2020年湖南省各地市中考数学试卷解析版

2020 年湖南省长沙市中考数学试卷

题号

得分

一 二 三 总分 一、选择题（本大题共 12 小题，共 36.0 分）

1. （-2）3 的值等于（ ）

A. -6

B. 6

C. 8

D. -8

D.

2. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）

A. B. C. 3. 为了将“新冠”疫情对国民经济的影响降至最低，中国政府采取积极的财政税收政 策，切实减轻企业负担，以促进我国进出口企业平稳发展．据国家统计局相关数据 显示，2020 年 1 月至 5 月，全国累计办理出口退税 632400000000 元，其中数字 632400000000 用科学记数法表示为（ ）

A. 6.324×1011 4. 下列运算正确的是（ ）

B. x 8÷x 2=x 6 B. 6.324×1010

C. 632.4×109

D. 0.6324×1012 A. + =

C. × =

D. （a 5）2=a 7 5. 2019 年 10 月，《长沙晚报》对外发布长沙高铁西站设计方案．该方案以“三湘四 水，杜娟花开”为设计理念，塑造出“杜娟花开”的美丽姿态．该高铁站建设初期 需要运送大量土石方．某运输公司承担了运送总量为 106m 3 土石方的任务，该运输 公司平均运送土石方的速度 v （单位：m 3/天）与完成运送任务所需时间 t （单位： 天）之间的函数关系式是（ ）

A. v =

B. v =106t

C. v = t 2

D. v =106t 2

6. 从一艘船上测得海岸上高为 42 米的灯塔顶部的仰角为 30°时，船离灯塔的水平距离 是（ ）

A. 42 米

B. 14 米

C. 21 米

D. 42 米 7. 不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）

A.

C. B.

D.

8. 一个不透明袋子中装有 1 个红球，2 个绿球，除颜色外无其他差别．从中随机摸出 一个球，然后放回摇匀，再随机摸出一个．下列说法中，错误的是（ ）

A. 第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球一定是绿球

B. 第一次摸出的球是红球，第二次摸出的不一定是红球

C. 第一次摸出的球是红球的概率是

D. 两次摸出的球都是红球的概率是

9. 2020 年 3 月 14 日，是人类第一个“国际数学日”．这个节日的昵称是“π（Day ） ”．国际数学日之所以定在 3 月 14 日，是因为“3.14”是与圆周率数值最接近的

数字．在古代，一个国家所算得的圆周率的精确程度，可以作为衡量这个国家当时 数学与科技发展水平的一个主要标志．我国南北朝时的祖冲之是世界上最早把圆周 率的精确值计算到小数点后第 7 位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年．以下对 于圆周率的四个表述：

①圆周率是一个有理数；

②圆周率是一个无理数；

③圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比；

④圆周率是一个与圆的大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比．

其中表述正确的序号是（ ）

A. ②③

B. ①③

C. ①④

D. ②④

10. 如图：一块直角三角板的 60°角的顶点 A 与直角顶点 C

分别在两平行线 FD 、GH 上，斜边 AB 平分∠CAD ，交

直线 GH 于点 E ，则∠ECB 的大小为（ ）

A. 60°

B. 45°

C. 30°

D. 25°

11. 随着 5G 网络技术的发展，市场对 5G 产品的需求越来越大，为满足市场需求，某

大型 5G 产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前 多生产 30 万件产品，现在生产 500 万件产品所需时间与更新技术前生产 400 万件 产品所需时间相同．设更新技术前每天生产 x 万件产品，依题意得（ ）

A. =

B. =

C. =

D. =

12. “闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比

较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分 比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”P 与加工煎炸时间 t （单位： 分钟）近似满足的函数关系为：p =at 2+bt +c （a ≠0，a ，b ，c 是常数），如图记录了 三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳 时间为（ ）

A. 3.50 分钟

B. 4.05 分钟

C. 3.75 分钟

D. 4.25 分钟

二、填空题（本大题共 4 小题，共 12.0 分）

13. 长沙地铁 3 号线、5 号线即将试运行，为了解市民每周乘坐地铁出行的次数，某校

园小记者随机调查了 100 名市民，得到如下统计表：

7 次及以 1 次及以 次数

6 5 4 3 2 6 上 下 人数 8 12 31 24 15 4

这次调查中的众数和中位数分别是______，______．

14.某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给A、B、C三个同学相同

数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多），然后依次完成以下三个步骤：

第一步，A同学拿出二张扑克牌给B同学；

第二步，C同学拿出三张扑克牌给B同学；

第三步，A同学手中此时有多少张扑克牌，B同学就拿出多少张扑克牌给A同学．请你确定，最终B同学手中剩余的扑克牌的张数为______．

15.已知圆锥的母线长为3，底面半径为1，该圆锥的侧面展开图的面积为______．

16.如图，点P在以MN为直径的半圆上运动（点P不与M，

N重合），PQ⊥MN，NE平分∠MNP，交PM于点E，交PQ

于点F．

（1）+ =______．

（2）若PN2=PM?MN，则=______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17.计算：|-3|-（-1）0+ cos45°+（）-1．

18.先化简再求值：?- ，其中x=4．

19.人教版初中数学教科书八年级上册第

48 页告诉我们一种

作已知角的平分线的方法：

已知：∠AOB．

求作：∠AOB的平分线．

作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA

于点M，交OB于点N．

（2）分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，

两弧在∠AOB的内部相交于点C．

（3）画射线OC，射线OC即为所求（如图）．

请你根据提供的材料完成下面问题．

（1）这种作已知角的平分线的方法的依据是______．（填序号）

①SSS②SAS③AAS④ASA

（2）请你证明OC为∠AOB的平分线．

2020 年3 月，中共中央、国务院颁布了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》．长沙市教育局发布了“普通中小学校劳动教育状况评价指标”．为了解某校学生一周劳动次数的情况，随机抽取若干学生进行调查，得到如图统计图表：20.

（1）这次调查活动共抽取______人；

（2）m=______，n=______；

（3）请将条形统计图补充完整；

（4）若该校学生总人数为3000 人，根据调查结果，请你估计该校一周劳动4 次及以上的学生人数．

21.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的

直线互相垂直，垂足为D，AC平分∠DAB．

（1）求证：DC为⊙O的切线．

（2）若AD=3，DC= ，求⊙O的半径．

22.今年6 月以来，我国多地遭遇强降雨，引发洪涝灾害，人民的生活受到了极大的影

响．“一方有难，八方支援”，某市筹集了大量的生活物资，用A，B两种型号的货车，分两批运往受灾严重的地区．具体运输情况如下：

第一批第二批

A型货车的辆数（单位：辆） 1 2

B型货车的辆数（单位：辆） 3 5

累计运输物资的吨数（单位：吨）

28 50

备注：第一批、第二批每辆货车均满载

（1）求A、B两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资？

（2）该市后续又筹集了62.4 吨生活物资，现已联系了3 辆A种型号货车．试问至少还需联系多少辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地？

23.在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE

翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．

（1）求证：△ABF∽△FCE；

（2）若AB=2 ，AD=4，求EC的长；

（3）若AE-DE=2EC，记∠BAF=α，∠FAE=β，求tanα+tanβ

的值．

24.我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称

之为“H函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“H点”．根据该约定，完成下列各题．

（1）在下列关于x的函数中，是“H函数”的，请在相应题目后面的括号中打

“√”，不是“H函数”的打“×”．

①y=2x（______）；

②y= （m≠0）（______）；

③y=3x-1（______）．

（2）若点A（1，m）与点B（n，-4）是关于x的“H函数”y=ax2+bx+c（a≠0）的一对“H点”，且该函数的对称轴始终位于直线x=2 的右侧，求a，b，c的值或取值范围．

（3）若关于x的“H函数”y=ax2+2bx+3c（a，b，c是常数）同时满足下列两个条件：①a+b+c=0，②（2c+b-a）（2c+b+3a）＜0，求该“H函数”截x轴得到的线段长度的取值范围．

25.如图，半径为4 的⊙O中，弦AB的长度为4 ，点C是劣弧

上的一个动点，点D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，

连接DE、OD、OE．

（1）求∠AOB的度数；

（2）当点C沿着劣弧从点A开始，逆时针运动到点B时，

求△ODE的外心P所经过的路径的长度；

（3）分别记△ODE，△CDE的面积为S，S，当S2-S2=21 时，求弦AC的长度．

1 2 1 2

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：（-2）3=-8，

故选：D ．

根据有理数的乘方的运算法则即可得到结果．

此题考查了有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方的运算法则是解本题的关键． 2.【答案】B

【解析】解：A 、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；

C 、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；

D 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；

故选：B ．

根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合各图形的特点求解即可．

本题考查了中心对称图形和轴对称图形的知识，注意掌握好中心对称图形与轴对称图形 的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是 要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合．

3.【答案】A

【解析】解：632 400 000000=6.324×1011，

故选：A ．

科学记数法的表示形式为 a ×10n 的形式，其中 1≤|a |＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要 看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原 数绝对值＞10 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．

此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a ×10n 的形式，其中 1≤|a |＜ 10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值．

4.【答案】B

【解析】解：A 、 B 、原式=x 8-2=x 6，计算正确，故本选项符合题意．

C 、原式= ，计算错误，故本选项不符合题意．

与 不是同类项，不能合并，计算错误，故本选项不符合题意． = D 、原式=a 5×2=a 10，计算错误，故本选项不符合题意．

故选：B ．

根据二次根式的混合运算法则，同底数幂的除法运算法则以及幂的乘方与积的乘方计算 法则进行解答．

本题主要考查了二次根式的混合运算，幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的除法，属于 基础计算题，熟记相关计算法则即可解答．

5.【答案】A

【解析】解：∵运送土石方总量=平均运送土石方的速度 v ×完成运送任务所需时间 t ， ∴106=vt ，

∴v = ，

故选：A ．

按照运送土石方总量=平均运送土石方的速度 v ×完成运送任务所需时间 t ，列出等式，

然后变形得出v关于t的函数，观察选项可得答案．

本题考查了反比例函数的应用，理清题中的数量关系是得出函数关系式的关键．

6.【答案】A

【解析】解：根据题意可得：船离海岸线的距离为42÷tan30°=42（米）

故选：A．

在直角三角形中，已知角的对边求邻边，可以用正切函数来解决．

本题考查解直角三角形的应用-仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．

7.【答案】D

【解析】解：由不等式组，得-2≤x＜2，

故该不等式组的解集在数轴表示为：

故选：D．

根据解不等式组的方法可以求得该不等组的解集，从而可以将该不等式组的解集在数轴上表示出来，本题得以解决．

本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．

8.【答案】A

【解析】解：A、第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是绿球，故本选项错误；

B、第一次摸出的球是红球，第二次摸出的不一定是红球，故本选项正确；

C、∵不透明袋子中装有1 个红球，2 个绿球，∴第一次摸出的球是红球的概率是，故本

选项正确；

D、共用9 种等情况数，分别是红红、红绿、红绿、绿红、绿绿、绿绿、绿红、绿绿、绿绿，则两次摸出的球都是红球的概率是，故本选项正确；

故选：A．

根据概率公式分别对每一项进行分析即可得出答案．

此题考查了概率的求法，解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

9.【答案】A

【解析】解：因为圆周率是一个无理数，是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比，

所以表述正确的序号是②③；

故选：A．

根据实数的分类和π的特点进行解答即可得出答案．

此题考查了实数，熟练掌握实数的分类和“π”的意义是解题的关键．

10.【答案】C

【解析】解：∵AB平分∠CAD，

∴∠CAD=2∠BAC=120°，

又∵DF∥HG，

∴∠ACE=180°-∠DAC=180°-120°=60°，

又∵∠ACB=90°，

∴∠ECB=∠ACB-∠ACE=90°-60°=30°，

故选：C．

依据角平分线的定义以及平行线的性质，即可得到∠ACE的度数，进而得出∠ECB的度数．

本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．

11.【答案】B

【解析】解：设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产（x+30）万件产品，

依题意，得：= ．

故选：B．

设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产（x+30）万件产品，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合现在生产500 万件产品所需时间与更新技术前生产

400 万件产品所需时间相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．

本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

12.【答案】C

【解析】解：将图象中的三个点（3，0.8）、（4，0.9）、（5，0.6）代入函数关系p=at2+bt+c 中，

，

解得，

所以函数关系式为：p=-0.2t2+1.5t-1.9，

由题意可知：加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标：

t=- =- =3.75，

则当t=3.75 分钟时，可以得到最佳时间．

故选：C．

将图象中的三个点（3，0.8）、（4，0.9）、（5，0.6）代入函数关系p=at2+bt+c中，可得函数关系式为：p=-0.2t2+1.5t-1.9，再根据加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标，求出即可得结论．

本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握二次函数的性质．

13.【答案】5 5

【解析】解：这次调查中的众数是5，

这次调查中的中位数是，

故答案为：5；5．

根据中位数和众数的概念求解即可．

本题考查中位数和众数的概念；在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数；将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．14.【答案】7

【解析】解：设每人有牌x张，B同学从A同学处拿来二张扑克牌，又从C同学处拿来三张扑克牌后，

则B同学有（x+2+3）张牌，

A同学有（x-2）张牌，

那么给A同学后B同学手中剩余的扑克牌的张数为：x+2+3-（x-2）=x+5-x+2=7．

故答案为：7．

本题是整式加减法的综合运用，设每人有牌x张，解答时依题意列出算式，求出答案．本题考查了整式的加减法，此题目的关键是注意要表示清A同学有（x-2）张．

15.【答案】3π

【解析】解：∵圆锥的侧面展开图是扇形，

∴S侧=πrl=3×1π=3π，

∴该圆锥的侧面展开图的面积为3π．

故答案为：3π．

根据圆锥的侧面积公式：S侧= 2πr?l=πrl．即可得圆锥的侧面展开图的面积．

本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是掌握圆锥的侧面展开图的扇形面积公式．16.【答案】1

【解析】解：（1）∵MN为⊙O的直径，

∴∠MPN=90°，

∵PQ⊥MN，

∴∠PQN=∠MPN=90°，

∵NE平分∠PNM，

∴∠MNE=∠PNE，

∴△PEN∽△QFN，

∴，即①，

∵∠PNQ+∠NPQ=∠PNQ+∠PMQ=90°，

∴∠NPQ=∠PMQ，

∵∠PQN=∠PQM=90°，

∴△NPQ∽△PMQ，

∴②，

∴①×②得，

∵QF=PQ-PF，

∴=1- ，

∴+ =1，

故答案为：1；

（2）∵∠PNQ=∠MNP，∠NQP=∠NPQ，∴△NPQ∽△NMP，

∴，

∴PN2=QN?MN，

∵PN2=PM?MN，

∴PM=QN，

∴，

∵tan∠M= ，

∴∴，

，

∴NQ2=MQ2+MQ?NQ，即，

设，则x2+x-1=0，

解得，x= ，或x=- ＜0（舍去），

∴= ，

故答案为：．

（1）证明△PEN∽△QFN，得

，再变形比例式便可求得结果；

（2）证明△NPQ∽△NMP，得PN2=NQ?MN，结合已知条件得PM=NQ，再根据三角函数得，进而得MQ与NQ的方程，再解一元二次方程得答案．

①，证明△NPQ∽△PMQ，得②，再①×②得

本题主要考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，角平分线的定义，关键是灵活地变换比例式．

17.【答案】解：原式=3-1 +4

=2+1+4

=7．

【解析】首先化简绝对值，求零指数幂，特殊角的三角函数，负整数指数幂，再按顺序进行加减运算．

本题主要考查了化简绝对值，零指数幂，特殊角的三角函数，负整数指数幂，熟练掌握实数的运算法则是解答此题的关键．

18.【答案】解：?-

=

=

= ，

当x=4 时，原式= =3．

【解析】根据分式的乘法和减法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．

本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．

19.【答案】①

【解析】解：（1）这种作已知角的平分线的方法的依据是

①SSS．

故答案为：①

（2）由基本作图方法可得：OM=ON，OC=OC，MC=NC，

则在△OMC和△ONC中，

，

∴△OMC≌△ONC（SSS），

∴∠AOC=∠BOC，

即OC为∠AOB的平分线．

（1）直接利用角平分线的作法得出基本依据；

（2）直接利用全等三角形的判定与与性质得出答案．

此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．

20.【答案】200 86 27

【解析】解：（1）20÷10%=200（人），

故答案为：200；

（2）200×43%=86（人），54÷200=27%，即，n=27，

故答案为：86，27；

（3）200×20%=40（人），补全条形统计图如图所示：

（4）3000×27%=810（人），

答：该校3000 名学生中一周劳动4 次及以上的有810 人．

（1）从统计图中可知，“1 次及以下”的频数为20，占调查人数的10%，可求出调查人数；

（2）“3 次”的占调查人数的43%，可求出“3 次”的频数，确定m的值，进而求出“4

次以上”的频率，确定n值，

（3）求出“2 次”的频数，即可补全条形统计图；

（4）“4 次以上”占27%，因此估计3000 人的27%是“4 次以上”的人数．

本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，从两个统计图中获取数量和数量关系是正确解答的前提．

21.【答案】解：（1）如图，连接OC，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∵AC平分∠DAB，

∴∠DAC=∠OAC，

∴∠OCA=∠DAC，

∴AD∥OC，

∵AD⊥DC，

∴OC⊥DC，

又OC是⊙O的半径，

∴DC为⊙O的切线；

（2）过点O作OE⊥AC于点E，

在Rt△ADC中，AD=3，DC=

∴tan∠DAC= = ，

∴∠DAC=30°，

，

∴AC=2DC=2

∵OE⊥AC，

，

根据垂径定理，得

AE=EC= AC=

∵∠EAO=∠DAC=30°，

∴OA= =2，

∴⊙O的半径为2．

，

【解析】（1）如图，连接OC，根据已知条件可以证明∠OCA=∠DAC，得AD∥OC，由AD⊥DC，得OC⊥DC，进而可得DC为⊙O的切线；

（2）过点O作OE⊥AC于点E，根据Rt△ADC中，AD=3，DC= ，可得DAC=30°，再根据垂径定理可得AE的长，进而可得⊙O的半径．

本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理，解决本题的关键是掌握切线的判定与性质．

22.【答案】解：（1）设A种型号货车每辆满载能运x吨生活物资，B种型号货车每辆满载能运y吨生活物资，

依题意，得：，

解得：．

答：A种型号货车每辆满载能运10 吨生活物资，B种型号货车每辆满载能运6 吨生活物资．

（2）设还需联系m辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地，

依题意，得：10×3+6m≥62.4，

解得：m≥5.4，

又∵m为正整数，

∴m的最小值为6．

答：至少还需联系6 辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地．

【解析】（1）设A种型号货车每辆满载能运x吨生活物资，B种型号货车每辆满载能运y吨生活物资，根据前两批具体运算情况数据表，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设还需联系m辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地，根据要求一次性运送62.4 吨生活物资，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中最小的整数值即可得出结论．

本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

23.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B=∠C=∠D=90°，

由翻折可知，∠D=∠AFE=90°，

∴∠AFB+∠EFC=90°，∠EFC+∠CEF=90°，

∴∠AFB=∠FEC，

∴△ABF∽△FCE．

（2）设EC=x，

由翻折可知，AD=AF=4，

∴BF= = =2，

∴CF=BC-BF=2，

∵△ABF∽△FCE，

∴= ，

∴= ，

∴x= ，

∴EC= ．

（3）∵△ABF∽△FCE，

∴= ，

∴tanα+tanβ=+ = + = = ，

设AB=CD=a，BC=AD=b，DE=x，

∴AE=DE+2CE=x+2（a-x）=2a-x，

∵AD=AF=b，DE=EF=x，∠B=∠C=∠D=90°，

∴BF= ，CF= = ，

∵AD2+DE2=AE2，

∴b2+x2=（2a-x）2，

∴a2-ax= b2，

∵△ABF∽△FCE，

∴= ，

∴= ，

∴a2-ax= ∴b2=

?，?，

整理得，16a4-24a2b2+9b4=0，

∴（4a2-3b2）2=0，

∴= ，

∴tanα+tanβ== ．

【解析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．

（2）设EC=x，证明△ABF∽△FCE，可得= ，由此即可解决问题．

（3）首先证明tanα+tanβ=+ = + = = ，设AB=CD=a，BC=AD=b，DE=x，

解直角三角形求出a，b之间的关系即可解决问题．

本题属于相似三角形综合题，考查了矩形的性质翻折变换，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中压轴题．

24.【答案】√√×

【解析】解：（1）①y=2x是“H函数”．②y= （m≠0）是“H函数”．③y=3x-1 不是

“H函数”．

故答案为：√，√，×．

（2）∵A，B是“H点”，

∴A，B关于原点对称，

∴m=4，n=1，

∴A（1，4），B（-1，-4），

代入y=ax2+bx+c（a≠0）

得，

∴，

∵该函数的对称轴始终位于直线x=2 的右侧，∴- ＞2，

∴- ＞2，

∴-1＜a＜0，

∵a+c=0，

∴0＜c＜1，

综上所述，-1＜a＜0，b=4，0＜c＜1．

（3）∵y=ax2+2bx+3c是“H函数”，

∴设H（p，q）和（-p，-q），

代入得到，

解得ap2+3c=0，2bp=q，

∵p2＞0，

∴a，c异号，

∴ac＜0，

∵a+b+c=0，

∴b=-a-c，

∵（2c+b-a）（2c+b+3a）＜0，

∴（2c-a-c-a）（2c-a-c+3a）＜0，

∴（c-2a）（c+2a）＜0，

∴c2＜4a2，

∴＜4，

∴-2＜＜2，

设t= ，则-2＜t＜0，

设函数与x轴交于（x，0），（x，0），

1 2

∴x，x是方程ax2+2bx+3c=0 的两根，

1 2

∴|x-x|=

1 2

=

=

=

=2

=2 ，

∵-2＜t＜0，

∴2＜|x-x|＜2 ．

1 2

（1）根据“H函数”的定义判断即可．

（2）先根据题意求出m，n的取值范围，代入y=ax2+bx+c得到a，b，c的关系，再根据对称轴在x=2 的右侧即可求解．

（3）设“H“点为（p，q）和（-p，-q），代入y=ax2+2bx+3c得到ap2+3c=0，2bp=q，得到a，c异号，再根据a+b+c=0，代入（2c+b-a）（2x+b+3a）＜0，求出的取值，设

函数与x轴的交点为（x，0），（x，0），t= ，利用根与系数的关系得到|x-x|=

1 2 1 2

=2 ，再利用二次函数的性质即可求解．

本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，一元二次方程的根与

系数的关系等知识，“H函数”，“H点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学

会利用参数解决问题，属于中考压轴题．

25.【答案】解：（1）如图1 中，过点O作OH⊥AB于H．

∵OA=OB=4，OH⊥AB，

∴AH=HB= AB=2 ，∠AOH=∠BOH，

∴sin∠AOH= = ，

∴∠AOH=60°，

∴∠AOB=2∠AOH=120°．

（2）如图2 中，连接OC．

∵OA=OC=OB，AD=DC，CE=EB，

∴OD⊥AC，OE⊥CB，

∴∠ODC=∠OEC=90°，

∴∠ODC+∠OEC=180°，

∴O，D，C，E四点共圆，

∴OC是直径，

∴OC的中点P是△OED的外接圆的圆心，

∴OP= OC=2，

∴点P的运动路径的长= = ．

（3）如图3 中，连接OC交AB于J，过点O作OH⊥AB于H，过点C作CK⊥AB于K．

∵AD=CD，CE=EB，

∴DE∥AB，AB=2DE，

∴△CDE∽△CAB，

∴=（）2= ，

∴S△ABC=4S2，

∵S△ADO=S△ODC，S△OBE=S△OEC，

∴S四边形ODCE= S四边形OACB，

∴S+S= （4S+4 ）=2S2+2 ，

1 2 2

∴S=S+2 ，

1 2

∵S2-S2=21，

1 2

∴S22+4 S+12-S2=21，

2 2

∴S2= ，

∴S△ABC=3 = ×AB×CK，

∴CK= ，

∵OH⊥AB，CK⊥AB，

∴OH∥CK，

∴△CKJ∽△OHJ，

∴= ，

∴= = ，

∴CJ= ×4= ，OJ= ×4=，

∴JK= = = ，JH= = = ，∴KH= ，

∴AK=AH=KH=2 ∴AC= - ，

= = = - ．

【解析】（1）如图1 中，过点O作OH⊥AB于H．利用等腰三角形的性质求出∠AOH 即可．

（2）连接OC，证明O，D，C，F四点共圆，OC的中点即为△ODE外接圆的圆心，再

利用弧长公式计算即可．

（3）如图3 中，连接OC交AB于J，过点O作OH⊥AB于H，过点C作CK⊥AB于K．证明△CDE∽△CAB，推出=（）2= ，推出S△ABC=4S2，因为S△ADO=S△ODC，

S△OBE=S△OEC，推出S四边形ODCE= S，可得S+S= （4S+4 ）=2S2+2 ，推出

四边形OACB 1 2 2

S=S+2 ，因为S2-S2=21，可得S2+4 S+12-S2=21，推出S= ，利用三角形的面1 2 1 2 2 2 2 2

积公式求出CK，解直角三角形求出AK即可解决问题．

本题属于圆综合题，考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方

程，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压

轴题．

2020 年湖南省常德市中考数学试卷

题号

得分

一 二 三 四 总分

一、选择题（本大题共 8 小题，共 24.0 分）

1. 4 的倒数为（ ） A. B. 2 C. 1 D. -4

D.

2. 下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是（ ）

A. B. C. 3. 如图，已知 AB ∥DE ，∠1=30°，∠2=35°，则∠BCE 的度数为（ ）

A. 70°

B. 65°

C. 35°

D. 5° 4. 下列计算正确的是（ ） A. a 2+b 2=（a +b ）2 B. a 2+a 4=a 6

D. a 2?a 3=a 5 C. a 10÷a 5=a 2

5. 下列说法正确的是（ ）

A. 明天的降水概率为 80%，则明天 80%的时间下雨，20%的时间不下雨

B. 抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上

C. 了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式

D. 一组数据的众数一定只有一个

6. 一个圆锥的底面半径 r =10，高 h =20，则这个圆锥的侧面积是（ ）

A. 100 π

B. 200 π

C. 100 π

D. 200 π

7. 二次函数 y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论： ①b 2-4ac ＞0；②abc ＜0；③4a +b =0；④4a -2b +c ＞0．

其中正确结论的个数是（ ）

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

8. 如图，将一枚跳棋放在七边形 ABCDEFG 的顶点 A 处，按顺时 针方向移动这枚跳棋 2020 次．移动规则是：第 k 次移动 k 个顶 点（如第一次移动 1 个顶点，跳棋停留在 B 处，第二次移动 2 个顶点，跳棋停留在 D 处），按这样的规则，在这 2020 次 移动中，跳棋不可能停留的顶点是（ ）

A. C 、E

B. E 、F

C. G 、C 、E

D. E 、C 、F

二、填空题（本大题共 8 小题，共 24.0 分）

9. 分解因式：xy 2-4x =______．

10. 若代数式 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是______．