安徽省安庆一中2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理科)试卷Word版含解析
安徽省安庆一中2019-2020学年上学期期末考试
高二数学（理科）试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．空间的一个基底{a，b，c}所确定平面的个数为（）
A．1个B．2个C．3个D．4个以上
2．“α=+2kπ（k∈Z）”是“cos2α=”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F
2
（5，0），则双曲线C的方程为（）
A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1
4．过抛物线y2=4x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于（）
A．10 B．8 C．6 D．4
5．已知A（1，2，﹣1）关于面xoy的对称点为B，而B关于x轴对称的点为C，则=（）A．（0，4，2）B．（0，﹣4，﹣2）C．（0，4，0）D．（2，0，﹣2）
6．下列否定不正确的是（）
A．“?x∈R，x2＞0””的否定是“?x
0∈R，x
2≤0”
B．“?x
0∈R，x
2＜0”的否定是“?x∈R，x2＜0”
C．“?θ∈R，sinθ≤1”的否定是?θ
0∈R，sinθ
＞1
D．“?θ
0∈R，sinθ
+cosθ
＜1”的否定是“?θ∈R，sinθ+cosθ≥1”
7．已知a＞b＞0，椭圆C
1的方程为+=1，双曲线C
2
的方程为﹣=1，C
1
与C
2
的离心
率之积为，则C
2
的渐近线方程为（）
A．x±y=0 B． x±y=0 C．x±2y=0 D．2x±y=0
8．若直线y=kx+2与双曲线x 2﹣y 2=6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是（ ）
A ．，
B ．
C ．
D ．
9．方程
+
=1表示曲线C ，给出下列四个命题，其中正确的命题个数是（ ）
①若曲线C 为椭圆，则1＜t ＜4 ②若曲线C 为双曲线，则t ＜1或t ＞4 ③曲线C 不可能是圆
④若曲线C 表示焦点在X 轴上的椭圆，则1＜t ＜． A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．已知F 1、F 2是椭圆C ：
+
=1（a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且
⊥
．若△PF 1F 2的面积为9，则b=（ ）
A ．3
B ．6
C ．3
D ．2
11．动圆的圆心在抛物线y 2=8x 上，且动圆恒与直线x+2=0相切，则动圆必经过定点（ ） A ．（4，0）
B ．（2，0）
C ．（0，2）
D ．（0，﹣2）
12．已知椭圆x 2+y 2=a 2（a ＞0）与A （2，1），B （4，3）为端点的线段没有公共点，则a 的取值范围是（ ）
A ．
B ．
或
C ．或
D ．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）
13．若向量=（4，2，﹣4），=（6，﹣3，2），则（2﹣3）?（+2）= ． 14．命题：“若A ∪B=A ，则A ∩B=B ”的否命题是 ．
15．已知双曲线
（a ＞0，b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2，点A 在双曲线第一象限的图
象上，若△AF 1F 2的面积为1，且tan ∠AF 1F 2=，tan ∠AF 2F 1=﹣2，则双曲线方程为 ．
16．直线y=x+3与曲线=1的公共点个数为 ．
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）设命题p ：函数f （x ）=log a |x|在（0，+∞）上单调递增；q ：关于x 的方程x 2+2x+log a =0的解集只有一个子集．若“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，求实数a 的取值范围．
18．（12分）如图，F 1是椭圆
=1（a ＞b ＞0）的右焦点，A 和B 是以O 为圆心，以|OF 1|
为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且△F 1AB 是等边三角形，求椭圆的离心率．
19．（12分）已知两点M （﹣2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足||?|
|+
=0，则动点P （x ，y ）的轨迹方程为 ．
20．（12分）已知直线y=ax+1与双曲线3x 2﹣y 2=1交于A 、B 两点． （1）求a 的取值范围；
（2）若以AB 为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值．
21．（12分）如图，正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1中点． （Ⅰ）求证：AB 1⊥面A 1BD ； （Ⅱ）求二面角A ﹣A 1D ﹣B 的余弦．
22．（12分）如图，设点F 1（﹣c ，0）、F 2（c ，0）分别是椭圆的左、右
焦点，P 为椭圆C 上任意一点，且最小值为0．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若动直线l 1，l 2均与椭圆C 相切，且l 1∥l 2，试探究在x 轴上是否存在定点B ，点B 到l 1，l 2的距离之积恒为1？若存在，请求出点B 坐标；若不存在，请说明理由．
安徽省安庆一中2019-2020学年高二上学期期末考试
数学（理科）试卷参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．空间的一个基底{a，b，c}所确定平面的个数为（）
A．1个B．2个C．3个D．4个以上
【考点】空间向量的基本定理及其意义．
【分析】利用基底的定义以及平面的基本性质，判断即可．
【解答】解：空间的一个基底{a，b，c}，说明三个向量不共线，
又两条相交直线确定一个平面，
所以空间的一个基底{a，b，c}所确定平面的个数为3个．
故选：C．
【点评】本题考查空间向量基底的定义，平面的基本性质，基本知识的考查．
2．“α=+2kπ（k∈Z）”是“cos2α=”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；任意角的三角函数的定义；二倍角的余弦．【分析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断．属于基础知识、基
本运算的考查．将a=+2kπ代入cos2a易得cos2a=成立，但cos2a=时，a=+2kπ（k ∈Z）却不一定成立，根据充要条件的定义，即可得到结论．
【解答】解：当a=+2kπ（k∈Z）时，
cos2a=cos（4kπ+）=cos=
反之，当cos2a=时，
有2a=2kπ+?a=kπ+（k∈Z），
或2a=2kπ﹣?a=kπ﹣（k∈Z），
故选A．
【点评】判断充要条件的方法是：①若p?q为真命题且q?p为假命题，则命题p是命题q 的充分不必要条件；②若p?q为假命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p?q为真命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p?q为假命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
3．已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F
2
（5，0），则双曲线C的方程为（）
A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】利用已知条件，列出方程，求出双曲线的几何量，即可得到双曲线方程．
【解答】解：双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F
2
（5，0），
可得：，c=5，∴a=4，b==3，
所求双曲线方程为：﹣=1．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
4．过抛物线y2=4x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于（）
A．10 B．8 C．6 D．4
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】线段AB的中点到准线的距离为4，设A，B两点到准线的距离分别为d
1
，d
2
，由抛物线的定义知|AB|的值．
【解答】解：由题设知知线段AB的中点到准线的距离为4，
设A，B两点到准线的距离分别为d
1，d
2
，
由抛物线的定义知：
|AB|=|AF|+|BF|=d
1+d
2
=2×4=8．
故选D．
【点评】本题考查抛物线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，积累解题方法．
5．已知A（1，2，﹣1）关于面xoy的对称点为B，而B关于x轴对称的点为C，则=（）A．（0，4，2）B．（0，﹣4，﹣2）C．（0，4，0）D．（2，0，﹣2）
【考点】空间中的点的坐标．
【分析】写出点A关于面xoy的对称点B的坐标，横标和纵标都不变化，只有竖标变为原来的相反数，再写出B关于横轴的对称点，根据两个点的坐标写出向量的坐标．
【解答】解：∵A（1，2，﹣1）关于面xoy的对称点为B，
∴根据关于面xoy的对称点的特点得到B（1，2，1）
而B关于x轴对称的点为C，
∴C点的坐标是（1，﹣2，﹣1）
∴=（0，﹣4，﹣2）
故选B．
【点评】本题是一个空间直角坐标系中坐标的变化特点，关于三个坐标轴对称的点的坐标特点，关于三个坐标平面对称的坐标特点，我们一定要掌握，这是一个基础题．
6．下列否定不正确的是（）
A．“?x∈R，x2＞0””的否定是“?x
0∈R，x
2≤0”
B．“?x
0∈R，x
2＜0”的否定是“?x∈R，x2＜0”
C．“?θ∈R，sinθ≤1”的否定是?θ
0∈R，sinθ
＞1
D．“?θ
0∈R，sinθ
+cosθ
＜1”的否定是“?θ∈R，sinθ+cosθ≥1”
【考点】命题的否定．
【分析】利用特称命题与全称命题的否定形式判断即可．
【解答】解：推出明天的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，考察选项，只有B
不满足命题的否定形式， 故选：B ．
【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．
7．已知a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为+
=1，双曲线C 2的方程为
﹣
=1，C 1与C 2的离心
率之积为，则C 2的渐近线方程为（ ）
A ．x ±
y=0 B ．
x ±y=0 C ．x ±2y=0 D ．2x ±y=0
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求出椭圆与双曲线的离心率，然后推出ab 关系，即可求解双曲线的渐近线方程．
【解答】解：a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为
+
=1，C 1的离心率为：
，
双曲线C 2的方程为﹣=1，C 2的离心率为：，
∵C 1与C 2的离心率之积为，
∴，
∴
=， =
，
C 2的渐近线方程为：y=，即x ±y=0．
故选：A ．
【点评】本题考查椭圆与双曲线的基本性质，离心率以及渐近线方程的求法，基本知识的考查．
8．若直线y=kx+2与双曲线x 2﹣y 2=6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是（ ）
A ．
，
B ．
C ．
D ．
【考点】直线与圆锥曲线的关系．
【分析】根据双曲线的方程求得渐近线方程，把直线与双曲线方程联立消去y ，利用判别式大于0和k ＜﹣1联立求得k 的范围．
【解答】解：渐近线方程为y=±x，由消去y，整理得（k2﹣1）x2+4kx+10=0
设（k2﹣1）x2+4kx+10=0的两根为x
1，x
2
，
∵直线y=kx+2与双曲线x2﹣y2=6的右支交于不同的两点，
∴，∴k＜0，
∴
故选D
【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系．考查了函数思想的应用，圆锥曲线与不等式知识的综合．
9．方程+=1表示曲线C，给出下列四个命题，其中正确的命题个数是（）
①若曲线C为椭圆，则1＜t＜4
②若曲线C为双曲线，则t＜1或t＞4
③曲线C不可能是圆
④若曲线C表示焦点在X轴上的椭圆，则1＜t＜．
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】轨迹方程；椭圆的简单性质；双曲线的标准方程．
【分析】利用椭圆、双曲线的定义，结合标准方程，即可得出结论．
【解答】解：由4﹣t=t﹣1，可得t=，方程+=1表示圆，故①③不正确；
由双曲线的定义可知：当（4﹣t）（t﹣1）＜0时，即t＜1或t＞4时方程+=1表示
双曲线，故③正确；
由椭圆定义可知：当椭圆在x轴上时，满足4﹣t＞t﹣1＞0，即1＜t＜时方程+=1
表示焦点在x 轴上的椭圆，故④正确． 故选：B ．
【点评】本题考查了圆锥曲线的标准方程，尤其要注意椭圆在x 轴和y 轴上两种情况，属于基础题．
10．已知F 1、F 2是椭圆C ：
+
=1（a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且
⊥
．若△PF 1F 2的面积为9，则b=（ ）
A ．3
B ．6
C ．3
D ．2
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由题意画出图形，利用⊥
及△PF 1F 2的面积为9列式求得|PF 1||PF 2|=18．再由
勾股定理及椭圆定义即可求得b ． 【解答】解：如图，
∵⊥，∴△PF 1F 2为直角三角形，
又△PF 1F 2的面积为9，∴，得|PF 1||PF 2|=18．
在Rt △PF 1F 2中，由勾股定理得：，
∴
，即2（a 2﹣c 2）=|PF 1||PF 2|=18，
得b 2=a 2﹣c 2=9，∴b=3． 故选：A ．
【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆定义及余弦定理在解焦点三角形问题中的应用，是中档题．
11．动圆的圆心在抛物线y 2=8x 上，且动圆恒与直线x+2=0相切，则动圆必经过定点（ ）
A ．（4，0）
B ．（2，0）
C ．（0，2）
D ．（0，﹣2）
【考点】直线与圆的位置关系；抛物线的简单性质．
【分析】由抛物线的解析式确定出焦点坐标与准线方程，根据动圆恒与直线x+2=0相切，而x+2=0为准线方程，利用抛物线的定义可得出动圆一定过抛物线的焦点． 【解答】解：由抛物线y 2=8x ，得到准线方程为x+2=0，焦点坐标为（2，0）， ∵动圆的圆心在抛物线y 2=8x 上，且动圆恒与直线x+2=0相切， ∴动圆必经过定点（2，0）． 故选B
【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，以及抛物线的简单性质，熟练掌握抛物线的简单性质是解本题的关键．
12．已知椭圆x 2+y 2=a 2（a ＞0）与A （2，1），B （4，3）为端点的线段没有公共点，则a 的取值范围是（ ）
A ．
B ．
或
C ．
或
D ．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】因为椭圆与线段无公共点，所以线段AB 在椭圆的内部或在椭圆的外部，即由“A ，B 两点同在椭圆内或椭圆外”求解．
【解答】解：根据题意有：A ，B 两点同在椭圆内或椭圆外
∴或
∴或
故选B
【点评】本题主要通过直线与椭圆的位置关系，来考查点与椭圆的位置关系．当点（x 0，y 0）
在椭圆内，则有
，点（x 0，y 0）在椭圆
外，则有
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）
13．若向量=（4，2，﹣4），=（6，﹣3，2），则（2﹣3）?（+2）= ﹣212 ． 【考点】空间向量的数量积运算．
【分析】利用向量的坐标形式的四则运算法则、利用向量的数量积公式求出数量积．
【解答】解：∵，
∴
=﹣10×16+13×（﹣4）=﹣212
故答案为﹣212
【点评】本题考查向量的四则运算法则、考查向量的数量积公式：对应坐标乘积的和．
14．命题：“若A ∪B=A ，则A ∩B=B ”的否命题是 若A ∪B ≠A 则A ∩B ≠B ． 【考点】四种命题．
【分析】对所给命题的条件和结论分别否定，即：A ∪B ≠A 和A ∩B ≠B ，作为否命题的条件和结论．
【解答】解：“若A ∪B=A ，则A ∩B=B ”的否命题： “若A ∪B ≠A 则A ∩B ≠B ”
故答案为：若A ∪B ≠A 则A ∩B ≠B ．
【点评】本题考查了否命题的定义，属于基础题．
15．已知双曲线
（a ＞0，b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2，点A 在双曲线第一象限的图
象上，若△AF 1F 2的面积为1，且tan ∠AF 1F 2=
，tan ∠AF 2F 1=﹣2，则双曲线方程为
．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】设A （m ，n ）．m ＞0，n ＞0．由tan ∠AF 1F 2可得=，由tan ∠AF 2F 1=﹣2可得
=2，由△AF 1F 2的面积为1可得?2c ?n=1，联立求出A 的坐标，即可得出双曲线的方程． 【解答】解：设A （m ，n ）．m ＞0，n ＞0．
由tan ∠AF 1F 2可得
=，
由tan ∠AF 2F 1=﹣2可得=2，
由△AF 1F 2的面积为1可得?2c ?n=1，
以上三式联立解得：c=，m=
，n=
．
所以A （
，
），F 1（﹣，0），F 2（
，0）．
根据双曲线定义可得2a=|AF 1|﹣|AF 2|=．
所以a=
，b=，
所以双曲线方程为．
故答案为
．
【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生对双曲线基础知识的理解和灵活利用．
16．直线y=x+3与曲线
=1的公共点个数为 3 ．
【考点】直线与圆锥曲线的关系．
【分析】分x 大于等于0，和x 小于0两种情况去绝对值符号，可得当x ≥0时，曲线
=1为焦点在y 轴上的双曲线，当x ＜0时，曲线=1为焦点在y 轴上的椭圆，在同一
坐标系中作出直线y=x+3与曲线=1的图象，就可找到交点个数．
【解答】解：当x ≥0时，曲线=1的方程为
当x ＜0时，曲线=1的方程为，
∴曲线=1的图象为右图，
在同一坐标系中作出直线y=x+3的图象， 可得直线与曲线交点个数为3个．
故答案为3
【点评】本题主要考查图象法求直线与曲线交点个数，关键是去绝对值符号，化简曲线方程．
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
|x|在（0，+∞）上单17．（10分）（2016秋?大观区校级期末）设命题p：函数f（x）=log
a
=0的解集只有一个子集．若“p∨q”为真，“p∧q”调递增；q：关于x的方程x2+2x+log
a
为假，求实数a的取值范围．
【考点】复合命题的真假．
【分析】先求出命题p，q下的a的取值范围，根据p∨q为真，p∧q为假可知p，q一真一假．所以讨论，p真q假，和p假q真两种情况，求出a的范围求并集即可．
【解答】解：由命题p得a＞1；
由命题q知关于x的方程无解，∴，解得1；
由“p∨q”为真，“p∧q”为假知p，q中一真一假；
∴若p真q假，则：a＞1，且0＜a＜1，或a，∴；
若p假q真，则0＜a＜1，或1，解得a∈?；
综上得，实数a的取值范围为．
【点评】考查对数函数的单调性，一元二次方程的解和判别式△的关系，p∨q，p∧q的真假
情况和p，q真假情况的关系．
18．（12分）（2016秋?大观区校级期末）如图，F
1
是椭圆=1（a＞b＞0）的右焦点，
A和B是以O为圆心，以|OF
1|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且△F
1
AB是等边三角形，
求椭圆的离心率．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】以O为圆心，以|OF
1|为半径的圆的方程为：x2+y2=c2．与椭圆方程联立解得x
A
，即x
D
．根
据△F
1
AB是等边三角形，可得∠AOD=60°，因此=cos60°，解出即可得出．
【解答】解：以O为圆心，以|OF
1
|为半径的圆的方程为：x2+y2=c2．
联立，化为：c2x2=a2（2c2﹣a2），
解得，
∵△F
1
AB是等边三角形，（设AB与x轴相交于点D）．
∴∠AOD=60°．
∴=cos60°=，
化为：e4﹣8e2+4=0，
解得e2=4﹣2，e2=4+2舍去．
解得e=．
【点评】本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19．（12分）（2016秋?大观区校级期末）已知两点M（﹣2，0）、N（2，0），点P为坐标
平面内的动点，满足||?||+=0，则动点P（x，y）的轨迹方程为y2=﹣8x ．【考点】轨迹方程；数量积的坐标表达式．
【分析】根据题意，设P（x，y），结合M与N的坐标，可以求出||=4，并将、表示出
来，代入||?||+=0中，可得4+4（x﹣2）=0，化简整理即可得答案．【解答】解：设P（x，y），
又由M（﹣2，0），N（2，0），
则||=4， =（x+2，y），=（x﹣2，y）
又由||?||+=0，
则4+4（x﹣2）=0
化简整理得y2=﹣8x；
故答案为y2=﹣8x．
【点评】本题考查轨迹方程的求法，涉及平面向量的数量积运算与抛物线的定义，求解此类问题时要注意轨迹与轨迹方程的区别．
20．（12分）（2016秋?大观区校级期末）已知直线y=ax+1与双曲线3x2﹣y2=1交于A、B两点．
（1）求a的取值范围；
（2）若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值．
【考点】直线与圆锥曲线的关系．
【分析】（1）根据直线和双曲线的位置关系，即可求a的取值范围；
（2）根据条件以AB为直径的圆过坐标原点，消去y，利用根与系数之间的关系即可求实数a 的值．
【解答】解（1）由消去y，
得（3﹣a2）x2﹣2ax﹣2=0，
依题意得，
即﹣＜a＜且a≠±．
（2）设A（x
1，y
1
），B（x
2
，y
2
），
∵（3﹣a2）x2﹣2ax﹣2=0，
∴，
∵以AB为直径的圆过坐标原点，∴OA⊥OB，
即x
1x
2
+y
1
y
2
=0，
则x
1x
2
+（ax
1
+1）（ax
2
+1）=0，
则（a2+1）x
1x
2
+a（x
1
+x
2
）+1=0，
∴（a2+1）+a+1=0，
解得a=±1，满足条件．
【点评】本题主要考查直线和圆锥曲线的位置关系的判断和应用，联立方程利用根与系数之间的关系是解决本题的关键．
21．（12分）（2015春?湖南期末）如图，正三棱柱ABC﹣A
1B
1
C
1
的所有棱长都为2，D为CC
1
中点．
（Ⅰ）求证：AB
1⊥面A
1
BD；
（Ⅱ）求二面角A﹣A
1
D﹣B的余弦．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．
【分析】（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ，由已知条件推导出AO ⊥平面BCC 1B 1，连结B 1O ，则B 1O ⊥BD ，AB 1⊥BD ，AB 1⊥A 1B ，由此能证明AB 1⊥平面A 1BD ．
（Ⅱ）设AB 1与A 1B 交于点C ，在平面A 1BD 中，作GF ⊥A 1D 于F ，连结AF ，则∠AFG 为二面角A ﹣A 1B ﹣B 的平面角，由此能求出二面角A ﹣A 1D ﹣B 的余弦值． 【解答】（Ⅰ）证明：取BC 中点O ，连结AO ， ∵△ABC 为正三角形， ∴AO ⊥BC ，
∵正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1， ∴AO ⊥平面BCC 1B 1，
连结B 1O ，在正方形BB 1C 1C 中，O 、D 分别为BC 、CC 1的中点， ∴B 1O ⊥BD ， ∴AB 1⊥BD ，
在正方形ABB 1A 1中，AB 1⊥A 1B ， ∴AB 1⊥平面A 1BD ．
（Ⅱ）解：设AB 1与A 1B 交于点C ，
在平面A 1BD 中，作GF ⊥A 1D 于F ，连结AF ， 由（Ⅰ）得AB 1⊥平面A 1BD ，
∴∠AFG 为二面角A ﹣A 1B ﹣B 的平面角，
在△AA 1D 中，由等面积法可求得AF=，
又∵AG==，
∴sin
==
，∴cos ∠AFG=
．
∴二面角A ﹣A 1D ﹣B 的余弦值为．
【点评】本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
22．（12分）（2014?安徽模拟）如图，设点F 1（﹣c ，0）、F 2（c ，0）分别是椭圆
的左、右焦点，P 为椭圆C 上任意一点，且最小值为0．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若动直线l 1，l 2均与椭圆C 相切，且l 1∥l 2，试探究在x 轴上是否存在定点B ，点B 到l 1，l 2的距离之积恒为1？若存在，请求出点B 坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．
【分析】（1）设P （x ，y ），可得向量
坐标关于x 、y 的形式，从而得到
，结合点P 为椭圆C 上的点，化简得
，说
明
最小值为1﹣c 2=0，从而解出a 2=2且b 2=1，得到椭圆C 的方程．
（2）当直线l 1，l 2斜率存在时，设它们的方程为y=kx+m 与y=kx+n ，与椭圆方程联解并利用根的判别式列式，化简得m 2=1+2k 2且n 2=1+2k 2，从而得到m=﹣n ．再假设x 轴上存在B （t ，0），
使点B 到直线l 1，l 2的距离之积为1，由点到直线的距离公式列式，并化简去绝对值整理得k 2（t 2﹣3）=2或k 2（t 2﹣1）=0，再经讨论可得t=±1，得B （1，0）或B （﹣1，0）．最后检验当直线l 1，l 2斜率不存在时，（1，0）或（﹣1，0）到直线l 1，l 2的距离之积与等于1，从而得到存在点B （1，0）或B （﹣1，0），满足点B 到l 1，l 2的距离之积恒为1．
【解答】解：（1）设P （x ，y ），则有，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣（1分）
∴
∵点P 在椭圆C 上，可得，可得y 2=x 2，
∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）
因此，最小值为1﹣c 2=0，解之得c=1，可得a 2=2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣
∴椭圆C 的方程为
．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（2）①当直线l 1，l 2斜率存在时，设其方程为y=kx+m ，y=kx+n ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
把l 1的方程代入椭圆方程，得（1+2k 2）x 2+4mkx+2m 2﹣2=0 ∵直线l 1与椭圆C 相切，
∴△=16k 2m 2﹣4（1+2k 2）（2m 2﹣2）=0，化简得m 2=1+2k 2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）
同理可得n 2=1+2k 2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
∴m 2=n 2，而若m=n 则l 1，l 2重合，不合题意，因此m=﹣n ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
设在x 轴上存在点B （t ，0），点B 到直线l 1，l 2的距离之积为1，
则
，即|k 2t 2﹣m 2|=k 2+1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
高二数学期末试卷(理科)
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