高等数学大一题库

（一）函数、极限、连续

一、选择题：

1、 在区间(-1,0)内，由( )所给出的函数是单调上升的。

(A);1+=x y (B);2x x y -= (C)34+-=x y (D)25-=x y 2、 当+∞→x 时，函数f (x )=x sin x 是( )

（A ）无穷大量 （B ）无穷小量 （C ）无界函数 （D ）有界函数 3、 当x →1时，31)(,11)(x x x

x

x f -=+-=?都是无穷小，则f (x )是)(x ?的( ) （A ）高阶无穷小 （B ）低阶无穷小 （C ）同阶无穷小 （D ）等阶无穷

小

4、 x =0是函数1

()arctan

f x x

=的( ) （A ）可去间断点 （B ）跳跃间断点； （C ）振荡间断点 （D ）无穷间断点

5、 下列的正确结论是（ ）

（A ）)(lim x f x

x →若存在，则f (x )有界；

（B ）若在0x 的某邻域内，有()()(),g x f x h x ≤≤且),(lim 0

x g x x →),(lim 0x h x x →都存在，则),(lim 0

x f x

x →也

存在；

（C ）若f(x)在闭区间[a , b ]上连续，且f (a ), f (b )<0则方程f (x )=0,在(a , b )内有唯一的实根;

（D ） 当∞→x 时，x

x x x x a sin )(,1)(==β都是无穷小，但()x α与)(x β却不能比.

二、填空题：

1、 若),1(3-=x f y Z 且x Z y ==1

则f (x )的表达式为 ;

2、 已知数列n x n 101

4-

=的极限是4, 对于,101

1=ε满足n >N 时，总有ε<-4n x 成立的最小N 应是 ;

3、 3214lim 1

x

x ax x b x →---+=+(b 为有限数) , 则a = , b = ; 4、 设

,)(a x a

x x f --=则x =a 是f (x )的第 类 间断点; 5、 ,0

,

;

0,

)(,sin )(??

?>+≤-==x n x x n x x g x x f 且f [g (x )]在R 上连续，则n = ； 三、 计算题:

1、计算下列各式极限：

（1）x

x x x sin 2cos 1lim 0-→； （2）x x

x x -+→11ln 1lim 0；

（3）)11(lim 22

--

+→x x x （4）x

x x x cos 11sin

lim

30-→ （5）x x x 2cos 3sin lim 0

→ （6）x

x x

x sin cos ln lim

0→

2、确定常数a , b ，使函数

?????-<<∞---=<<-+=1,

11,11,arccos )(2

x x x b x x a x f 在x =-1处连续.

四、证明：设f (x )在闭区间[a , b ]上连续，且a

使()f ξξ=.

（二）导数与微分

一、填空题:

1、 设0()f x '存在，则t

t x f t x f t )

()(lim 000

+--+

→= ;

2、 ,1

,3

21

,)(3

2???

??≤>=x x x x x f 则(1)f '= ; 3、 设x

e

y 2sin =, 则dy = ;

4、 设),0(sin >=x x x y x

则=dx

dy ; 5、 y =f (x )为方程x sin y + y e 0=x 确定的隐函数, 则(0)f '= .

二、选择题:

1、 )0(),1ln()(2>+=-a a x f x

则(0)f '的值为( )

(A) –ln a (B) ln a (C)a ln 21

(D) 2

1

2、 设曲线2

1x

e y -=与直线1x =-相交于点P , 曲线过点P 处的切线方程为( )

(A) 2x -y -2=0 (B) 2x +y +1=0 (C) 2x +y -3=0 (D) 2x -y +3=0

3、 设?????>-≤=0),

1(0)(2

x x b x e

x f ax 处处可导，则( ) (A) a =b =1 (B) a =-2, b =-1 (C) a =0, b =1 (D) a =2, b =1

4、 若f (x )在点x 可微,则x

dy

y x ?-?→?0lim 的值为( )

(A) 1 (B) 0 (C) -1 (D) 不确定

5、设y =f (sin x ), f (x )为可导函数，则dy 的表达式为( ) (A)(sin )f x dx ' (B)(cos )f x dx ' (C)(sin )cos f x x ' (D)(sin )cos f x xdx '

三、计算题：

1、 设对一切实数x 有f (1+x )=2f (x ),且(0)0f '=,求(1)f '

2、 若g(x)=?????=≠0,

00,1cos 2

x x x x 又f (x )在x =0处可导，求

))((=x x g f dx d

3、 求曲线?

??=++=-+010

)1(y te t t x y 在t =0处的切线方程

4、 f (x )在x =a 处连续,),()sin()(x f a x x -=?求)('a ?

5、 设32

2

2

()x y y u x x =+?=+, 求.du

dy 6、 设()ln f x x x =, 求()

()n f x .

7、

计算.

（三）中值定理与导数的应用

一、填空题：

1、 函数f (x )=arctan x 在[0 ,1]上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ= ;

2、 若01

lim sin 22ax x e b x →-=则a = , b = ; 3、 设f (x )有连续导数，且(0)(0)1f f '==则)

(ln )

0()(sin lim

x f f x f x -→= ;

4、 x e y x

sin =的极大值为 ，极小值为 ;

5、 )10(11≤≤+-=x x

x

arctg

y 的最大值为 ，最小值为 . 二、选择题：

1、 如果a,b 是方程f(x)=0的两个根，函数f(x)在[a,b]上满足罗尔定理条件，那么方程f’(x)=0在(a,b)内（ ）

（A ）仅有一个根； （B ）至少有一个根； （C ）没有根； （D ）以上结论都不对。

2、 函数x x f sin )(=在区间[-]2

,2π

π上（ ）

（A ）满足罗尔定理的条件，且 ;0=ξ （B ）满足罗尔定理的条件，但无法求;ξ

（C ）不满足罗尔定理的条件，但有ξ能满足该定理的结论； （D ）不满足罗尔定理的条件

3、 如果一个连续函数在闭区间上既有极大值，又有极小值，则（ ）

（A ）极大值一定是最大值； （B ）极小值一定是最小值；

（C ）极大值一定比极小值大； （D ）极在值不一定是最大值，极小值不一定是最小值。

4、 设f (x )在(a , b )内可导，则()0f x '<是f (x )在(a , b )内为减函数的（ ） （A ）充分条件； （B ）必要条件； （C ）充要条件； （D ）既非充分又非必要条件。

5、 若f (x )在(a , b )上两次可导，且（ ）, 则f (x )在(a , b )内单调增加且是上凹

的。

（A ）0)(",0)('>>x f x f ； （B ）;0)(",0)('<>x f x f ； （C ）0)(",0)('>

三、计算题：

1、 求:22011

(1)lim()sin x x x

→- tan 0(2)lim x x x +

→ 2、 求过曲线y =x e x -上的极大值点和拐点的连线的中点，并垂直于直线x =0的直线方程. 四、应用题：

1、 通过研究一组学生的学习行为，心理学家发现接受能力（即学生掌握一个概念的能力）依赖于在概念引人之前老师提出和描述问题所用的时间，讲座开始时，学生的兴趣激增，分析结果表明，学生掌握概念的能力由下式给出：2

()0.1 2.643G x x x =-++,其中G （x ）是接受能力的一种度量，x 是提出概念所用的时间（单位：min ） （a ）、x 是何值时，学生接受能力增强或降低？ （b ）、第10分钟时，学生的兴趣是增长还是注意力下降？ （c ）、最难的概念应该在何时讲授？ （d ）、一个概念需要55的接受能力，它适于对这组学生讲授吗？

五、证明题：

证明不等式2

2arctan ln(1)x x x ≥+

（四）不定积分

一、选择题：

1、 设)(x f 可微，则()f x =（ ）

（A ）?))(x df （B ）?))((dx x f d （C ）?)')((dx x f （D ）?dx x f )(' 2、 若F （x ）是)(x f 的一个原函数，则c F （x ）（ ）)(x f 的原函数 （A ）是 （B ）不是 （C ）不一定是 3、 若?+=,)()(c x F dx x f 则?=+dx b ax f )(（ ） （A ）c b ax aF ++)( （B ）

c b ax F a

++)(1

（C ）c x F a

+)(1

（D ）c x aF +)(

4、 设)(x f 在[a ，b ]上连续，则在（a ，b ）内)(x f 必有（ ） （A ） 导函数 （B ） 原函数 （C ） 极值 （D ） 最大值或最

大值

5、 下列函数对中是同一函数的原函数的有（ ）

6、 在积分曲线族?=xdx y 3sin 中，过点)1,6(π

的曲线方程是（ ）

7、下列积分能用初等函数表出的是（ ）

（A ）2

x e dx -?； （B

）； （C ）ln dx

x

?

； （D ）ln x dx x ?. 8、已知一个函数的导数为2y x =，且x =1时y =2,这个函数是（ ）

（A ）2;y x C =+ （B ）2

1;y x =+ （C ）2;2

x y C =+ （D ） 1.y x =+ 9、2ln x dx x

=?（

）

（A ）11ln x C x x ++; （B ）11ln x C x

x

++; （C ）11ln x C x x

-+； （D ）11ln x C x

x

--+.

10、10(41)dx

x =+?

（ ）

（A ）9119(41)C x ++； （B ）91136(41)C x ++； （C ）91136(41)

C x -++； （

D ）111136(41)C x -++. 二、计算题:

1、?++dx x x )1ln(2

2、1tan 1tan x

dx x

-+? 3、?dx x xf )(" 3、 ?+++)3)(2)(1(x x x dx 5、x dx ? 6、?+)

1(x x dx 7、2

arccos x xdx ?

三、求

?

,)(dx x f 其中??

?

??+∞

<<≤≤+<<∞-=x x x x x x f 12101

0,

1)(

（五）定积分及其应用

一、填空题：

1、 设)(x f 是连续函数，dt t xf x F x

)()(0?=，则F '(x )= ; 2、 设)(x f 是连续函数，则?-=---+π

πdx x f x f x f x f )]()()][()([ ； 3、 111lim(

)12n n n n n

→∞

+++=+++L ； 4、设)(x f 是连续函数，f (0)= -1,则=?→3

sin 0

)(lim x

dt t f x

x

x ；

5、函数)(x f =x

e 在区间[a ，b ]上的平均值为 )(b a <.

二、单项选择题：

1、 设?

a b a dx x f )(,)(存在，则)(x f 在[a ，b ]上( )

(A)可导 (B)连续 (C)具有最大值和最小值 (D)有界

2、 设)(x f 是以T 为周期的连续函数，则?+∞→=nt

a a n dx x f n )(1lim ( ) （A ）T a f ?)( （B ）dx x f T

)(0? （C ）?

a

dx x f 0

)( （D ）()f a

3、 设???++=

dx x f dx x f dx

d dx x f dx d I )(')()(4

3存在，则I =( ) (A) ()f x (B) 2()f x (C) 2()f x C + (D) 0

4、 )()

(b a a x dx

p

b

a

<-?,在( ) （A ）P<1 时收敛,P ≥1时发散 （B ）P ≤1 时收敛,P ≥1时发散 （C ）P>1 时收敛,P ≤1时发散 （D ）P ≥1 时收敛,P<1时发散 5、 曲线)0(ln ,ln ,,ln b a b y a y y x y <<===及y 轴所围的图形面积为( ) (A)?b

a xdx ln ln ln (B)

dx e x

e e b

a

?

(C)dx e y

b

a ?ln ln (D)xdx a

b e e

ln ?

三、计算下列定积分:

1

、25

1? 2、

dx e

x x

--

+?1sin 244

π

π

3、

?

++1

2)1ln(dx x x 4、?-+a x

a x dx

2

2

四、求下列极限:

1

、sin 0tan 0

lim

x

x x +

→??

2、dt t

t

dt t x

t

x

x sin )1(lim

1sin 0

?

?+→

五、设可导函数y =y （x ）由方程??=+-y

x

t x tdt dt e 0022

1sin 2

所决定，试讨论函数y =y （x ）的极

值.

六、已知抛物线)0,4(,)4(22>≠+-=a p a y p x ，求p 和a 的值，使得：

（1） 抛物线与y=x+1相切； （2） 抛物线与0x 轴围成的图形绕0x 轴旋转有最大的体积.

（六）向量代数 空间解析几何

一、填空题：

1

、向量{}

a =r

与x ，y ，z 轴的夹角分别为,,αβγ，则α= ，

β= ，γ= 。

2、设{}{}1,2,1,1,1,0a b =-=-r r

，则a b ?r r = ，a b ?r r = ， cos θ= ，sin θ= 。

3、以点(1,3,2)-为球心，且通过坐标原点的球面方程为 。

4、平面通过点（5，-7，4）且在x ，y ，z 三轴上截距相等，则平面方程为 。

5、把曲线25,0z x y ==绕x 轴旋转一周，则旋转曲面的方程为 。

二、选择题：

1、平面11110A x B y C z D +++=与22220A x B y C z D +++=互相平行，则（ ）。 （A ）充要条件是1212120A A B B C C ++= （B ）充要条件是

111

222

A B C A B C ==

（C ）必要而不充分条件是

111

222

A B C A B C == （D ）必要而不充分条件是1212120A A B B C C ++=

2、设a r 与b r 为非零向量，则a b o ?=r r r

是（ ）

（A ）a r ∥b r 的充要条件； （B ）a r ⊥b r

的充要条件；

（C ）a r =b r 的充要条件； （D ）a r ∥b r

的必要但不充分的条件；

3、设直线021

x y z

==-，则该直线为（ ）。

（A ）过原点且垂直于x 轴 （B ）过原点且平行于x 轴 （C ）不过原点但垂直于x 轴 （D ）不过原点但平行于x 轴 4、直线

223

314

x y z -+-==

-和平面3x y z ++=的关系是（ ）。 （A ）直线与平面垂直； （B ）直线与平面平行，但直线不在平面上；

（C ）直线在平面上； （D ）直线与平面相交，但不垂直。 5、平面4220x y z +--=在,,x y z 轴的截距分别为,,a b c ，则（ ）。 （A ）1

2,,12

a b c ===- （B ）4,1,2a b c ===- （C ）1,2,12a b c ===- （D ）1,2,12

a b c =-=-=

6、方程22249361x y z y ?++=??=??

表示（ ）

（A ）椭球面； （B ）椭圆柱面；

（C ）椭圆柱面在平面y=0上的投影曲线； （D ）y=1平面上椭圆。 7、方程22216464x y z +-=表示（ ）

（A ）锥面； （B ）单叶双曲面； （C ）双叶双曲面； （D ）椭圆抛物面。

三、计算题：

1、将直线方程0

20x z x y +=??+=?

化成对称式方程。

2、求两平行平面1948210x y z -++=及1948420x y z -++=之间的距离。

3、设一直线通过点M （4，3，3），且垂直于由三点A 1（6，0，1），A 2（2，1，5），A 3

（5，3，5）所确定的平面，求该直线方程。

4、求过点(0,1,0)A -和(0,0,1)B 且与平面成3

π

角的平面方程。

四、应用题：

设有一质点开始时位于点P （1，2，-1）处，今有一方向角分别为60°,60°,45°,

而大小为100克的力F u r

作用于此质点，求当此质点自点P 作直线运动至点M （2，5，-1+32）

时，力F u r

所作的功（长度单位为厘米）。

（七）多元函数微分学

一、填空题：

1、设22(,)2

y

f x y x y +=-，则f （x ，y ）= .

2、设x

z y =，则

2z

x y

???2

1==y x = .

3、由方程334z xyz -=-所确定的函数(,)z z x y =在点（1，2，2）处的全微 分dz = .

4、曲面sin cos z x y =在点1

(,,)442

ππ处的切平面方程是 .

5、设

u =，则该函数的定义域为 .

二、选择题：

1.当0,0x y →→，时，函数

42

3xy

x y +的极限（ ） （A ）等于0； （B ）等于31； （C ）等于4

1

； （D ）不存在

2.函数z = f （x ，y ）的偏导数z

x

??，z y ??在点（x 0，y 0）连续是函数 z = f （x ，y ）在

点（x 0，y 0）可微分的（ ）

（A ）充分条件但非必要条件； （B ）必要条件但非充分条件； （C ）充分必要条件； （D ）既非充分条件也非必要条件；

3.设z = f （u ，v ），而,u x y v xy =+=，其中f 具有一阶连续偏导数，则

z

x

??等于（ ） （A ）f f u v ??+??； （B ）f f x u v ??+??； （C ）f f y u v ??+??； （D ）f f

y u v

??+??；

4.在曲线23,,x t y t z t ===的所有切线中，与平面6121x y z ++=平行的切线（ ）

（A ）只有1条； （B ）只有2条； （C ）至少有3条； （D ）不存在 5.设函数f （x ，y ）在点（0，0）的某个邻域内连续，且lim

→→y x 22

(,)2

1cos()

f x y x y --+=2 则在点（0，0）处f （x ，y ）（ ）

（A ）不可微分； （B ）可微分，且0)0,0(f ,0)0,0(f y x ≠≠；

（C ）取得极大值； （D ）取得极小值.

三、计算题：

1、设sin cos x y z y

x

=，求

,z z x y

???? 2、设arctan x z y =，求22222,,z z z

x y x y

???????

3、设(,,)u f x xy xyz =,求,,u u u

x y z

??????

4、设(,)z z x y =由方程222cos cos cos 1x y z ++=所确定，求dz

5、设3

3

3z xyz a -=，求2z

x y

???

6、求函数22(,)4()f x y x y x y =---的极值.

四、求曲面22230x y z xy ++--=上同时垂直平面0z =与10x y ++=的切平面方程

五、在旋转椭球面2

22196

x y z ++=上求距平面3412288x y z ++=为最近和最远的点.

习题答案

（一）函数、极限、连续 答案 一、1、（D ） 2、（C ） 3、（C ） 4、（B ） 5、（D ） 二、1、3(1)x + 2、N=10 3、4，10 4、一，跳跃 5、k π

三、1、（1）2sin sin 2lim sin 2cos 1lim 200==-→→x x x

x

x x x x

（2）1)121ln(lim 11ln

1lim 11

2100=-+=-+-?-→→x

x x x x x

x x x x （3）???-=-++=--+∞

→∞

→1

1

112lim

)11(lim 2222x x x

x x x x （不存在）

（4）02

sin

21

sin

lim 11sin

lim

23030==-→→x x x cox x x x x （5）0cos sin lim 230=→x x x （6）212sin

2lim 1cos lim sin cos ln lim 2

0200-=-=-=→→→x x x x x x x x x x 2、解：f （-1-0）=0 f （-1）=b f （-1+0）=a+π π+==∴a b 0

???=-=∴0

b a π

使f （x ）在x=-1连续

四、证明：令F （x ）=f （x ）-x 显然F （x ）在[a ，b]上连续 F （a ）=f （a ）-a 〉0 F （b ）=f （b ）-b 〈 0 ∴在（a ，b ）内至少有一点ξ使F （ξ）=0 即：使f （ξ）=ξ （二）导数与微分 答案

一、1、)('20x f - 2、不存在 3、

dx e

x

x x

2sin 2sin 2cos 4、)ln 1(sin x ctgx x x x ++ 5、0

二、1、（A ） 2、（D ） 3、（C ） 4、（B ） 5、（D ）

三、解：1、20)0('2)

0(2)(2lim )1()1(lim

)1('00==?-?=?-?+=→?→?f x

f x f x f x f f x x Θ

2、00

1

cos lim )0('20=?-??=→?x

x x g x Θ 而

()())(')(')(x g x f f x g f dx d = 3、解：对等式)1(t t x -+两边关于t 求导 120)1(-=?=--+t dt

dx

t t dt dx

对等式01=++y te y

两边关于t 求导 1

0''+-=?=++y y y y te e dt dy y y te e ∴ (21)(1)y

y dy dy dx e dt dt

t te dx ==--+ 当t=0时，得x=0，y=-1 ∴ 曲线在t=0处的切线方程的斜率为 1

0-===e

dx

dy k t ，∴切线方程11

11-=?=+x e

y x e y

4、)()

()sin(lim

)

()(lim

)('a f a

x x f a x a x a x a a x a x =--=--=→→???

5、1

2232 1 ()(21)2dx du y x x x dy dx =+=++ )

12)(12()(32

2

1

2+++==

y x x x dx

du

dx dy du dy

6、ln 1,y x '=+1,y x

''=21

,y x

'''=-

…()21,(1)(2)!n n n y n x --=-- 7

、设0()9,0.02f x x x =?=,

1

21390.02 3.0032

-=+??=

（三）导数的应用 答案

一、（1）14

-π （2）1，1； （3）1； （4

）32244

,,22k k e k z π

πππ++-∈ （5）0,4

π 二、B ；D ；D ；A ；A

三、解：1. (1)、原式=422022220sin lim sin sin lim x

x

x x x x x x x -=→→ (2)、原式=200

1lim ln lim csc 1x x x tgx x

x e

e +

+→→-== 2. (1)x y x e -'=-，驻点1x =，(2)x y x e -''=-，令0y ''=，得2x =， 因为1,0,1,0x y x y ''<>><，所以1(1,)e -为极大值点 2,0,2,0x y x y ''''<<>>，所以2(2,)e -为拐点

所以极大值点与拐点的中点坐标为123(,)22e e --+，所求直线为：12

2

e e y --+=

四、1、解 ：() '()0.2 2.6'()0,13,a G x x G x x =-+==令则

G （x ）单调下降：所以当提出概念所用的时间小于13分钟时，接受能力增强；当提出概念所用的时间大于13分钟时，接受能力降低

（b ）() 10[0,13],()b x G x =∈单调上升，学生的兴趣在增长。

() ()13c G x x =在时取极大值，所以最难的概念应该在提出问题后的第13分钟时讲授。

（d ） 因为G （13）=59.9，这个概念需要55的接受能力，小于最大接受能力，所以可以对这组学生讲授该概念。

2、解 ：设AM 与MB 的公路总长为y

，则y =03x <<

所以y '=

，令0y '=，得：1,3x x ==-（舍去）

只有唯一的驻点1x =，所以在1x =处取得最小值

五、证：1、令arctgx x f x xarctgx x f 2)('),1ln(2)(2=+-=则

当x>0时，0)0(,0)('=>f x f ，有0)(>x f ，当x<0时，0)0(,0)('=x f 故)1ln(2,0)(.2x xarctgx x f x +≥≥?即

（四）不定积分 答案

一、1、（C ） 2、（B ） 3、（C ） 4、（B ） 5、（A ） 6、（A ） 7、（D ） 8、（B ） 9、（D ） 10、（C ） 二、1、原式

=ln(ln(x x x x C -=-

2、原式=(cos sin )

ln cos sin cos sin d x x x x C x x

+=+++?

3、原式='()'()'()'()()

xdf x xf x f x dx xf x f x C

=-=-+??

4、原式

=

111

(

2(1)22(3)

dx C x x x

-+=

+++

?

5、原式=

2

2

,0

2

2

,0.

2

x

c x

x x

C x

c x

?

+≥

??

=+?

?-+<

??

6、原式

==

=dx

=2C

=+

7、原式

=

3

322

11

arccos(1)

39

x x x C

+-

三、原式=

2

2

01

2

1

1

2

x C x

x

x C x

x C x

?

+-∞<<

?

?

?

++≤≤

?

?

?

++<<+∞

??

（五）定积分及其应用答案

一、（1）dt

t

f

x

xf x)(

)

(

0?

+（2）0；（3）ln2 （4）

6

1

（5）

b

a

e

e b

a

-

-

二、1、D，2、B，3、C，4、A，5、C。

三、解：1、原式=

15

544

)1

(

4

12

2

2

=

+

-

=?dt

t

t

x

u

2、原式=dx

e

x

dx

e

x

x

x-

-+

+

+

?

?

1

sin

1

sin2

4

4

2π

π

3、原式=1

2

)2

1

ln(

1

1

ln(

2

'

1

2+

-

+

=

+

-

+

+?dx

x

x

x

x

4、原式=

4

cos

sin

cos

sin2

π

π

=

+

=?t

t

tdx

t

a

x

四、解：1、原式=1

sec

)

sin(

cos

)

(sin

lim

2

=

→x

tgx

x

x

tg

x

2、222

00

2

sin sin sin

n n n

xdx xdx xdx

πππ

ε

π

ε

-

-

=+

???

Q，

而ζ

ε

π

ε

π

n

n xdx sin

)

2

(

sin

02

-

=

π

n

sin

2

<

又0

sin

lim

,1

sin

0=

∴

<

<

∞

→

ζ

ζn

b

Θ，由夹挤定理知0

sin

lim2

=

?

∞

→

xdx

n

n

π

，此外,

sin

02

2

ε

π

ε

π

<

-

xdx

n

Θ由ε的任意性知0

sin

lim2

=

?

∞

→

xdx

n

n

π

五、两边求导得,

sin

'2x

x

e

y y=

+

-即,

)

sin

(

'2y e

x

x

y-

=令y'=0，得x=0，

且由于x<0时,y'<0; 0

'

,

0>

>y

x时知x=0是y=y(x)的极小点,

代入方程得:?=-)

0(0

20y t dt e ；注意:,0)0(,02=∴>-y e t 即y=y(x)的极小值为0

六、解：对22)4(a y p x +-=两边关于x 求导得42'-=

p x y ，由题设切点处有：

14

2=-p x

， 得24-=p x 切点，2

2-=p y 切点，代入抛物线方程可得422

p p a -=，另一方面，旋转体体积

为：25

022)4(1516)40(2-?

=--=?p a dx p x V a ππ 令

0=dp dv ，得,310=p 从而,35=a 这时，3

10

dp dv ， 而310>p 时， 0

10

=p ，V 取极大值，也是最大值。

（六）空间解析几何 答案

一、1、3

π

,4π,3π 2、1，{}633,63,3,1,1 3、14)2z ()3y ()1x (222=++-+-

4、2x y z ++=

5、x 5y z 22=+

二、1、B 2、A 3、A 4、C 5、C 6、D 7、B

三、1、解：令0x =，得到直线l 上一点(0,0,0)O ，设12{1,0,1},{2,1,0}n n ==u u r u u r

l 的方向向量为 1210

1221

i j

k

n n i j k ?==-++r r r u u r u u r

r r r 故l 的对称式方程为

121

x y z ==- 2、解：在021z 8y 4x 19=++-上取一点)821

,0,0(-

；则两平行平面间的距离为 3、解：所求直线方向向量S u r 同时垂直于12A A u u u u r 及13A A u u u u r

∴{}{}{}12134,1,43,3,416,12,13S A A A A =?=--?-=--u r u u u u r u u u u r

∴直线的对称式方程为

13

3

z 123y 164x --=

-=-- 4、解：设所求平面方程为：0Ax By Cz D +++=；分别将A ，B 的坐标代入此方程：

000A B C D B D ?-+?+=?=；000A B C D C D ?+?++=?=-

故平面方程为：0Ax Dy Dz D +-+=

1

2

A =

?= 所以平面方程为：

0Dy Dz D +-+

=10y z ?+-+=

四、解：∵{

}{cos60cos60cos 45100F i J k =++=o o

o u r r u r r

{S PM ==u r u u u u r

∴500W F S =?=u r u r 克厘米

（七）多元函数微分学 答案

一、1、24x xy -； 2、2ln 1+； 3 、2dz dx dy =+；

4、210x y z --+=；

5、{}22222(,,)|,0x y z x y z x y +≥+≠ 二、1、D 2、A 3、C 4、A 5、D 三、解1、

21cos cos sin sin z x y y x y

x y y x x y x ?=+? 21cos cos sin sin z x x y x y y y x x y x y

?=--?

2、222222()z xy x x y ?=-?+ 222222()z x y x y x y ?-=??+ 22222

2()z xy

y x y ?=?+ 3、123u f yf yzf x ?'''=++? 23u xf xzf y ?''=+? 3u

xyf z

?'=?

4、sin 2sin 2,,sin 2sin 2z x z y x z y z ??=-=-??1

(sin 2sin 2)sin 2dz xdx ydy z =-+

5、2422223(2)

()z z z xyz x y x y z xy ?--=??- 6、420 420f

x x f y y

??=-=???

????=-=???驻点(2,2)- 而222222,0,2f f f x y x y ???=-==-????

在(2,2)-处，20(2)(2)40,20B AC A -=---=-<=-<

∴

(,)f x y 在(2,2)-处取得极大值为：(2,2)8f -=

四、切平面法向为 {}{}{}0,0,11,,1,01,1,0n =?=-r

设切点为000(,,)x y z ，则{}000002,2,2x y y x z --平行于n r

于是存在t ，使得02,2,

200000==--=-z t x y t y x

即0005,,033

t x y z =-==，代入曲面方程得3,t =±故切面方程为

(1)(1)0x y -++-=及(1)(1)0x y --++=；即x -y +2=0及x -y -2=0。

五、设（x ，y ，z

）为椭球面上一点，d =

； 其中2

22196

x y z ++=

作辅助函数 22

221(,,)(3412288)(1)16996

x F x y z x y z y z λ=++-+++-

令6(3412288)0169488(3412288)2016924

(3412288)20169

F x

x y z x F

x y z y y F x y z z z λλλ??=++-+=???

??=

++-+=???

??=++-+=?

?? 得x z x y 241,721==，代入曲面方程得13

9,,88

x y z =±=±=±.

由于1313(9,,)(9,,)88

8

8

d d ---<，

∴椭球面上距已知平面最近点为)83,81,9(，最远点为)8

3,81,9(---。

(完整word版)大一高数练习题

1.填空题 1、当0→x 时，x cos 1-与2x 相比较是 同阶 无穷小。 2、=→2 203sin lim x x x 1/3 3、曲线(1cos ),sin x t t y t =-=在t π=处的切线斜率为 -1/2 4、当k 满足条件__x>2_________时，积分?+∞-1 1k x dx 收敛 5、曲线||x y =的极值点是 x=0 6 、设函数y =则dy = 2xdx 7、若()lim(1)x x t f t x →∞ =+，则=')(t f e t 8、?-=22 35sin cos π πxdx x 0 9、若?=t xdx t f 12ln )(，则=')(t f ln 2 t 10、微分方程0cos 2=-y dx x dy 的通解为siny=x 2__________ 1、当0→x 时，x cos 1-与22x 相比较是 无穷小. 2、设函数?????=≠=0001sin )(3x x x x x f 当当，则=')0(f . 3、设)4)(2)(3)(5()(--++=x x x x x f ，则方程0)(='x f 有 个实根. 4、当k 满足条件___________时，积分1 2k dx x +∞+?收敛. 5、设函数21x y -=，则dy = . 6、函数)2(-=x x y 的极值点是 . 7、=≠∞→)0(sin lim a x a x x . 8、若?=t x dx e t f 02 )(，则=')(t f .

9、?-=π πxdx x 32sin . 10、微分方程 0cos 2=-x dy y dx 的通解为___________. 一、 单项选择题（每小题2分，共10分） 1、函数x x y -=3ln 的定义域为（B ） A ),0(+∞ B ]3,(-∞ C )3,0( D ]3,0( 2、函数()f x 在0x 处)0()0(00+=-x f x f 是()f x 在0x 处连续的( B ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 无关条件 3、函数93)(+=x x f 在0=x 处（C ） A 不连续 ； B 可导； C 连续但不可导； D 无定义 4、下列式子中，正确的是（B ） A. ()()f x dx f x '=? B. 22()()d f x dx f x dx =? C. ()()f x dx f x =? D.?=)()(x f dx x f d 5、设()x f x e -=，则(ln )f x dx x =? _C______. A ． 1C x + B. ln x C + C. 1C x -+ D. ln x C -+ 二、单项选择题（每小题2分，共10分） 1．函数241)(x x x f -+=的定义域为（ C ）. A ．]2,2[-； B. )2,2(-； C. ]2,0()0,2[ -； D. ),2[+∞． 2、若)(x f 在0x 的邻域内有定义，且)0()0(00+=-x f x f ，则（B ）. A )(x f 在0x 处有极限，但不连续； B )(x f 在0x 处有极限，但不一定连续;

2018最新大一高等数学期末考试卷(精编试题)及答案详解

大一高等数学期末考试卷（精编试题）及答案详解 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是 等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）2 2x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求

2019年大一高数试题及答案.doc

x 1 ②1 - - ④x 大一高数试题及答案 、填空题（每小题1分，共10分） ----- 2 1 1?函数 v =arcsi nJ 1 — x + _______ 的定义域为 Jl —x 2 2 2 ?函数 y = x ? e 上点（0,1 ）处的切线方程是 ________________ 4 ?设曲线过（0,1）,且其上任意点（ x , y ）的切线斜率为2x ，则该曲线的方程是 3 .设f （X ）在X 。可导, 且f （x ） = A ，则怛。 f(X o 2h)- f(X o - 3h) h 5. x ”dx 6. lim x sin 1 X )二 x 设 f(x,y)=sin(xy) ,则 fx(x,y)= 9.微分方程 3 dx 3 Jh 2的阶数为 dx OO 10 .设级数 n=1 OO 刀 a n 发散，则级数刀 n=1000 二、单项选择题。 （1?10每小题1分，1 1?2 0每小题2分，共3 0分） 1.设函数 1 f (x) , g(x)二 1 -x 则f [g(x)]= ()

① tf ( x, y ) ② t 2 f (x, y ) 2. x sin 丄 1 是() x ① 无穷大量 ② 无穷小量 ③ 有界变量 ④ 无界变量 3 .下列说法正确的是 ① F (X) +G (X)为常数 ② F (X) -G (X)为常数 ③ F (X) -G (X) =0 ④ d ! F (x)dx d I G ( x ) dx 1 dx dx 6. 1 -1 x |dx =( ) i ① 0 ②i ③2 ④3 7 .方程2x + 3y =1在空间表示的图形是 () ① 平行于xoy 面的平面 ② 平行于oz 轴的平面 ③ 过oz 轴的平面 ④ 直线 ① 若f ( X )在X = Xo 连续, 则f( X )在X = Xo 可导 ② 若f ( X )在X = Xo 不可导，则f( ③ 若f ( X )在X = Xo 不可微，则f( ④ 若f ( X )在X = Xo 不连续，则f( X )在X = Xo 不连续 X )在X = Xo 极限不存在 X )在X = Xo 不可导 4 .若在区间(a,b )内恒有 f ' ( X ) b)内曲线弧『=f(x )为 () 0 , f " ( X ) 0，则在(a. ① 上升的凸弧 ② 下降的凸弧 ③ 上升的凹弧 ④ 下降的凹弧 '.设 F '(x) G '( x)，则() 8.设 f(x,y)= x 3 y 3 x 2 y t a n ，则 f(tx,ty)=

大一高等数学试题及答案

期末总复习题 一、填空题 1、已知向量2a i j k =+-r r r r ，2b i j k =-+r r r r ，则a b ?r r = -1 。 2、曲线2x z =绕z 轴旋转所得曲面方程为 z=x 2 + y 2 。 3、级数1113n n n ∞=?? + ???∑的敛散性为 发散 。 4、设L 是上半圆周222a y x =+（0≥y ），则曲线积分221L ds x y +?= a π 5．交换二重积分的积分次序：??--012 1),(y dx y x f dy ＝dy y x dx ),(f 0x -121?? 6．级数∑∞=+1)1(1 n n n 的和为 1 。 二、选择题 1、平面0)1(3)1(=+++-z y x 和平面02)1()2(=+--+z y x 的关系 （ B ） A 、重合 B 、平行但不重合 C 、一般斜交 D 、垂直 2. 下列曲面中为母线平行于z 轴的柱面的是 （ C ） A 、2221x z += B 、2221y z += C 、2221x y += D 、22221x y z ++= 3. 设)0(4:22>≤+y y x D ,则32222ln(1) 1D x x y dxdy x y ++=++??（ A ）

A 、2π B 、0 C 、1 D 、4π 4、设)0(4:22>≤+y y x D ，则??=D dxdy （ A ） A 、π16 B 、π4 C 、π8 D 、π2 5、函数22504z x y =--在点（1，-2）处取得最大方向导数的方向是 （ A ） A 、216i j -+ B 、216i j -- C 、216i j + D 、216i j - 6、微分方程222()()0y y y '''+-=的阶数为 （ B ） A 、1 B 、2 C 、4 D 、6 7．下列表达式中，微分方程430y y y ''-+=的通解为 （ D ） A 、3x x y e e C =++ B 、3x x y e Ce =+ C 、3x x y Ce e =+ D 、312x x y C e C e =+ 8．lim 0n n u →∞=为无穷级数1 n n u ∞=∑收敛的 （ B ） A 、充要条件 B 、 必要条件 C 、充分条件 D 、什么也不是 三、已知1=a ?，3=b ?，b a ??⊥，求b a ??+与b a ? ?-的夹角.P7

大一高等数学复习题含答案

复 习 题 一、 单项选择题： 1、5 lg 1 )(-= x x f 的定义域是（ D ） A 、()),5(5,+∞∞-Y B 、()),6(6,+∞∞-Y C 、()),4(4,+∞∞-Y D 、())5,4(4,Y ∞-Y ()),6(6,5+∞Y 2、如果函数f(x)的定义域为[1，2]，则函数f(x)+f(x 2 )的定义域是（ B ） A 、[1，2] B 、[1，2] C 、]2,2[- D 、]2,1[]1,2[Y -- 3、函数)1lg()1lg(22x x x x y -++++=( D ) A 、是奇函数，非偶函数 B 、是偶函数，非奇函数 C 、既非奇函数，又非偶函数 D 、既是奇函数，又是偶函数 解：定义域为R ，且原式=lg(x 2+1-x 2 )=lg1=0 4、函数)10(1)(2≤≤--=x x x f 的反函数=-)(1 x f （ C ） A 、21x - B 、21x -- C 、)01(12≤≤--x x D 、)01(12≤≤---x x 5、下列数列收敛的是（ C ） A 、1)1()(1 +-=+n n n f n B 、?????-+=为偶数为奇数n n n n n f ,11,11 )( C 、?????+=为偶数为奇数n n n n n f ,11,1 )( D 、???????-+=为偶数为奇数n n n f n n n n ,2 21,221)( 解：选项A 、B 、D 中的数列奇数项趋向于1，偶数项趋向于-1，选项C 的数列极限为0 6、设1 111.0个n n y Λ=，则当∞→n 时，该数列（ C ） A 、收敛于0.1 B 、收敛于0.2 C 、收敛于 9 1 D 、发散 解：)10 11(91101101101111.02n n n y -=+++= =ΛΛ 7、“f(x)在点x=x 0处有定义”是当x →x 0时f(x)有极限的（ D ） A 、必要条件 B 、充分条件 C 、充分必要条件 D 、无关条件

大一下学期高等数学考试题

大一下学期高等数学考试 题 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020.

一、单项选择题（6×3分） 1、设直线，平面，那么与之间的夹角为() 、二元函数在点处的两个偏导数都存在是在点处可微的（） A.充分条件 B.充分必要条件 C.必要条件 D.既非充分又非必要条件 3、设函数，则等于（） . C． D. 4、二次积分交换次序后为（） . . 5、若幂级数在处收敛，则该级数在处（） A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散C.不能确定其敛散性 6、设是方程的一个解，若，则在 处（） A.某邻域内单调减少 B.取极小值

C.某邻域内单调增加 D.取极大值 二、填空题（7×3分） 1、设＝（4，-3，4），＝（2，2，1），则向量在上的投影 ＝ 2、设，，那么 3、D为，时， 4、设是球面，则＝ 5、函数展开为的幂级数为 6、＝ 7、为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为 三、计算题(4×7分) 1、设，其中具有二阶导数，且其一阶导数不为1，求。 2、求过曲线上一点（1，2，0）的切平面方程。 3、计算二重积分，其中 4、求曲线积分，其中是沿曲线由点（0，1）到点（2，1）的弧段。 5、求级数的和。

四、综合题(10分) 曲线上任一点的切线在轴上的截距与法线在轴上的截距之比为3，求此曲线方程。 五、证明题(6分) 设收敛，证明级数绝对收敛。 一、单项选择题（6×3分） 1、A 2、C 3、C 4、B 5、A 6、D 二、填空题（7×3分） 1、2 2、 3、 4、 5、6、07、 三、计算题(5×9分) 1、解：令则，故 2、解：令 则 所以切平面的法向量为： 切平面方程为： 3、解：＝＝＝ 4、解：令，则 当，即在x轴上方时，线积分与路径无关，选择由（0，1）到（2，1）则

大一高数试题及答案.doc

大一高数试题及答案 一、填空题（每小题１分，共１０分） １．函数 2 2 111arcsin x x y -+ -=的定义域为______________________。 ２．函数 2e x y += 上点（ ０，１ ）处的切线方程是______________。 ３．设ｆ（X ）在0x 可导,且A (x)f'=，则h h x f h x f h ) 3()2(l i m 000--+→ ＝ _____________。 ４．设曲线过（０，１），且其上任意点（x ，y ）的切线斜率为2x ，则该曲线的方程是 ____________。 ５．=-?dx x x 4 1_____________。 ６．=∞→x x x 1 sin lim __________。 ７．设f(x,y)=sin(xy),则fx(x,y)=____________。 ９．微分方程 22 233)(3dx y d x dx y d +的阶数为____________。 ∞ ∞ １０．设级数 ∑ ａn 发散，则级数 ∑ ａn _______________。 n=1 n=1000 二、单项选择题。(１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分） １．设函数 x x g x x f -== 1)(,1 )(则ｆ［ｇ（ｘ）］＝ （ ） ①x 1 1- ②x 1 1- ③ x -11 ④x

２．11 sin +x x 是 （ ） ①无穷大量 ②无穷小量 ③有界变量 ④无界变量 ３．下列说法正确的是 （ ） ①若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 连续， 则ｆ（ X ）在X ＝Xo 可导 ②若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不可导，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 不连续 ③若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不可微，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 极限不存在 ④若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不连续，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 不可导 ４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有 0)(",0)('>

大一(第一学期)高数期末考试题及答案

( 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是 等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. … 4. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 5. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 6. , 7. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 8. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 9. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 10. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 11. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .

大一高等数学期末考试试卷及答案详解

大一高等数学期末考试试卷 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0,(),0 x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3 分）定积分22 ππ-?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 241(sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 201lim sin x x x →= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 0ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. （6 分）设2,1 y x =+求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +? 4. （6分）求3 0(1),f x dx -?其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤?=+??+>?

5. （6分）设函数()y f x =由方程00cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞??+ ??? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 2 2y x x ππ??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--?? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 3 1;y x =+ 2 2;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式2 05lim 3x x x x →?= 5分 53 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++ 2分 2212[]121 x y x x '∴=-++ 4分

同济大学大一 高等数学期末试题 (精确答案)

学年第二学期期末考试试卷 课程名称：《高等数学》 试卷类别：A 卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟 适用层次： 适用专业； 阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不 得分则在小题 大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。 课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷） 一、单选题 （共15分，每小题3分） 1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( ) A ．(,)f x y 在P 连续 B ．(,)f x y 在P 可微 C ． 0 0lim (,)x x f x y →及 0 0lim (,)y y f x y →都存在 D ． 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在 2．若x y z ln =，则dz 等于（ ）． ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x y y C y ydx dy x + ln ln ln ln . x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面2 2 2x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则 (),,(=??? Ω dxdydz z y x f ）． 21 2 cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz π θθθθ? ? ? 21 2 cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π θθθθ? ? ? 212 2 cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz π θπθθθ-?? ? 21 cos .(cos ,sin ,)x D d rdr f r r z dz πθθθ?? ? 4． 4．若1 (1)n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）． A ． 条件收敛 B ． 绝对收敛 C ． 发散 D ． 敛散性不能确定 5．曲线2 2 2x y z z x y -+=?? =+?在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1） 二、填空题（共15分，每小题3分） 系(院)：——————专业：——————年级及班级：—————姓名：——————学号：————— ------------------------------------密-----------------------------------封----------------------------------线--------------------------------

大一第一学期期末高等数学(上)试题及答案

第一学期期末高等数学试卷 一、解答下列各题 (本大题共16小题，总计80分) 1、(本小题5分) 求极限　lim x x x x x x →-+-+-233 21216 29124 2、(本小题5分) . d )1(2 2x x x ? +求 3、(本小题5分) 求极限limarctan arcsin x x x →∞ ?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) ． 求dt t dx d x ? +2 21 6、(本小题5分) ??. d csc cot 46x x x 求 7、(本小题5分) ． 求? ππ 212 1cos 1dx x x 8、(本小题5分) 设确定了函数求．x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),2 2 9、(本小题5分) ． 求dx x x ?+30 1 10、(本小题5分) 求函数　的单调区间 y x x =+-422Y 11、(本小题5分) ．求? π +20 2 sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) ．，求设　dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求 ．y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 16、(本小题5分)

(精选)大一高数期末考试试题

一．填空题（共5小题，每小题4分，共计20分） 1． 2 1 lim() x x x e x →-= .2． ()()1 2005 1 1x x x x e e dx --+-= ? .3．设函数()y y x =由方程 2 1 x y t e dt x +-=? 确定，则 x dy dx == .4. 设()x f 可导，且1 ()()x tf t dt f x =?，1)0(=f ， 则()=x f .5．微分方程044=+'+''y y y 的通解 为 . 二．选择题（共4小题，每小题4分，共计16分） 1．设常数0>k ，则函数 k e x x x f +- =ln )(在),0(∞+内零点的个数为（ ）. (A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2． 微分 方程43cos2y y x ''+=的特解形式为（ ）. （A ）cos2y A x *=; （B ）cos 2y Ax x * =; （C ）cos2sin 2y Ax x Bx x * =+; （D ） x A y 2sin *=.3．下列结论不一定成立的是（ ）. （A ）若[][]b a d c ,,?,则必有()()??≤b a d c dx x f dx x f ;（B ）若0)(≥x f 在[]b a ,上可积, 则()0b a f x dx ≥?;（C ）若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有 ()()?? +=T T a a dx x f dx x f 0 ;（D ）若可积函数()x f 为奇函数,则()0 x t f t dt ?也为奇函数.4. 设 ()x x e e x f 11 321++= , 则0=x 是)(x f 的（ ）. (A) 连续点; (B) 可去间断点; (C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 三．计算题（共5小题，每小题6分，共计30分） 1． 计算定积分 2 30 x e dx - 2．2．计算不定积分dx x x x ? 5cos sin . 求摆线???-=-=),cos 1(),sin (t a y t t a x 在 2π= t 处的切线的方程.

高等数学(大一)题库

（一）函数、极限、连续 一、选择题： 1、 在区间(-1,0)内，由( )所给出的函数是单调上升的。 (A) ;1+=x y (B);2x x y -= (C)34+-=x y (D)25-=x y 2、 当+∞→x 时，函数f (x )=x sin x 是( ) （A ）无穷大量 （B ）无穷小量 （C ）无界函数 （D ）有界函数 3、 当x →1时，31)(,11)(x x x x x f -=+-= ?都是无穷小，则f (x )是)(x ?的( ) （A ）高阶无穷小 （B ）低阶无穷小 （C ）同阶无穷小 （D ）等阶无穷小 4、 x =0是函数 1 ()arctan f x x =的( ) （A ）可去间断点 （B ）跳跃间断点； （C ）振荡间断点 （D ）无穷间断点 5、 下列的正确结论是（ ） （A ）)(lim x f x x →若存在，则f (x )有界； （B ）若在 0x 的某邻域内，有()()(),g x f x h x ≤≤且),(lim 0 x g x x →),(lim 0 x h x x →都存在， 则),(lim 0 x f x x →也 存在； （C ）若f(x)在闭区间[a , b ]上连续，且f (a ), f (b )<0则方程f (x )=0,在(a , b )内有唯一的实根; （D ） 当∞→x 时，x x x x x a sin )(,1) (== β都是无穷小，但()x α与)(x β却不能比. 二、填空题： 1、 若),1(3-=x f y Z 且x Z y ==1 则f (x )的表达式为 ; 2、 已知数列n x n 1014- =的极限是4, 对于,101 1=ε满足n >N 时，总有ε<-4n x 成立的最小N 应是 ; 3、 3214 lim 1 x x ax x b x →---+=+(b 为有限数) , 则a = , b = ; 4、 设 ,)(a x a x x f --=则x =a 是f (x )的第 类 间断点; 5、 ,0 , ; 0, )(,sin )(?? ?>+≤-==x n x x n x x g x x f 且f [g (x )]在R 上连续，则n = ； 三、 计算题: 1、计算下列各式极限： （1）x x x x sin 2cos 1lim 0-→； （2）x x x x -+→11ln 1lim 0；

大一高等数学期末考试试卷及答案详解

大一高等数学期末考试试卷 （一） 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0, (),0 x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3 分）定积分22 π π -?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 2 4 1(sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 2 1lim sin x x x →= . 4. （3分） 3 2 23y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. （6 分）设1 y x = +求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +?

4. （6分）求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ? ≤? =+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt + =?? 所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞? ?+ ?? ? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 2 2y x x π π?? =- ≤≤ ?? ? 与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋 转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().2 2 b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''= ++ --? ? （二） 一、 填空题（每小题3分，共18分） 1．设函数()2 312 2 +--= x x x x f ，则1=x 是()x f 的第 类间断点. 2．函数()2 1ln x y +=，则= 'y . 3． =? ? ? ??+∞→x x x x 21lim . 4．曲线x y 1 = 在点?? ? ??2,21处的切线方程为 .

高等数学大一期末试卷(B)及答案

中国传媒大学 2009-2010学年第 一 学期期末考试试卷（B 卷） 及参考解答与评分标准 考试科目： 高等数学A （上） 考试班级： 2009级工科各班 考试方式： 闭卷 命题教师： 一. 填空题（将正确答案填在横线上。本大题共3小题，每小题3分，总计 9分 ） 1、0)(0='x f 是可导函数)(x f 在0x 点处取得极值的 必要 条件。 2、设 )20() 1tan(cos ln π <

号中。本大题共3小题，每小题3分，总计 9分） 1、，则，若设0)(lim 1 3 4)(2=++-+=∞→x f b ax x x x f x ) 44()()44()()44()()44).((，．；　，．；　，．；　，）可表示为，的值，用数组（，----D C B A b a b a 答( B ) 2、下列结论正确的是（ ） )(A 初等函数必存在原函数； )(B 每个不定积分都可以表示为初等函数； )(C 初等函数的原函数必定是初等函数； )(D C B A ,,都不对。 答( D ) 3、若?-=x e x e dt t f dx d 0)(，则=)(x f x x e D e C x B x A 2222)( )()( )(----- 答( A ) 三. 解答下列各题（本大题共2小题，每小题5分，总计10分 ） 1、求极限0 lim →x x x x 3sin arcsin -。 解 ： lim →x = -x x x 3sin arcsin 0 lim →x 3 arcsin x x x -

大学高等数学上考试题库及答案

《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()()2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）.

大一高等数学期末考试试题参考

2019-2020 学年第二学期试卷（A 卷） 课程：《高等数学》 一、填空题：（每空 3分，共 30分） （说明：将运算结果．．．． 填写在每小题相应的横线） 1．设函数22 ()30 x x f x x b x ?+<=? +≥? 在0x =处连续，则常数b = ． 2．如果0sin 3lim 1x x kx →=，则k = ． 3．如果()f x 在0x 处可导，则00(2)() lim x h f x h f x h →+-= ． 4．设函数1 y x = ，当x 时此函数为无穷小量，当x 时此函数为无穷大量． 5．曲线2 2 4x xy y ++= 在点(2,2)-处的切线方程为 ． 6．函数1 ()lg(5) f x x = -定义域为 ． 7．曲线3 352y x x =-++的拐点是 ． 8．曲线1 2 x y x += -的水平渐近线为 ，铅直渐近线为 ． 9．设x e -是()f x 的一个原函数，则()f x dx =? ． 10． 1 31 5sin xdx -=? ． 二、选择题：（每题5分，共 15 分） （说明：将认为正确答案的字母填写在每小题相应的括号内） 1．下列函数在1x =-处连续，但不可导的是【 】． A.1y x =+ B.2ln(1)y x =+ C. 1 1 y x = + D. 2(1)y x =+ 2．设2 11x y x -=+，则1x =-是函数的【 】． A.连续点 B. 可去间断点 C.跳跃间断点 D. 无穷间断点 3．下列等式不正确是【 】． A. 1 2 lim(12)x x x e →+= B. 110 lim(1) x x x e --→-= C. sin lim 0x x x →∞= D. 0tan lim 1x x x →=

大一高等数学期末考试试卷及答案详

解 大一高等数学期末考试试卷 (一)一、选择题(共12分) x,2,0,ex,fx(),1. (3分)若为连续函数,则的值为( ). a,axx，,,0,(A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 fhf(3)(3),,,2. (3分)已知则的值为( ). limf(3)2,,h,02h 1(A)1 (B)3 (C)-1 (D) 2 ,223. (3分)定积分的值为( ). 1cos,xdx,,,2 (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. (3分)若在处不连续,则在该点处( ).xx,fx()fx()0 (A)必不可导(B)一定可导(C)可能可导(D)必无极限二、填空题(共12 分)23x1((3分)平面上过点，且在任意一点处的切线斜率为的曲线方程(0,1)(,)xy 为. 124(sin)xxxdx，,2. (3分) . ,,1 12xlimsin3. (3分) = . x,0x 324. (3分)的极大值为. yxx,,23 三、计算题(共42分) xxln(15)，lim.1. (6分)求2x,0sin3x xe,y,,2. (6分)设求y. 2x，1 2xxdxln(1).，3. (6分)求不定积分, x,3,1,x,,fxdx(1),,4. (6分)求其中()fx,1cos，x,,0x,1,1.ex，,,1 yxt5. (6分)设函数由方程所确定,求edttdt，,cos0yfx,()dy.,,0026. (6分)设求fxdxxC()sin,,，fxdx(23).，,,

n3,,7. (6分)求极限lim1.，,,,,nn2,, 四、解答题(共28分) ,1. (7分)设且求fxx(ln)1,,，f(0)1,,fx(). ,,,,2. (7分)求由曲线与轴所围成图形绕着轴旋转一周所得旋 xxyxxcos,,,,,,22,, 转体的体积. 323. (7分)求曲线在拐点处的切线方程. yxxx,,，,32419 4. (7分)求函数在上的最小值和最大值. [5,1],yxx,，,1 五、证明题(6分) ,,设在区间上连续,证明fx()[,]ab bbba,1,, fxdxfafbxaxbfxdx()[()()]()()().,，，,,,,aa22 (二) 一、填空题(每小题3分，共18分) 2x,1x,1，，fx,，，1(设函数，则是的第类间断点. fx2x,3x，22,，，2(函数，则. y,y,ln1，x x2 x，1,,( 3 . ,lim,,x,, x,, 11,,y,4(曲线在点处的切线方程为. ,2,,x2,, 32,,,1,45(函数在上的最大值，最小值. y,2x,3x xarctandx,6(. ,21，x 2