中考数学模拟试卷(有答案)
中考数学模拟试卷（3）
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列各式不成立的是（）
A．|﹣2|=2 B．|+2|=|﹣2| C．﹣|+2|=±|﹣2| D．﹣|﹣3|=+（﹣3）
2．下列各实数中，最小的是（）
A．﹣π B．（﹣1）0C．D．|﹣2|
3．如图，AB∥CD，∠C=32°，∠E=48°，则∠B的度数为（）
A．120°B．128°C．110°D．100°
4．下列全国各地地铁标志图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
5．下列计算正确的是（）
A．2a+3b=5ab B．（a2）4=a8C．a3?a2=a6D．（a﹣b）2=a2﹣b2
6．据报道，中国内地首次采用“全无人驾驶”的燕房线地铁有望年底完工，列车通车后将极大改善房山和
燕山居民的出行条件，预计年输送乘客可达7300万人次，将7300用科学记数法表示应为（）
A．73×102B．7.3×103C．0.73×104D．7.3×102
7．如图是根据某班50名同学一周的体育锻炼情况绘制的条形统计图，则这个班50名同学一周参加体育锻炼时间的众数与中位数分别为（）
A．9，8 B．8，9 C．8，8.5 D．19，17
8．已知关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）
A．m＜﹣1 B．m＞1 C．m＜1且m≠0 D．m＞﹣1且m≠0
9．如图，在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，将AD边绕点A顺时针旋转，使点D恰好落在BC边上的D′处，则阴影部分的扇形面积为（）
A．πB．C．D．
10．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点E是边AC上一动点，过点E作EF∥BC，交AB边于点F，点D为BC上任一点，连接DE，DF．设EC的长为x，则△DEF的面积y关于x的函数关系大致为（）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．正多边形的一个内角的度数恰好等于它的外角的度数的3倍，则这个多边形的边数为．
12．分式方程=的解为．
13．如图，自行车的链条每节长为 2.5cm，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为0.8cm，如果某种型号的自行车链条共有60节，则这根链条没有安装时的总长度为cm．
14．如图，菱形ABCD的边长为15，sin∠BAC=，则对角线AC的长为．
15．如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，若AB=6，那么DE= ．
16．如图，已知S△ABC=8m2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S△ADC= m2．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
17．解方程：x2﹣2x﹣4=0．
18．先化简，再求值：﹣÷．其中x=．
19．如图，BD是矩形ABCD的一条对角线．
（1）作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F，垂足为点O（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不
要求写作法）
（2）在（1）中，连接BE和DF，求证：四边形DEBF是菱形．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
20．将分别标有数字1，2，3的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌上．
（1）随机抽取一张，求抽到奇数的概率；
（2）随机抽取一张作为十位上的数字（不放回），再抽取一张作为个位上的数字，能组成哪些两位数？用
树状图（或列表法）表示所有可能出现的结果．这个两位数恰好是4的倍数的概率是多少？
21．如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．
（1）求证：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；
（2）求△FGC的面积．
22．“关注校车，关爱儿童”成为今年全社会热议的焦点话题之一．某幼儿园计划购进一批校车．若单独
购买35座校车若干辆，现有的需接送的儿童刚好坐满；若单独购买55座校车，则可以少买一辆，且余45
个空座位．
（1）求该幼儿园现有的需接送儿童人数；
（2）已知35座校车的单价为每辆32万元，55座校车的单价为每辆40万元．根据购车资金不超过150万元的预算，学校决定同时购进这两种校车共4辆（可以坐不满），请你计算本次购进小车的费用．
五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
23．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=（x＞0）的图象交于P（n，2），与x轴交于A（﹣4，0），与y轴交于C，PB⊥x轴于点B，且AC=BC．
（1）求一次函数、反比例函数的解析式；
（2）反比例函数图象有一点D，使得以B、C、P、D为顶点的四边形是菱形，求出点D的坐标．
24．⊙O的半径为5，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D在直线AB上．
（1）如图（1），已知∠BCD=∠BAC，求证：CD是⊙O的切线；
（2）如图（2），CD与⊙O交于另一点E．BD：DE：EC=2：3：5，求圆心O到直线CD的距离；
（3）若图（2）中的点D是直线AB上的动点，点D在运动过程中，会出现C，D，E在三点中，其中一点是
另外两点连线的中点的情形，问这样的情况出现几次？
25．如图1，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，把矩形沿直线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．
（1）求证：△DEC≌△EDA；
（2）求DF的值；
（3）如图2，若P为线段EC上一动点，过点P作△AEC的内接矩形，使其顶点Q落在线段AE上，定点M、N落在线段AC上，当线段PE的长为何值时，矩形PQMN的面积最大？并求出其最大值．
中考数学模拟试卷（3）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列各式不成立的是（）
A．|﹣2|=2 B．|+2|=|﹣2| C．﹣|+2|=±|﹣2| D．﹣|﹣3|=+（﹣3）
【考点】绝对值．
【分析】分别根据绝对值的定义求出各选项的值即可．
【解答】解：A、正确，符合绝对值的定义；
B、正确，符合绝对值的定义；
C、错误，因为﹣|+2|=﹣2，±|﹣2|=±2；
D、正确，因为﹣|﹣3|=﹣3，+（﹣3）=﹣3．
故选C．
【点评】本题考查的是绝对值的定义，即一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
2．下列各实数中，最小的是（）
A．﹣π B．（﹣1）0C．D．|﹣2|
【考点】实数大小比较；零指数幂．
【分析】首先求出每个选项中的数各是多少；然后根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，判断出最小的实数是多少即可．
【解答】解：﹣π≈﹣ 3.14，（﹣1）0=1，，
∵﹣3.14＜﹣1＜1＜2，
∴﹣，
∴各实数中，最小的是﹣π．
故选：A．
【点评】（1）此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）a0=1（a≠0）；（2）00≠1．
（3）此题还考查了立方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个数的立方根只有一
个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
（4）此题还考查了绝对值的非负性的应用，要熟练掌握．
3．如图，AB∥CD，∠C=32°，∠E=48°，则∠B的度数为（）
A．120°B．128°C．110°D．100°
【考点】平行线的性质．
【分析】根据三角形的内角和=180°，求出∠CDE=100°，由AB∥CD，同位角相等得到∠B的度数．【解答】解：∵∠C=32°，∠E=48°，
∴∠CDE=100°，
∵AB∥CD，
∴∠B=∠CDE=100°．
故选D．
【点评】此题考查了平行线的性质与三角形外角的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．4．下列全国各地地铁标志图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．
故选C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿
对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
5．下列计算正确的是（）
A．2a+3b=5ab B．（a2）4=a8C．a3?a2=a6D．（a﹣b）2=a2﹣b2
【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法；完全平方公式．
【分析】根据同底数幂的乘法的性质，幂的乘方的性质，积的乘方的性质，合并同类项的法则，对各选项
分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、2a与3b不是同类项，不能合并，故错误；
B、正确；
C、a3?a2=a5，故错误；
D、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故错误；
故选：B．
【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化是解题的关键．
6．据报道，中国内地首次采用“全无人驾驶”的燕房线地铁有望年底完工，列车通车后将极大改善房山和
燕山居民的出行条件，预计年输送乘客可达7300万人次，将7300用科学记数法表示应为（）
A．73×102B．7.3×103C．0.73×104D．7.3×102
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将7300用科学记数法表示为：7.3×103．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
7．如图是根据某班50名同学一周的体育锻炼情况绘制的条形统计图，则这个班50名同学一周参加体育锻
炼时间的众数与中位数分别为（）
A．9，8 B．8，9 C．8，8.5 D．19，17
【考点】中位数；条形统计图；众数．
【专题】图表型．
【分析】解读统计图，获取信息，根据定义求解．
【解答】解：数据8出现了19次，最多是8，8为众数；
在第25位、26位的均是9，所以9为中位数．
故选B．
【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．
一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项．注意找中位数的时候一定要先排
好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是
偶数个则找中间两位数的平均数．
8．已知关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）
A．m＜﹣1 B．m＞1 C．m＜1且m≠0 D．m＞﹣1且m≠0
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【分析】由关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，根据一元二次方程的定义和根的判
别式的意义可得m≠0且△＞0，即22﹣4?m?（﹣1）＞0，两个不等式的公共解即为m的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，
∴m≠0且△＞0，即22﹣4?m?（﹣1）＞0，解得m＞﹣1，
∴m的取值范围为m＞﹣1且m≠0．
∴当m＞﹣1且m≠0时，关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根．
故选D．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＜0，方程有两个相等的实数根；当△=0，方程没有实数根；也考查了一元二次方程的
定义．
9．如图，在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，将AD边绕点A顺时针旋转，使点D恰好落在BC边上的D′处，则阴影部分的扇形面积为（）
A．πB．C．D．
【考点】扇形面积的计算；旋转的性质．
【分析】先根据图形旋转的性质得出AD′的长，再根据直角三角形的性质得出∠AD′Ｂ的度数，进而得出∠DAD′的度数，由扇形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：∵线段AD′由线段AD旋转而成，AD=2，
∴AD′=AD=2．
∵AB=1，∠ABD=90°，
∴∠AD′B=30°．
∵AD∥BC，
∴∠DAD′=∠AD′B=30°，
∴S阴影==．
故选C．
【点评】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
10．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点E是边AC上一动点，过点E作EF∥BC，交AB边于点F，点D为BC上任一点，连接DE，DF．设EC的长为x，则△DEF的面积y关于x的函数关系大致为（）
A．B．C．D．
【考点】动点问题的函数图象．
【分析】判断出△AEF和△ABC相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出EF，再根据三角形的面积列式
表示出S与x的关系式，然后得到大致图象选择即可．
【解答】解：∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴
即，
∴EF=，
∴S=×?x=﹣x2+4x=﹣（x﹣3）2+6（0＜x＜5），
纵观各选项，只有D选项图象符合．
故选：D．
【点评】本题考查了动点问题函数图象，主要利用了相似三角形的性质，求出S与x的函数关系式是解题
的关键，也是本题的难点．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．正多边形的一个内角的度数恰好等于它的外角的度数的3倍，则这个多边形的边数为8 ．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】首先设正多边形的一个外角等于x°，由在正多边形中，一个内角的度数恰好等于它的外角的度数
的3倍，即可得方程：x+3x=180，解此方程即可求得答案．
【解答】解：设正多边形的一个外角等于x°，
∵一个内角的度数恰好等于它的外角的度数的3倍，
∴这个正多边形的一个内角为：3x°，
∴x+3x=180，
解得：x=45，
∴这个多边形的边数是：360°÷45°=8．
故答案为：8．
【点评】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度不大，注意掌握方程思想的应用．
12．分式方程=的解为x=3 ．
【考点】解分式方程．
【专题】计算题．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：2x+3=3x，
解得：x=3，
经检验x=3是分式方程的解，
故答案为：x=3
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求
解．解分式方程一定注意要验根．
13．如图，自行车的链条每节长为 2.5cm，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为0.8cm，如果某种型号的自行车链条共有60节，则这根链条没有安装时的总长度为102.8 cm．
【考点】规律型：图形的变化类．
【分析】根据已知可得两节链条的长度为： 2.5×2﹣0.8，3节链条的长度为： 2.5×3﹣0.8×2，以及60节链条的长度为： 2.5×60﹣0.8×59，得出答案即可．
【解答】解：∵根据图形可得出：
两节链条的长度为： 2.5×2﹣0.8，
3节链条的长度为： 2.5×3﹣0.8×2，
4节链条的长度为： 2.5×4﹣0.8×3，
∴60节链条的长度为： 2.5×60﹣0.8×59=102.8cm．
故答案为：102.8．
【点评】此题主要考查了图形的变化类，根据题意得出60节链条的长度与每节长度之间的关系是解决问题
的关键．
14．如图，菱形ABCD的边长为15，sin∠BAC=，则对角线AC的长为24 ．
【考点】菱形的性质；解直角三角形．
【分析】连接BD，交AC与点O，首先根据菱形的性质可知AC⊥BD，解三角形求出BO的长，利用勾股定理求出AO的长，即可求出AC的长．
【解答】解：连接BD，交AC与点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
在Rt△AOB中，
∵AB=15，sin∠BAC=，
∴sin∠BAC==，
∴BO=9，
∴AB2=OB2+AO2，
∴AO===12，
∴AC=2AO=24，
故答案为24．
【点评】本题主要考查了菱形的性质以及解直角三角形的知识，解答本题的关键是掌握菱形的对角线互相
垂直平分，此题难度不大．
15．如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，若AB=6，那么DE= 9 ．
【考点】位似变换．
【分析】由△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，可得AB：DE=2：3，继而可求得DE的长．
【解答】解：△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，
∴AB：DE=2：3，
∵AB=6，
∴DE=AB=6×=9．
故答案为：9．
【点评】此题考查了位似图形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
16．如图，已知S△ABC=8m2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S△ADC= 4 m2．
【考点】等腰三角形的判定与性质；三角形的面积．
【分析】延长BD交AC于点E，则可知△ABE为等腰三角形，则S△ABD=S△ADE，S△BDC=S△CDE，可得出S△ADC=S△ABC．【解答】解：如图，延长BD交AC于点E，
∵AD平分∠BAE，AD⊥BD，
∴∠BAD=∠EAD，∠ADB=∠ADE，
在△ABD和△AED中，
，
∴△ABD≌△AED（ASA），
∴BD=DE，
∴S△ABD=S△ADE，S△BDC=S△CDE，
∴S△ABD+S△BDC=S△ADE+S△CDE=S△ADC，
∴S△ADC═S△ABC=×8=4（m2），
故答案为：4．
【点评】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，由BD=DE得到S△ABD=S△ADE，S△BDC=S△CDE是解题的关键．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
17．解方程：x2﹣2x﹣4=0．
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【分析】在本题中，把常数项﹣4移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．
【解答】解：由原方程移项，得
x2﹣2x=4，
等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得
x2﹣2x+1=5，
配方，得
（x﹣1）2=5，
∴x=1±，
∴x1=1+，x2=1﹣．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法﹣﹣配方法．配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
18．先化简，再求值：﹣÷．其中x=．
【考点】分式的化简求值．
【专题】计算题．
【分析】原式第二项利用除法法则变形，约分后利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=﹣?=﹣=，
当x=时，原式==﹣1．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．如图，BD是矩形ABCD的一条对角线．
（1）作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F，垂足为点O（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不
要求写作法）
（2）在（1）中，连接BE和DF，求证：四边形DEBF是菱形．
【考点】作图—基本作图；菱形的判定；矩形的性质．
【分析】（1）分别以B、D为圆心，以大于BD的长为半径四弧交于两点，过两点作直线即可得到线段BD 的垂直平分线；
（2）利用垂直平分线证得△DEO≌△BFO即可证得EO=FO，进而利用菱形的判定方法得出结论．
【解答】（1）解：如图所示：EF即为所求；
（2）证明：如图所示：
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵EF垂直平分线段BD，
∴BO=DO，
在△DEO和三角形BFO中，
∵，
∴△DEO≌△BFO（ASA），
∴EO=FO，
∴四边形DEBF是平行四边形，
又∵EF⊥BD，
∴四边形DEBF是菱形．
【点评】本题考查了基本作图及全等三角形的判定与性质、菱形的判定等知识，正确掌握菱形的判定方法
是解题关键．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
20．将分别标有数字1，2，3的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌上．
（1）随机抽取一张，求抽到奇数的概率；
（2）随机抽取一张作为十位上的数字（不放回），再抽取一张作为个位上的数字，能组成哪些两位数？用
树状图（或列表法）表示所有可能出现的结果．这个两位数恰好是4的倍数的概率是多少？
【考点】列表法与树状图法．
【分析】（1）由将分别标有数字1，2，3的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌上，直接利用概率公式求解
即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与这个两位数恰好是4的倍数的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）∵将分别标有数字1，2，3的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌上，
∴P（抽到奇数）=；
（2）画树状图得：
∴能组成的两位数是12，13，21，23，31，32．
∵共有6种等可能的结果，这个两位数恰好是4的倍数的有2种情况，
∴这个两位数恰好是4的倍数的概率为： =．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出
所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
21．如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．
（1）求证：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；
（2）求△FGC的面积．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）．
【分析】（1）①根据折叠的性质可以得到∠B=∠AFG=90°，AB=AF，AG=AG，根据HL定理即可证明两三角形全等；
②不妨设BG=FG=x，（x＞0），则CG=6﹣x，EG=2+x，在Rt△CEG中，利用勾股定理即可列方程求得；
（2）根据三角形的面积公式可得：S△FGC=S△EGC，即可求解．
【解答】解：（1）证明：①在正方形ABCD中，AD=AB，∠D=∠B=∠C=90°，
又∵△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G
∴∠AFG=∠AFE=∠D=90°，AF=AD，
即有∠B=∠AFG=90°，AB=AF，AG=AG，
在直角△ABG和直角△AFG中，，
∴△ABG≌△AFG；
②∵AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE，
∴DE=FE=2，CE=4，
不妨设BG=FG=x，（x＞0），
则CG=6﹣x，EG=2+x，
在Rt△CEG中，（2+x）2=42+（6﹣x）2
解得x=3，于是BG=GC=3，
（2）∵=，
∴=，
∴S△FGC=S△EGC=××4×3=．
【点评】本题考查了正方形的性质，以及图形的折叠的性质，三角形全等的证明，理解折叠的性质是关键．
22．“关注校车，关爱儿童”成为今年全社会热议的焦点话题之一．某幼儿园计划购进一批校车．若单独
购买35座校车若干辆，现有的需接送的儿童刚好坐满；若单独购买55座校车，则可以少买一辆，且余45个空座位．
（1）求该幼儿园现有的需接送儿童人数；
（2）已知35座校车的单价为每辆32万元，55座校车的单价为每辆40万元．根据购车资金不超过150万元的预算，学校决定同时购进这两种校车共4辆（可以坐不满），请你计算本次购进小车的费用．
【考点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用．
【分析】（1）设单独购买35座客车需x辆．根据单独购买35座客车若干辆，则刚好坐满和单独购买55座客车，则可以少购买一辆，且余45个空座位，分别表示出总人数，从而列方程求解；
（2）设购买35座客车y辆，则购买55座客车（4﹣y）辆．根据不等关系：①两种车坐的总人数不小于175人；②购买资金不超过1500元．列不等式组分析求解．
【解答】解：（1）设单独租用35座客车需x辆．
由题意得：35x=55（x﹣1）﹣45，
解得：x=5．
∴35x=35×5=175（人）．
答：该校八年级参加社会实践活动的人数为175人．
（2）设租35座客车y辆，则租55座客车（4﹣y）辆．
由题意得：，
解这个不等式组，得1≤y≤2．
∵y取正整数，
∴y=2．
∴4﹣y=4﹣2=2．
∴购进小车的费用为：32×2+40×2=144（万元）．
答：本次购进小车的费用是144万元．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用和一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到
关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．
五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
23．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=（x＞0）的图象交于P（n，2），与x轴交于A（﹣4，0），与y轴交于C，PB⊥x轴于点B，且AC=BC．
（1）求一次函数、反比例函数的解析式；
（2）反比例函数图象有一点D，使得以B、C、P、D为顶点的四边形是菱形，求出点D的坐标．
【考点】反比例函数综合题．
【分析】（1）先根据题意得出P点坐标，再将A、P两点的坐标代入y=kx+b求出kb的值，故可得出一次
函数的解析式，把点P（4，2）代入反比例函数y=即可得出m的值，进而得出结论；
（2）根据PB为菱形的对角线与PC为菱形的对角线两种情况进行讨论即可．
【解答】解：（1）∵AC=BC，CO⊥AB，A（﹣4，0），
∴O为AB的中点，即OA=OB=4，
∴P（4，2），B（4，0），
将A（﹣4，0）与P（4，2）代入y=kx+b得：，
解得：k=，b=1，
∴一次函数解析式为y=x+1，
将P（4，2）代入反比例解析式得：m=8，即反比例解析式为y=．
（2）如图所示，
当PB为菱形的对角线时，
∵四边形BCPD为菱形，
∴PB垂直且平分CD，
∵PB⊥x轴，P（4，2），
∴点D（8，1）．
当PC为菱形的对角线时，PB∥CD，
此时点D在y轴上，不可能在反比例函数的图象上，故此种情形不存在．
综上所述，点D（8，1）．
【点评】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到一次函数与反比例函数图象上点的坐标特点、菱形的判
定与性质等知识，难度适中．
24．⊙O的半径为5，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D在直线AB上．
（1）如图（1），已知∠BCD=∠BAC，求证：CD是⊙O的切线；
（2）如图（2），CD与⊙O交于另一点E．BD：DE：EC=2：3：5，求圆心O到直线CD的距离；
（3）若图（2）中的点D是直线AB上的动点，点D在运动过程中，会出现C，D，E在三点中，其中一点是另外两点连线的中点的情形，问这样的情况出现几次？
【考点】圆的综合题．
【分析】（1）连接OC，根据弦切角定理和圆的性质可得到∠BCD=∠BAC=∠OCA，结合圆周角定理可求得∠OCD=90°，可证明CD是切线；
（2）先证明△BCD∽△EAD，结合条件可求得BD=2，DE=3，EC=5，在△OBC中可求得O到CD的距离；（3）分点D在⊙O外和点D在⊙O内两种情况，当D在⊙O外时又分D在A点左边和D在B点右边两种情况，当D在⊙O内时只有一种，结合图形可给出答案．
【解答】（1）证明：如图（1），连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵∠BCD=∠BAC=∠OCA，
∴∠BCD+∠OCB=90°，即OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵∠ADE=∠CDB，∠BCD=∠EAD，
∴△BCD∽△EAD，
∴，
∴，
又∵BD：DE：EC=2：3：5，⊙O的半径为5，
∴BD=2，DE=3，EC=5，
如图（2），连接OC、OE，则△OEC是等边三角形，
作OF⊥CE于F，则EF=CE=，∴OF=，