函数的应用
教学目标
知识目标: 使学生能根据实际问题抽象出函数的数学模型;
使学生学会用数形结合的思想解决函数值大小比较的实际问题;
能力目标: 培养学生数学的应用意识,提高解决实际问题的能力; 情感目标: 培养学生学习数学的兴趣和积极性。
教学重点和难点:
使学生学会从实际问题抽象出函数的数学模型,并用数形结合的思想解决函数值大小比较的实际问题。
课前准备:学生调查桑塔纳出租车计价情况 教学过程:
一、复习
提问:我们已学的一次函数、正比例函数、常值函数都可用怎样的函数解析式表示?
y=kx+b :当k 0≠时是一次函数;当k 0≠,b=0时是正比例函数;当k=0时是常值函数。
[说明:渗透分类的数学思想,明确函数间的关系]
二、函数的应用
1、 龟兔赛跑(动画演示)
师:兔子在醒来后,发现乌龟已在自己前面2500米处,很后悔,以每小时跑3000米的速度奋力去追,而乌龟仍以每小时500米的速度继续前进,那么谁能胜利呢?
师:你能用学过的方法直观地反映这一问题吗? (学生讨论后回答)
若设兔子醒后追赶了t 小时,龟、兔离开兔子睡觉处的路程S (米)与时间t (小时)各是什么关系?并在同一直角坐标系内画出图象。
(学生回答)
师:(板书)兔:1S =3000t
()0≥t ;
龟:t S 50025002+=
()0≥t ;
(图象实物投影) 师:图象的交点表示什么实际意义?交点左侧表示什么意义?右侧又表示什么意义呢?
(学生回答后,老师归纳)
归纳:两图象交点表示当自变量为交点横坐标时,两函数值相等,且同为交点纵坐标;反映在龟兔赛跑中,即经过相同的时间,兔子正好追上乌龟;
交点左侧部分图象对于相同的自变量,两函数值不同,其中位于上方图象的函数值大于下方图象的相应函数值;反映在龟兔赛跑中,即乌龟跑在兔子前面,
[说明:对学生
脑海中传统的龟兔赛跑的结局提出问题,引发学生兴趣的同时也引起学生的思考,从而考虑解决问题的方法;通过对函数图象的一系列问题这一师生间的互动,使学生充分认识图象获取信息,理解图象的实际含义,直观感受到数形结合解决这类问题的价值,从学法上给学生以指导,为后面学生自主解
乌龟胜利;
交点右侧部分图象对于相同的自变量,两函数值也不同,其中位于上方图象的函数值也大于下方图象的相应函数值;反映在龟兔赛跑中,即兔子超过了乌龟,
兔子胜利;
以上是从相同的自变量即时间的角度,直观地看出函数值也就是路程的大小。我们还可以从什么角度来理解呢?
生:也可从距离来理解。
交点表示终点距离兔子睡觉处正好是交点纵坐标时,乌龟和兔子同时到达; 交点左侧表示终点距离兔子睡觉处小于交点纵坐标时,乌龟到达终点所用的时间比兔子少,乌龟胜利;
交点右侧表示终点距离兔子睡觉处大于交点纵坐标时,乌龟到达终点所用的时间比兔子多,兔子胜利。
(师生共同求出不同时间内龟、兔路程关系)
师:(板书) 当t=1时,21y y =,龟、兔同时到达; 当t ≤0<1时,21y y <,乌龟胜利;
当t>1时,21y y >,兔子胜利。
师:(小结)龟兔赛跑实质上就是比较函数值大小问题,对于这类问题,我们应该:第一根据实际建立合适的函数解析式;第二在同一直角坐标平面内画出图象;最后利用数形结合的思想方法解决函数值大小比较问题。
决出租车收费
问题作了很好的铺垫。]
(提出课题:函数的应用) 2、 出租车收费问题
原来桑塔纳出租车起步费为14.40元,最多行驶5公里,5公里以上10公里以内每公里计价1.80元。现在桑塔纳出租车计程费为起步费10元,最多行驶3公里,3公里以上10公里以内每公里计价2元。不计途中停车时间等。请分析在10公里范围内对乘客来讲哪一种收费方式更优惠?
(学生讨论回答,并画图象直观分析后准确求出路程与收费关系)
师:(板书)现在: 1y =10 (0 (5 当x=7时,21y y =,收费相同; 当0 当x>7时,21y y >,原来的优惠。 师:通过这一问题的分析,大家可以进一步去了解出租车费调价的原因。 思考:按现在的收费方式,我从出发地到目的地共20公里路程,是一辆车坐到底还是途中换车合算?为什么?(机动) 三、小结 1、学数学是为了用数学,数学在生活中所起的作用很大; 2、用函数知识解决实际问题时,应先建立函数解析式,画出图象,用数形结合 的思想方法解决实际问题,生活中有很多这类问题,如电费、信息费等,都可用这一方法来解决。 3、实际生活中的问题与理想化的数学有一定的差距。 四、作业 补充:为了加快教学的现代化,某校计划购置一批电脑,已知甲公司的报价为每台5800元,优惠条件为购买10台以上,则从第11台开始按报价的70%计算,乙公司的报价也是每台5800元,但优惠条件是为了支持教育,每台均按报价的85%计算,假如你是学校的负责人,在电脑品牌、质量、售后服务等完全相同的条件下,你如何选择? 课后记 用学生耳熟能详的故事和日常经历过的事例加深学生理解函数,理解函数的实际应用价值,进行有用数学的教学,使学生初步具有用数学眼光来关注身边事物的意识;同时也是对已学正、反比例函数、一次函数知识的拓展。 3. 函数值域的求法: ①配方法:转化为二次函数,利用二次函数的特征来求值;常转化为型),(,)(2n m x c bx ax x f ∈++=的形式; ②逆求法(反求法):通过反解,用y 来表示x ,再由x 的取值范围,通过解不等式,得出y 的取值范围;常用来解,型 如: ),(,n m x d cx b ax y ∈++= ; ④换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想; 常针对根号,举例: 令 ,原式转化为: ,再利用配方法。 ⑤利用函数有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域; ⑥基本不等式法:转化成型如: )0(>+ =k x k x y ,利用平均值不等式公式来求值域; ⑦单调性法:函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域。 ⑧数形结合:根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域。 二.函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) (1)增函数 设函数y=f(x)的定义域为I ,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2,当x 1 高中函数大题专练 2、对定义在[0,1]上,并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为G 函数。 ① 对任意的[0,1]x ∈,总有()0f x ≥; ② 当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时,总有1212()()()f x x f x f x +≥+成立。 已知函数2()g x x =与()21x h x a =?-是定义在[0,1]上的函数。 (1)试问函数()g x 是否为G 函数?并说明理由; (2)若函数()h x 是G 函数,求实数a 的值; (3)在(2)的条件下,讨论方程(21)()x g h x m -+=()m R ∈解的个数情况。 3.已知函数| |212)(x x x f - =. (1)若2)(=x f ,求x 的值; (2)若0)()2(2≥+t mf t f t 对于[2,3]t ∈恒成立,求实数m 的取值范围. 4.设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数.若当0x ≥时,11,()0,f x x ?-?=??? 0;0.x x >= (1)求)(x f 在(,0)-∞上的解析式. (2)请你作出函数)(x f 的大致图像. (3)当0a b <<时,若()()f a f b =,求ab 的取值范围. (4)若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解,求,b c 满足的条件. 5.已知函数()(0)|| b f x a x x =-≠。 (1)若函数()f x 是(0,)+∞上的增函数,求实数b 的取值范围; (2)当2b =时,若不等式()f x x <在区间(1,)+∞上恒成立,求实数a 的取值范围; (3)对于函数()g x 若存在区间[,]()m n m n <,使[,]x m n ∈时,函数()g x 的值域也是 [,]m n ,则称()g x 是[,]m n 上的闭函数。若函数()f x 是某区间上的闭函数,试探求,a b 应满足的条件。 6、设bx ax x f += 2)(,求满足下列条件的实数a 的值:至少有一个正实数b ,使函数)(x f 的定义域和值域相同。 7.对于函数)(x f ,若存在R x ∈0 ,使00)(x x f =成立,则称点00(,)x x 为函数的不动点。 高中数学必修1《函数的应用》知识点(总7页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 -CAL-本页仅作为文档封面,使用请直接删除 第4章 函数的应用 第1讲 函数与方程 一、连续函数 连续函数: 非连续函数: 二、方程的根与函数的零点 ()()()0001f x x f x x f x ?、零点:对于函数,若使=0,则称为函数的零点. ()()()=0y f x f x y f x x ??2、函数=的零点方程的实根函数=图像与交点的横坐标. 3、零点存在性定理: ()[]()()()(),::,. 0.y f x a b p q y f x a b f a f b ??????①=在上连续不断;函数=在内有零点② p q 说明:是充分不必要条件. ()()4,y f x a b 、如何证明函数=在区间内存在唯一一个零点? ()()()[]()()()(),:,:,. 0.y f x a b p y f x a b q y f x a b f a f b ??????①=在区间内单调;②=在上连续不断;函数=在内有唯一一个零点③ ()f x 三、用二分法求=0的近似解 步骤: ()()()()()()( )1 2121233131323231,,0; 2,;2 30,20,2.i i x x f x f x x x x f x f x f x x x f x f x x x x x d +?<+= ?<-<1、寻找使、令求、,用重复,,用重复; 4、直到 ()()()()()()()()1122334455665600103,3,0.5 =3,2; 3,4; 0,1; 1.5,0.5; 0.75,0.25; 1.125,0.125; 0.3250.5, 1.125,0.75, = 1.125x x f x x f x x f x x f x x f x x f x x x x x +=--=-=====-=-=-==-=--=<∈--∴-例:用二分法求方程在区间上的实根精确到则方程的根取 ()()0f x g x x 四、方程=的跟 高中数学必修系列函数基础知识 初等函数的性质定义判定方法函数的奇偶性 函如果对一函数f(x)定义域内任意一个x,都有 f(-x)=-f(x),那么函数f(x)叫做奇函数; 函如果对一函数f(x)定义域内任意一个x,都有 f(-x)=f(x),那么函数f(x)叫做偶函数 (1)利用定义直接判断; (2)利用等价变形判断: f(x)是奇函数f(-x)+f(x)=0?f(x)是 数f(-x)-f(x)=0 函数的单调性 对于给定的区间上的函数f(x): (1)如果对于属于这个去件的任意两个自变的值 x1、x2,当x1 二次函数 y=ax2+bx+c(a、 b、c为常数,其中a ≠0) R a>0时,?[- ,+∞) a<0时,?(- ∞,] b=0时为偶函数 b≠0时为非奇非 偶函数 a>0时,?在(-∞,-]上是减函数 在(-,+∞]上是增函数 a<0时, 在(-∞,-]上是增函数 在(-,+∞]上是减函数角 一条射线绕着它的端点旋转所产生的图形叫做角。旋转开始时的射线叫角的始边,旋转终止时的射线叫 角的终边,射线的端点叫做角的顶点。 角的单 位制 关系弧长公式扇形面积公式 角度制10=弧度≈0.01745 弧度 l=S 扇形= 弧度制1弧度=≈57018'l=∣α∣·r S 扇形=∣α∣·r 2=lr 角的终 边 位置角的集合 在x轴正半轴上{α∣α=2kπ,k Z} 在x轴负半轴上{α∣α=2kπ+π,kZ} 在x轴上{α∣α=kπ,k Z} 在y轴上{α∣α=kπ+,k Z} 在第一象限内{α∣2kπ<α<2kπ+,kZ} 在第二象限内{α∣2kπ+<α<2kπ+π,k Z} 在第三象限内 {α∣2kπ+π<α<2kπ+,kZ} 在第四象限内 {α∣2kπ+<α<2kπ+2π,kZ} 特殊角 的三角 函数值 函数/角0 π2π sina 0 1 0 -1 0 cosa 10 -10 1 必修一第一章 集合与函数概念 二、函数 知识点8:函数的概念以及区间 1》函数概念 设A 、B 是非空的数集,如果按某个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应,那么就称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数,记作y =()f x 注意:①x A ∈.其中,x 叫自变量,x 的取值范围A 叫作定义域 ②与x 的值对应的y 值叫函数值,函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域. 2》区间和无穷大 ①设a 、b 是两个实数,且a=+∞,{|}[,)x x a a ≥=+∞,{|}(,)x x b b <=-∞,{|}(,]x x b b ≤=-∞,(,)R =-∞+∞. 3》决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时,函数才是同一函数. 典例分析 题型1:函数定义的考察 例1:集合A=}{40≤≤x x ,B=}{20≤≤y y ,下列不表示从A 到B 的函数是( ) A 、x y x f 21)(= → B 、x y x f 31 )(=→ C 、 x y x f 32 )(=→ D 、x y x f =→)( 例2:下列对应关系是否是从A 到B 的函数: ① }{;:,0,x x f x x B R A →>== ②,:,,B A f N B Z A →==求平方; ③B A f Z B Z A →==:,,,求算术平方根; ④B A f Z B N A →==:,,,求平方; ⑤A=[-2,2],B=[-3,3],B A f →:,求立方。 是函数的是_________________。 题型2:区间的表示 例1:用区间表示下列集合 (1) }{1≥x x =_____________。 (2)}{42≤ 函数的概念和函数的表示法 考点一:由函数的概念判断是否构成函数 函数概念:设 A 、B 是非空的数集,如果按照某种确定的关系 f ,使对于集合 A 中的任意一个数 x ,在集合 B 中都有唯一确定的数 f (x )和它对应,那么就称 f :A →B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。 例 1. 下列从集合 A 到集合 B 的对应关系中,能确定 y 是 x 的函数的是( ) x ① A={x x ∈Z},B={y y ∈ Z} ,对应法则 f :x →y= ; 3 ② A={x x>0,x ∈R}, B={y y ∈ R} ,对应法则 f :x → y 2 =3x; A=R,B=R, 对应法则 f :x →y= x 2; A .①②③④ B .①②③ C .②③ D .② 考点二:同一函数的判定 函数的三要素:定义域、对应关系、值域。 如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,我们就称这两个函数相等。 例 2. 下列哪个函数与 y=x 相同( ) 变式 1. 列图像中,是函数图像的是( ② 变式 2. 已知函数 y=f ( x ),则对于直线 x=a (a 为常数) A. y=f ( x )图像与直线 x=a 必有一个交点 C.y=f ( x )图像与直线 x=a 最少有一个交点 变式 4. 对于函数 y =f (x ) ,以下说法正确的有? ( ①y 是 x 的函数 ②对于不同的 x ,y 的值也不同 ③f (a ) 表示当 x = a 时函数 f (x ) 的值,是一个常量 A .1 个 B .2 个 C .3 个 D 变式 5.设集合 M ={x|0 ≤x ≤ 2} ,N = {y|0 ≤y ≤2},那么下面的 4 个图形中,能表示集合 M 到集合 N 的函 ,以下说法正确的是( B.y=f ( x )图像与直线 x=a 没有交点 D.y=f ( x )图像与直线 x=a 最多有一个交点 ④ f (x ) 一定可以用一个具体的式子表示出来 . 4 个 y 2x 1,x ∈ Z 与 y 2x 1, x ∈Z 高中数学必修1函数的基本性质 1.奇偶性 (1)定义:如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (-x )=-f (x ),则称f (x )为奇函数;如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (-x )=f (x ),则称f (x )为偶函数。 如果函数f (x )不具有上述性质,则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质,则f (x )既是奇函数,又是偶函数。 注意: ○ 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质; ○ 2 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x ,则-x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)。 (2)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤: ○ 1 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; ○ 2 确定f (-x )与f (x )的关系; ○ 3 作出相应结论: 若f (-x ) = f (x ) 或 f (-x )-f (x ) = 0,则f (x )是偶函数; 若f (-x ) =-f (x ) 或 f (-x )+f (x ) = 0,则f (x )是奇函数。 (3)简单性质: ①图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称; ②设()f x ,()g x 的定义域分别是12,D D ,那么在它们的公共定义域上: 奇+奇=奇,奇?奇=偶,偶+偶=偶,偶?偶=偶,奇?偶=奇 2.单调性 (1)定义:一般地,设函数y =f (x )的定义域为I , 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2,当x 1 第4章 函数的应用 第1讲 函数与方程 一、连续函数 连续函数: 非连续函数: 二、方程的根与函数的零点 ()()()0001f x x f x x f x ?、零点:对于函数,若使=0,则称为函数的零点. ()()()=0y f x f x y f x x ??2、函数=的零点方程的实根函数=图像与交点的横坐标. 3、零点存在性定理: ()[]()()()(),::,.0.y f x a b p q y f x a b f a f b ??????①=在上连续不断;函数=在内有零点② p q 说明:是充分不必要条件. ()()4,y f x a b 、如何证明函数=在区间内存在唯一一个零点? ()()()[]()()()(),:,:,. 0.y f x a b p y f x a b q y f x a b f a f b ??????①=在区间内单调;②=在上连续不断;函数=在内有唯一一个零点③ ()f x 三、用二分法求=0的近似解 步骤: ()()()()()()()12121233131323231,,0; 2,;2 30,20,2.i i x x f x f x x x x f x f x f x x x f x f x x x x x d +?<+= ?<-<1、寻找使、令求、,用重复,,用重复; 4、直到 ()()()()()()()()1122334455665600103,3,0.5 =3,2; 3,4; 0,1; 1.5,0.5; 0.75,0.25; 1.125,0.125; 0.3250.5, 1.125,0.75, = 1.125x x f x x f x x f x x f x x f x x f x x x x x +=--=-=====-=-=-==-=--=<∈--∴-例:用二分法求方程在区间上的实根精确到则方程的根取 ()()0f x g x x 四、方程=的跟 1.2.1 函数的概念 时间:45分钟 分值:100分 一、选择题(每小题6分,共计36分) 1.下列四个方程中表示y 是x 的函数的是( ) ①x -2y =6 ②x 2+y =1 ③x +y 2=1 ④x =y A .①② B .①④ C .③④ D .①②④ 解析:对于①,得y =1 2x -3,y 是x 的一次函数; 对于②,得y =1-x 2,y 是x 的二次函数; 对于③,得y 2=1-x ,当x =-3时,y 1=2,y 2=-2,y 不是x 的函数; 对于④,得y =x 2(x ≥0),y 是x 的二次函数. 答案:D 2.下列四组式子中,f (x )与g (x )表示同一函数的是( ) A .f (x )=4x 4,g (x )=(4x )4 B .f (x )=x ,g (x )=3 x 3 C .f (x )=x ,g (x )=(x )2 D .f (x )=x 2-4 x +2 ,g (x )=x -2 解析:A 、C 、D 定义域不同,B 定义域、对应关系、值域都相同. 答案:B 3.函数y =4-x 2 x -1的定义域为( ) A .[-2,2] B .[-2,2) C .[-2,1)∪(1,2] D .(-2,1)∪(1,2) 解析:解不等式组??? 4-x 2≥0, x -1≠0, 解得[-2,1)∪(1,2]. 答案:C 4.若g (x )=1-2x, f (g (x ))=1-x 2x 2,则f (1 2)的值为( ) A .1 B .15高一数学必修一 函数知识点总结
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