2017高考理科数学第一轮基础知识点复习教案概率与统计1
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第十二编概率与统计
§12.1 随机事件的概率
1.下列说法不正确的有 .
①某事件发生的频率为P（A）=1.1
②不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1
③小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然发生的事件
④某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的
答案①③④
2.给出下列三个命题，其中正确命题有个.
①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.
答案 0
3.已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8，0.12，0.05，则这台纺纱机在1 小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为， .
答案 0.97 0.03
4.甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是,乙获胜的概率是，则乙不输的概率是 .
答案
5.抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数点，事件B为出现2点，已知P（A）=，P（B）=，则出现奇数点或2点的概率之和为 .
答案
例1 盒中仅有4只白球5只黑球，从中任意取出一只球.
（1）“取出的球是黄球”是什么事件？它的概率是多少？
（2）“取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？
（3）“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？
解（1）“取出的球是黄球”在题设条件下根本不可能发生，因此它是不可能事件，其概率为0.
（2）“取出的球是白球”是随机事件，它的概率是.
（3）“取出的球是白球或黑球”在题设条件下必然要发生，因此它是必然事件，它的概率是1. 例2 某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表所示：
（1）计算表中击中10环的各个频率；
（2）这位射击运动员射击一次，击中10环的概率为多少？
解（1）击中10环的频率依次为0.8，0.95，0.88，0.93，0.89，0.906.
（2）这位射击运动员射击一次，击中10环的概率约是0.9.
例3 （14分）国家射击队的某队员射击一次，命中7～10环的概率如下表所示：
求该射击队员射击一次
（1）射中9环或10环的概率；
（2）至少命中8环的概率；
（3）命中不足8环的概率.
解记事件“射击一次，命中k环”为A k（k∈N，k≤10），则事件A k彼此互斥.
2分
（1）记“射击一次，射中9环或10环”为事件A，那么当A9，A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件的加法公式得
P（A）=P（A9）+P（A10）=0.32+0.28=0.60.
5分
（2）设“射击一次，至少命中8环”的事件为B，那么当A8，A9，A10之一发生时，事件B发生.
由互斥事件概率的加法公式得
P（B）=P（A8）+P（A9）+P（A10）
=0.18+0.28+0.32=0.78.
10分
（3）由于事件“射击一次，命中不足8环”是事件B：“射击一次，至少命中8环”的对立事件：即表示事件“射击一次，命中不足8环”，根据对立事件的概率公式得
P（）=1-P（B）=1-0.78=0.22.
14分
1.在12件瓷器中，有10件一级品，2件二级品，从中任取3件.
(1)“3件都是二级品”是什么事件？
（2）“3件都是一级品”是什么事件？
（3）“至少有一件是一级品”是什么事件？
解（1）因为12件瓷器中，只有2件二级品，取出3件都是二级品是不可能发生的，故是不可能事件.
（2）“3件都是一级品”在题设条件下是可能发生也可能不发生的，故是随机事件.
（3）“至少有一件是一级品”是必然事件，因为12件瓷器中只有2件二级品，取三件必有一级品.
2.某企业生产的乒乓球被08年北京奥委会指定为乒乓球比赛专用球.日前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如下表所示：
抽取球数n50 100 200 500 1 000 2 000 优等品数m45 92 194 470 954 1 902
优等品频率
（1）计算表中乒乓球优等品的频率；
（2）从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？（结果保留到小数点后三位）
解（1）依据公式p=，可以计算出表中乒乓球优等品的频率依次是0.900，0.920，0.970，0.940，
0.954，0.951.
（2）由（1）知，抽取的球数n不同，计算得到的频率值虽然不同，但随着抽取球数的增多，却
都在常数0.950的附近摆动，所以抽取一个乒乓球检测时，质量检查为优等品的概率为0.950.
3.玻璃球盒中装有各色球12只，其中5红、4黑、2白、1绿，从中取1球，求：（1）红或黑的概
率；
（2）红或黑或白的概率.
解方法一记事件A1：从12只球中任取1球得红球；
A2：从12只球中任取1球得黑球；
A3：从12只球中任取1球得白球；
A4：从12只球中任取1球得绿球，则
P（A1）=，P（A2）=，P（A3）=，P（A4）=.
根据题意，A1、A2、A3、A4彼此互斥，
由互斥事件概率加法公式得
（1）取出红球或黑球的概率为
P（A1+A2）=P（A1）+P（A2）=+=.
（2）取出红或黑或白球的概率为
P（A1+A2+A3）=P（A1）+P（A2）+P（A3）
=++=.
方法二（1）取出红球或黑球的对立事件为取出白球或绿球，即A1+A2的对立事件为A3+A4，∴取出红球或黑球的概率为
P（A1+A2）=1-P（A3+A4）=1-P（A3）-P（A4）
=1--==.
（2）A1+A2+A3的对立事件为A4.
P（A1+A2+A3）=1-P（A4）=1-=.
一、填空题
1.在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同.现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是 . 答案
2.某入伍新兵的打靶练习中，连续射击2次，则事件“至少有1次中靶”的互斥事件是（写出一个即可）.
答案 2次都不中靶
3.甲:A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是对立事件，那么甲是乙的条件.
答案必要不充分
4.将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是 .
答案
5.一个口袋内装有一些大小和形状都相同的白球、黑球和红球，从中摸出一个球，摸出红球的概率是0.3，摸出白球的概率是0.5，则摸出黑球的概率是 .
答案0.2
6.在第3、6、16路公共汽车的一个停靠站（假定这个车站只能停靠一辆公共汽车），有一位乘客需在5分钟之内乘上公共汽车赶到厂里，他可乘3路或6路公共汽车到厂里，已知3路车、6路车在5分钟之内到此车站的概率分别为0.20和0.60，则该乘客在5分钟内能乘上所需要的车的概率为 .
答案 0.80
7.中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为 .
答案
8.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率是90%，则甲、乙二人下成和棋的概率为 .
答案 50%
二、解答题
9.某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21、0.23、0.25、0.28，计算这个射手在一次射击中：
（1）射中10环或9环的概率；
（2）不够7环的概率.
解（1）设“射中10环”为事件A，“射中9环”为事件B，由于A，B互斥，则
P（A+B）=P（A）+P（B）=0.21+0.23=0.44.
（2）设“少于7环”为事件C，则
P（C）=1-P（）
=1-（0.21+0.23+0.25+0.28）=0.03.
10.某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：
医生人数0 1 2 3 4 5人及以上概率0.1 0.16 0.3 0.2 0.2 0.04
求：（1）派出医生至多2人的概率；
（2）派出医生至少2人的概率.
解记事件A：“不派出医生”，
事件B：“派出1名医生”，
事件C：“派出2名医生”，
事件D：“派出3名医生”，
事件E：“派出4名医生”，
事件F：“派出不少于5名医生”.
∵事件A，B，C，D，E，F彼此互斥，
且P（A）=0.1，P（B）=0.16，P（C）=0.3，
P（D）=0.2，P（E）=0.2，P（F）=0.04.
（1）“派出医生至多2人”的概率为
P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）
=0.1+0.16+0.3=0.56.
（2）“派出医生至少2人”的概率为
P（C+D+E+F）=P（C）+P（D）+P（E）+P（F）
=0.3+0.2+0.2+0.04=0.74.
或1-P（A+B）=1-0.1-0.16=0.74.
11.抛掷一个均匀的正方体玩具（各面分别标有数字1、2、3、4、5、6），事件A表示“朝上一面
的数是奇数”，事件B表示“朝上一面的数不超过3”，求P（A+B）.
解方法一因为A+B的意义是事件A发生或事件B发生，所以一次试验中只要出现1、2、3、
5四个可能结果之一时，A+B就发生，而一次试验的所有可能结果为6个，所以P（A+B）==. 方法二记事件C为“朝上一面的数为2”，
则A+B=A+C，且A与C互斥.
又因为P（C）=，P（A）=，
所以P（A+B）=P（A+C）=P（A）+P（C）
=+=.
方法三记事件D为“朝上一面的数为4或6”，则事件D发生时，事件A和事件B都不发生，即事件A+B不发生.又事件A+B发生即事件A发生或事件B发生时，事件D不发生，所以事件A+B与事件D为对立事件.
因为P（D）==，
所以P（A+B）=1-P（D）=1-=.
12.袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？
解分别记得到红球、黑球、黄球、绿球为事件A、B、C、D.由于A、B、C、D为互斥事件，
根据已知得到
解得.
∴得到黑球、黄球、绿球的概率各是，，.
§12.2 古典概型
1.从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为 .
答案
2.掷一枚骰子，观察掷出的点数，则掷出奇数点的概率为 .
答案
3.袋中有2个白球，2个黑球，从中任意摸出2个，则至少摸出1个黑球的概率是 .
答案
4.一袋中装有大小相同，编号为1，2，3，4，5，6，7，8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号之和不小于15的概率为 .
答案
5.掷一枚均匀的硬币两次，事件M：“一次正面朝上，一次反面朝上”；事件N：“至少一次正面朝上” .则P(M)= ,P(N)= .
答案
例1 有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1，2，3，4，下面做投掷这两颗正四面体玩
具的试验：用（x，y）表示结果，其中x表示第1颗正四面体玩具出现的点数，y表示第2颗正
四面体玩具出现的点数.试写出：
（1）试验的基本事件；
（2）事件“出现点数之和大于3”；
（3）事件“出现点数相等”.
解（1）这个试验的基本事件为：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），
（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），
（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），
（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）.
（2）事件“出现点数之和大于3”包含以下13个基本事件：
（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），
（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）.
（3）事件“出现点数相等”包含以下4个基本事件：
（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）.
例2 甲、乙两人参加法律知识竞答，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道，甲、乙
两人依次各抽一题.
（1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？
（2）甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
解甲、乙两人从10道题中不放回地各抽一道题，先抽的有10种抽法，后抽的有9种抽法，故所有可能的抽法是1039=90种，即基本事件总数是90.
（1）记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A，下面求事件A包含的基本事件数：甲抽选择题有6种抽法，乙抽判断题有4种抽法，所以事件A的基本事件数为634=24.
∴P（A）===.
（2）先考虑问题的对立面：“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”的对立事件是“甲、乙两人
都未抽到选择题”，即都抽到判断题.
记“甲、乙两人都抽到判断题”为事件B，“至少一人抽到选择题”为事件C，则B含基本事件数为433=12.
∴由古典概型概率公式，得P（B）==,
由对立事件的性质可得
P（C）=1-P（B）=1-=.
例3 （14分）同时抛掷两枚骰子.
（1）求“点数之和为6”的概率；
（2）求“至少有一个5点或6点”的概率.
解同时抛掷两枚骰子，可能的结果如下表：
共有36个不同的结果. 7分
（1）点数之和为6的共有5个结果，所以点数之和为6的概率P=. 10分
（2）方法一从表中可以得其中至少有一个5点或6点的结果有20个，所以至少有一个5点或6点的概率
P==. 14分
方法二至少有一个5点或6点的对立事件是既没有5点又没有6点，如上表既没有5点又没有
6点的结果共有16个，则既没有5点又没有6点的概率P==，
所以至少有一个5点或6点的概率为1-=. 14分
1.某口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球.
（1）共有多少个基本事件？
（2）摸出的2只球都是白球的概率是多少？
解（1）分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，从中摸出2只球，有如下基本事件（摸到1，2号球用（1，2）表示）：
(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),
(2,3),(2,4),(2,5)，(3,4),
(3,5),(4,5).
因此，共有10个基本事件.
（2）如下图所示，上述10个基本事件的可能性相同，且只有3个基本事件是摸到2只白球（记
为事件A），
即（1，2），（1，3），（2，3），故P（A）=.
故共有10个基本事件，摸出2只球都是白球的概率为.
2.（20082山东文，18）现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1、A2、A3通晓日语，B1、B2、B3通晓俄语，C1、C2通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组. （1）求A1被选中的概率；
（2）求B1和C1不全被选中的概率.
解（1）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间
={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1, C2),(A2,
B2,C1),(A2,B2,C2),(A2,B3,C1),(A2,B3,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2),( A3,B3,C1),
(A3,B3,C2)}由18个基本事件组成.由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件
的发生是等
可能的.
用M表示“A1恰被选中”这一事件，则
M={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2)}
事件M由6个基本事件组成，因而P（M）==.
（2）用N表示“B1、C1不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“B1、C1全被选中”这一事件，由于={（A1,B1,C1）,(A2,B1,C1),(A3,B1,C1)}，事件有3个基本事件组成，
所以P（）==，由对立事件的概率公式得
P（N）=1-P（）=1-=.
3.袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率:
（1）A:取出的两球都是白球；
（2）B：取出的两球1个是白球，另1个是红球.
解设4个白球的编号为1，2，3，4，2个红球的编号为5，6.
从袋中的6个小球中任取两个的方法为（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15个.
（1）从袋中的6个球中任取两个，所取的两球全是白球的总数，即是从4个白球中任取两个的
方法总数，共有6个，即为（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）.
∴取出的两个球全是白球的概率为P（A）==.
（2）从袋中的6个球中任取两个，其中1个为红球，而另1个为白球，其取法包括（1，5），（1，6），
（2，5），（2，6），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6）共8个.
∴取出的两个球1个是白球，另1个是红球的概率
P（B）=.
一、填空题
1.盒中有1个黑球和9个白球，它们除颜色不同外，其他方面没有什么差别.现由10人依次摸出1
个球.设第1个人摸出的1个球是黑球的概率为P1，第10个人摸出黑球的概率是P10，则P10 P1（填“＞”“＜”或“=”）.
答案 =
2.采用简单随机抽样从含有n个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，若个体a前2次未被抽
到，第3次被抽到的概率等于个体a未被抽到的概率的倍，则个体a被抽到的概率为 .
答案
3.有一个奇数列1，3，5，7，9，…，现在进行如下分组，第一组有1个数为1，第二组有2个数
为3、5，第三组有3个数为7、9、11，…，依此类推，则从第十组中随机抽取一个数恰为3的
倍数的概率为 .
答案
4.从数字1，2，3中任取两个不同数字组成两位数，该数大于23的概率为 .
答案
5.设集合A={1，2}，B={1，2，3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P（a，b），记“点
P（a,b）落在直线x+y=n上”为事件C n（2≤n≤5，n∈N），若事件C n的概率最大，则n的所
有可能值为 .
答案 3和4
6.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的横、纵坐标，则点P在直线x+y=5下方
的概率是 .
答案
7.（20082江苏，2）一个骰子连续投2次，点数和为4的概率为 .
答案
8.（20082上海文，8）在平面直角坐标系中，从五个点：A（0，0）、B（2，0）、C（1，1）、D（0，2）、
E（2，2）中任取三个，这三点能构成三角形的概率是（结果用分数表示）.
答案
二、解答题
9.5张奖券中有2张是中奖的，首先由甲然后由乙各抽一张，求：
（1）甲中奖的概率P（A）；
（2）甲、乙都中奖的概率；
（3）只有乙中奖的概率；
（4）乙中奖的概率.
解（1）甲有5种抽法，即基本事件总数为5.中奖的抽法只有2种，即事件“甲中奖”包含的基本事件数为2，故甲中奖的概率为P1=.
（2）甲、乙各抽一张的事件中，甲有五种抽法，则乙有4种抽法，故所有可能的抽法共534=20种，甲、乙都中奖的事件中包含的基本事件只有2种，故P2==.
（3）由（2）知，甲、乙各抽一张奖券，共有20种抽法，只有乙中奖的事件包含“甲未中”和“乙中”两种情况，故共有332=6种基本事件，∴P3==.
（4）由（1）可知，总的基本事件数为5，中奖的基本事件数为2，故P4=.
10.箱中有a个正品，b个次品，从箱中随机连续抽取3次，在以下两种抽样方式下：（1）每次抽样
后不放回；（2）每次抽样后放回.求取出的3个全是正品的概率.
解（1）若不放回抽样3次看作有顺序，则从a+b个产品中不放回抽样3次共有A种方法，从a 个正品中不放回抽样3次共有A种方法，可以抽出3个正品的概率P=.若不放回抽样3次看作无顺序，则从a+b个产品中不放回抽样3次
共有C种方法，从a个正品中不放回抽样3次共有C种方法，可以取出3个正品的概率P=.两种方法结果一致. （2）从a+b个产品中有放回的抽取3次，每次都有a+b种方法，所以共有（a+b）3种不同的方法，而3个全是正品的
抽法共有a3种，所以3个全是正品的概率
P=.
11.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取两个球都是白球的概率为.现有甲、乙两人从袋中轮流摸
球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有1人取到白球时即终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的.
（1）求袋中原有白球的个数；
（2）求取球2次终止的概率；
（3）求甲取到白球的概率.
解（1）设袋中有n个白球，从袋中任取2个球是白球的结果数是.
从袋中任取2个球的所有可能的结果数为=21.
由题意知==，
∴n（n-1）=6，解得n=3(舍去n=-2).
故袋中原有3个白球.
（2）记“取球2次终止”为事件A，则P（A）==.
（3）记“甲取到白球”的事件为B，
“第i次取到白球”为A i，i=1，2，3，4，5，
因为甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球.
所以P（B）=P（A1+A3+A5）.
因此A1，A3，A5两两互斥，
∴P（B）=P（A1）+P（A3）+P（A5）
=++
=++=.
12.（20082海南、宁夏文，19）为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况,调查部门对某校6名学生进行问卷调查,6人得分情况如下:
.
把这6名学生的得分看成一个总体.
(1)求该总体的平均数;
(2)用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名,他们的得分组成一个样本.求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.
解 (1)总体平均数为 (5+6+7+8+9+10)=7.5.
(2)设A表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”.
从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：
（5，6），（5，7），（5，8），（5，9），（5，10），（6，7），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），（7，10），（8，9），（8，10），（9，10），共15个基本结果.
事件A包括的基本结果有：（5，9），（5，10），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），共有7个基本结果.
所以所求的概率为P（A）=.
§12.3 几何概型
1.质点在数轴上的区间［0，2］上运动，假定质点出现在该区间各点处的概率相等，那么质点落在区间
［0，1］上的概率为 .
答案
2.某人向圆内投镖，如果他每次都投入圆内，那么他投中正方形区域的概率为 .
答案
3.某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过3分钟的概率是 .
答案
4.设D是半径为R的圆周上的一定点，在圆周上随机取一点C，连接CD得一弦，若A表示“所得弦的长大于圆内接等边三角形的边长”，则P（A）= .
答案
5.如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在30°角的终边上，任作一条射线OA，
则射线OA落在∠yOT内的概率为 .
答案
例1 有一段长为10米的木棍，现要截成两段，每段不小于3米的概率有多大？
解记“剪得两段都不小于3米”为事件A，从木棍的两端各度量出3米，这样中间就有10-3-3=4（米）.在中间的4米长的木棍处剪都能满足条件，
所以P（A）===0.4.
例2 街道旁边有一游戏：在铺满边长为9 cm的正方形塑料板的宽广地面上，掷一枚半径为1 cm 的小圆板，规则如下：每掷一次交5角钱，若小圆板压在正方形的边，可重掷一次；若掷在正方形内，须再交5角钱可玩一次；若掷在或压在塑料板的顶点上，可获1元钱.试问：
（1）小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？
（2）小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？
解（1）考虑圆心位置在中心相同且边长分别为7 cm和9 cm的正方形围成的区域内，所以概率为=.
（2）考虑小圆板的圆心在以塑料板顶点为圆心的圆内，因正方形有四个顶点，所以概率为.
例3 （14分）在1升高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10毫升，含有麦锈病
种子的概率是多少？从中随机取出30毫升，含有麦锈病种子的概率是多少？
解 1升=1 000毫升，
1分
记事件A：“取出10毫升种子含有这粒带麦锈病的种子”.
3分
则P（A）==0.01，即取出10毫升种子含有这粒带麦锈病的种子的概率为0.01. 7分
记事件B：“取30毫升种子含有带麦锈病的种子”.
9分
则P（B）==0.03，即取30毫升种子含有带麦锈病的种子的概率为0.03.
14分
例4 在Rt△ABC中，∠A=30°，过直角顶点C作射线CM交线段AB于M，求使|AM|＞|AC|的概率.
解设事件D“作射线CM，使|AM|＞|AC|”.
在AB上取点C′使|AC′|=|AC|，因为△ACC′是等腰三角形，
所以∠ACC′==75°,
=90-75=15， =90，所以，P（D）==.
例5 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离
去.求两人能会面的概率.
解以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是|x-y|≤15.在如图所示平面直角坐标系下，（x,y）的所有可能结果是边长为60的正方形区域，而事件A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示.由几何概型的概率公式得：
P（A）====.
所以，两人能会面的概率是.
1.如图所示，A、B两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C、D，问A与C，B与D之间的距离都不小于10米的概率是多少？
解记E：“A与C，B与D之间的距离都不小于10米”，把AB三等分，由于中间长度为303=10（米），
∴P（E）==.
2.（20082江苏，6）在平面直角坐标系xOy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点
构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则落入E中的
概率为 .
答案
3.如图所示，有一杯2升的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1升水，求小杯水中含有这个细菌的概率.
解记“小杯水中含有这个细菌”为事件A，则事件A的概率只与取出的水的体积有关，符合几
何概型的条件.
∵=0.1升， =2升，
∴由几何概型求概率的公式，
得P（A）====0.05.
4.在圆心角为90°的扇形AOB中，以圆心O为起点作射线OC，求使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率.
解如图所示，把圆弧三等分，则∠AOF=∠BOE=30°，记A为“在扇形AOB内作一射线OC，使
∠AOC和∠BOC都不小于30°”，要使∠AOC和∠BOC都不小于30°，则OC就落在∠EOF 内，
∴P（A）==.
5.将长为l的棒随机折成3段，求3段构成三角形的概率.
解设A=“3段构成三角形”，x,y分别表示其中两段的长度，则第3段的长度为l-x-y.
则试验的全部结果可构成集合
={（x，y）|0＜x＜l,0＜y＜l,0＜x+y＜l},
要使3段构成三角形，当且仅当任意两段之和大于第3段，即x+y＞l-x-yx+y＞,x+l-x-y＞y
y＜,y+l-x-y＞xx＜.
故所求结果构成集合
A=.
由图可知，所求概率为
P（A）===.
一、填空题
1.在区间（15，25］内的所有实数中随机取一个实数a,则这个实数满足17＜a＜20的概率
是 .
答案
2.在长为10厘米的线段AB上任取一点G，用AG为半径作圆，则圆的面积介于36平方厘米到64
平方厘米的概率是 .
答案
3.当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是 .
答案
4.如图为一半径为2的扇形（其中扇形中心角为90°），在其内部随机地撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为 .
答案 1-
5.在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是 .
答案
6.已知正方体ABCD—A1B1C1D1内有一个内切球O,则在正方体ABCD—A1B1C1D1内任取点M，点M在球O内的概率是 .
答案
7.已知下图所示的矩形，其长为12，宽为5.在矩形内随机地撒1 000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为550颗，则可以估计出阴影部分的面积约为 .
答案 33
8.在区间（0，1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于”的概率为 .
答案
二、解答题
9.射箭比赛的箭靶涂有5个彩色的分环，从外向内白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色，金色靶心叫“黄心”，奥运会的比赛靶面直径是122 cm，靶心直径12.2 cm,运动员在70米外射箭，假设都能中靶，且射中靶面内任一点是等可能的，求射中“黄心”的概率.
解记“射中黄心”为事件A，由于中靶点随机的落在面积为31222 cm2的大圆
内，而当中靶点在面积为312.22 cm2的黄心时，事件A发生，于是事件A发生
的概率
P（A）==0.01,
所以射中“黄心”的概率为0.01.
10.假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6∶30至7∶30之间把报纸送到你家，你父亲离开家
去工作的时间在早上
7∶00至8∶00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？
解设事件A“父亲离开家前能得到报纸”.在平面直角坐标系内，以x和y分别表示报纸送到和父亲离开家的时间，则父亲能得到报纸的充要条件是x≤y,而（x,y)的所有可能结果是边长为1的
正方形，而能得到报纸的所有可能结果由图中阴影部分表示，这是一个几何概型问题， =12-33=，=1，
所以P（A）==.
11.已知等腰Rt△ABC中，∠C=90°.
（1）在线段BC上任取一点M，求使∠CAM＜30°的概率；
（2）在∠CAB内任作射线AM，求使∠CAM＜30°的概率.
解（1）设CM=x，则0＜x＜a.（不妨设BC=a）.
若∠CAM＜30°,则0＜x＜a,
故∠CAM＜30°的概率为
P（A）==.
（2）设∠CAM=，则0°＜＜45°.
若∠CAM＜30°,则0°＜＜30°,
故∠CAM＜30°的概率为
P（B）==.
12.设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.
（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率.
（2）若a是从区间［0，3］任取的一个数，b是从区间［0，2］任取的一个数，求上述方程有实根的概率.
解设事件A为“方程x2+2ax+b2=0有实根”.
当a≥0,b≥0时，方程x2+2ax+b2=0有实根的充要条件为a≥b.
（1）基本事件共有12个：
（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），
（3，2）.
其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值.
事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为
P（A）==.
（2）试验的全部结果所构成的区域为
{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2}.
构成事件A的区域为
{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b}.
所以所求的概率为
P(A)= =.
§12.4 随机变量及其概率分布
1.袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X，则X的所有可能取值个数为 .
答案 7