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【精品】2021年全国高校自主招生数学模拟试卷含答案3

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【精品】2021年全国高校自主招生数学模拟试卷含答案3

2021年全国高校自主招生数学模拟试卷三

一、选择题(36分)

1.函数2

54()2x x f x x

-+=-在(,2)-∞上的最小值是 ( )

A .0

B .1

C .2

D .3

2.设[2,4)A =-,2{40}B x x ax =--≤,若B A ?,则实数a 的取值范围为 ( ) A .[1,2)- B .[1,2]- C .[0,3] D .[0,3)

3.甲乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为

23

,乙在每局中获胜的概率为1

3,

且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数ξ的期望E ξ为 ()

A.

24181 B. 26681 C. 274

81

D. 670243 4.若三个棱长均为整数(单位:cm )的正方体的表面积之和为564 cm 2

,则这三个正方体的

体积之和为 ( ) A. 764 cm 3

或586 cm 3

B. 764 cm 3

C. 586 cm 3

或564 cm 3

D. 586 cm 3

5.方程组0,0,

0x y z xyz z xy yz xz y ++=??+=??+++=?

的有理数解(,,)x y z 的个数为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设ABC ?的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列,则

sin cot cos sin cot cos A C A

B C B

++的取值范围是

( )

A. (0,)+∞

B.

C.

D. )+∞

二、填空题(54分,每小题9分)

7.设()f x ax b =+,其中,a b 为实数,1()()f x f x =,1()(())n n f x f f x +=,1,2,3,

n =,若

7()128381f x x =+,则a b += .

题15图

8.设()cos 22(1cos )f x x a x =-+的最小值为1

2

-,则a =.

9.将24个志愿者名额分配给3个学校,则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有 种.

10.设数列{}n a 的前n 项和n S 满足:1

(1)

n n n S a n n -+=

+,1,2,

n =,则通项n a =.

11.设()f x 是定义在R 上的函数,若(0)2008f = ,且对任意x ∈R ,满足 (2)()32x f x f x +-≤?,(6)()632x f x f x +-≥?,则)2008(f =.

12.一个半径为1的小球在一个内壁棱长为6则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是. 12.一个半径为1的小球在一个内壁棱长为6则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是. 14.解不等式

121086422log (3531)1log (1)x x x x x ++++<++.

15.如题15图,P 是抛物线22y x =上的动点,点B C ,在y 轴上,圆22(1)1x y -+=内切于PBC ?,求PBC ?面积的最小值.

参考答案

1[解]当2x <时,20x ->,因此21(44)1()(2)22x x f x x x x +-+==+--

-2≥2=,当且仅当1

22x x

=--时上式取等号.

而此方程有解1(,2)x =∈-∞,因此()f x 在(,2)-∞上的最小值为2.

[解法一] 因240x ax --=有两个实根

12a x =

22a x = 故B A ?等价于12x ≥-且24x <,即

22a ≥-

且42a , 解之得03a ≤<.

[解法二](特殊值验证法)令3,[1,4],a B B A ==-?,排除C ,

令1,a B =-=,B A ?排除A 、B ,故选D 。

[解法三](根的分布)由题意知2

40x ax --=的两根在[2,4)A =-内,令

2

()4f x x ax =--则a 242(2)0(4)0f f ?

-≤??

解之得:03a ≤<

2[解法一] 依题意知,ξ的所有可能值为2,4,6.

设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为

22215

()()339

+=.

若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有 5

(2)9

P ξ==

, 4520

(4)()()9981

P ξ===,

2416

(6)()981P ξ===,

故52016266

2469818181

E ξ=?+?+?=.

[解法二] 依题意知,ξ的所有可能值为2,4,6.

令k A 表示甲在第k 局比赛中获胜,则k A 表示乙在第k 局比赛中获胜. 由独立性与互不相容性得

12125

(2)()()9

P P A A P A A ξ==+=

, 1234123412341234(4)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++

33211220

2[()()()()]333381

=+=,

1234123412341234(6)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++

222116

4()()3381==,

故52016266

2469818181

E ξ=?+?+?=.

3[解] 设这三个正方体的棱长分别为,,a b c ,则有()

2226564a b c ++=,22294a b c ++=,不妨设110a b c ≤≤≤<,从而2

2

2

2

394c a b c ≥++=,2

31c >.故610c ≤<.c 只能取9,8,7,6.

若9c =,则22294913a b +=-=,易知2a =,3b =,得一组解(,,)(2,3,9)a b c =. 若8c =,则22946430a b +=-=,5b ≤.但2

230b ≥,4b ≥,从而4b =或5.若5b =,则2

5a =无解,若4b =,则2

14a =无解.此时无解.

若7c =,则22944945a b +=-=,有唯一解3a =,6b =.

若6c =,则22943658a b +=-=,此时2

2

2

258b a b ≥+=,2

29b ≥.故6b ≥,但

6b c ≤=,故6b =,此时2583622a =-=无解.

综上,共有两组解2,3,9a b c =??=??=?或3,

6,7.a b c =??

=??=?

体积为3331239764V =++=cm 3或3332367586V =++=cm 3

4[解] 若0z =,则00.

x y xy y +=??+=?,解得00x y =??=?,或11.x y =-??=?,

若0z ≠,则由0xyz z +=得1xy =-. ① 由0x y z ++=得z x y =--. ②

将②代入0xy yz xz y +++=得220x y xy y ++-=. ③ 由①得1

x y

=-

,代入③化简得3(1)(1)0y y y ---=. 易知310y y --=无有理数根,故1y =,由①得1x =-,由②得0z =,与0z ≠矛盾,

故该方程组共有两组有理数解0,0,0x y z =??=??=?或1,

1,0.x y z =-??=??=?

5[解] 设,,a b c 的公比为q ,则2,b aq c aq ==,而

sin cot cos sin cos cos sin sin cot cos sin cos cos sin A C A A C A C

B C B B C B C

++=

++ sin()sin()sin sin()sin()sin A C B B b

q B C A A a

ππ+-=

====+-.

因此,只需求q 的取值范围.

因,,a b c 成等比数列,最大边只能是a 或c ,因此,,a b c 要构成三角形的三边,必需且只需a b c +>且b c a +>.即有不等式组

22

,a aq aq aq aq a ?+>?

?+>??即2210,10.

q q q q ?--??

解得11

,22q q q ?-<

???>

从而

1122q <<

,因此所求的取值范围是. 6[解] 由题意知12()(1)n n n n f x a x a a a b --=+++

++

1

1

n n

a a x

b a -=+?-,

由7()128381f x x =+得7

128a =,71

3811

a b a -?=-,因此2a =,3b =,5a b +=.

7[解] 2()2cos 122cos f x x a a x =---

221

2(cos )2122

a x a a =----,

(1) 2a >时,()f x 当cos 1x =时取最小值14a -; (2) 2a <-时,()f x 当cos 1x =-时取最小值1; (3) 22a -≤≤时,()f x 当cos 2a x =

时取最小值21

212

a a ---. 又2a >或2a <-时,()f x 的最小值不能为1

2

-,

故211

2122

a a ---=-,解得2a =-2a =-舍去).

8[解法一] 用4条棍子间的空隙代表3个学校,而用*表示名额.如

||||*****

***

表示第一、二、三个学校分别有4,18,2个名额.

若把每个“*”与每个“|”都视为一个位置,由于左右两端必须是“|”,故不同的分配方法相当于24226+=个位置(两端不在内)被2个“|”占领的一种“占位法”.

“每校至少有一个名额的分法”相当于在24个“*”之间的23个空隙中选出2个空隙插入“|”,故有223C 253

=种. 又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种.

综上知,满足条件的分配方法共有253-31=222种.

[解法二] 设分配给3个学校的名额数分别为123,,x x x ,则每校至少有一个名额的分法数为不定方程

12324x x x ++=.

的正整数解的个数,即方程12321x x x ++=的非负整数解的个数,它等于3个不同元素中取21个元素的可重组合:

21212

32323H C C 253

===. 又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种.

综上知,满足条件的分配方法共有253-31=222种. 9[解] 1111(1)(2)(1)

n n n n n n n a S S a a n n n n +++-=-=

--++++,

即 2n n a n n n n n n a ++++-++-+=+)1(1

11)2)(1(221

=

)

1(1

)2)(1(2++

+++-n n a n n n , 由此得 2)

1(1

))2)(1(1(1++

=++++n n a n n a n n . 令1

(1)

n n b a n n =++,111122b a =+= (10a =),

有112n n b b +=

,故12n n b =,所以)1(1

2

1+-

=n n a n n . 10[解法一] 由题设条件知

(2)()((4)(2))((6)(4))((6)())f x f x f x f x f x f x f x f x +-=-+-+-+-+++-

24323263232x x x x ++≥-?-?+?=?, 因此有(2)()32x f x f x +-=?,故

(2008)(2008)(2006)(2006)(2004)(2)(0)(0)f f f f f f f f =-+-+

+-+

2006200423(2221)(0)f =?++

+++

1003141

3(0)41

f +-=?+-

200822007=+. [解法二] 令()()2x g x f x =-,则

2(2)()(2)()2232320x x x x g x g x f x f x ++-=+--+≤?-?=,

6(6)()(6)()226326320x x x x g x g x f x f x ++-=+--+≥?-?=,

即(2)(),(6)()g x g x g x g x +≤+≥,

故()(6)(4)(2)()g x g x g x g x g x ≤+≤+≤+≤, 得()g x 是周期为2的周期函数,

所以200820082008(2008)(2008)2(0)222007f g g =+=+=+.

11[解] 如答12图1,考虑小球挤在一个角时的情况,记小球半径为r ,作平面111A B C //平面ABC ,与小球相切于点D ,则小球球心O 为正四面体111P A B C -的中心,111PO A B C ⊥面,垂足D 为111A B C 的中心.

因111

111

1

3P A B C A B C V S PD -?=?

答12图1

答12图 2

1114O A B C V -=?

1111

43

A B C S OD ?=???,

故44PD OD r ==,从而43PO PD OD r r r =-=-=.

记此时小球与面PAB 的切点为1P ,连接1OP ,则

2222

11(3)22PP PO OP r r r

=--=. 考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为PAB )相切时的情况,易知小球在面PAB 上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形,记为1P EF ,如答12图2.记正四面体 的棱长为a ,过1P 作1PM PA ⊥于M . 因16MPP π∠=

,有

11

3cos 226PM PP MPP r r =?==,故小三角形的边长1

226PE PA PM a r =-=-. 小球与面PAB 不能接触到的部分的面积为(如答12图2中阴影部分)

1PAB P EF S S ??-223(26))a a r =

--2

3263ar r =-. 又1r =,46a =

1

24363183PAB PEF S S ??-== 由对称性,且正四面体共4个面,所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为723 三、解答题(本题满分60分,每小题20分)

12[证] ()f x 的图象与直线y kx = )0(>k 的三个交点如答13图所示,且在3(,)2

π

π内相切,其切点为(,sin )A αα-,3(,

)2

π

απ∈. …5分

由于()cos f x x '=-,3(,)2x ππ∈,所以sin cos ααα

-=-,即tan αα=. …10分 因此

cos cos sin sin 32sin 2cos αααααα

=

+

14sin cos αα

=

…15分

22cos sin 4sin cos αα

αα+=

21tan 4tan α

α

+=

2

14αα

+=. …20分 [解法一] 由44221log (1)log (22)x x ++=+,且2log y 在(0,)+∞上为增函数,故原不等式等价于

1210864353122x x x x x ++++>+.

即 1210864353210x x x x x +++-->. …5分 分组分解 12108x x x +- 1086222x x x ++- 864444x x x ++- 642x x x ++- 4210x x ++->,

864242(241)(1)0x x x x x x +++++->, …10分

所以 4210x x +->,

2

211()022

x x ---+-

->. …15分

所以2x >

x

故原不等式解集为51

(,()2

--∞+∞. …20分 [解法二] 由44221log (1)log (22)x x ++=+,且2log y 在(0,)+∞上为增函数,故原不等式等价于

1210864353122x x x x x ++++>+. …5分

64222322621

33122(1)2(1)x x x x x x x x

+<+++++=+++,

)1(2)1()1(2)1(

232232+++<+x x x

x , …10分 令3()2g t t t =+,则不等式为

2

2

1(

)(1)g g x x <+, 显然3()2g t t t =+在R 上为增函数,由此上面不等式等价于

22

1

1x x

<+, …15分 即222()10x x +->

,解得2x >

(2x <),

故原不等式解集为51

(,()2

--∞+∞. …20分 13[解] 设00(,),(0,),(0,)P x y B b C c ,不妨设b c >.

直线PB 的方程:00

y b

y b x x --=

, 化简得 000()0y b x x y x b --+=.

又圆心(1,0)到PB 的距离为1,

1= , …5分

故22222

000000()()2()y b x y b x b y b x b -+=-+-+,

易知02x >,上式化简得2000(2)20x b y b x -+-=,

同理有2000(2)20x c y c x -+-=. …10分 所以0

022

y b c x -+=

-,002x bc x -=-,则

22

2

0002

0448()(2)x y x b c x +--=

-.

因00(,)P x y 是抛物线上的点,有2

002y x =,则

2

2

2

04()(2)

x b c x -=-,0022x b c x -=-. …15分 所以00000014

()(2)4222

PBC x S b c x x x x x ?=

-

?=?=-++-- 48≥=.

当20(2)4x -=时,上式取等号,此时004,x y ==±

因此PBC S ?的最小值为8. …20分

【精品】2021年全国高校自主招生数学模拟试卷含答案15

2021年全国高校自主招生数学模拟试卷十五 含答案 一.选择题(每小题5分,共30分) 1.若M={(x ,y )| |tan πy |+sin 2πx=0},N={(x ,y )|x 2+y 2 ≤2},则M ∩N 的元素个数是( ) (A )4 (B )5 (C )8 (D )9 2.已知f (x )=a sin x +b 3 x +4(a ,b 为实数),且f (lglog 310)=5,则f (lglg3)的值是( ) (A )-5 (B )-3 (C )3 (D )随a ,b 取不同值而取不同值 3.集合A ,B 的并集A ∪B={a 1,a 2,a 3},当A ≠B 时,(A ,B )与(B ,A )视为不同的对,则这样的(A ,B )对的个数是( ) (A )8 (B )9 (C )26 (D )27 4.若直线x =π 4被曲线C :(x -arcsin a )(x -arccos a )+(y -arcsin a )(y +arccos a )=0所截的 弦长为d ,当a 变化时d 的最小值是( ) (A ) π4 (B ) π3 (C ) π 2 (D )π 5.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边长分别为a ,b ,c ,若c -a 等于AC 边上的高h ,则sin C -A 2 +cos C +A 2 的值是( ) (A )1 (B ) 12 (C ) 1 3 (D )-1 6.设m ,n 为非零实数,i 为虚数单位,z ∈C ,则方程|z +ni |+|z -mi |=n 与|z +ni |-|z -mi |=-m 在同一复平面内的图形(F 1,F 2为焦点)是( ) 二、填空题(每小题5分,共30分) 1.二次方程(1-i )x 2 +(λ+i )x +(1+i λ)=0(i 为虚数单位,λ∈R )有两个虚根的充分必要条 (A) (B) (C) (D)

自主招生数学试题

自主招生试题选讲(清华、北大、交大等) 清华大学、上海交通大学、中国科学技术大学、南京大学、西安交通大学五所顶尖大学自主招生上强强联手,掀开了国内高招史上的新篇章 自主招生试题特点:试题难度高于高考,有的达到竞赛难 度,试题灵活,毫无规律可寻,但各个学校有自己命题风 格。一般说来,各高校对后续性的知识点:如,函数、不等式、排列组合等内容相对占比例稍高。 应试策略:1、注重基础:一般说来,自主招生中,基础题目分数比例大约占60-70% 2、适当拓展知识面,自主招生中,有不少内容是超出教材范围 3、对考生自己所考的院校历届真题争取尽量弄到手,并进行分析。 几个热点问题 方程的根的问题: 1.已知函数,且没有实数根.那么是否有实数根?并证明你的结 论.(08交大) 2.设,试证明对任意实数: (1)方程总有相同实根; (2)存在,恒有.(07交大) 3.(06交大)设 (05复旦)在实数范围内求方程:的实数根. 5.(05交大)的三根分别为a,b,c,并且a,b,c是不全为零的有理数, 求a,b,c的值. 6. 解方程:.求方程(n重根)的解.(09交大) 凸函数问题 1. (2009复旦) 如果一个函数f(x)在其定义区间内对任意x,y都满足 ,则称这个函数时下凸函数,下列函数 (1)(2) (3)() (4) 中是下凸函数的有-------------------。 A.(1)(2) B. (2)(3) C.(3)(4) D.(1)(4) 2. (06复旦)设x1,x2∈(0,),且x1≠x2,下列不等式中成立的是:(1)

(tanx1+tanx2)>tan; (2) (tanx1+tanx2)sin; (4) (sinx1+sinx2)0,a,b,c是x,y,z的一个排列。求证:。 12.求所有3项的公差为8的自然数数列,满足各项均为素数。 13.求所有满足 的非直角三角形(这里表示不超过的最大整数)

高校自主招生考试数学真题分类解析之7解析几何

专题之7、解析几何 一、选择题。 1.(2009年复旦大学)设△ABC三条边之比AB∶BC∶CA=3∶2∶4,已知顶点A的坐标是(0,0),B的坐标是(a,b),则C的坐标一定是 2.(2009年复旦大学)平面上三条直线x?2y+2=0,x?2=0,x+ky=0,如果这三条直线将平面划分成六个部分,则k可能的取值情况是 A.只有唯一值 B.可取二个不同 值 C.可取三个不同 值 D.可取无穷多个 值 3.(2010年复旦大学)已知常数k1,k2满足 0

7.(2011年复旦大学)设有直线族和椭圆族分别为x=t,y=mt+b(m,b为实数,t为参数)和(a是非零实数),若对于所有的m,直线都与椭圆相交,则a,b应满足**(1?b2)≥1 **(1?b2)>1 **(1?b2)<1**(1?b2)≤1 8.(2011年复旦大学)极坐标表示的下列曲线中不是圆的是 A.ρ2+2ρ(cos θ+sin θ)=5 B.ρ2?6ρcos θ?4ρsin θ=0 C.ρ2?ρcos θ=1 D.ρ2cos 2θ+2ρ(cos θ+sin θ)=1 9. 10.(2012年复旦大学) B.抛物线或双曲 C.双曲线或椭圆 D.抛物线或椭圆 A.圆或直线 线 11.(2011年同济大学等九校联考)已知抛物线的顶点在原点,焦点在x轴上,△ABC的三个顶点都在抛物线上,且△ABC的重心为抛物线的焦点,若BC边所在直线的方程为4x+y?20=0,则抛物线方程为 **=16x **=8x **=?16x**=?8x ** ** ** ** 13.(2011年清华大学等七校联考)AB为过抛物线y2=4x焦点F的弦,O为坐标原点,且∠OFA=135°,C为抛物线准线与x轴的交点,则∠ACB的正切值为 14.(2012年清华大学等七校联考)椭圆长轴长为4,左顶点在圆(x?4)2+(y?1)2=4上,左准线为y 轴,则此椭圆离心率的取值范围是

高中自主招生数学试题

2019数学试题 考试时间 100分钟 满分100分 说明:(1)请各位同学注意,本试卷题目有一定的难度,你要根据自己的情况量力而行,争取用最短的时间获得最多的分数,提高自己的考试效率!考试,比的不仅是知识和能力,更重要的是要有良好的心态和适合自己的期望值,争取把会做的题目都做对,祝你取得好成绩! (2)请在背面的答题纸上作答。另外,答完题后注意保护好自己的答案,防止他人的不劳而获,要做到公平竞争! 一、选择题(共8个小题,每小题4分,共32分)。每小题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入试卷背面的表格里,不填、多填或错填都得0分。 1.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中月平均最高气温和平均最低 气温的雷达图.图中A 点表 示十月的平均最高气温约为15C o ,B 点表示四月的平均最低气温约为5C o .下面叙述不 正确的是 A .各月的平均最低气温都在0C o 以上 B .七月的平均温差比一月的平均温差大 C .三月和十一月的平均最高气温基本相同 D .平均气温高于20C o 的月份有5个 2.上图是二次函数2y ax bx c =++的部分图象,由图象可知不等式20ax bx c ++<的解集为 A .1x <-或5x > B .5x > C .15x -<< D .无法确定 第2题 20C o 15C o 10C o 5C o A 十月 四月 三月 二月 一月十二月 十一月 九月 八月 七月 六月 五月 B 平均最低气温 平均最高气温

3.小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得密码第一位是,,M I N 中的一 个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 A . 115 B . 815 C .18 D . 130 4.在ABC ?中,内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若22245b c b c +=+-且 222a b c bc =+-,则ABC ?的面积为 A B C D 5.上图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积... (表面面积,也叫全面积)为 A .20π B .24π C .28π D .32π 参考公式:圆锥侧面积S rl π=,圆柱侧面积2S rl π=,其中r 为底面圆的半径,l 为母线长. 6.如下图,在ABC ?中,AB AC =,D 为BC 的中点, BE AC ⊥于E ,交AD 于P ,已知3BP =,1PE =, 则AE = A B C D 7.ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知a =,2c =,2cos 3 A =,则b = A B C .2 D .3 8.如下图,小明从街道的E 处出发,先到F 处与小红会合,再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短..路径条数为 A .9 B .12 C .18 D .24 E G F g g g 正视图 g 侧视图 俯视图 第5题图

全国各重点大学自主招生数学试题及答案分类汇总

全国各重点大学自主招生数学试题及答案分类汇总一.集合与命题 (2) 二.不等式 (9) 三.函数 (20) 四.数列 (27) 五.矩阵、行列式、排列组合,二项式定理,概率统计 (31) 六.排列组合,二项式定理,概率统计(续)复数 (35) 七.复数 (39) 八.三角 (42)

近年来自主招生数学试卷解读 第一讲集合与命题 第一部分近年来自主招生数学试卷解读 一、各学校考试题型分析: 交大: 题型:填空题10题,每题5分;解答题5道,每题10分; 考试时间:90分钟,满分100分; 试题难度:略高于高考,比竞赛一试稍简单; 考试知识点分布:基本涵盖高中数学教材高考所有内容,如:集合、函数、不等式、数列(包括极限)、三角、复数、排列组合、向量、二项 式定理、解析几何和立体几何 复旦: 题型:试题类型全部为选择题(四选一); 全考试时间:总的考试时间为3小时(共200道选择题,总分1000分,其中数学部分30题左右,,每题5分); 试题难度:基本相当于高考; 考试知识点分布:除高考常规内容之外,还附加了一些内容,如:行列式、矩阵等; 考试重点:侧重于函数和方程问题、不等式、数列及排列组合等 同济: 题型:填空题8题左右,分数大约40分,解答题约5题,每题大约12分; 考试时间:90分钟,满分100分; 试题难度:基本上相当于高考; 考试知识点分布:常规高考内容 二、试题特点分析: 1. 突出对思维能力和解题技巧的考查。

关键步骤提示: 2. 注重数学知识和其它科目的整合,考查学生应用知识解决问题的能力。 关键步骤提示: ()()() 42432 22342(2)(2)(1)(2)(1) f a x x a x x x x x x a x x x =--++-=+-+++-1 1 1 (,),(,),(,)n n n i i i i i i i i i i i d u w a d v w b d u v a b a b a b ======-+≥-∑∑∑由绝对值不等式性质,

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷2

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷2 一.选择题(36分,每小题6分) 1、 函数f(x)=)32(log 22 1--x x 的单调递增区间是 (A) (-∞,-1) (B) (-∞,1) (C) (1,+∞) (D) (3,+∞) 解:由x 2-2x-3>0?x<-1或x>3,令f(x)=u 2 1log , u= x 2-2x-3,故选A 2、 若实数x, y 满足(x+5)2+(y -12)2=142,则x 2+y 2的最小值为 (A) 2 (B) 1 (C) 3 (D) 2 解:B 3、 函数f(x)= 22 1x x x -- (A) 是偶函数但不是奇函数 (B) 是奇函数但不是偶函数 (C) 既是奇函数又是偶函数 (D) 既不是奇函数又不是偶函数 解:A 4、 直线134=+y x 椭圆 19 162 2=+y x 相交于A ,B 两点,该圆上点P ,使得⊿PAB 面积等于3,这样的点P 共有 (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 解:设P 1(4cos α,3sin α) (0<α<2 π ),即点P 1在第一象限的椭圆上,如图,考虑四边形P 1AOB 的面积S 。 S=11 O BP O AP S S ??+=ααcos 432 1 sin 3421??+??=6(sin α+cos α)=)4sin(26πα+ ∴S max =62 ∵S ⊿OAB =6 ∴626)(max 1-=?AB P S ∵626-<3 ∴点P 不可能在直线AB 的上方,显然在直线AB 的下方有两个点P ,故选B 5、 已知两个实数集合A={a 1, a 2, … , a 100}与B={b 1, b 2, … , b 50},若从A 到B 的映射f 使得B 中的 每一个元素都有原象,且f(a 1)≤f(a 2)≤…≤f(a 100),则这样的映射共有 (A) 50100C (B) 5090C (C) 49100C (D) 49 99C 解:不妨设b 1

历年名牌大学自主招生数学考试试题及答案

上海交通大学2007年冬令营选拔测试数学试题 一、填空题(每小题5分,共50分) 1.设函数 () f x 满足 2(3)(23)61 f x f x x +-=+,则 ()f x = . 2.设,,a b c 均为实数,且364a b ==,则11a b -= . 3.设0a >且1a ≠,则方程2122x a x x a +=-++的解的个数为 . 4.设扇形的周长为6,则其面积的最大值为 . 5.11!22!33!!n n ?+?+?++?= . 6.设不等式(1)(1)x x y y -≤-与22x y k +≤的解集分别为M 和N .若M N ?,则k 的最小值为 . 7 . 设 函 数 ()x f x x = ,则 2112()3()()n S f x f x nf x -=++++= . 8.设0a ≥,且函数()(cos )(sin )f x a x a x =++的最大值为 25 2 ,则a = . 9.6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考,考生答完试卷的先后次序不定,且每人答完后立即交卷离开座位,则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为 . 10.已知函数121 ()1 x f x x -= +,对于1,2,n =,定义11()(())n n f x f f x +=,若 355()()f x f x =,则28()f x = . 二、计算与证明题(每小题10分,共50分)

11.工件内圆弧半径测量问题. 为测量一工件的内圆弧半径R ,工人用三个半径均为r 的圆柱形量棒 123,,O O O 放在如图与工件圆弧相切的位置上,通过深度卡尺测出卡尺 水平面到中间量棒2O 顶侧面的垂直深度h ,试写出R 用h 表示的函数关系式,并计算当 10,4r mm h mm ==时,R 的值. 12.设函数()sin cos f x x x =+,试讨论()f x 的性态(有界性、奇偶性、单调性和周期性),求其极值,并作出其在[]0,2π内的图像. 13.已知线段AB 长度为3,两端均在抛物线2x y =上,试求AB 的中点M 到y 轴的最短距离和此时M 点的坐标. 参考答案:

最新完美版清华大学自主招生数学试题

2015年清华大学自主招生数学试题 一、选择题:本大题共10小题,每小题3分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 设复数2 1a i w i +??= ?+?? ,其中a 为实数.若w 的实部为2,则w 的虚部为( ) A 、3 2- B 、12 - C 、 12 D 、 32 2. 设向量a ,b 满足1a b ==,a b m ?=,则a tb +(R t ∈)的最小值为( ) A 、2 B C 、1 D 3. 如果平面α,β,直线m ,n ,点A ,B 满足:αβ ,m α?,n β?,A α∈,B β∈,且AB 与α 所成的角为4π,m AB ⊥,n 与AB 所成的角为3 π ,那么m 与n 所成角的大小为( ) A 、3π B 、4π C 、6π D 、8 π 4. 在四棱锥V -ABCD 中,1B ,1D 分别为侧棱VB ,VD 的中点,则四面体11AB CD 的体积与四棱锥V -ABCD 的体积之比为( ) A 、1:6 B 、1:5 C 、1:4 D 、1:3 5. 在ABC △中,三边长a ,b ,c 满足3a c b +=,则tan tan 22 A C 的值为( ) A 、1 5 B 、14 C 、12 D 、 23 6. 如图,ABC △的两条高线AD ,BE 交于H ,其外接圆圆心为O , 过O 作OF 垂直BC 于F ,OH 与AF 相交于G .则OFG △与GAH △面积之比为( ) A 、1:4 B 、1:3 C 、2:5 D 、1:2 7. 设()ax f x e =(0a >).过点(),0P a 且平行于y 轴的直线与曲线C :()y f x =的交点为Q ,曲线C 过点 Q 的切线交x 轴于点R ,则PQR △的面积的最小值是( ) A 、1 B C 、2 e D 、2 4 e A E C O G H B D F

最新全国高校自主招生数学模拟试卷一

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷一 一、选择题(本题满分36分,每小题6分) 1. 如图,在正四棱锥 P ?ABCD 中,∠APC =60°,则二面角A ?PB ?C 的平面角的余弦值为( ) A. 7 1 B. 7 1- C. 2 1 D. 2 1- 2. 设实数a 使得不等式|2x ?a |+|3x ?2a |≥a 2 对任意实数x 恒成立,则满足条件的a 所组成的集合是( ) A. ]3 1,31[- B. ]21,21[- C. ]3 1,41[- D. [?3,3] 3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中,这些小球仅号码不同,其余完全 相同。甲从袋中摸出一个球,其号码为a ,放回后,乙从此袋中再摸出一个球,其号码为b 。则使不等式a ?2b +10>0成立的事件发生的概率等于( ) A. 81 52 B. 81 59 C. 81 60 D. 81 61 4. 设函数f (x )=3sin x +2cos x +1。若实数a 、b 、c 使得af (x )+bf (x ?c )=1对任意实数x 恒 成立,则 a c b cos 的值等于( ) A. 2 1- B. 21 C. ?1 D. 1 5. 设圆O 1和圆O 2是两个定圆,动圆P 与这两个定圆都相切,则圆P 的圆心轨迹不可能是 ( ) 6. 已知A 与B 是集合{1,2,3,…,100}的两个子集,满足:A 与B 的元素个数相同,且为A ∩B 空集。若n ∈A 时总有2n +2∈B ,则集合A ∪B 的元素个数最多为( ) A. 62 B. 66 C. 68 D. 74 二、填空题(本题满分54分,每小题9分) 7. 在平面直角坐标系内,有四个定点A (?3,0),B (1,?1),C (0,3),D (?1,3)及一个动点P ,则|PA |+|PB |+|PC |+|PD |的最小值为__________。 8. 在△ABC 和△AEF 中,B 是EF 的中点,AB =EF =1,BC =6, 33=CA ,若2=?+?,则与的夹角的余弦值等于________。 9. 已知正方体ABCD ?A 1B 1C 1D 1的棱长为1,以顶点A 为球心, 3 3 2为半径作一个球,则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于__________。 10. 已知等差数列{a n }的公差d 不为0,等比数列{b n }的公比q 是小于1的正有理数。若a 1=d , b 1=d 2 ,且3 212 3 2221b b b a a a ++++是正整数,则q 等于________。 11. 已知函数)45 41(2)cos()sin()(≤≤+-= x x πx πx x f ,则f (x )的最小值为________。 12. 将2个a 和2个b 共4个字母填在如图所示的16个小方格内,每个小方 格内至多填1个字母,若使相同字母既不同行也不同列,则不同的填法共有________种(用数字作答)。 三、解答题(本题满分60分,每小题20分) D P

2020年上海市复旦大学自主招生数学试题及答案

2020年上海市复旦大学自主招生数学试卷 一、解答题 1.抛物线22y px =,过焦点F 作直线交抛物线于A 、B 两点,满足3AF FB =,过A 作抛物线准线的垂线,垂足记为A ',O 为顶点,若OFAA S '=p . 2.抛物线22y px =,过焦点F 作直线交抛物线于A ,B 两点,满足3AF FB =,过A 作抛物线准线的垂线,垂足记为A ',准线交x 轴于C 点,若CFAA S '=p . 3.已知实数x ,y 满足221x xy +=,求22x y +最小值. 二、填空题 4.已知()sin(2)cos(2)sin(4)cos(4)f x a x b x c x d x ππππ=+++,若1 ()()(2)2 f x f x f x ++=, 则在a ,b ,c ,d 中能确定的参数是 . 5.若三次方程32450x ax x +++=有一个根是纯虚数,则实数a = . 6.展开式231011 ()x y x y + ++中,常数项为 . 7.111 lim[]1425(3) n n n →+∞++?+=??+ . 8.点(4,5)绕点(1,1)顺时针旋转60度,所得的点的坐标为 . 9.方程5cos 43cos2ρθρρθ=+所表示的曲线形状是 . 10.设,[,]44x y ππ ∈-,若3 33cos()20 2 4sin cos 0 x x a y y y a π?++-=???++=?,则cos(2)x y += . 11.当实数x 、y 满足221x y +=时,|2||62|x y a a x y +-++--的取值与x 、y 均无关,则实数a 的取值范围是 . 12.在ABC ?中,1 cos 3 BAC ∠=,若O 为内心,且满足AO xAB y AC =+,则x y +的最大值为 . 三、选择题 13.已知直线:cos m y x α=和:3n x y c +=,则( ) A .m 和n 可能重合 B .m 和n 不可能垂直 C .存在直线m 上一点P ,以P 为中心旋转后与n 重合

自主招生数学试题及答案

2017年自主招生数学试题 (分值: 100分 时间:90分钟) 一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的) 1、若对于任意实数a ,关于x 的方程0222 =+--b a ax x 都有实数根,则实数b 的取值范围是( ) A b ≤0 B b ≤2 1 - C b ≤81- D b ≤-1 2、如图,D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点,且DE ∥AC ,已知S △BDE ∶S △CDE =1∶3,则S △DOE ∶S △AOC 的值为( ) A .1∶3 B .1∶4 C .1∶9 D .1∶16 3、某校吴老师组织九(1)班同学开展数学活动,带领同学们测量学校附近一电线杆的高(如图所示)。已知电线杆直立于地面上,某天在太阳光的照射下,电线杆的影子(折线BCD) 恰好落在水平地面和斜坡上,在D 处测得电线杆顶端A 的仰角为300 ,在C 处测得电线杆 顶端A 得仰角为450,斜坡与地面成600 角,CD=4m ,则电线杆的高(AB)是( ) A .)344(+m B .)434(-m C .)326(+m D .12m 4、如图,矩形ABCD 中,AB=8,AD=3.点 E 从D 向C 以每秒1个单位的速度运动,以AE 为一边在AE 的右下方作正方形AEFG .同时垂直于CD 的直线MN 也从C 向D 以每秒2个单位的速度运动,当经过( )秒时,直线MN 和正方形AEFG 开始有公共点。 A .53 B . 12 C .43 D .23 (第2题图) (第3题图) (第4题图) 5、如图,在反比例函数x y 2 - =的图象上有一动点A ,连接AO 并延长交图象的另一支于点B ,在第一象限内有一点C ,满足AC=BC ,当点A 运动时,点C 始终在函数x k y =的图 象上运动,若tan ∠CAB=2,则k 的值为( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6、如图,O 是等边三角形ABC 内一点,且OA=3,OB=4,OC=5.将线段OB 绕点B 逆时针 旋转600得到线段O′B,则下列结论:①△AO′B 可以由△COB 绕点B 逆时针旋转600 得 到;②∠AOB=1500 ;③633AOBO'S =+四边形93 6AOB AOC S S +=△△( )

2010清华大学自主招生数学试题

2010年清华大学自主招生数学试题 一、选择题:本大题共10小题,每小题3分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 设复数2 1a i w i +??= ?+?? ,其中a 为实数.若w 的实部为2,则w 的虚部为( ) A 、3 2- B 、12 - C 、 12 D 、 32 2. 设向量a ,b 满足1a b ==,a b m ?=,则a tb +(R t ∈)的最小值为( ) A 、2 B C 、1 D 3. 如果平面α,β,直线m ,n ,点A ,B 满足:αβP ,m α?,n β?,A α∈,B β∈,且AB 与α 所成的角为4π,m AB ⊥,n 与AB 所成的角为3 π ,那么m 与n 所成角的大小为( ) A 、3π B 、4π C 、6π D 、8 π 4. 在四棱锥V -ABCD 中,1B ,1D 分别为侧棱VB ,VD 的中点,则四面体11AB CD 的体积与四棱锥V -ABCD 的体积之比为( ) A 、1:6 B 、1:5 C 、1:4 D 、1:3 5. 在ABC △中,三边长a ,b ,c 满足3a c b +=,则tan tan 22 A C 的值为( ) A 、1 5 B 、14 C 、12 D 、 23 6. 如图,ABC △的两条高线AD ,BE 交于H ,其外接圆圆心为O , 过O 作OF 垂直BC 于F ,OH 与AF 相交于G .则OFG △与GAH △面积之比为( ) A 、1:4 B 、1:3 C 、2:5 D 、1:2 7. 设()ax f x e =(0a >).过点(),0P a 且平行于y 轴的直线与曲线C :()y f x =的交点为Q ,曲线C 过点 Q 的切线交x 轴于点R ,则PQR △的面积的最小值是( ) A 、1 B C 、2 e D 、2 4 e A E C O G H B D F

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷6

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷六 一、选择题(36分) 1.删去正整数数列1,2,3,……中的所有完全平方数,得到一个新数列.这个数列的第2003项是 (A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049 2.设a ,b ∈R ,ab ≠0,那么直线ax -y +b=0和曲线bx 2+ay 2=ab 的图形是 y x O O x y O x y y x O A. B. C. D. 3.过抛物线y 2=8(x +2)的焦点F 作倾斜角为60°的直线,若此直线与抛物线交于 A 、 B 两点,弦AB 的中垂线与x 轴交于点P ,则线段PF 的长等于 (A) 163 (B) 8 3 (C) 16 3 3 (D) 8 3 4.若x ∈[-512 ,-3 ],则y=tan(x +2 3 )-tan(x +6 )+cos(x +6 )的最大 值是 (A) 125 2 (B) 116 2 (C) 116 3 (D) 125 3

5.已知x ,y 都在区间(-2,2)内,且xy=-1,则函数u=44-x 2+9 9-y 2 的最小值 是 (A) 8 5 (B) 24 11 (C) 12 7 (D) 12 5 6.在四面体ABCD 中, 设AB=1,CD=3,直线AB 与CD 的距离为2,夹角 为3 ,则四面体ABCD 的体积等于 (A) 32 (B) 12 (C) 13 (D) 3 3 二.填空题(每小题9分,共54分) 7.不等式|x |3-2x 2-4|x |+3<0的解集是 . 8.设F 1、F 2是椭圆x 29+y 2 4=1的两个焦点,P 是椭圆上一点,且|PF 1|∶|PF 2|=2∶1, 则△PF 1F 2的面积等于 . 9.已知A={x |x 2-4x +3<0,x ∈R }, B={x |21-x +a ≤0,x 2-2(a +7)x +5≤0,x ∈R } 若A B ,则实数a 的取值范围是 . 10.已知a ,b ,c ,d 均为正整数,且log a b=3 2,log c d=5 4 ,若a -c=9,则b - d= . 11.将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内,并使得每个球都和其相

高三数学高校自主招生考试真题分类解析5概率.docx

年高三数学高校自主招生考试真题分类解析 5 概率 一、选择题。 1.(2009 年华中科技大学 ) 从 0,1,2, ,9这十个数码中不放回地随机取n(2 ≤n≤10) 个数码 ,能排成 n 位偶数的概率记为 Pn, 则数列 {Pn} A. 既是等差数列又是等比数列 B. 是等比数列但不是等差数列 C.是等差数列但不是等比数列 D. 既不是等差数列也不是等比数列 2.(2009 年华中科技大学 )5 张票中有 1张奖票 ,5 个人按照排定的顺序从中各抽 1 张以决定谁得到其中的奖票, 且后抽的人不知道先抽的人抽出的结果, 则第 3个人抽到奖票的概率是A. B. C. D. 3. (2009年复旦大学)某种细胞如果不能分裂则死亡, 并且一个细胞死亡和分裂为两个细胞 的概率都为, 现有两个这样的细胞, 则两次分裂后还有细胞存活的概率是 A. B. C. D. 4. (2012 年复旦大学 ) 随机任取一个正整数 , 则它的 3 次方的个位和十位上的数字都是 1 的概率是 A. B. C. D. 二、填空题。 5. (2009 年南京大学 ) 有一个 1,2,,9的排列,现将其重新排列, 则 1 和 2 不在原来位置的 概率是. 三、解答题。

6.(2010 年中南财经政法大学) 某市在 36 位“政协委员”候选人中任选 2 名, 其中来自教育 界的候选人共有 6 人, 求 : (1) 至少有 1 名来自教育界的人当选的概率是多少? (2) 候选人中任何人都有当选的可能性, 若选得同性别委员的概率等于, 则男女候选人相差 几名 ?( 注 : 男候选人多于女候选人) 7.(2011 年同济大学等九校联考 ) 一袋中有 a 个白球和 b 个黑球 , 从中任取一个球 , 如果取出白球 , 则把它放回袋中 ; 如果取出黑球 , 则该黑球不再放回 , 另补一个白球放到袋中 . 在进行 n 次这样的操作后 , 记袋中白球的个数为 Xn. (1) 求 E; (2) 设 P( =a+k)= , 求 P(=a+k),k=0,1,,b; (3) 证明 :EX n+1=(1)EX n+1. 8. (2009 年清华大学 )12 名职工 ( 其中 3 名为男性 ) 被平均分配到 3 个部门 . (1)试求 3 名男员工分配到不同部门的概率; (2)试求 3 名男员工分配到相同部门的概率; (3)试求 1 名男员工指定到某一部门 , 另两名不在同部门的概率 . 9. (2009 年清华大学 )M 为三位的自然数, 求 : (1)M 含因子 5 的概率 ; (2)M 中恰有两位数码相同的概率.

最新自主招生考试数学试卷

浙江省杭州市自主招生考试数学试卷 一、选择题:(每个题目只有一个正确答案,每题4分,共32分) 1.(4分)(2006?潍坊)计算:tan60°+2sin45°﹣2cos30°的结果是() A.2 B.C.D.1 2.(4分)(2006?潍坊)如图,边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′,图中阴影部分的面积为() A.B.C.1﹣D.1﹣ 3.(4分)(2004?宁波)已a,b为实数,ab=1,M=,N=,则M,N的 大小关系是() A.M>N B.M=N C.M<N D.无法确定 4.(4分)(2005?淮安)一名考生步行前往考场,10分钟走了总路程的,估计步行不能 准时到达,于是他改乘出租车赶往考场,他的行程与时间关系如图所示(假定总路程为1),则他到达考场所花的时间比一直步行提前了() A.20分钟B.22分钟C.24分钟D.26分钟 5.(4分)(2012?大田县校级自主招生)二次函数y=﹣2x2+4x+1的图象如何移动就得到y=﹣2x2的图象() A.向左移动1个单位,向上移动3个单位 B.向右移动1个单位,向上移动3个单位 C.向左移动1个单位,向下移动3个单位 D.向右移动1个单位,向下移动3个单位 6.(4分)(2011?浙江校级自主招生)下列名人中:①比尔盖茨②高斯③刘翔④诺贝尔⑤陈景润⑥陈省身⑦高尔基⑧爱因斯坦,其中是数学家的是() A.①④⑦ B.②④⑧ C.②⑥⑧ D.②⑤⑥

7.(4分)(2012?麻城市校级自主招生)张阿姨准备在某商场购买一件衣服、一双鞋和一套化妆品,这三件物品的原价和优惠方式如下表所示.请帮张阿姨分析一下,选择一个最省钱的购买方案.此时,张阿姨购买这三件物品实际所付出的钱的总数为() 原价(元)优惠方式 欲购买的 商品 一件衣服420 每付现金200元,返购物券200元,且付款时可以使用购物 券 一双鞋280 每付现金200元,返购物券200元,但付款时不可以使用购 物券 一套化妆品300 付款时可以使用购物券,但不返购物券 A.500元B.600元C.700元D.800元 8.(4分)(2012?麻城市校级自主招生)向高为H的水瓶中注水,注满为止,如果注水量V 与水深H的函数关系的图象如上图所示,那么水瓶的形状是() A.B.C.D. 二、填空题:(每题6分,共30分) 9.(6分)(2013?福建校级自主招生)若关于x的分式方程在实数范围内无解,则实数a=. 10.(6分)(2011?浙江校级自主招生)三角形的两边长为4cm和7cm,则这个三角形面积的最大值为cm2. 11.(6分)(2014?南充自主招生)对正实数a,b作定义,若4*x=44,则x的值是. 12.(6分)(2011?萧山区校级自主招生)已知方程x2+(a﹣3)x+3=0在实数范围内恒有解,并且恰有一个解大于1小于2,a的取值范围是. 13.(6分)(2011?萧山区校级自主招生)如果有2007名学生排成一列,按1、2、3、4、5、 4、3、2、1、2、3、4、 5、4、3、2、1…的规律报数,那么第2007名学生所报的数是. 三、解答题:(本题有4个小题,共38分)解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤.14.(8分)(2011?萧山区校级自主招生)田忌赛马 齐王和他的大臣田忌均有上、中、下马各﹣匹,每场比赛三匹马各出场一次,共赛三次,以胜的次数多者为赢.已知田忌的马较齐王的马略有逊色,即:田忌的上马不敌齐王的上

全国高校自主招生数学模拟试卷11

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷十一 一、选择题(本题满分36分,每小题6分) 1. 若a > 1, b > 1, 且lg(a + b)=lga+lgb, 则lg(a –1)+lg(b –1) 嘚值( ) (A )等于lg2 (B )等于1 (C ) 等于0 (D) 不是与a, b 无关嘚常数 2.若非空集合A={x|2a+1≤x ≤3a – 5},B={x|3≤x ≤22},则能使A ?A ∩B 成立嘚所有a 嘚集合是( ) (A ){a | 1≤a ≤9} (B) {a | 6≤a ≤9} (C) {a | a ≤9} (D) ? 3.各项均为实数嘚等比数列{a n }前n 项之和记为S n ,若S 10 = 10, S 30 = 70, 则S 40等于( ) (A) 150 (B) - 200 (C) 150或 - 200 (D) - 50或400 4.设命题P :关于x 嘚不等式a 1x 2 + b 1x 2 + c 1 > 0与a 2x 2 + b 2x + c 2 > 0嘚解集相同; 命题Q :a 1a 2=b 1b 2=c 1 c 2. 则命题Q( ) (A) 是命题P 嘚充分必要条件 (B) 是命题P 嘚充分条件但不是必要条件 (C) 是命题P 嘚必要条件但不是充分条件 (D) 既不是是命题P 嘚充分条件也不是命题P 嘚必要条件 5.设E, F, G 分别是正四面体ABCD 嘚棱AB,BC,CD 嘚中点,则二面角C —FG —E 嘚大小是( ) (A) arcsin 63 (B) π2+arccos 33 (C) π2-arctan 2 (D) π-arccot 2 2 6.在正方体嘚8个顶点, 12条棱嘚中点, 6个面嘚中心及正方体嘚中心共27个点中, 共线嘚三点组嘚个数是( ) (A) 57 (B) 49 (C) 43 (D)37 二、填空题( 本题满分54分,每小题9分) 各小题只要求直接填写结果. 1.若f (x) (x ∈R)是以2为周期嘚偶函数, 当x ∈[ 0, 1 ]时,f(x)=x 1 1000 ,则f(9819),f(10117),f(10415)由小到大排列是 . 2.设复数z=cos θ+isin θ(0≤θ≤180°),复数z ,(1+i)z ,2-z 在复平面上对应嘚三个点分别是P, Q, R.当P, Q, R 不共线时,以线段PQ, PR 为两边嘚平行四边形嘚第四个顶点为S, 点S 到原点距离嘚最大值是___________. 3.从0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9这10个数中取出3个数, 使其和为不小于10嘚偶数, 不同嘚取法有________种. 4.各项为实数嘚等差数列嘚公差为4, 其首项嘚平方与其余各项之和不超过100, 这样嘚数列至多有_______项. 5.若椭圆x 2+4(y -a)2=4与抛物线x 2=2y 有公共点,则实数a 嘚取值范围是 . 6.?ABC 中, ∠C = 90o , ∠B = 30o , AC = 2, M 是AB 嘚中点. 将?ACM 沿CM 折起,使A,B 两点间嘚距离为 22 ,此时三棱锥A-BCM 嘚体积等于__________. 三、(本题满分20分) 已知复数z=1-sin θ+icos θ(π 2<θ<π),求z 嘚共轭复数-z 嘚辐角主值.

各高校自主招生数学试题

自主招生试题特点:试题难度高于高考,有的达到竞赛难度,试题灵活,毫无规律可寻,但各个学校有自己命题风格。一般说来,各高校对后续性的知识点:如,函数、不等式、排列组合等内容相对占比例稍高。 应试策略:1、注重基础:一般说来,自主招生中,基础题目分数比例大约占60-70% 2、适当拓展知识面,自主招生中,有不少内容是超出教材范围 3、对考生自己所考的院校历届真题争取尽量弄到手,并进行分析。 方程的根的问题: 1. 已知函数 2 ()f x ax bx c =++(0)a ≠,且()f x x =没有实数根.那么(())f f x x =是否有实数根?并证明你的结论.(08交大) 2. 设4 3 2 ()(1)(32)4f x a x x a x a =++-+-,试证明对任意实数a : (1)方程()0f x =总有相同实根; (2)存在0x ,恒有0()0f x ≠.(07交大) 3.(06交大)设3 2 2 9,29270k x kx k x k ≥++++=解方程 4. (05 3=的实数根. 5.(05交大)320x ax bx c +++=的三根分别为a ,b ,c ,并且a ,b ,c 是不全为零的有理数,求a ,b ,c 的值. 6. 解方程:.求方程2x x =+ ++n 重根)的解.(09交大) 凸函数问题 1. (2009复旦) 如果一个函数f(x)在其定义区间内对任意x ,y 都满足 ()()( )22 x y f x f y f ++≤,则称这个函数时下凸函数,下列函数 (1)()f x 2x = (2)()f x =3x (3)()f x =2 log x (0x >) (4) ,0,()2,0, x x f x x x

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