考研数学必做课后习题(同济) 2

高等数学课后习题解读

总习题一：

1是填空题，是考察与极限有关的一些概念，这个是很重要的，要掌握好。而且几乎每章的总习题都设了填空题，均与这些章节的重要概念有关。所以每章的总习题里的填空题所涉及的知识点，比如谁是谁的什么条件之类，务必要搞清楚。

2是无穷小的阶的比较

3、4、5、6是与函数有关的题目，这个是学好高数的基础，但却不是高数侧重的内容，熟悉即可

7用定义证明极限，较难，一般来说能理解极限的概念就可以了

8典型题，求各种类型极限，重要，6个小题各代表一种类型，其实求极限的题目基本跳不出这六种框架了

9典型题，选择合适的参数，使函数连续，用连续的定义即可

10典型题，判断函数的间断点类型，按间断点的分类即可

11较难的极限题，这里是要用到夹逼原理，此类题目技巧性强，体会一下即可

12证明零点存在的问题，要用到连续函数介值定理，重要的证明题型之一，必需掌握

13该题目给出了渐近线的定义以及求法，要作为一个知识点来掌握，重要

综上，第一章总习题要着重掌握的是1、2、8、9、10、12、13题

总习题二：

1填空题，不多说了，重点

2非常好的一道题目，考察了与导数有关的一些说法，其中的干扰项(B)(C)设置的比较巧妙，因为平时我们一般只注意到导数在某点存在的条件是左右导数都存在且相等，容易忽视另一个重要条件：函数必须要在该点连续，否则何来可导?而(B)(C)项的问题正是在于即使其中的极限存在，也不能保证函数在该点连续，因为根本就没出现f(a)，所以对f(x)在a处的情况是不清楚的。而对(A)项来说只能保证右导数存在。只有(D)项是能确实的推出可导的

3物理应用现在基本不要求了

4按定义求导数，不难，应该掌握

5常见题型，判断函数在间断点处的导数情况，按定义即可

6典型题，讨论函数在间断点处的连续性和可导性，均按定义即可

7求函数的导数，计算层面的考察，第二章学习的主要内容

8求二阶导数，同上题

9求高阶导数，需注意总结规律，难度稍大，体会思路即可

10求隐函数的导数，重要，常考题型

11求参数方程的导数，同样是常考题型

12导数的几何应用，重要题型

13、14、15不作要求

综上，第二章总习题需重点掌握的题目是1、2、4、5、6、7、8、10、11、12

第三章的习题都比较难，需要多总结和体会解题思路

总习题三

1零点个数的讨论问题，典型题，需掌握

2又一道设置巧妙的题目，解决方法有很多，通过二阶导的符号来判断函数增量与导数、微分的大小关系，07年真题就有一道题目由此题改造而来，需重点体会

3举反例，随便找个有跳跃点的函数即可

4中值定理和极限的综合应用，重要题目，主要从中体会中值定理的妙处

5零点问题，可用反证法结合罗尔定理，也可正面推证，确定出函数的单调区间即可，此题非典型题

6、7、8中值定理典型题，要证明存在零点，可构造适当的辅助函数，再利用罗尔定理，此类题非常重要，要细心体会解答给出的方法

9非常见题型，了解即可

10罗必达法则应用，重要题型，重点掌握

11不等式，一般可用导数推征，典型题

12、13极值及最值问题，需要掌握，不过相对来说多元函数的这类问题更重要些

14、15、16不作要求

17非常重要的一道题目，设计的很好，需要注意题目条件中并未给出f''可导，故不能连用两次洛必达法则，只能用一次洛必达法则再用定义，这是此题的亮点

18无穷小的阶的比较，一是可直接按定义，二是可将函数泰勒展开，都能得到结果，此题考察的是如何判断两个量的阶的大小，重要

19对凹凸性定义的推广，用泰勒公式展开到二阶可较方便的解决，此题可看作泰勒公式应用的一个实例，重在体会其思想

20确定合适的常数，使得函数为给定的无穷小量，典型题，且难度不大

综上，第三章总习题需要重点掌握的是1、2、4、6、7、8、10、11、12、13、17、18、20

第四章没有什么可说的重点，能做多少是多少吧……

积分的题目是做不完的。

当然，如果你以那种不破楼兰终不还的决心和气势，最终把所有题目搞定了，这还是值得恭喜的，尽管可能这会花掉很多时间，但仍然是值得的……因为这有效的锻炼了思维。

总习题五

1填空，重要，但第(2)、(3)问涉及广义积分，不作要求

2典型题，前3题用定积分定义求极限，需重点掌握，尤其是要体会如何把和式改写为相应的积分式，积分区间和被积函数如何定，这个是需要适当的练习才能把握好的，后2题涉及积分上限函数求导，也是常见题型

3分别列出三种积分计算中最可能出现的错误，需细心体会，重要

4利用定积分的估值证明不等式，技巧性较强

5两个著名不等式的积分形式，不作强制要求，了解即可

6此题证明要用5题中的柯西不等式，不作要求

7计算定积分，典型题

8证明两个积分相等，可用一般方法，也可利用二重积分的交换积分次序，设计巧妙的重点题目

9同样是利用导数证明不等式，只不过对象变得比一般函数复杂，是积分上限函数，但本质和第三章的类似题目无区别，不难掌握

10分段求积分，典型题

11证明积分第一中值定理，要用到连续函数的介值定理，难度高于积分中值定理的证明，可作为提高和锻炼性质的练习

综上，总习题五需要重点掌握的题目是1、2、3、7、8、9、10

定积分的应用一块的考察，现在更偏重的是几何应用

1物理应用，跳过

2所涉及到的图形较为复杂，是两个圆，其中第二个是旋转了一定角度的圆，不易看出，此题可作为一个提高性质的练习

3重点题，积分的几何应用和极值问题相结合，常考题型之一

4旋转体体积，需注意的是绕哪条线形成的旋转体，所绕的轴不同的话，结果不同

5求弧长，非典型题，了解即可

6、7、8均为物理应用，不作要求，有兴趣的不妨一试

综上，总习题六实际上就2、3、4题需要引起注意

第七章空间解析几何，只对数一的同学有要求，数二三四的就直接pass吧

总习题七

1填空，向量代数的基本练习，必不可少

2、3、4、5都是平面向量几何的题目，不太重要，不过适当练习可以培养起用向量的方式来思考问题的习惯

7、8、9、10、11都是与向量有关的运算，包括加(减)，数乘、点积(相应的意义是一个向量在另一个向量的投影)、两向量的夹角、叉积(相应的意义是平行

四边形的面积)，要通过这些题目熟悉向量的各种运算，重要

12用证明题的形式来考察对混合积的掌握，需掌握

13按定义写点的轨迹方程，解析几何中的常见题，了解基本做法即可

14旋转曲面相关题目，非常重要，要搞清楚绕某一轴旋转后的旋转曲面写法

15、16求平面的方程，顺带可复习平面方程的类型，这类问题的解决办法一般是先从立体几何中考虑，想到做法再翻译成解析几何的语言，重在思路的考察，需多加练习

17求直线方程，同上题

18解析几何与极值的混合问题，也是一类典型题

19、20考察投影曲线和投影面，这部分知识是多重积分计算的基础，要重点掌握

21画出曲面所围的立体图形，有一定难度，是对空间想象能力的锻炼，尽量都掌握

综上，总习题七需重点掌握的题目是1、7、8、9、10、11、12、14、15、16、17、18、19、20

下册的内容有很多数二数三数四不考，因此我在解读习题时尽量标注出是数一要求的，大家平时也多查查考纲或者翻翻计划，这样对于哪些考哪些不考就更清楚了。

总习题八：

1填空，很重要

2选择，着重考查一条说法，偏导数存在未必可微，这个是无论数几都需要的，还有就是偏导数的几何应用，这个只数一要求

3基本题，求二元函数的定义域和极限，因为是初等函数，直接用“代入法”求极限就可以了

4典型题，判断极限存在性，考察如果证明一个二元函数的极限是不存在的(常用方法是取两条路径)

5典型题，求偏导数，注意在连续区间内按求导法则求，在间断点处只能按定义求

6求高阶偏导数，到二阶的题目需要熟练掌握

7微分的概念，简单题目，直接按微分和增量的定义即可

8重点题型，对一个二元函数，考察其在某点的连续性、偏导存在情况和可

微性，务必熟练此类题目

9、10、11、12复合函数求偏导的链式法则，重点题型，要多加练习的一类题目，复合函数中哪些自变量是独立的，哪些是不独立的，还有各自对应关系，判断好这些是解题的关键

13、14分别是极坐标和直角坐标情形下偏导数的几何应用，数一要求

15、16方向导数相关题目，该知识点与第十一章联系密切，重要，数一要求

17、18多元函数的极值问题，典型题，且通常都是结合条件极值来考，这类题目一定要熟练，其中08年真题中一道极值题目就是把17题中的柱面改成锥面，其它完全一样，由此可见对课本要重新重视。

综上，总习题八需要重点掌握的题目是1、2、4、5、6、8、9、10、11、12、13(数一)、14(数一)、15(数一)、16(数一)、17、18

第九章的内容中，二重积分以外的内容是数二三四不要求的，就不在题号后一一写明了

总习题九

1选择题，实际是考察多重积分的对称性，属于典型题，在多重积分的情况下，对称性的应用比定积分要复杂，重要，第(1)小问是三重积分，只数一要求，第(2)小问是二重积分

2、3基本题型，计算二重积分或者是交换二重积分的顺序，需要熟练掌握

4利用交换积分次序证明等式，体会一下方法即可

5基本题型，利用极坐标计算二重积分，实际上在计算多重积分时本就要求根据不同的积分区域选择合适的坐标系，这是一个基本能力，重要6确定三重积分的积分区域，比较锻炼空间想象能力的一类题，重要

7计算三重积分，基本题型，仍然要注意区域不同，所选坐标系不同

8重积分的几何应用，从二重积分的角度，或者从三重积分的角度都可以求解，此题要求数二三四考生也掌握

9、10、11是重积分的物理应用，不作要求

综上，总习题九需要重点掌握的题目是1、2、3、5、6、7、8

第十章的内容全部针对数一

总习题十

1填空，相关知识点是两类线、面积分之间的联系，重要

2选择，考察的是第一类曲面积分的对称性，与重积分的对称性类同，重点

题型。需要注意，第二类线、面积分与第一类会有所不同，因为第二类线、面积分的被积元也有符号，这是和第一类线、面积分的区别

3计算曲线积分，基本题型，需要多加练习，六个小题基本覆盖了曲线积分计算题的类型

4计算曲面积分，基本题型，要求同上题。注意在计算线、面积分时，方法很多，常用的有直接转化成定积分或二重积分，或用Green公式，Guass定理，在用这两个定理时又要注意其成立的条件是所围区域不能有奇点，甚至不是闭区域要先补线或者补面，此类题目一定要熟练掌握

5全微分的相关等价说法，典型题，顺带可回顾一下与全微分有关的一系列等价命题

6、7线面积分的物理应用，不作要求

8证明，涉及的知识点多，覆盖面广，通过此题的练习可回忆和巩固线面积分的几乎所有知识点(把梯度和方向导数包括进来了)，推荐掌握

9从流量的角度出发理解第二类曲面积分，基本题型

10用Stokes定理积分空间曲线积分，基本题型，01年考过

综上，总习题十需要重点掌握的题目是1、2、3、4、5、8、9、10

第十一章是级数，数二数四不要求，其中傅立叶级数对数三无要求

总习题十一

1填空，涉及级数敛散性的相关说法，重要

2判断正项级数的收敛性，典型题，综合应用比较、比值、根值三种方法，在用比较判别法时实际就是比较两个通项是否同阶无穷小，这样可让思路更清晰3抽象级数的概念题，重点题型之一，要利用级数收敛的相关性质判断

4设置了陷阱的概念题，因为比较判别法只对正项级数成立，也是重点题型之一

5判断级数的绝对收敛和条件收敛，典型题，通过这些练习来加强对这类题目的熟练度

6利用收敛级数的通项趋于零这一说法来判断极限，体会方法即可

7求幂级数的收敛域，典型题，要多加练习，注意搞清楚收敛域、收敛半径、收敛区域的区别

8求幂级数的和函数，典型题，重要，一般求和函数都不用直接法而用间接法，即通过对通项作变形(逐项积分或求导等)，再利用已知的常见函数的展开式

得到结果，注意求出和函数不要忘记相应的收敛域。

9利用构造幂级数来求数项级数的和，也是一类重要题型

10将函数展开为幂级数，与8是互为反问题，仍是多用间接展开法，方法上异曲同工，需要熟练掌握，同样注意不要忘记收敛域

11、12傅立叶级数的相关题目，基本题，此类题目记得相应的系数表达式就可解决，一般来说至少要掌握周期为pi的情形。注意傅氏级数展开的系数公式难记，只能平时多加回顾，还有不要忽略了在非连续点展开后的傅氏级数的收敛情况(即狄利赫莱收敛定理)

综上，总习题十一需要重点掌握的题目是1、2、3、4、5、7、8、9、10、11 第十二章微分方程，二阶以上的方程对数四不作要求，下面不再详细说明总习题十二

1填空，涉及微分方程理论的若干说法，基本题，第(2)问只数一要求

2通过解的形式观察出相应的微分方程，典型题，其中第(2)问更重要

3、4求解不同类型的微分方程，通过这些题目的练习，基本对各种方程的解法有一定了解，同时也培养了一些解题思路和技巧，重要。其中涉及到全微分方程的几个小题只数一有要求

5微分方程的几何应用，基本题

6微分方程的物理应用，不作要求

7由积分方程推导微分方程，典型题，要求掌握

8用变量代换化简微分方程，典型题，只对数一有要求，注意在代换过程中要搞清楚变量和变量的对应关系

9涉及微分方程基本理论的题目，非常见题型，但可体会其出题思路

10欧拉方程的练习，数一要求

第 1 章第 1 节映射与函数

习题 1－1 －4(1) (2) (3)(7) (8)(9) (10), 5(1)(2) (3)(4),

7(1),8,9(1)(2), 13,15(1) (2)(3)(4),17,18

第 1 章第 2 节数列的极限习题 1－2 － 1(1) (2) (4) (5) (7) (8)

第 1 章第 3 节函数的极限习题 1－3 － 1,2,3,4

第 1 章第 4 节无穷小与无穷大习题 1－4 － 1,4,5,6,8

第 1 章第 5 节极限运算法则习题 1－5 － 1(1) (2) (3) (4) (6)(7) (10) (11) (12) (14),2(1) (2),3(1),4(1) (2) (3) (4), 5(1) (3)

第 1 章第 6 节极限存在准则两个重要极限习题 1－6 － 1(1) (2)(4) (5) (6), 2(1)(2) (3),4 (2)(3) (4 )(5)

第 1 章第 7 节无穷小的比较习题 1－7 － 1,2,3(1) (2),4(2) (3)(4)

第 1 章第 8 节函数的连续性与间断点习题 1－8 － 1,2(1) (2),3(1) (2) (4),4,5

第 1 章第 9 节连续函数的运算与初等函数的连续性习题 1－9 －

1,3(2) (4) (5) (6), 4(1) (4)(5)(6),5,6

第 1 章第 10 节闭区间上连续函数的性质习题 1－10 － 1,2,3,4

第 1 章总复习题总复习题一 1,2,3(1)(2),5,9(1)(2)

(4)(5)(6),11,12,13

第 2 章第 1 节导数概念习题 2－1 －

3,6(1)(2)(3),7,8,9(1)(2)(4)(5)(7),11,13,14,16(1),17 ,18

第 2 章第 2 节函数的求导法则习题 2－2 － 2(1)(6)(7)(9),3

(2)(3),4,7(1)(3)(6) (8)(9),8(8)(9),9, 10(1)(2), 11(2)(4) (6)(8)(9) (10)

第 2 章第 3 节高阶导数习题 2－3 － 3,4,9,10(1) (2),

11(1)(2)(3)(4)

第 2 章第 4 节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数习题 2－4

－ 2,4(1)(2)(3),7(1)(2), 8(1)(3)(4),9(2),10,11

第 2 章第 5 节函数的微分习题 2－5 － 1,2,3(1)(4)(7)(8)(10),

4(1)(2)(3)(5)(7)(8), 5,6

第 2 章总复习题二总复习题二 1,2,3,6(1)(2),7,8(1)(3)(4)(5),

9(1),11,12(1)(2),13,14,16

第 3 章第 1 节微分中值定理习题 3－1 － 1,2,3,4,5,6,7,8,

9,11,12,13,15

第 3 章第 2 节洛必达法则习题 3－2 － 1(1)(2)(3)(4)(5) (6)

(9)(12)(14)(15),2,3,4

第 3 章第 3 节泰勒公式习题 3－3 － 2,3,4,5,6,7,10(1)(2) (3)

第 3 章第 4 节函数的单调性与曲线的凹凸性习题 3－4 －

3(2)(3)(5)(6),4,5(1) (2)(3) (4),6,7, 9(1)(2)(3)(4) (5)(6), 10(1) 3),11,12,14,15

第 3 章第 5 节函数的极值与最大值最小值习题 3－5 －1(1) (2)(4) (5)(7) (8)(9)(10), 4(1) (2) (3), 5,6,7,8,9,10, 11,12,13,14

第 3 章第 6 节函数图形的描述习题 3－6 － 1,3,4,5

第 3 章第 7 节曲率习题 3－7 － 1,2,3,4,5,6, 7,8

第 3 章总复习题三总复习题三 1,2(1),2(2),4,5,6,9,

10(1)(3)(4),11(2)(3),12,14,17,19,20

第 4 章第 1 节不定积分的概念与性质习题 4－1 －

2(1)(2)(7)(10)(13) (14) (17)(18) (19) (21) (22)(24) (25),5

第 4 章第 2 节换元积分法习题 4－2 －

2(1)(3)(6)(9)(12)(15)(18)(24)(26)(30)(33)(36),2(16) (21)(37)(39)(42) (44)

第 4 章第 3 节分部积分法习题 4－3 － 1,2,3,4,6,7,8,9,11,

12,14,16,17,18,20,24

第 4 章第 4 节有理函数积分习题 4－4 －

1,2,3,5,6,7,9,10,12,14,15,17,18,19,21,23,24

第 4 章总复习题四总复习题四

1,2,3,5,6,8,9,10,12,15,16,18,19,21,23,24,25,26,29,30,

32,33,35,36,38,39

第 5 章第 1 节定积分概念与性质习题 5―1

3(3)(4),11,12(2)(3),13(5)

第 5 章第 2 节微积分的基本公式习题 5―2 2,3,4,5(2)(3), 6 (6)(12),7(4),8(1),9(2),10,11,12

第 5 章第 3 节定积分的换元法和分部积分法习题 5―3

1(9)(10)(12)(13)(15)(18)(21)(22)(24),2,3,5,6,7(7)(10)(13) 第 5 章第 4 节反常积分习题 5―4 1(4)(10),2,3

第 5 章总复习题五总复习题五 1(1)(2)(4),2(2)(4),3(1),4(1) (2),5(1), 6,7,8(1),10(1) (2)(4)(8),11,12,14

第 6 章第 1 节定积分的元素法

第 6 章第 2 节定积分在几何学上的应用习题 6―2

1(1)(4),2(1),3,4,5(1)(2),7,6,8(2) 9,11,12,14 15(1)

(3)(4),17,19,21,22,24,25,28,29

第 6 章第 3 节定积分在物理学的应用习题 6―3 1,2,3,4,6,7,8,9,11

第 6 章总复习题总复习题六 1,2,3,4,7,8,9

第 7 章第 1 节微分方程基本概念习题 7―1 1(1)(2)(4)(5),2(3) (4),4(2),5(1),6

第 7 章第 2 节可分离变量的微分方程习题 7―2

1(1)(3)(5)(6)(8),3,4,6

第 7 章第 3 节齐次方程习题 7―3 1(1)(4)(5),2(1),3, 4(1)(2)(4)

第 7 章第 4 节一阶线性微分方程习题 7―4

1(1)(4)(8),1(10),2(1)(5), 7(1)(2)(3)(4),8(1)(4)(5)

第 7 章第 5 节可降阶的高阶微分方程习题 7―5 1(1)(4)(7)(8)(10), 2(1)(2)(4)(5),3

第 7 章第 6 节高阶线性微分方程习题 7―6 1(1)(2)(3)(4)(6)(8)(9), 4(2)(3)(4)

第 7 章第 7 节常系数齐次线性微分方程习题 7―7

1(1)(5)(7)(8)(10), 2(1)(2)(4)(5)

第 7 章第 8 节常系数非齐次线性微分方程习题 7―8 1(1) (3)

(4)(5)(7) (9) (10), 2(1) (2) (4),6

第 7 章第 9 节欧拉方程习题 7―9 1,2,6,7

第 7 章总复习题总复习题七 1,2,3(1)(2) (3) (4)(7) (8) (9),

4(1)(3)(4),5,7,10(1)

第 8 章第 1 节向量及其线性运算习题 8―1 11,12,15,17,18

第 8 章第 2 节数量积、向量积、混合积习题 8―2 3,4,6,7,9,10

第 8 章第 3 节曲面及其方程习题 8―3 2,5,7,9, 10(1)(2)(3)(4)

第 8 章第 4 节空间曲线及其方程习题 8―4 3,4,7,8 平面及其方程

第 8 章第 5 节平面及其方程习题 8―5 1,2,3,5,9

第 8 章第 6 节空间直线及其方程习题 8―6

1,2,3,4,5,8,9,10(1)(2),12, 13,15

第 8 章总复习题总复习题八 1,7,8,10,11,12,13,14(1)(2),

15,17,19,20

第 9 章第 1 节多元函数基本概念习题 9―1

2,5(1)(2),6(1)(2)(4)(5),7(1),8

第 9 章第 2 节偏导数习题 9―2 1(3)(4)(5) (6)(7),4,6(2), 9(1) 第 9 章第 3 节全微分习题 9―3 1(1)(2)(4),2,3,5

第 9 章第 4 节多元复合函数的求导法则习题 9―4

2,4,6,7,8(1)(2),10,11, 12(1)(4)

第 9 章第 5 节隐函数的求导公式习题 9―5 1,2,4,5,6,8,9,10(1)(3)

第 9 章第 6 节多元函数微分学的几何应用习题 9―6

3,4,6,7,9,10,12

第 9 章第 7 节方向导数与梯度习题 9―7 2,3,5,7,8,10

第 9 章第 8 节多元函数的极值及其求法习题 9―8 1,2,5,6,7,9,11 第 9 章第 9 节二元函数泰勒公式习题 9―9 1,3

第 9 章总复习题总复习题九 1,2,3,5,6,8,9, 12,15,16,17,20

第 10 章第 1 节二重积分的概念与性质习题 10―1 2,4,5

第 10 章第 2 节二重积分的计算法习题 10―2

1(1)(3),2(3)(4),4(1)(3),6(4)(5)(6),7,89,12(1)(2)(3),14( 1)(2),15(1)(2 )(3),16

第 10 章第 3 节三重积分习题 10―3

1(1)(2),2,4,5,7,8,9(1)(2),10(1)(2),11(1)

第 10 章第 4 节重积分的应用习题 10―4 1,2,5,6,8,10,14

第 10 章总复习题总复习题十 1,2(1) (3),3(1)(2) 6,8(1)(2),10,11,12 第 11 章第 1 节对弧长的曲线积分习题 11―1 1,3(3)(4)(5)(7),4

第 11 章第 2 节对坐标的曲线积分习题 11―2 3(1) (2)(3) (5) (6)(7), 4(1)(2)(3),7(1)(2),8

第 11 章第 3 节格林公式及其应用习题 11―3 1,2(1)(2),3,4(1)(2), 5(1)(2)(4),6(1)(3)(4), 8(1) (3)(5) (6)(7)

第 11 章第 4 节对面积的曲面积分习题 11―4 1,4(1)(2),5(1),

6(1)(2)(3),7,8

第 11 章第 5 节对坐标的曲面积分习题 11―5 3(1)(2)(4),4(1)(2)

微积分课后题答案第九章习题详解

第9章 习题9-1 1． 判定下列级数的收敛性： (1) 11 5n n a ∞ =?∑（a ＞0）； (2) ∑∞ =-+1 )1(n n n ; (3) ∑∞ =+13 1 n n ; (4) ∑∞ =-+12)1(2n n n ; (5) ∑∞ =+11ln n n n ; (6) ∑∞ =-12)1(n n ; (7) ∑∞ =+11 n n n ; (8) 0(1)21n n n n ∞ =-?+∑． 解：（1）该级数为等比级数，公比为 1a ,且0a >,故当1 ||1a <,即1a >时，级数收敛，当1 | |1a ≥即01a <≤时，级数发散. （2） Q n S =+++L 1= lim n n S →∞ =∞ ∴ 1 n ∞ =∑发散. （3）113 n n ∞ =+∑是调和级数11n n ∞=∑去掉前3项得到的级数，而调和级数11 n n ∞ =∑发散，故原 级数 11 3 n n ∞ =+∑发散. （4）Q 1112(1)1(1)22 2n n n n n n n ∞ ∞-==?? +--=+ ???∑∑ 而11 12n n ∞ -=∑,1(1)2m n n ∞ =-∑是公比分别为1 2的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质

知111(1)2 2n n n n ∞ -=??-+ ???∑收敛，即原级数收敛. （5）Q ln ln ln(1)1 n n n n =-++ 于是(ln1ln 2)(ln 2ln 3)[ln ln(1)]n S n n =-+-+-+L ln1ln(1)ln(1)n n =-+=-+ 故lim n n S →∞ =-∞,所以级数 1 ln 1 n n n ∞ =+∑发散. （6）Q 2210,2n n S S +==- ∴ lim n n S →∞ 不存在，从而级数 1 (1) 2n n ∞ =-∑发散. （7）Q 1 lim lim 10n n n n U n →∞ →∞+==≠ ∴ 级数 1 1 n n n ∞ =+∑发散. （8）Q (1)(1)1 , lim 21212 n n n n n n U n n →∞--==++ ∴ lim 0n x U →∞≠，故级数1 (1)21n n n n ∞ =-+∑发散. 2． 判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和： (1) ∑∞ =??? ??+13121n n n ； (2) ※ ∑∞ =++1)2)(1(1n n n n ; (3) ∑∞ =?1 2sin n n n π ; (4) 0πcos 2n n ∞ =∑． 解：Q （1）1111, 23n n n n ∞ ∞==∑∑都收敛，且其和分别为1和12，则1112 3n n n ∞ =?? + ???∑收敛，且其 和为1+ 12=3 2 . （2）Q 11121(1)(2)212n n n n n n ?? =-+ ?++++??

考研数学高数习题集及其答案

1 函数、极限、连续 一. 填空题 1. 已知,__________)(,1)]([,sin )(2=-==x x x f x x f ??则 定义域为___________. 解. 21)(sin )]([x x x f -==??, )1arcsin()(2x x -=? 1112≤-≤-x , 2||,202≤≤≤x x 2．设?∞-∞ →=?? ? ??+a t ax x dt te x x 1lim , 则a = ________. 解. 可得?∞ -=a t a dt te e =a a t t e ae a e te -=∞ --) (, 所以 a = 2. 3. ?? ? ??+++++++++∞→n n n n n n n n n 2222211lim =________. 解. n n n n n n n n n n +++++++++2 2221 ≤x x , 则f[f(x)] _______. 解. f[f(x)] = 1. 5. )3(lim n n n n n --+∞ →=_______. 解. n n n n n n n n n n n n n n n n n n -++-++--+=--+∞ →∞ →3) 3)(3(lim )3(lim =233lim =-+++-+∞ →n n n n n n n n n

高数课本课后必做习题

《高等数学》（同济六版）基础复习教材基础练习题范围完整版（数学二） 2015-03-17 文都-汤家凤 第一章函数与极限 习题1—5（P49） 1（1）~（（14） 习题1—6（P56） 1（1）~（6）、2（1）~（4）、4（1）~（5） 习题1—7（P59） 4（1）~（4） 习题1—8（P64） 3（1）~（4）、4 习题1—9（P69） 3（1）~(7)、4（1）~（6） 习题1—10（P74） 1、2、3、5 总习题一（P74） 2、3（1）（2）、9（1）~（6）、10、11、12、13。 第二章导数与微分 习题2—1 5、6、7、8、9（1）~（6）、11、13、14、15、16、17、18、19、20 习题2—2 2（1）~（10）、3（1）~（3）、5、6（1）~（10）、7（1）~（10）、8（1）~（10）、10（1）~（2）、11（1）~（10）、13、14 习题2—3 1（1）~（12）、3（1）~（2）、4、10（1）~（2） 习题2—4 1（1）~（4）、2、3（1）~（4）、4（1）~（4）、5（1）~（2）、6、7（1）~（2）、8（1）~（4） 习题2—5 2、3（1）~（10）、4（1）~（8） 总习题二 1、2、3、6、7、8（1）~（5）、9（1）~（2）、11、12（1）~（2）、13、14。 第三章微分中值定理与导数的应用 习题3—1 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14 习题3—2 1（1）~（16）、2 习题3—3 1、3、4、5、7、10（1）~（3） 习题3—4 1、2、3（1）~（7）、5（1）~（5）、6、8（1）~（4）、9（1）~（6）、10（1）~（3）、12、13、14 习题3—5 1（1）~（10）、2、4（1）~（3）、8、9、10、16

大学高等数学上习题(附答案)

《高数》习题1（上） 一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（ ）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -?

考研数学二课本要点指导

高数部分： （配同济六版教材） 第一章函数与极限（考研必考章节，其中求极限是本章最重 要的内容，要掌握求极限的集中方法） 第一节映射与函数（一般章节） 一、集合（不用看）二、映射（不用看)三、函数(了解） 注：P1--5 集合部分只需简单了解 P5--7不用看 P7--17 重点看一下函数的四大性态：单调、奇偶、周期、有界 P17--20 不用看 P21 习题1.1 1、2、3大题均不用做 4大题只需做（3）（5）（7）（8） 5--9 均做 10大题只需做（4）（5）（6） 11大题只需做（3）（4）（5） 12大题只需做（2）（4）（6） 13做14不用做 15、16重点做 17--20应用题均不用做 第二节数列的极限（一般章节本章用极限定义证的题目考纲不作要求，可不看） 一、数列极限的定义（了解）二、收敛极限的性质（了解） P26--28 例1、2、3均不用证 p28--29 定理1、2、3的证明不用自己证但要会理解 P30 定理4不用看 P30--31 习题1-2 1大题只需做（4）（6）（8） 2--6均不用做 第三节（一般章节）（标题不再写了对应同济六版教材标题 一、（了解）二、（了解） P33--34 例1、2、3、4、5只需大概了解即可 P35 例6 要会做例7 不用做 P36--37 定理2、3证明不用看定理3’4”完全不用看 p37习题1--3 1--4 均做5--12 均不用做 第四节（重要） 一、无穷小（重要）二、无穷大（了解） p40 例2不用做p41 定理2不用证 p42习题1--4

1做2--5 不全做6 做7--8 不用做 第五节(注意运算法则的前提条件是各自存在) p43 定理1、2的证明要理解 p44推论1、2、3的证明不用看 p48 定理6的证明不用看 p49 习题1--5 1题只需做(3)(6)(7)(8)(10)(11)(13)(14) 2、3要做4、5重点做6不做 第六节极限存在准则(重要) 两个重要极限(重要两个重要极限要会证明 p50 准则1的证明要理解 p51 重要极限一定要会独立证明(经典重要极限) p53另一个重要极限的证明可以不用看 p55--56柯西极限存在准则不用看 p56习题1--7 1大题只做(1)(4)(6) 2全做3不用做4全做，其中(2)(3)(5)重点做 第七节(重要） p58--59 定理1、2的证明要理解 p59 习题1--7 全做 第八节（基本必考小题） p60--64 要重点看第八节基本必出考题 p64 习题1--8 1、2、3、4、5要做其中4、5要重点做 6--8不用做 第九节（了解） p66--67 定理3、4的证明均不用看 p69 习题1--9 1、2要做 3大题只做（3）——（6） 4大题只做（4）——（6） 5、6均要重点做 第十节（重要，不单独考大题，但考大题会用到） 一、（重要）二、（重要）p72三、一致连续性（不用看）

高等数学 复旦大学出版社 课后习题答案

1. 解: (1)相等. 因为两函数的定义域相同,都是实数集R ; x =知两函数的对应法则也相同;所以两函数相等. (2)相等. 因为两函数的定义域相同,都是实数集R ,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同,所以两函数相等. (3)不相等. 因为函数()f x 的定义域是{,1}x x x ∈≠R ,而函数()g x 的定义域是实数集R ,两函数的定义域不同,所以两函数不相等. 2. 解: (1)要使函数有意义,必须 400x x -≥?? ≠? 即 40x x ≤?? ≠? 所以函数的定义域是(,0)(0,4]-∞U . (2)要使函数有意义,必须 30lg(1)010x x x +≥?? -≠??->? 即 301x x x ≥-?? ≠??

中国人民大学出版社第四版高等数学一第6章课后习题详解

高等数学一第6章课后习题详解 课后习题全解 习题6-2 ★ 1．求由曲线 x y =与直线 x y =所围图形的面积。 知识点：平面图形的面积 思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1 ∵所围区域D 表达为X-型：?? ?<<<

∵所围区域D 表达为X-型：?????<<< <1 sin 2 0y x x π， （或D 表达为Y-型：???<<<

∴所围区域D 表达为Y-型：?? ?-<<<<-2 2 422y x y y ， ∴23 16 )32 4()4(2 2 32 222= -=--=- - ? y y dy y y S D （由于图形关于X 轴对称，所以也可以解为： 2316 )324(2)4(22 32 22=-=--=? y y dy y y S D ） ★★4．求由曲线 2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积 知识点：平面图形面积 思路：所围图形关于Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-4 ∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型：? ??<<<

高等数学课后习题及解答

高等数学课后习题及解答 1. 设u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用a，b，c 表示2u-3v. 解2u-3v=2（a-b+2c）-3（-a+3b-c） =5a-11b+7c. 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平 行四边形. 证如图8-1 ，设四边形ABCD中AC 与BD 交于M ，已知AM = MC ，DM 故 MB . AB AM MB MC DM DC . 即AB // DC 且|AB |=| DC | ，因此四边形ABCD是平行四边形. 3. 把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各 分点与点 A 连接.试以AB=c, BC=a 表向量 证如图8-2 ，根据题意知 1 D 1 A, 1 D 2 A, D 3 A, D A. 4 1 D3 D4 BD1 1 a, 5 a, D1D2 a, 5 5 1 D 2 D 3 a, 5 故D1 A=- （AB BD1）=- a- c 5

D 2 A =- （ AB D A =- （ AB BD 2 BD ）=- ）=- 2 a- c 5 3 a- c 3 =- （ AB 3 BD 4 ）=- 5 4a- c. 5 4. 已知两点 M 1（0，1，2）和 M 2（1，-1，0） .试用坐标表示式表示 向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 . 解 M 1M 2 =（1-0， -1-1， 0-2）=（ 1， -2， -2） . -2 M 1M 2 =-2（ 1，-2，-2） =（-2， 4，4）. 5. 求平行于向量 a =（6， 7， -6）的单位向量 . a 解 向量 a 的单位向量 为 ，故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 = （ 6，7， -6）= 6 , 7 , 6 ， a 11 11 11 11 其 中 a 6 2 72 ( 6)2 11. 6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （ 2， 3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3， 1）. 解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点在第三卦限 . 7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （ 3， 4， 0）， B （ 0， 4，3）， C （ 3，0，0）， D （ 0， D A 4

高等数学上复旦第三版 课后习题答案

283 高等数学上（修订版）（复旦出版社） 习题六 无穷数级 答案详解 1．写出下列级数的一般项： (1)111135 7 ++++ ； (2)2 2242462468x x x x x ++++?????? ； (3)3579 3579 a a a a -+-+ ； 解：(1)1 21 n U n =-； (2)()2 !! 2n n x U n = ； (3)() 21 1 121 n n n a U n ++=-+； 2．求下列级数的和： (1)()()() 11 11n x n x n x n ∞ =+-+++∑ ； (2) ( )1 221n n n n ∞ =+-++∑； (3)23 111 5 55+ ++ ； 解：(1)()()() ()()()()1 11111211n u x n x n x n x n x n x n x n = +-+++?? -= ?+-++++??

284 从而()()()()()()() ()()()()()()()1111 1211212231111111211n S x x x x x x x x x n x n x n x n x x x n x n ?-+-= +++++++?? ++ - ?+-++++? ?? -= ?++++?? 因此() 1lim 21n n S x x →∞ =+，故级数的和为 () 121x x + (2)因为()()211n U n n n n =-+-++- 从而()()()() ()()()()3243322154432112112 1 12 21 n S n n n n n n n n =-+-----+-++---+-++-=+-++-=+-+++ 所以lim 12n n S →∞ =-，即级数的和为12-． (3)因为2111 5551115511511145n n n n S =+ ++????-?? ???? ?=-????=-?? ????? 从而1lim 4 n n S →∞ =，即级数的和为14 ． 3．判定下列级数的敛散性： (1) ( )1 1n n n ∞ =+-∑； (2) ()() 11111661111165451n n +++++???-+ ； (3) ()23133222213333 n n n --+-++- ；

高等数学课后习题答案第六章

习题62 1 求图621 中各画斜线部分的面积 (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0 1] 所求的面积为 6 1 ]2132[)(102231 0=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0 1] 所求的面积为 1 |)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1 e ] 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e (3) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[3 1] 所求的面积为 3 32]2)3[(1 32= --=?-dx x x A (4) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[ 1 3] 所求的面积为 3 32 |)313()32(3132312=-+=-+=--?x x x dx x x A 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积 (1) 22 1 x y =与x 2y 28(两部分都要计算) 解 3 8 8282)218(220220*********--=--=--=????dx x dx x dx x dx x x A

34 238cos 16402+=-=?ππ tdt 3 4 6)22(122- =-=ππS A (2)x y 1 =与直线y x 及x 2 解 所求的面积为 ?-=-= 2 12ln 2 3)1(dx x x A (3) y e x y e x 与直线x 1 解 所求的面积为 ?-+=-=-102 1 )(e e dx e e A x x (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解 所求的面积为 a b e dy e A b a y b a y -===?ln ln ln ln 3 求抛物线y x 24x 3及其在点(0 3)和(3 0)处的切线所围成的图形的面积 解 y 2 x 4 过点(0, 3)处的切线的斜率为4 切线方程为y 4(x 3) 过点(3, 0)处的切线的斜率为2 切线方程为y 2x 6

高等数学第六版(同济大学)上册课后习题答案解析

高等数学第六版上册课后习题答案及解析 第一章 习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A \B 及A \(A \B )的表达式. 解 A ?B =(-∞, 3)?(5, +∞), A ? B =[-10, -5), A \ B =(-∞, -10)?(5, +∞), A \(A \B )=[-10, -5). 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B )C =A C ?B C . 证明 因为 x ∈(A ?B )C ?x ?A ?B ? x ?A 或x ?B ? x ∈A C 或x ∈B C ? x ∈A C ?B C , 所以 (A ?B )C =A C ?B C . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f (A ?B )=f (A )?f (B ); (2)f (A ?B )?f (A )?f (B ). 证明 因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B ) ? y ∈f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )=f (A )?f (B ). (2)因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )? y ∈ f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )?f (A )?f (B ). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g =ο, Y I g f =ο, 其中I X 、 I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中

考研数学做练习题的注意事项

考研数学做练习题的注意事项考研数学做练习题的注意事项 基础是提高的前提 基础是提高的前提，打好基础的目的就是为了提高。考生要明白基础与提高的辩证关系，根据自身情况合理安排复习进度，处理好打基础和提高能力两者的关系。一般来说，基础与提高是交插和分段进行的，现阶段应该以基础为主，基础扎实了，再行提高。考生在这个过程中容易遇到这样的问题，就是感觉自已经过基础复习或一段时间的提高后几乎不再有所进步，甚至感到越学越退步，碰到这种情况，考生千万不要气馁，要坚信自己的能力，只要复习方法没有问题，就应该坚持下去。虽然表面上感到没有进步，但实际水平其实已经在不知不觉中提高了，因为有这样的想法说明考生已经认识到了自已的不足，正处于调整和进步中。这个时候需要的就是考生的意志力，只要坚持下去，就有成功的希望。 不可忽视例题 考生在备考时还要多做例题，而不仅仅是练习题。做例题时应遵照下面的方法，也就是在看第一遍之前一定要遮住答案，自己先认真做;无论做出与否都要把自己的思路详记于空白处，尤其是做不出的，一定把自己真实的思考方式记录在案，留待日后分析，而不是对了答案就万事大吉，这样做可以迅速的找到做题的感觉。总之，考生在做题目时，要养成良好的做题习惯，做一个“有心人”，认真地将遇到的解答中好的或者陌生的解题思路以及自己的思考记录下来，平时翻看，久而久之，自己的解题能力就会有所提高。 对于那些具有很强的典型性、灵活性、启发性和综合性的题，要特别注重解题思路和技巧的培养。数学试题千变万化，其知识结构却基本相同，题型也相对固定，往往存在明显的解题套路，熟练掌握后既能提高解题的针对性，又能提高解题速度和正确率。

考研高数同济七版必做课后 习题

考研高数同济七版必做课后习题 习题1-1：2，5，6，13； 习题1-2：2，3，6，7，8； 习题1-3：1，2，3，4，7，12； 习题1-4：1，5，6； 习题1-5：1，2，3，4，5； 习题1-6：1：（5），（6），2，4； 习题1-7：1，2，3，4，5：（2），（3），（4）； 习题1-8：2，3，4，5，6； 习题1-9：1，2，3，4，5； 总复习题一：1，2，3，5，9，10，11，12，13。 习题2-1：5，6，7，8，9，11，13，16，17，18，19，20； 习题2-2：2，3，6，7，8，9，10，11，13，14； 习题2-3：1，2，3，4，10，12； 习题2-4：1，2，3，4，5（数一、二），6（数一、二），7（数一、二），8（数一、二）； 习题2-5：3，4； 总复习题二：1，2，3，6，7，8，9，10，11，12（数一、二），13（数一、二），14。 习题3-1：5，6，7，8，9，10，11，12，15； 习题3-2：1，2，3，4； 习题3-3：6，10； 习题3-4：1，3：（3），（4），（6），（8），4，5，7，8，9，10，11； 习题3-5：1，3，4，5，6，9； 习题3-6：2，3，5； 习题3-7（数一，二）：1，2，3，4，5； 总复习题三：1-15，16（数一，二），18，19，20。

习题4-1：1，2，3； 习题4-2：1，2； 习题4-3：1-24； 习题4-4：1-24； 习题4-5：1-25； 总复习题四：1，2，3，4。 习题5-1：2，3，4，7，11，12，13； 习题5-2：1，2（数一、二），3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14； 习题5-3：1-7； 习题5-4：1，4； 总复习题五：1-14。 习题6-2：2，5，12，13，14，15，23（数一、二），24（数一、二），25（数一、二）； 习题6-3（数一、二）：1，3，7，8，11； 总复习题六：1，2（2），4，5，7，8，10-13（数一、二）。 习题7-1：1，2，4； 习题7-2：1，2； 习题7-3：1，2； 习题7-4：1，2，6，7； 习题7-5（数一、二）：1，2； 习题7-6：4； 习题7-7：1，2； 习题7-8：1，2； 总复习题七：1，2，3，4，5。

微积分课后题答案习题详解

微积分课后题答案习题 详解 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

第二章 习题2-1 1. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞ x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞ x n +k =a . 证：由lim n n x a →∞ =，知0ε?>，1N ?，当1n N >时，有 取1N N k =-，有0ε?>，N ?，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞ =. 2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞ x n =a ,则lim n →∞ ∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明 上述结论反之不成立. 证： 而 n n x a x a -≤- 于是0ε?>，,使当时，有N n N ?> n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-< 由数列极限的定义得 lim n n x a →∞ = 考察数列 (1)n n x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞ =， 所以前面所证结论反之不成立。 3. 利用夹逼定理证明： (1) lim n →∞ 2 22111(1) (2)n n n ??+++ ?+?? =0； (2) lim n →∞2!n n =0. 证：（1）因为 222 222111 112(1)(2)n n n n n n n n n n ++≤+++ ≤≤=+ 而且 21lim 0n n →∞=， 2lim 0n n →∞=， 所以由夹逼定理，得 22211 1lim 0(1)(2)n n n n →∞?? +++ = ?+? ? . （2）因为22222240!123 1n n n n n < =<-，而且4 lim 0n n →∞=，

考研高数复习计划及习题选做习题

考研数学一之高数上册学习计划 数学复习具有基础性和长期性的特点，数学知识的学习是一个长期积累的过程，要遵循由浅入深的原则,先将知识基础打牢,构建起知识体系,然后再去追求技巧以及方法,一座 高楼大厦必定是建立在坚实的地基之上的，因此我们将基础知识的复习安排在第一阶段，希望大家给予足够重视。 同时，有一个科学的学习计划,才能更迅速有效地掌握数学知识。我们按照这个原则制定了详尽的数学学习计划,使得同学们能够迅速的巩固基础知识,循序渐进，加快数学学习的步伐，为今后数学水平的提高打下一个坚实的基础。在研究生考试过程中先人一步，胜人一筹。 一、数学一试卷结构 二、数学复习全年规划 第一阶段夯实基础，全面复习 主要目标：基本教材阶段。吃透考研大纲的要求，做到准确定位，事无巨细地对大纲涉及到的知识点进行地毯式的复习，夯实基础，训练数学思维，掌握一些基本题型的解题思路和技巧，为下一个阶段的题型突破做好准备。 第二阶段熟悉题型，前后贯通 主要目标：复习全书阶段。大量习题训练，熟悉考研题型，加强知识点的前后联系，分清重难点，让复习周期尽量缩短，把握整体的知识体系，熟练掌握定理公式和解题技巧。 第三阶段查缺补漏，模拟训练 主要目标：套题、模拟训练题阶段。练习答题规范，保持卷面整洁，增加信心，练习掌握考试时间的分配，增强临场应变的能力，要对自己前两个阶段复习中出现含糊不清，掌握不牢的地方重点加强。 第四阶段强化记忆，保持状态 主要目标：查漏补缺，回归教材。强化记忆，调整心态，保持状态，积极应考。 三、教材的选择 《高等数学》同济版：讲解比较细致，例题难度适中，涉及内容广泛，是现在高校中采用比较广泛的教材，配套的辅导教材也很多。 《线性代数》清华版：讲解详实，细致深入，适合时间充裕的同学（推荐）。 《线性代数》同济版：轻薄短小，简明易懂，适合基础不好的同学。 《概率论与数理统计》浙大版：课后习题中基本的题型都有覆盖。 四、学习方法解读 （1）强调学习而不是复习 对于大部分同学而言，由于高等数学学习的时间比较早，而且原来学习所针对的难度并不是很大，又加上遗忘，现在数学知识恐怕已经所剩无几了，所以，这一遍强调学习，要拿出重新学习的劲头亲自动手去做，去思考。 （2）复习顺序的选择问题 我们建议先高等数学再线性代数再概率论与数理统计。高等数学是线性代数和概率论

同济版高等数学课后习题解析

同济版高等数学课后习题 解析 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020.

书后部分习题解答 P21页 3．（3）n n n b b b a a a ++++++++∞→ 2211lim （1,1<x ，)(211n n n x a x x += + 证：由题意，0>n x ，a x a x x a x x n n n n n =??≥+= +221)(211（数列有下界） 又02)(212 1≤-=-+=-+n n n n n n n x x a x x a x x x （因a x n ≥+1）（数列单调减少） 由单调有界定理，此数列收敛；记b x n n =∞ →lim ，对)(211n n n x a x x += +两边取极限，得)(21b a b b += ，解得a b =（负的舍去），故此数列的极限为a . P35页4.（8）极限=-++-+→211)1()1(lim x n x n x n x 211) 1()1()]1(1[lim -++--++→x n x n x n x 21 221111)1()1()1()1()1(1lim -++--+-+-+=+++→x n x n x x C x C n n n x 2 ) 1(2 1+= =+n n C n (若以后学了洛必达法则（00型未定型），则211) 1()1(lim -++-+→x n x n x n x 2 ) 1(2)1(lim )1(2)1())1(lim 111+=+=-+-+=-→→n n nx n x n x n n x n x ） 书后部分习题解答2 P36页

高等数学同济第六版上册课后答案

2018年湖南省怀化市中考物理试卷 一、选择区 1. 下图中符合安全用电原则的是（） A. 雷雨时在大树下躲雨 B. 在高压线下钓鱼 C. 在同一插座上同时使用多个大功率用电器 D. 发现有人触电时立即切断电源 【答案】D 【解析】A、雷雨时，不可以在大树下避雨，要注意防雷电，故A错误； B、高压线下钓鱼，鱼线很容易接触到高压线，容易发生触电事故，故B错误； C、在同一个插座上同时使用了多个大功率的用电器，由可得，会使干路中的电流过大，容易发生电路火灾，故C错误； D、当发现有人触电时，应该立即采取的措施是：迅速切断电源或用绝缘体挑开电线，因为人体是导体，不能用手拉开电线和触电的人，故D正确。 故选：D。 点睛：本题考查日常安全用电常识，关键是了解安全用电的基本原则“不接触低压带电体，不靠近高压带电体。” 2. 在北京8分钟的节目中，憨态可掬的大熊猫令人忍俊不禁。这只大熊猫是用一种特制的铝合金材料制成的，它的高度为2.35m，质量却只有10kg，它利用了铝合金的哪一种性质（） A. 质量小 B. 密度小 C. 比热容小 D. 导热性能好 【答案】B 【解析】解：由题知，大熊猫是用一种特殊的铝合金材料制成的，它的高为2.35m，质量却只有10kg，也就是说它的体积很大，质量很小，根据ρ=可知，材料的体积相同时，质量越小，密度越小。所以它利用

了铝合金密度小的性质。故ACD错误，B正确。 故选：B。 点睛：密度是物质的一种特性，不同物质密度一般不同，常用密度来鉴别物质。解答本题时，要紧扣大熊猫高度大，质量小的特点进行分析。 3. 下列事例中不是利用大气压工作的是（） A. 用塑料吸管吸饮料 B. 用抽水机抽水 C. 用注射器将药液注入病人体内 D. 钢笔吸墨水 【答案】C 【解析】解：A、用吸管吸饮料时，吸管内的气压小于外界大气压，饮料在外界大气压的作用下，被压入口腔内。利用了大气压。故A不合题意； B、抽水机抽水，通过活塞上移或叶轮转动使抽水机内水面上方的气压减小，水在外界大气压的作用下，被压上来，利用了大气压，故B不合题意。 C、用注射器将药液注入病人体内是利用人的压力将药液注入人体肌肉的，不是利用大气压来工作的，故C 符合题意。 D、用力一按橡皮囊，排出了里面的空气，当其恢复原状时，橡皮囊内部气压小于外界大气压，在外界大气压的作用下，墨水被压入钢笔内，利用了大气压。故D不合题意。 故选：C。 点睛：本题考查了大气压的应用，此类问题有一个共性：通过某种方法，使设备内部的气压小于外界大气压，在外界大气压的作用下出现了这种现象。 4. 自然界中有些能源一旦消耗就很难再生，因此我们要节约能源。在下列能源中，属于不可再生的能源的是 A. 水能 B. 风能 C. 太阳能 D. 煤炭 【答案】D D、煤炭属于化石燃料，不能短时期内从自然界得到补充，属于不可再生能源，故D符合题意。

(word完整版)考研高数同济七版必做课后习题

考研高数同济七版必做课后习题 第一章 习题1-1：2，5，6，13； 习题1-2：2，3，6，7，8； 习题1-3：1，2，3，4，7，12； 习题1-4：1，5，6； 习题1-5：1，2，3，4，5； 习题1-6：1：（5），（6），2，4； 习题1-7：1，2，3，4，5：（2），（3），（4）； 习题1-8：2，3，4，5，6； 习题1-9：1，2，3，4，5； 总复习题一：1，2，3，5，9，10，11，12，13。 第二章 习题2-1：5，6，7，8，9，11，13，16，17，18，19，20； 习题2-2：2，3，6，7，8，9，10，11，13，14； 习题2-3：1，2，3，4，10，12； 习题2-4：1，2，3，4，5（数一、二），6（数一、二），7（数一、二），8（数一、二）； 习题2-5：3，4； 总复习题二：1，2，3，6，7，8，9，10，11，12（数一、二），13（数一、二），14。

第三章 习题3-1：5，6，7，8，9，10，11，12，15； 习题3-2：1，2，3，4； 习题3-3：6，10； 习题3-4：1，3：（3），（4），（6），（8），4，5，7，8，9，10，11； 习题3-5：1，3，4，5，6，9； 习题3-6：2，3，5； 习题3-7（数一，二）：1，2，3，4，5； 总复习题三：1-15，16（数一，二），18，19，20。 第四章 习题4-1：1，2，3； 习题4-2：1，2； 习题4-3：1-24； 习题4-4：1-24； 习题4-5：1-25； 总复习题四：1，2，3，4。 第五章 习题5-1：2，3，4，7，11，12，13； 习题5-2：1，2（数一、二），3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14； 习题5-3：1-7；

高等数学下-复旦大学出版-习题十答案详解

习题十 1. 根据二重积分性质，比较 ln()d D x y σ+?? 与2[ln()]d D x y σ+??的大小，其中： （1）D 表示以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形； （2）D 表示矩形区域{(,)|35,02}x y x y ≤≤≤≤. 解：（1）区域D 如图10-1所示，由于区域D 夹在直线x +y =1与x +y =2之间，显然有 图10-1 12x y ≤+≤ < 从而 0ln()1x y ≤+< 故有 2 ln()[ln()]x y x y +≥+ 所以 2ln()d [ln()]d D D x y x y σσ+≥+?? ?? （2）区域D 如图10-2所示.显然，当(,)x y D ∈时，有3x y +≥. 图10-2 从而 ln(x +y )>1 故有 2 ln()[ln()]x y x y +<+ | 所以 2ln()d [ln()]d D D x y x y σσ +<+?? ?? 2. 根据二重积分性质，估计下列积分的值： （1）4d ,{(,)|02,02}I xy D x y x y σ=+=≤≤≤≤??; （2）22sin sin d ,{(,)|0π,0π}D I x y D x y x y σ= =≤≤≤≤?? ;

解：（1）因为当(,)x y D ∈时，有02x ≤≤, 02y ≤≤ 因而 04xy ≤≤. 从而 2≤≤》 故 2d D D σσσ≤≤?? ?? ?? 即2d d D D σσσ≤≤???? 而 d D σσ=?? （σ为区域D 的面积） ，由σ=4 得 8σ≤ ≤?? (2) 因为2 2 0sin 1,0sin 1x y ≤≤≤≤，从而 220sin sin 1x y ≤≤ 故 220d sin sin d 1d D D D x y σσσ≤≤?? ???? 即220sin sin d d D D x y σσσ≤ ≤=???? ~ 而2 πσ= 所以2220sin sin d πD x y σ≤ ≤?? （3）因为当(,)x y D ∈时，2 2 04x y ≤+≤所以 22229494()925x y x y ≤++≤++≤ 故 229d (49)d 25d D D D x y σσσ≤++≤?? ???? 即 229(49)d 25D x y σσσ≤ ++≤?? 而 2 π24πσ=?= 所以 2236π(49)d 100πD x y σ≤ ++≤?? … 3. 根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：