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平面向量与解三角形复习试题

平面向量与解三角形复习试题
平面向量与解三角形复习试题

平面向量与解三角形复习试题

23.解:如图,OC=OD+OE=λOA+μOB,

在△OCD中,∠COD=30°,∠OCD=∠COB=90°,

可求|OD|=4,

同理可求|OE|=2,

∴λ=4,μ=2,

∴λ+μ=6.

24.解:(1)由条件知:3a+2b=(7,7),

故|3a+2b|=72+72=72.

(2)a+kb=(3,1)+k(?1,2)=(3?k,1+2k),2a?b=(7,0).

∵(a+kb)∥(2a?b),

∴(3-k)?0-7(1+2k)=0,

解得k=?12

25.解:由A,B,C成等差数列,有2B=A+C(1)

因为A,B,C为△ABC的内角,所以A+B+C=π.

由(1)(2)得B=π3.(3)

由a,b,c成等比数列,有b2=ac(4)

由余弦定理及(3),可得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac

再由(4),得a2+c2-ac=ac,

即(a-c)2=0

因此a=c

从而A=C(5)

由(2)(3)(5),得A=B=C=π3

所以△ABC为等边三角形.

26.解:(Ⅰ)∵3acosC=csinA,

由正弦定理得:3sinAcosC=sinCsinA,

∵0<A<π,∴sinA>0,

∴3cosC=sinC,即tanC=3,

又0<C<π,∴C=π3;

(Ⅱ)∵a=3,△ABC的面积为332,

∴S=12absinC=12×3bsinπ3=332,

∴b=2,

由余弦定理得:c2=4+9-6=7,即c=7,cosA=22+(7)2?322×2×7=714,则CA?AB=bccos(π-A)=27×(-714)=-1.

27.解:(Ⅰ)∵在△ABC中,设AB=a,AC=b,

AP的中点为Q,BQ的中点为R,CR的中点恰为P.

AP=AR+AC2,AR=AQ+AB2,AQ=12AP,消去AR,AQ

∵AP=λa+μb,

可得AP=12(AQ+AB2)+12AC=14×12AP+14AB+12AC,

可得AP=27AB+47AC=λa+μb,

∴λ=27μ=47;

(Ⅱ)以AB,AC为邻边,AP为对角线,作平行四边形ANPM,

∵得AP=27AB+47AC,

∴S平行四边形ANPMS平行四边形ABC=|AN|?|AM|?sin∠CAB12|AB|?|AC|?sin∠CAB=2?|AN||AB|?|AM||AC|=2×27×47=1649;

28.解:因为ka+b=(k?3,2k+2),a?3b=(10,?4),当ka+b与a?3b平行时,

则(k-3)×(-4)-(2k+2)×10=0,解得:k=?13,

此时a?3b=(10,?4),ka+b=(k?3,2k+2)=(?13?3,2×(?13)+2)=(?103,43)=

-13(10,4)=-13(a-3b),所以,ka+b与a?3b反向.

29.解:(1)在△ABC中,

∵cos2A-cos2B=2cos(π6?A)cos(π6+A)=2(32cosA+12sinA)(32cosA-12sinA)

=2(34cos2A-14sin2A)=32cos2A-12sin2A=32-2sin2A.

又因为cos2A-cos2B=1-2sin2A-(2cos2B-1)=2-2sin2A-2cos2B,

∴2-2sin2A-2cos2B=32-2sin2A,∴cos2B=14,∴cosB=±12,

∴B=π3或2π3.

(2)∵b=3≤a,∴B=π3,

由正弦asinA=csinC=bsinB=332=2,得a=2sinA,c=2sinC,

故a-12c=2sinA-sinC=2sinA-sin(23π-A)=32sinA-32cosA=3sin(A-π6),

因为b≤a,所以π3≤A<23π,π6≤A-π6<π2,

所以a-12c=3sin(A-π6)∈[32,3).

30.解:(1)在△ABC中,

∵cos2A-cos2B=2cos(π6?A)cos(π6+A)=2(32cosA+12sinA)(32cosA-12sinA)

=2(34cos2A-14sin2A)=32cos2A-12sin2A=32-2sin2A.

又因为cos2A-cos2B=1-2sin2A-(2cos2B-1)=2-2sin2A-2cos2B,

∴2-2sin2A-2cos2B=32-2sin2A,∴cos2B=14,∴cosB=±12,

∴B=π3或2π3.

(2)∵b=3≤a,∴B=π3,

由正弦asinA=csinC=bsinB=332=2,得a=2sinA,c=2sinC,

故a-12c=2sinA-sinC=2sinA-sin(23π-A)=32sinA-32cosA=3sin(A-π6),

因为b≤a,所以π3≤A<23π,π6≤A-π6<π2,

所以a-12c=3sin(A-π6)∈[32,3).

三角函数与向量综合题练习

平面向量与三角函数综合练习 题型一三角函数平移与向量平移的综合 三角函数与平面向量中都涉及到平移问题,虽然平移在两个知识系统中讲法不尽相同,但它们实质是 一样的,它们都统一于同一坐标系的变化前后的两个图象中?解答平移问题主要注意两个方面的确定:(1)平移的方向;(2)平移的单位?这两个方面就是体现为在平移过程中对应的向量坐标 例1 把函数y = sin2x的图象按向量a = (- , —3)平移后,得到函数y = Asin( w x+ )(A > 0, w> 0 , 6 || = p的图象,贝U 和B的值依次为 题型二三角函数与平面向量平行(共线)的综合 此题型的解答一般是从向量平行(共线)条件入手,将向量问题转化为三角问题,然后再利用三角函数 的相关知识再对三角式进行化简,或结合三角函数的图象与民性质进行求解?此类试题综合性相对较强,有利于考查学生的基础掌握情况,因此在高考中常有考查 例2 已知A、B、C为三个锐角,且 A + B + C=n若向量8 = (2 —2sinA , cosA + si nA)与向量6 = (cosA —si nA , 1 + si nA)是共线向量. (I)求角A; 一 C —3B (n)求函数y = 2sin 2B + cos —;—的最大值? 题型三三角函数与平面向量垂直的综合 此题型在高考中是一个热点问题,解答时与题型二的解法差不多,也是首先利用向量垂直的充要条件 将向量问题转化为三角问题,再利用三角函数的相关知识进行求解.此类题型解答主要体现函数与方程的思想、转化的思想等.

已知向量 "a = (3sin a cos a ), "b = (2sin a, 5sin a — 4cos a , (I )求tan a 的值; a (n )求 cos ( +)的值. 2 3 题型四三角函数与平面向量的模的综合 此类题型主要是利用向量模的性质 |"|2 ="2,如果涉及到向量的坐标解答时可利用两种方法: (1) 先进行向量运算,再代入向量的坐标进行求解; (2)先将向量的坐标代入向量的坐标,再利用向量的坐标 运算进行求解? 5 v 3< 0 v av ,且 sin 3=— ,求 sin a 的值. 2 13 题型五 三角函数与平面向量数量积的综合 此类题型主要表现为两种综合方式: (1)三角函数与向量的积直接联系; (2)利用三角函数与向量的夹 角交汇,达到与数量积的综合 ?解答时也主要是利用向量首先进行转化,再利用三角函数知识求解 ? 例 5 设函数 f(x)=""其中向量"=(m , cosx) , " = (1 + sinx , 1), x € R ,且 f( ) = 2. (I)求 实数m 的值;(n )求函数f (x )的最小值. 六、解斜三角形与向量的综合 在三角形的正弦定理与余弦定理在教材中是利用向量知识来推导的,说明正弦定理、余弦定理与向量 有着密切的联系?解斜三角形与向量的综合主要体现为以三角形的角对应的三角函数值为向量的坐标, 要求 根据向量的关系解答相关的问题 ? b A A b 例6 已知角A 、B 、C 为△ABC 的三个内角,其对边分别为 a 、 b 、 c ,若m = (— cos ;, sin'), n = 妖(牛,2 n ,且b 已知向量 ""=(cos a ,sin a ), " = (cos B,sin 3, a — 3)的值;(n )若一- l " —= .(I )求 cos(

(浙江专用)高考数学二轮复习专题一三角函数与平面向量第2讲三角恒等变换与解三角形学案

第2讲 三角恒等变换与解三角形 高考定位 1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点,其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具,三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换,“角”的变换是三角恒等变换的核心;2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容,主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题. 真 题 感 悟 1.(2018·全国Ⅲ卷)若sin α=1 3,则cos 2α=( ) A.89 B.79 C.-79 D.-89 解析 cos 2α=1-2sin 2 α=1-2×? ????132 =7 9 . 答案 B 2.(2018·全国Ⅲ卷)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若△ABC 的面积为a 2+b 2-c 2 4 , 则C =( ) A.π2 B.π3 C.π4 D. π6 解析 根据题意及三角形的面积公式知12ab sin C =a 2 +b 2 -c 2 4,所以sin C =a 2 +b 2 -c 2 2ab =cos C ,所以在△ABC 中,C =π4 . 答案 C 3.(2018·浙江卷)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .若a =7,b =2,A =60°,则sin B =________,c =________. 解析 因为a =7,b =2,A =60°,所以由正弦定理得sin B =b sin A a =2× 3 27=21 7.由 余弦定理a 2 =b 2 +c 2 -2bc cos A 可得c 2 -2c -3=0,所以c =3. 答案 21 7 3 4.(2017·浙江卷)已知△ABC ,AB =AC =4,BC =2.点D 为AB 延长线上一点,BD =2,连接 CD ,则△BDC 的面积是________,cos ∠BDC =________.

人教版高一必修五解三角形单元试题及答案

高一必修5 解三角形单元测试题 1.在△ABC 中,sinA=sinB ,则必有 ( ) A .A=B B .A ≠B C .A=B 或A=C -B D .A+B= 2 π 2.在△ABC 中,2cosBsinA=sinC ,则△ABC 是 ( ) A .等边三角形 B .等腰三角形 C .直角三角形 D .等腰直角三角形 3.在ABC ?中,若 b B a A cos sin =,则B 的值为 ( ) A . 30 B . 45 C . 60 D . 90 4.在ABC ?中,bc c b a ++=2 2 2 ,则角A 等于 ( ) A .60° B .45° C .120° D .30° 5.在△ABC 中,b =, ,C=600,则A 等于 ( ) A .1500 B .750 C .1050 D .750或1050 6.在△ABC 中,A:B:C=1:2:3,则a:b:c 等于 ( ) A .1:2:3 B .3:2:1 C . 2: D . 7.△ABC 中,a=2,A=300,C=450,则S △ABC = ( ) A B . C 1 D .11)2 8.在ABC ?中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,则acosB+bcosA 等于 ( ) A . 2 b a + B . b C . c D .a 9.设m 、m +1、m +2是钝角三角形的三边长,则实数m 的取值范围是 ( ) A .0<m <3 B .1<m <3 C .3<m <4 D .4<m <6 10.在△ABC 中,已知a=x , A=450,如果利用正弦定理解这个三角形有两个解, 则x 的取值范围为 ( ) A . B .22 D .x<2 11.已知△ABC 中,A=600, ,c=4,那么sinC= ; 12.已知△ABC 中,b=3, B=300,则a= ; 13.在△ABC 中,|AB |=3,||=2,AB 与的夹角为60°,则|AB -|=____ __; 15.在ABC ?中,5=a , 105=B , 15=C ,则此三角形的最大边的长为__________;

专题二 三角函数与平面向量的综合应用

专题二 三角函数与平面向量的综合应用 (时间:45分钟 满分:100分) 一、选择题(每小题7分,共35分) 1.已知sin(2π-α)=45,α∈????3π2,2π,则sin α+cos αsin α-cos α 等于( ) A.17 B .-17 C .-7 D .7 2.如图,D 、 E 、 F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点,则( ) A .+BE →+CF →=0 B. -CF →+DF → =0 C .+CE →-CF →=0 D. -BE →-FC →=0 3.已知向量a =(2,sin x ),b =(cos 2x,2cos x ),则函数f(x)=a ·b 的最小正周期是( ) A.π2 B .π C .2π D .4π 4.已知a ,b ,c 为△ABC 的三个内角A ,B ,C 的对边,向量m =(3,-1),n =(cos A , sin A ).若m ⊥n ,且a cos B +b cos A =c sin C ,则角A ,B 的大小分别为( ) A.π6,π3 B.2π3,π6 C.π3,π6 D .π3,π3 5.已知向量OB →=(2,0),向量=(2,2),向量CA →=(2cos α,2sin α),则向量OA →与向 量OB →的夹角的取值范围是( ) A.????0,π4 B.??? ?π4,512π C.????512π,π2 D.??? ?π12,512π 二、填空题(每小题6分,共24分) 6.在直角坐标系xOy 中,已知点A (-1,2),B (2cos x ,-2cos 2x ),C (cos x,1),其中x ∈[0,π],若⊥,则x 的值为______. 7.如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AD ⊥AB ,AD =1,BC =2,AB =3,P 是BC 上的一个动点,当?PD PA 取得最小值时,tan ∠DP A 的值为 ________.

解三角形试题精选

解三角形试题精选(自我测试) 一、选择题:(每小题5分,计40分) 题号12345678 答案 1.已知△ABC 中,a =2,b =3,B =60°,那么角A 等于( ) (A )135° (B)90° (C)45° (D)30° 2.在ABC ?中,,75,45,30 ===C A AB 则BC =( ) A.33- B.2 C.2 D.33+ 3.在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,A =3 π,a = 3 ,b =1, 则c =( ) (A )1 (B )2 (C ) 3 —1 (D ) 3 4.在中,角A,B,C 的对应边分别为a,b,c,若2 2 2 3a c b ac +-=,则角B 的值为( ) A.6 π B.3 π C.6 π或 56 π D.3 π或 23 π 5.在△ABC 中,若 C c B b A a cos cos cos = = ,则△ABC 是( ) (A )直角三角形. (B )等边三角形. (C )钝角三角形. (D )等腰直角三角形. 6. A B C ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若a 、b 、c 成等 比数列,且2c a =,则cos B =( ) A .1 4 B .3 4 C . 24 D . 23 7.在ABC ?中,已知C B A sin cos sin 2=,那么ABC ?一定是( ) A .直角三角形 B .等腰三角形 C .等腰直角三角形 D .正三角形 8.△ABC 中,a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c 成等差数列,∠B=30°,△ABC 的面积为23 ,那么b =( )

向量和三角函数综合试题(卷)

向量与三角函数综合试题 1.已知向量a 、b 满足b ·(a-b)=0,且|a|=2|b|,则向量a +2b 与a 的夹角为 ( D ) A.3π B.3π2 C. 2π D.6π 2.已知向量),(n m =,)sin ,(cos θθ=,其中R n m ∈θ,,.若||4||=,则当2 λλ或2-<λ B .2>λ或2-<λ C .22< <-λ D .22<<-λ 3.已知O 为原点,点P (x ,y )在单位圆x 2 +y 2 =1上,点Q (2cos θ,2sin θ),且PQ =(3 4, -3 2),则·的值是 ( A ) A .18 25 B .9 25 C .2 D .9 16 4.R t t ∈+===,),20cos ,20(sin ,)25sin ,25(cos 0 0,则||的最小值是B A. 2 B. 22 C. 1 D. 2 1 5.如图,△ABC 中,AB=4,AC=4,∠BAC=60°,延长CB 到D ,使||||BA BD =u u u r u u u r ,当E 点在线段AD 上移动时,若,AE AB AC λμλμ=+-u u u r u u u r u u u r 则的最大值是( C ) A .1 B 3 C .3 D .236.已知向量(2,0)OB =u u u v ,向量(2,2)OC =u u u v ,向量22)CA αα=u u u v ,则向量OA u u u v 与向量OB uuu v 的夹角的取值围是( D ) A .[0, ]4π B .5[,]412ππ C .5[,]122ππ D .5[,]1212 ππ 7.已知向量(1,1),(1,1),(22)a b c θθ==-=r r r ,实数,m n 满足ma nb c +=r r r ,则 22(1)(1)m n -+-的最小值为( D ) A 21 B .1 C 2 D .322- 8.如图,BC 是单位圆A 的一条直径, F 是线段AB 上的点,且2BF FA =u u u r u u u r , 若DE 是圆A 中绕圆心A 运动的一条直径,则FD FE u u u r u u u r g 的值是( B ) B .)

平面向量与解三角形

第八单元平面向量与解三角形 (120分钟150分) 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.锐角△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c,若2c sin B=b,则角C的大小为 A.B.C.D. 解析:由正弦定理得2sin B==,∴sin C=,∴C=. 答案:A 2.若向量u=(3,-6),v=(4,2),w=(-12,-6),则下列结论中错误的是 A.u⊥v B.v∥w C.w=u-3v D.对任一向量,存在实数a,b,使=a u+b v 解析:因为u·v=0,所以u⊥v,显然w∥v,因为u与v不共线,所以对任意向量,存在实数a,b,使=a u+b v. 答案:C 3.在△ABC中,B=,三边长a,b,c成等差数列,且ac=6,则b的值是 A.B.C.D. 解析:因为2b=a+c,由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos B=(a+c)2-3ac,化简得b=. 答案:D 4.在△ABC中,AB=4,∠ABC=30°,D是边BC上的一点,且·=·,则·等于 A.—4 B.0 C.4 D.8 解析:由·=·,得·(-)=·=0,即⊥,所以||=2,∠BAD=60°,所以 ·=4×2×=4. 答案:C 5.在△ABC中,角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若a2+b2=2c2,则cos C的最小值为 A.B.C.D.-

解析:cos C==≥=,当且仅当a=b时等号成立. 答案:C 6.设A(a,1),B(2,b),C(4,3)为坐标平面上三点,O为坐标原点,若与在方向上的投影相同,则 a与b满足的关系式为 A.5a-4b=3 B.4a-3b=5 C.4a+5b=14 D.5a+4b=14 解析:由与在方向上的投影相同,可得·=·?(a,1)·(4,3)=(2,b)·(4,3),即4a+3=8+3b,4a-3b=5. 答案:B 7.在△ABC内,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若b sin B+a sin A=c sin C,c2+b2-a2=bc,则B等于 A.B.C.D. 解析:因为c2+b2-a2=bc,所以cos A==,所以cos A=,A=, 因为b sin B+a sin A=c sin C,所以b2+a2=c2,所以C=,B=. 答案:A 8.已知向量a=(x-1,2),b=(4,y),其中x>1,y>0,若a∥b,则log2(x-1)+log2y等于 A.1 B.2 C.3 D.4 解析:∵a∥b,则=,∴(x-1)y=8,∴log2(x-1)+log2y=log2(x-1)y=log28=3. 答案:C 9.在△ABC中,若(a+b+c)(a+b-c)=3ab且sin C=2sin A cos B,则△ABC是 A.等腰三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形 解析:因为(a+b+c)(a+b-c)=3ab,所以a2+b2-c2=ab,cos C==,所以C=,因为sin C=2sin A cos B,所 以c=2a·,得a=b,所以△ABC是等边三角形. 答案:B 10.如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若·=,则·的值是

解三角形测试题(附答案)

一、选择题: 1、在△ABC 中,a =3,b =7,c =2,那么B 等于( ) A . 30° B .45° C .60° D .120° 2、在△ABC 中,a =10,B=60°,C=45°,则c 等于 ( ) A .310+ B .( ) 1310 - C .13+ D .310 3、在△ABC 中,a =32,b =22,B =45°,则A 等于( ) A .30° B .60° C .30°或120° D . 30°或150° 4、在△ABC 中,a =12,b =13,C =60°,此三角形的解的情况是( ) A .无解 B .一解 C . 二解 D .不能确定 5、在△ABC 中,已知bc c b a ++=2 2 2 ,则角A 为( ) A . 3 π B . 6 π C .32π D . 3π或32π 6、在△ABC 中,若B b A a cos cos =,则△ABC 的形状是( ) A .等腰三角形 B .直角三角形 C .等腰直角三角形 D .等腰或直角三角形 7、已知锐角三角形的边长分别为1,3,a ,则a 的范围是( ) A .()10,8 B . ( ) 10,8 C . ( ) 10,8 D . ()8,10 8、在△ABC 中,已知C B A sin cos sin 2=,那么△ABC 一定是 ( ) A .直角三角形 B .等腰三角形 C .等腰直角三角形 D .正三角形 9、△ABC 中,已知===B b x a ,2, 60°,如果△ABC 两组解,则x 的取值范围( ) A .2>x B .2

三角函数与解三角形练习题

三角函数及解三角形练习题 一.解答题(共16小题) 1.在△ABC中,3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1,求C的大小. 2.已知3sinθtanθ=8,且0<θ<π. (Ⅰ)求cosθ; (Ⅱ)求函数f(x)=6cosxcos(x﹣θ)在[0,]上的值域. 3.已知是函数f(x)=2cos2x+asin2x+1的一个零点. (Ⅰ)数a的值; (Ⅱ)求f(x)的单调递增区间. 4.已知函数f(x)=sin(2x+)+sin2x. (1)求函数f(x)的最小正周期; (2)若函数g(x)对任意x∈R,有g(x)=f(x+),求函数g(x)在[﹣,]上的值域. 5.已知函数f(x)=2sinωxcosωx+cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值; (2)求f(x)的单调递增区间. 6.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,﹣≤φ<)的图象关于直线x=对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π. (Ⅰ)求ω和φ的值; (Ⅱ)若f()=(<α<),求cos(α+)的值. 7.已知向量=(cosx,sinx),=(3,﹣),x∈[0,π]. (1)若∥,求x的值; (2)记f(x)=,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值. 8.已知函数的部分图象如图所示.

(1)求函数f(x)的解析式; (2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若(2a﹣c)cosB=bcosC,求的取值围. 9.函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<)的部分图象如图所示,M 为最高点,该图象与y轴交于点F(0,),与x轴交于点B,C,且△MBC的面积为π. (Ⅰ)求函数f(x)的解析式; (Ⅱ)若f(α﹣)=,求cos2α的值. 10.已知函数. (Ⅰ)求f(x)的最大值及相应的x值; (Ⅱ)设函数,如图,点P,M,N分别是函数y=g(x)图象的零值点、最高点和最低点,求cos∠MPN的值. 11.设函数f(x)=sin(ωx﹣)+sin(ωx﹣),其中0<ω<3,已知f ()=0.

三角函数与平面向量综合题的六种类型

第1讲 三角函数与平面向量综合题3.17 题型一:三角函数与平面向量平行(共线)的综合 【例1】 已知A 、B 、C 为三个锐角,且A +B +C =π.若向量→p =(2-2sinA ,cosA +sinA)与向量→q =(cosA -sinA ,1+sinA)是共线向量. (Ⅰ)求角A ;(Ⅱ)求函数y =2sin 2B +cos C -3B 2的最大值. 题型二. 三角函数与平面向量垂直的综合 【例2】 已知向量→a =(3sinα,cosα),→b =(2sinα,5sinα-4cosα),α∈(3π 2 ,2π),且→a ⊥→b . (Ⅰ)求tanα的值;(Ⅱ)求cos(α2+π 3)的值. 题型三. 三角函数与平面向量的模的综合 【例3】 已知向量→a =(cosα,sinα),→b =(cosβ,sinβ),|→a -→b |=2 5 5.(Ⅰ)求cos(α-β)的值;(Ⅱ) 若-π2<β<0<α<π 2,且sinβ=-513,求sinα的值. 题型四 三角函数与平面向量数量积的综合 【例4】设函数f(x)=→a ·→b .其中向量→a =(m ,cosx),→b =(1+sinx ,1),x ∈R ,且f(π2)=2.(Ⅰ) 求实数m 的值;(Ⅱ)求函数f(x)的最小值. 题型五:结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算 【例5】(山东卷)在ABC ?中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,tan C = (1)求cos C ;(2)若5 2 CB CA ?= ,且9a b +=,求c . 题型六:结合三角函数的有界性,考查三角函数的最值与向量运算 【例6】()f x a b =? ,其中向量(,cos 2)a m x = ,(1sin 2,1)b x =+ ,x R ∈,且函数 ()y f x =的图象经过点(,2)4 π . (Ⅰ)求实数m 的值; (Ⅱ)求函数()y f x =的最小值及此时x 值的集合。 题型七:结合向量的坐标运算,考查与三角不等式相关的问题 【例7】设向量(sin ,cos ),(cos ,cos ),a x x b x x x R ==∈ ,函数()()f x a a b =?+ . (Ⅰ)求函数()f x 的最大值与最小正周期;(Ⅱ)求使不等式3 ()2 f x ≥成立的x 的取值集. 【跟踪训练】 三角函数与平面向量训练反馈 1、已知向量=(x x x 3,52-),=(2,x ),且⊥,则由x 的值构成的集合是( ) A 、{0,2,3} B 、{0,2} C 、{2} D 、{0,-1,6} 2、设02x π≤≤, sin cos x x =-,则 ( ) A .0x π≤≤ B . 74 4x π π≤≤ C .544 x ππ ≤≤ D . 32 2 x π π ≤≤ 3、函数1cos 4tan 2sin )(++?=x x x x f 的值域是 。 4、在△ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,且cos cos 2B b C a c =-+. (1)求角B 的大小; (2)若 b a + c =4,求a 的值. 5、已知向量 )1),3 (cos(π + =x ,)21),3(cos(-+ =π x ,)0),3 (sin(π+=x 函数 x f ?=)(, x g ?=)(, x h ?-?=)( (1)要得到)(x f y =的图象,只需把)(x g y =的图象经过怎样的平移或伸缩变换? (2)求)()()(x g x f x h -=的最大值及相应的x .

最新解三角形测试题(附答案)

解三角形单元测试题 一、选择题: 1、在△ABC 中,a =3,b =7,c =2,那么B 等于( ) A . 30° B .45° C .60° D .120° 2、在△ABC 中,a =10,B=60°,C=45°,则c 等于 ( ) A .310+ B .( ) 1310 - C .13+ D .310 3、在△ABC 中,a =32,b =22,B =45°,则A 等于( ) A .30° B .60° C .30°或120° D . 30°或150° 4、在△ABC 中,a =12,b =13,C =60°,此三角形的解的情况是( ) A .无解 B .一解 C . 二解 D .不能确定 5、在△ABC 中,已知bc c b a ++=2 2 2 ,则角A 为( ) A . 3 π B . 6 π C .32π D . 3π或32π 6、在△ABC 中,若B b A a cos cos =,则△ABC 的形状是( ) A .等腰三角形 B .直角三角形 C .等腰直角三角形 D .等腰或直角三角形 7、已知锐角三角形的边长分别为1,3,a ,则a 的范围是( ) A .()10,8 B . ( ) 10,8 C . ( ) 10,8 D . ()8,10 8、在△ABC 中,已知C B A sin cos sin 2=,那么△ABC 一定是 ( ) A .直角三角形 B .等腰三角形 C .等腰直角三角形 D .正三角形 9、△ABC 中,已知===B b x a ,2, 60°,如果△ABC 两组解,则x 的取值范围( ) A .2>x B .2

高考真题_三角函数与解三角形真题(加答案)

全国卷历年高考三角函数及解三角形真题归类分析 三角函数 一、三角恒等变换(3题) 1.(2015年1卷2)o o o o sin 20cos10cos160sin10- =( ) (A ) (B (C )12- (D )12 【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin30=1 2 ,故选D. 考点:本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式. 2.(2016年3卷)(5)若3 tan 4 α= ,则2cos 2sin 2αα+=( ) (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625 【解析】由3tan 4α=,得34sin ,cos 55αα==或34 sin ,cos 55αα=-=-,所以 2161264 cos 2sin 24252525 αα+=+?=,故选A . 考点:1、同角三角函数间的基本关系;2、倍角公式. 3.(2016年2卷9)若π3 cos 45α??-= ???,则sin 2α= (A ) 7 25 (B )15 (C )1 5 - (D )725 - 【解析】∵3cos 45πα??-= ???,2ππ 7sin 2cos 22cos 12425ααα????=-=--= ? ????? ,故选D . 二、三角函数性质(5题) 4.(2017年3卷6)设函数π ()cos()3 f x x =+,则下列结论错误的是() A .()f x 的一个周期为2π- B .()y f x =的图像关于直线8π 3 x =对称 C .()f x π+的一个零点为π6x = D .()f x 在π (,π)2 单调递减 【解析】函数()πcos 3f x x ? ?=+ ?? ?的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到, 如图可知,()f x 在π,π2?? ??? 上先递减后递增,D 选项错误,故选D.

高二数学解三角形测试题附答案

解三角形测试题 一、选择题: 1、ΔABC中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B等于() A.60°B.60°或120°C.30°或150°D.120° 2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是()A.a=1,b=2 ,c=3 B.a=1,b=2,∠A=30°C.a=1,b=2,∠A=100°D.b=c=1, ∠B=45° 3、在锐角三角形ABC中,有() A.cosA>sinB且cosB>sinA B.cosAsinB且cosBsinA 4、若(a+b+c)(b+c-a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC是()A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形 5、设A、B、C为三角形的三内角,且方程(sinB-sinA)x2+(sinA-sinC)x +(sinC-sinB)=0有等根, 那么角B ()A.B>60°B.B≥60°C.B<60°D.B ≤60° 6、满足A=45,c=6,a=2的△ABC的个数记为m,则a m的值为() A.4 B.2 C.1 D.不定 7、如图:D,C,B三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D两点测得A点仰角分别是β, α(α<β),则A点离地面的高度AB等于() A B

A . )sin(sin sin αββα-a B .)cos(sin sin βαβ α-?a C . )sin(cos sin αββα-a D .) cos(sin cos βαβ α-a 8、两灯塔A,B 与海洋观察站C 的距离都等于a(km), 灯塔A 在C 北偏东30°,B 在C 南 偏东60°,则A,B 之间的相距 ( ) A .a (km) B .3a(km) C .2a(km) D .2a (km) 二、填空题: 9、A 为ΔABC 的一个内角,且sinA+cosA= 12 7 , 则ΔABC 是______三角形. 10、在ΔABC 中,A=60°, c:b=8:5,内切圆的面积为12π,则外接圆的半径为_____. 11、在ΔABC 中,若S ΔABC = 4 1 (a 2+b 2-c 2 ),那么角∠C=______. 12、在ΔABC 中,a =5,b = 4,cos(A -B)=32 31 ,则cosC=_______. 三、解答题: 13、在ΔABC 中,求分别满足下列条件的三角形形状: ①B=60°,b 2=ac ; ②b 2tanA=a 2tanB ; ③sinC= B A B A cos cos sin sin ++④ (a 2-b 2)sin(A+B)=(a 2+b 2)sin(A -B). 14、已知ΔABC 三个内角A 、B 、C 满足A+C=2B, A cos 1+ C cos 1 =- B cos 2 , 求2 cos C A -的值. 15、二次方程ax 2-2bx+c=0,其中a 、b 、c 是一钝角三角形的三边,且以b 为最长. D C

2015届高考数学文二轮专题训练专题三第2讲三角变换与解三角形

第2讲 三角变换与解三角形 考情解读 1.高考中常考查三角恒等变换有关公式的变形使用,常和同角三角函数的关系、诱导公式结合.2.利用正弦定理或余弦定理解三角形或判断三角形的形状、求值等,经常和三角恒等变换结合进行综合考查. 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)=cos αcos β?sin αsin β. (3)tan(α±β)=tan α±tan β1?tan αtan β . 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α=2sin αcos α. (2)cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α. (3)tan 2α=2tan α 1-tan 2α. 3.三角恒等式的证明方法 (1)从等式的一边推导变形到另一边,一般是化繁为简. (2)等式的两边同时变形为同一个式子. (3)将式子变形后再证明. 4.正弦定理 a sin A = b sin B = c sin C =2R (2R 为△ABC 外接圆的直径). 变形:a =2R sin A ,b =2R sin B ,c =2R sin C . sin A =a 2R ,sin B =b 2R ,sin C =c 2R . a ∶ b ∶ c =sin A ∶sin B ∶sin C . 5.余弦定理 a 2= b 2+ c 2-2bc cos A ,b 2=a 2+c 2-2ac cos B , c 2=a 2+b 2-2ab cos C . 推论:cos A =b 2+c 2-a 22bc ,cos B =a 2+c 2-b 2 2ac , cos C =a 2+b 2-c 2 2ab .

解三角形练习题及答案

第一章 解三角形 一、选择题 1.己知三角形三边之比为5∶7∶8,则最大角与最小角的和为( ). A .90° B .120° C .135° D .150° 2.在△ABC 中,下列等式正确的是( ). A .a ∶b =∠A ∶∠B B .a ∶b =sin A ∶sin B C .a ∶b =sin B ∶sin A D .a sin A =b sin B 3.若三角形的三个内角之比为1∶2∶3,则它们所对的边长之比为( ). A .1∶2∶3 B .1∶3∶2 C .1∶4∶9 D .1∶2∶3 4.在△ABC 中,a =5,b =15,∠A =30°,则c 等于( ). A .25 B .5 C .25或5 D .10或5 5.已知△ABC 中,∠A =60°,a =6,b =4,那么满足条件的△ABC 的形状大小 ( ). A .有一种情形 B .有两种情形 C .不可求出 D .有三种以上情形 6.在△ABC 中,若a 2+b 2-c 2<0,则△ABC 是( ). A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .形状不能确定 7.在△ABC 中,若b =3,c =3,∠B =30°,则a =( ). A .3 B .23 C .3或23 D .2 8.在△ABC 中,a ,b ,c 分别为∠A ,∠B ,∠C 的对边.如果a ,b ,c 成等差数列,∠B =30°,△ABC 的面积为 2 3 ,那么b =( ). A . 2 3 1+ B .1+3 C . 2 3 2+ D .2+3 9.某人朝正东方向走了x km 后,向左转150°,然后朝此方向走了3 km ,结果他离出发点恰好3km ,那么x 的值是( ).

2021届高考数学解答题核心素养题型3 三角函数与平面向量综合问题(答题指导解析版)

专题03 三角函数与平面向量综合问题 (答题指导) 【题型解读】 ??题型一:三角函数的图象和性质 1.注意对基本三角函数y =sin x ,y =cos x 的图象与性质的理解与记忆,有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解,通常先将给出的函数转化为y =A sin(ωx +φ)的形式,然后利用整体代换的方法求解. 2.解决三角函数图象与性质综合问题的步骤 (1)将f (x )化为a sin x +b cos x 的形式. (2)构造f (x )=a 2 +b 2 ? ?? ?? a a 2+ b 2 ·sin x +b a 2+b 2·cos x . (3)和角公式逆用,得f (x )=a 2+b 2 sin(x +φ)(其中φ为辅助角). (4)利用f (x )=a 2 +b 2 sin(x +φ)研究三角函数的性质. (5)反思回顾,查看关键点、易错点和答题规范. 【例1】 (2017·山东卷)设函数f (x )=sin ? ????ωx -π6+sin ? ????ωx -π2,其中0<ω<3.已知f ? ????π6=0. (1)求ω; (2)将函数y =f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移π 4 个 单位,得到函数y =g (x )的图象,求g (x )在??????-π4 ,3π4上的最小值. 【答案】见解析 【解析】(1)因为f (x )=sin ? ????ωx -π6+sin ? ????ωx -π2,所以f (x )=32sin ωx -12cos ωx -cos ωx =32sin

(精心整理)三角变换与解三角形

第2讲 三角变换与解三角形 一、选择题 1.(2010·福建卷)计算1-2sin 222.5°的结果等于 ( ) A.12 B.22 C.33 D.32 解析:1-2sin 222.5°=cos 45°=22 . 答案:B 2.已知tan θ=2,则sin 2θ+sin θcos θ-2cos 2θ= ( ) A .-43 B.54 C .-34 D.45 解析:sin 2θ+sin θ·cos θ-2cos 2θ=sin 2θ+sin θcos θ-2cos 2θsin 2θ+cos 2θ=tan 2θ+tan θ-2 tan 2θ+1,又 tan θ=2,故原式=4+2-24+1=45. 答案:D 3.已知锐角△ABC 的面积为33,BC =4,CA =3,则角C 的大小为 ( ) A .75° B .60° C .45° D .30° 解析:由题知,12×4×3×sin C =33,∴sin C =3 2. 又00)的两根为 tan α、tan β,且α、β∈ ? ?? ??-π2,π2,则tan α+β2 的值是 ( ) A.12 B .-2 C.43 D.1 2或-2

解析:∵a >0,∴tan α+tan β=-4a <0,tan α·tan β= 3a +1>0,又∵α、β∈? ?? ??-π2,π2, ∴α、 β∈? ????-π2,0,则α+β2∈? ???? -π2,0,∴tan(α+β)= tan α+tan β 1-tan α·tan β=-4a 1-(3a +1) = 43 ,∴tan(α+β)=2tan α+β 2 1-tan 2 α+β 2 =4 3,整理得2tan 2α+β2+3tan α+β2-2=0,解得tan α+β2 =-2或1 2 (舍去).故选B. 答案:B 5.(2010·北京卷)某班设计了一个八边形的班徽(如图),它 由腰长为1,顶角为α的四个 等腰三角形,及其底边构成的正方形所组成.该八 边形的面积为 ( )

高三数学解三角形,平面向量与三角形的综合练习

解三角形,平面向量与三角形的综合练习 一、填空题 1.若角α的终边经过点(12)P -,,则tan 2α的值为______________. 2.已知向量a 与b 的夹角为120o ,且4==a b ,那么g a b 的值为________. 3.已知向量)3,1(=,)0,2(-=,则b a +=_____________________. 4. )6cos()(π ω-=x x f 最小正周期为5π ,其中0>ω,则=ω 5.b a ρ?,的夹角为ο 120,1,3a b ==r r ,则5a b -=r r 6.若BC AC AB 2,2= =,则ABC S ?的最大值 7.设02x π?? ∈ ??? ,,则函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为 . 8.设向量(12)(23)==,,,a b ,若向量λ+a b 与向量(47)=--,c 共线,则=λ . 9.若向量a r ,b r 满足1 2a b ==r r ,且a r 与b r 的夹角为3 π,则a b +=r r . 10.若3 sin()25 πθ+=,则cos2θ=_________。 11.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若 ( ) C a A c b cos cos 3=-, 则=A cos 。 12已知a r 是平面内的单位向量,若向量b r 满足()0b a b -=r r r g ,则||b r 的取值范围是 。 13..在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 所对的边,已知3,30,a b c ===? 则A = . 14. 关于平面向量,,a b c .有下列三个命题: ①若g g a b =a c ,则=b c .②若(1)(26)k ==-,,,a b ,∥a b ,则3k =-. ③非零向量a 和b 满足||||||==-a b a b ,则a 与+a b 的夹角为60o . 其中真命题的序号为 .(写出所有真命题的序号) 三、解答题 1.已知函数()cos(2)2sin()sin()344 f x x x x π ππ =- +-+ (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程

解三角形练习题及答案91629

解三角形习题及答案 一、选择题(每题5分,共40分) 1、己知三角形三边之比为5∶7∶8,则最大角与最小角的和为( ). A .90° B .120° C .135° D .150° 2、在△ABC 中,下列等式正确的是( ). A .a ∶b =∠A ∶∠B B .a ∶b =sin A ∶sin B C .a ∶b =sin B ∶sin A D .a sin A =b sin B 3、若三角形的三个内角之比为1∶2∶3,则它们所对的边长之比为( ). A .1∶2∶3 B .1∶3 ∶2 C .1∶4∶9 D .1∶ 2∶3 4、在△ABC 中,a =5 ,b = 15,∠A =30°,则c 等于( ). A .2 5 B .5 C .2 5 或5 D .10或5 5、已知△ABC 中,∠A =60°,a =6,b =4,那么满足条件的△ABC 的形 状大小 ( ). A .有一种情形 B .有两种情形 C .不可求出 D .有三种以上情形 6、在△ABC 中,若a 2+b 2-c 2<0,则△ABC 是( ). A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .形状不能确定 7、)( 37sin 83sin 37cos 7sin 的值为??-?? A.23- B.21- C.2 1 D.23 8、化简 1tan15 1tan15 +-等于 ( )

A B C .3 D .1 二、填空题(每题5分,共20分) 9、已知cos α-cos β=2 1,sin α-sin β=3 1,则cos (α-β)=_______. 10、在△ABC 中,∠A =105°,∠B =45°,c =2,则b = . 11、在△ABC 中,∠A =60°,a =3,则C B A c b a sin sin sin ++++= . 12、在△ABC 中,若sin A ∶sin B ∶sin C =2∶3∶4,则最大角的余弦值等于 . 班别: 姓名: 序号: 得分: 9、 10、 11、 12、 三、解答题 13、(12分)已知在△ABC 中,∠A =45°,a =2,c =6,解此三角形. 14、(14分)已知2 1 )tan(=-βα,7 1tan -=β,求)2tan(βα-的值

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