北师大版三角形的证明

等腰三角形（基础）知识讲解

【学习目标】

1. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性；

2. 掌握等腰三角形、等边三角形的性质，会利用这些性质进行简单的推理、证明、计算和作图．

3. 理解并掌握等腰三角形、等边三角形的判定方法及其证明过程. 通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.

4. 理解反证法并能用反证法推理证明简单几何题.

【要点梳理】

要点一、等腰三角形的定义

1.等腰三角形

有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.

如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．

2.等腰三角形的作法

已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.

作法：1.作线段BC=a；

2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧

相交于点A;

3.连接AB,AC.

△ABC为所求作的等腰三角形

3.等腰三角形的对称性

(1)等腰三角形是轴对称图形；

(2)∠B＝∠C；

(3)BD＝CD，AD为底边上的中线.

(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线.

结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.

4.等边三角形

三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.

要点诠释：（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为

钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝180

2

A

?-∠

.

（2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.

要点二、等腰三角形的性质

1.等腰三角形的性质

性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．

推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°.

性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．

2.等腰三角形中重要线段的性质

等腰三角形的两底角的平分线（两腰上的高、两腰上的中线）相等.

要点诠释：这条性质，还可以推广到一下结论：

（1）等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。

（2）等腰三角形两底边上的中点到两腰的距离相等.

（3）等腰三角形两底角平分线，两腰上的中线，两腰上的高的交点到两腰的距离相等，到底边两端上的距离相等.

（4）等腰三角形顶点到两腰上的高、中线、角平分线的距离相等.

要点三、等腰三角形的判定定理

1.等腰三角形的判定定理

如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边.

要点诠释：(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系.

（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形．

2.等边三角形的判定定理

三个角相等的三角形是等边三角形.

有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

3. 含有30°角的直角三角形

定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.要点四、反证法

在证明时，先假设命题的结论不成立，然后从这个假设出发，经过逐步推导论证，最后推出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明命题的方法叫做反证法.

要点诠释：反证法也称归谬法，是一种间接证明的方法，一般适用于直接证明有困难的命题．一般证明步骤如下：

（1）假定命题的结论不成立；

（2）从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果；

（3）由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的.

【典型例题】

类型一、等腰三角形中有关角度的计算题

1、如图，在△ABC中，D在BC上，且AB＝AC＝BD，∠1＝30°，求∠2的度数.

举一反三：

【变式】已知：如图，D、E分别为AB、AC上的点，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，求∠B的度数．

类型二、等腰三角形中的分类讨论

2、在等腰三角形中，有一个角为40°，求其余各角．

3、已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．

举一反三：

【变式】已知等腰三角形的底边BC＝8cm，且|AC－BC|＝2cm，那么腰AC的长为( )． A．10cm或6cm B．10cm C．6cm D．8cm或6cm

类型三、等腰三角形的性质及其运用

4、如图，在△ABC中，边AB＞AC．

求证：∠ACB＞∠ABC

举一反三：

【变式】已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，BD是中线，延长BC至点E，使CE=CD．求证：DB=DE．

5、已知：如图，△ABC的两条高BE、CD相交于点O，且OB=OC，求证：

△ABC是等腰三角形．

举一反三

【变式1】如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，点D、E在BC上，试说明

△ADE是等腰三角形．

类型三、含有30°角的直角三角形

6. 如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足是D，∠A=60°.求证：BD=3AD.

举一反三：

【变式】如图，等边三角形ABC内一点P，AP=3，BP=4，CP=5，求∠APB的度数．

类型四、反证法

7. 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。

举一反三：

【变式】下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是（） A . a= —2 B . a= —1 C . a=1 D. a=2

【巩固练习】

一.选择题

1. 已知一个等腰三角形两边长分别为5，6，则它的周长为( )

A．16 B．17C．16或17D．10或12

2. 用反证法证明命题：如果AB⊥CD，AB⊥EF，那么CD∥EF，证明的第一个步骤是（）

A. 假设CD∥EF ;

B. 假设AB∥EF

C. 假设CD和EF不平行

D. 假设AB和EF不平行

3. 将两个全等的且有一个角为30°的直角三角形拼成如图所示形状，两条长直角边在同一

条直线上，则图中等腰三角形的个数是（）

A. 4个

B. 3个

C. 2个

D. 1个

4. 已知实数x，y满足|x?4|+(y?8)2＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是

（）

A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不对

?沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若5. 如图，D是AB边上的中点，将ABC

∠=?，则BDF

B

50

∠度数是（）

A．60° B．70° C．80° D．不确定

6. 如图，在△ABC中，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，若∠ADB=93°，则∠A=（）A．31°B．°C．56°D．62°

二.填空题

7．如图，△ABC中，D为AC边上一点，AD＝BD＝BC，若∠A＝40°，则∠CBD＝_____°．

8. 等腰三角形的顶角比其中一个底角大30°，则顶角的度数为．

9.用反证法证明“如果同位角不相等，那么这两条直线不平行“的第一步应假设_________.

10. 等腰三角形的一个角是70°，则它的顶角的度数是 .

11.如图，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是_________ ．（把所有正确答案的序号都填写在横线上）

①∠BAD=∠ACD；②∠BAD=∠CAD；③AB+BD=AC+CD；④AB﹣BD=AC﹣CD．

12. 如图，△ABC的周长为32，且AB=AC，AD⊥BC于D，△ACD的周长为24，那

么AD的长为 .

三.解答题

13．已知：如图，ΔABC中，AB＝AC，D是AB上一点，延长CA至E，使AE＝AD．试确定ED与BC的位置关系，并证明你的结论．

14.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E．AD⊥CE于点D．

求证：△BEC≌△CDA．

15. 用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角．

角的平分线的性质（基础）

【学习目标】

1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质．

2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法．

3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题．

【要点梳理】

要点一、角的平分线的性质

角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.

要点诠释：

用符号语言表示角的平分线的性质定理：

若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.

要点二、角的平分线的判定

角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.

要点诠释：

用符号语言表示角的平分线的判定：

若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB

要点三、角的平分线的尺规作图

角平分线的尺规作图

（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.

（2）分别以D、E为圆心，大于1

2

DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.

（3）画射线OC.

射线OC即为所求.

要点四、三角形角平分线的性质

三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三

边的距离相等.

三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.

三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC 的

内心为1P ，旁心为234,,P P P ，这四个点到△ABC 三边所在直线距离相等.

【典型例题】

类型一、角的平分线的性质

1．如图，∠ACB ＝90°,BD 平分∠ABC 交AC 于D ，DE ⊥AB 于E ，ED 的延长线交BC 的延长线

于F. 求证：AE ＝CF.

2、如图, △ABC 中, ∠C ＝ 90, AC ＝ BC, AD 平分∠CAB, 交BC 于D, DE ⊥AB 于E, 且

AB ＝6cm , 则△DEB 的周长为( )

A. 4cm

B. 6cm

C.10cm

D. 以上都不对

举一反三：

【变式】已知：如图，AD 是△ABC 的角平分线，且:32AB AC ABD 与△ACD

的面积之比为（ ）

A ．3：2

B 32

C ．2：23

3、如图，OC 是∠AOB 的角平分线，P 是OC 上一点，PD ⊥OA 交于点D ，PE ⊥OB 交于点E ，F

是OC 上除点P 、O 外一点，连接DF 、EF ，则DF 与EF 的关系如何？证明你的结论．

类型二、角的平分线的判定

4、已知，如图，CE ⊥AB,BD ⊥AC,∠B ＝∠C ，BF ＝CF.求证：AF 为∠BAC 的平分线.

举一反三：

【变式】如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F ，BE ＝CF ．

求证：AD 是△ABC 的角平分线.

【巩固练习】

一.选择题

1. AD 是△ABC 的角平分线, 自D 点向AB 、AC 两边作垂线, 垂足为E 、F, 那么下列结论中

错误的是( )

＝ DF B. AE ＝ AF ＝ CD D. ∠ADE ＝ ∠ADF

2．如图，在Rt ΔABC 中，∠C ＝90°，BD 是∠ABC 的平分线，交AC 于D ，若CD ＝n ，AB ＝

m ，则ΔABD 的面积是（ ）

A ．mn 31

B ．mn 2

1 C ．mn D ．2mn

3. 如图，平分于点，点是射线上的一个动点，若，则的最小值为（ ）

.2 C D. 4

4. 到三角形三边距离相等的点是（ ）

A.三角形三条高线的交点

B.三角形三条中线的交点

C ．三角形三边垂直平分线的交点 D.三角形三条内角平分线的交点

5. 如图，下列条件中不能确定点O 在∠APB 的平分线上的是（ ）

A ．△PBA ≌△PDC B. △AOD ≌△COB

C. AB ⊥PD ，DC ⊥PB

D.点O 到∠APB 两边的距离相等.

6. 已知，如图，AB ∥CD ，∠BAC 、∠ACD 的平分线交于点O ，OE ⊥AC 于E ，且OE ＝5cm ，则

直线AB 与CD 的距离为（ ）

A. 5cm

B. 10cm

C. 15cm

D. 20cm

二.填空题

7．如图，已知∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，BD ＝2CD ，若点D 到AB 的距离等于5cm ，则BC

的长为_____cm ．

8. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，DE ⊥AB ，∠1＝∠2，且AC ＝6cm ，那么线段BE 是△ABC

的 ，AE ＋DE ＝ 。

9. 已知：如图，在ΔABC中，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，且BD、CE交于点O，过O作

OP⊥BC于P，OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，则OP、OM、ON的大小关系为_____．

10.如图,直线、、表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距

离相等,可供选择的地址有处.

11．已知：如图，在RtΔABC中，∠C＝90°，沿着过点B的一条直线BE折叠ΔABC，使C 点恰好落在AB边的中点D处，则∠A的度数等于_____．

12.已知如图点D是△ABC的两外角平分线的交点，下列说法

（1）AD＝CD (2)D到AB、BC的距离相等

（3）D到△ABC的三边的距离相等（4）点D在∠B的平分线上

其中正确的说法的序号是_____________________.

三.解答题

13．已知，如图，∠C＝∠D＝90°,E是CD上一点，AE、BE分别平分∠DAB、∠ABC.

求证：E是CD的中点.

14．如图，在ΔABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，若△BCD与△BCA的面积比为3∶8，求△ADE与△BCA的面积之比．

15. 已知：如图，ΔABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线BF、CF交于点F.

求证：一点F必在∠DAE的平分线上．

线段的垂直平分线----知识讲解(基础)

【学习目标】

1.掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理，能够利用尺规作已知线段的垂直平分线．

2.会证明三角形的三条中垂线必交于一点.掌握三角形的外心性质定理.

3.已知底边和底边上的高，求作等腰三角形.

4.能运用线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理解决简单的几何问题及实际问题．

【要点梳理】

要点一、线段的垂直平分线

1.定义

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．

2.线段垂直平分线的做法

求作线段AB的垂直平分线.

作法：

（1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；

（2）作直线CD，CD即为所求直线．

要点诠释：

(1)作弧时的半径必须大于AB的长，否则就不能得到两弧的交点了．

(2)线段的垂直平分线的实质是一条直线.

要点二、线段的垂直平分线定理

线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．

要点诠释：

线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助线的方法，“线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件．

要点三、线段的垂直平分线逆定理

线段的垂直平分线逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．

要点诠释：

到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看作是与这条线段两个端点的距离相等的所有点的集合．

要点四、三角形的外心

三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.

要点诠释:

1.三角形三条边的垂直平分线必交于一点（三线共点），该点即为三角形外接圆的圆心.

2.锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心

在斜边上，与斜边中点重合.

3.外心到三顶点的距离相等.

要点五、尺规作图

作图题是初中数学中不可缺少的一类试题，它要求写出“已知，求作，作法和画图”，画图必须保留痕迹，在现行的教材里，一般不要求写出作法，但是必须保留痕迹.证明过程一般不用写出来.最后要点题即“xxx即为所求”.

【典型例题】

类型一、线段的垂直平分线定理

1、如图，△ABC中AC＞BC，边AB的垂直平分线与AC交于点D，已知AC=5，BC=4，则△BCD

的周长是（）

A．9 B．8 C．7 D．6

举一反三：

【变式1】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下述结论错误的是（）

A．BD平分∠ABC B．△BCD的周长等于AB+BC

C．AD=BD=BC D．点D是线段AC的中点

【变式2】如图所示，在△ABC中，DE是AC的中垂线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长是cm．

类型二、线段的垂直平分线的逆定理

2、如图，已知AB=AC,∠ABD=∠ACD，求证：AD是线段BC的垂直平分线．

举一反三：

【变式】如图，P是∠MON的平分线上的一点，PA⊥OM,PB⊥ON,垂足分别为A、B．求证：PO 垂直平分AB．

类型三、线段的垂直平分线定理与逆定理的综合应用

3、已知：如图，AB=AC，DB=DC，E是AD上一点．求证：BE=CE．

4、如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC边上的中点，CE⊥AD于点E，BF∥AC交CE的延长线于点F，求证：AB垂直平分DF．

举一反三：

【变式】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N. 求证：CM=2BM.

类型四、尺规作图

5、如图，A，B，C是新建的三个居民小区，我们已经在到三个小区距离相等的地方修建了一所学校，你能确定学校的位置吗？

线段的垂直平分线——巩固练习（基础）

【巩固练习】

一．选择题

1．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已

知∠BAE=10°，则∠C的度数为（）

A．30° B．40° C．50° D．60°

2．如图，△ABC中，DE是AB的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E，已知AE=1cm，△ACD的周长为12cm，则△ABC的周长是（）

A．13cm B．14cm C．15cm D．16cm

3．如图，在△ABC中，∠A=105°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB+BC=BE，则∠B 的度数是（）

A．45° B．60° C．50° D．55°

4．如图，已知直角三角形ABC中，∠ACB=90°，E为AB上一点，且CE=EB，ED⊥CB于D，则下列结论中不一定成立的是（）

A．AE=BE B．CE=AB C．∠CEB=2∠A D．AC=AB

5．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（）

A、80°

B、70°

C、60°

D、50°

6．如图所示，BE⊥AC于点D，且AD＝CD，BD＝ED，若∠ABC＝54°，则∠E＝（）．A．25° B．27° C．30° D．45°

二．填空题

7．ΔABC中，若AB－AC＝2cm，BC的垂直平分线交AB于D点，且ΔACD的周长为14cm，则AB＝_____，AC_____．

8．如图，ΔABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于P点．

（1）若∠A＝35°，则∠BPC＝_____；

（2）若AB＝5 cm，BC＝3 cm，则ΔPBC的周长＝_____．

9．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC 的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为．

10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，CD＝2cm， AB的垂直平分线MN交AC于D，连结BD，则AC的长是___________cm．

11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线MN分别交AC，AB于点D，E．若∠CBD : ∠DBA ＝3:1，则∠A的度数为________．

12．如图，在△ABC中，AC＝16cm，AB的垂直平分线交AC于D，如果BC＝10 cm，那么△BCD的周长是 cm．

三．解答题：

13．已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于F．求证：∠BAF=∠ACF．

14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：（1）FC=AD；（2）AB=BC+AD．

15．为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等（A、B、C不在同一直线上，地理位置如下图），请你用尺规作图的方法确定点P的位置．要求：写出已知、求作；不写作法，保留作图痕迹．

《三角形的证明》全章复习与巩固(提高)

【学习目标】

1.经历回顾与思考的过程，深刻理解和掌握定理的探索和证明.

2.结合具体实例感悟证明的思路和方法，能运用综合、分析的方法解决有关问题.

3.能正确运用尺规作图的基本方法作已知线段的垂直平分线和角的平分线，以及绘制特殊三角形.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、等腰三角形

1.三角形全等的性质及判定

全等三角形的对应边相等，对应角也相等.

判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.

2.等腰三角形的判定、性质及推论

性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）

判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）

推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）3.等边三角形的性质及判定定理

性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴.

判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形.

4.含30°的直角三角形的边的性质

定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

要点诠释：

等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角

形的特殊数据要熟记于心，不如边长为a2；含

有30°的直角三角形揭示了三角形中边与角的关系，打破了以往那种只有角或边的关系，同时也为我们学习三角函数奠定了基础.

要点二、直角三角形

1.勾股定理及其逆定理

定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.

逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.

2.命题与逆命题

命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；正确的逆命题就是逆定理.

3.直角三角形全等的判定定理

定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）

要点诠释：

①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”.

②直角三角形的全等判定方法，还有SSS,SAS,ASA,AAS,一共有5种判定方法.

要点三、线段的垂直平分线

1.线段垂直平分线的性质及判定

性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.

判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.

2.三角形三边的垂直平分线的性质

三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.

3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线

分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线.

要点诠释：

①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；

②利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题.

要点四、角平分线

1.角平分线的性质及判定定理

性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；

判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.

2.三角形三条角平分线的性质定理

性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.

3.如何用尺规作图法作出角平分线

要点诠释：

①注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；

②几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时，要构造全等三角形.

【典型例题】

类型一、能证明它们么

1. 如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，AE交CD于点F，BD分别交CE、AE于点G、H．试猜测线段AE和BD的数量和位置关系，并说明理由．

举一反三：

【变式】将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图1方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．

（1）求证：AF+EF=DE；

（2）若将图1中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其它条件不变，请在图2中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立；（3）若将图1中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其它条件不变，如图3．你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．

类型二、直角三角形

2. 下列说法正确的说法个数是（）

①两个锐角对应相等的两个直角三角形全等，

②斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等，

③两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，

④一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等．

A 1

B 2

C 3

D 4

3. 如图：AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，EF过点C，BE⊥EF于E，DF⊥EF于F，BE=DF．求证：Rt△BCE≌Rt△DCF．

类型三、线段垂直平分线

4. 如图，在锐角△ABC中，AD、CE分别是BC、AB边上的高，AD、CE相交于F，BF的中点为P，AC的中点为Q，连接PQ、DE．

（1）求证：直线PQ是线段DE的垂直平分线；

（2）如果△ABC是钝角三角形，∠BAC＞90°，那么上述结论是否成立？请按钝角三角形改写原题，画出相应的图形，并给予必要的说明．

举一反三：

【变式】在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交BC的延长线于M，∠A=40度．（1）求∠M的度数；

（2）若将∠A的度数改为80°，其余条件不变，再求∠M的大小；

（3）你发现了怎样的规律？试证明；

（4）将（1）中的∠A改为钝角，（3）中的规律仍成立吗？若不成立，应怎样修改．

类型四、角平分线

5. 如图，△ABC中，∠A=60°，∠ACB的平分线CD和∠ABC的平分线BE交于点G．求证：

GE=GD．

举一反三：

【变式】如图：在△ABC中，∠C=90°AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；证明：（1）CF=EB．

（2）AB=AF+2EB．

《三角形的证明》全章复习与巩固（提高）

【巩固练习】

一.选择题

1．有一块边长为24米的正方形绿地，如图所示，在绿地旁边B处有健身器材，由于居住在A处的居民践踏了绿地，小明想在A处树立一个标牌“少走▇米，踏之何忍”请你计算后帮小明在标牌的“▇”填上适当的数字是（）

A． 3米 B． 4米C． 5米 D．6米

2. 设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形，则下列四个图中，能表示它们之间关系的是（）

A BC D

3. 如图，EA⊥AB，BC⊥AB，EA=AB=2BC，D为AB中点，有以下结论：

(1)DE=AC；(2)DE⊥AC；(3)∠CAB=30°；(4)∠EAF=∠ADE。其中结论正确的是（）

A、(1)，(3)

B、(2)，(3)

C、(3)，(4)

D、(1)，(2)，(4)

4. 如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB=6cm，则△DEB的周长为（）

A、4cm

B、6cm

C、8 cm

D、10cm

5.如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则∠A的度数为（）

A、30°

B、36°

C、45°

D、70°

6.如图，已知AC平分∠PAQ，点B，B′分别在边AP，AQ上，如果添加一个条件，即可推出

AB=AB′，那么该条件不可以是（）

A、BB′⊥AC

B、BC=B′C

C、∠ACB=∠ACB′

D、∠ABC=∠AB′C

7. 如图，等边三角形ABC的边长为3，点P为BC边上一点，且BP=1，点D为AC边上一点

若∠APD=60°，则CD的长为( )

A． B． C． D．1

8. 在联欢晚会上，有A、B、C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳

子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放

的最适当的位置是在△ABC的（）

A、三边中线的交点

B、三条角平分线的交点

C、三边上高的交点

D、三边中垂线的交点

二、填空题

9. 如图，有一底角为35°的等腰三角形纸片，现过底边上一点，沿与底边垂直的方向将其

剪开，分成三角形和四边形两部分，则四边形中，最大角的度数是__________ ．

35

10. 用反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°时，第一步为假设

“”

11. 如图，在Rt△ABC中．∠C=90°，BC=6，AC=8，点D在AC上，将△BCD沿BD折叠，使

点C恰好落在AB边的点C′处，则△ADC′的面积是_________.

12. 如图，长方体的长为5，宽为3，高为12，点B离点C的距离为2，一只蚂蚁如果要沿

着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是________.

13. 已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是___________.

14. 如图，在△ABC中，∠B=50°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=__

15. 已知⊿ABC中，∠A = 90°，角平分线BE、CF交于点O，则∠BOC = .

16. 如图：△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个

适当的条件：，使△AEH≌△CEB.

三、解答题

17. 如图：△ABD和△CDH都是等腰直角三角形，且D在BC上，BH的延长线与AC交于点E，

请你在图中找出一对全等的三角形，并写出证明过程．

18. 如图，在长方形ABCD中，DC=5cm，在DC上存在一点E，沿直线AE把△AED折叠，使点D恰好落在BC边上，设此点为F，若△ABF的面积为30cm2，求折叠△AED的面积．

19. 如图1，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN是等边三角形，直线AN，MC交于点E,直线BM、CN交与F点.

(1)求证：AN=BM；(2)求证：△CEF为等边三角形；(3)将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）

20.阅读下题及其证明过程：

已知：如图，D是△ABC中BC边上一点，EB=EC，∠ABE=∠ACE，求证：∠BAE=∠CAE.

证明：在△AEB和△AEC中，

∴△AEB≌△AEC(第一步)

∴∠BAE=∠CAE(第二步)

问：上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理根据；若不正确，请指出错在哪一步？并写出你认为正确的推理过程.

北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明及详细答案

北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明一．选择题（共12小题） 1．（2014遂宁）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（） A．3B．4C．6D．5 2．（2014台湾）如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为∠ABC的角平分线，L与M相交于P 点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP的度数为何（） A．24B．30C．32D．36 3．（2014安顺）已知等腰三角形的两边长分别为a、b，且a、b满足+（2a+3b﹣13）2=0，则此等腰三 角形的周长为（） A．7或8B．6或1O C．6或7D．7或10 4．（2014宁波）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（） A．B．C．D．2 5．（2014甘井子区一模）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为（）

6．（2014本溪一模）如图，在△ABC，∠C=90°，∠B=15°，AB的中垂线DE交BC于D，E为垂足，若BD=10cm，则AC等于（） A．10cm B．8cm C．5cm D． 7．（2013西宁）如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是（） A．2B．C．D． 8．（2013滨城区二模）如图，△ABC中，∠B=40°，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，且∠EAB：∠CAE=3：1，则∠C等于（） A．28°B．25°C．°D．20° 9．（2013澄江县一模）若一个等腰三角形至少有一个内角是88°，则它的顶角是（） A．88°或2°B．4°或86°C．88°或4°D．4°或46° 10．（2012泰安）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（） A．3B．C．D． 11．（2011成华区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，CD=4，BD平分∠ABC，交AC于点D，则点D到BC的距离是（）

三角形的证明测试题(新北师大版)

第一章 三角形的证明 检测题A 数学八年级下册（北师大最新版本） 第Ⅰ卷（选择题，共36分） 一、选择题（每小题4分，共36分） 1、等腰三角形的两边长分别为4厘米和9厘米，则这个三角形的周长为（ ） A 、22厘米 B 、17厘米 C 、13厘米 D 、17厘米或22厘米 2、下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是（ ） A 、等腰三角形的两底角相等 B 、等腰三角形是轴对称图形 C 、 等腰三角形是轴对称图形 D 、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合 3、如图1-Z-1所示，在△ABC 中，AC=DC=DB ，∠ACD=100°则∠B 等于（ ） A 、50° B 、40° C 、 25° D 、 20 ° 4、如图1-Z-2所示，在△ABC 与△DEF 中，已有条件AB=DE ，还需要添加两个条件才能使△ABC ≌△DEF ， 不能添加的条件是（ ） A 、∠B=∠E ，BC=EF B 、BC=EF ，AC=DF C 、∠A=∠ D ，∠B= ∠E ， D 、 ∠A=∠D ，BC=EF 5、已知：如图1-Z-3所示，m ∥n ，等边三角形ABC 的顶点B 在直线m 上，边BC 与直线m 所夹的锐角为 20°则∠a 的度数是（ ） A 、60° B 、30° C 、40 ° D 、45° 6、如图1-Z-4所示，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E ，过点E 作MN ∥BC 交AB 于M ，交AC 于N ，若BM+CN=9，则线段MN 的长为（ ） A 、6 B 、7 C 、8 D 、9 7、如图1-Z-5所示，在△ABC 中，CD 平分∠ABC ，∠A=80°，∠ACB=60°，那么∠BDC =（ ） A 、80° B 、90° C 、100° D 、110° 8、如图1-Z-6所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠CAB=60°，AD 平分∠CAB ，点D 到AB 的距离 DE=3.8cm ，则线段BC 的长为（ ） A 、3.8cm B 、7.6cm C 、11.4cm D 、11.2cm 9、如图1-Z-7所示，在平面直角坐标系中，点A 在第一象限，点P 在x 轴上，若以P 、O 、A 为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P 共有（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 二、填空题（每小题4分，共20分） 10、 如图1-Z-8所示，已知△ABC 是等边三角形， AD ∥BC ，CD ⊥AD ，垂足为D ，E 为AC 的中点，则∠ACD= °， AC= cm ， ∠DAC= °，△ADE 是 三角形 D E B A 图1-Z-2 C C B A 图1-Z-4 B 图1-Z-5 A 图1-Z-6 x 图1-Z-8

北师大版四年级下册数学认识三角形重点题型练习

认识三角形专项复习 一、图形的分类 1、平面图形：（） 立体图形：（） 线段围成的平面图形：（） 曲线围成的平面图形：（） 2、三角形具有（）性，四边形具有（）性。 3、我们学过的图形可以分为（）图形和（）图形。 4、三条线段首尾相接围成的图形叫（）；四条线段首尾相接围成的图形叫（）。 二、三角形的分类 1、三角形按边分可以分为（）三角形、（）三角形。 2、三角形按角分可以分为（）三角形、（）三角形、（）三角形。 3、（）三角形是特殊的等腰三角形 4、如果一个三角形的最大的角是80°，那么这个三角形可能是（）。 A. 直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.无法确定 5、一个三角形中有一个角是45°，另一个角是它的2倍，第三个角是（），这是一个（）三角形。 6、所有的等边三角形都是（）三角形。 A、钝角 B、锐角 C、直角 7、一个三角形有一个角是78°，这个三角形可能是（）三角形。

∠1= ∠1= 8、一个三角形中最大的角是78°，这个三角形是（）三角形。 三、三角形内角和 1、把两个一样大的小三角形拼成一个大三角形，拼成的大三角形的内角和是（）。 2、用两个一样大的小三角形拼成一个四边形，拼成的四边形的内角和是（）。 3、五边形可以分成（）个三角形，所以内角和是（）；八边形的内角和是（）。 4、如果一个三角形的两个内角和等于第三个内角，那么这个三角形一定是（）三角形。 5、列式计算。 6、一个等腰三角形，如果一个底角是36°，它的顶角是（）；如果一个顶角是36°，它的底角是（）。 7、三角形的两个内角之和是88°，这个三角形是（）三角形，另一个角是（）度。 8、一个三角形其中两个锐角之和是70度，这个三角形一定是（）三角形 9、如果其中两个锐角之和大于90°，那么这个三角形一定是（）三角形。 10、这是三块被打碎的玻璃，你知道它们原来是什么三角形么？ （）三角形（）三角形（）三角形

北师大版八年级下册《三角形的证明》培优提高

三角形的证明单元检测卷 1．（4分）（2013?钦州）等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是 （） A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20° 2．（4分）下列命题的逆命题是真命题的是（） A．如果a＞0，b＞0，则a+b＞0 B．直角都相等C．两直线平行，同位角相等D．若a=6，则|a|=|b| 3．△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，最小边BC=4 cm，最长边AB的长是 A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm 4．（4分）如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加 下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（） A．∠A=∠C B．AD=CB C．B E=DF D．A D∥BC 5．（4分）如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平 分线交AB于E，垂足为D．若ED=5，则CE的长为 （） A．10 B ． 8 C．5D．2.5 6.如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB， BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E， ∠A=∠ABE．若AC=5，BC=3，则BD的长为 （） A．2.5 B．1.5 C．2D．1 7．（4分）如图，AB=AC，BE⊥AC于点E，CF⊥AB 于点F，BE、CF相交于点D，则①△ABE≌△ACF； ②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．以 上结论正确的是（）A．①B．②C．①②D．①②③8．（4分）如图所示，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点， ∠BAE=∠DEC=60°，AB=3，CE=4，则AD等于（） A．10 B．12 C．24 D．48 9．如图所示，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分 ∠BAC．∠EBC=∠E=60°，若BE=6，DE=2，则BC的长度是（）A． 6 B．8 C．9 D．10 10．（4分）（2013?遂宁）如图，在△ABC中，∠C=90°， ∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于 点M和N，再分别以M、N 为圆心，大于MN的长为半径画 弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说 法中正确的个数是（） ①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的 中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3． A．1B．2C．3D．4 12．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0， 2），B（0，6），动点C在直线y=x上．若以A、B、C三 点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是 （） A．2B．3C．4D．5 13．（4分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE，DF，EF．在此运动变化的过程中，下列结论： ①△DFE是等腰直角三角形； ②四边形CDFE不可能为正方形， ③DE长度的最小值为4；

(完整word)新北师大版八年级下册《三角形的证明》

三角形的证明 【知识点一：全等三角形的判定与性质】 1．判定和性质 一般三角形 直角三角形 判定 边角边（SAS ）、角边角（ASA ） 角角边（AAS ）、边边边（SSS ） 具备一般三角形的判定方法 斜边和一条直角边对应相等（HL ） 性质 对应边相等，对应角相等 对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等 2．证题的思路： ? ? ? ?? ??? ???? ? ???????? ?????????????? ??）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（） 找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（） 找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 【典型例题】 1．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC =∠BOC 的依据是（ ） A ．SSS B ．ASA C ．AAS D ．角平分线上的点到角两边距离相等 2．下列说法中，正确的是（ ） A ．两腰对应相等的两个等腰三角形全等 B ．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 C ．两锐角对应相等的两个直角三角形全等 D ．面积相等的两个三角形全等 3．如图，△ABC ≌ΔAD E ，若∠B ＝80°，∠C ＝30°，∠DAC ＝35°， 则∠EAC 的度数为（ ） A ．40° B ．35° C ．30° D ．25° 4．已知：如图，在△MPN 中，H 是高MQ 和NR 的交点，且MQ ＝NQ ．求证：HN ＝PM .

5．用三角板可按下面方法画角平分线：在已知∠AOB的两边上，分别取OM＝ON（如图5－7），再分别过点M、N 作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB，请你说出其中的道理． 图5－7 【巩固练习】 1．下列说法正确的是（） A．一直角边对应相等的两个直角三角形全等B．斜边相等的两个直角三角形全等 C．斜边相等的两个等腰直角三角形全等D．一边长相等的两等腰直角三角形全等 2．如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC上的点，若△ADB≌ △EDB≌△EDC，则∠C的度数为（） A．15°B．20°C．25°D．30° 3．如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是（） A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙 4．如图4－9，已知ΔABC≌ΔA'B'C'，AD、A'D'分别是ΔABC和ΔA'B'C'的角平分线． （1）请证明AD＝A'D'； （2）把上述结论用文字叙述出来； （3）你还能得出其他类似的结论吗? 图4－9

北师大版《认识三角形》优质教案

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 北师大版《认识三角形》优质教案《认识三角形》教学内容： （西南师大版）四年级（下）认识三角形教学目标： 1 通过观察、折、画等操作活动，认识三角形的特征和特性。 能指出三角形的边、角、顶点， 3 会辨认出三角形的底与高。 理解三角形的特性，把生活经验数学化。 教学重点: 认识三角形的特征和特性指出三角形的底和高。 教学难点: 认识三角形的特征和特性教具准备： 学生准备： 三角板，直尺一张白纸教师准备： 课件三角板大三角形和平行四边形教学过程： （见下页）教学过程： 教学步骤与时量（一）导入，初步回忆三角形（ 3分钟）程序与内容教师行为学生行为预设设计意图教学方法教具媒体与板书图片导入，在书本图片中找出三角形。 同学们，你们认识三角形吗？那么请从这幅图片中找找三角形找出图片中的三角形让学生脑海中重现三角形的形象多媒体演示法课件展示： 图片同学们，你们知道我们身边还有哪些三角形吗？红领巾、三角板联系学生生活，激发学生兴趣，引出 1 / 4

课题谈话法板书： 认识三角形二、探究三角形特征（10分钟）描绘三角形自画三角形 1 翻到数学书第 52 页，观察最上面的四幅图。 请同学们用一支铅笔沿着你看到的三角形的边缘勾画出来吧。 2 比着图大家会画三角形了，如果给你们一张白纸，你能在上面画一个你心目中的三角形吗？ 1 找出三角形，并描绘出来 2. 画出形状各异的三角形让学生感受三角形的画法，找出形状各异的三角形，稍后加以对比自主操作法学习法板书： （三角形） 1 在展示台上展示不同的三角形，和自己画的比较 2 知道他们都有角、顶点和边。 三角形有几条边？几个顶点？几个呢？ 3 小结什么样的图形叫三角形呢？角1、虽然他们的大小、形状不完全相同，但是他们有什么共同的特征吗？ 2、请同学们再观察一下，三角形有几条边？几个顶点？几个角呢？ 3 经过观察你们能用自己的话说说怎样的图形叫做三角形吗？学生回答： 1、有角、顶点边。 2、抽学生到黑板上标出边 ----顶点----角，三角形有 3 条边，3 个顶点，3个呢,。

北师大版三角形的证明(全章节复习题)

等腰三角形（基础）知识讲解 【学习目标】 1. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性； 2. 掌握等腰三角形、等边三角形的性质，会利用这些性质进行简单的推理、证明、计算和作图． 3. 理解并掌握等腰三角形、等边三角形的判定方法及其证明过程. 通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力. 4. 理解反证法并能用反证法推理证明简单几何题. 【要点梳理】 要点一、等腰三角形的定义 1.等腰三角形 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 2.等腰三角形的作法 已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a. 作法：1.作线段BC=a； 2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧 相交于点A; 3.连接AB,AC. △ABC为所求作的等腰三角形 3.等腰三角形的对称性 (1)等腰三角形是轴对称图形； (2)∠B＝∠C； (3)BD＝CD，AD为底边上的中线.

(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线. 结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴. 4.等边三角形 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. 要点诠释：（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝 角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝180 2 A ?-∠ . （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 要点二、等腰三角形的性质 1.等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°. 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 2.等腰三角形中重要线段的性质 等腰三角形的两底角的平分线（两腰上的高、两腰上的中线）相等. 要点诠释：这条性质，还可以推广到一下结论： （1）等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。 （2）等腰三角形两底边上的中点到两腰的距离相等. （3）等腰三角形两底角平分线，两腰上的中线，两腰上的高的交点到两腰的距离相等，到底边两端上的距离相等. （4）等腰三角形顶点到两腰上的高、中线、角平分线的距离相等. 要点三、等腰三角形的判定定理 1.等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 要点诠释：(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系. （2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形． 2.等边三角形的判定定理 三个角相等的三角形是等边三角形. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 3. 含有30°角的直角三角形

北师大版2021年中考数学总复习《三角形的证明》(含答案)

北师大版2021年中考数学总复习 《三角形的证明》 一、选择题 1.如图，已知AD∥BC，AP平分∠DAB，BP平分∠ABC，点P恰好在CD上，则PD与PC的大小关 系是（） A.PD＞PC B.PD=PC C.PD＜PC D.无法判断 2.如图，已知点P到AE、AD、BC的距离相等 下列说法： ①点P在∠BAC的平分线上； ②点P在∠CBE的平分线上； ③点P在∠BCD的平分线上； ④点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上. 其中正确的是( ) A.①②③④ B.①②③ C.④ D.②③ 3.如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三 角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（） A.1：1：1 B.1：2：3 C.2：3：4 D.3：4：5 4.如图，已知AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线MN交AB于D，AC于M.以下结论： ①△BCD是等腰三角形；②射线CD是△ACB的角平分线；

③△BCD的周长C△BCD=AB+BC；④△ADM≌△BCD. 正确的有（） A.①② B.①③ C.②③ D.③④ 5.在Rt△ABC中，∠A=40°，∠B=90°，AC的垂直平分线MN分别与AB，AC交于点D，E，则∠ BCD的度数为（） A.10° B.15° C.40° D.50° 6.一个等腰三角形的一边长是7cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是（） A．12cm B．17cm C．19cm D．17cm或19cm 7.如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△ PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（） A．25° B．30° C．35° D．40° 8.如图，已知下列三角形中，AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分 成两个小等腰三角形的是（） A.①③④ B.①②③④ C.①②④ D.①③ 二、填空题 9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D．若BD：DC=3：2，点D到AB的距 离为6，则BC的长是．

数学北师大版七年级下册认识三角形(第2课时)

第四章三角形 1认识三角形（第2课时） 一．学生起点分析 学生的知识技能基础：学生在上节已经学习了有关三角形的一些初步知识，能在生活中抽象出三角形的几何图形，并能明确给出三角形的概念及三角形内角和为180°. 学生活动经验基础：学生在以前的几何学习过程中,已对图形的概念、线段及角的表示法、线段的测量及三角形概念、表示法、内角和有了初步认识.同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。 二. 教学任务分析 本节课基于学生在上一节中学习了有关三角形的一些初步知识，并对三角形的角关系也能很好理解.教学中注重三角形三边关系在生活中的应用,渗透数学来源于实践又能应用于实践的思想,在解题中培养学生的合作交流意识,逐步达成学生的有关情感态度目标.因此，本节课设计了如下的教学目标: (1)知识与技能：让学生认识等腰三角形，会按边对三角形分类并掌握三边关系,并能运用三边关系解决生活中的实际问题. 结合具体实例,进一步掌握三角形三条边的关系. (2)过程与方法：通过观察、操作、想象、推理、交流等活动,发展空间观念,推理能力和有条理地表达能力. (3)情感与态度：学生通过观察、操作、交流和反思,获得必需的数学知识,激发学生的学习兴趣. 三. 教学设计分析

本节课设计了七个环节:现实情境引入、认识等腰三角形及按边对三角形分类、探索三角形三边关系、基础巩固、课堂小结、布置作业、自我检测。 第一环节现实情境引入 活动内容： 活动一 （1）观察下面的三角形，并把它们的标号填入相应的椭圆框内： 锐角三角形直角三角形 钝角三角形 （2 ）在上面的三角形中各自的边长有什么关系？有等腰三角形吗？ 活动目的： 本活动在于渗透分类的数学思想，使学生在操作的过程中感悟分类的方法，做到不重复不遗漏. 实际教学效果： 学生能够根据上节课的内容，将所给的三角形按角进行分类，在复习上节课知识的基础上，类比想到第二问，体会如何按边来分类，教学过程中渗透类比的数学思想。 ⑦ ⑥ ⑤ ④ ③ ② ①

北师大版八年级下册数学第一章三角形测试题

第1题 第2题 第3题 启用前绝密 2017—2018学年度第二学期阶段性测试题 八年级下册数学（第一章） 出题人：分数： 注意事项 1. 本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2. 请将密封线内的项目填写清楚。 一、选择题（每小题3分，共36分） 1、如图，在△ABC 和△DEF 中，已知AC=DF ，BC=EF ，要使△ABC ≌△ DEF ，还需要的条件是（ ） A.∠A=∠D B.∠ACB=∠F C.∠B=∠DEF D.∠ACB=∠D 2、如图，△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 边上，且BD=BC=AD ，则∠A 的度数为（ ） A.30° B.36° C.45° D.70° 3、如图，△ABC ≌△AEF ，AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，则对于结论 ①AC ＝AF ；②∠FAB ＝∠EAB ；③EF ＝BC ；④∠EAB ＝∠FAC ，其中正确结论的个数是（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4、已知等腰三角形的两边长分别为5㎝、2㎝，则该等腰三角形 的周长是（ ） A ．7㎝ B ．9㎝ C ．12㎝或者9㎝ D ．12㎝ 5、一个等腰三角形的顶角是40°，则它的底角是（） A ．40° B ．50° C ．60° D ．70° 6、到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（ ）的交点. A.三个内角平分线 B.三边垂直平分线 C.三条中线 D.三条高

第6题图 7、△ABC 中，AB = AC ，BD 平分∠ABC 交AC 边于点D ，∠BDC = 75°，则∠A 的度数为（ ） A 35° B 40° C 70° D 110° 8、如图，已知在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 上的一点BE=CD ，CF=BD ，那么∠EDF 等于（ ） A. 90°－∠Ａ B.90°－2 1 ∠Ａ C.45°－2 1∠Ａ D.180°－∠Ａ 9、如图，等边△ABC 中，BD=CE ，AD 与BE 相交于点P ，则∠APE 的度数是（ ） A 45° B 55° C 60° D 75° 10、如图，AB=CD ，AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F ，AE=CF ，则下列结论错 误的是（） A. BC=AD 且BC ∥AD B. AB ∥CD C.AB=DE D. △ABD≌△CDB 11、如图，AB ∥CD ，AD ⊥CD 于D ，AE ⊥BC 于E ，∠DAC=35°，AD=AE ， 则∠B=（） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 12、如图，等边△ABC 中，BD=CE ，AD 与BE 度数是（ ） A 45° B 55° C 60° D 75° 二、填空题。（每小题3分，共24分） 13、在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，延长BC 到D ，使CD ＝AC ，

新北师大版八年级下数学第一章三角形的证明.

1 八年级下第一章三角形的证明 【基础知识】 1、全等三角形 （1）定义： 能够完全 的三角形是全等三角形。 （2）性质：全等三角形的 、 相等。 （3）判定：“SAS ”、 、 、 、 。 三边 ：边边边（SSS ） 两边: 边角边（SAS ） 一边 边角边（ASA ） 角角边（AAS ） ※※注：SSA,AAA 不能作为判定三角形全等的方法，判定两个三角形全等时，必 须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角 ※※证题的思路： ? ? ? ?? ??? ???? ? ? ???????????????? ???????）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（ ）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（） 找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 注意：公共边、公共角、对顶角、最长的边（或最大的角）、最短的边（或最小的 角） 2、等腰三角形 （1）定义：有两条 的三角形是等腰三角形。 （2）性质：①等腰三角形的 相等。（“等边对等角”） ②等腰三角形的顶角平分线、 、 互相重合。 （3）判定：①定义 ②“ ” 3、等边三角形 （1） 定义： 的三角形是等边三角形。 （2）性质：①三角都等于 ②具有等腰三角形的一切性质。 （3）判定：①定义 ②三个角都相等的三角形是等边三角形 ③有一个角 是等边三角形。 4、直角三角形 (1)定理：在直角三角形中，如果一个锐角是30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 (2)勾股定理及其逆定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 （3）“斜边、直角边”或“HL ” 直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 定理的作用：判定两个直角三角形全等

新北师大版七年级数学下册《认识三角形(1

新北师大版七年级数学下册《认识三角形(1)》教案

第四章三角形 4.1.1 三角形的内角和 〖教学目标〗 1．了解三角形的概念。 2．掌握一类图形中的三角形计数方法，渗透分类思想。 3．掌握三角形的内角和规律及其应用。 4．培养分析、归纳问题和逻辑推理能力，激发学生的创造思维和探索精神。 〖教材分析〗 教材从观察小木屋屋顶框架图入手，要求学生找出四个不同的三角形，并说明这些图形有什么共同点。考虑到学生的认知水平，设计用动画“画”三角形，学生“观察”，总结、归纳出三角形定义。 本课时内容是在学生已了解三角形内角和知识的基础上学习的，主要引导学生参与探索发现三角形的内角和规律，为灵活运用三角形内角和规律打下坚实的基础。 整个教学内容力图让学生通过“感知―概括―应用”的思维过程去发现知识、掌握规律，并通过师生间和生生间的多层次、多通道的主体信息交流，发展学生的逻辑推理能力。 〖教学设计〗 三角形是生活中常见的几何图形，学生都认识，但是对定义的理解不够准确。为加深学生的理解，教学中让学生从自己的认识出发，教师给予引导、明晰，再得到定义。 “三角形的计数”是本节难点，为让每个学生都得到经历数学思考的体验，采用小组活动的方式，使每个学生都得到训练，发展个性化的学习。同时，结合学生的认知水平，制作课件，生动、形象地帮助学生学习，降低学习难度。 (一)创设情境，引入新课 师：同学们认识三角形吗? 生：认识。 师：在生活中见过应用三角形的例子吗? 生：见过。 师：哪一位同学能举一些例子? 生1：三角形的屋顶。 生2：自行车的三角架。

师：很好。老师也给同学们准备了一些生活中应用三角形的例子，我们一起来看看。 (屏幕显示自拍照片：学校篮球架，建筑工地塔式吊车，加油站大跨度屋顶等。) 师：这些例子说明了三角形在我们的生活中随处可见。为什么三角形具有这么多应用呢?等我们学完这一章后，同学们就会有更深的理解。下面我们一起来认识三角形。 (二)得出三角形定义 师：请同学们观察屏幕上动画画三角形的过程，然后用自己的语言来描述怎么样的图形叫做三角形。 屏幕显示三角形： 图1 师：哪一位同学能根据自己的观察说一下什么样的图形叫三角形? 生3：由三条线段组成的图形叫三角形。 教师按照学生描述画出如下图形： 图2 师：这是由三条线段组成的图形吗? 生：是。 师：是三角形吗? 生：不是。 师：×××同学，你要对刚才的发言做修正吗? 生3：不在同一直线上的三条线段组成三角形。 教师按照学生描述画出如下图形：

北师大版八年级数学下册 特殊的三角形 专题(附答案)

综合滚动练习：特殊的三角形 时间：45分钟分数：100分得分：________ 一、选择题(每小题4分，共32分) 1．已知一个等腰三角形底角的度数为80°，则这个等腰三角形顶角的度数为() A．20°B．70°C．80°D．100° 2．已知等腰三角形的一边长为6，一个内角为60°，则它的周长是() A．12 B．15 C．18 D．20 3．如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是() A．AC＝A′C′，BC＝B′C′ B．∠A＝∠A′，AB＝A′B′ C．AC＝A′C′，AB＝A′B′ D．∠B＝∠B′，BC＝B′C′ 第3题图第4题图4．如图，△ABC是等边三角形，P为BC上一点，在AC上取一点D，使AD＝AP，且∠APD＝70°，则∠P AB的度数是() A．10°B．15°C．20°D．25° 5．如图，AD⊥BC，D是BC的中点，那么下列结论错误的是() A．△ABD≌△ACD B．∠B＝∠C C．△ABC是等腰三角形 D．△ABC是等边三角形 第5题图第6题图 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE 的平分线相交于点D，则∠D的度数为() A．15°B．17.5°C．20°D．22.5° 7．(2017·滨州中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD ＝BA，则∠B的大小为【方法1②】() A．40°B．36°C．30°D．25°

第7题图第8题图 8．★如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有() A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上 二、填空题(每小题4分，共24分) 9．如图，已知∠B＝∠C，从①BE＝CE，②AB＝DC，③∠BAE＝∠CDE这三个等式中选出一个作为条件，可以推出△AED是等腰三角形的有________(填序号)． 第9题图第11题图 10．若△ABC的三边a，b，c满足条件：a－3＋b－4＋c－5＝0，则△ABC是________三角形． 11．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，则∠DAC＋∠C＝________°. 12．如图，在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°.折叠该纸片，使点C落在点E 处，折痕为AD.若CD＝3cm，则BD的长为________cm. 第12题图第13题图 13．如图，已知∠AOB＝60°，点P在OA上，OP＝8，点M、N在边OB上，PM＝PN.若MN＝2，则OM＝________． 14．(2017·淄博中考)如图，在边长为4的等边三角形ABC中，D为BC边上的任意一点，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则DE＋DF＝________． 三、解答题(共44分)

北师大版 八年级下第一章 三角形的证明 综合题专题训练

三角形证明 【命题趋势】 常考的知识点包括：全等三角形的判定与性质、线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的三线合一的性质、直角三角形斜边上的中线的性质、含30°的角的直角三角形的性质等，在中考时，灵活的掌握相应辅助线方法是解决问题的关键.在中考中将会加大对三角形有关证明的考察，而三角形全等是证明的基础.题型主要是以解答题的形式呈现，难度属于中等难度. 线段的和差是中考中常见的考试类型，能较好的考察学生的推理和证明能力，同时能把三角形全等有机的结合起来，因此在最近几年的重庆中考试题中时常出现.针对此类中考热点问题，本专题主要探讨此类问题的解决方法—取长补短法. 三角形证明（一） 【经典专题突破】 例1.如图，等边ABC △中，AO 是BAC ∠的角平分线，D 为AO 上一点，以CD 为一边 且在CD 下方作等边CDE △,连结BE . （1）求证：ACD BCE △≌△； （2）延长BE 至Q , P 为BQ 上一点，连结CP 、QC 使5CP CQ ==, 若8BC =时，求PQ 的长. 例2.如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=o ，AC BC <，D 为AB 的中点，DE 交AC 于 点E ，DF 交BC 于点F ，且DE DF ⊥，过A 作AG ∥BC 交FD 的延长线于点G ． （1）求证：AG BF =； （2）若9AE =，18BF =，求线段EF 的长．

例3：如图1，在Rt ABC △中，90ACB ∠=o ，CD AB ⊥，作ABC ∠的平分线交AC 、CD 于点E 、F ． （1）求证：CE CF =； （2）如图2，过点F 作FG ∥AB 交AC 于点G ，若10AC =，4EG =，求CE 的长度． 【仿真题型演练】 1. 如图，在等腰Rt ABC △中，90ACB ∠=o ，AC CB =，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且始终保持AD CE =．连接DE 、DF 、 EF ． （1）求证：DF =EF ； （2）试证明△DEF 是等腰直角三角形． 2. 已知等腰Rt ABC △中，90ACB ∠=o ，AC BC =，点G 在上，连接，过作⊥，垂足为点，过点作⊥于点，点是的中点，连接、． （1）若30CAG ∠=o ，=1，求的长； （2）求证：∠=∠ 3. 如图1，已知点D 为等腰直角ABC △内一点，90ACB ∠=o ，

北师大版认识三角形说课稿教案

2006年中学数学（初中组）说课教案 认识三角形 单位：濮阳市实验中学 姓名：李艳星 2006年8月

说课内容：《义务教育课程标准实验教科书》北师大版 数学七年级下册第五章第一节认识三角形 说课程序： 一教材分析 1 教材的地位和作用 本节课是在小学初步认识三角形的基础上，又具体介绍了三角形的有关概念和三角形三边的关系。它既是上学期所学线段和角的延续，又是后继学习全等三角形和四边形的基础。在知识体系上具有承上启下的作用。 2 教学目标 知识目标：理解三角形的有关概念，掌握三角形三边的关系。 能力目标：通过观察、操作、讨论等活动，培养学生的动手实践能力和语言表达能力。 情感目标：让学生在自主参与、合作交流的活动中,体验成功的喜悦，树立自信，激发学习数学的兴趣。 3 教学重、难点 ?教学重点：三角形三边关系的探究和归纳. ?教学难点：三角形三边关系的应用. 二学情分析 七年级的孩子思维活跃，模仿能力强。对新知事物满怀探求的欲望.同时他们也具备了一定的学习能力,在老师的指导下,能针对某一问题展开讨论并归纳总结.但是受年龄特征的影响，他们知识迁移能力不强，推理能力还需进一步培养。 三、教学方法 以引导发现为主,讨论演示相结合. 四、教学过程 (一)创设情境引入新课

通过欣赏生活中的三角形图片，创设一种宽松、和谐的学习氛围，让学生以轻松、愉快的心态进入探究新知的过程。 (二)合作交流 探究新知1.三角形有关的概念 （1）定义： 不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. (2) 元素: 三条边、三个内角、三个顶点. (3) 表示方法: △ABC 2.三角形三边的关系 《数学课程标准》指出：“有意义的学习活动不能单纯地依赖模仿和记忆”。动手实践、自主探究、合作交流是学习数学的重要方式。为了充分体现新课标的要求，培养学生的动手实践能力、逻辑思维能力，在探究三角形三边关系时，我设置了以下活动： 活动一：（动手摆一摆） 拿出学具盒中的塑料棒，任选三根组成三角形。然后用学过的知识探究所摆三角形每两边之和与第三边的关系。 A 结论：三角形任意两边之和大于第三边 。 B C 活动二： （量一量 算一算） 在练习本上画三个三角形，用a 、 b 、 c 表示各边，用刻度尺量出各边的长度，并填空：

新北师大版认识三角形练习题

认识三角形练习题 一、 知识点： 1、如图1，图中共有 个三角形，其中以AB 为一边的三角形有 ，以C ∠为一个内角的三角形有 。 2、如图2，在ABC ?中，已知AE 是中线，AD 是角平分线，AF 是高，根据已知条件填空： （1） AE 是ABC ?的中线 （已知） ∴BE= =2 1 BC=2 ＝2 （ 三角形中线的定义 ） （2） AD 是ABC ?的角平分线（已知） ∴BAD ∠= =2 1 ； BAD ∠=2 ＝2 （ 三角形角平分线的定义 ） （3） AF 是ABC ?的高线（已知） ∴=∠A F B =?90 ( 三角形高中线的定义 ) 3 如图4中已知 ∠A ＝30° ， ∠B ＝ 20°求：∠AC B 解： ∵ ∠A ＋∠B ＋∠ACB ＝180°（ ） ∴ ∠BPC ＝180°－∠A －∠B （ ） ∴∠BPC ＝180°－30°-20°＝130° 4．如图4 ， DCB ∠是ABC ?的外角（已知） ∴B C D ∠=∠ +∠ .( ) 二 练习 5、如图，BC AD ⊥于D ，AC BE ⊥于E ，AB CF ⊥于F ，AC GA ⊥于A ， 则ABC ? 中，AC 边上的高为（ ） A 、AD B 、GA C 、BE D 、CF 图1 图 2

6、如图，AC ⊥BC ，CD ⊥AB ，DE ⊥BC ，分别交BC 、AB 、BC 于C 、D 、E ，下列说法中不正确的是( ) A ．AC 是ΔABC 的高 B ．DE 是ΔAB C 的高 C ．DE 是ΔABE 的高 D ．AD 是ΔACD 的高 7、如图所示，?=∠?=∠?=∠25,35,70ACD ABE A ，则=∠BDC ， BEC ∠= 。 第9题 8．如图所示，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= ° 9如图C B ∠=∠，则A D C ∠和AEB ∠的大小关系是 ( ) A 、AE B AD C ∠>∠ B 、AEB ADC ∠=∠ C 、AEB ADC ∠<∠ D 、大小关系不能确定 10. 如图，1∠，2∠，3∠，4∠恒满足的关系式是 （ ） Ａ．1234∠+∠=∠+∠ Ｂ．1243∠+∠=∠-∠ Ｃ． 1423∠+∠=∠+∠ Ｄ．1423∠+∠=∠-∠ 11、ABC ?中，AD 是ABC ?的中线，且cm BD 10=， 求：BC 12、在ABC ?中，?=∠80BAD ，AD 为A ∠的平分线， 求A ∠ B C A E D 1 2 3 4

北师大版初二年级下册《三角形的证明》(培优)带答案

北师大版初二年级下册《三角形的证明》(培优)带答案

三角形的证明单元检测卷A 1．（4分）（2013?钦州）等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（ ） A ． 80° B ． 80°或20° C ． 80°或50° D ． 20° 2．（4分）下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A ． 如果a ＞0，b ＞0，则a+b ＞0 B ． 直角都相等 C ． 两直线平行，同位角相等 D ． 若a=6，则|a|=|b| 3．△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：2：3，最小边BC=4 cm ，最长边AB 的长是 A ． 5cm B ． 6cm C ． 7cm D ． 8cm 4．（4分）如图，已知AE=CF ，∠AFD=∠CEB ，那么 添加下列一个条件后，仍无 法判定△ADF ≌△CBE 的是（ ） A ． ∠A=∠C B AD=CB C ． BE=DF D ． AD ∥BC

5．（4分）如图，在△ABC 中，∠B=30°，BC 的垂直平分线交AB 于E ，垂足为D ．若ED=5，则CE 的长为（ ） 6.如图，D 为△ABC 内一点，CD 平分∠ACB ，BE ⊥CD ，垂足为D ，交AC 于点E ，∠A=∠ABE ．若AC=5，BC=3，则BD 的长为（ ） 7．（4分） 如图，AB=AC ，BE ⊥AC 于点E ，CF ⊥AB 于点F ，BE 、CF 相交于点D ，则①△ABE ≌△ACF ； ②△BDF ≌△CDE ；③点D 在∠BAC 的平分线上．以上结论正确的是（ ） 8．（4分） 如图所示，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，E 是BC 上一点，∠BAE=∠DEC=60°，AB=3，CE=4，则AD 等于（ ） A ． 10 B ． 8 C ． 5 D ． 2.5 A ． 2.5 B ． 1.5 C ． 2 D ． 1 A ． ① B ． ② C ． ①② D ． ①②③ A ． 10 B ． 12 C ． 24 D ． 48

北师大版初中数学认识三角形 教案

1认识三角形 1.掌握三角形的概念,能用适当的符号表示三角形以及这些基本元素. 2.认识等腰三角形,会按边对三角形分类,掌握三角形三边的关系. 3.正确理解三角形的角平分线、中线、高线的概念. 4.画出任意三角形的高. 通过观察、操作、想象、推理、交流等活动,发展空间观念、推理能力和有条理地表达能力. 在学生观察、操作、思考和交流的过程中,丰富学生的知识,激发学生进一步探索知识的激情,同时发展他们的空间观念. 【重点】 1.三角形三边关系的探究和归纳. 2.了解三角形的中线,角平分线的定义并掌握其性质,会作三角形的中线和角平分线. 3.三角形高线的概念,会画任意三角形的高. 【难点】 1.三角形的中线,角平分线的定义及其性质的应用. 2.画钝角三角形、夹钝角的两边上的高和掌握三角形高的应用. 第课时

1.掌握三角形的概念,能用适当的符号表示三角形以及这些基本元素. 2.经历实验活动的过程,得出“三角形内角和等于180°”,能应用三角形内角和来解决一些简单的求三角形内角和问题. 3.会按角的大小关系对三角形分类;能从所给出的已知角中,判断出三角形的形状. 通过观察、操作、想象、推理、交流等活动,发展空间观念,推理和有条理地表达能力. 让学生在数学活动中通过相互间的合作与交流,获得必需的数学知识,激发学习兴趣,培养学生的相互协作意识及数学表达能力. 【重点】探究发现和验证“三角形的内角和是180°”这一规律的过程,并归纳总结出规律. 【难点】发展推理能力和有条理地表达能力. 【教师准备】多媒体课件. 【学生准备】预习教材P81~83. 导入一: 多媒体展示: