xx高中自主招生必做试卷(数学)含答案
【关键字】方案、情况、矛盾、自主、关系、满足
2018高中自主招生必做试卷（数学）
（满分150分 时间120分钟）
一、选择题（每题4分，共40分）
1、在－|－3|3，－(－3)3，(－3)3，－33中，最大的是 ( ) A 、－|－3|3 B 、－(－3)3 C 、(－3)3 D 、－33
2、已知
114a b -=，则
2227a ab b
a b ab ---+的值等于 （ ） A 、215 B 、2
7
- C 、6- D 、6
3、如图，在Rt △ABC 内有边长分别为,,a b c 的三个正方形，则,,a b c 满足的关系式是 （ ） A 、b a c =+ B 、b ac = C 、222b a c =+ D 、22b a c ==
4、a 、b 是有理数，如果,b a b a +=-那么对于结论：(1)a 一定不是负数；(2)b 可能是负数，其中 ( ) A 、只有(1)正确 B 、只有(2)正确
C 、(1)，(2)都正确
D 、(1)，(2)都不正确
5、已知关于x 的不等式组??
?
??<≥-203b
x a x 的整数解有且仅有4个：-1，0，1，2，那么适合这个不等式组的所 有可能的整数对(a,b)的个数有 ( )
A 、1
B 、2
C 、4
D 、6
6、如图，表示阴影区域的不等式组为 ( ) 2x +.y ≥5， 2x + y ≤5， 2x +.y ≥5， 2x + y ≤5， A 、 3x + 4y ≥9， B 、 3x + 4y ≥9， C 、 3x + 4y ≥9， D 、 3x + 4y ≤9， y ≥0 x ≥0 x ≥0 y ≥0
7、如图，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF 、CE 交于点G ，则
ABCD
AGCD S S 矩形四边形等于 ( )
A 、
43 B 、5
4 C 、32 D 、6
5 8、若b x ax x x +++-732234能被22-+x x 整除则a ：b 的值是 （ ） A 、-2 B 、-12 C 、
6 D 、4
9、在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝9，点E 、F 分别在BC 、AD 上，且BE ＝6，DF ＝4，AE 、FC 相交于点G ，GH ⊥AD ，交AD 的延长线于点H ，则GH 的长为 （ ） A 、16 B 、20 C 、24 D 、28 10、若a 与b 为相异实数，且满足：
21010=+++a b b a b a ，则b
a
＝ （ ）
A 、0.6
B 、0.7
C 、0.8
D 、0.9
二、填空题（每题5分，共20分）
A B C D
E F
G
第3题图 第9题图 第7题图
第6题图 学校 姓名 考号
装 订 线 外 请 不 要 答 题
11、已知,αβ是方程2210x x +-=的两根，则3510αβ++的值为
12、在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式2222x y x y +≤+的整数点坐标（,x y ）的个数为 13、今年参加考试的人数比去年增加了30%，其中男生增加了20%，女生增加了50%。设今年参加考试的
总人数为a ，其中女生人数为b ，则
b
a
= 14、在等腰直角△ABC 中，AB ＝BC ＝5，P 是△ABC 内一点，且PA ＝5，PC ＝5，则PB ＝ ．
三、解答题（共90分）
15、（12分）因式分解：224443x x y y --+-
16、（14分）如图，抛物线y =ax 2-5ax +4（a ＜0）经过△ABC 的三个顶点，已知BC ∥x 轴，点A 在x 轴上，
点C 在y 轴上，且AC =BC ． （1）求抛物线的解析式．
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M ，使|MA -MB |最大？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说
明理由．
17、（15分）如图所示，有一张长为3、宽为1的长方形纸片，现要在这张纸片上画两个小长方形，使小
长方形的每条边都与大长方形的一边平行，并且每个小长方形的长与宽之比也都为3:1，然后把它们
剪下，这时，所剪得的两张小长方形纸片的周长之和有最大值．求这个最大值． 18、（15分）如图，在以O 为圆心的圆中，弦CD 垂直于直径AB ，垂足为H ，弦BE 与半径OC 相交于点
F ，且OF=FC ，弦DE 与弦AC 相交于点G. （1）求证：AG=GC ； （2）若AG=3，AH ：AB=1：3，求△CD
G 的面积与△BOF 的面积.
19、（16分）已知直角三角形ABC 和ADC 有公共斜边AC ，M 、N 分别是AC ，BD 中点，且M 、N 不重合．
（1）线段MN 与BD 是否垂直?请说明理由． （2）若∠BAC = 30°，∠CAD = 45°，AC = 4，求MN 的长 . 20、（18分）已知实数,,a b c 满足：2,4a b c abc ++==。 （1）求,,a b c 中最大者的最小值； （2）求a b c ++的最小值。
参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B
D
A
A
D
B
C
A
B
C
二、填空题（每题5分，共20分）
11、2- 12、9 13、5
13
14、10 三、解答题（本题6小题，共90分）
15、224443x x y y --+-22(441)(44)x x y y =-+--+ …………6分
= (2x+y-3)(2x-y+1) …………12分
16、解：（1）令x =0，则y =4，∴点C 的坐标为（0，4）， …………1分
B x A
y O C
不 要 答 题
17、要考虑的不同画线方案，可归纳为如下4类：
（1）如图（1），其周长和=11
2(212)5.33
??+?= …………3分
（2）如图（2），其周长和=[]2(3)2(1)3(1)8.x x x x ++-+-= …………6分 （3）如图（3），其周长和=8. …………9分
（4）如图（4），其周长和=3162(3)2(3)8.33
x x x x x -?
?++-+
=+???? ∵031x <≤，1
0.3
x <≤
∴当13x =时，周长和有最大值7
9.9 …………14分
综上所述，剪得的两个小长方形周长之和的最大值为7
9.9
…………15分
18、（1）证明：连接AD ，BC ，BD ∵AB 是直径，AB ⊥CD,
∴BC=BD ，∠CAB=∠DAB, ∴∠DAG=2∠CAB, ∵∠BOF=2∠CAB, ∴∠BOF=∠DAG ,
又∵∠OBF=∠ADG, ∴△BOF ∽△DAG , ∴OB DA
OF AG
=
, ∵OB=OC=2OF,∴
2DA
AG
=, 又∵AC=DA ，∴AC=2AG , ∴AG=GC; …………7分 （2）解：连接BC ，则∠BCA=90°， 又∵CH ⊥AB,
∴2AC AH AB =,
∵222,:1:3AC AG AH AB === ∴21(23),3
AB AB = ∴AB=6，∴AH=2，
∴CH=22,∴S △ACD =1124242,2
2
CD AH =??=
又∵AG=CG ，∴S △CDG = S △DAG =1
2
S △ACD =22, …………11分 ∵△BOF ∽△DAG , ∴23(),4
BOF DAG S OB S AD == ∴S △BOF =
32
. …………15分 19、（1）证明：如图（1）当B,D 在AC 异侧时，连接BM,DM
如图（2）当B,D 在AC 同侧时同理可证MN BD ⊥ …………6分 （2）如图三：连接BM 、MD ，延长DM ，过B 作DM 延长线的垂线段BE ， 则可知在Rt △BEM 中，∠EMB=30°， ∵AC=4，∴BM=2，∴BE=1，EM=3，MD=2，
从而可知 BD=1223+
=+2
（2+3），∴BN=23+ 由Rt △BMN 可得：
MN=262
223--=-=
2
（2+3）（不化简不扣分） …………11分 如图四：连接BM 、MD ，延长AD ，过B 作垂线BE ，
∵M 、N 分别是AC 、BD 中点，∴MD=12AC ，MB=12
AC ， ∴MD=MB ∵∠BAC=30°，∠CAD=45°， ∴∠BMC=60°，∠DMC=90°， ∴∠BMD=30°，∴∠BDM=
18030
752
-= ∵∠MDA=45°，∴∠EDB=180°-∠BDM -∠MDA=60° 令ED=x ，则BE=3x ，AD=22，AB=23 ∴由Rt △ABE 可得：222(23)(3)(22)x x =++， 解得23x =-，则BD=223-
∵M 、N 分别是AC 、BD 中点
∴MD=2，由Rt △MND 可得：
（不化简不扣分） …………16分 20、解：（1）由题意不妨设a 最大，即,,0.a b a c a ≥≥>且42,.b c a bc a
+=-= ∴ b 、c 是方程24
(2)0x a x a
--+=的两实根 △24(2)40a a
=--?≥ ∴2(4)(4)0a a +-≥
∴4a ≥（当4a =时，1b c ==-满足题意） ……………9分 （2）∵0abc > ∴,,a b c 全大于0，或一正二负
若,,a b c 均大于0，由（1）知，,,a b c 最大者不小于4，这与2a b c ++=矛盾，故此情况不存在 故,,a b c 为一正二负，不妨设0,0,0a b c ><<
(2)226a b c a b c a a a ++=--=--=-≥（当4a =时成立）
所以a b c ++最小值为6 …………18分