2021.1海淀区高三上期末数学试题+答案

2021北京海淀高三（上）期末

数 学

2020.01

本试卷共8页，150分。考试时常120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，本试卷和答题纸一并交回。

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共10 小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）抛物线x =2

y 的准线方程是

（A ）2

1-

=x （B ）41-

=x （C ）21y -= （D ） 4

1y -= （2）在复平面内，复数

i

i

+1对应的点位于 （A ）第一象限

（B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限

（3）在()5

2-x 的展开式中，4x 的系数为

（A ）5

（B ）5-

（C ）10

（D ）10

（4）已知直线02:=++ay x l ，点），（11A --和点）（2,2B ，若AB l //，则实数a 的值为 （A ）1

（B ）1-

（C ）2

（D ）2-

（5）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为

（A ）2

（B ）4

（C ）6

（D ）12

（6）已知向量a ，b 满足1=a ，），（12-=b ，且2=-b a ，则=?b a （A ）1-

（B ）0

（C ）1

（D ）2

（7）已知α，β是两个不同的平面，“αβ∥”的一个充分条件是

（A ）α内有无数直线平行于β （B ）存在平面γ，αγ⊥，βγ⊥ （C ）存在平面γ，m α

γ=，n βγ=且m n ∥

（D ）存在直线l ，l α⊥，l β⊥ （8）已知函数2

()12sin ()4

f x x π

=-+ 则

（A ）()f x 是偶函数

（B ）函数()f x 的最小正周期为2π （C ）曲线()y f x =关于π

4

x =-对称 （D ）(1)(2)f f >

（9）数列{}n a 的通项公式为2

3n a n n =-，n ∈N ，前n 项和为n S ，给出

下列三个结论：

①存在正整数,()m n m n ≠，使得m n S S =；

②存在正整数,()m n m n ≠，使得m n a a += ③记，12(1,2,3,)n n T a a a =则数列{}n T 有最小项，其中所有正

确结论的序号是

（A ）① （B ）③ （C ）①③ （D ）①②③

（10）如图所示，在圆锥内放入连个球1O ，2O ，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切），切点圆（图中粗线所示）分别为⊙C 1,⊙C 2. 这两个球都与平面a 相切，切点分别为1F ，2F ，丹德林（G·

Dandelin ）利用这个模型证明了平面a 与圆锥侧面的交线为椭圆，1F ，2F 为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin 双球。若圆锥的母线与它的轴的夹角为300，⊙C 1, ⊙C 2的半径分别为1,4，点M 为⊙C 2上的一个定点，点P 为椭圆上的一个动点，则从点P 沿圆锥表面到达M 的路线长与线段1PF 的长之和的最小值是

（A ）6 （B ）8 （C ）（D ）

第二部分（非选择题 共110分）

（11）在“互联网+”时代，国家积极推动信息化技术与传统教学方式的深度融合，实现线上、线下融合式教学模式变革.某校高一、高二和高三学生人数如图所示.采用分层抽样的方法调查融合式教学模式的实施情况，在抽取样本中，高一学生有16人，则该样本中的高三学生人数为 .

（12）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若1S -、2S 、3a 成等差数列，则数列{}n a 的公比为 .

（13）已知双曲线2

2

12

y x -=的左右焦点分别为12,F F ，点(3,4)M -，则双曲线的渐近线方程为 ；12MF MF -= ;

（14）已知函数()f x 是定义域R 的奇函数，且0x ≤时，()1x

f x ae =-，则a = ，()f x 的值域是 ；

（15）已知圆22

:(5)(2)2P x y -+-=，直线:l y ax =，点(5,2M +，点(,)A s t .

给出下列4个结论：

①当0a =，直线l 与圆P 相离； ②若直线l 圆P 的一条对称轴，则25

a =

；

③若直线l 上存在点A ，圆P 上存在点N ，使得90MAN ∠=?，则a 的最大值为20

21

；

④N 为圆P 上的一动点，若90MAN ∠=?，则t .

其中所有正确结论的序号是 .

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 （16）（本小题共15分）

在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BCC B 为矩形，11AC BCC B ⊥平面,,D E 分别是棱1AA ，1BB 的中点. （Ⅰ）求证：11AE B C D ∥平面 （Ⅱ）求证: 1CC ABC ⊥平面

(Ⅲ)若12AC BC AA ===,求直线AB 与11B C D 平面所成角的正弦值.

（17）（本小题共14分）

若存在ABC ?同时满足条件①、条件②、条件③、条件④中的三个，请选择一组这样的三个条件并解答下列问题：

（Ⅰ）求A ∠的大小； （Ⅱ）求cos B 和a 的值.

条件①：sin C =

条件②：73

a c =

； 条件③：1b a -=； 条件④：5cos 2

b A =-

（18）（本小题共14分）

某公司在2013~2021年生产经营某种产品的相关数据如下表所示：

注：=

年返修率年生产台数

.

（Ⅰ）从2013~2020年中随机抽取一年，求该年生产的产品的平均利润不小于100元/台的概率；

（Ⅱ）公司规定：若年返修率不超过千分之一，则该公司生产部门当年考核优秀.现从2013~2020年中随机选出3年，记ζ表示这3年中生产部门获得考核优秀的次数.求ζ的分布列和数学期望；

（Ⅲ）记公司在2013~2015年，2016~2018年，2019~2021年的年生产台数的方差分别为2

2

2

123,,s s s .若

222312max{,}s s s ≤，其中2212max{,}s s 表示2212,s s ，这两个数中最大的数.请写出a 的最大值和最小值.（只需写

出结论） （注：2

222121

[()()()]n s x x x x x x n

=-+-+???-，其中x 为数据12,,,n x x x ???的平均数）

（19）（本小题共14分）

已知椭圆）

（01:2222>>=+b a b y a x W 的离心率为2

3

，且经过点），（32C . （Ⅰ）求椭圆W 的方程及其长轴长；

（Ⅱ）A ，B 分别为椭圆W 的左、右顶点，点D 在椭圆W 上，且位于x 轴下方，直线CD 交x 轴于点Q ，若ACQ △的面积比BDQ △的面积大32，求点D 的坐标.

（20）（本小题共14分）

已知函数ln ()x f x x

=

. （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；

（Ⅱ）设x x f x g -=)()(，求证：1)(-≤x g ；

（Ⅲ）设142)()(2

2+-+-=a ax x x f x h .若存在0x 使得0)(0≥x h ，求a 的最大值.

（21）（本小题共14分）

设A 是由)2(≥?n n n 个实数组成的n 行n 列的数表，满足：每个数的绝对值是1，且所有数的和是非负数，则称数表A 是“n 阶非负数表”.

（Ⅰ）判断如下数表1A ，2A 是否是“4阶非负数表”；

（Ⅱ）对于任意“5阶非负数表”A ，记)(s R 为A 的第s 行各数之和）

（51≤≤s ，证明：存在}{}{5,4,3,2,1,,?k j i ，使得3)()()(≥++k R j R i R ；

（Ⅲ）当)N (2*

∈=k k n 时，证明：对与任意“n 阶非负数表”A ，均存在k 行k 列，使得这k 行k 列交叉处的

2k 个数之和不小于k .

2021北京海淀高三（上）期末数学

参考答案

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。 题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 答案

B

A

D

B

A

C

D

C

C

A

题号 （11） （12） （13）

（14）

（15） 答案

12

3或-1

2

02-=±y x

），（111- ①②④

（16）（本小题共15分）

解：（Ⅰ）在三棱柱111C B A ABC -中，11//BB AA ，且11BB AA =. 因为点D ，E 分别是棱1AA ，1BB 的中点， 所以E B AD 1//，且E B AD 1=. 所以四边形D AEB 1是平行四边形. 所以1//DB AE .

又因为D C B AE 11平面?，D C B DB 111平面?， 所以D C B AE 11//平面.

（Ⅱ）因为11B BCC AC 平面⊥，111B BCC CC 平面?， 所以1CC AC ⊥， 因为侧面11B BCC 为矩形， 所以BC CC ⊥1，

又因为C BC AC =?，ABC AC 平面?，ABC BC 平面?， 所以ABC CC 平面⊥1.

（Ⅲ）分别以CA ，CB ，1CC 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系xyz C -，由题意得)0,0,2(A ，)0,2,0(B ，)2,2,0(1B ，)2,0,0(1C ，)1,0,2(D . 所以)0,2,2(-=AB ，)0,2,0(11=B C ，)1,0,2(1-=D C . 设平面D C B 11的法向量为),,(z y x n =，则

????

?=?=?,0,0111D C n B C n 即?

??=-=.02,

02z x y 令1=x ，则0=y ，.2=z 于是).2,0,1(=n

所以.1010

2

252|

|||,cos -=?-=

>=

所以直线AB 与平面D C B 11所成角的正弦值为10

10. （17）（本小题共14分）

选择①②③ 解：（Ⅰ）因为733,sin 3a c C =

=， 由正弦定理可得：3

sin sin 2

a A C c ==. 因为1

b a -=， 所以a b <. 所以02

A π

<∠<

. 所以3

A π∠=

. （Ⅱ）在ABC ?中，73

a c =， 所以a c >. 所以02

C π

<∠<

.

所以13cos 14

C ==

. 所以cos cos(())cos()B A C A C π=-+=-+

sin sin cos cos A C A C =-

11312142147

=

?-?=-

所以sin B ==

由正弦定理可得72b a

=，即78b a =.

因为1b a -=， 所以7a =. 选择①②④

解：（Ⅰ）因为7,sin 314

a c C =

=

由正弦定理得sin sin a A C c =

= 在,ABC ?5cos 2

b A =-

所以02

C π

<∠<

.

所以23

A π∠=

（Ⅱ）在,ABC ?73

a c = 所以a c > 所以02

C π

<∠<

.

所以13cos 14

C ==

所以cos cos(())cos()B A C A C π=-+=-+

sin sin cos cos A C A C =-

1131121421414

=

?+?=

所以sin B ==

因为5cos 2

b A =-

所以5

2512

b -

==-.

由正弦定理得sin 57sin 14

A

a b B =

?==. （18）（本小题共14分）

解：（Ⅰ）由图表知，2013~2020年中，产品的平均利润小于100元/台的年份只有2015年，2016年. 所以从2013~2020年中随机抽取一年，该年生产的产品的平均利润不小于 100元/台的概率为

75

.08

6=

（Ⅱ）由图表知，2013~2020年中，返修率超过千分之一的年份只有2013，2015年，所以ξ的所有可能取值为1,2,3．

P （ξ=1）=283

382216=C C C ,P （ξ=2）=2815381226=C C C ,P （ξ=3）=

1453

80236=C C C , 所以ξ的分布列为

（Ⅲ）a 的最大值为13，最小值为7 （19）（本小题共14分）

解：（Ⅰ）因为椭圆W

经过点(C ，

所以

22431a b

+=

因为椭圆W

所以

c a =，其中222

a b c =+ 所以{4a =2

b =

所以椭圆W 的方程为

2

2

1

16

4

y

x +=，长轴长28a =

（Ⅱ）当直线CD

的斜率不存在时，由题意可知(2,,D ()2,0,

Q

由（Ⅰ）可知()()4,0,4,0.

A B -

所以

ACQ △的面积为12

×6×

=BDQ △的

面积

为12

×2

=

显然ACQ △的面积比BDQ △的

面积为大. 方法一

当直线CD 的斜率存在时，由题意可设直线CD

的方程为

(2)y k x -=-，且0k ≠

令0y =

，得

2x =-

，所以

(2Q -

由

22

(2)

1164

y k x x y ?-=-??+

=??

，得

2

22143(4)(120y y k k k +++--=.

依题意可得点D

的纵坐标

222

441414D k k y k k ---+=-=

++因为点D 在x 轴下方，所以0D

y <

，即

424

k

-<-<.

所以ACQ ?

的面积为

11(24)(6222c AQ y k k

?=-+=- BDQ ?

的面积为1

11422222D D D BQ y y y ?=-+=+

2214(2)214k k k --+=+-+

1(22=+ 因为ACQ △的面积比BDQ △

的面积大

所以

2214(6(2)()2214k k k k

+---+=+此方程无解

综上所述，点D

的坐标为(2,.

方法二

因为点D 在x 轴下方，所以Q 在线段AB （不包括端点）上. 由（Ⅰ）可知(4,0),(4,0)A B -. 所以AOC △

的面积为1

42

?=

所以点Q 在线段OB （不包括端点）上，且OCQ △的面积等于BDQ △时的面积. 所以OCB △的面积等于BCD △的面积.

所以//OD BC . 设(,)D m n ，0n <,

则

0422

n m -==--. 因为点D 在椭圆W 上， 所以2

21164

m n +=.

所以2m n =???=??

所以点D

的坐标为(2, （20）（本小题共14分）

解：（Ⅰ）因为

x

x x f ln )(=

，

所以

2

ln 1)('x x x f -=

.

令0)('=x f ，得e x =.

)(x f 与)('x f 在区间

），（∞+0上的情况如下：

所以f （Ⅱ）因为x x x f ln )(=

，所以x x

x x g -=ln )(. 所以2

22ln 11ln 1)('x x x x x x g --=--=. ①当)1,0(∈x 时，0ln ,012

>->-x x ，所以0)('>x g ； ②当),1(+∞∈x 时，0ln ,012

<-<-x x ，所以0)('

所以)(x g 在），（10内单调递增，在）

，（∞+1内单调递减.

所以1)1()(-=≤g x g . （Ⅲ）因为x x x f ln )(=

，所以142ln )(22+-+-=a ax x x

x

x h . ①当2

10≤

≤a 时，0)21(242)1(2

≥-=-=a a a a h ，即存在1，使得0)1(≥h ； ②当21>a 时，由（Ⅱ）可知，1ln -≤-x x x ，即1ln -≤x x

x . 所以

4

)16)(12(4

1

344)12()21242)(22

2

22

2<+--=

+

+-≤-+++--=-+-≤a a a a a a a x a ax x x x h （ 所以对任意0>x ，0)(

1. （21）（本小题14分）

解：记(,)a i j 为数表A 中第i 行第j 列的数，11

(,)n

n

i j a i j ==∑∑为数表A 中所有数的和，11

(,)k

k

i j a i j ==∑∑为数表A 中前k

行k 列交叉处各数之和．

（Ⅰ）1A 是“4阶非负数表”；2A 不是“4阶非负数表”．

（Ⅱ）由题意知{}(,)1,1a i j ∈-，1,2,3,4,5i =，1,2,3,4,5j =且数表A 是“5阶非负数表”， 所以()(1,2,3,4,5)R s s =为奇数，且(1)(2)(3)(4)(5)0R R R R R ++++≥． 不妨设(1)(2)(3)(4)(5)R R R R R ≥≥≥≥．

①当(3)0R ≥时，因为(3)R 为奇数，所以(3)1R ≥． 所以(1)+(2)+(3)3(3)3R R R R ≥≥．

②当(3)0R <时，因为(3)R 为奇数，所以(3)1R ≤-． 所以(4)(5)2(3)2R R R +≤≤-．

所以(1)+(2)+(3)(4)(5)2R R R R R ≥--≥．

有因为(1)R ，(2)R ，(3)R 均为奇数， 所以(1)+(2)+(3)3R R R ≥．

（Ⅲ）（1）先证明数表A 中存在1n -行n 列(2)n k =，其所有数的和大于等于0． 设1()(,)n

j R t a i j ==∑(1,2,

,)i n =，由题意知1

()0n

i R i =≥∑．

不妨设(1)(2)()R R R n ≥≥

≥．

由于[]11-1

1

1

1

1

()(1)()()(1)()()()0n n

n n i i i i n R i n R i R i n R n R i R n --====--=--=-≥∑∑∑∑，

所以1

1

11()()0n n i i n R i R i n -==-≥≥∑∑

（2）由（1）及题意不妨设数表A 前1n -行n 列(2)n k =，其所有数的和大于等于0． 下面考虑前21k -行，证明存在21k -行k 列，其所有数的和大于等于k ． 设21

1()(,)k i T j a i j -==∑(1,2,

,2)j k =，则2211

1

()()0k k j i T j R i -===

≥∑∑．

不妨设(1)(2)(2)T T T k ≥≥≥．

因为()T j 为21k -个奇数的和，所以()T j 为奇数(1,2,,2)j k =．

① ①当()0T k ≥时，因为()T k 为奇数，所以()1T k ≥． 所以1()()k

j T j kT k k =≥≥∑．

② ②当()0T k <时，因为()T k 为奇数，所以()1T k ≤-． 所以

21

()()k

j k T j kT k k =+≤≤-∑．

所以21

1

()()k

k

j j k T j T j k ==+≥-≥∑∑．

（3）在（2）所设数表下A ，证明前21k -行前k 列中存在k 行k 列，其所有数的和k ≥． 设1

()(,)k

j R i a i j ='=∑(1,2,

,21)i k =-，则211

1

()()k k

i j R i T j k -=='=≥∑∑．

① ①当()1R k '≥时，1

()()k

i R i kR k k ='≥'≥∑；

② ②当()0R k '≤时，(21)(22)()0R k R k R k '-≤'-≤≤'≤．

所以21

1

1

()()k k i i k R i k R i k -==+'≥-

'≥∑∑，所以11

1

(,)()k k k

i j i a i j R i k ===='≥∑∑∑．

综上所述，对于任何“n 阶非负数表”A ，均存在k 行k 列，使得这k 行k 列交叉处的所有数之和不小于k