2020年高考全国卷3理科数学试卷
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={(x ,y )|x ,y ∈N*,y ≥x},B ={(x ,y )|x +y =8},则A ∩B 中元素的个数为( ) A 、2 B 、3 C 、4 D 、6
2.复数
i 311
-的虚部是( ) A 、?103 B 、?101 C 、101 D 、10
3
3.在一组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为p 1,p 2,p 3,p 4,且∑=4
1
i i
p
=1,则
下面四种情形中,对应样本的标准差最大的一组是( ) 4 A 、p 1=p 4=0.1,p 2=p 3=0.4 B 、p 1=p 4=0.4,p 2=p 3=0.1 C 、p 1=p 4=0.2,p 2=p 3=0.3 D 、p 1=p 4=0.3,p 2=p 3=0.2
4.Logistic 模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位:天)的Logistic 模型:I (t )=
)
53(23.01--+t e
K ,
其中K 为最大确诊病例数.当I (t*)=0.95K 时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为( )(ln19≈3)
A 、60
B 、63
C 、66
D 、69
5.设O 为坐标原点,直线x =2与抛物线C :y 2
=2px (p >0)交于D ,E 两点,若OD ⊥OE ,则C 的焦点坐标为( ) A 、(
4
1
,0) B 、(
2
1
,0) C 、(1,0) D 、(2,0)
6.已知向量,满足||=5,||=6,?=?6,则cos <,+>=( ) A 、?3531 B 、?3519 C 、3517 D 、35
19
7.在△ABC 中,cosC =
3
2
,AC =4,BC =3,则cosB =( ) A 、91 B 、31 C 、21 D 、3
2
8.如图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积是( )
A 、6+42
B 、4+42
C 、6+23
D 、4+23 9.已知2tan θ?tan (θ+4
π
)=7,则tan θ=( ) A 、?2
B 、?1
C 、1
D 、2
10.若直线l 与曲线y =x 和圆x 2+y 2=5
1
都相切,则l 的方程为( ) A 、y =2x +1 B 、y =2x +21 C 、y =
2
1
x +1 D 、y =21x +2
1
11.设双曲线C :22a x ?22
b
y =1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,离心率为5
.P 是C 上一点,且F 1P ⊥F 2P .若△PF 1F 2的面积为4,则a =( ) A 、1
B 、2
C 、4
D 、8
12.已知55
<84
,134
<85
.设a =log 53,b =log 85,c =log 138,则( ) A 、a <b <c B 、b <a <c C 、b <c <a D 、c <a <b
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.若x ,y 满足约束条件??
?
??≤≥-≥+1020x y x y x ,则z =3x +2y 的最大值为__________.
14.(x 2
+
x
2)6
的展开式中常数项是__________(用数字作答). 15.已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为____________. 16.关于函数f (x )=sinx +
x
sin 1
有如下四个命题: ①f (x )的图象关于y 轴对称. ②f (x )的图象关于原点对称. ③f (x )的图象关于直线x =
2
π
对称. ④f (x )的最小值为2.
其中所有真命题的序号是______________. 三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。
17.设数列{a n }满足a 1=3,a 1+n =3a n ?4n .
(1)计算a 2,a 3,猜想{a n }的通项公式并加以证明; (2)求数列{2n a n }的前n 项和S n .
18. 某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的
(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率;
(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);
(3)若某天的空气质量等级为1或2,则称这天“空气质量好”;若某天的空气质量等级为3或4,则称这天“空气质量不好”.根据所给数据,完成下面的2×2列联表,并根据列联
)
)()()(()(2
2
d b c a d c b a bc ad n K ++++-=
19.如图,在长方体ABCD ?A 1B 1C 1D 1中,点E ,F 分别在棱DD 1,BB 1上,且2DE =ED 1,BF =2FB 1.
(1)证明:点C 1在平面AEF 内;
(2)若AB =2,AD =1,AA 1=3,求二面角A ?EF ?A 1的正弦值.
20.已知椭圆C :252x +22
m
y =1(0<m <5)的离心率为415,A ,B 分别为C 的左、右顶
点.
(1)求C 的方程;
(2)若点P 在C 上,点Q 在直线x =6上,且|BP|=|BQ|,BP ⊥BQ ,求△APQ 的面积.
21.设函数f (x )=x 3
+bx +c ,曲线y =f (x )在点(
21,f (2
1))处的切线与y 轴垂直. (1)求b ;
(2)若f (x )有一个绝对值不大于1的零点,证明:f (x )所有零点的绝对值都不大于1.
(二)选考题:共10分。请考生在第22,23题中任选一题作答。如果多做,则按所的第一题计分22.[选修4-4:极坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为???+-=--=2
2
322t
t y t t x (t 为参数且t ≠1),C 与坐标轴交于A ,B 两点 (1)求|AB|
(2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求直线AB 的极坐标方程.
23.[选修4-5不等式选讲](10分) 设1,0,,,==++∈abc c b a R c b a (1)证明:0<++ca bc ab
(2)用max{a ,b ,c }表示a ,b ,c 中的最大值,证明max{a ,b ,c }≥34