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三角函数图像变换顺序详解

三角函数图像变换顺序详解
三角函数图像变换顺序详解

《图象变换的顺序寻根》

题根研究

一、图象变换的四种类型

从函数y = f (x)到函数y = A f ()+m,其间经过4种变换:

1.纵向平移——m 变换

2.纵向伸缩——A变换

3.横向平移——变换

4.横向伸缩——变换

一般说来,这4种变换谁先谁后都没关系,都能达到目标,只是在不同的变换顺序中,“变换量”可不尽相同,解题的“风险性”也不一样.

以下以y = sin x到y = A sin ()+m为例,讨论4种变换的顺序问题.

【例1】函数的图象可由y = sin x的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到

【解法1】第1步,横向平移:

将y = sin x向右平移,得

第2步,横向伸缩:

将的横坐标缩短倍,得

第3步:纵向伸缩:

将的纵坐标扩大3倍,得

第4步:纵向平移:

将向上平移1,得

【解法2】第1步,横向伸缩:

将y = sin x的横坐标缩短倍,得y = sin 2x

第2步,横向平移:

将y = sin 2x向右平移,得

第3步,纵向平移:

将向上平移,得

第4步,纵向伸缩:

将的纵坐标扩大3倍,得

【说明】解法1的“变换量”(如右移)与参数值()对应,而解法2中有的变

换量(如右移)与参数值()不对应,因此解法1的“可靠性”大,而解法2的“风险性”大.

【质疑】对以上变换,提出如下疑问:

(1)在两种不同的变换顺序中,为什么“伸缩量”不变,而“平移量”有变

(2)在横向平移和纵向平移中,为什么它们增减方向相反——

如当<0时对应右移(增方向),而m < 0时对应下移(减方向)(3)在横向伸缩和纵向伸缩中,为什么它们的缩扩方向相反——

如|| > 1时对应着“缩”,而| A | >1时,对应着“扩”

【答疑】对于(2),(3)两道疑问的回答是:这是因为在函数表达式y = A f()+m 中x和y的地位在形式上“不平等”所至. 如果把函数式变为方程式

(y+) = f (),则x、y在形式上就“地位平等”了.

如将例1中的变成

它们的变换“方向”就“统一”了.

对于疑问(1):在不同的变换顺序中,为什么“伸缩量不变”,而“平移量有变”这是因为在“一次”替代:x→中,平移是对x进行的.

故先平移(x→)对后伸缩(→)没有影响;

但先收缩(x→)对后平移(→)却存在着“平移”相关. 这就是为什么(在例1的解法2中)后平移时,有的原因.

【说明】为了使得4种变换量与4个参数(A,,,m)对应,降低“解题风险”,在由sin x变到A sin () (> 0) 的途中,采用如下顺序:

(1)横向平移:x→

(2)横向伸缩:x+→

(3)纵向伸缩:sin () →A sin ()

(4)纵向平移:A sin () →A sin () + m

这正是例1中解法1的顺序.

二、正向变换与逆向变换

如果把由sin x 到A sin ()+m的变换称作正向变换,那么反过来,由A sin ()+m到sin x变换则称逆向变换.显然,逆向变换的“顺序”是正向变换的“逆”.

因为正向变换的一般顺序是:

(1)横向平移,(2)横向伸缩,(3)纵向伸缩,(4)纵向平移.

所以逆向变换的一般顺序则是:

(1)纵向平移,(2)纵向伸缩,(3)横向伸缩,(4)横向平移.

如将函数y= 2sin (2-) +1的图像下移1个单位得y=2sin (2x-),再将纵坐标缩小

一半得y=sin(2 x-),再将横坐标扩大2倍得y=sin(x-),最后将图象左移得函数y= sin x.

【例2】将y= f (x)·cos x的图象向右平移, 再向上平移1, 所得的函数为y=2sin2 x. 试求f (x)的表达式.

【分析】这是图象变换的逆变换问题:已知函数的变换结果,求“原函数”. 我们考虑将“正向变换”的过程倒逆回去而得“逆向变换”的顺序.

【解析】将y = 2sin2 x下移1个单位(与正向变换上移1个单位相反),

得y = 2sin2 x-1,再将 2sin2x-1左移(与正向变换右移相反)

令f (x)·cos x = 2sin x cos x 得f (x) = 2sin x

【说明】由此得原函数为y=f(x)cos x=2sin x cos x=sin2x. 正向变换为sin 2x→2sin2x,其逆变换为2sin2x→sin2x.

因为2sin2x=1+sin(2 x-),所以下移1个单位得sin(2 x-),左移得sin2x.

三、翻折变换使> 0

平移变换x→是“对x而言”,由于x过于简单而易被忽略.

强调一下,这里x的系数是+1. 千万不要误以为是由sin(- x)左移而得.

其实,x或y的系数变 -1,也对应着两种不同的图象变换:由x→ - x对应着关于y 轴的对称变换,即沿y轴的翻折变换;由f (x) → - f (x)对应着关于x轴的对称变换,即沿x轴的翻折变换.

【例3】求函数的单调减区间.

【分析】先变换 -3x→3x,即沿y轴的翻折变换.

【解析1】,转化为求g(x)=sin(3x-)的增区间

令≤≤

≤x ≤(f(x)减区间主解)

又函数的f(x)周期为,故函数f(x)减区间的通解为

≤x ≤

【解析2】的减区间为

≤≤

即是≤x ≤

【说明】从图象变换的角度看问题,比较解析1和解析2可知,求f(x)的减区间,实际上分两步进行:

(1)先求得f(x)减区间的主解≤x ≤

(2)再利用主解进行横向平移(的整数倍)即得f(x)减区间的通解.

【思考】本解先将“正数化”,使>0是本解成功的关键. 否则,如果去解不等式组

将会使你陷入歧途,不防试试!

三角函数公式及其图像

初等函数 1、基本初等函数及图形 基本初等函数为以下五类函数: (1) 幂函数μx y=,μ是常数; 1.当u为正整数时,函数的定义域为区间 ) , (+∞ -∞ ∈ x,他们的图形都经过原点,并当u>1时 在原点处与X轴相切。且u为奇数时,图形关于原点对称;u为偶数时图形关于Y轴对称; 2.当u为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数。 3.当u为正有理数m/n时,n为偶数时函数的定义域为(0, +∞),n为奇数时函数的定义域为(-∞+∞)。函数的图形均经过原点和(1 ,1). 如果m>n图形于x轴相切,如果m

(2) 指数函数 x a y = (a 是常数且01a a >≠,),),(+∞-∞∈x ; 1. 当a>1时函数为单调增,当a<1时函数为单调减. 2. 不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方. 3. 当x=0时,y=1,所以他的图形通过(0,1)点.

(3) 对数函数 x y a log =(a 是常数且01a a >≠,),(0,)x ∈+∞; (4) 三角函数 正弦函数 x y sin =,),(+∞-∞∈x ,]1,1[-∈y , 余弦函数 x y cos =,),(+∞-∞∈x ,]1,1[-∈y , 1. 他的图形为于y 轴的右方.并通过点(1,0) 2. 当a>1时在区间(0,1),y 的值为负.图形位于x 的下方,在区 间(1, +∞),y 值为正,图形位于x 轴上方.在定义域是单调增函数.a<1在实用中很少用到/

三角函数公式及图像

锐角三角函数公式 sin α=∠α的对边 / 斜边 cos α=∠α的邻边 / 斜边 tan α=∠α的对边/ ∠α的邻边 cot α=∠α的邻边/ ∠α的对边 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2) (注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A)) 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin3a =sin(2a+a) =sin2acosa+cos2asina 辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t),其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t),tant=A/B

降幂公式 sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 推导公式 tanα+cotα=2/sin2α tanα-cotα=-2cot2α 1+cos2α=2cos^2α 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2 =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina =3sina-4sin³a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa =4cos³a-3cosa sin3a=3sina-4sin³a =4sina(3/4-sin²a) =4sina[(√3/2)²-sin²a] =4sina(sin²60°-sin²a) =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]

三角函数的平移及伸缩变换(含答案)

三角函数的平移及伸缩变换 一、单选题(共8道,每道12分) 1.将函数的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩小到原来的,再把图象上各点向左平移个单位长度,则所得的图象的解析式是( ) A. B. C. D. 答案:C 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 2.已知函数y=f(x)图象上每个点的纵坐标保持不变,横坐标伸长到原来的2倍,然后再将整 个图象沿x轴向左平移个单位,沿y轴向下平移1个单位,得到函数,则y =f(x)的表达式时( ) A. B. C. D.

答案:B 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 3.已知函数,若f(x)的图象向左平移个单位所得的图象与f(x)的图象向右平移个单位所得的图象重合,则的最小值是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案:C 解题思路:

试题难度:三颗星知识点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 4.已知函数的最小正周期为,将的图象向左平移个单位长度,所得图象关于y轴对称,则的一个值是( ) A. B. C. D. 答案:D 解题思路:

试题难度:三颗星知识点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 5.偶函数的图象向右平移个单位得到的图象关于原点对称,则的值可以是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案:B 解题思路:

试题难度:三颗星知识点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 6.已知函数的周期为π,若将其图象沿x轴向右平移a个单位(a >0),所得图象关于原点对称,则实数a的最小值是( ) A.π B. C. D. 答案:D

三角函数公式大全

三角函数 1. ①与α(0°≤α<360°)终边相同的角的集合(角α与角β的终边重合): {} Z k k ∈+?=,360 |αββο ②终边在x 轴上的角的集合: {} Z k k ∈?=,180|οββ ③终边在y 轴上的角的集合:{ } Z k k ∈+?=,90180|ο οββ ④终边在坐标轴上的角的集合:{} Z k k ∈?=,90|οββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合:{} Z k k ∈+?=,45180|οοββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合:{} Z k k ∈-?=,45180|οοββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称,则角α与角β的关系:βα-=k ο360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称,则角α与角β的关系:βα-+=οο180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上,则角α与角β的关系:βα+=k ο180 ⑩角α与角β的终边互相垂直,则角α与角β的关系:οο90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系:360°=2π 180°=π 1°= 1=°=57°18′ 注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式: 1rad =π 180°≈°=57°18ˊ. 1°=180 π≈(rad ) 3、弧长公式:r l ?=||α. 扇形面积公式:211||22 s lr r α==?扇形 4、三角函数:设α是一个任意角,在α 原点的)一点P (x,y )P 与原点的距离为r ,则 =αsin r x =αcos ; x y =αtan ; y x =αcot ; x r =αsec ;. αcsc 5、三角函数在各象限的符号:正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 6、三角函数线 正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线: AT. SIN \COS 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域

三角函数的图像的变换口诀解读

三角函数的图像的变换口诀解读 变T 数倒系数议,变A 伸压 y 无疑, 变φ 要把系数提,正φ 左进负右移. 周期变换是通过改变x 的系数来实现的,即周期T 的变化只与ω有关而与φ无关.这是因为ω π 2=T ,故要使周期扩大或缩小m (m >0) 倍,则须用 x m 1去代原式中的x (纵坐标不 变),故有“变T 数倒系数议”之说. 相位φ变换实质上就是将函数的图像向左或向右平移.当先作周期变换后作相位变换时,须提出系数ω,这是因为周期变化时改变了x 的值,此时其初相位(非0初相)同时也改变相应得到改变,且改变的倍数相同.当先作相位变换后作周期变换,由于此时x 的系数为1,系数提不提无影响,为了统一记忆我们也视为提出系数“1”.因而有“变φ要把系数提”之说. 三角函数图像的周期﹑振幅﹑相位等变换的问题是历年高考中常考查的内容.对此类命题的求解,无论三种变换怎样摆设,先要弄清哪是原函数的图像,哪是新函数的图像,再据本歌诀所述,很快就可得到解决. 例1 为了得到 y =) 62sin(π-x 的图像,可以将函数 y = cos2x 的图像 (2004年高考) ( ) (A)向右平移6 π 个单位长度 (B)向右平移3 π 个单位长度 (C)向左平移 6 π 个单位长度 (D) 向左平移 3 π 个单位长度 解法1 ∵ y = cos2x =) 4 (2sin )2 2sin(π π + =+ x x , 而 y =] 3 )4 [(2sin )6 2sin(π π π - + =- x x , 由此可得 只须将函数y = cos2x 的图像向右平移3 π 个单位长度即可.故选(B). 解法2 ∵ y =)62sin(π - x ) 6 22 cos( ππ x + -=,即y ) 3(2cos π - = x , 而已知的函数为y = cos2x , 由此可得,须将函数y = cos2x 的图像向右平3 π 个单位即可.故选(B). 点评 由于当ω ?- =x 时, 相位0 =+?ω x .因而,我们可称此时的相位为零相位.由此可 见,在作相位变换时,其平移的数值与方向是由两个0相位对应的x 值的差来决定的.对于本题而言,由于两个0相位对应的x 的值分别为12 π与4 π - ,故所作的平移就是要将已知函数 的0相位对应的点) 0 ,4(π - 移到点)0 12 ( ,π 处.易知要平移的数值是: 3 )4 (12 π π π = - -,方向是向 右的.显然这一方法就是“五点作图法”中的第一零点判断法. 例2 已知函数 f (x ) =) 5 sin( 2π + x (x ∈R ) 的图像为C, 函数 y = ) 5 2sin(π - x (x ∈R ) 的图 像为C 1, 为了得到C 1,只需把C 上所有的点先向右平移 ,再将 . ( ) (A) 5 2π个单位,横、纵坐标都缩短到原来的2 1 (B) 5 2π个单位,横、纵坐标都伸

三角函数图像变换顺序详解全面

《图象变换的顺序寻根》 题根研究? 一、图象变换的四种类型 从函数y = f (x)到函数y = A f ()+m,其间经过4种变换: 1.纵向平移——m 变换 2.纵向伸缩——A变换 3.横向平移——变换 4.横向伸缩——变换 一般说来,这4种变换谁先谁后都没关系,都能达到目标,只是在不同的变换顺序中,“变换量”可不尽相同,解题的“风险性”也不一样. 以下以y = sin x到y = A sin ()+m为例,讨论4种变换的顺序问题. 【例1】函数的图象可由y = sin x的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到? 【解法1】第1步,横向平移: 将y = sin x向右平移,得 第2步,横向伸缩: 将的横坐标缩短倍,得 第3步:纵向伸缩: 将的纵坐标扩大3倍,得 第4步:纵向平移: 将向上平移1,得 【解法2】第1步,横向伸缩:

将y = sin x的横坐标缩短倍,得y = sin 2x 第2步,横向平移: 将y = sin 2x向右平移,得 第3步,纵向平移: 将向上平移,得 第4步,纵向伸缩: 将的纵坐标扩大3倍,得 【说明】解法1的“变换量”(如右移)与参数值()对应,而解法2 中有的变换量(如右移)与参数值()不对应,因此解法1的“可靠性”大,而解法2的“风险性”大. 【质疑】对以上变换,提出如下疑问: (1)在两种不同的变换顺序中,为什么“伸缩量”不变,而“平移量”有变? (2)在横向平移和纵向平移中,为什么它们增减方向相反—— 如当<0时对应右移(增方向),而m < 0时对应下移(减方向)? (3)在横向伸缩和纵向伸缩中,为什么它们的缩扩方向相反—— 如|| > 1时对应着“缩”,而| A | >1时,对应着“扩”? 【答疑】对于(2),(3)两道疑问的回答是:这是因为在函数表达式y = A f ()+m中x和y的地位在形式上“不平等”所至. 如果把函数式变为方程式 (y+) = f (),则x、y在形式上就“地位平等”了.

三角函数图像变换顺序详解(全面).

《图象变换的顺序寻根》 题根研究 一、图象变换的四种类型 从函数y = f (x)到函数y = A f ()+m,其间经过4种变换: 1.纵向平移——m 变换 2.纵向伸缩——A变换 3.横向平移——变换 4.横向伸缩——变换 一般说来,这4种变换谁先谁后都没关系,都能达到目标,只是在不同的变换顺序中,“变换量”可不尽相同,解题的“风险性”也不一样. 以下以y = sin x到y = A sin ()+m为例,讨论4种变换的顺序问题. 【例1】函数的图象可由y = sin x的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到? 【解法1】第1步,横向平移: 将y = sin x向右平移,得 第2步,横向伸缩: 将的横坐标缩短倍,得 第3步:纵向伸缩: 将的纵坐标扩大3倍,得 第4步:纵向平移: 将向上平移1,得 【解法2】第1步,横向伸缩: 将y = sin x的横坐标缩短倍,得y = sin 2x 第2步,横向平移:

将y = sin 2x向右平移,得 第3步,纵向平移: 将向上平移,得 第4步,纵向伸缩: 将的纵坐标扩大3倍,得 【说明】解法1的“变换量”(如右移)与参数值()对应,而解法2中有的变 换量(如右移)与参数值()不对应,因此解法1的“可靠性”大,而解法2的“风险性”大. 【质疑】对以上变换,提出如下疑问: (1)在两种不同的变换顺序中,为什么“伸缩量”不变,而“平移量”有变? (2)在横向平移和纵向平移中,为什么它们增减方向相反—— 如当<0时对应右移(增方向),而m < 0时对应下移(减方向)? (3)在横向伸缩和纵向伸缩中,为什么它们的缩扩方向相反—— 如|| > 1时对应着“缩”,而| A | >1时,对应着“扩”? 【答疑】对于(2),(3)两道疑问的回答是:这是因为在函数表达式y = A f ()+m 中x和y的地位在形式上“不平等”所至. 如果把函数式变为方程式 (y+) = f (),则x、y在形式上就“地位平等”了. 如将例1中的变成 它们的变换“方向”就“统一”了. 对于疑问(1):在不同的变换顺序中,为什么“伸缩量不变”,而“平移量有变”?这是因为在“一次”替代:x→中,平移是对x进行的. 故先平移(x→)对后伸缩(→)没有影响; 但先收缩(x→)对后平移(→)却存在着“平移”相关. 这

三角函数图像的变换

1、函数y=sin(x+π),x∈R和y=sin(x- 6- O 3 ),x∈R的图象与y=sin x的图象有什么联系?2 个单位所得的曲线是 2 sin x的图象,试求y=f(x)的解析式。 3 )y=sin2x 3 ) 3 ) 3 ) 3 ) 3 ),x∈R的简图。 π2 3 ),x∈R 6 ),x∈R 三角函数图像的变换 题型归纳: 系? π 34 ),x∈R的图象与y=sin x的图象有什么联 - π-π 3 1y π5ππ 6 34x 2、函数y=3sin(2x+π (1)y=sin x(2)y=sin x y=sin(x+π 4、函数f(x)的横坐标伸长为原来的2倍,再向左平移 π y=1 5、函数y=Asin(ωx+φA>0,ω>0,|φ|<π) 的图象如图,求函数的表达式. y=sin(2x+π y=3sin(2x+π y=sin(2x+π y=3sin(2x+π ★☆作业:(A组) 1、画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图: 3、画出函数y=3sin(2x+π y 2x+ 3 x 3sin(2x+π) 3 (3)y=4sin(x- π (4)y=sin(2x+π 第1页共2页

6 ) ,x ∈R (2) y = 1 sin( 3 x - (1) y = 5 sin( 1 x + 4 ) ,x ∈R 6、把函数 y =cos(3x + π A.向右平移 π 4 C.向右平移 12 (3) y = 3sin(2 x - ) ,x ∈R (4) y = 2 cos( x + π ) ,x ∈R 3 ,φ =- 6 B.A =1,T= 2 3 ,φ =- 4 D.A =1,T= 3 sin(2x + 3 sin(2x + (1) y = 8sin( - ) ,x ∈[0,+∞) (2) y = 1 7 ) ,x ∈[0,+∞) 2 的图象的一部分,求这个函数的解析式。 4、(1)y =sin(x + π (2)y =sin(x - π (3)y =sin(x - π 4 )是由 y =sin(x + 4 )向 5、若将某函数的图象向右平移 π 10、设函数 y = sin (x - π A.y =sin(x + 3π B.y =sin( x + π C.y =sin(x - π D.y =sin(x + π 2、说明下列函数的图像由正弦函数或余弦函数经过了怎样的变换。 π 2 2 π 4 )的图象适当变动就可以得到 y =sin(-3x )的图象,这种变动 可以是( ) π π π 4 B.向左平移 D.向左平移 12 ★★☆☆作业( B 组): 7、如图:是函数 y =A sin(ω x +φ )+2 的图象的一部分,它 的振幅、周期、初相各是 ( ) π 1 1 6 4 A.A =3,T= 4π π 4π 3π 3 ,φ =- 4 C.A =1,T= 2π 3π 4π π 3 ,φ =- 6 8、如左下图是函数 y =A sin (ω x +φ )的图象的一段,它的 解析式为 ( ) A. y = 2 π 2 x 3 ) B. y = 3 sin( 2 + π 2 π 4 ) C. y = 3 sin(x - 3 ) D. y = 2 2π 3 ) 3、不画简图,直接 写出下列函数的振幅、周期和初相,并说明这些 函数的图象可由正弦曲 线经过怎样的变化得出(注意定义域): x π 4 8 3 cos(3x + π 4 )是由 y =sin x 向 平移 个单位得到的. 4 )是由 y =sin x 向 平移 个单位得到的. π 平移 个单位得到的. 2 以后所得到的图象的函数式是 y =sin(x + 表达式为( ) 4 ) 2 ) π 4 )- 4 4 ) π 4 ),则原来的函数

三角函数图像及其变换

高一数学第十四讲 三角函数图像及其变换 一、知识要点: ππ ππ ?ω2,2 3, ,2 , 0=+x 列表求出对应的x 的值与y 的值,用平滑曲线连结各点,即可得到其在一个周期内的图象。 3.研究函数R x x A y ∈+=),sin(?ω(其中0,0>>ωA )的单调性、对称轴、对称中心仍然是将?ω+x 看着整 体并与基本正弦函数加以对照而得出。它的最小正周期||2ωπ =T 4.图象变换 (1)振幅变换 R x x y ∈=,s i n ??????????????→ ?<<>倍 到原来的或缩短所有点的纵坐标伸长A 1)A (01)(A R x x y ∈=,s i n A

(2)周期变换 R x x y ∈=,s i n ??????????????→ ?<<>倍 到原来的或伸长所有点的横坐标缩短ω ωω1 1)(01)(R x x y ∈=,s i n ω (3)相位变换 R x x y ∈=,s i n ????????????→?<>个单位长度平移或向右所有点向左||0)(0)(???R x x y ∈+=,)(s i n ? (4)复合变换 R x x y ∈=,s i n ????????????→ ?<>个单位长度平移或向右所有点向左||0)(0)(???R x x y ∈+=,)(s i n ? ?? ????????????→?<<>倍 到原来的 或伸长所有点的横坐标缩短ω ωω11)(01)(R x x y ∈+=),sin(?ω ??????????????→ ?<<>倍到原来的或缩短所有点的纵坐标伸长A 1)A (01)(A R x x A y ∈+=),sin(?ω 5.主要题型:求三角函数的定义域、值域、周期,判断奇偶性,求单调区间,利用单调性比较大小,图 象的平移和伸缩,图象的对称轴和对称中心,利用图象解题,根据图象求解析式,已知三角函数值求角。 二.基础练习 1. 函数1π2sin()23 y x =+的最小正周期T = . 2.函数sin 2x y =的最小正周期是 若函数tan(2)3y ax π=-的最小正周期是2π,则a=____. 3.函数]),0[)(26 sin( 2ππ ∈-=x x y 为增函数的区间是 4.函数2 2cos()()363 y x x ππ π=- ≤≤的最小值是 5.将函数cos y x =的图像作怎样的变换可以得到函数2cos(2)4 y x π =-的图像? 6.已知简谐运动ππ()2sin 32f x x ????? ?=+< ??????? 的图象经过点(01), ,则该简谐运动的最小正周期T 和初相?分别为 7.已知a=tan1,b=tan2,c=tan3,则a,b,c 的大小关系为______. 8.给出下列命题: ①存在实数x ,使sin cos 1x x =成立; ②函数5sin 22y x π?? =- ???是偶函数; ③直线8x π=是函数5sin 24y x π? ?=+ ??? 的图象的一条对称轴; ④若α和β都是第一象限角,且αβ>,则tan tan αβ>. ⑤R x x x f ∈+ =),32sin(3)(π 的图象关于点)0,6 (π - 对称; 其中结论是正确的序号是 (把你认为是真命题的序号都填上). 三、例题分析: 题型1:三角函数图像变换 例1、 变为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象,可以将函数1 cos 2 y x =的图象怎样变换?

三角函数图像变换

三角函数图像及其变换 一、 知识梳理 1、sin y x =与cos y x =的图像与性质 2、sin y x =与sin()y A x ωφ=+ (1) 形如sin()y A x ωφ=+的函数图像的画法 (2) sin y x =与sin()y A x ωφ=+图像的关系 二、 典型例题 1、把函数sin y x =(x R ∈)的图象上所有点向左平行移动3 π 个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的1 2 倍(纵坐标不变),得到的图象所表示的函数是 (A )sin(2)3y x π=-,x R ∈ (B )sin()26x y π =+,x R ∈ (C )sin(2)3y x π=+,x R ∈ (D )sin(2)3 2y x π =+,x R ∈ 2、为得到函数πcos 23y x ? ?=+ ???的图像,只需将函数sin 2y x =的图像( ) A .向左平移 5π 12个长度单位 B .向右平移 5π 12个长度单位 C .向左平移5π 6 个长度单位 D .向右平移5π 6 个长度单位

3、函数πsin 23y x ??=- ?? ?在区间ππ2??-???? ,的简图是( ) 4、下面有五个命题: ①函数y =sin 4x -cos 4x 的最小正周期是π. ②终边在y 轴上的角的集合是{a |a = Z k k ∈π ,2 |. ③在同一坐标系中,函数y =sin x 的图象和函数y =x 的图象有三个公共点. ④把函数.2sin 36 )32sin(3的图象得到的图象向右平移x y x y =π π+= ⑤函数.0)2 sin(〕上是减函数,在〔ππ - =x y 其中真命题的序号是 (写出所言 ) 5、将函数3sin()y x θ=-的图象向右平移3 π 个单位得到图象F ',若F '的一条对称轴是直线4 x π =,则θ的一个可能取值是 A. π125 B. π125- C. π12 11 D. 1112π- 三、高考再现 1、已知函数2 π()sin sin 2 f x x x x ωωω?? =++ ?? ? (0ω>)的最小正周期为π. (Ⅰ)求ω的值;(Ⅱ)求函数()f x 在区间2π03?????? ,上的取值范围.

三角函数图像公式大全

幂函数的图形 指数函数的图形 对数函数的图形 三角函数的图形

各三角函数值在各象限的符号 sin α·csc α cosα·secα tan α·cot α 三角函数的性质 函数 y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx 定义域 R R {x |x ∈R 且 x≠kπ+ ,k ∈Z } 2 {x |x ∈R 且 x≠kπ,k ∈Z } 值域 [-1,1]x=2k π+ 时 2 y max =1 x=2kπ- 时 y min =-1 2 [-1,1] x=2kπ 时 y max =1 x=2kπ+π 时 y min =-1 R 无最大值 无最小值 R 无最大值 无最小值 周期性 周期为 2π 周期为 2π 周期为 π 周期为 π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数

在[2kπ - 2 ,2kπ+ 2 ]在(kπ- 2 ,kπ+ 2 )内都 上都是增函数;在是增函数(k∈Z) [2kπ+ 2 ,2kπ+ 2 3 π]上 都是减函数(k∈Z) 反三角函数的图形 反三角函数的性质 名称反正弦函数反余弦函数反正切函数反余切函数 定义 y=sinx(x∈〔- , 22 〕的反函数,叫做反 正弦函数,记作 x=arsiny y=cosx(x∈〔0,π〕) 的反函数,叫做反 余弦函数,记作 x=arccosy y=tanx(x∈(- , ) 22 的反函数,叫做反正切 函数,记作x=arctany y=cotx(x∈(0,π))的 反函数,叫做反余 切函数,记作 x=arccoty 理解 arcsinx表示属于[- , ] 22 且正弦值等于x的角 arccosx表示属于 [0,π],且余弦 值等于x的角 arctanx表示属于(- , 2 ),且正切值等于x 2 的角 arccotx表示属于 (0,π)且余切值等于 x 的角 性 质 定义域[-1,1][-1,1](-∞,+∞)(-∞,+∞) 值域[- ,] 22 [0,π](- ,) 22 (0,π) 单调性 在〔-1,1〕上是增函 数 在[-1,1]上是减 函数 在(-∞,+∞)上是增数在(-∞,+∞)上是减 函数 奇偶性 arcsin(-x)=-arcsinx arccos(-x)=π- arccosx arctan(-x)=-arctanx arccot(-x)=π-arccotx 周期性都不是同期函数 单调性 在[2kπ-π,2kπ]上都是 增函数;在 [2kπ,2kπ+π]上都是 减函数(k∈Z) 在(kπ,kπ+π)内都 是减函数(k∈Z)

三角函数的图像和变换以及经典习题和答案

【典型例题】 [例1](1)函数3sin()226 x y π = +的振幅是 ;周期是 ;频率是 ;相位是 ;初相是 . (1) 32; 14π;26x π+;6 π (2)函数2sin(2)3 y x π =- 的对称中心是 ;对称轴方程是 ;单调增区间是 . (2)( ,0),26k k Z ππ+∈;5,212 k x k Z ππ=+∈; ()5,1212k k k z ππππ?? -++∈???? (3) 将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量 ,06a π?? =- ??? 平移,平移后的图象如图所示,则平移后的图 象所对应函数的解析式是( ) A .sin()6y x π =+ B .sin()6 y x π =- C .sin(2)3y x π=+ D .sin(2)3 y x π =- (3)C 提示:将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量 ,06a π?? =- ??? 平移,平移后的图象所对应的解析式为sin ()6y x πω=+,由图象知, 73()1262 πππω+=,所以2ω=. (4) 为了得到函数R x x y ∈+=),6 3sin(2π 的图像,只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像 上所有的点 ( ) (A )向左平移6π 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的3 1 倍(纵坐标不变) (B )向右平移6π 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的31 倍(纵坐标不变) (C )向左平移6 π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变) (D )向右平移 6 π 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变) (4)C 先将R x x y ∈=,sin 2的图象向左平移 6 π 个单位长度,得到函数2sin(),6 y x x R π =+∈的图象,再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标 不变)得到函数R x x y ∈+=),6 3sin(2π 的图像

三角恒等变换及三角函数图象性质

三角恒等变换及三角函数图象性质 一例题讲解 1.快速写出下列各式的值: (1)? ? ? ? -43cos 13sin 13cos 43sin (2)? ? ? ? -26cos 56sin 64cos 56cos (3)2sin15cos15??=_________; (4)2 2 cos 15sin 15?-?=_________; (5)2 2sin 151?-=_________; (6)2 2 sin 15cos 15?+?=________ (7)) 15tan(1195tan 1?? -++ (8) 2cos 6sin x x -=________ 2化简:(1)4221 2cos 2cos 22tan()sin ()44x x x x ππ-+ -+;(2)(1sin cos )(sin cos )22(0)22cos θθθθθπθ++-<<+.3 设4cos()5αβ-=-,12cos()13αβ+=,且(,)2παβπ-∈,3(,2)2 π αβπ+∈,求c o s 2α,cos 2β. 4若3cos()45x π +=,177124x ππ<<,求2sin 22sin 1tan x x x +-的值. 5已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =+. (Ⅰ)用五点法画出函数在区间,22ππ??-???? 上的图象,长度为一个周期; (Ⅱ)说明()2sin (sin cos )f x x x x =+的图像可由sin y x =的图像经过怎样变换而得到. 6为得到)6 2sin(π - =x y 的图象,可以将x y 2cos =的图象向右平移____个单位长度. 7已知正弦函数sin()y A x ω?=+(0,0)A ω>>的图像如右图所示. (1)求此函数的解析式1()f x ; (2)求与1()f x 图像关于直线8x =对称的曲线的解析式2()f x ; -2 2 2 x =8 x y O

三角函数,反三角函数公式大全

三角函数公式 倍角公式 2ta nA tan 2A = 2 Sin 2A=2Si nA?CosA 1-ta n 1 2A 2 2 2 2 Cos2A = CoS 2A-Si n 2A=2Cos 2 A-1=1-2si n 2A 三倍角公式 3 3 sin3A = 3sinA-4(sinA) cos3A = 4(cosA) -3cosA π π tan3a = tana? tan(—+a) ? tan(--a) 3 3 半角公式 积化和差 SinaSinb = 1 1 -[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 一 [cos(a+b)+cos(a-b)] 2 2 1 COSA tan(A)=^°^=^n ^ Sina=— 两角和公式 sin( A+B) = Sin AcosB+cosAs inB cos(A+B) = cosAcosB-si nAsinB sin( A-B) = Sin ACOSB-COSAS inB COS(A-B) = cosAcosB+si nAsinB tan( A+B)= tanA tanB 1- ta nAta nB tan( A-B)= tanA 「tanB 1 tan Ata nB cot(A+B)= cotAcotB -1 cotB cotA COt(A-B)= cotAcotB 1 COtB-COtA .z A * -cos A Sin(I ) ^ 2 A cos()= 2 1 cos A tan 自 =J≡≡ A COt q ) = Sin a+s in b=2s in a 「b cos — 2 Sin a-s in b=2cos Sin a 「 b 2 cosa+cosb = 2co a —b cos — 2 COSa-COSb = -2sin Sin tan A+ta nB=si n(A+B)∕cosAcosB tan A-ta nB=si n(A-B)∕cosAcosB ctgA+ctgB=si n(A+B)∕si nAsi nB -ctgA+ctgB=si n(A+B)∕si nAsi nB a b

三角函数图像的平移、变换练习题

三角函数图像的平移、变换练习题 1、为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像,只需把函数sin(2)6y x π=+的图像( ) (A )向左平移4π个长度单位 (B )向右平移4 π个长度单位 (C )向左平移2π个长度单位 (D )向右平移2 π个长度单位 2、将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10 π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像的函数解析式是 (A )sin(2)10y x π=- (B )sin(2)5 y x π =- (C )1sin()210y x π=- (D )1sin()220y x π=- 5y Asin x x R 66ππω???=∈???? 右图是函数(+)()在区间-,上的图象,为了得到这个 函数的图象,只要将y sin x x R =∈()的图象上所有的( ) (A)向左平移 3π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的12 倍,纵坐标不变 (B) 向左平移3 π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变 (C) 向左平移 6 π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变 (D) 向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变 4、若将函数()tan 04y x πωω? ?=+> ???的图像向右平移6 π个单位长度后,与函数tan 6y x πω??=+ ?? ?的图像重合,则ω的最小值为( ) A .16 B. 14 C. 13 D. 12 5、已知函数()sin()(,0)4f x x x R π ??=+∈>的最小正周期为π,为了得到函数 ()cos g x x ?=的图象,只要将()y f x =的图象( )

三角函数题型及解法

高中数学常见三角函数题型及解法 近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查,而重点转移对三角函数的图象与性质的考查,对基础知识和基本技能的考查上来.在考查三角公式进行恒等变形的同时,也直接考查了三角函数的性质及图象的变换,降低了对三角函数恒等变形的要求,加强了对三角函数性质和图象的考查力度.三角函数的命题趋于稳定,会保持原有的考试风格,尽管命题的背景上有所变化,但仍属基础题、中档题、常规题.实施新课标后,新一轮基础教育的改革增添了与现代生活和科学技术发展相适应的许多全新的内容,它们会吸引命题者关注的目光. 三角函数试题可以归纳为以下几种典型题型。 1、三角函数的概念及同角关系式 此类题主要考查三角函数诱导公式及三角函数的符号规律.解此类题注意必要的分类讨论以及三角函数值符号的正确选取. 例1(10全I 卷理2)记cos(80)k -?=,那么tan100?= A.21k k - B.-21k k - C.21k - D.-21k - 解:Θ222sin801cos 801cos (80)1k =-=--=-o o o , ∴tan100tan80?=-o 2sin 801.cos80k k -=-=-o o 。故选B 评注:本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式,并突出了弦切互化这一转化思想的应用.同时熟练掌握三角函数在各象限的符号. 例2(10全1卷文1)cos300?=(A)32-(B)-12(C)12 (D)32 解:()1cos300cos 36060cos602 ?=?-?=?= 评注:本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识 2、三角函数的化简求值 这类题主要考查三角函数的变换.解此类题应根据考题的特点灵活地正用、逆用,变形运用和、差、倍角公式和诱导公式,进行化简、求值. 例3(10重文数15)如题(15)图,图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C ,各段弧所在的圆经过同一点P (点P 不在C 上)且半径相等.设第i 段弧所对的圆心角为(1,2,3)i i α=,则 23 23 1 1 cos cos sin sin 3333αααααα++-=____________ 解: 又Θ1232αααπ++=,∴123 1cos 32 ααα++=- 评注:本题以过同一点的三段圆弧为背景,考查了三角恒等变形中公式逆用的基本技 巧,将已知与求解合理转化,从而达到有效地求解目的. 例4(10全1理数14)已知α为第三象限的角,3cos 25α =-,则tan(2)4πα+=. 解:Θα为第三象限的角∴ππ+k 2<α<ππ2 32+k

三角函数图像变换

三角函数y A x =+sin()ω?的图像变换 1结合具体实例,理解y=Asin )(?ω+x 的实际意义,会用“五点法”画出函数y=Asin )(?ω+x 的简图。会用计算机画 图,观察并研究参数?ω,,A ,进一步明确?ω,,A 对函数图象的影响。 2能由正弦曲线通过平移、伸缩变换得到y=Asin )(?ω+x 的图象。 3教学过程中体现由简单到复杂、特殊到一般的化归的数学思想。 1、函数图象的左右平移变换 如在同一坐标系下,作出函数)3sin(π +=x y 和)4 sin(π -=x y 的简图, 并指出它们与y x =sin 图象之间的关系。 解析:函数)3 sin(π +=x y 的周期为2π,我们来作这个函数在长度为一个周期的闭区间上的简 图。 设Z x =+ 3π,那么Z x sin )3sin(=+π,3 π -=Z x 当Z 取0、ππππ2232,,,时,x 取-πππππ3 6237653、、、、。所对应的五点是函数)3sin(π+=x y ,?? ? ???-∈35,3ππx 图象上起关键作用的点。 列表: x - π 3 π 6 23π 76π 53π x + π3 π 2 π 32π 2π sin()x + π 3 1 -1 类似地,对于函数)4sin(π - =x y ,可列出下表: x π 4 34 π 54π 74π 94π x - π 4 π 2 π 32π 2π sin()x - π 4 1 -1 描点作图(如下)

利用这类函数的周期性,可把所得到的简图向左、右扩展,得出)3 sin(π +=x y ,x R ∈及 )4 sin(π -=x y ,x R ∈的简图(图略) 。 由图可以看出,)3 sin(π + =x y 的图象可以看作是把y x =sin 的图象上所有的点向左平行移动 π 3个单位而得到的,)4 sin(π-=x y 的图象可以看作是把y x =sin 的图象上所有的点向右平行移动 π 4个单位得到的。 注意:一般地,函数y x =+≠sin()()??0的图象,可以看作是把y x =sin 的图象上所有的点 向左(当?>0时)或向右(当?<0时)平行移动||?个单位而得到的。 推广到一般有: 将函数y f x =()的图象沿x 轴方向平移||a 个单位后得到函数y f x a a =+≠()()0的图象。当a>0时向左平移,当a<0时向右平移。 2、函数图象的横向伸缩变换 如作函数y x =sin2及 y x =sin 12的简图,并指出它们与y x =sin 图象间的关系。 解析:函数y x =sin2的周期T ==22ππ ,我们来作x ∈[]0,π时函数的简图。 设2x Z =,那么sin sin 2x Z =,当Z 取0、ππ ππ22 32,,,时,所对应的五点是函数 y Z Z =∈sin [],,02π图象上起关键作用的五点,这里x Z =2,所以当x 取0、π4、πππ 234、、时,所对应的五点是函数y x x =∈sin []20,,π的图象上起关键作用的五点。 列表:

数学三角函数公式大全

数学三角函数公式大全

三角函数 1. ①与α(0°≤α<360°)α 与角β的终边重合):{}Z k k ∈+?=,360 |αββ ②终边在x 轴上的角的集合: {}Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合:{}Z k k ∈+?= ,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合:}Z k k ∈?=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合:{}Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合:{}Z k k ∈-?=,45180| ββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称,则角α与角β的关系:βα-=k 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称,则角α与角β的关系:β α-+= 180 360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上,则角α与角β的关系:βα+=k 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直,则角α与角β的关系: 90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系:360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式: 1rad =π 180°≈57.30°y x ▲ SIN \COS sinx cosx 1、2、3、4表示第一、二、三、 四象限一半所在区域 1 2341 2 3 4 sinx sinx sinx cosx cosx cosx

=57°18ˊ. 1°=180 π≈0.01745(rad ) 3、弧长公式:r l ?=||α. 扇形面积公式: 2 11 ||22 s lr r α==?扇形 4、三角函数:设α是一个任意角,在α的终边上任取(异于原点的)一点P (x,y )P 与原点的距离为 r ,则 r y =αsin ; r x =αcos ; x y =αtan ; y x = αcot ; x r =αsec ;. y r =αcsc . 5、三角函数在各象限的符号:(一全二正弦,三切四余弦) 正切、余切 余弦、正割 -----+++++-+ 正弦、余割 o o o x y x y x y 6、三角函数线 正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线: AT. 7. 三角函数的定义域: 三角函数 定义域 =)(x f sin x {}R x x ∈| = )(x f cos x {}R x x ∈| r o x y a 的终边 P (x,y T M A O P x y

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