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初二数学勾股定理知识点及习题

初二数学勾股定理知识点及习题
初二数学勾股定理知识点及习题

【勾股定理】

勾股定理:直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。即: 222c b a =+。

常见勾股数:3、4、5;6、8、10;5、12、13;8、15、17;7、24、25。这个一定要牢记于心。

考点一:勾股定理的直接应用

例1.正方形的面积是2,它的对角线长为( )

A 、1

B 、2

C

D (例2图) 例2.如图,由Rt△ABC 的三边向外作正方形,若最大正方形的边长为8cm ,则正方形M 与正方形N 的面积之和为2_____cm

考点二:求第三条边的长

例1.若Rt ABC 中,90C ?

∠=且c=37,a=12,则b=( )

A 、50

B 、35

C 、34

D 、26

例2.已知两线段的长为6cm 和8cm ,当第三条线段取 时,这三条线段能组成一个直角三角形。(提示:所给的两条变长不一定都为直角边。)

例3.若一个直角三角形的三边分别为a 、b 、c, 22144,25a b ==,则2c =( ) A 、169 B 、119C 、169或119 D 、13或25

考点三:与高、面积有关

例1.两个直角边分别是3和4的直角三角形斜边上的高是

例2.等腰三角形的底边为10cm ,周长为36cm ,则它的面积是2

_____cm

◆勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222c b a =+,那么这个三角形是直角三角形。

判断步骤:(1)比较a 、b 、c 大小,找最长边;(2)计算两条短边的平方和,看是否与最长边的平方相等。

例1.木工师傅要做一个长方形桌面,做好后量得长为80cm ,宽为60cm ,对角线为100cm ,

则这个桌面 。(填“合格”或“不合格” )

例2.试判断:三边长分别是)(2,,2222b a ab b a b a >+-的三角形是不是直角三角形?

【习题】

【勾股定理】

一、选择题

1、把直角三角形的两直角边均扩大到原来的2倍,则斜边扩大到原来的几倍?( )

A 、2

B 、4

C 、3

D 、5

2

2、等腰△ABC 的底边BC 为16,底边上的高AD 为6,则腰长AB 的长为( )

A .10 B.12 C.15 D.20

3、将一根24cm 的筷子,置于底面直径为15cm ,高8cm 的圆柱 形水杯中,如右图所示,设筷子露

在杯子外面的长度h cm ,则h 的取值范围是( )

A 、h ≤17cm

B 、h ≥8cm

C 、15cm ≤h ≤16cm

D 、7cm ≤h ≤16cm

二、填空题

1、如果梯子底端离建筑物5m ,那么13m 长的梯子可达到建筑物的高度是____________m 。

2、如图,一圆柱高8cm ,底面半径2cm ,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,要爬行的最短路程是 cm

3.、如右图所示的图形中,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为5,则正方形A ,B ,C ,D 的面积的和为 。

4.一个零件的形状如图,按规定这个零件的A ∠与BDC ∠都要是直角,工人师傅量得零件各边尺寸:AD=4,AB=3,DC=12,BC=13,BD=5。这个零件符合要求吗? A ?B ?D

C

B

A

5.如图,南北方向MN为我国领海线,即MN以西是我国领海,以东为公海,上午9时50分,我国反走私艇A发现正东方向有一走私船C以13海里/时的速度偷偷向我国领海开来,便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切关注。反走私艇A和走私船C的距离是13海里,A、B两艇的距离为5海里,反走私艇B测得距离C船12海里,若走私船C的速度不变,最早会在什么时间进入我国领海?(精确到分)

勾股定理知识点归纳和题型归类

勾股定理知识点归纳和题型归类 一.知识归纳 1.勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方; 表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么222a b c += 2.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法,用拼图的方法验证勾股定理的思路是: ①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下: 方法一:4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ,2214()2 ab b a c ?+-=,化简可证. 方法二: 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++,所以222a b c += 方法三:1()()2S a b a b =+?+梯形,2112S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形,化简得证 3.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征,因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形 4.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长,求第三边 在ABC ?中,90C ∠=? ,则c ,b = ,a ②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 5.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ,b ,c 满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形,其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较,若它们相等时,以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形;若222a b c +<,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是钝角三角形;若222a b c +>,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是锐角三角形; c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A

八年级数学勾股定理练习题

勾股定理练习 一.填空题: 1. 已知直角三角形两直角边的长分别为3cm,4cm,第三边上的高为_______. 2.在Rt △ABC 中, ∠C=90°,AB=15,BC:AC=3:4,则BC=___________. 3.已知:如图,在Rt △ABC 中,∠B=90°,D 、E 分别是边AB 、AC 的中点,DE=4, AC=10,则AB=_____________. 4.在平静的湖面上,有一支红莲,高出水面1米,阵风吹来,红莲被吹到一边, 花朵齐及水面,已知红莲移动的水平距离为2米,问这里水深是________m 。 5.已知两条线段的长为9cm 和12cm,当第三条线段的长为 cm 时,这三条 6.如图,在△ABC 中,则DE 的长为_______. 7的正方形的边和长为7cm 。 (第3题) 8.在一棵树的10的A 处。另一只爬到树顶9.有两棵树,一棵高6的树梢飞到另一棵树的树梢,至少飞了 米 ,AD=8,DC=6,CB=24,AB=26.则四边形ABCD 的面积 20dm 、3dm 、2dm ,A 和 A 点有一只蚂蚁,想到 B 点去吃可口的食物,则 _____________. (第9题) (第10题) (第11题) 二.选择题: 1.已知一个Rt △的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是( ) A 、25 B 、14 C 、7 D 、7或25 2.下列各组数中,以a ,b ,c 为边的三角形不是Rt △的是( ) A 、a=1.5,b=2,c=3 B 、a=7,b=24,c=25 C 、a=6,b=8,c=10 D 、a=3,b=4,c=5 C A B C D 20 32A B

初二数学勾股定理测试题及答案

勾股定理测试题 体验勾股定理的探索过程,会运用勾股定理解决简单问题;会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。 一、选择题 | 1.下列各数组中,不能作为直角三角形三边长的是( ) A. 9,12,15 B. 7,24,25 C. 6,8,10 D. 3,5,7 2.将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后,得到的三角形( ) A. 可能是锐角三角形 B. 不可能是直角三角形 C. 仍然是直角三角形 D. 可能是钝角三角形 ! 3.在测量旗杆的方案中,若旗杆高为21m,目测点到杆的距离为15m,则目测点到杆顶的距离为(设目高为1m) ( ) 4.一等腰三角形底边长为10cm,腰长为13cm,则腰上的高为( ) A. 12cm B. C. D. ~ 二、填空题 5.如图,64、400分别为所在正方形的面积,则图中字母A所代表的正方形面积是_________ . 6.直角三角形两条直角边的长分别为5、12,则斜边上的高为. < 7.已知甲往东走了4km,乙往南走了3km,这时甲、乙两人相距. 8.一个长方形的长为12cm,对角线长为13cm,则该长方形的周长为. 9.以直角三角形的三边为边向形外作正方形P、Q、K,若SP=4,SQ=9,则Sk= . 三、解答题 @ 10.假期中,小明和同学们到某海岛上去探宝旅游,按照探宝图,他们登陆后先往东走8千米,又往北走2千米,遇到障碍后又往西走了3千米,再折向北走了6千米处往东一拐,仅走了1千米就找到宝藏,问登陆点A到宝藏埋藏点B的距离是多少千米

为正方形ABCD内一点,将△ABP绕B顺时针旋转90°到△CBE的位置,若BP=a.求:以PE 为边长的正方形的面积. / 12.已知:如图13,△ABC中,AB=10,BC=9,AC=17. 求BC边上的高. 13.拼图填空:剪裁出若干个大小、形状完全相同的直角三角形,三边长分别记为a、b、c,· 如图①.(1)拼图一:分别用4张直角三角形纸片,拼成如图②③的形状,观察图②③可发现,图②中两个小正方形的面积之和__________ (填“大于”、“小于”或“等于”)图③中小正方形 《 的面积,用关系式表示为________ .(2)拼图二:用4张直角三角形纸片拼成如图④的形状,观察图形可以发现,图中共有__________个正方形,它们的面积之间的关系是________ ,用 关系式表示为_____ .(3)拼图三:用8个直角三角形纸片拼成如图⑤的形状,图中3个正方>

新人教版八年级数学下册勾股定理典型例题分析

新人教版八年级下册勾股定理典型例习题 一、经典例题精讲 题型一:直接考查勾股定理 例1.在ABC ?中,90C ∠=?. ⑴已知6AC =,8BC =.求AB 的长 ⑵已知17AB =,15AC =,求BC 的长分析:直接应用勾股定理 222a b c += 解:⑴2210AB AC BC =+= ⑵228BC AB AC =-= 题型二:利用勾股定理测量长度 例题1 如果梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米? 解析:这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型后,.已 知斜边长和一条直角边长,求另外一条直角边的长度,可以直接利用勾股定理! 根据勾股定理AC 2+BC 2=AB 2, 即AC2+92=152,所以AC 2 =144,所以AC=12. 例题2 如图(8),水池中离岸边D 点1.5米的C 处,直立长着一根芦苇,出水部分B C的长是0.5米,把芦苇拉到岸边,它的顶端B 恰好落到D 点,并求水池的深度AC. 解析:同例题1一样,先将实物模型转化为数学模型,如图 2. 由题意可知△AC D中,∠ACD=90°,在Rt △ACD 中,只知道CD =1.5,这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。 标准解题步骤如下(仅供参考): 解:如图2,根据勾股定理,AC 2+CD 2=A D2 设水深AC= x 米,那么AD =A B=AC+CB =x +0.5 x2+1.52=( x +0.5)2 解之得x =2. 故水深为2米. 题型三:勾股定理和逆定理并用—— 例题3 如图3,正方形ABCD 中,E 是BC 边上的中点,F 是AB 上一点,且AB FB 4 1= 那么△DEF 是直角三角形吗?为什么? C B D A

中考数学二轮复习勾股定理知识点及练习题及答案

中考数学二轮复习勾股定理知识点及练习题及答案 一、选择题 1.如图,ABC 是等边三角形,点D .E 分别为边BC .AC 上的点,且CD AE =,点F 是BE 和AD 的交点,BG AD ⊥,垂足为点G ,已知75∠=?BEC ,1FG =,则2AB 为( ) A .4 B .5 C .6 D .7 2.如图,点A 的坐标是(2)2, ,若点P 在x 轴上,且APO △是等腰三角形,则点P 的坐标不可能是( ) A .(2,0) B .(4,0) C .(-22,0) D .(3,0) 3.已知三角形的三边长分别为a ,b ,c ,且a+b=10,ab=18,c=8,则该三角形的形状是 ( ) A .等腰三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .等腰直角三角形 4.如果直角三角形的三条边为3、4、a ,则a 的取值可以有( ) A .0个 B .1个 C .2个 D .3个 5.如图,在△ABC 中,∠A =90°,P 是BC 上一点,且DB =DC ,过BC 上一点P ,作PE ⊥AB 于E ,PF ⊥DC 于F ,已知:AD :DB =1:3,BC =46,则PE+PF 的长是( ) A .6 B .6 C .42 D .266.已知:如图在△ABC ,△AD E 中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC ,AD=AE ,点C ,D ,E 三点在同一条直线上,连接BD ,BE ,以下四个结论: ①BD=CE ;②BD ⊥CE ;③∠ACE+∠DBC=45°;④BE 2=2(AD 2+AB 2), 其中结论正确的个数是( )

A.1 B.2 C.3 D.4 7.已知△ABC的三边分别是6,8,10,则△ABC的面积是() A.24 B.30 C.40 D.48 8.“折竹抵地”问题源自《九章算术》中,即:今有竹高一丈,末折抵地,去本四尺,问折者高几何?意思是:一根竹子,原高一丈,一阵风将竹子折断,其竹梢恰好抵地,抵地处离竹子底部4尺远(如图),则折断后的竹子高度为多少尺?(1丈=10尺)() A.3 B.5 C.4.2D.4 9.甲、乙两艘轮船同时从港口出发,甲以16海里/时的速度向北偏东75?的方向航行,它们出发1.5小时后,两船相距30海里,若乙以12海里/时的速度航行,则它的航行方向为() A.北偏西15?B.南偏西75° C.南偏东15?或北偏西15?D.南偏西15?或北偏东15? 10.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,则点C到AB的距离是() A.3 4 B. 3 5 C. 4 5 D. 12 5 二、填空题 11.如图,AB=12,AB⊥BC于点B, AB⊥AD于点A,AD=5,BC=10,E是CD的中点,则AE的长是____ ___. 12.如图所示的网格是正方形网格,则ABC ACB ∠+∠=__________°(点A,B,C是网格线交点).

八年级初二数学勾股定理测试试题及答案

八年级初二数学勾股定理测试试题及答案 一、选择题 1.如图,在Rt ABC ?中,90, 5 ,3ACB AB cm AC cm ?∠=== ,动点P 从点B 出发,沿 射线BC 以1 /cm s 的速度移动,设运动的时间为t 秒,当?ABP 为等腰三角形时,t 的值不可能为( ) A .5 B .8 C . 254 D . 258 2.如图中,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为10cm ,正方形A 的边长为6cm 、B 的边长为5cm 、C 的边长为5cm ,则正方形D 的边长为( ) A .3cm B .14cm C .5cm D .4cm 3.如图,□ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点E ,∠AEB=45°,BD=2,将△ABC 沿AC 所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内,若点B 的落点记为B′,则DB′的长为( ) A .1 B 2 C . 32 D 34.如图,P 为等边三角形ABC 内的一点,且P 到三个顶点A ,B ,C 的距离分别为3,4,5,则△ABC 的面积为( )

A .253 94 + B .253 92 + C .18253+ D .253 182 + 5.如图,分别以直角ABC ?三边为边向外作三个正方形,其面积分别用123,,S S S 表示,若27S =,32S =,那么1 S =( ) A .9 B .5 C .53 D .45 6.有一个直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边的长为( ) A .5 B .7 C .5 D .5或7 7.如图,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形,若直角三角形的两直角边长分别为5和3,则小正方形的面积为( ) A .4 B .3 C .2 D .1 8.已知直角三角形纸片ABC 的两直角边长分别为6,8,现将ABC 按如图所示的方式折叠,使点A 与点B 重合,则BE 的长是( ) A . 72 B . 74 C . 254 D . 154 9.如图,点A 和点B 在数轴上对应的数分别是4和2,分别以点A 和点B 为圆心,线段 AB 的长度为半径画弧,在数轴的上方交于点C .再以原点O 为圆心,OC 为半径画弧,与数轴的正半轴交于点M ,则点M 对应的数为( )

(完整版)勾股定理典型例题详解及练习(附答案)

典型例题 知识点一、直接应用勾股定理或勾股定理逆定理 例1:如图,在单位正方形组成的网格图中标有AB CD EF、GH四条线段, 其中能构成一个直角三角形三边的线段是() A.CD、EF、 GH C. AB、CD GH B.AB、EF、GH D. AB、CD EF 愿路分乐屮 1)題意分析’本题考查幻股定理及勾股定理的逆定理.亠 2)解題思器;可利用勾脸定理直接求出各边长,再试行判断?』 解答过整屮 在取DEAF中,Af=l, AE=2,根据勾股定理,得昇 EF = Q抡於十£尸° = Q +F二艮 同理HE = 2百* QH. = 1 CD = 2^5 计算发现W十◎血尸=(鸥31即血+曲=GH2,根据勾股定理的逆宦理得到UAAE、EF\ GH为辺的三角形是直毎三角形.故选B. * 縮題后KJ思专:* 1.勾股定理只适用于直角三角形,而不适用于说角三角形和钝角三角形? 因此」辭题时一宦妾认真分析题目所蛤■条件■,看是否可用勾股定理来解口* 2.在运用勾股左理时,要正确分析题目所给的条件,不要习惯性地认为就是斜 迫而“固执”地运用公式川二/十就其实,同样是S6

"不一罡就等于餌,疋不一罡就昱斜辺,KABC不一定就是直角三祐

3.直角三第形的判定条件与勾股定理是互逆的.区别在于勾股定理的运用是一个从 卅形s—个三角形是直角三角形)到懺 y =沖十沪)的过程,而直角三角形的判定是一 ①从嗦(一个三角形的三辺满足X二护+酹的条件)到偲个三角形是直角三角形)的过 程.a 4?在应用勾股定理解题叭聲全面地琴虑间题.注意m题中存在的多种可能性,遊免漏辭.初 例玉如圏,有一块直角三角形?椀屈U,两直角迫4CM5沁丸m?现将直角边AC沿直绘AD折蠡便它落在斜边AB上.且点C落到点E处, 则切等于(、* C/) "禎 B. 3cm G-Icni n題童分析,本题着查勾股定理的应用刎 :)解龜思路;車题若直接在△MQ中运用勾股定理是无法求得仞的长的,因为貝知遒一条边卫0的长,由题意可知,AACD和心迓门关于直线KQ对称.因而^ACD^hAED ?进一歩则有应RUm CZAED ED 丄AB,设UD=E2>黄泱,则在Rt A ABO中,由勾股定 理可得^=^(^+^=^83=100,得AB=10cm,在松迟DE 中,W ClO-fl)2= d驚解得尸 九4 解龜后的思琴尸 勾股定理说到底是一个等式,而含有未知数的等式就是方程。所以,在利用勾股定理求线段的长时常通过解方程来解决。勾股定理表达式中有三个量,如果条件中只有一个已知量,必须设法求出另一个量或求出另外两个量之间的关系,这一点是利用勾股定理求线段长时需要明确的思路。 方程的思想:通过列方程(组)解决问题,如:运用勾股定理及其逆定理求线段的长度或解决实际问题时,经常利用勾股定理中的等量关系列出方程来解 决问题等。 例3:一场罕见的大风过后,学校那棵老杨树折断在地,此刻,张老师正和占 明、清华、绣亚、冠华在楼上凭栏远眺。 清华开口说道:“老师,那棵树看起来挺高的。” “是啊,有10米高呢,现在被风拦腰刮断,可惜呀!” “但站立的一段似乎也不矮,有四五米高吧。”冠华兴致勃勃地说。 张老师心有所动,他说:“刚才我跑过时用脚步量了一下,发现树尖距离树根恰好3米,你们能求出杨树站立的那一段的高度吗?” 占明想了想说:“树根、树尖、折断处三点依次相连后构成一个直角三角

勾股定理知识点及练习题附解析

一、选择题 1.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,在矩形内部有一动点P满足S△PAB=3S△PCD,则动点P到点A,B两点距离之和PA+PB的最小值为() A.5 B.35C.332 D.213 2.如图,在等腰三角形ABC中,AC=BC=5,AB=8,D为底边上一动点(不与点A,B重合),DE⊥AC,DF⊥BC,垂足分别为E、F,则DE+DF= () A.5 B.8 C.13 D.4.8 3.如图所示,在中,,,.分别以,,为直径作半圆(以为直径的半圆恰好经过点,则图中阴影部分的面积是() A.4 B.5 C.7 D.6 4.如图是由“赵爽弦图”变化得到的,它由八个全等的直角三角形拼接而成,记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3.若S1+S2+S3=15,则S2的值是( ) A.3 B.15 4 C.5 D. 15 2 5.如图,有一张直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,D为BC边上的一点,现将直角边AC沿直线AD折叠,使AC落在斜边AB上,且与AE重合,则CD的长为()

A .2cm B .2.5cm C .3cm D .4cm 6.我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的三角形,如图所示,已知90A ∠=?正方形ADOF 的边长是2,4BD =,则CF 的长为( ) A .6 B .42 C .8 D .10 7.小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后,进行练习:首先画数轴,原点为O ,在数轴上找到表示数2的点A ,然后过点A 作AB ⊥OA ,使AB=3(如图).以O 为圆心,OB 的长为半径作弧,交数轴正半轴于点P ,则点P 所表示的数介于( ) A .1和2之间 B .2和3之间 C .3和4之间 D .4和5之间 8.已知三组数据:①2,3,4;②3,4,5;③1,2,5,分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长,能构成直角三角形的是( ) A .② B .①② C .①③ D .②③ 9.我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题:“问有沙田一块,有三斜,其中小斜五里,中斜十二里,大斜十三里,欲知为田几何?”这道题讲的是:有一块三角形沙田,三条边长分别为5里,12里,13里,问这块沙田面积有多大?题中“里”是我国市制长度单位,1里=500米,则该沙田的面积为( ) A .7.5平方千米 B .15平方千米 C .75平方千米 D .750平方千米 10.如图,在ABC ?中,D 、E 分别是BC 、AC 的中点.已知90ACB ∠=?, 4BE =,7AD =,则AB 的长为( ) A .10 B .53 C .213 D .15

初二数学-勾股定理复习练习题

初二数学 勾股定理部分 1. 下列各组中,不能构成直角三角形的是 ( ). (A )9,12,15 (B )15,32,39 (C )16,30,32 (D )9,40,41 2. 如图1,直角三角形ABC 的周长为24,且AB :BC=5:3,则AC= ( ). (A )6 (B )8 (C )10 (D )12 3. 已知:如图2,以Rt △ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形.若斜边AB =3,则图中阴影部分的面积为 ( ). (A )9 (B )3 (C ) 49 (D )2 9 4. 如图3,在△ABC 中,AD ⊥BC 与D ,AB=17,BD=15,DC=6,则AC 的长为( ). (A )11 (B )10 (C )9 (D )8 5. 若三角形三边长为a 、b 、c ,且满足等式ab c b a 2)(2 2 =-+,则此三角形是( ). (A )锐角三角形 (B )钝角三角形 (C )等腰直角三角形 (D )直角三角形 11. 写出两组直角三角形的三边长 .(要求都是勾股数) 12. 如图6(1)、(2)中,(1)正方形A 的面积为 . (2)斜边x= . 13. 如图7,已知在Rt ABC △中,Rt ACB ∠=∠,4AB =,分别以AC ,BC 为直径作半圆,面 积分别记为1S ,2S ,则1S +2S 的值等于 . 14. 四根小木棒的长分别为5cm ,8cm ,12cm ,13cm ,任选三根组成三角形,其中有 个直角三角形. 15. 如图8,有一块直角三角形纸片,两直角边AC=6cm ,BC=8cm ,现直角边沿 直线AD 折叠,使它落在斜边AB 上,且与AE 重合,则CD 的长为 . 16.(8分)如图9,AB=4,BC=3,CD=13,AD=12,∠B=90°,求四边形ABCD 的面积. 19.(8分)如图12,飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一男孩子头顶上方4000米处,过了

初二数学勾股定理试卷

初二数学勾股定理试卷 一.选择题(共2小题) 1.下列说法正确的是() A.a0=1 B.夹在两条平行线间的线段相等 C.勾股定理是a2+b2=c2 D.若有意义,则x≥1且x≠2 2.如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,BD=,DC=1,AC=,那么AB的长度是() A. B.27 C.3 D.25 二.填空题(共1小题) 3.学完勾股定理之后,同学们想利用升旗的绳子、卷尺,测算学校旗杆的高度.小明设计了一个方案:将升旗的绳子拉到旗杆底端,绳子恰好到达旗杆底端.然后将绳子向外拉.当把绳子接上1米时,此时一端到达离旗杆底端5米处,如图所示,小明算出旗杆高度是米. 三.解答题(共5小题) 4.△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c.若∠C=90°,如图1,根据勾股定理,则a2+b2=c2.若△ABC不是直角三角形,如图2和图3,请你类比勾股定理,试猜想a2+b2与c2的关系,并证明你的结论.

5.身高1.6米的小明想利用“勾股定理”测得下图风筝CE的高度,于是他测得BD的长度为25米,并根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为65米.求风筝的高度CE. 6.阅读: (1)勾股定理:在直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方. (2)若xy=0,根据乘法法则,得x=0或y=0. 利用你在阅读材料中所掌握的知识解决问题. 问题:如图,在直角△ABC中,三边分别为x,x+1,x﹣1,求三边长. 7.如图,四边形ABCD中,∠A=∠B=90°,E是AB的中点,DE平分∠ADC, (1)求证:CE平分∠BCD; (2)若DE=15,CE=20,求四边形ABCD的面积; (3)在(2)的条件下,已知AB=24,求CD的值.(不得利用勾股定理求解) 8.如图;已知甲、乙分别从正方形ABCD广场的顶点B、C两点同时出发,甲由C向D运动,乙由B向C运动,甲的速度是1千米/分,乙的速度是2千米/分.若正方形广场的周长为40千米,问:几分钟后甲、乙两之间相距2千米?(友情提示:可以用直角三角形的勾股定理求解)

勾股定理知识点、经典例题及练习题带答案

【趣味链接】我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”(如图1).图2由弦图变化得到,它是用八个全等的直角三角形拼接而成,记图中正方形ABCD ,正方形EFGH ,正方形MNKT 的面积分别为S 1,S 2,S 3.若S 1,S 2,S 3=10,则S 2的值是多少呢? 【知识梳理】 1、勾股定理定义:如果直角三角形的两直角边长分别为a ,b ,斜边长为c ,那么a 2 +b 2=c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 A B C a b c 弦股勾 勾:直角三角形较短的直角边 股:直角三角形较长的直角边 弦:斜边 勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a ,b ,c 有下面关系:a 2+b 2=c 2,那么这个三角形是直角三角形。 2、勾股数:满足a 2+b 2=c 2的三个正整数叫做勾股数(注意:若a ,b ,c 、为勾股数, 那么ka ,kb ,kc 同样也是勾股数组。) *附:常见勾股数:3,4,5; 6,8,10; 9,12,15; 5,12,13 3、判断直角三角形:如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2 ,那么这个三角形是 直角三角形。

(经典直角三角形:勾三、股四、弦五) 其他方法:(1)有一个角为90°的三角形是直角三角形。 (2)有两个角互余的三角形是直角三角形。 用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是: (1)确定最大边(不妨设为c); (2)若c2=a2+b2,则△ABC是以∠C为直角的三角形; 若a2+b2<c2,则此三角形为钝角三角形(其中c为最大边); 若a2+b2>c2,则此三角形为锐角三角形(其中c为最大边) 4、注意:(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 (2)在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。 (3)在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于30°。 5、勾股定理的作用: (1)已知直角三角形的两边求第三边。 (2)已知直角三角形的一边,求另两边的关系。 (3)用于证明线段平方关系的问题。 (4)利用勾股定理,作出长为n的线段 【经典例题】【例1】(2016山东烟台)如图是油路管道的一部分,延伸外围的支路恰好构成一个直角三角

八年级数学勾股定理练习题及答案

勾股定理 练习题 温故而知新: 1.勾股定理 直角三角形两条直角边a,b的平方和等于斜边c的平方,即a2+b2=c2. 2.勾股定理的验证 勾股定理的证明方法很多,据说已有400余种,其证明的内涵极其丰富.常用的证法是面积割补法,如图所示. 3.直角三角形的性质 两锐角互余(角的关系)、勾股定理(边的关系),30°角所对的直角边等于斜边的一半(边角关系),这些性质在求线段的长度、证明线段倍分关系、证明线段平方关系等方面有广泛的应用. 例1 (2013·安顺)如图,有两棵树,一棵高10米,另一棵高4米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,小鸟至少飞行() 米米 米米 解析:小鸟飞行的最短路线如图所示为线段AB;过点A向10米高的树作垂线,垂足为C,则易知AC=8米,BC=10-4=6(米);根据勾股定理可得 AB=22 +=10(米). 86 AC BC +=22 答案:B 小结:在解决实际问题时,往往根据题意把实际问题转化为数学问题,构造直角三角形利用勾股定理来解决.有时根据需要巧设未知数,借助勾股定理列方程求解,常可使问题简便. 例2 (2013·衢州)如图,将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm 的矩形纸带边沿上,另一个顶点在纸带的另一边沿上,测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角,则三角板最大边的长为() cm cm

2 cm 2 cm 解析:如图所示在图中标上字母,过点A 作AD ⊥BD , 垂足为D ,则AD=3 cm ; 因为∠ABD=30°,所以AB=2AD=6 cm ; 又△ABC 是等腰直角三角形,故BC=AB=6 cm ,根据勾股定理可得 AC=22AB BC +=2266+=62(cm ) 答案:D 小结:在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半,45°的直角三角形中,斜边是直角边的2倍. 例3 如图所示,公园里有一块形如四边形ABCD 的草地,测得BC=CD=10米,∠B=∠C=120°,∠A=45°.求出这块草地的面积. 解析:连结BD ,作CE ⊥BD ,交BD 于E 点, 构造含特殊锐角(30°或45°)的直角三角形求解. 答案:解:连结BD ,作CE ⊥BD ,交BD 于E 点. ∵DC=BC ,∴△BCD 是等腰三角形. ∵∠BCD=120°, ∴∠BCE=60°. 又BC=10m , 则EC=12 BC=5m ,∴BE=22BC EC -=53m ,BD=2BE=103m , ∴BDC S V =12EC ·BD=12 ×5×103=253(m 2). 又∠DBA=∠CBA -∠CBE=90°,∠A=45°,∴△DBA 是等腰直角三角形. ∴DAB S V =12BD ·AB =12 ×103×103=150(m 2). ∴这块草地的面积S=BDC S V +DAB S V =(150+253)m 2. 小结:对于本题中这类图形,适当添加辅助线,将图形切割为基本图形,再进行相关计算. 举一反三: 1.(2013·黔西南)一直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边的长为( ) B. 7 C. 5 或7 解析:分长为4的边为直角边和斜边两种情况考虑.

勾股定理练习题及问题详解(共6套)

勾股定理课时练(1) 1. 在直角三角形ABC中,斜边AB=1,则AB2 2 2AC BC+ +的值是() A.2 B.4 C.6 D.8 2.如图18-2-4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD,AD∥BC,斜腰DC的长为10 cm,∠D=120°,则该零件另一腰AB的长是______ cm(结果不取近似值). 3. 直角三角形两直角边长分别为5和12,则它斜边上的高为_______. 4.一根旗杆于离地面12m处断裂,犹如装有铰链那样倒向地面,旗杆顶落于离旗杆地步16m,旗杆在断裂之前高多少m? 5.如图,如下图,今年的冰雪灾害中,一棵大树在离地面3米处折断,树的顶端落在离树杆底部4米处,那么这棵树折断之前的高度是米. 6. 飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方4000米处,过了20秒,飞机距离这个男孩头顶5000米,求飞机每小时飞行多少千米? 7. 如图所示,无盖玻璃容器,高18cm,底面周长为60cm,在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛,与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇,试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛,所走的最短路线的长度. 8. 一个零件的形状如图所示,已知AC=3cm,AB=4cm,BD=12cm。求CD的长. 9. 如图,在四边形ABCD 中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,BC=2,CD=3,求AB的长. 10. 如图,一个牧童在小河的南4km的A处牧马,而他正位于他的小屋B的西8km北 7km处,他想把他的马牵到小河边去饮水,然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少? 11如图,某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m,宽2m的楼道上铺地毯,已知地毯平方米18元,请你帮助计算一下,铺完这个楼道至少需要多少元钱? 12. 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险,没有了水,需要寻找水源.为了不致于走散,他们用两部对话机联系,已知对话机的有效距离为15千米.早晨8:00甲先出发,他以6千米/时的速度向东行走,1小时后乙出发,他以5千米/时的速度向北行进,上午10:00,甲、乙二人相距多远?还能保持联系吗?

勾股定理知识点总结及练习

勾股定理知识总结 一.基础知识点: 1:勾股定理 直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。(即:a 2+b 2=c 2 ) 要点诠释: 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一,其主 要应用: (1)已知直角三角形的两边求第三边(在ABC ?中,90C ∠=?,则22c a b =+, 22b c a =-,22 a c b =-) (2)已知直角三角形的一边与另两边的关系,求直角三角形的另两边 (3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2:勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长:a 、b 、c ,则有关系a 2+b 2=c 2 ,那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释: 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时应注意: (1)首先确定最大边,不妨设最长边长为:c ; (2)验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系,若c 2=a 2+b 2 ,则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形 (若c 2>a 2+b 2,则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形;若c 2

八年级初二数学勾股定理练习题及答案

一、选择题 1.如图,等边ABC ?的边长为1cm ,D ,E 分别是AB ,AC 上的两点,将ADE ?沿直线DE 折叠,点A 落在点'A 处,且点'A 在ABC ?外部,则阴影部分图形的周长为( ) A .1cm B .1.5cm C .2cm D .3cm 2.在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,BD 是∠ABC 的平分线,交AC 于点D ,若CD=1,则 AB 的长是( ) A .2 B . 23 C . 43 D .4 3.如图,OP =1,过点P 作PP 1⊥OP ,且PP 1=1,得OP 1=2;再过点P 1作P 1P 2⊥OP 1且P 1P 2=1,得OP 2=3;又过点P 2作P 2P 3⊥OP 2且P 2P 3=1,得OP 3=2……依此法继续作下去,得OP 2018的值为( ) A .2016 B .2017 C .2018 D .2019 4.我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形,得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理,如图所示的矩形由两个这样的图形拼成,若a=3,b=4,则该矩形的面积为( ) A .20 B .24 C . 994 D . 532 5.在平面直角坐标系内的机器人接受指令“[α,A]”(α≥0,0°<A <180°)后的行动结果为:在原地顺时针旋转A 后,再向正前方沿直线行走α.若机器人的位置在原点,正前方为y 轴的负半轴,则它完成一次指令[4,30°]后位置的坐标为( ) A .(-2,3 B .(-2,-3 C .(-2,-2) D .(-2,2)

勾股定理知识点与常见题型总结

勾股定理复习 一.知识归纳 1.勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方; 表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么222a b c += 2.勾股定理的证明,常见的是拼图的方法 ①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下:方法一:4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ,2214()2ab b a c ?+-=,化简可证. 方法二:四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c += 方法三:1()()2S a b a b =+?+梯形,2112S 222ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形,化简得证 3.勾股定理的适用范围:勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形 4.勾股定理的应用:勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.在使用勾股定理时,必须把握直角三角形的前提条件,了解直角三角形中,斜边和直角边各是什么,以便运用勾股定理进行计算,应设法添加辅助线(通常作垂线),构造直角三角形,以便正确使用勾股定理进行求解. ①已知直角三角形的任意两边长,求第三边。在ABC ?中,90C ∠=?,则22c a b =+,22b c a =-,22a c b =- ②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 5.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ,b ,c 满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形,其中c 为斜边。 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较,若它们相等时,以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形;若222a b c +<,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是钝角三角形;若222a b c +>,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是锐角三角形; ②定理中a ,b ,c 及222a b c +=只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长a ,b ,c 满足222a c b +=,那么以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形,但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时,不能说成:当斜边的平方等于两条直角边的平方和时,这个三角形是直角三角形 6.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即222a b c +=中,a ,b ,c 为正整数时,称a ,b ,c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等 ③用含字母的代数式表示勾股数:221,2,1n n n -+(2,n ≥n 为正整数); 2222,2,m n mn m n -+(,m n >m ,n 为正整数) 常见图形: 类型一:勾股定理的直接用法 1、在Rt △ABC 中,∠C=90° (1)已知a=6, c=10,求b , (2)已知a=40,b=9,求c ; (3)已知c=25,b=15,求a. 2. 已知直角三角形两边的长为3和4,则此三角形的周长为 . 【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB 的长是多少? 类型二:勾股定理的构造应用 c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A

八年级数学下勾股定理-单元测试题(带答案)

(第6题) A B D C (第12题) 30 7米5米 八年级下勾股定理测试题 姓名: 分数: 一、耐心填一填(每小题3分,共36分) 1、在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=3,BC=4,则AB=___________; 2、如图,小明的爸爸在院子的门板上钉了一个加固板,从数学的角度看, 这样做的道理是 . 3、小明同学要做一个直角三角形小铁架,他现有4根长度分别为4cm 、6cm 、8cm 、10cm 的铁棒,可用于制作成直角三角形铁架的三条铁棒分别是________________________; 4、若三角形三条边的长分别为7,24,25,则这个三角形的最大内角是 度. 5、在△ABC 中,∠C =90°,若c =10,a ∶b =3∶4,则ab = . 6、如图,在等腰△ABC 中,AB=AC=10,BC=12,则高AD=________; 7、等腰△ABC 的面积为12cm 2 ,底上的高AD =3cm , 则它的周长为________. 8、在Rt △ABC 中,斜边AB =2,则AB 2+BC 2+CA 2=________. 9、有一个三角形的两边长是4和5,要使这个三角形成为直角三角形,则第三边长为 ; 10、有两棵树,一棵高6米,另一棵高3米,两树相距4米.一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,至少飞了________米. 11、一个三角形的三边的比为5∶12∶13,它的周长为60cm ,则它的面积是________. 12、如图,今年第8号台风“桑美”是50多年以来登陆我国大陆地区 最大的一次台风,一棵大树受“桑美”袭击于离地面5米 处折断倒下,倒下部分的树梢到树的距离为7米, 则这棵大树折断前有__________米(保留到0.1米)。 二、精心选一选(每小题4分,共24分) 13、下列各组数据为边的三角形中,是直角三角形的是( ) A 、 2、3、7 B 、5、4、8 C 、5、2、1 D 、2、3、 5 14、正方形ABCD 中,AC=4,则正方形ABCD 面积为( ) A 、 4 B 、8 C 、 16 D 、32 15、已知Rt △ABC 中,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别为a,b,c ,若∠B=90○ ,则( ) A 、b 2= a 2+ c 2 ; B 、c 2= a 2+ b 2; C 、a 2+b 2=c 2; D 、a +b =c 16、三角形的三边长a,b,c满足2ab=(a+b)2 -c2,则此三角形是 ( ). A 、钝角三角形 B 、锐角三角形 C 、直角三角形 D 、等边三角形 17、将Rt △ABC 的三边都扩大为原来的2倍,得△A ’B ’C ’,则△A ’B ’C ’为( )

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