平面向量单元复习题(一)
1 .
2. 3 .
4. 5 .
6. 7 .
9 . 平面向量单元复习题（一）
、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）下列命题正确的是
A.单位向量都相等
C. 若a, b满足|a|> |b|且a与b同向，贝U a> b
D. 对于任意向量如图，四边形ABCD A. AD与CB
C. AC与BD b,必有|a+ b|w|a|+ |b|
中, AB = DC，则相等的向量是（
F列命题中，正确的是A.若|a|= |b|,贝U a= b C.若|a|> |b|,贝U a> b B. OB与OD
D. AO与OC
B.若a = b,则a与b是平行向量
D.若a与b不相等，则向量a与b是不共线向量
已知AB= a + 5b, BC =- 2a+ 8b, CD = 3 (a—b),则
A.A、B、D 三点共线
B.A、B、
C.B、C、D 三点共线
D.A、C、当|a|= |b|工且a、b不共线时，a+ b与a—b的关系是
A.平行
B.垂直
C.相交但不垂直C三点共线D三点共线
如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，在向量O B , OC ,
—> —> —> —> —> —> —> —> —>
OD , OE, OF, AB, BC, CD, EF , DE ,
FA中与
OA共线的向量有
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
若M是厶ABC的重心，则下列向量中与AB共线的是
D.相等
A. AB+ BC + AC
B. AM + MB + BC
C. AM + BM + CM
D.3AM + AC
已知正方形的边长为1, AB = a, BC= b, AC = c,则|a + b+ c|等于(
C. 2
A.0
B.3
) D.2 .2
已知O A= a, OB = b, OC = c, OD = d,且四边形ABCD
为平行四边形，则
A. a + b+ c+ d=
C. a+ b—c—d=
B. a—b+ c—d=
D. a—b—c+ d=
10. 已知D、E、F分别是△ ABC的边BC、CA、AB的中点，
且BC= a, CA= b, AB = c,则下列各式：① E F =
1 1 -> 1 -> 1 1 -> -> ->
2 c—2 b ②BE = a+ 2 b ③ CF = —，a + 2 b ④AD + BE+ CF = 0
其中正确的等式的个数为（）
A.1
B.2
C.3
D.4
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
11. 如图，M、N是厶ABC的一边BC上的两个三等分点，
若A B= a，A C = b，则MN = __________ .
12 .已知向量a、b不共线，实数x、y满足向量等式
3x a+ （10 —y）b= 2x b+ （4y+ 4）a，贝U x= ________ ，
y= ______________________________________ . g
13. 设a表示向东走4 km ”，b表示向北走3 km"，
贝V a+ b表示_____________ .
广
2x —y= a
14. a、b是给定的不共线的向
量，且i x+ 2y= b，贝V向量x =
15. _______________________________________________________________________ 已知ABCDEF为正六边形，且AC = a，AD = b，则用a，b表示AB为_______________________ .
16. 已知四个力F 1=（—2，—1），F 2=（—3, 2 ），F3=（4，—3），F 4 作用于物体的同一
点，若物体受力后保持平衡，则 F 4= ______________ .
三、解答题（本大题共5小题，共70分?解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （本小题满分12分）如图，ABCD是一个梯形，AB // CD，且AB = 2CD，M、N分别是
DC和AB的中点，已知AB = a，AD = b，试用a、b表示BC和IMN.
18. （本小题满分14分）已知平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意
点，求证OA+ OB+ OC + OD = 4(OE.
________ ，y= ________
19. （本小题满分14分）四边形ABCD的边AD和BC的中点分别为E、F ,
求证：EF = 2 （A B + DC）
20. （本小题满分15分）在△ ABC中，AD = - A B, DE // BC,与边AC相交于点E,△ ABC
的中线AM与DE相交于点N,设AB = a, AC = b,试用a, b表示DN.
21. （本小题满分15分）对于两个向量a, b,求证：旧|—|b||w |a+ b|w |a|+ |b|.
平面向量单元复习题（一）答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
I. D 2. D 3. B 4. A 5. B 6. C 7. C 8. D 9. B 10. C
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
1 3
II. （b—a）12. 4 2 13.向东偏北arcsin 方向走5 km.
3 5
2 1 12 1
14. 5 a + 5 b,—5 a+ 5 b 15. a —2 b 16. （1, 2）
三、解答题（本大题共5小题，共70分?解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （本小题满分12分）如图，ABCD是一个梯形，AB // CD，且AB = 2CD , M、N分别是
DC和AB的中点，已知AB = a, AD = b,
试用a、b表示BC和MN.
【解法一】连结CN,则AN 2 DC
???四边形ANCD是平行四边形.
C N=—A
D = —b,又??? CN+ NB + BC= 0
BC = —C N—NB= b—- a
2
? ? M"N = CN —CM = CN + _ AN = — b + - a = —a—b
2 4 4
【解法二】?/ A B + B C + C D + DA = 0
1 1
即：a+ BC+ (- a) + (- b)= 0, ? BC= b—a
又???在四边形ADMN 中，有AD + DM + M N + NA= 0,
1 -> / 1 -> 1
即: b+; a + MN +（—；a）= 0, ? MN =" a—b.
4 2 4
【评注】比较两种解法，显然解法二更简捷?
18. （本小题满分14分）已知平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD交于E, O是任意
点，求证OA+ OB+ OC + OD = 4(OE.
【证明】?/ E是对角线AC与BD的交点，? A E= EC = —CE , BE = ED = —DE. 在厶OAC中，OA+AE= O E ,
同理有OB + BE= OE, OC + CE = OE, OD + DE = OE.
四式相加可得：OA+ OB+ OC + OD = 4OE.
19. （本小题满分14分）四边形ABCD的边AD和BC的中点分别为E、F , 求证：E F = 2 （AB +
DC）匕
【证法一】?/ E、F分别为DA、BC的中点.
??? DE = EA, FC = B F
又??? E F + FC+CD + DE = o①
EF + FB + BA+ AE= 0②
① + ②，得2EF +( FC + FB) + (CD + BA) + ( DE + AE)= 0
?2E F= —CD +(—BA)= DC + AB
-F 1 -F -F
?- EF = 2 (AB + DC)
【证法二】连结EC, EB
?/ E F + F C = EC ①
EF + F B = EB ②
① + ②，得2EF + 0 = EC+ EB
?E F = 2 (EC + EB)
又??? EC = ED + DC ③
EB= E A + AB ④
③+④，得E F = 2 (ED + DC + E A+ AB),又??? ED + EA= 0,
-F 1 -F -F
? EF = 2 (AB + DC).
~F 1 —F
20. (本小题满分15分)在△ ABC中，AD = ] AB, DE // BC,与边AC相交于点E, △ ABC
的中线AM与DE相交于点N,设AB = a, AC = b,试用a, b表示DN.
【解】因为M为BC的中点，所以有
B M = 2 B
C = 2 (AC —AB)= 1 (b—a)
A M = AB+ BM = 2 (a+ b),因为DN // BM, AN // AM.
根据向量共线的充要条件，存在实数入和仏使得
-> -> 1 -> -> 1
DN = E M = 2 入（b—a）, AN= （AM = ?卩（a+ b）
因为AN = AD + DN = 4 a + - X b—a）= （4 —二）a + 2 b
1 入（
J_4 —2 =2 - . -根据基本定理有］，解方程得入=（=—，可得DN = - （b—a）
2 = 2
21. （本小题满分15分）对于两个向量a, b,求证：旧—|b||w |a+ b|w |a|+ |b|.
【证明】（1 ）若a、b中有一个为0时，不等式显然成立.
（2）若a, b都不等于0时，作OA = a, AB = b,
则OB = a+ b.
①当a、b不共线时，如图（1）有
II OA|-I AB II 汁|b|. ②当a、b共线时 1°若a、b同向，如图（2）有 |OB|= |OA| + |AB| 即：|a+ b|= |a| + |b|. 2。若a, b反向时，如图（3）有||oA|—|A B||=|0B| 即：||a|—|b||= |a + b| 综上可知： ||a |—|b||w|a + b|w|a|+ |b|. <^-5i---------- r （3）