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成人高考一元函数积分学整理.

成人高考一元函数积分学整理.
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一元函数积分学

【知识要点】

1、理解原函数与不定积分的概念及其关系,掌握不定积分的性质。

2、熟练掌握不定积分的基本公式。

3、熟练掌握不定积分第一换元法,掌握第二换元法(仅限三角代换与简单的根式代换。

4、熟练掌握不定积分的分部积分法。

5、掌握简单有理函数不定积分的计算。

6、理解定积分的概念及其几何意义,了解函数可积的条件

7、掌握定积分的基本性质

8、理解变上限积分是变上限的函数,掌握对变上限积分求导数的方法。 9、熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式。

10、掌握定积分的换元积分法与分部积分法。

11、 . 理解无穷区间的广义积分的概念,掌握其计算方法。 12、掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体的体积。

1不定积分

定义函数 (x f 的全体原函数称为函数 (x f 的不定积分 , 记作?dx x f (, 并称?微积分号, 函数 (x f 为被积函数, dx x f (为被积表达式, x 为积分变量。因此

?

+=C x F dx x f ( (,

其中 (x F 是 (x f 的一个原函数, C 为任意常数(积分常数。基本积分公式(要求熟练记忆 (1 ?=C dx 0 (2 1(1

11

-≠++=+?a C x

a dx x a a

.

(3 C x dx x

+=?

ln 1.

(4 C a a

dx a x

x

+=

?ln 1

1, 0(≠>a a

(5 C e dx e x x +=?

(6 ?+-=C x xdx cos sin (7 ?+=C x xdx sin cos (8 C x x +=?tan cos 1

2

. (9 C x x

+-=?cot sin 1

2

. (10 C x x

+=-?arcsin 12

.

(11 C x dx x

+=+?

arctan 112

.

正确理解上述的积分公式是能否掌握不定积分计算的关键之一, 所有积分公式中的 x 均应理解为 x 的连续函数,例如 C x

a dx x a a

++=

?+1

1

1理解为下面的结构式:

式中的方块可以为自变量 x ,也可以是 x 的函数,如:

正确理解公式并能熟练掌握它,对于学习后续知识会有极大的好处。

2直接积分法

直接积分法是指用代数或三角恒等变形, 并用积分的性质和基本积分公式进行积分的积分方法。

3换元积分法

换元积分法就是对不定积分?dx x f (作适当的变量代换 :令 (u x ?=, 或令 (x u ?=, 把被积表达式变换成对新变量 u 的函数, 而对 u 积分时是可利用基本积分公式的类型。这就是换元积分法。

换元积分法的依据就是基本积分公式中的 x 可以换成任意连续可导函数时 , 公式依然成立。例如:如:

C x u x x u

+=+? (arctan (

(11

2

.

当用任意连续可导函数来替换 (x u 时 , 公式仍然成立 , 如 sin(x u =, x u ln =,

x u sin

=, ln(sinx u =,等等,公式均成立:

(111. 1

d c αααα+=+≠-+?

341sin sin sin .

4x d x x c =+?

C x x d x +=+?]sin arctan[ln(][ln(sin]

[ln(sin

11

2

.

换元积分法分第一类换元积分法和第二类换元积分法两种。

1、第一类换元积分法

第一类换元积分法又称凑微分法 ,这种积分方法是:求积分 dx x x f (] ([' ???时,若

(x ?是 x 的可导函数,用一个新的变量 u 来代换 (x ?,并用 du 代换 dx x ('

?,此时积分

dx x x f (](['

???

变成了 du u f ? (, 而它可以直接用公式积分得到 C u F + (, 最后将 u 换

成 (x ?即可。 2、第二类换元积分法

第二类换元积分法与第一类换元积分法正好相反 ,所给的积分?dx x f (不能直接套公式计算,而是要将积分变量 x 用一个函数 (t ?代替 (要求 (t x ?=严格单调、可导 , 且

0 ('

≠t ?,并将 dx 用 dt t (' ?代替,使积分变成 dt t t f (]([' ???,这个积分可以套公式积

出为 C t F + (,最后将 t 用 (1x -?作反还原。

4分部积分法

分部积分法也是一种重要的方法,它是由函数之积的微分公式推导出来的。分部积分公式

设 (, (x v x u 均可导,则 udv vdu uv d += (, 两边对 x 积分得??+=

udv vdu uv 。

移项得分部积分公式如下:

??-

=vdu

uv udv

??-=udv uv vdu

说明:在用分部积分法进行积分时, 应努力使积分中右端的积分比左端的积分容易, 因此应用分部积分法时,恰当选择 u 和 dv (或 v 和 du 是解题的关键。如果选取不当,得到的积分会比原积分更不易求出。对 u 和 dv 的选择,应当考虑两点: (1 v 要容易求得。

(2要使?vdu 较所给积分?udv 容易计算。

5 定积分

定积分?b

a dx x f (的几何意义是:它是介于 x 轴、曲线 (x f y =、直线

b x a x ==、之间

各部分面积的代数和 ;在 x 上方的面积取正号 ,在 x 下方的面积取负号。对于定积分的定义,我们还应明确以下几点:

(1定积分的值是一个常数, 它只与被积函数 (x f 及积分区间 ], [b a 有关,而与积分变量的字母无关,则应有?

?=

b

a

b

a dt t f dx x f ( (。

(2在定积分的定义中,我们假定 b a <;如果 a b <,我们规定??-=b

a

a

b

dx x f dx x f ( (

如果 b a =则规定 0 ( =?a

a

dx x f

6定积分的计算

1、变上限积分

定义积分上限 x 为变量时的定积分 dt t f x a

(?称为变上限积分。

变上限积分一般是上限 x 的函数,记为(x Φ,于是有?

=

Φx

a

dt t f x ( (,且有下列定理。

定理(对积分上限的导数如果函数 (x f 在区间 ], [b a 上连续,则函数?

=

Φx

a

dt t f x ( ( (b x a ≤≤

对积分上限 x 的导数等于 (x f ,即 [] ( ( ('

x f dt

t f x x

a

=

=Φ'?。

设 (, (x b x a 是 x 的可导函数,记?

=dt t f x x b x a ( ( (

(φ,

则此定理可以推广为

(]([ (]([] ([ ('

' ' (

('

x a x a f x b x b f dt t f x x b x a -==?

φ。

2、牛顿—莱布尼茨公式

定理(牛顿—莱布尼茨公式如果 (x F 是连续函数 (x f 在区间 ], [b a 上的任意一个原函数 , 则有 ( ( ( a F b F dx x f b

a -=?。

7 定积分的应用

定积分的应用主要有:平面图形面积的计算以及旋转体体积的计算。

计算平面图形的面积

如果某平面图形是由两条连续曲线

(, (21x f y x g y ==及两条直线 a x =1和 b x =2所

围成的(其中 1y 是下面的曲线, 2y 是上面的曲线 ,则其面积可由下式求出: . ]( ([dx x g x f S b

a

?

-=

(上面 -下面

如果平面图形是由两条连续曲线

(, (21y x y x ψ?==及两条直线 c y =1和 d y =2所围

成的(其中 1x 是左边的曲线, 2x 是右边的曲线 ,则其面积可由下式求出: . ]( ([dy y y S d

c

?

-=

?ψ (左边 -右边

计算旋转体的体积

设某立体是由连续曲线0 (((≥=x f x f y 和直线

(, b a b x a x <==及 x 轴所围平面图形绕 x 轴旋转一周所形

成的旋转体,如图所示。则该旋转体的体积 V 可由下式求出: . ( (2

2

dx x f dx x f V b

a

b

a

x ??

==

ππ

同理,若立体是由连续曲线 (y x ?= 0 ((≥y ?和直线

(, d c d y c y <==及 y 轴所围平面图形绕 y 轴旋转一周

所成的旋转体,如图所示,则该旋转体的体积 y V 可由下式求出: ??==

d

c

d

c

y dy y dy y V ( (2

2

?ππ?.

【历年试题选编】

选择题

x

图 5.16

1、(0806) (cos x 1 dx ( A . sin x x C ) C . c o sx x C D . cos xx x C B . sin x x C 答案: A 。分析:利用不定积分性质和公式即得。

2、(0907)若 A.2 x 2 f ( x e x x 2 dx e x 2 C ,则 f ( x () 2 B .x C .e D .1 答案: A . 利用不定积分性质即得。

3、(1005) A. 1 3 1 x 4 dx ( B. 1 3 ) C C. 1 3 C C D. 1 x 3 C 3x 3x x 答案: A .利用不定积分公式,可知选项 A 正确。

4、(0807) x dx ( 5 1 1 ) D .1 A. 2 B.

1 C .0 答案: C . 分析:因为 x 为奇函数。 5、(0906) d dx 5 1 1 1 x

2 dx

() 0 A. dx 1 x 2 B. 1 1 x 2 C. 4 D .0 答案: D . 分析:因为定积分的值

是一个常数。 6、(1007)已知 F ( x A.2 x 1 x 2 x 1 t dt ,则 F ( x

( 2 ' ) 2 0 B. 1 x 2 1 C. 1 x 2 D. 1 x 1 答案: C . 填空题 7、(0817)3 d dx x ( t t dt _______ 3 0 . 答案: x x 。 x 8、(0918) e 3 dx

_________ 。

x 答案: 3 e C 。 3 9、(1018) 2 e 0 sin x cos xdx _________ 答案: e 1 。 sin x 分析:因为 e 2 0 cos xdx 2 e sin x d (sin x e sin x 0 2 0 e 1。 10、(1017)答案: e x 1 e x dx __________ 。C。分析:因为 1 e x dx e x d ( x e x C 。计算题 11、(0823)计算 sin 5 xdx 。答案: sin 5 xdx 12、(0923)计算答案:

1 ln x x 1 sin 5 x 5 xd ( 5 x dx . 1 5 cos 5 x C 。 1 ln x dx (1 ln x

2 x d (ln x ln x 1 2 ln 2 x C. 13、(1023)计算 xe 答案: xe x 2 dx . x 2 dx 1 2 e d (x 2 1 2 e x 2 C. 14、(0827)(1)求曲线 y e 及直线 x 1, x 0 , y 0 所围成的图形 D 所示的面积 S ; x (2)求平面图形 D 绕

x 轴转一周所形成旋转体的体积 V 。答案:(1) S (2) V x 1 e dx e x 2 0 x x 1 0 e 1. 1 1 ( e dx 0 e 2x dx 2 e 0 2x 1 0 2 ( e

1 。

2 15、(0927)(1)求在区间 [ 0 , ] 上的曲线 y sin x 与 x 轴所围成图形的面积 S ;(2)求(1)中的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积V 。答案:(1) S sin xdx cos x 0 2。 0 (2) V x

sin dx 2 2 0 (1 cos 2 x dx 2 (x sin 2 x 2 0 2 。 0 2

多元函数微分学知识点梳理

第九章 多元函数微分学 内容复习 一、基本概念 1、知道:多元函数的一些基本概念(n 维空间,n 元函数,二重极限,连续等);理解:偏导数;全微分. 2、重要定理 (1)二元函数中,可导、连续、可微三者的关系 偏导数连续?可微???函数偏导数存在 ?连续 (2)(二元函数)极值的必要、充分条件 二、基本计算 (一) 偏导数的计算 1、 偏导数值的计算(计算),(00y x f x ') (1)先代后求法 ),(00y x f x '=0),(0x x y x f dx d = (2)先求后代法(),(00y x f x '=00),(y y x x x y x f ==') (3)定义法(),(00y x f x '=x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000)(分段函数在分段点处的偏导数) 2、偏导函数的计算(计算(,)x f x y ') (1) 简单的多元初等函数——将其他自变量固定,转化为一元函数求导 (2) 复杂的多元初等函数——多元复合函数求导的链式法则(画树形图,写求导公式) (3) 隐函数求导 求方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x f z =的一阶导数,z z x y ???? ,,,(),,y x z z F F z z x y z x F y F x y x y z ''???=-=-?''????? 公式法:(地位平等)直接法:方程两边同时对或求导(地位不平等) 注:若求隐函数的二阶导数,在一阶导数的基础上,用直接法求。 3、高阶导数的计算 注意记号表示,以及求导顺序 (二) 全微分的计算 1、 叠加原理

一元函数微分学教案

第二章 一元函数微分学 一、 导数 (一)、导数概念 1、导数的定义: 设函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义,当自变量在点0x 处取得改变量x ?时,函数)(x f 取得相应的改变量,)()(00x f x x f y -?+=?,如果当0→?x 时,x y ??的极限存在,即x y x ??→?0lim x x f x x f x ?-?+=→?)()(lim 000存在,则此极限值为函数)(x f 在点0x 的导数,可记作)(0x f '或|0x x y ='或|0x x dx dy =或|0 )(x x dx x df = 2、根据定义求导数的步骤(即三步曲) ①求改变量)()(x f x x f y -?+=? ②算比值 x y ??x x f x x f ?-?+=)()( ③取极限x y x f y x ??='='→?0lim )(x x f x x f x ?-?+=→?)()(lim 0 例1:根据定义求2 x y =在点3=x 处的导数。 解:223)3(-?+=?x y 2)(6x x ?+?= x x y ?+=??6 6)6(lim lim 0 0=?+=??→?→?x x y x x 3、导数定义的几种不同表达形式 ①x x x x x f x x f x f x ?+=??-?+='→?00000) ()(lim )(令 ②000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→ 时 =当0)()(lim )(0000x x x f x f x f x ??-='→? ③x f x f f x )0()(lim )0(0-='→ 4、左右导数的定义: 如果当)0(0-+→?→?x x 时,x y ??的极限存在,则称此极限为)(x f 在点0x 为右导数(左

第三章 一元函数积分学

第三章 一元函数积分学 一.不定积分 例1:设2 ln )1(22 2 -=-x x x f ,且x x f ln )]([=?,求?dx x )(?(答案: C x x +-+1ln 2) 例2:已知 x x sin 是)(x f 的一个原函数,求?dx x f x )('3(答案: C x x x x x +--cos 6sin 4cos 2) 例3:设???>≤=0 ,sin ,)(2x x x x x f ,求?dx x f )( 例4:设)(x F 是)(x f 的一个原函数,π4 2 )1(= F ,若当0>x 时,有) 1(arctan )()(x x x x F x f += ,求)(x f 。(答案:) 1(21)(x x x f += ) 例5:求? dx x x )1,,max(23 例6:求?dx e e x x 2arctan 二.定积分 例1:求极限?? ? ??+++++∞→n n n n 212111lim 例 2:设)(x f 在]1,0[上连续,且 )(1 =?dx x f ,试证明存在 0)1()()1,0(=-+∈ξξξf f 使。 例3:已知)0()1ln()(1 >+= ?x dt t t x f x ,求??? ??+x f x f 1)((答案:x 2ln 21)

例4:设函数)(x f 连续,且,arctan 21)2(2 0x dt t x tf x =-?已知1)1(=f ,求?2 1 )(dx x f 的 值。(答案: 4 3 ) 例5:已知22110,1,ln ,sin )(>≤<≤≤?? ? ??=x x x x x x x f 求?=x dt t f x I 0)()( 例6:求积分?≥-= x x dt t x g t f x I 0 )0()()()(,其中当0≥x 时x x f =)(,而 ?? ?? ? ≥ <≤=220,0,sin )(π πx x x x g 例7:设)(x f 在],[b a 上连续,且0)(>x f ,证明 ? b a dx x f )(2)() (1 a b dx x f b a -≥? 例8:设)('x f 在]1,0[上连续,求证 ? ??? ?? ? ??≤1 1 010)(,)('max )(dx x f dx x f dx x f 例9:设)(x f 在]1,0[上连续,且0)(≥x f ,0)1(=f ,求证: 存在?= ∈ξ ξξ0 )()()1,0(dx x f f 使 例10:设)(x f 是在),(+∞-∞内的周期函数,周期为T ,并满足 )),,(,()()()1(为常数其中L y x y x L y f x f +∞-∞∈?-≤-; 0)()2(0 =?T dx x f 求证:LT x f T x 2 1 )(max ] ,0[≤ ∈ 例11:设函数)(x f 在],[b a 上具有连续的二阶导数,证明在),(b a 内存在一点ξ,使得 )('')(24 12)()(3 ξf a b b a f a b dx x f b a -+??? ??+-=?

一元函数微分学习题

第二部分 一元函数微分学 [选择题] 容易题 1—39,中等题40—106,难题107—135。 1.设函数)(x f y =在点0x 处可导,)()(00x f h x f y -+=?,则当0→h 时,必有( ) (A) y d 是h 的同价无穷小量. (B) y y d -?是h 的同阶无穷小量。 (C) y d 是比h 高阶的无穷小量. (D) y y d -?是比h 高阶的无穷小量. 答D 2.已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的一个偶函数,且当0'x f x f , 则在),0(+∞内有( ) (A )0)(,0)(<''>'x f x f 。 (B )0)(,0)(>''>'x f x f 。 (C )0)(,0)(<''<'x f x f 。 (D )0)(,0)(>''<'x f x f 。 答C 3.已知)(x f 在],[b a 上可导,则0)(<'x f 是)(x f 在],[b a 上单减的( ) (A )必要条件。 (B) 充分条件。 (C )充要条件。 (D )既非必要,又非充分条件。 答B 4.设n 是曲线x x x y arctan 2 2 2 -=的渐近线的条数,则=n ( ) (A) 1. (B) 2 (C) 3 (D) 4 答D 5.设函数)(x f 在)1,1(-内有定义,且满足)1,1(,)(2-∈?≤x x x f ,则0=x 必是

)(x f 的( ) (A )间断点。 (B )连续而不可导的点。 (C )可导的点,且0)0(='f 。 (D )可导的点,但0)0(≠'f 。 答C 6.设函数f(x)定义在[a ,b]上,判断何者正确?( ) (A )f (x )可导,则f (x )连续 (B )f (x )不可导,则f (x )不连续 (C )f (x )连续,则f (x )可导 (D )f (x )不连续,则f (x )可导 答A 7.设可微函数f(x)定义在[a ,b]上,],[0b a x ∈点的导数的几何意义是:( ) (A )0x 点的切向量 (B )0x 点的法向量 (C )0x 点的切线的斜率 (D )0x 点的法线的斜率 答C 8.设可微函数f(x)定义在[a ,b]上,],[0b a x ∈点的函数微分的几何意义是:( ) (A )0x 点的自向量的增量 (B )0x 点的函数值的增量 (C )0x 点上割线值与函数值的差的极限 (D )没意义 答C 9.x x f = )(,其定义域是0≥x ,其导数的定义域是( ) (A )0≥x

多元函数微分学及应用(隐函数反函数)

习题课:多元函数求偏导,多元函数微分的应用 多元复合函数、隐函数的求导法 (1) 多元复合函数 设二元函数),(v u f z =在点),(00v u 处偏导数连续,二元函数),(),,(y x v v y x u u ==在点 ),(00y x 处偏导数连续, 并且),(),,(000000y x v v y x u u ==, 则复合函数 )),(),,((y x v y x u f z = 在点),(00y x 处可微,且 ()()()() x y x v v v u f x y x u u v u f x z y x ?????+?????= 00000000) ,(,,,,00??()()()() y y x v v v u f y y x u u v u f y z y x ?????+?????= 00000000) ,(,,,,00?? 多元函数微分形式的不变性:设),(),,(),,(y x v v y x u u v u f z ===,均为连续可微, 则将z 看成y x ,的函数,有 dy y z dx x z dz ??+??= 计算 y v v f y u u f y z x v v f x u u f x z ????+????=??????+????=??,,代人, dv v f du u f dy y v dx x v v f dy y u dx x u u f dy y v v f y u u f dx x v v f x u u f dy y z dx x z dz ??+??= ???? ????+????+???? ????+????=???? ??????+????+??? ??????+????=??+??= 我们将dv v f du u f dy y z dx x z dz ??+??=??+??= 叫做微分形式不变性。 例1 设??? ??=x y xy f x z , 3 ,求y z x z ????,。

专升本-一元函数积分学

第四章 一元函数积分学 不定积分部分 一.原函数的概念 例1.下列等式成立色是( ) ()()().;A f x dx f x '=? ()()().;B df x dx f x =? ()()(). ;d C f x dx f x dx =? ()()()..D d f x dx f x =? 例2.下列写法是否有误,为什么? ()1 .ln c dx e e x x +=?(c 为任意正常数) ()2 ).0(1 3 3 2 ≠+=?c c dx x x ()3 .arccos arcsin 12 c x c x dx dx x +-=+=-? 例3.下列积分结果正确吗? ()211sin .cos sin ;2x xdx x C =+?√ ()21 2sin .cos cos ;2x xdx x C =-+?√ ()1 3sin .cos cos 2.2 x xdx x C =-+?√ 例3说明不定积分的结果具有形式上的多样性。 二.直接积分法 利用不定积分的性质及基本积分表,我们就可以计算较简单的函数的积分,这种方法称做直接积分法. 例4.求().arctan 3 1111113 2 2 24 2 4 c x x dx dx dx dx x x x x x x x ++-= + +-= ++-= +???? 例5.求.sin 21 2cos 212cos 12sin 2 c x x xdx dx dx x dx x +-=-=-=???? 例6.求.tan 44422csc sin cos sin 2 222c x c xdx x dx x x dx +-===??? 例7.已知某个函数的导数是x x cos sin +,又知当2 π=x 时,这函数值为2,求 此函数. 解:因为() .sin cos cos sin c x x dx x x ++-=+?, 所以,可设().sin cos c x x x f ++-=

一元函数微积分学内容提要

第四部分 一元函数微积分 第11章 函数极限与连续[内容提要] 一、函数:(138-141页) 1、函数的定义:对应法则、定义域的确定、函数值计算、简单函数图形描绘。 2、函数分类:基本初等函数(幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反 三角函数的统称);复合函数([()]y f x ?=);初等函数(由常数和基本初等函数构成的,且只能用一个式子表达的函数);分段函数;隐函数;幂指函数(()()g x y f x =);反函数。 3、函数的特性:奇偶性;单调性;周期性;有界性. 二、极限: 1、极限的概念:(141-142页) 定义1:(数列极限)给定数列{}n x ,如果当n 无限增大时,其通项n x 无限趋向 于某一个常数a ,即a x n -无限趋近于零,则称数列{}n x 以a 的极限,或称数列{}n x 收敛于a ,记为a x n n =∞ →lim ,若{}n x 没有极限,则称数列{} n x 发散。 定义2:(0x x →时函数)(x f 的极限)设函数)(x f 在点0x 的某一去心邻域0(,) U x δo 内有定义,当x 无限趋向于0x (0x x ≠)时,函数)(x f 的值无限趋向于 A ,则称0x x →时, )(x f 以A 为极限,记作A x f x x =→)(lim 0 。 左极限:设函数)(x f 在点0x 的左邻域00(,)x x δ-内有定义,当0x x <且无限趋向 于0x 时,函数)(x f 的值无限趋向于常数A ,则称0x x →时,)(x f 的左极限为A ,记作0 0(0)lim ()x x f x f x A -→-==。 右极限:设函数)(x f 在点0x 的右邻域00(,)x x δ+内有定义,当0x x >且无限趋向 于0x 时,函数)(x f 的值无限趋向于常数A ,则称0x x →时,)(x f 的右极限为A ,记作0 0(0)lim ()x x f x f x A +→+==。 定义3:(x 趋于无穷大时函数)(x f 的极限)设)(x f 在区间)0(>>a a x 时有定义, 若x 无限增大时,函数)(x f 的值无限趋向于常数A ,则称当∞→x 时,

多元函数微分学及其应用

第8章 多元函数微分学及其应用 参考解答 1、设22 , y f x y x y x ??+=- ??? ,求(),f x y ,(),f x y xy -。 解:()()()()2 21, 1y y x y x f x y x y x y x y x y y x x y x - -??+=+-=+=+ ?+? ? + ,故得 ()2 1,1y f x y x y -=+,()()21,1xy f x y xy x y xy --=-+ 2、求下列各极限: 2242222 2220000 cos sin 1(1) lim lim lim sin 204x r r y x y r r x y r θθθ→→→→===+ 注意:在利用极坐标变换cos , sin x r y r θθ==来求极限时,θ也是变量。本题中,0r →时,2r 为无穷小量,而2 sin 2θ为有界变量,故所求极限为零。 ()00sin sin (2) lim lim 1x t y a xy t xy t →→→== 3、证明极限2 2400 lim x y xy x y →→+不存在。 证明:当2 y kx =时,()2242,1xy k f x y x y k ==++,故2 22420 lim 1y kx x xy k x y k =→=++与k 有关。可见,(),x y 沿不同的路径趋于()0,0时,函数极限不同,故极限不存在。(两路径判别法) 4、讨论下列函数在()0,0点处的连续性: (1)()()()222222 22 ln , 0 ,0, 0 x y x y x y f x y x y ?+++≠?=?+=?? 解: ()() ()()() ()()()2 222,0,0,0,0 lim ,lim ln lim ln 00,0x y x y t f x y x y x y t t f →→→= ++=== 故原函数在()0,0点处连续。

一元函数积分学的应用

一元函数积分学的应用 一元函数积分学研究的是研究函数的整体性态,一元函数积分的本质是计算函数中分划的参数趋于零时的极限。 一元积分主要分为不定积分 ?dx x f )(和定积分? b a dx x f )(。化为函数 图像具体来说,不定积分是已知导数求原函数,也就是说,把f(x)积分,不一定能得到F(x),因为F(x)+C 的导数也是f(x)(C 是任意常数)。所以f(x)积分的结果有无数个,是不确定的。而定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中图线下包围的面积,可以说是不定积分在给定区间的具体数值化。因为积分在其它方面应用时一般都有明确的区间,所以本文主要研究定积分的各种应用。 积分的应用十分巧妙便捷,能解决许多不直观、不规则的或是变化类型的问题。故其主要应用在数学上的几何问题和物理上的各种变量问题和公式的证明以及解决一些实际生活问题。 微元法建立积分表达式 在应用微积分于实际问题时,首先要建立积分表达式,一般情况下,只要具备都是给定区间上的非均匀连续分布的量和都具有对区间的可加性这两个条件就都可以用定积分来描述(以下的讨论都是建立在这两个条件下,因此不再提示此条件)。 而建立积分表达式的方法我们一般用微元法。其分为两个步骤:(1)任意分割区间[]b a ,为若干子区间,任取一个子区间[]dx x x +,,求Q

在该区间上局部量的Q ?的近似值dx x f dQ )(=;(2)以dx x f )(为被积式,在],[b a 上作积分即得总量Q 的精确值 ??==b a b a dx x f dQ Q )(。(分割,近似,求和,取极限) 在实际应用中,通过在子区间],[dx x x +上以“匀”代“非匀”或者把子区间],[dx x x +近似看成一点,用乘法所求得的近似值就可以作为Q ?所需要的近似值,即为所寻求的积分微元dx x f dQ )(= 。 定积分在几何中的应用 在几何中,定积分主要应用于平面图形的面积、平面曲线的弧长、已知平行截面面积函数的立体体积、旋转体的侧面积。下面我们来分类讨论: 一、 平面图形的面积 求图形面积是定积分最基本的应用,因为定积分的几何意义就是在给定区间内函数曲线与x 轴所围成图形的面积。而求面积时会出现两种情况:直角坐标情形和极坐标情形。 1、直角坐标情形 在求简单曲边图形(能让函数图像与之重合)的面时只要建立合适的直角坐标系,再使用微元法建立积分表达式,运用微积分基本公式计算定积分,便可求出平面图形的面积。如设曲 y O

一元函数微分学练习题(答案)

一元函数微分学练习题答案 一、计算下列极限: 1.93 25 235lim 222-=-+=-+→x x x 2.01)3(3)3(13lim 2 2223=+-=+-→x x x 3.x x x 11lim --→) 11(lim )11()11)(11(lim 00+--=+-+---=→→x x x x x x x x x 21 1 011 1 11lim -=+--= +--=→x x 4.0111 111lim )1)(1()1(lim 112lim 1212 21=--+-=-+=-++=-++-→-→-→x x x x x x x x x x x 5.21 )23()124(lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x x x 6.x t x t x t x x t x t x t x t t t 2)2(lim ) )((lim )(lim 00220-=--=--+-=--→→→ 7.0001001311 1lim 13lim 4 2322 42=+-+=+-+ =+-+∞ →∞→x x x x x x x x x x 8.943)3(2) 13()31()12(lim )13()31()12(lim 10 82108 210 108822=-?=---=---=∞→∞→x x x x x x x x x x x 原式 9.2)211(lim 22 11)211(1lim )21...41211(lim =-=-- =++++∞→∞→∞→n n n n n n 10.21 2lim 02tan lim 3sin lim )2tan 3sin (lim 0000=+=+=+ →→→→x x x x x x x x x x x x x x 11.01 sin lim 20=→x x x (无穷小的性质)

一元函数积分知识点完整版

一元函数积分相关问题 前言: 考虑到学习的效率问题,我在本文献中常常会让一个知识点在分隔比较远的地方出现两次。这种方法可以让你在第二次遇到同样的知识点时顺便复习下这个知识点,同时第二次出现这个知识点时问题会稍微升华点,不做无用的重复。 一.考查原函数与不定积分的概念和基本性质 讲解:需要掌握原函数与不定积分的定义、原函数与不定积分的关系,知道求不定积分与求微分是互逆的关系,理解不定积分的线性性质。 问题1: 若)(x f 的导函数是x sin ,则所有可能成为)(x f 的原函数的函数是_______。 二.考查定积分的概念和基本性质 讲解:需要掌握定积分的定义与几何意义,了解可积的充分条件和必要条件,掌握定积分的基本性质。 定积分的基本性质有如下七点: 1、线性性质 2、对区间的可加性 3、改变有限个点的函数值不会改变定积分的可积性与积分值 4、比较定理(及其三个推论) 5、积分中值定理 6、连续非负函数的积分性质 7、设)(x f 在],[b a 上连续,若在],[b a 的任意子区间],[d c 上总是有 ? =d c dx x f 0)(,则当 ],[b a x ∈时,0)(≡x f 问题2: 设? = 2 )sin(sin π dx x M ,?=20 )cos(cos π dx x N ,则有() (A )N M <<1 (B )1<

分的关系,了解初等函数在定义域内一定存在原函数但不一定能积出来,需要重点掌握牛顿—莱布尼兹公式及其推广。 其中变限积分的求导方法为: 设)(x f 在],[b a 上连续,)(x ?和)(x ψ在],[βα上可导,当],[βα∈x 时, b x x a ≤≤)(),(ψ?,则? =) () ()(x x dt t f y ?ψ在],[βα上可以对x 求导,且 )('))(()('))((x x f x x f dx dy ψψ??-= 牛顿—莱布尼兹定理为: 设)(x f 在],[b a 上连续,)(x F 是)(x f 在],[b a 上的一个原函数,则 )()()(a F b F dx x f b a -=? 问题3: 已知 ? +=) 1ln(2)(x x t dt e t x f ,求)('x f )0(≥x 四.考查奇偶函数和周期函数的积分性质 讲解:需要掌握对称区间上奇偶函数的定积分性质、周期函数的积分性质,学会用性质化简积分。 问题4: 设)(x f 在]1,0[上连续, A dx x f =? 2 )cos (π ,则==? π 20 )cos (dx x f I _______。 五.利用定积分的定义求某些数列极限 讲解:需要掌握把某些和项数列和积项数列求极限的问题转化为求解定积分的方法。关键是确定被积函数、积分区间及区间的分点。 常见的情形有: ∑? =∞ →--+ =n i n b a n a b n a b i a f dx x f 1))((lim )( ∑? =∞ →---+ =n i n b a n a b n a b i a f dx x f 1 )))(1((lim )( 问题5: 求∑ =∞ →+=n i n i n n i n w 1 2tan lim 六.考察基本积分表 讲解:需要掌握基本初等函数的积分公式。 七.考察分项积分方法

第三章-一元函数积分学

第三章 一元函数积分学 §3-1 不定积分 不定积分是计算定积分、重积分、线面积分和解微分方程的基础,要求在掌握基本积分法的基础上,更要注重和提高计算的技巧。 一、基本概念与公式 1. 原函数与不定积分的概念 2. 不定积分与微分的关系(互为逆运算) 3. 不定积分的性质 4.基本积分表 2222 22 312 22 3 2max{1}d .,1 max{1,}1,11, , 111max{1,}d d 3 11max{1,}d 1d 11 max{1,}d d . 3x x x x x x x x x x x x x x C x x x x x C x x x x x x C ?<-? =-≤≤??>?<-==+-≤≤==+>==+???????1求,因 当时 ;当时 ; 当时 例解 ()()3111321 11232 31lim lim 3,1lim lim 323 ,232 133 max{1,}d 1 1.2 1 33 x x x x x C x C x C x C C C C C x C x x x x C x x C x -+ - +→-→-→→??? +=+ ????? ? ???+=+ ?????? =-+??? ?=+?? ?-+<-???=+-≤≤???++>?? ? 由原函数的连续性,有 得 故 ,,,

二、不定积分的基本方法 1. 第一类换元法(凑微分法) ()d ()[()]d []d [].f u u F u C f x x x f x x F x C ?????=+'()=()()=()+???若,则 2. 第二类换元法 ()10[]()()d []d ()[]. x t t x x t t f t t G t f x x f t t t G t C G x C ?????????-1=() =-''=()()≠()()'()()=+()+? ? 令代回 若是单调可导函数,且,又具有原函数,则有换元公式 3. 分部积分法 ()()d ()()()()d d d . u x v x x u x v x u x v x x u v uv v u ''=-=-????或 4. 有理函数的积分法 化有理真分式为部分分式. 5. 三角函数有理式的积分 (sin cos )d ()tan 2 R x x x R u v u v x t =?对于,(其中,表示关于,的有理函数),可用“万能代换”化为有理函数的积分. 三、题解示例

一元函数微积分基本练习题及答案

一、极限题 1、求.)(cos lim 2 1 0x x x → 2、6 sin )1(lim 2 2 x dt e x t x ?-→求极限。 3、、)(arctan sin arctan lim 20x x x x x -→ 4、2 1 0sin lim x x x x ?? ? ??→ 5、? ?+∞ →x t x t x dt e dt e 0 20 2 2 2)(lim 6、 ) 1ln(1 lim -→+x e x x 7、x x x e x cos 11 20 ) 1(lim -→+ 8、 x x x x x x ln 1lim 1+--→ 9、) 1ln()2(sin ) 1)((tan lim 2 30 2 x x e x x x +-→ 10、1 0lim( )3 x x x x x a b c →++ , (,,0,1)a b c >≠ 11、)1)(12(lim 1--+∞ →x x e x 12、 )cot 1(lim 2 20x x x -→ 13、[] )1(3sin 1 lim 11x e x x ---→ 14、() ?? ???=≠+=0 021)(3 x A x x x f x 在0=x 点连续,则A =___________ 二、导数题 1、.sin 2 y x x y ''=,求设 2、.),(0y x y y e e xy y x '==+-求确定了隐函数已知方程 3、.)5()(2 3 的单调区间与极值求函数-=x x x f 4、要造一圆柱形油罐,体积为V ,问底半径r 和高h 等于多少时,才能使表面积最小, 这时底直径与高的比是多少?

一元函数微分学知识点

第一章 函数与极限 1. 函数 会求函数的定义域,对应法则; 几种特殊的函数(复合函数、初等函数等); 函数的几种特性(有界性、单调性、周期性、奇偶性) 2. 极限 (1)概念 无穷小与无穷大的概念及性质; 无穷小的比较方法;(高阶、低阶、同阶、等价) 函数的连续与间断点的判断 (2)计算 函数的极限计算方法(对照极限计算例题,熟悉每个方法的应用条件) 极限的四则运算法则 利用无穷小与无穷大互为倒数的关系; 利用无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小的性质; 消去零因子法; 无穷小因子分出法; 根式转移法; 利用左右极限求分段函数极限; 利用等价无穷小代换(熟记常用的等价无穷小); 利用连续函数的性质; 洛必达法则(掌握洛必达法则的应用条件及方法); ∞ ∞或00型,)()(lim )()(lim x g x f x g x f ''= 两个重要极限(理解两个重要极限的特点);1sin lim 0=→x x x ,1)()(sin lim 0)(=??→?x x x e x x x =+→10)1(lim ,e x x x =+∞→)11(lim , 一般地,0)(lim =?x ,∞=ψ)(lim x ,)()(lim )())(1lim(x x x e x ψ?ψ=?+ 3 函数的连续 连续性的判断、间断点及其分类 第二章 导数与微分 1 导数 (1)导数的概念:增量比的极限;导数定义式的多样性,会据此求一些函数的极限。 导数的几何意义:曲线上某点的切线的斜率 (2)导数的计算:

基本初等函数求导公式; 导数的四则运算法则;(注意函数积、商的求导法则) 复合函数求导法则(注意复合函数一层层的复合结构,不能漏层) 隐函数求导法则(a :两边对x 求导,注意y 是x 的函数;b :两边同时求微分;) 高阶导数 2 微分 函数微分的定义,dx x f dy x x )(00'== 第三章 导数的应用 洛必达法则(函数极限的计算) 函数的单调性与极值,最值、凹凸性与拐点的求法

多元函数微分学习题

第五部分 多元函数微分学(1) [选择题] 容易题1—36,中等题37—87,难题88—99。 1.设有直线? ??=+--=+++031020 123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π,则直线L ( ) (A) 平行于π。 (B) 在上π。(C) 垂直于π。 (D) 与π斜交。 答:C 2.二元函数??? ??=≠+=)0,0(),(, 0)0,0(),(,),(22y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处 ( ) (A) 连续,偏导数存在 (B) 连续,偏导数不存在 (C) 不连续,偏导数存在 (D) 不连续,偏导数不存在 答:C 3.设函数),(),,(y x v v y x u u ==由方程组? ??+=+=2 2v u y v u x 确定,则当v u ≠时,=??x u ( ) (A) v u x - (B) v u v -- (C) v u u -- (D) v u y - 答:B 4.设),(y x f 是一二元函数,),(00y x 是其定义域内的一点,则下列命题中一定正确的是( ) (A) 若),(y x f 在点),(00y x 连续,则),(y x f 在点),(00y x 可导。 (B) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在,则),(y x f 在点),(00y x 连续。 (C) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在,则),(y x f 在点),(00y x 可微。 (D) 若),(y x f 在点),(00y x 可微,则),(y x f 在点),(00y x 连续。 答:D 5.函数2223),,(z y x z y x f +++=在点)2,1,1(-处的梯度是( ) (A) )32,31, 31(- (B) )32,31,31(2- (C) )92,91,91(- (D) )9 2 ,91,91(2- 答:A

《数学分析》多元函数微分学

第四章多元函数微分学一、本章知识脉络框图

二、本章重点及难点 本章需要重点掌握以下几个方面容: ● 偏导数、全微分及其几何意义,可微与偏导存在、连续之间的关系,复合函数的偏导数 与全微分,一阶微分形式不变性,方向导数与梯度,高阶偏导数,混合偏导数与顺序无关性,二元函数中值定理与Taylor 公式. ● 隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数(组)求导方法、反函数组与坐标变换. ● 几何应用(平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线. ● 极值问题(必要条件与充分条件),条件极值与Lagrange 乘数法. 三、本章的基本知识要点 (一)平面点集与多元函数 1.任意一点A 与任意点集E 的关系. 1) 点. 若存在点A 的某邻域()U A ,使得()U A E ?,则称点A 是点集E 的点。 2) 外点. 若存在点A 的某邻域()U A ,使得()U A E ?=?,则称点A 是点集E 的外点。 3) 界点(边界点). 若在点A 的任何邻域既含有属于E 得的点,又含有不属于E 的点,则称点A 是点集E 的界点。 4) 聚点. 若在点A 的任何空心邻域()o U A 部都含有E 中的点,则称点A 是点集E 的 聚点。 5) 孤立点. 若点A E ∈,但不是E 的聚点,则称点A 是点集E 的孤立点。 2. 几种特殊的平面点集. 1) 开集. 若平面点集E 所属的每一点都是E 的点,则称E 为开集。 2)闭集. 若平面点集E 的所有聚点都属于E ,则称E 为闭集。 3) 开域. 若非空开集E 具有连通性,即E 中任意两点之间都可用一条完全含于E 得有限折线相连接,则称E 为开域。 4)闭域. 开域连同其边界所成的点集称为闭域。 5)区域. 开域、闭域或者开域连同某一部分界点所成的点集,统称为区域。 3.2 R 上的完备性定理. 1) 点列收敛定义:设{}2 n P R ?为平面点列,2 0P R ∈为一固定点。若对任给的正数ε,存在正整数N ,使得当n N >时,有()0,n P U P ε∈,则称点列{}n P 收敛于点0P ,记作 0lim n n P P →∞ = 或 ()0,n P P n →→∞.

成人高考一元函数积分学整理.

一元函数积分学 【知识要点】 1、理解原函数与不定积分的概念及其关系,掌握不定积分的性质。 2、熟练掌握不定积分的基本公式。 3、熟练掌握不定积分第一换元法,掌握第二换元法(仅限三角代换与简单的根式代换。 4、熟练掌握不定积分的分部积分法。 5、掌握简单有理函数不定积分的计算。 6、理解定积分的概念及其几何意义,了解函数可积的条件 7、掌握定积分的基本性质 8、理解变上限积分是变上限的函数,掌握对变上限积分求导数的方法。 9、熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式。 10、掌握定积分的换元积分法与分部积分法。 11、 . 理解无穷区间的广义积分的概念,掌握其计算方法。 12、掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体的体积。 1不定积分 定义函数 (x f 的全体原函数称为函数 (x f 的不定积分 , 记作?dx x f (, 并称?微积分号, 函数 (x f 为被积函数, dx x f (为被积表达式, x 为积分变量。因此 ? +=C x F dx x f ( (, 其中 (x F 是 (x f 的一个原函数, C 为任意常数(积分常数。基本积分公式(要求熟练记忆 (1 ?=C dx 0 (2 1(1

11 -≠++=+?a C x a dx x a a . (3 C x dx x +=? ln 1. (4 C a a dx a x x += ?ln 1 1, 0(≠>a a (5 C e dx e x x +=? (6 ?+-=C x xdx cos sin (7 ?+=C x xdx sin cos (8 C x x +=?tan cos 1 2 . (9 C x x +-=?cot sin 1

一元函数积分学在经济中的应用(1)

一元函数积分学在经济中的应用 一、导数在经济分析中的应用 (一)边际成本 总成本函数的导数称为边际成本。 边际成本是指在一定产量水平下,增加或减少一个单位产量所引起成本总额的变动数,用以判断增减产量在经济上是否合算。它是在管理会计和经营决策中常用的名词。当产量未达到一定限度时,边际成本随产量的扩大而递减,但当产量超越一定限度时,就转而递增。因此,当增加一个单位产量所增加的收入高于边际成本时,是合算的;反之,是不合算的。因此计算边际成本等于边际收入时,为企业获得其最大利润的产量。通过确定边际成本来提供经营决策所需资料的成本决策,称为边际成本计算。在实际工作中,边际成本计算常只按变动成本计算。 (二)边际收益 总收益函数的导数称为边际收益。 它表示销售一个单位产品后,再销售一个单位的产品所增加的收益。它可以是正值或负值。边际收益是厂商分析中的重要概念。利润最大化的一个必要条件是边际收益等于边际成本。在完全竞争条件下,任何厂商的产量变化都不会影响价格水平,需求弹性对个别厂商来说是无限的,总收益随销售量增加同比例增加,边际收益等于平均收益,等于价格。在非完全竞争)条件下,厂商的销售量同价格成反比。如果需求弹性大于1,即售量的增加的百分比,快于价格降低的百分比,总收益随销售量增加而增加,尽管不是同比例增加,平均收益下降,边际收益为零;如果需求弹性小于1,这时总收益随销售量增加而减少,平均收益更快下降,边际收益为负数。 (三)边际利润 总利润函数的导数称为边际利润。它表示:若已经生产了x个单位的产品,再生产多一个单位的产品总利润的增加量。 边际利润是反映增加产品的销售量能为企业增加的收益。销售单价扣除边际成本即为边际利润,边际利润是指增加单位产量所增加的利润。企业的经营收益减去会计成本,所得到的就是会计利润。按照我国的财会制度,有销售利润、利润总额及税后利润等概念。销售利润是销售收入扣除成本、费用和各种流转税及附加费后的余额;利润总额是企业在一定时期内实现盈亏的总额;税后利润是企业利润总额扣除应缴所得税后的利润。 一般情况下,总利润函数等于总收益函数与总成本函数之差,则边际利润是边际收益与边际成本之差。 二、函数在经济学中的应用。 需求函数。在经济管理中,需求函数是用来表示一种商品的需求数量和影响该需求数量的各种因素之间的相互关系的。也就是说,影响需求数量的各种因素是自变量,需求数量是因变量。需求函数是单调减少函数。 供给函数。供给函数表示一种商品的供给量和该商品的价格之间存在着一一对应的关系。 均衡价格。均衡价格是指一种商品的需求价格和供给价格相一致时的价格,也就是这种商品的市场需求曲线与市场供给曲线相交时的价格。

多元函数微分学复习(精简版)

高等数学下册复习提纲 第八章 多元函数微分学 本章知识点(按历年考试出现次数从高到低排列): 复合函数求导(☆☆☆☆☆) 条件极值---拉格朗日乘数法(☆☆☆☆) 无条件极值(☆☆☆☆) 曲面切平面、曲线切线(☆☆☆☆) 隐函数(组)求导(☆☆☆) 一阶偏导数、全微分计算(☆☆☆) 方向导数、梯度计算(☆☆) 重极限、累次极限计算(☆☆) 函数定义域求法(☆) 1. 多元复合函数高阶导数 例 设),,cos ,(sin y x e y x f z +=其中f 具有二阶连续偏导数,求x y z x z ?????2及. 解 y x e f x f x z +?'+?'=??31cos , y x y x y x y x e e f y f f e x e f y f y x z x y z ++++?''+-?''+'+?''+-?''=???=???])sin ([cos ])sin ([333231312 22析 1)明确函数的结构(树形图) 这里y x e w y v x u +===,cos ,sin ,那么复合之后z 是关于y x ,的二元函数.根据结构 图,可以知道:对x 的导数,有几条线通到“树梢”上的x ,结果中就应该有几项,而每一 项都是一条线上的函数对变量的导数或偏导数的乘积.简单的说就是,“按线相乘,分线相加”. 2)31,f f ''是),cos ,(sin ),,cos ,(sin 31y x y x e y x f e y x f ++''的简写形式,它们与z 的结构 相同,仍然是y x e y x +,cos ,sin 的函数.所以1f '对y 求导数为 z u v w x x y y

多元函数微积分学

第六章 多元函数微积分学 §6.1空间解析几何 习题 6-1 1.在空间直角坐标系中,指出下列各点所在的卦限: (2,2,3);(6,2,4);(1,5,3);(3,2,4);A B C D ------ (4,3,2); (2,3,1); (3,3,5); (1,2,3).E F G H ------ 2.写出坐标面上和坐标轴上的点的坐标的特征,并指出下列各点的位置: (2,0,3);(0,2,4);(0,0,3);(0,2,0);A B C D --- 3.求点(,,)M a b c 关于(1)各坐标面;(2)各坐标轴;(3)坐标原点的对称点的坐标. 4.求以点(1,3,2)O -为球心,且通过坐标原点的球面方程. 5.求与原点和0(2,3,4)M 的距离之比为1:2的点的全体所构成的曲面的方程,它表示怎样的曲面? 6. 指出下列方程组所表示的曲面 222(1)4x y z ++=; 7.指出下列方程组所表示的曲线: 22225(1)3 x y z x ?++=?=?; 22(2)20x y z +-=; 22(3)0x y -=; 22(4)0x y +=; 2 2(5)1916x y +=; 2 2 (6)125 y x -=; (7)0y -=;

2 (8)430y y -+=; 2(9)4x y =; 222(10)0z x y --=. §6.2 多元函数的基本概念 习题 6-2 1.设22,y f x y x y x ? ?+=- ?? ?,求(,)f x y . 2.已知函数(,,)w u v f u v w u w +=+,试求(,,)f x y x y xy -+. 3.求下列各函数的定义域: 2 (1)ln(21)z y x =-+ ; (2)z = 22(3)z = ; (4)z = ; (5)ln()z y x =- ; (6)u =4.求下列各极限 : 10 (1)y x y →→ (,)(0,0)(2) lim x y →; 22() (3)lim ()x y x y x y e -+→+∞→+∞ +; 222200 (4)lim x y x y x y →→+ ; 00(5)x y →→;22222200 1cos() (6)lim ()x y x y x y x y e →→-++. 5.证明下列极限不存在: 2222(,)(0,0)2(1)lim 32x y x y x y →-+; 1 00 (2)lim(1)x y x y xy +→→+ ; (,)(0,0)(3)lim x y →6.研究下列函数的连续性: 222(1)(,)2y x f x y y x +=-; 22(2)(,)ln()f x y xy x y =+.

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