律总结)： 1是任何一个整数的因数，任何整数都是1的倍数； 0是任何一个不等于0的整数的倍数，任何一个不等于0的整数都是0的因数； 一个正整数既是它本身的最大因数，也是它本身的最小倍数． 8、2的倍数的特征： 个位数字是0，2，4，6，8的数． 9、偶数、奇数的意义以及它们的运算性质： 在自然数中，是2的倍数的数是偶数(即个位是0，2，4，6，8的数)； 在自然数中，不是2的倍数的数是奇数(即个位是1，3，5，7，9的数) 注：最小的偶数是0，没有最大的偶数；最小的奇数是1，没有最大的奇数； 一个整数不是奇数就是偶数，奇数的个位上的数是奇数． 10、5的倍数的特征： 个位数字是0或5的整数，都是5的倍数． 11、3的倍数的特征： 一个整数各个数位上的数字相加的和是3的倍数的数是3的倍数． 注：(1)既能被2整除又能被5整除的整数的特征：个位上数字是0的数(或者说是10的倍数的整数)；(2)既能被3整除又能被5整除的整数的特征：个位上数字是0或5，且各个位上数字相加之和是3的倍数 (或者说是15的倍数的整数)； (3)既能被2整除又能被3整除的整数的特征：个位上数字是0，2，4，6，8且各个位上数字相加之和是3 的倍数(或者说是6的倍数的整数)； (4)既能被2整除又能被3和5整除的整数的特征：个位上数字是0，且各个位上数字相加之和是3的倍数 (或者说是30的倍数的整数)． 第一讲一元二次方程及其解 第1节一元二次方程一般形式 一、课堂学习 （一）根据题意列方程： （1）有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个盖方盒。如果要制作的无盖方盒底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形? （2）我校为丰富校园文化氛围，要设计一座2米高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与全部高度的乘积，等于下部（腰以下）高度的平方，求雕像下部的高度。 （3）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，依据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，请问全校有多少个队参赛？ （二）探索新知： （１）问题：上述４个方程是不是一元一次方程？有何共同点？ ①；②；③。（2）一元二次方程的概念：像这样的等号两边都是_____，只含有___个未知数，并且未知数的最高次数是___的方程叫做一元二次方程。 （3）任何一个关于x的一元二次方程都可以化为 (a，b，c为常数，）的形式，我们把它称为一元二次方程的一般形式。a为，b为，c为。 （三）注意点： (1)一元二次方程必须满足三个条件：a ；b ； c 。 (2)任何一个一元二次方程都可以化为一般形式：。二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号。 (3)二次项系数0a ≠是一个重要条件，不能漏掉，为什么？ （四）自我尝试： 1、下列列方程中，哪些是关于x 的一元二次方程？ （1）2 50x -= （22 x -= （3） 212 30x x +-= （4）3 30x x -= （5）2 30x xy +-= 2、把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： (1) 2351x x =- (2) (2)(1)6x x +-= (3) 2 470x -= 二、达标训练： 1、下列方程中，是关于X 的一元二次方程的是（ ） A 3= B 。2221x x x +=- C 。2 0ax bx c ++= D 。2 3(1)2(1)x x +=+ 2、方程2(1)4(1)x x x -=-的一次项是（ ） A 。 2x B 。 4x C 。 6- D 。 6x - 3、将方程2 (21)(3)(21)6x x x -+--=化成一般形式为___________，它的二次项系数为_____，一次项系数为_____，常数项为______。 4、当a_______时，关于X 的方程（a －1）x 2+3x －5=0是一元二次方程。 第2节 一元二次方程的解 一、课堂学习： （一）复习引入： 1、解方程，并说出方程解的定义：3x=2(x+5) 2一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m ，苗圃的长和宽各是多少？ 第02课 韦达定理及应用 知识点： 一元二次方程根的判别式 ： 当△>0时?方程有 ， 当△=0时?方程有 ， 当△<0时?方程 . 韦达定理的应用： 1.已知方程的一个根，求另一个根和未知系数 2.求与已知方程的两个根有关的代数式的值 3.已知方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值 4.已知两数的和与积，求这两个数 例1.关于x 的一元二次方程0483222=-+--m m mx x .求证：当m>2时,原方程永远有两个实数根. 例2.已知关于x 的方程01)1(22=-++-k x x kx 有两个不相等的实数根. (1)求k 的取值范围; (2)是否存在实数k ，使此方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k 的值;若不存在，说明理由. 例3.已知关于x 的方程014)3(222=--+--k k x k x . (1)若这个方程有实数根，求k 的取值范围;(2)若这个方程有一个根为1，求k 的值; 例4.已知关于x 的一元二次方程0321)2(2=-+ -+m x m x (1)求证：无论取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。 (2)若这个方程的两个实数根21,x x 满足1221+=+m x x ，求m 的值。 例5.当m 为何值时，方程07)1(82=-+--m x m x 的两根： (1)均为正数; (2)均为负数; (3)一个正数，一个负数; (4)一根为零; (5)互为倒数; (6)都大于2. 例6.已知a,b,c,是△ ABC 的三边长，且关于x 的方程0)1(2)1(22=++--x c ax x b 有两个相等的实根， 求证：这个三角形是直角三角形。 例7.若0>n ，关于x 的方程04 1)2(2=+--mn x n m x 有两个相等的正的实数根，求n m 的值。(精品)数学讲义九年级寒假班第1讲：数与式-教师版
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