【数学导航】2016届高考数学大一轮复习 第三章 三角函数、解三
角形同步练习 文
第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数
1.了解任意角的概念.
2.了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化. 3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义
.
1.角的概念的推广
(1)定义:角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.
(2)分类???
?
?
按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.
(3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S ={β|β=α+k 2360°,k ∈Z }.
2.弧度制的定义和公式
(1)定义:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.弧度记作rad. (2)公式:
角α的弧度数公式 |α|=l
r
(弧长用l 表示) 角度与弧度的换算
①1°=π180rad ②1 rad =? ??
??180π°
弧长公式 弧长l =|α|r
扇形面积公式 S =12lr =12
|α|r 2
3.任意角的三角函数 三角函数
正弦
余弦
正切
定义
设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P (x ,y ),那么
y 叫做α的正弦,记作sin α
x 叫做α的余弦,记
作cos α
y
x
叫做α的正切,记作tan α
各
象限符号
Ⅰ + + +
Ⅱ + - - Ⅲ - - + Ⅳ -
+
-
口诀
Ⅰ全正,Ⅱ正弦,Ⅲ正切,Ⅳ余弦
三角函 数线
有向线段
MP 为正弦线
有向线段
OM 为余弦线
有向线段
AT 为正切线
1.三角函数值的符号规律
三角函数值在各象限的符号规律概括为:一全正、二正弦、三正切、四余弦. 2.三角函数的定义及单位圆的应用技巧
(1)在利用三角函数定义时,点P 可取终边上异于原点的任一点,如有可能则取终边与单位圆的交点,|OP |=r 一定是正值.
(2)在解简单的三角不等式时,利用单位圆及三角函数线是一个小技巧.
1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“3”) (1)小于90°的角是锐角.( ) (2)锐角是第一象限角,反之亦然.( ) (3)三角形的内角必是第一、第二象限角.( ) (4)不相等的角终边一定不相同.( ) (5)终边相同的角的同一三角函数值相等.( )
(6)点P (tan α,cos α)在第三象限,则角α终边在第二象限.( )
(7)α∈?
????0,π2,则tan α>α>sin α.( )
(8)α为第一象限角,则sin α+cos α>1.( )
答案: (1)3 (2)3 (3)3 (4)3 (5)√ (6)√ (7)√ (8)√
2.如图,在直角坐标系xOy 中,射线OP 交单位圆O 于点P ,若∠AOP =θ,则点P 的坐标是( )
A .(cos θ,sin θ)
B .(-cos θ,sin θ)
C .(sin θ,cos θ)
D .(-sin θ,cos θ)
解析: 由三角函数的定义可知,点P 的坐标是(cos θ,sin θ). 答案: A
3.若sin α<0且tan α>0,则α是( ) A .第一象限角 B .第二象限角 C .第三象限角
D .第四象限角
解析: 由sin α<0,知α在第三、第四象限或α终边在y 轴的负半轴上,由tan α>0,知α在第一或第三象限,因此α在第三象限.
答案: C
4.若点P 在2π
3角的终边上,且P 的坐标为(-1,y ),则y 等于________.
解析: 因tan 2π
3=-3=-y ,∴y = 3.
答案:
3
5.下列与9π
4
的终边相同的角的表达式中正确的是________(填序号).
①2k π+45°(k ∈Z );②k 2360°+9π4(k ∈Z );③k 2360°-315°(k ∈Z );④k π+
5π
4(k ∈Z ).
解析: ∵9π4=9
43180°=360°+45°=720°-315°,
∴与9π
4终边相同的角可表示为k 2360°-315°(k ∈Z ).
答案: ③
象限角及终边相同的角自主练透型
1.若α=k 2180°+45°(k ∈Z ),则α在( ) A .第一或第三象限 B .第一或第二象限
C .第二或第四象限
D .第三或第四象限
解析: 当k =2n (n ∈Z )时,α=2n 2180°+45°=n 2360°+45°,α为第一象限角.
当k =2n +1(n ∈Z )时,α=(2n +1)2180°+45°=n 2360°+225°,α为第三象限角.
所以α为第一或第三象限角.故选A . 答案: A
2.(1)写出终边在直线y =3x 上的角的集合;
(2)若角θ的终边与6π7角的终边相同,求在[0,2π)内终边与θ
3角的终边相同的角;
(3)已知角α为第三象限角,试确定-α、2α的终边所在的象限. 解析: (1)∵在(0,π)内终边在直线y =3x 上的角是π
3
,
∴终边在直线y =3x 上的角的集合为?
???
??
???
?α
?
??
α=π3+k π,k ∈Z . (2)∵θ=6π
7+2k π(k ∈Z ),
∴θ3=2π7+2k π3
(k ∈Z ). 依题意0≤2π7+2k π3<2π?-37≤k <187
,k ∈Z .
∴k =0,1,2,即在[0,2π)内终边与θ3相同的角为2π7,20π21,34π
21.
(3)∵π+2k π<α<3π
2+2k π(k ∈Z ),
∴-3π
2-2k π<-α<-π-2k π(k ∈Z ).
∴-α终边在第二象限.
∴2π+4k π<2α<3π+4k π(k ∈Z ).
∴角2α的终边在第一、二象限及y 轴的非负半轴.
1.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写出与
这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角.
2.利用终边相同的角的集合S ={β|β=2k π+α,k ∈Z }判断一个角β所在的象限时,只需把这个角写成[0,2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和,然后判断角α的象限.
扇形的弧长及面积公式自主练透型
已知一扇形的圆心角是α,半径为R ,弧长为l . (1)若α=60°,R =10 cm ,求扇形的弧长l ; (2)已知扇形的周长为10,面积是4,求扇形的圆心角;
(3)若扇形周长为20 cm ,当扇形的圆心角α为多少弧度时,这个扇形的面积最大? 解析: (1)α=60°=π
3 rad ,
∴l =α2R =π3310=10π
3(cm).
(2)设圆心角是θ,半径是r , 则????
?
2R +R θ=1012
θ2R 2
=4??
??
??
R =1,
θ=8(舍去),?
???
?
R =4,θ=1
2.故扇形圆心角为1
2
.
(3)由已知得,l +2R =20.
所以S =12lR =12(20-2R )R =10R -R 2=-(R -5)2
+25,
所以当R =5时,S 取得最大值25, 此时l =10,α=2.
应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度.
(2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使问题得到解决.
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.
三角函数的定义分层深化型
(1)(20142全国卷Ⅰ)若tan α>0,则( ) A .sin 2α>0 B .cos α>0 C .sin α>0
D .cos 2α>0
(2)已知角α的终边上一点P (-3,m )(m ≠0),且sin α=2m
4
,求cos α,tan α的值.
解析: (1)∵tan α>0,∴α∈? ????k π,k π+π2(k ∈Z )是第一、三象限角. ∴sin α,cos α都可正、可负,排除B ,C . 而2α∈(2k π,2k π+π)(k ∈Z ), 结合正、余弦函数图象可知,A 正确.
取α=π
4,则tan α=1>0,而cos 2α=0,故D 不正确.
(2)设P (x ,y ).由题设知x =-3,y =m , ∴r 2
=|OP |2
=(-3)2
+m 2
(O 为原点),r =3+m 2
, ∴sin α=m r
=
2m 4=m 22
, ∴r =3+m 2
=22,3+m 2
=8,解得m =± 5. 当m =5时,r =22,x =-3,y =5, ∴cos α=-322=-64,tan α=-15
3;
当m =-5时,r =22,x =-3,y =-5, ∴cos α=-322=-64,tan α=15
3.
答案: (1)A
1.已知点P (sin α-cos α,tan α)在第一象限,则在[0,2π]内,α的取值范围是( )
A .? ????π2
,3π4∪? ????π,5π4
B .? ????π4,π2∪?
????π,5π4
C .? ????π2
,3π4∪? ????5π4,3π2
D .? ????π4,π2∪? ??
??3π4,π
解析: 由已知得?
??
??
sin α-cos α>0,
tan α>0,α∈[0,2π],
∴?????
π4<α<5π
4,0<α<π2或π<α<3π
2
.
故α∈? ????π4,π2∪? ????π,5π4.
答案: B
2.若角α的终边过点P (-8m ,-6sin 30°),且cos α=-4
5,则m 的值为________.
解析: ∵r =64m 2
+9,∴cos α=-8m
64m 2
+9
=-4
5, ∴m >0,4m 2
64m 2+9=125,∴m =1
2.
答案: 1
2
3.若角α的终边在直线3x +4y =0上,求sin α,cos α,tan α的值. 解析: 设α终边上任一点为P (-4a,3a ),
当a >0时,r =5a ,sin α=35,cos α=-45,tan α=-3
4,
当a <0时,r =-5a ,sin α=-35,cos α=45,tan α=-3
4
.
4.(20142全国卷Ⅰ)如图,圆O 的半径为1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角x 的始边为射线OA ,终边为射线OP ,过点P 作直线OA 的垂线,垂足为M .将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x ),则y =f (x )在[0,π]的图象大致为( )
解析: 以O 为坐标原点,射线OA 为x 轴的正方向,建立坐标系.
则P (cos x ,sin x ),M (cos x,0),故M 到直线OP 的距离为f (x )=|sin x 2cos x |=
1
2|sin 2x |,x ∈[0,π],故选C .
答案: C
用定义法求三角函数值的两种情况
(1)已知角α终边上一点P 的坐标,则可先求出点P 到原点的距离r ,然后用三角函数的定义求解;
(2)已知角α的终边所在的直线方程,则可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点的距离,然后用三角函数的定义来求相关问题.
A 级 基础训练
1.集合{α|k π+π4≤α≤k π+π
2
,k ∈Z }中的角的终边所在的范围(阴影部分)是(
)
解析: 当k =2n 时,2n π+π4≤α≤2n π+π2;当k =2n +1时,2n π+π+π4
≤α≤2n π+π+π
2
.故选C .
答案: C
2.将表的分针拨快10分钟,则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( ) A .π
3
B .π6
C .-π3
D .-π6
解析: 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转,为负角,故A 、B 不正确,又因为拨快10分钟,故应转过的角为圆周的1
6
.
即为-1632π=-π3.
答案: C
3.已知α是第二象限角,P (x ,5)为其终边上一点,且cos α=2
4
x ,则x =( ) A . 3 B .± 3 C .- 2
D .- 3
解析: 依题意得cos α=x x 2+5=2
4
x <0,由此解得x =-3,选D . 答案: D
4.给出下列各函数值:①sin(-1 000 °);②cos(-2 200°);③tan(-10);④sin 7π
10
cos π
tan
17π9
.其中符号为负的是( )
A .①
B .②
C .③
D .④
解析: sin(-1 000°)=sin 80°>0;cos(-2 200°)=cos(-40°)=cos 40°>0;tan(-10)=tan(3π-10)<0;
sin 7π10cos πtan 17π9=-sin
7π10tan
17π9,sin 7π10>0,tan 17π
9<0,∴原式>0.
答案: C
5.若sin αtan α<0,且cos α
tan α<0,则角α是( )
A .第一象限角
B .第二象限角
C .第三象限角
D .第四象限角
解析: 由sin αtan α<0可知sin α,tan α异号,从而α为第二或第三象限角. 由
cos α
tan α
<0可知cos α,tan α异号,从而α为第三或第四象限角. 综上可知,α为第三象限角. 答案: C
6.已知扇形的圆心角为π6,面积为π
3,则扇形的弧长等于________.
解析: 设扇形半径为r ,弧长为l ,则?????
l r =π
6
12lr =π
3,
解得?????
l =
π3r =2.
答案:
π
3
7.如图所示,在平面直角坐标系xOy 中,角α的终边与单位圆交于点A ,点A 的纵坐标为4
5
,则cos α=
________.
解析: 因为A 点纵坐标y A =4
5,且A 点在第二象限,又因为圆O 为单位圆,
所以A 点横坐标x A =-3
5,
由三角函数的定义可得cos α=-3
5.
答案: -3
5
8.设角α是第三象限角,且??????sin α2=-sin α2,则角α2是第________象限角. 解析: 由α是第三象限角,知2k π+π<α<2k π+
3π2(k ∈Z ),k π+π2<α2 4 (k ∈Z ),知α2是第二或第四象限角,再由??????sin α2=-sin α2知sin α2<0,所以α2只能是 第四象限角. 答案: 四 9.已知角θ的终边上有一点P (x ,-1)(x ≠0),且tan θ=-x ,求sin θ+cos θ的值. 解析: ∵θ的终边过点(x ,-1)(x ≠0), ∴tan θ=-1 x . 又tan θ=-x , ∴x 2 =1,即x =±1. 当x =1时,sin θ=- 22,cos θ=22 . 因此sin θ+cos θ=0; 当x =-1时,sin θ=- 22,cos θ=-2 2 , 因此sin θ+cos θ=- 2. 故sin θ+cos θ的值为0或- 2. 10.已知α=π 3 . (1)写出所有与α终边相同的角; (2)写出在(-4π,2π)内与α终边相同的角; (3)若角β与α终边相同,则β 2是第几象限角? 解析: (1)所有与α终边相同的角可表示为 ? ????? ??? ?θ? ?? θ=2k π+π3,k ∈Z . (2)由(1),令-4π<2k π+π 3 <2π(k ∈Z ), 则有-2-16<k <1-1 6 . 又∵k ∈Z ,∴取k =-2,-1,0. 故在(-4π,2π)内与α终边相同的角是-11π3、-5π3、π 3. (3)由(1)有β=2k π+π3(k ∈Z ),则β2=k π+π 6(k ∈Z ). ∴β 2 是第一、三象限的角. B 级 能力提升 1.已知角α=2k π-π5(k ∈Z ),若角θ与角α的终边相同,则y =sin θ|sin θ|+ cos θ |cos θ|+ tan θ |tan θ|的值为( ) A .1 B .-1 C .3 D .-3 解析: 由α=2k π-π 5(k ∈Z ),及终边相同的概念知,角α的终边在第四象限, 又角θ与角α的终边相同, 所以角θ是第四象限角, 所以sin θ<0,cos θ>0,tan θ<0. 所以y =-1+1-1=-1. 答案: B 2.满足cos α≤-1 2 的角α的集合为________. 解析: 作直线x =-1 2交单位圆于C 、D 两点,连接OC 、OD ,则OC 与OD 围成的区域(图 中阴影部分)即为角α终边的范围,故满足条件的角α的集合为 ? ????? ??? ?α? ?? 2k π+23π≤α≤2k π+43π,k ∈Z . 答案: ? ??? ?? ??? ?α ? ?? 2k π+23π≤α≤2k π+43π,k ∈Z 3.已知扇形AOB 的周长为8. (1)若这个扇形的面积为3,求圆心角的大小; (2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB . 解析: 设扇形AOB 的半径为r ,弧长为l ,圆心角为α, (1)由题意可得???? ? 2r +l =8,1 2 lr =3, 解得??? ?? r =3, l =2 或????? r =1, l =6, ∴α=l r =23或α=l r =6. (2)∵2r +l =8, ∴S 扇=12lr =14l 22r ≤14? ????l +2r 22=143? ????822=4,当且仅当2r =l ,即α=l r =2时,扇形面积取得最大值4. ∴r =2, ∴弦长AB =2sin 132=4sin 1. 4.(1)确定tan -3 cos 82tan 5 的符号; (2)已知α∈(0,π),且sin α+cos α=m (0 解析: (1)∵-3,5,8分别是第三、第四、第二象限角, ∴tan(-3)>0,tan 5<0,cos 8<0,∴原式大于0. (2)若0<α<π 2 ,则如图所示,在单位圆中,OM =cos α,MP =sin α, ∴sin α+cos α=MP +OM >OP =1. 若α=π 2 ,则sin α+cos α=1. 由已知0 ??π2,π. 于是有sin α-cos α>0. 第二节 同角三角函数的基本关系及诱导公式 1.理解同角三角函数的基本关系式:sin 2α+cos 2 α=1,sin αcos α =tan α. 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π 2±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公 式. 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin 2 α+cos 2 α=1. (2)商数关系:tan α=sin α cos α. 2.六组诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 α+2k π(k ∈Z ) π+α -α π-α π 2-α π 2+α 正弦 sin α -sin_α -sin α sin α cos_α cos α 余弦 cos α -cos α cos_α -cos α sin α -sin_α 正切 tan α tan α -tan α -tan_α 1.诱导公式记忆口诀 对于角“ k π 2 ±α”(k ∈Z )的三角函数记忆口诀“奇变偶不变,符号看象限”,“奇变 偶不变”是指“当k 为奇数时,正弦变余弦,余弦变正弦;当k 为偶数时,函数名不变”.“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时,原函数值的符号.” 2.三角函数求值与化简的常用方法 (1)弦切互化法:主要利用公式tan α=sin α cos α 化成正、余弦. (2)和积转换法:利用(sin θ±cos θ)2 =1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化. (3)巧用“1”的变换:1=sin 2θ+cos 2θ=cos 2θ(1+tan 2 θ)=tan π4=…. 3.同角三角函数的基本关系式 sin α+cos α、sin α-cos α与sin αcos α的关系 (sin α±cos α)2 =1±2sin αcos α; (sin α+cos α)2 +(sin α-cos α)2 =2; (sin α+cos α)2 -(sin α-cos α)2 =4sin αcos α. 对于sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α这三个式子,已知其中一个式子的值,可求其余二式的值. 1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“3”) (1)sin 2 θ+cos 2 φ=1.( ) (2)同角三角函数的基本关系式中角α可以是任意角.( ) (3)六组诱导公式中的角α可以是任意角.( ) (4)诱导公式的口诀“奇变偶不变,符号看象限”中的“符号”与α的大小无 关.( ) (5)若sin(k π-α)=13(k ∈Z ),则sin α=1 3.( ) 答案: (1)3 (2)3 (3)√ (4)√ (5)3 2.tan 315°的值为( ) A . 3 B .- 3 C .1 D .-1 答案: D 3.若cos α=13,α∈? ????-π2,0,则tan α等于( ) A .- 24 B . 24 C .-2 2 D .2 2 答案: C 4.sin ? ?? ??-4π3=________. 解析: sin ? ????-4π3=-sin ? ????π+π3=sin π3=32. 答案: 3 2 5. sin 2π-α 2cos π-α cos ? ????5π2+αsin ? ?? ??5π2-α=________. 解析: 原式=sin -α 2 -cos α cos ? ????π2+αsin ? ????π2-α = sin αcos α -sin αcos α =-1. 答案: -1 利用诱导公式化简自主练透型 1.已知sin(θ+π)<0,cos(θ-π)>0,则下列不等关系中必定成立的是( ) A .sin θ<0,cos θ>0 B .sin θ>0,cos θ<0 C .sin θ>0,cos θ>0 D .sin θ<0,cos θ<0 解析: sin(θ+π)<0,∴-sin θ<0,sin θ>0. ∵cos(θ-π)>0,∴-cos θ>0.∴cos θ<0. 答案: B 2.已知A =sin k π+α sin α+cos k π+α cos α(k ∈Z ),则A 的值构成的集合是( ) A .{1,-1,2,-2} B .{-1,1} C .{2,-2} D .{1,-1,0,2,-2} 解析: 当k 为偶数时,A = sin αsin α+cos α cos α =2; k 为奇数时,A = -sin αsin α-cos α cos α =-2. 答案: C 3.化简: tan π+α cos 2π+α sin ? ?? ??α- 3π2cos -α-3π sin -3π-α =________. 解析: 原式=tan αcos αsin ??????-2π+? ????α+π2cos 3π+α [-sin 3π+α ] = tan αcos αsin ? ??? ?π 2 +α -cos α sin α = tan αcos αcos α -cos α sin α =-tan αcos αsin α=-sin αcos α2cos αsin α=-1. 答案: -1 利用诱导公式化简三角函数的原则 遵循诱导公式先行的原则,即先用诱导公式化简变形,达到角的统一,再进行三角函数名称转化,以保证三角函数名称最少. 利用诱导公式求值互动讲练型 (1)已知sin ? ????π3-α=12,则cos ? ?? ??π6+α=________; (2)sin(-1 200°)cos 1 290°+cos(-1 020°)2sin(-1 050°)=________. 解析: (1)∵? ????π 3-α +? ?? ??π6+α=π2, ∴cos ? ????π6+α=cos ??????π2-? ????π3 -α =sin ? ?? ??π3-α=12. (2)原式=-sin 1 200°cos 1 290°-cos 1 020°2sin 1 050° =-sin(33360°+120°)cos(33360°+210°)-cos(23360°+300°)2sin(23360°+330°) =-sin 120°cos 210°-cos 300°sin 330° =-sin(180°-60°)cos(180°+30°)-cos(360°-60°)2sin(360°-30°)=sin 60°cos 30°+cos 60°sin 30°= 32332+1231 2 =1. 答案: (1)1 2 (2)1 1.已知tan ? ????π6-α=33,则tan ? ????56π+α=________. 解析: ∵? ????π6-α+? ?? ? ?5π6+α=π, ∴tan ? ????56π+α=-tan ???? ??π-? ????56π+α =-tan ? ????π6-α=-33. 答案: - 3 3 2.求值:sin 690°2sin 150°+cos 930°2cos(-870°)+tan 120°2tan 1 050°. 解析: 原式=sin(720°-30°)2sin(180°-30°)+cos(1 080°-150°)2cos(720°+150°)+tan(180°-60°)2tan(1 080°-30°) =-sin 30°sin 30°+cos 150°cos 150°+tan 60°tan 30° =-14+34+1=32 . 1.诱导公式应用的步骤: 任意负角的三角函数→ 任意正角的三角函数 → 0~2π的角的三角函数 →锐角三角函数 注意:诱导公式应用时不要忽略了角的范围和三角函数的符号. 2.巧用相关角的关系会简化解题过程.常见的互余关系有π3-α与π6+α;π 3+α与 π6-α;π4+α与π4-α等,常见的互补关系有π3+θ与2π3-θ;π4+θ与3π 4 -θ等. 同角三角函数基本关系式分层深化型 (1)若tan α=2,则sin α+cos αsin α-cos α+cos 2 α=( ) A .16 5 B .-165 C .85 D .-85 (2)已知-π2 5 ,则sin x -cos x 的值为________. 解析: (1)sin α+cos αsin α-cos α+cos 2 α=sin α+cos αsin α-cos α+cos 2 αsin 2α+cos 2 α=tan α+1tan α-1+ 1tan 2 α+1=165 . (2)由sin x +cos x =1 5 , 平方得sin 2x +2sin x cos x +cos 2 x =125, 即2sin x cos x =-24 25 , ∴(sin x -cos x )2 =1-2sin x cos x =4925 . 又∵-π 2 故sin x -cos x =-7 5. 答案: (1)A (2)-7 5 1.已知tan α=2,则(1) 4sin α-2cos α 5sin α+3cos α =________. (2)3sin 2 α+3sin αcos α-2cos 2 α=________. 解析: (1)法一:∵tan α=2,∴cos α≠0, ∴4sin α-2cos α 5sin α+3cos α=4sin αcos α- 2cos α cos α5sin αcos α+ 3cos α cos α = 4tan α-25tan α+3=432-2532+3=6 13 . 法二:由tan α=2,得sin α=2cos α,代入得 4sin α-2cos α5sin α+3cos α=432cos α-2cos α532cos α+3cos α=6cos α13cos α=6 13. (2)3sin 2 α+3sin αcos α-2cos 2 α =3sin 2 α+3sin αcos α-2cos 2 αsin 2α+cos 2α=3tan 2 α+3tan α-2tan 2 α+1 =3322+332-222 +1=16 5. 答案: (1)613 (2)16 5 2.(20142湖北武汉模拟)已知sin(π-α)-cos(π+α)=23? ?? ??π 2<α<π,则sin α-cos α=________. 解析: 由sin(π-α)-cos(π+α)=23 , 得sin α+cos α= 2 3 ,① 将①两边平方得1+2sin α2cos α=2 9, 故2sin αcos α=-7 9 . ∴(sin α-cos α)2 =1-2sin αcos α=1-? ????-79=169 , 又∵π 2<α<π,∴sin α>0,cos α<0. ∴sin α-cos α=4 3. 答案: 4 3 3.已知sin α+3cos α3cos α-sin α=5,则sin 2 α-sin αcos α=________. 解析: 依题意得:tan α+3 3-tan α=5,∴tan α=2. ∴sin 2 α-sin αcos α=sin 2 α-sin αcos α sin 2α+cos 2 α =tan 2α-tan αtan 2 α+1=22 -222+1=25. 答案: 25 4.(20142浙江杭州模拟)若θ∈? ?? ??π4,π2,sin 2θ=116,则cos θ-sin θ的值是 ________. 解析: (cos θ-sin θ)2 =1-sin 2θ=1516. ∵π4<θ<π 2 ,∴cos θ =- 15 4 . 答案: - 15 4 5.(20142山西山大附中5月月考)已知sin α-cos α=2,α∈(0,π),则tan α=( ) A .-1 B .- 22 C .2 2 D .1 解析: 由sin α-cos α=2及sin 2 α+cos 2 α=1,得(sin α-cos α)2 =1-2sin αcos α=2,即2sin αcos α=-1<0,故tan α<0,且2sin αcos α=2sin αcos αsin 2α+cos 2 α=2tan α1+tan 2 α =-1,解得tan α=-1(正值舍). 答案: A 6.在△ABC 中,若sin(2π-A )=-2sin(π-B ),3cos A =-2cos(π-B ),求△ABC 的三个内角. 解析: 由已知得sin A =2sin B ,3cos A =2cos B 两式平方相加得2cos 2 A =1. 即cos A = 22或cos A =-22 . (1)当cos A = 22时,cos B =3 2 ,又角A 、B 是三角形的内角, ∴A =π4,B =π6,∴C =π-(A +B )=7π 12. (2)当cos A =- 22时,cos B =-3 2 . 又角A 、B 是三角形的内角, ∴A =3π4,B =5π 6,不合题意. 综上知,A =π4,B =π6,C =7π 12 . 同角三角函数关系式及变形公式的应用: (1)利用sin 2α+cos 2 α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用sin αcos α=tan α 可以实现角α的弦切互化. (2)应用公式时注意方程思想的应用:对于sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α这三个式子,利用(sin α±cos α)2 =1±2sin αcos α,可以知一求二. A 级 基础训练 1.sin ? ????-π3+2sin 4π3+3sin 2π3等于( ) A .1 B .1 3 C .0 D .-1 解析: 原式=-sin π3-2sin π3+3sin π 3=0. 答案: C 2.已知cos ? ????π2-φ=32,且|φ|<π2,则tan φ=( ) A .- 3 3 B . 33 C .- 3 D . 3 解析: cos ? ????π2-φ=sin φ=32,