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2020届高考数学压轴题讲义(选填题)：数列与函数、不等式相结合问题

数列与函数、不等式相结合问题

一．方法综述

数列与函数、不等式相结合是数列高考中的热点问题，难度较大，求数列与函数、不等式相结合问题时会渗透多种数学思想.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强，但万变不离其宗，只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题，如数列中的恒成立问题、数列中的最值问题、数列性质的综合问题、数列与函数的综合问题、数列与其他知识综合问题中都有所涉及，本讲就这类问题进行分析.

二．解题策略

类型一数列中的恒成立问题

【例1】【安徽省毛坦厂中学2019届高三校区4月联考】已知等差数列满足，，数列满足，记数列的前项和为，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【解析】

由题意得，则，等差数列的公差，

由，

得，

则不等式恒成立等价于恒成立，

而，

问题等价于对任意的，恒成立.

设，，

则，即

，

解得或

故选:A.

【指点迷津】对于数列中的恒成立问题，仍要转化为求最值的问题求解，解答本题的关键是由等差数列通项公式可得，进而由递推关系可得

，借助裂项相消法得到，又

，问题等价于对任意

的

，

恒成立.

【举一反三】已知数列{}n a 的首项1a a =，其前n 项和为n S ，且满足()2

142,n n S S n n n N -++=≥∈，若

对任意1,n n n N a a ++∈<恒成立，则a 的取值范围是（） A ．()3,5 B ．()4,6 C ．[)3,5 D ．[)4,6 【答案】A

类型二数列中的最值问题

【例2】【浙江省湖州三校2019年高考模拟】已知数列满足

，

，则使

的正整数的最小值是（）

A．2018 B．2019 C．2020 D．2021

【答案】C

【解析】

令,则,所以，从而，

因为,所以数列单调递增，

设当时, 当时,

所以当时，，，

从而,

因此,

选C.

【指点迷津】本题利用数列的递推公式,确定数列的单调性，令,利用裂项相消法得，再根据范围求正整数的最小值.在解题时需要一定的逻辑运算与推理的能力，其中确定数列单调性是解题的关键

【举一反三】【河南省许昌市、洛阳市2019届高三三模】已知数列，的前项和分别为，，且，，，若恒成立，则的最小值为（）A．B．C．49 D．

【答案】B

【解析】

当时，，解得.当时，由，得，两式相减并化简得，由于，所以，故是首项为，公差为的等差数列，所以.则，故

，

由于是单调递增数列，，.

故的最小值为，故选B. 类型三数列性质的综合问题

【例3】【江苏省扬州中学2019届高三下学期3月月考】已知等差数列的前n 项和为，若1≤≤3，

3≤≤6，则的取值范围是_______．

【答案】

【解析】在等差数列中，

，

∴，

又， ∴．

由得

．

∴，即，

∴

．即的取值范围是．

故答案为：．

【指点迷津】1.本题先根据

求出的取值范围，然后根据不等式的性质可得所求结果.

2.由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）累加法（相邻两项的差成等差、等比数列）；累乘法（相邻两项的积为特殊数列）；（3）构造法，形如()10,1n n a qa p p q -=+≠≠的递推数列求通项往往用构造法，即将()10,1n n a qa p p q -=+≠≠利用待定系数法构造成()1n n a m q a m -+=+的形式，再根据等比数例求出{}n a m +的通项，进而得出{}n a 的通项公式. 【举一反三】【广东省汕尾市2019年3月高三检测】已知数列的首项

为数列

的前项和若

恒成立，则的最小值为______．

【答案】

【解析】

数列的首项，

则：常数

故数列是以为首项，3为公差的等差数列．

则：首项符合通项．

故：，

，

由于数列的前n项和恒成立，

故：，

则：t的最小值为，

故答案为：．

类型四数列与函数的综合问题

【例4】已知函数的定义域为，当时，，且对任意的实数，，

恒成立，若数列满足（）且，则下列结论成立的是（）A．B．

C．D．

【答案】C

【解析】

对任意的实数x，y∈R，f（x）f（y）＝f（x+y）恒成立，

取x＝y＝0，则f（0）f（0）＝f（0），解得f（0）＝0或f（0）＝1．

当f（0）＝0时，，得余题意不符，故舍去.

所以f（0）＝1．

取y＝﹣x＜0，则f（x）f（﹣x）＝1，∴f（x），

设x1＜x2，则f（x1﹣x2）＝f（x1）?f（﹣x2）1，∴f（x1）＞f（x2）．

∴函数f（x）在R上单调递减．

∵数列{}满足f（a n+1）f（）＝1＝f（0）．

∴0，∵a1＝f（0）＝1，

∴，＝﹣2，＝1，，……．

∴＝．

∴＝，＝＝1．＝，＝＝﹣2．

∴f（）1，f（）＝f（1）＜1．

∴f（）＞f（）．

而f（）＝f（），f（）＜1＜f（），

f（）＝f（）＜f（）＝f（﹣2），

因此只有：C正确．

故选：C．

【指点迷津】(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.

(2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去“f”，即将函数值的大小转化自变量大小关系, 对称性可得到两个对称的自变量所对应函数值关系. 【举一反三】【浙江省杭州第十四中学2019届高三9月月考】已知数列中，

，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【解析】

由题，

即

由累加法可得：即

对于任意的，不等式

恒成立

即

令

可得

且

即

可得或

故选B

类型五数列与其他知识综合问题【例5】将向量12,,

,n a a a 组成的系列称为向量列{}n a ，并定义向量列{}

n a 的前n 项和

12n n S a a a =++

+．若()*1,n n a a R n N λλ+=∈∈，则下列说法中一定正确的是（）

A. (

)111n

n a S λλ

- B. 不存在*

n N

∈，使得0n S =

C. 对*m n N ?∈、，且m n ≠，都有m n S S

D. 以上说法都不对

【答案】C

【解析】由()

*1,n n a a R n N λλ+=∈∈，则

n n

a a λ+=，所以数列{}

n a 构成首项为1a ，公比为λ的等比数列，所以(

)11

{ 1,11n

n na S a λλλλ

==-≠-，又当1λ=-时，

20n S =，

所以当*

m n N ?∈、，且m n ≠时， m n S S 是成立的，故选C.

【例6】斐波那契数列{}n a 满足： ()

*12121,1,3,n n n a a a a a n n N --===+≥∈.若将数列的每一项按照下

图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n 项所占的格子的面积之和为n S ，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为n c ，则下列结论错误的是（）

A. 2

111·

n n n n S a a a +++=+ B. 12321n n a a a a a +++++=-

C. 1352121n n a a a a a -++++=-

D. ()1214?n n n n c c a a π--+-=

【答案】C

12331131...1121n n a a a a a a a --?++++=-??=-?=- ,所以B 正确；对于C, 1n = 时，

121a a ≠- ；C 错误；对于D, ()()()22211112144?

4n n n n n n n n n n a a c c a a a a a a ππππ-----+??

-=-=+-= ???,D 正确.故选C.

【指点迷津】这类题型往往出现在在填空题最后两题，综合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题.

【举一反三】1.如图所示，矩形n n n n A B C D 的一边n n A B 在x 轴上，另外两个顶点,n n C D 在函数

()1

(0)f x x x x =+>的图象上.若点n B 的坐标为()(),02,n n n N +≥∈，

记矩形n n n n A B C D 的周长为n a ，则2310a a a ++

+=（）

A. 220

B. 216

C. 212

D. 208 【答案】B

2.将正整数12分解成两个正整数的乘积有112?， 26?， 34?三种，其中34?是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称34?为12的最佳分解.当p q ?（p q ≤且*

,N p q ∈）是正整数n 的最佳分解时，我们定义函数()f n q p =-，例如()12431f =-=.数列(){}3n

f 的前100项和为__________．

【答案】5031-

【解析】当n 为偶数时， ()30n f =；当n 为奇数时， ()1112

n n n n

f +--=-=?，

(

)

500149

10031233 (3)

23131

S -∴=+++=?=--，故答案为5031-.

类型六数列与基本不等式结合的问题

【例7】【山东省济宁市2019届高三一模】已知正项等比数列满足：

，若存

在两项使得

，则

的最小值为

A ．

B ．

C ．

D ．【答案】A 【解析】因为数列

是正项等比数列，

，

所以，，，

所以，，，，，

因为，所以，，

，当且仅当时“=”成立，

所以的最小值为，故选A.

【指点迷津】本题考查了等比数列的相关性质以及基本不等式的相关性质，等比数列的通项公式是，等比中项，基本不等式有，考查公式的使用，考查化归与转化思想.

【举一反三】【甘肃省白银市靖远县2019届高三第四次联考】已知函数，若

，则的最小值为（）A．B．C．D．

【答案】A

【解析】

由题可知：

令

又

于是有

因此

所以

当且仅当时取等号

本题正确选项：

三．强化训练

一、选择题

1．【安徽省宣城市2019届高三第二次调研】已知正项等比数列满足，若存在两项，

，使得，则的最小值为（）

A．B．C．3 D．

【答案】C

【解析】

解：设等比数列的公比为q（q＞0），

∵a9＝a8+2a7，

∴a7q2＝a7q+2a7，

∴q2﹣q﹣2＝0，

∴q＝2或q=-1（舍），

∵存在两项a m，a n使得，

∴，

∴

故选C.

2.【2019年3月2019届高三第一次全国大联考】已知数列的前项和为，，且满足

，若，，则的最小值为（）

A．B．C．D．0

【答案】B

【解析】

由，得，且，

所以数列是以为首项、2为公差的等差数列，

则，

即，

令，得，又，，由，

则的最小值为.

故选：B．

3.【四川省成都市外国语学校2019届高三一诊】在正项等比数列中，，．则满足

的最大正整数的值为（）

A．10 B．11 C．12 D．13

【答案】C

【解析】

解：∵正项等比数列中，，，

∴.

∵，

解可得，或（舍），

∴，

∵，

∴.

整理可得，，

∴，

经检验满足题意，

故选：C．

4.若数列的通项公式分别为，且，对任意恒成立，则实数的取值范围是( )

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】

，故

当n为奇数，-a<2+,又2+单调递减，故2+，故- a2，解a

当n为偶数，又2-单调递增，故2-，故，综上a

故选：D

5．已知各项均为正数的数列的前项和为，且，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】

，

时，，

化为：，．

，即，

时，，解得．

数列为等差数列，首项为1，公差为1．

．

记，.

所以为增数列，,即.

对任意的，恒成立，

，解得

实数的取值范围为．

故选：C．

6．【吉林省吉林市实验中学2019届高三下学期第八次月考】已知等比数列的公比，其前n项的和为，则与的大小关系是

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】

根据等比数列的前n项和公式和数列的通项公式得到：两式作差

故选：A．

7．已知，，并且，，成等差数列，则的最小值为

A．16 B．9 C．5 D．4

【答案】A

【解析】

解：根据题意，a＞0，b＞0，且，，成等差数列，

则21；

则a+9b＝（a+9b）（）＝1010+216；

当且仅当，即=时取到等号，

∴a+9b的最小值为16；

故选：A．

8．【贵州省2019年普通高等学校招生适应性】设，点，，，，设对一切都有不等式成立，则正整数

的最小值为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】

由题意知sin，∴，

∴，随n的增大而增大，∴,

∴，即，又f(t)=在t上单增，f(2)= -1<0，f(3)=2>0，

∴正整数的最小值为3.

二、填空题

9.【河北省衡水中学2019届高三下学期一调】20．已知数列的前项和.若是中的最大值，则实数的取值范围是_____．

【答案】

【解析】

因为，

所以当时，；

当时，也满足上式；

当时，，

综上，；

因为是中的最大值，

所以有且，解得.

故答案为

10．【2019届高三第二次全国大联考】已知数列的前项和为，，当时，，若恒成立，则正数的取值范围为____________．

【答案】

【解析】

由可知，数列是一个公差的等差数列，首项为，所以，所以．故当时，

．显然当时，也满足上式．所以．所以

，所以

，由题意

恒成立，所以，解得．又，所以的取值范围为．

11．【云南省2019年高三第二次检测】已知数列的前项和为，若，则使成立的的最大值是_____．

【答案】5

【解析】

因为可得：

两式相减可得：化简可得：

即

所以数列是以为首项，公比为2的等比数列

当n=1时，求得

所以即

所以即解得

所以成立的的最大值是5

故答案为5

12．【重庆市南开中学2019届高三第三次检测】在正项递增等比数列中，，记，，则使得成立的最大正整数为__________．

【答案】9

【解析】

由题得，

因为数列是正项递增等比数,所以，

所以. 因为，所以

，

所以.

所以使得成立的最大正整数为9.

故答案为：9

13.已知数列{}n a 中， 12a =，点列()1,2,n P n =?在ABC ?内部，且n P AB ?与n P AC ?的面积比为2:1，若对*N n ∈都存在数列{}n b 满足()1

3202

n n n n n b P A a P B a P C ++++=，则4a 的值为______. 【答案】80

【解析】在BC 上取点D ，使得2BD CD =，则n P 在线段AD 上．

()11

3202n n n n n n b P A a P B a P C ++++=

32322

n n n n n n n n n n n a BP b AP a CP b BP BA

a BP BC +∴-=++=-++-（）（）（）（）， 1133232)22n n n n n n a

b a BP b BA a BD +??

∴-

---=--+ ???

（

n A P D ，，三点共线，

113

3232)22n n n n n a b a b a +∴----=--+（，即132n n a a +=+．

21324332832263280a a a a a a ∴=+==+==+=，，．

故答案为：80．

14.已知函数()1

f x x =

+，点O 为坐标原点，点()()()

*,n A n f n n N ∈，向量()0,1i =，θn 是向量OAn 与i 的夹角，则使得

12cos cos cos sin sin sin n

t θθθθθθ++< 恒成立的实数t 的取值范围为 ___________．

【答案】3,4??+∞????

【解析】根据题意得,

n π

θ- 是直线OA n 的倾斜角，则：

()()sin cos 11112tan sin 2222cos 2n n n n n f n n n n n n πθθπθπθθ??- ?

??????==-===- ? ?++??????- ?

，据此可得：

结合恒成立的结论可得实数t 的取值范围为3

,4??+∞????

15.【新疆2019届高三一模】已知数列为等差数列，，，数列的前n 项

和为，若对一切，恒有

，则m 能取到的最大正整数是______．

【答案】7 【解析】解：设数列

的公差为，由题意得，

，解得

，

，且

，

令，则，

即

，

则随着的增大而增大，即在处取最小值，

，

对一切

，恒有

成立，

即可，解得，

故能取到的最大正整数是7．

16. 【北京师大附中2019届高三4月模拟】设数列的前n项和为，，且，若，则n的最大值为______．

【答案】63

【解析】

由数列的前n项和为，，又，

故，则的偶数项成等差数列，

则,（n为偶数）

又，，

为等差数列，首项为3，公差为4，

当n为偶数时，设数列的前n项和为，

可得，，

则+若，无解舍去

当n为奇数时，-(=,又所以

解

则n的最大值为63，

故答案为：63．

[数学]数学高考压轴题大全

1、（本小题满分14分）已知函数．（1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；（2）当时，试比较与的大小；（3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数．（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；（Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点；（Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点. （Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点；

（ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由. 二、计算题（每空？分，共？分） 4 、设函数的图象在点处的切线的斜率为，且函数为偶函数．若函数满足下列条件：①；② 对一切实数，不等式恒成立．（Ⅰ）求函数的表达式；（Ⅱ）求证：． 5 、已知函数：（1 ）讨论函数的单调性；（2）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时，函数在区间上总存在极值？ (3)求证：．

6、已知函数=，. (Ⅰ)求函数在区间上的值域；（Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的，使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对于函数图象上的点（其中总能使得成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具备性质“”，并说明理由. 7、已知函数（Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值；（Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围；（Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8、已知函数： ⑴讨论函数的单调性；

利用放缩法证明数列型不等式压轴题

利用放缩法证明数列型不等式压轴题惠州市华罗庚中学欧阳勇摘要：纵观近几年高考数学卷，压轴题很多是数列型不等式，其中通常需要证明数列型不等式，它不但可以考查证明不等式和数列的各种方法，而且还可以综合考查其它多种数学思想方法，充分体现了能力立意的高考命题原则。处理数列型不等式最重要要的方法为放缩法。放缩法的本质是基于最初等的四则运算，利用不等式的传递性，其优点是能迅速地化繁为简，化难为易，达到事半功倍的效果；其难点是变形灵活，技巧性强，放缩尺度很难把握。对大部分学生来说，在面对这类考题时，往往无从下笔．本文以数列型不等式压轴题的证明为例，探究放缩法在其中的应用，希望能抛砖引玉，给在黑暗是摸索的学生带来一盏明灯。关键词：放缩法、不等式、数列、数列型不等式、压轴题主体：一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用 1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式问题。裂项放缩法主要有两种类型：（1）先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。例1设数列{}n a 的前n 项的和1412 2333n n n S a +=-?+，1,2,3, n =。设2n n n T S =， 1,2,3, n =，证明： 1 32 n i i T =< ∑。证明：易得12(21)(21),3 n n n S +=--1132311()2(21)(21)22121n n n n n n T ++= =-----， 11223 111 31131111 11 ()()221212212121212121 n n i i i n n i i T ++===-=-+-++ ---------∑∑ = 113113()221212 n +-<-- 点评：此题的关键是将12(21)(21)n n n +--裂项成1 11 2121 n n +---，然后再求和，即可达到目标。（2）先放缩通项，然后将其裂成(3)n n ≥项之和，然后再结合其余条件进行二次放缩。例2 已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-，1n n b a =-，数列{}n b 的

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2011高考数学压轴题专题训练--数列（36页WORD ）第六章数列高考题三、解答题 22.（2009全国卷Ⅰ理）在数列{}n a 中，1111 1,(1)2 n n n n a a a n ++==++ （I ）设n n a b n = ，求数列{}n b 的通项公式（II ）求数列{}n a 的前n 项和n S 分析：（I ）由已知有 1112n n n a a n n +=++11 2 n n n b b +∴-= 利用累差迭加即可求出数列{}n b 的通项公式: 1 122 n n b -=-(* n N ∈) （II ）由（I ）知1 22n n n a n -=- , ∴n S =11(2)2n k k k k -=-∑111(2)2n n k k k k k -===-∑∑ 而 1 (2)(1)n k k n n ==+∑,又11 2n k k k -=∑ 是一个典型的错位相减法模型，易得 11 12 42 2n k n k k n --=+=-∑ ∴n S =(1)n n +1242n n -++- 评析：09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前n 项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。 23.（2009北京理）已知数集{}()1212,, 1,2n n A a a a a a a n =≤<<≥具有性质P ；对任意的 (),1i j i j n ≤≤≤，i j a a 与 j i a a 两数中至少有一个属于A . （Ⅰ）分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由；

高考数列与不等式压轴题(难题)

高考数列与不等式压轴题 1. 已知数列{}n a 为等差数列，且满足211n n n a a na +=-+，*n N ∈。 1) 求数列{}n a 的通项公式； 2) 求证： 12321 1111 ...ln 2n n n n a a a a ++++++++<. 3) 当01λ<<时，设1 ()2n n b a λ=-，(1)n n c a λ=-，数列1n n b c ?????? 的前n 项和为n T ，求证： 91 43 n n T n -> +。 2. （2013?蓟县一模）已知数列{}n a 中，11a =，*12311 23()2 n n n a a a na a n N +++++???+= ∈ 1) 求数列{}n a 的通项n a ； 2) 求数列2 {}n n a 的前n 项和n T ； 3) 若存在* n N ∈，使得(1)n a n λ≥+成立，求实数λ的取值范围． 3. （2010?无锡模拟）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列是公比为2的等比数列． 1) 证明：数列{}n a 成等比数列的充要条件是13a =； 2) 设*5(1)()n n n b n a n N =--∈，若1n n b b +<对*n N ∈恒成立，求1a 的取值范围． 4. 已知数列{}n a 中，2 2(a a a =+为常数），n S 是{}n a 的前n 项和，且n S 是n na 与na 的等差中项． 1) 求数列{}n a 的通项公式； 2) 设数列{}n b 是首项为1，公比为2 3 - 的等比数列，n T 是{}n b 的前n 项和，问是否存在常数a ，使1012n a T ?<恒成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由． 5. 已知数列{}n a 满足11a =，2*123()1 n n n n a a m a n N a +++=∈+。 1) 若恒有1n n a a +≥，求m 的取值范围． 2) 在31m -≤<时，证明： 121111 11112 n n a a a ++???+≥-+++ 3) 设正项数列{}n a 的通项n a 满足条件：*() 10()n n n a na n N +-=∈，求证：1 02 n a ≤≤ 。

历年高考数学压轴题集锦

高考数学压轴题集锦 1．椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为(,)0F c （0>c ）的准线l 与x 轴相交于点A ，2OF FA =，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点。（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若0OP OQ ?=，求直线PQ 的方程；（3）设AP AQ λ=（1λ>），过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明FM FQ λ=-. (14分) 2．已知函数)(x f 对任意实数x 都有1)()1(=++x f x f ，且当]2,0[∈x 时，|1|)(-=x x f 。（1） )](22,2[Z k k k x ∈+∈时，求)(x f 的表达式。（2）证明)(x f 是偶函数。（3）试问方程01 log )(4=+x x f 是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有实数根，请说明理由。 3．（本题满分12分）如图，已知点F （0，1），直线L ：y=-2，及圆C ：1)3(2 2 =-+y x 。（1）若动点M 到点F 的距离比它到直线L 的距离小1，求动点M 的轨迹E 的方程；（2）过点F 的直线g （3）过轨迹E 上一点P 点P 的坐标及S

4.以椭圆2 22y a x +＝1（a ＞1）短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试判断并推证能作出多少个符合条件的三角形. 5 已知，二次函数f （x ）＝ax 2 ＋bx ＋c 及一次函数g （x ）＝－bx ，其中a 、b 、c ∈R ，a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0. （Ⅰ）求证：f （x ）及g （x ）两函数图象相交于相异两点；（Ⅱ）设f （x ）、g （x ）两图象交于A 、B 两点，当AB 线段在x 轴上射影为A 1B 1时，试求|A 1B 1|的取值范围. 6 已知过函数f （x ）=12 3++ax x 的图象上一点B （1，b ）的切线的斜率为－3。（1）求a 、b 的值；（2）求A 的取值范围，使不等式f （x ）≤A －1987对于x ∈[－1，4]恒成立；（3）令()()132 ++--=tx x x f x g 。是否存在一个实数t ，使得当]1,0(∈x 时，g （x ）有最大值1？ 7 已知两点M （－2，0），N （2，0），动点P 在y 轴上的射影为H ，︱PH ︱是2和→ → ?PN PM 的等比中项。（1）求动点P 的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线；（2）若以点M 、N 为焦点的双曲线C 过直线x+y=1上的点Q ，求实轴最长的双曲线C 的方程。 8．已知数列{a n }满足a a a a b a a a a a a a n n n n n n +-=+=>=+设,2),0(322 11 （1）求数列{b n }的通项公式；（2）设数列{b n }的前项和为S n ，试比较S n 与 8 7 的大小，并证明你的结论. 9．已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点)2,0(A 为圆心，1为半径的圆相切，又知C 的一个焦点与A 关于直线x y =对称．（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线1+=mx y 与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，另一直线l 经过M （-2，0）及AB 的中点，求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围；（Ⅲ）若Q 是双曲线C 上的任一点，21F F 为双曲线C 的左，右两个焦点，从1F 引21QF F ∠的平分线的垂线，垂足为N ，试求点N 的轨迹方程． 10. )(x f 对任意R x ∈都有.2 1)1()(= -+x f x f