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高中数学必修一 函数的应用

高中数学必修一  函数的应用
高中数学必修一  函数的应用

函数的应用

教学目标

知识目标: 使学生能根据实际问题抽象出函数的数学模型;

使学生学会用数形结合的思想解决函数值大小比较的实际问题;

能力目标: 培养学生数学的应用意识,提高解决实际问题的能力; 情感目标: 培养学生学习数学的兴趣和积极性。

教学重点和难点:

使学生学会从实际问题抽象出函数的数学模型,并用数形结合的思想解决函数值大小比较的实际问题。

课前准备:学生调查桑塔纳出租车计价情况 教学过程:

一、复习

提问:我们已学的一次函数、正比例函数、常值函数都可用怎样的函数解析式表示?

y=kx+b :当k 0≠时是一次函数;当k 0≠,b=0时是正比例函数;当k=0时是常值函数。

[说明:渗透分类的数学思想,明确函数间的关系]

二、函数的应用

1、 龟兔赛跑(动画演示)

师:兔子在醒来后,发现乌龟已在自己前面2500米处,很后悔,以每小时跑3000米的速度奋力去追,而乌龟仍以每小时500米的速度继续前进,那么谁能胜利呢?

师:你能用学过的方法直观地反映这一问题吗? (学生讨论后回答)

若设兔子醒后追赶了t 小时,龟、兔离开兔子睡觉处的路程S (米)与时间t (小时)各是什么关系?并在同一直角坐标系内画出图象。

(学生回答)

师:(板书)兔:1S =3000t

()0≥t ;

龟:t S 50025002+=

()0≥t ;

(图象实物投影) 师:图象的交点表示什么实际意义?交点左侧表示什么意义?右侧又表示什么意义呢?

(学生回答后,老师归纳)

归纳:两图象交点表示当自变量为交点横坐标时,两函数值相等,且同为交点纵坐标;反映在龟兔赛跑中,即经过相同的时间,兔子正好追上乌龟;

交点左侧部分图象对于相同的自变量,两函数值不同,其中位于上方图象的函数值大于下方图象的相应函数值;反映在龟兔赛跑中,即乌龟跑在兔子前面,

[说明:对学生

脑海中传统的龟兔赛跑的结局提出问题,引发学生兴趣的同时也引起学生的思考,从而考虑解决问题的方法;通过对函数图象的一系列问题这一师生间的互动,使学生充分认识图象获取信息,理解图象的实际含义,直观感受到数形结合解决这类问题的价值,从学法上给学生以指导,为后面学生自主解

乌龟胜利;

交点右侧部分图象对于相同的自变量,两函数值也不同,其中位于上方图象的函数值也大于下方图象的相应函数值;反映在龟兔赛跑中,即兔子超过了乌龟,

兔子胜利;

以上是从相同的自变量即时间的角度,直观地看出函数值也就是路程的大小。我们还可以从什么角度来理解呢?

生:也可从距离来理解。

交点表示终点距离兔子睡觉处正好是交点纵坐标时,乌龟和兔子同时到达; 交点左侧表示终点距离兔子睡觉处小于交点纵坐标时,乌龟到达终点所用的时间比兔子少,乌龟胜利;

交点右侧表示终点距离兔子睡觉处大于交点纵坐标时,乌龟到达终点所用的时间比兔子多,兔子胜利。

(师生共同求出不同时间内龟、兔路程关系)

师:(板书) 当t=1时,21y y =,龟、兔同时到达; 当t ≤0<1时,21y y <,乌龟胜利;

当t>1时,21y y >,兔子胜利。

师:(小结)龟兔赛跑实质上就是比较函数值大小问题,对于这类问题,我们应该:第一根据实际建立合适的函数解析式;第二在同一直角坐标平面内画出图象;最后利用数形结合的思想方法解决函数值大小比较问题。

决出租车收费

问题作了很好的铺垫。]

(提出课题:函数的应用) 2、 出租车收费问题

原来桑塔纳出租车起步费为14.40元,最多行驶5公里,5公里以上10公里以内每公里计价1.80元。现在桑塔纳出租车计程费为起步费10元,最多行驶3公里,3公里以上10公里以内每公里计价2元。不计途中停车时间等。请分析在10公里范围内对乘客来讲哪一种收费方式更优惠?

(学生讨论回答,并画图象直观分析后准确求出路程与收费关系)

师:(板书)现在: 1y =10 (0

(5

当x=7时,21y y =,收费相同; 当0

当x>7时,21y y >,原来的优惠。

师:通过这一问题的分析,大家可以进一步去了解出租车费调价的原因。

思考:按现在的收费方式,我从出发地到目的地共20公里路程,是一辆车坐到底还是途中换车合算?为什么?(机动) 三、小结

1、学数学是为了用数学,数学在生活中所起的作用很大;

2、用函数知识解决实际问题时,应先建立函数解析式,画出图象,用数形结合

的思想方法解决实际问题,生活中有很多这类问题,如电费、信息费等,都可用这一方法来解决。

3、实际生活中的问题与理想化的数学有一定的差距。

四、作业

补充:为了加快教学的现代化,某校计划购置一批电脑,已知甲公司的报价为每台5800元,优惠条件为购买10台以上,则从第11台开始按报价的70%计算,乙公司的报价也是每台5800元,但优惠条件是为了支持教育,每台均按报价的85%计算,假如你是学校的负责人,在电脑品牌、质量、售后服务等完全相同的条件下,你如何选择?

课后记

用学生耳熟能详的故事和日常经历过的事例加深学生理解函数,理解函数的实际应用价值,进行有用数学的教学,使学生初步具有用数学眼光来关注身边事物的意识;同时也是对已学正、反比例函数、一次函数知识的拓展。

高一数学必修一 函数知识点总结

3. 函数值域的求法: ①配方法:转化为二次函数,利用二次函数的特征来求值;常转化为型),(,)(2n m x c bx ax x f ∈++=的形式; ②逆求法(反求法):通过反解,用y 来表示x ,再由x 的取值范围,通过解不等式,得出y 的取值范围;常用来解,型 如: ),(,n m x d cx b ax y ∈++= ; ④换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想; 常针对根号,举例: 令 ,原式转化为: ,再利用配方法。 ⑤利用函数有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域; ⑥基本不等式法:转化成型如: )0(>+ =k x k x y ,利用平均值不等式公式来求值域; ⑦单调性法:函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域。 ⑧数形结合:根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域。 二.函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) (1)增函数 设函数y=f(x)的定义域为I ,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2,当x 1?<∈对任意的 注:① 函数上的区间I 且x 1,x 2∈I.若2 121)()(x x x f x f -->0(x 1≠x 2),则函数f(x)在区间I 上是增函数; 若2121)()(x x x f x f --<0(x 1≠x 2),则函数f(x)是在区间I 上是减函数。 ② 用定义证明单调性的步骤: <1>设x1,x2∈M ,且21x x <;则 <2> )()(21x f x f -作差整理; <3>判断差的符号; <4>下结论; ③ 增+增=增 减+减=减 ④ 复合函数y=f[g(x)]单调性:同增异减 [](内层) (外层)) (,则)(,)((x f y x u u f y ??===

高中数学必修一函数难题

高中函数大题专练 2、对定义在[0,1]上,并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为G 函数。 ① 对任意的[0,1]x ∈,总有()0f x ≥; ② 当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时,总有1212()()()f x x f x f x +≥+成立。 已知函数2()g x x =与()21x h x a =?-是定义在[0,1]上的函数。 (1)试问函数()g x 是否为G 函数?并说明理由; (2)若函数()h x 是G 函数,求实数a 的值; (3)在(2)的条件下,讨论方程(21)()x g h x m -+=()m R ∈解的个数情况。 3.已知函数| |212)(x x x f - =. (1)若2)(=x f ,求x 的值; (2)若0)()2(2≥+t mf t f t 对于[2,3]t ∈恒成立,求实数m 的取值范围. 4.设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数.若当0x ≥时,11,()0,f x x ?-?=??? 0;0.x x >= (1)求)(x f 在(,0)-∞上的解析式. (2)请你作出函数)(x f 的大致图像. (3)当0a b <<时,若()()f a f b =,求ab 的取值范围. (4)若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解,求,b c 满足的条件. 5.已知函数()(0)|| b f x a x x =-≠。 (1)若函数()f x 是(0,)+∞上的增函数,求实数b 的取值范围; (2)当2b =时,若不等式()f x x <在区间(1,)+∞上恒成立,求实数a 的取值范围; (3)对于函数()g x 若存在区间[,]()m n m n <,使[,]x m n ∈时,函数()g x 的值域也是 [,]m n ,则称()g x 是[,]m n 上的闭函数。若函数()f x 是某区间上的闭函数,试探求,a b 应满足的条件。 6、设bx ax x f += 2)(,求满足下列条件的实数a 的值:至少有一个正实数b ,使函数)(x f 的定义域和值域相同。 7.对于函数)(x f ,若存在R x ∈0 ,使00)(x x f =成立,则称点00(,)x x 为函数的不动点。

高中数学必修1《函数的应用》知识点

高中数学必修1《函数的应用》知识点(总7页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 -CAL-本页仅作为文档封面,使用请直接删除

第4章 函数的应用 第1讲 函数与方程 一、连续函数 连续函数: 非连续函数: 二、方程的根与函数的零点 ()()()0001f x x f x x f x ?、零点:对于函数,若使=0,则称为函数的零点. ()()()=0y f x f x y f x x ??2、函数=的零点方程的实根函数=图像与交点的横坐标. 3、零点存在性定理: ()[]()()()(),::,. 0.y f x a b p q y f x a b f a f b ?????

()f x 三、用二分法求=0的近似解 步骤: ()()()()()()( )1 2121233131323231,,0; 2,;2 30,20,2.i i x x f x f x x x x f x f x f x x x f x f x x x x x d +?<+= ?

高中数学必修系列函数基础知识

高中数学必修系列函数基础知识 初等函数的性质定义判定方法函数的奇偶性 函如果对一函数f(x)定义域内任意一个x,都有 f(-x)=-f(x),那么函数f(x)叫做奇函数; 函如果对一函数f(x)定义域内任意一个x,都有 f(-x)=f(x),那么函数f(x)叫做偶函数 (1)利用定义直接判断; (2)利用等价变形判断: f(x)是奇函数f(-x)+f(x)=0?f(x)是 数f(-x)-f(x)=0 函数的单调性 对于给定的区间上的函数f(x): (1)如果对于属于这个去件的任意两个自变的值 x1、x2,当x1

二次函数 y=ax2+bx+c(a、 b、c为常数,其中a ≠0) R a>0时,?[- ,+∞) a<0时,?(- ∞,] b=0时为偶函数 b≠0时为非奇非 偶函数 a>0时,?在(-∞,-]上是减函数 在(-,+∞]上是增函数 a<0时, 在(-∞,-]上是增函数 在(-,+∞]上是减函数角 一条射线绕着它的端点旋转所产生的图形叫做角。旋转开始时的射线叫角的始边,旋转终止时的射线叫 角的终边,射线的端点叫做角的顶点。 角的单 位制 关系弧长公式扇形面积公式 角度制10=弧度≈0.01745 弧度 l=S 扇形= 弧度制1弧度=≈57018'l=∣α∣·r S 扇形=∣α∣·r 2=lr 角的终 边 位置角的集合 在x轴正半轴上{α∣α=2kπ,k Z} 在x轴负半轴上{α∣α=2kπ+π,kZ} 在x轴上{α∣α=kπ,k Z} 在y轴上{α∣α=kπ+,k Z} 在第一象限内{α∣2kπ<α<2kπ+,kZ} 在第二象限内{α∣2kπ+<α<2kπ+π,k Z} 在第三象限内 {α∣2kπ+π<α<2kπ+,kZ} 在第四象限内 {α∣2kπ+<α<2kπ+2π,kZ} 特殊角 的三角 函数值 函数/角0 π2π sina 0 1 0 -1 0 cosa 10 -10 1

高中数学必修一函数的概念知识点总结

必修一第一章 集合与函数概念 二、函数 知识点8:函数的概念以及区间 1》函数概念 设A 、B 是非空的数集,如果按某个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应,那么就称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数,记作y =()f x 注意:①x A ∈.其中,x 叫自变量,x 的取值范围A 叫作定义域 ②与x 的值对应的y 值叫函数值,函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域. 2》区间和无穷大 ①设a 、b 是两个实数,且a=+∞,{|}[,)x x a a ≥=+∞,{|}(,)x x b b <=-∞,{|}(,]x x b b ≤=-∞,(,)R =-∞+∞. 3》决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时,函数才是同一函数. 典例分析 题型1:函数定义的考察 例1:集合A=}{40≤≤x x ,B=}{20≤≤y y ,下列不表示从A 到B 的函数是( ) A 、x y x f 21)(= → B 、x y x f 31 )(=→ C 、 x y x f 32 )(=→ D 、x y x f =→)( 例2:下列对应关系是否是从A 到B 的函数: ① }{;:,0,x x f x x B R A →>== ②,:,,B A f N B Z A →==求平方; ③B A f Z B Z A →==:,,,求算术平方根; ④B A f Z B N A →==:,,,求平方; ⑤A=[-2,2],B=[-3,3],B A f →:,求立方。 是函数的是_________________。 题型2:区间的表示 例1:用区间表示下列集合 (1) }{1≥x x =_____________。 (2)}{42≤x x x 且=_____________。 (4)}{3-≤x x =______________。 题型3:求函数的定义域和值域 例1:求函数的定义域 (1)32+=x y (2)1 21 y x =+- (3)2 1-= x y (4)y = (5) 0)1(3 1 4++++ +=x x x y

高中数学必修一函数的概念及其表示

函数的概念和函数的表示法 考点一:由函数的概念判断是否构成函数 函数概念:设 A 、B 是非空的数集,如果按照某种确定的关系 f ,使对于集合 A 中的任意一个数 x ,在集合 B 中都有唯一确定的数 f (x )和它对应,那么就称 f :A →B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。 例 1. 下列从集合 A 到集合 B 的对应关系中,能确定 y 是 x 的函数的是( ) x ① A={x x ∈Z},B={y y ∈ Z} ,对应法则 f :x →y= ; 3 ② A={x x>0,x ∈R}, B={y y ∈ R} ,对应法则 f :x → y 2 =3x; A=R,B=R, 对应法则 f :x →y= x 2; A .①②③④ B .①②③ C .②③ D .② 考点二:同一函数的判定 函数的三要素:定义域、对应关系、值域。 如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,我们就称这两个函数相等。 例 2. 下列哪个函数与 y=x 相同( ) 变式 1. 列图像中,是函数图像的是( ② 变式 2. 已知函数 y=f ( x ),则对于直线 x=a (a 为常数) A. y=f ( x )图像与直线 x=a 必有一个交点 C.y=f ( x )图像与直线 x=a 最少有一个交点 变式 4. 对于函数 y =f (x ) ,以下说法正确的有? ( ①y 是 x 的函数 ②对于不同的 x ,y 的值也不同 ③f (a ) 表示当 x = a 时函数 f (x ) 的值,是一个常量 A .1 个 B .2 个 C .3 个 D 变式 5.设集合 M ={x|0 ≤x ≤ 2} ,N = {y|0 ≤y ≤2},那么下面的 4 个图形中,能表示集合 M 到集合 N 的函 ,以下说法正确的是( B.y=f ( x )图像与直线 x=a 没有交点 D.y=f ( x )图像与直线 x=a 最多有一个交点 ④ f (x ) 一定可以用一个具体的式子表示出来 . 4 个 y 2x 1,x ∈ Z 与 y 2x 1, x ∈Z

高中数学必修1函数的基本性质

高中数学必修1函数的基本性质 1.奇偶性 (1)定义:如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (-x )=-f (x ),则称f (x )为奇函数;如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (-x )=f (x ),则称f (x )为偶函数。 如果函数f (x )不具有上述性质,则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质,则f (x )既是奇函数,又是偶函数。 注意: ○ 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质; ○ 2 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x ,则-x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)。 (2)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤: ○ 1 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; ○ 2 确定f (-x )与f (x )的关系; ○ 3 作出相应结论: 若f (-x ) = f (x ) 或 f (-x )-f (x ) = 0,则f (x )是偶函数; 若f (-x ) =-f (x ) 或 f (-x )+f (x ) = 0,则f (x )是奇函数。 (3)简单性质: ①图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称; ②设()f x ,()g x 的定义域分别是12,D D ,那么在它们的公共定义域上: 奇+奇=奇,奇?奇=偶,偶+偶=偶,偶?偶=偶,奇?偶=奇 2.单调性 (1)定义:一般地,设函数y =f (x )的定义域为I , 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2,当x 1f (x 2)),那么就说f (x )在区间D 上是增函数(减函数); 注意: ○ 1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; ○ 2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2;当x 1

高中数学必修1《 函数的应用》知识点

第4章 函数的应用 第1讲 函数与方程 一、连续函数 连续函数: 非连续函数: 二、方程的根与函数的零点 ()()()0001f x x f x x f x ?、零点:对于函数,若使=0,则称为函数的零点. ()()()=0y f x f x y f x x ??2、函数=的零点方程的实根函数=图像与交点的横坐标. 3、零点存在性定理: ()[]()()()(),::,.0.y f x a b p q y f x a b f a f b ?????

()f x 三、用二分法求=0的近似解 步骤: ()()()()()()()12121233131323231,,0; 2,;2 30,20,2.i i x x f x f x x x x f x f x f x x x f x f x x x x x d +?<+= ?

高中数学人教版必修函数的概念作业(系列一)

1.2.1 函数的概念 时间:45分钟 分值:100分 一、选择题(每小题6分,共计36分) 1.下列四个方程中表示y 是x 的函数的是( ) ①x -2y =6 ②x 2+y =1 ③x +y 2=1 ④x =y A .①② B .①④ C .③④ D .①②④ 解析:对于①,得y =1 2x -3,y 是x 的一次函数; 对于②,得y =1-x 2,y 是x 的二次函数; 对于③,得y 2=1-x ,当x =-3时,y 1=2,y 2=-2,y 不是x 的函数; 对于④,得y =x 2(x ≥0),y 是x 的二次函数. 答案:D 2.下列四组式子中,f (x )与g (x )表示同一函数的是( ) A .f (x )=4x 4,g (x )=(4x )4 B .f (x )=x ,g (x )=3 x 3 C .f (x )=x ,g (x )=(x )2 D .f (x )=x 2-4 x +2 ,g (x )=x -2 解析:A 、C 、D 定义域不同,B 定义域、对应关系、值域都相同. 答案:B 3.函数y =4-x 2 x -1的定义域为( ) A .[-2,2] B .[-2,2) C .[-2,1)∪(1,2] D .(-2,1)∪(1,2) 解析:解不等式组??? 4-x 2≥0, x -1≠0, 解得[-2,1)∪(1,2]. 答案:C 4.若g (x )=1-2x, f (g (x ))=1-x 2x 2,则f (1 2)的值为( ) A .1 B .15

C .4 D .30 解析:方法一:由f [g (x )]=1-x 2x 2,得f (1-2x )=1 x 2-1. 设1-2x =t ,则x =1-t 2, ∴f (t )=41-t 2-1. ∴f (12 )= 41-12 2-1=15. 方法二:令g (x )=1-2x =1 2, ∴x =14.∴f (1 2)=1-1161 16=15. 答案:B 5.函数f (x )的定义域是[0,3],则f (2x -1)的定义域是( ) A .[1 2,2] B .[0,3] C .[-1,5] D .(1 2 ,2) 解析:由f (x )定义域为[0,3]知,0≤2x -1≤3,即1 2≤x ≤2. 答案:A 6.已知集合A ={x |x ≥4},g (x )=1 1-x +a 的定义域为B ,若A ∩B =?,则实数a 的取值 范围是( ) A .(-2,4) B .(3,+∞) C .(-∞,3) D .(-∞,3] 解析:g (x )的定义域B ={x |x

高一数学必修一函数及其表示-函数的概念

1.2函数及其表示 §1.2.1函数的概念 【教学目的】 1、使学生理解函数的概念,明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素; 2、理解函数符号的含义,能根据函数表达式求出定义域、值域; 3、使学生能够正确使用“区间”、“无穷大”的记号; 4、使学生明白静与动的辩证关系,激发学生学习数学的兴趣和积极性。 【教学重点】 在对应的基础上理解函数的概念 【教学难点】 函数概念的理解 【教学过程】 一、复习引入 〖提问〗初中学习的(传统)的函数的定义是什么?初中学过哪些函数? 〖回答〗设在一个变化过程中有两个变量x 和y ,如果对于x 的每一个值,y 都有唯一的值与它对应,那么就说x 是自变量,y 是x 的函数,并将自变量x 取值的集合叫做函数的定义域,和自变量x 的值对应的y 值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域,这种用变量叙述的函数定义我们称之为函 数的传统定义。 〖讲述〗初中已经学过:正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等。 〖提问〗问题1:y =1(x ∈R )是函数吗? 问题2:y =x 与y = x x 2 是同一函数吗? 〖投影〗观察对应: 〖分析〗观察分析集合A 与B 之间的元素有什么对应关系? 二、讲授新课 函数的概念 (一)函数与映射 〖投影〗函数:设A ,B 是非空的数集,如果按某个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个

数x ,在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应,那么就称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数,记作y =)(x f ,x ∈A 。其中x 叫自变量,x 的取值范围A 叫做函数y =)(x f 的定义域;与x 的值相对应的y 的值叫做函数值,函数值的集合{)(x f |x ∈A},叫做函数y =)(x f 的值域。 函数符号y =)(x f 表示“y 是x 的函数”,有时简记作函数)(x f 。 函数的三要素:对应法则f 、定义域A 、值域{)(x f |x ∈A} 注:只有当这三要素完全相同时,两个函数才能称为同一函数。 映射:设,A B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应,那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射. 如果集合A 中的元素x 对应集合B 中元素y ,那么集合A 中的元素x 叫集合B 中元素y 的原象,集合B 中元素y 叫合A 中的元素x 的象. 映射概念的理解 (1)映射B A f →:包含三个要素:原像集合A ,像集合B(或B 的子集)以及从集合A 到集合B 的对应法则f .两个集合A,B 可以是数集,也可以是点集或其他集合.对应法则f 可用文字表述,也可以用符号表示.映射是一种特殊的对应关系,它具有: (1)方向性:映射是有次序的,一般地从A 到B 的映射与从B 到A 的映射是不同的; (2)任意性:集合A 中的任意一个元素都有像,但不要求B 中的每一个元素都有原像; (3)唯一性:集合A 中元素的像是唯一的,即不允许“一对多”,但可以“多对一”. 函数与映射的关系 函数是一种特殊的映射.映射与函数概念间的关系可由下表给出. 映射B A f →: 函数B y A x x f y ∈∈=,),( 集合A,B 可为任何集合,其元素可以是物,人,数等 函数的定义域和值域均为非空的数集 对于集合A 中任一元素a ,在集合B 中都有唯一确定的像 对函数的定义域中每一个x ,值域中都有唯一确定的值与之对应 对集合B 中任一元素b ,在集合A 中不一定有原像 对值域中每一个函数值,在定义域中都有确定的自变量的值与之对应 函数是特殊的映射,映射是函数的推广. 〖注意〗(1)函数实际上就是集合A 到集合B 的一个特殊对应f :A →B 。这里A ,B 为非空的数集。 (2)A :定义域,原象的集合;{)(x f |x ∈A}:值域,象的集合,其中{)(x f |x ∈A}?B ;f :对应法则,x ∈A ,y ∈B (3)函数符号:y =)(x f ,y 是x 的函数,简记) (x f 〖回顾〗(二)已学函数的定义域和值域: 1、一次函数)(x f =ax +b (a ≠0):定义域R ,值域R 2、反比例函数)(x f = x k (k ≠0):定义域{x |x ≠0},值域{y | y ≠0} 3、二次函数)(x f =ax 2 +bx +c (a ≠0):定义域R ,值域:当a >0时,{y |y ≥a b a c 442 -};

(新)高中数学必修一函数部分难题汇总

函数部分难题汇总 1.函数()y f x =的图象与直线1x =的公共点数目是( ) A .1 B .0 C .0或1 D .1或2 2.为了得到函数(2)y f x =-的图象,可以把函数(12)y f x =-的图象适当平移, 这个平移是( ) A .沿x 轴向右平移1个单位 B .沿x 轴向右平移 1 2个单位 C .沿x 轴向左平移1个单位 D .沿x 轴向左平移1 2 个单位 3.设? ??<+≥-=)10()],6([) 10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为( ) A .10 B .11 C .12 D .13 4.已知函数y f x =+()1定义域是[]-23,,则y f x =-()21的定义域是( ) A .[]052 , B. []-14, C. []-55, D. []-37, 5.函数x x x y += 的图象是( ) 6.若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数,则下列关系式中成立的是( ) A .)2()1()2 3(f f f <-<- B .)2()2 3()1(f f f <-<- C .)23()1()2(-<-

高中数学必修-函数性质

高中数学必修 第二章 函数 1.函数的有关概念 (1)函数的三要素:定义域、对应关系和值域. (2)相等函数:如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则这两个函数为相等函数. (3)函数的表示法:表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法. 2. 求给出解析式的函数定义域的基本方法: (1))(x f 为整式型函数时,定义域为R ; (2))(x f 为分式型函数时,定义域为使分母不为零的实数的集合; (3))(x f 为偶次根式型函数时,定义域为使被开方数非负的实数的集合; (4))(x f 为零次幂型函数时,定义域为底数不为零的实数的集合; (5)若)(x f 是由上述几部分式子构成,则定义域为各个简单函数定义域的交集。 3.增函数、减函数 一般地,设函数f (x )的定义域为I ,区间D ?I ,如果对于任意x 1,x 2∈D ,且x 1<x 2,则都有: (1)f (x )在区间D 上是增函数?f (x 1)<f (x 2); (2)f (x )在区间D 上是减函数?f (x 1)>f (x 2). 4.利用定义法判断函数单调性的步骤: (1)取值:在指定区间上任取)(,,122121x x x x x x <<或且令; (2)作差:将)]()()[()(1221x f x f x f x f --或进行化简变形,变形的方向应有利于判断)()(21x f x f - )]()([12x f x f -或的符号,主要的变形方法有因式分解、配方、有理化等; (3)定号:对变形后盾额差进行判断,确定)]()()[()(1221x f x f x f x f --或的符号; (4)判断:判断函数符合增函数还是减函数的定义,从而得出结论。 复合函数单调性的确定: “同增异减”. 5.函数的奇偶性 (1)一般地,如果对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ,都有)()(x f x f --=,那么函数)(x f 就叫做奇函数;奇函数的图象关于)0,0(对称;0)0(=f

人教版高中数学必修一函数知识点(精简版)

函数常考知识点汇总 1.2.1函数的概念 1、函数的概念 设A 、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数.记作: y=f(x),x ∈A . 【定义域补充】 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是 (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零; (4)指数、对数式的底数必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零 (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 3、相同函数的判断方法 (1)定义域一致;(2)表达式相同 (两点必须同时具备) 注意:两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。 1.2.2函数的表示法 4、函数图象知识 (Ⅰ)对称变换 ①将y= f(x)在x 轴下方的图象向上翻得到y=∣f(x)∣的图象如:书上P21例5 ②y= f(x)和y= f(-x)的图象关于y 轴对称。如1x x x y a y a a -?? === ??? 与 ③y= f(x)和y= -f(x)的图象关于x 轴对称。如1log log log a a a y x y x x ==-=与 6、函数的解析式 A 、如果已知函数解析式的构造时,可用待定系数法; B 、已知复合函数f[g(x)]的表达式时,可用换元法,这时要注意元的取值范围;当已知表达式较简单时,也可用凑配法; C 、若已知抽象函数表达式,则常用解方程组消参的方法求出f(x) 1.3.1函数单调性与最大(小)值 1、函数的单调性定义 设函数y=f(x)的定义域为I ,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2,当x 1>且()f x 与()g x 都是增(减)函数,则()()f x g x g 也是增(减)函数; 若()0,()0f x g x <<且()f x 与()g x 都是增(减)函数,则()()f x g x g 也是减(增)函数; 5、函数的最大(小)值定义 (ⅰ)一般地,设函数y=f(x)的定义域为I ,如果存在实数M 满足:(1)对于任意的x ∈I ,都有f(x)≤M ; (2)存在x 0∈I ,使得f(x 0) = M 那么,称M 是函数y=f(x)的最大值.

高中数学必修一函数知识点总结

高中数学必修一函数知识点总结 同学们,今天开始讲解函数章节学习,函数这章极其重要,因为函数是高中数学重要的枢纽章节,高中数学除了立体几何和概率统计和函数没有关系之外,所有章节多多少少和函数有关系,所以函数学不好高中数学很难突破100以上,那么从第一堂开始往下面讲,认真往下听把所有题目听懂按照肖老师的要求掌握函数,学好函数是没有问题。函数这章我们应该讲什么内容呢? 函数先看他的树枝图,第一个点要了解函数定义讲完,讲解函数三要素(定义域、解析式、值域)

接下来讲解函数四性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性) 接下来讲解函数类型主要讲解二次函数、指数、对数、幂函数、反函数这些内容讲完后,这个就是函数基础内容。 函数基础内容讲完后,准备了函数专题一:讲解函数零点问题分为了四个题型格外重要,一出题就是高考压轴题

那么第二个专题讲到恒成立问题 第三个专题总结一下函数压轴小题不能常规做,如果常规做,极有可能时间浪费掉正确答案也做不出来,有技巧的,有三个技巧方法非常高效。 第一种题型:三次函数的单调性、极值、最值及其应用,其实这个点,我们在六类不等式提到过。 第二种题型:差异取值验证法在解决函数选择难题中的妙用,全国卷做完百分之八十压轴选择题,除了一点函数题之外,其他章节题目也能用这个思想去做,同学可能或多或少有了解,带着大家把这种方法彻底让你掌握,高效去做压轴选择题 第三种题型:已知函数不等式求解抽象不等式这种题型是构造函数这些内容全部讲完相信你对函数这章体系特别完整,那么后续学习其他章节就不会因为函数这章没有学好而影响后面的学习。 那么开始进入第一个点函数三要素,一个点定义域,给大家讲解三个

高中数学最全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解

(经典)高中数学最全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解 分析 一、函数的概念与表示 1、映射:(1)对映射定义的理解。(2)判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射,多对一是映射 集合A ,B 是平面直角坐标系上的两个点集,给定从A →B 的映射f:(x,y)→(x 2+y 2,xy),求象(5,2)的原象. 3.已知集合A 到集合B ={0,1,2,3}的映射f:x →11 -x ,则集合A 中的元素最多有几个?写出元素最多时的集合A. 2、函数。构成函数概念的三要素 ①定义域②对应法则③值域 函 数 解 析 式 的 七 种 求 法 待定系数法:在已知函数解析式的构造时,可用待定系数法。 例1 设)(x f 是一次函数,且34)]([+=x x f f ,求)(x f 配凑法:已知复合函数[()]f g x 的表达式,求()f x 的解析式,[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时,常用配凑法。但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域,而是()g x 的值域。 例2 已知221 )1(x x x x f +=+ )0(>x ,求 ()f x 的解析式 三、换元法:已知复合函数[()]f g x 的表达式时,还可以用换元法求()f x 的解析式。与配凑法一样,要注意所换元的定义域的变化。 例3 已知x x x f 2)1(+=+,求)1(+x f 四、代入法:求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时,一般用代入法。 例4已知:函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称,求)(x g 的解析式

五、构造方程组法:若已知的函数关系较为抽象简约,则可以对变量进行置换,设法构造方程组,通过 解方程组求得函数解析式。例5 设,)1 (2)()(x x f x f x f =-满足求)(x f 例6 设)(x f 为偶函数,)(x g 为奇函数,又,1 1 )()(-= +x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式 六、赋值法:当题中所给变量较多,且含有“任意”等条件时,往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值,使问题具体化、简单化,从而求得解析式。 例7 已知:1)0(=f ,对于任意实数x 、y ,等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立,求)(x f 七、递推法:若题中所给条件含有某种递进关系,则可以递推得出系列关系式,然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。 例8 设)(x f 是+N 上的函数,满足1)1(=f ,对任意的自然数b a , 都有ab b a f b f a f -+=+)()()(,求 )(x f 1、求函数定义域的主要依据: (1)分式的分母不为零;(2)偶次方根的被开方数不小于零,零取零次方没有意义; (3 2(1) ()x 已知f 的定义域是[-2,5],求f(2x+3)的定义域。 (2) (21)x x 已知f -的定义域是[-1,3],求f()的定义域 1求函数值域的方法 ①直接法:从自变量x 的范围出发,推出y=f(x)的取值范围,适合于简单的复合函数; ②换元法:利用换元法将函数转化为二次函数求值域,适合根式内外皆为一次式; ③判别式法:运用方程思想,依据二次方程有根,求出y 的取值范围;适合分母为二次且x ∈R 的分式; ④分离常数:适合分子分母皆为一次式(x 有范围限制时要画图); ⑤单调性法:利用函数的单调性求值域; ⑥图象法:二次函数必画草图求其值域; ⑦利用对号函数

高中数学必修1函数知识点总结

高中数学必修1函数知识总结 一、函数的有关概念 1.函数的概念:设A 、B 是非空的 ,如果按照某个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有 的数f(x)和它对应,那么就称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数.记作: y=f(x),x ∈A .函数的三要素为 找错误:①其中,x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域; ②与x 的值相对应的y 值叫做函数值,所以集合B 为值域。 注意:1、如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式. 专项练习1.求函数的定义域: 类型1.⑴22153x x y x --= + ⑵0 (21)y x =- ⑶2214log (1) y x x = +-+ 总结: 能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:(1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零 (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (注意:求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 类型2 抽象函数求定义域: 1.已知)(x f 的定义域,求复合函数()][x g f 的定义域 方法总结 练习1.已知函数()f x 的定义域为[]15-,,求(35)f x -的定义域为 练习2、设函数f x ()的定义域为[]01,,则函数f x ()2 的定义域为 2.已知复合函数()][x g f 的定义域,求)(x f 的定义域方法总结 练习1.若函数(1)f x +的定义域为[]-23,,求函数()f x 的定义域. 练习2. 已知函数2 (22)f x x -+的定义域为[]03,,求函数()f x 的定义域. 3.已知复合函数[()]f g x 的定义域,求[()]f h x 的定义域方法总结 练习1.若函数(1)f x +的定义域为[]-23,,则函数(21)f x -的定义域是 练习2、已知函数的定义域为,则y=f(3x-5)的定义域为________。

高中数学必修一函数专项练习

高中数学必修一函数专项练习 1、函数定义:设A 、B 是非空数集,如果按照某种确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数和它对应,那么称 为从集合A 到集合B 的一个函数,记作:. 其中,x 叫自变量,x 的取值范围A 叫作定义域,与x 的值对应的y 值叫函数值,函数值的集合叫值域. 函数的三要素:定义域A 、对应关系f 和值域。 2、函数相同的判别: ① 如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数); ②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关. 3、区间及其写法:设a 、b 是两个实数,且aa}=;{x|x ≤b}=;{x|x或()f x =(3)f 2(1)f a -