2013年北京高考理科数学试题及答案
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2013年普通高等学校招生全国统一测试
数 学（理）（北京卷）
本试卷共5页，150分，测试时长120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．测试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
（1）已知集合{}101A =-，
，，{}|11B x x =-<≤，则A B = A ．{}0 B ．{}10-，
C ．{}01，
D ．{}101-，
， （2）在复平面内，复数()2
2i -对应的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
（3）“π?=”是“曲线()sin 2y x ?=+过坐标原点”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
（4）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为
A ．1
B ．
2
3
C ．
1321 D ．610987
（5）函数()f x 的图象向右平移1个单位长度，所得图象和曲线e x y =关于y 轴对称，则()f x =
A ．1e x +
B ．1e x -
C ．1e x -+
D ．1e x --
（6）若双曲线22
221x y a b
-=3
A ．2y x =±
B ．2y x =±
C ．1
2
y x =±
D ．2y = （7）直线l 过抛物线2:4C x y =的焦点且和y 轴垂直，则l 和C 所围成的图形的面积等于
A ．
43
B ．2
C ．8
3
D 162
（8）设关于x ，y 的不等式组21000x y x m y m -+>??
+?
，，表示的平面区域内存在点()00P x y ，，满足
否
是结束
输出S i ≥2i =i +1S =S 2+12S +1
i =0, S =1
开始
0022x y -=，求得m 的取值范围是
A ．43??-∞ ???，
B ．13?
?-∞ ??
?， C ．23??-∞- ???， D ．53??-∞- ?
??， 第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
（9）在极坐标系中，点π26?
? ??
?，到直线sin 2ρθ=的距离等于 ．
（10）若等比数列{}n a 满足2420a a +=，3540a a +=，则公比q = ；前n 项
和n S = ．
（11）如图，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 和圆O 相交于D ，若3PA =，
:9:16PD DB =，则PD = ，AB = ．
（12）将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是 ．
（13）向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若()c a b λμλμ=+∈R ，，则
λ
μ
= ． （14）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在线段1D E 上，点P 到直线1CC 的距离的最小值为 ． 三、解答题共6小题，共50分．解答应写出文字说明，演算步骤
（15）本小题共（13分）
在ABC △中，3a =，26b =2B A ∠=∠． （Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求c 的值． （16）（本小题共13分）
下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月15日中的某一天到达该市，并停留2天．
B
D O
a
b
c
E
P D B 1
B 1
A 1
空气质量指数
日期
37
79
86
158121
160217
40
160
220
143
57
25
86
100150200250
（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率；
（Ⅱ）设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列和数学期望； （Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明） （17）（本小题共14分）
如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA C C 是边长为4的正方形．平面ABC ⊥平面11AA C C ，3AB =，5BC =．
（Ⅰ）求证：1AA ⊥平面ABC ；
（Ⅱ）求证二面角111A BC B --的余弦值；
（Ⅲ）证明：在线段1BC 上存在点D ，使得1AD A B ⊥，并求1
BD
BC 的值. （18）（本小题共13分） 设l 为曲线ln :x
C y x
=
在点()1,0处的切线． （Ⅰ）求l 的方程；
（Ⅱ）证明：除切点()1,0之外，曲线C 在直线l 的下方． （19）（本小题共14分）
已知,,A B C 是椭圆2
2:14
x W y +=上的三个点，O 是坐标原点.
（Ⅰ）当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积; （Ⅱ）当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由. （20）（本小题共13分）
已知{}n a 是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为n A ，第n 项之后各项12
,n n a a ++的最小值记为n B ，n n n d A B =-．
（Ⅰ）若{}n a 为2,1,4,3,2,1,4,3…，是一个周期为4的数列（即对任意*n ∈N ，4n n a a +=）
，C 1
B 1
A 1
A B
C
写出1234,,,d d d d 的值;
（Ⅱ）设d 是非负整数，证明：()1,2,3n d d n =-=的充分必要条件为{}n a 是公差为d
的等差数列;
（Ⅲ）证明：若12a =，()11,2,3,n d n ==，则{}n a 的项只能是1或者2，且有无穷多
项为1.
要使可行域存在，必有m<－2m+1，要求可行域
内包含直线
1
1
2
y x
=
-上的点，只要边界点(－m，1－2m)在直线
1
1
2
y x
=-上方，且(-m，m)在直线
1
1
2
y x
=-下方，解不等式组
12
1
121
2
1
1
2
m m
m m
m m
?
?<-
?
?
->--
?
?
?
<--
??
得m＜
2
3
-