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中考数学-直角三角形的边角关系测试题

中考数学-直角三角形的边角关系测试题
中考数学-直角三角形的边角关系测试题

A

中考数学

直角三角形的边角关系测试题

一、选择题(每小题3分,共计30分):

1.在△ABC 中,∠C=90°,a 、b 分别是∠A 、∠B 所对的两条直角边,c 是斜边,则有( )

A 、sinA=a c

B 、cosB=c b

C 、cosB=a b

D 、tanA=b

a 2.在Rt △ABC 中,∠C=90°,sinA=2

1

,则BC ∶AC ∶AB 等于( )

A 、1∶2∶5

B 、1∶3∶5

C 、1∶3∶2

D 、1∶2∶3

3.在△ABC 中,若tanA=1,sinB=

2

2

,你认为最确切的判断是( ) A.△ABC 是等腰三角形 B.△ABC 是等腰直角三角形 C.△ABC 是直角三角形 D.△ABC 是一般锐角三角形 4.已知在Rt △ABC 中,∠C=90°.若sinA=

2

2

,则sinB 等于( ) A 、

2

1

B 、22

C 、23

D 、1

5.化简2)130(tan -ο=( )。

A 、331-

B 、13-

C 、133-

D 、13-

6.等腰三角形的一腰长为6cm ,底边长为63cm ,则其底角为( )。 A. 120° B. 90° C. 60° D. 30°

7如图,已知正方形ABCD 的边长为2,如果将线段BD 绕着点B 旋转后,点D 落在CB 的

延长线上的D′处,那么tan ∠BAD′等于( ) A. 22 B.

2

2

C. 2

D. 1

8.当锐角A 的cosA >

2

2

时,∠A 的值为( )。 A. 小于45° B. 小于30° C. 大于45° D. 大于30°

B

N

A

C

D

M

9.小刚在距某电信塔10 m 的地面上(人和塔底在同一水平面上),测得塔顶的仰角是 60°, 则塔高为( )

A 、103m

B 、53m

C 、102m

D 、20m 10.如图,在△ABC 中,∠C=90°,AC=8cm,AB 的垂直平分线MN

交AC 于D ,连结BD ,若cos ∠BDC=5

3

,则BC 的长是( )

A 、4cm

B 、6cm

C 、8cm

D 、10cm 二、填空题(每小题3分, 共计18分):

11.在△ABC 中.∠C=90°,若tanA=1,则∠B= 度. 12.锐角A满足2sin(A-150)=3,则∠A=_____度. 13.如图,若某人沿坡度i =3:4的斜坡前进10米,则他所在 的位置比原来的位置升高________米.

14.若?<

2

1)2

+|tanB-1|=0,则∠C= 度。 16.有一拦水坝的横断面是等腰梯形,它的上底长为6米,下底长为10米,高为23米,那么此拦水坝的坡角为_____度.

三、解答题(第17题12分,第18~22题8分,共计52分): 17.计算下列各题:

(1)3cos30°+2sin45° (2)0

12)12(245sin 82-+-?+--

18.在△ABC 中,AB=5,BC=13,AD 是BC 边上的高,AD=4.求:CD 和sinC

A

C

D

19.如图,小亮在操场上距离旗杆AB 的C 处,用测角仪测得旗杆顶端A 的仰角为30°,已知BC=9m ,测角仪高CD 为1m ,求旗杆AB 的高(结果保留根号)。

20.如图,Rt △ABC 是一防洪堤背水坡的横截面图,斜坡AB 的长为12 m ,它的坡角为45°,为了提高该堤的防洪能力,现将背水坡改造成坡比为1:1.5的斜坡AD ,求DB 的长.(结果保留根号)

21.如图,某货船以20海里/小时的速度将一批重要的物资由A 处运往正西方向的B 处,经16小时的航行到达,到达后便接到气象部门通知,一台风中心正由A 向北偏西60°方向移动,距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响.在B 处的货船是否会受到台风的侵袭?说明理由.

22.一艘轮船自西向东航行,在A 处测得北偏东60°方向有一座小岛F ,继续向东航行80

海里到达C 处,测得小岛F 此时在轮船的北偏西30°方向上.轮船在整个航行过程中,距离小岛F 最近是多少海里?(结果保留根号)

_ 北

_ 东

30° F

60° A

D C

B A

参考答案

一、选择题:

1.D,

2.C,

3.B,

4.B,

5.A,

6.D,

7.C,

8.A,

9.A, 10.A 二、填空题:

11. 45°, 12. 75°, 13.6, 14.3

3

, 15. 75°, 16. 60° 三、解答题: 17.(1)解:原式=222233?+? (2)解:原式=12

122224+-?+- =

123+ =12124+-+- =25 =2

3

-

18.解:在Rt △ABD 中,由勾股定理,得:

BD=

322=-AD AB

∴ CD=BC-BD=10 在Rt △ADC 中,

AC=2922

2

=+AD CD ∴ sinC=

29

29

22924=

=AC AD 19.解:过D 作DE ⊥AB ,垂足为E

在Rt △ADE 中,∠ADE=30°,DE=9

DE

AE

ADE =

∠tan 333

3

930tan =?

=??=DE AE ∴ AB=AE+EB=133+(米) 答:旗杆AB 的高为(133+)米

A

B

C

D

20.解:在Rt △ABC 中 AB

BC

ABC AB AC ABC =

∠=

∠cos ,sin 2622

12sin =?

=∠?=ABC AB AC 262

2

12cos =?

=∠?=ABC AB BC 在Rt △ADC 中, AC:DC=1:1.5, DC=29 ∴ DB=DC-BC=23(米) 答: DB 的长为23米. 21.解:过B 作BD ⊥AC ,垂足为D

在Rt △ABD 中,∠BAD=30° AB=20×16=320海里

由AB BD BAD =∠sin

得:BD=2001603202

1

<=?

所以在B 处的货船会受到台风的侵袭. 22.解:过点F 作DF ⊥AC ,垂足为D

在Rt △ADF 中,∠FAD=30°

AD

DF

FAD =

∠tan DF FAD DF AD 3tan =∠?=

在Rt △CDF 中,∠FCD=60°

CD

DF

DCF =

∠tan DF DCF DF CD 3

3

tan =∠?= ∵ AC=AD+CD=80 ∴

803

3

3=+

DF DF ,解,得:320=DF (海里) D

_ 北

_ 东

30° F

60°

A

D

20海里.答:距离小岛F最近距离为3

三角形中的边角关系

三角形中的边角关系 1、 A+B+C=π , 2C = 2 π-( 2A + 2 B ) 2、 sinC=sin(A+B), cosC=-cos(A+B) sin 2 C =cos( 2 A +2 B ), cos 2 C =sin( 2 A + 2 B ), tan 2 C =cot( 2 A + 2 B ) sin2C=-sin2(A+B), cos2C=cos2(A+B) 3、 三角形面积公式 S ?= 12 absinC= 12 bcsinA= 12 casinB p= 12 (a+b+c ) 4、 正弦定理sin sin sin a b c A B C = = =2R sinA ?sinB ? sinC ?a = b ? c sinA= 2a R ,sinB=2b R ,sinC= 2c R a=2RsinA , b=2RsinB , c=2RsinC 适用类型:AAS →S ,SSA →A (2,1,0解) 5、余弦定理2222cos a b c bc A =+- 2 2 2 co s 2b c a A b c +-= 适用类型:SSS →A ,SAS →S ,AAS →S(2,1,0解) 5、 判定三角形是锐角直角钝角三角形 设c 为三角形的最大边 2c <2a +2b ??ABC 是锐角三角形 2 c =2 a +2 b ??ABC 是直角三角形 2 c >2 a +2 b ??ABC 是钝角三角形 6、 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1 tan 2 A tan 2 B +tan 2 B tan 2 C +tan 2 C tan 2 A =1 7* 、若三角形三内角成等差数列,则B=3 π 三边成等差数列,则0

2019年中考数学专题复习第十九讲解直角三角形(含详细参考答案)

2019年中考数学专题复习 第十九讲解直角三角形 【基础知识回顾】 一、锐角三角函数定义: 在Rt△ABC中,∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,则∠A的正弦可表示为:sinA= ,∠A的余弦可表示为cosA= ∠A的正切:tanA= ,它们统称为∠A的锐角三角函数 【名师提醒:1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体,是两条线段的比,没有单位,这些比值只与有关,与直角三角形的无关 2、取值范围 】 二、特殊角的三角函数值: 【名师提醒:1、三个特殊角的三角函数值都是根据定义应用直角三角形性质算出来的,要在理解的基础上结合表格进行记忆 2、正弦和正切值随着角度的增大而余弦值随着角度的增大而 3、几个特殊关系:⑴sinA+cos2A= ,tanA=sin A ()⑵若∠A+∠B=900,则sinA= ,tanA.tanB= 】

三、解直角三角形: 1、定义:由直角三角形中除直角外的 个已知元素,求出另外 个未知元素的过程叫解直角三角形 2、解直角三角形的依据: Rt ∠ABC 中,∠C=900 三边分别为a 、b 、c ⑴三边关系: ⑵两锐角关系 ⑶边角之间的关系:sinA cosA tanA sinB cosB tanB 【名师提醒:解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是 当没有直角三角形时应注意构造直角三角形,再利用相应的边角关系解决】 3、解直角三角形应用中的有关概念⑴仰角和俯角:如图:在图上标上仰角和俯 角 ⑵坡度坡角:如图: 斜坡AB 的垂直度h 和水平宽度l 的比叫做坡度,用i 表示,即i= 坡面 与水平面得夹角为 用字母α表示,则i=tanα=h l 。 ⑶方位角:是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角 如图:OA 表示 OB 表示 铅直 水平线 视线

直角三角形的边角关系(习题及答案)

直角三角形的边角关系(习题) ?要点回顾 1.默写特殊角的三角函数值: 2.三角函数值的大小只与角度的有关,跟所在的三角形 放缩(大小)没有关系. 3.计算一个角的三角函数值,通常把这个角放在 中研究,常利用或两种方式进行处理.?例题示范 例:如图,在△ABC 中,∠B=37°,∠C=67.5°,AB=10,求BC 的长.(结果精确到0.1,参考数据:sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,tan67.5°≈2.41) 如图,过点A 作AD⊥BC 于点D, 由题意AB=10,∠B=37°,∠C=67.5° 在Rt△ABD 中,AB=10,∠B=37°, sin B =AD ,cos B = BD AB AB ∴AD=6,BD=8 在Rt△ADC 中,AD=6,∠C=67.5°,tan C = AD CD ∴CD=2.49 ∴BC=BD+CD=8+2.49=10.49≈10.5 即BC 的长约为10.5. ①得出结论; ②解直角三角形; ③准备条件. 1

2 ?巩固练习 1.在Rt△ABC 中,如果各边长度都扩大为原来的2 倍,那么锐 角A 的正弦值() A.扩大2 倍B.缩小2 倍C.没有变化D.不确定2.在Rt△ABC 中,若∠C=90°,AC=3,BC=5,则sin A 的值为 () A. 3 5 B. 4 5 C. 5 34 34 D. 3 34 34 3.在△ABC 中,∠A,∠B 均为锐角,且 ?1 ?2 sin A - + - cos B ? ?? = 0 ,则这个三角形是()A.等腰三角形B.直角三角形 C.钝角三角形D.等边三角形 4.若∠A 为锐角,且cos A 的值大于 1 ,则∠A() 2 A.大于30°B.小于30° C.大于60°D.小于60° 5.已知β为锐角,且 3 A.30?≤β≤60? C.30?≤β< 60? ≤tan β< ,则β的取值范围是() B.30?<β≤60? D.β< 30? 6.如图,在矩形ABCD 中,DE⊥AC,垂足为E,设∠ADE=α, 若cosα= 3 ,AB=4,则AD 的长为() 5 A.3 B. 16 3 C. 20 3 D. 16 5 第6 题图第7 题图 7.如图,在菱形ABCD 中,DE⊥AB,若cos A = 3 ,BE=2,则 5 tan∠DBE= . 2 3 2 3 3

历年全国中考数学试题及答案

班级 姓名 学号 成绩 一、精心选一选 1.下列运算正确的是( ) A.()11a a --=-- B.( ) 2 3624a a -= C.()2 22a b a b -=- D.3 2 5 2a a a += 2.如图,由几个小正方体组成的立体图形的左视图是( ) 3.下列事件中确定事件是( ) A.掷一枚均匀的硬币,正面朝上 B.买一注福利彩票一定会中奖 C.把4个球放入三个抽屉中,其中一个抽屉中至少有2个球 D.掷一枚六个面分别标有1,2,3,4,5,6的均匀正方体骰子,骰子停止转动后奇数点朝上 4.如图,AB CD ∥,下列结论中正确的是( ) A.123180++=o ∠ ∠∠ B.123360++=o ∠ ∠∠ C.1322+=∠∠∠ D.132+=∠ ∠∠ 5.已知24221 x y k x y k +=??+=+?,且10x y -<-<,则k 的取值范围为( ) A.112 k -<<- B.102 k << C.01k << D. 1 12 k << 6.顺次连接矩形各边中点所得的四边形( ) A.是轴对称图形而不是中心对称图形 B.是中心对称图形而不是轴对称图形 C.既是轴对称图形又是中心对称图形 D.没有对称性 7.已知点()3A a -,,()1B b -,,()3C c ,都在反比例函数4 y x = 的图象上,则a ,b ,c 的大小关系为( ) A.a b c >> B.c b a >> C.b c a >> D.c a b >> 8.某款手机连续两次降价,售价由原来的1185元降到580元.设平均每次降价的百分率为x ,则下面列出的方程中正确的是( ) A.2 1185580x = B.()2 11851580x -= C.( )2 11851580x -= D.()2 58011185x += 9.如图,P 是Rt ABC △斜边AB 上任意一点(A ,B 两点除外),过P 点作一直线,使截得的三角形与Rt ABC △相似,这样的直线可以作( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4A. B. C. D. A B D C 3 2 1 第4题图 P 第9题图

(完整word版)沪科版八年级数学三角形中的边角关系

三角形中的边角关系 知识点 一、 边 1、基本概念(三角形的定义、 边、 顶点、 △、 Rt △) 2、按边对三角形的分类:≠?? ?????? 不等边三角形三角形腰底等腰三角形等边三角形 ☆3、三边关系: (1)任意两边之和大于第三边 (2)任意两边之差小于第三边 验证:两条较短边之和与第三边的关系 二、角 1、基本概念( 内角、外角、∠ ) 2、按角对三角形的分类:???? ???? 锐角三角形斜三角形三角形钝角三角形直角三角形 3、三角形的内角和 (1)三角形三个内角和等于180° (2)直角三角形的两个锐角互余 (3)一个三角形最多3个锐角,最多1个钝角,最多1个直角,最少2个锐角) 三、线 1、中线 (1) 定义 (2) 重心 (3)中线是线段 (4) 表述方法 2、高线 (1)定义 (2)垂心 (3)高是线段,垂线是直线 (4)表示方法 (5)3种高的画法 3、角平分线 (1)定义 (2)外心 (3)画法 (4)表示方法 四、数三角形的个数 (1)图形的形成过程 (2)三角形的大小顺序 (3)按某一条边沿着一定的方向 (4)固定一个顶点,按照一定的顺序不断变换另外两个顶点去数 基础练习 1、图中有____个三角形;其中以AB 为边的三角形有______________;含∠ACB 的三角形有______________;在△BOC 中,OC 的对角是___________;∠OCB 的对边是___________. 2、用集合来表示“用边长把三角形分类”,下面集合正确的是( ) A B C D 3、若三角形的三边长分别为3,4,x -1,则x 的取值范围是_________________________

(完整)直角三角形的边角关系知识点,推荐文档

直角三角形的边角关系知识考点 知识讲解: 1.锐角三角函数的概念 如图,在ABC 中,∠C 为直角,则锐角A 的各三角 函数的定义如下: (1)角A 的正弦:锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记作sinA , 即sinA =a c (2)角A 的余弦:锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记作cosA , 即cosA =b c (3)角A 的正切:锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切,记作t an A , 即t an A =a b (4)角A 的余切:锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切,记作 c ot A , 即c ot A =b a 2.直角三角形中的边角关系 (1)三边之间的关系:a 2+b 2=c 2 (2)锐角之间的关系:A +B =90° (3)边角之间的关系: sinA =cosB =a c , cosA =sinB =b c t an A =c ot B =a b , cot A =t an B =b a

3.三角函数的关系 (1)同角的三角函数的关系 1)平方关系:sinA 2+cosA 2=1 2)倒数关系:t an A·c ot A =1 3)商的关系:t an A =sinA cosA ,c ot A =cosA sinA (2)互为余角的函数之间的关系 sin(90°-A)=cosA , cos(90°-A)=sinA t an (90°-A)=c ot A , cot (90°-A)=t an A 4.一些特殊角的三角函数值 0° 30° 45° 60° 90° sin α 0 1 cos α 1 0 tan α 0 1 ----- cot α ----- 1

中考数学解直角三角形汇编

解直角三角形应用篇 1.(2019山东泰安中考)(4分)如图,一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港,然后再沿北偏西40°方向航行至C港,C港在A港北偏东20°方向,则A,C两港之间的距离为()km. A.30+30 B.30+10 C.10+30 D.30 2.(2019山东淄博中考)如图,小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处,又从点B处沿东偏南20方向行走至点C处,则∠ABC等于() A.130°B.120°C.110°D.100° 3.(2019山东聊城中考)某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体高度(如图①所示,CD 部分),在起点A处测得大楼部分楼体CD的顶端C点的仰角为45?,底端D点的仰角为30°,在同一剖面沿水平地面向前走20米到达B处,测得顶端C的仰角为63.4?(如图② ?≈,所示),求大楼部分楼体CD的高度约为多少米(精确到1米)(参考数据:sin63.40.89 ?≈,tan63.4 2.00 ?≈ 1.41 cos63.40.45 ≈) ≈ 1.73 4. (2019甘肃中考 7分)某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳篷”这-课题进行了探究,过程如下: 问题提出: 如图1是某住户窗户上方安装的遮阳蓬,要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光,又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内. 方案设计: 如图2,该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面AC的遮阳篷CD 数据收集: 通过查阅相关资料和实际测量:兰州市一年中,夏至这一天的正午时刻,太阳光线DA 与遮阳篷CD的夹角∠ADC最大(∠ADC=°):冬至这一天的正午时刻,太阳光线DB与遮阳篷CD的夹角 ∠BDC最小(∠BDC=°);窗户的高度AB=2m 问题解决: 根据上述方案及数据,求遮阳篷CD的长. (结果精确到,参考数据:°≈,°≈, °≈

初三解直角三角形基本模型复习学习资料

初三解直角三角形基本模型复习

课题解直角三角形模型 教学目标 1. 熟悉特殊的三角函数,理解三角函数表示的意义,学会利用三角函数求线段长度和角 度; 2. 学会解决常考的解直角三角形题型。 重难点学会解决常考的解直角三角形题型 导案学案 教学流程 一、进门考(建议不超过10分钟) 1.(2017?绍兴)如图,学校的实验楼对面是一幢教学楼,小敏在实验楼的窗口C测得教学 楼顶部D的仰角为18°,教学楼底部B的俯角为20°,量得实验楼与教学楼之间的距离 AB=30m. (1)求∠BCD的度数. (2)求教学楼的高BD.(结果精确到0.1m,参考数据:tan20°≈0.36,tan18°≈0.32) 二、基础知识网络总结与巩固 知识回顾:三角函数中常用的特殊函数值。 函数名0°30°45°60°90° sinα0 1 cosα 1 0 tanα0 无穷大 cotα无穷大 1 0 1.解直角三角形的定义:

在直角三角形中,除直角外,共有5个元素,即3条边和2个锐角.由这些元素中的一些已知元素,求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 2.解直角三角形的常用关系: 在Rt △ABC 中,∠C=90°,则: ①三边关系:a 2+b 2= c 2 ; ②两锐角关系:∠A +∠B= 90°; ③边与角关系:sin A=cos B= a c ,cos A=sin B=b c ,tan A=a b ; ④平方关系:1cos sin 2 2=+A A ⑥倒数关系:tan A ?tan(90°—A)=1 ⑦弦切关系:tan A= A A cos sin 3.解直角三角形的两种基本类型————①已知两边长; ②已知一锐角和一边。 注意:已知两锐角不能解直角三角形。 4.解非直角三角形的方法: 对于非直角三角形,往往要通过作辅助线构造直角三角形来解,作辅助线的一般思路是: ①作垂线构成直角三角形; ②利用图形本身的性质,如等腰三角形顶角平分线垂直于底边。 5.常见的几种图形辅助线: 三、重难点例题启发与方法总结 类型一 背靠背 例1.(2017?恩施州)如图,小明家在学校O 的北偏东60°方向,距离学校80米的A 处,小华家在学校O 的南偏东45°方向的B 处,小华家在小明家的正南方向,求小华家到学校的距离.(结果精确到1米,参考数据:≈1.41,≈1.73,≈2.45) 例2(2017?海南)为做好防汛工作,防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固,专家提供的方案是:水坝加高2米(即CD=2米),背水坡DE 的坡度i=1:1(即DB :EB=1:1),如图所示,已知AE=4米,∠EAC=130°,求水坝原来的高度BC . (参考数据:sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,tan50°≈1.2)

直角三角形的边角关系专题复习

直角三角形的边角关系测试题 1、在Rt △ABC 中,∠A=90o,AB=6,AC=8,则sinB= ,cosC= 2、在△ABC 中,∠B=90o,2 1 cos =C ,则∠C= 】 3、在△ABC 中,∠C=90o,∠A=60o,AC=34,则BC= 4、在△ABC 中,∠C=90o,BC=3,AB=32,则∠A= 5、在△ABC 中,∠C=90o,若tanA= 2 1 ,则sinA= 6、在△ABC 中,若∠C=90o,∠A=45o,则tanA+sinB= 7、如图1,在△ABC 中,∠C=90o,∠B=30o,AD 是∠BAC 的平分线。已知AB=34, 那么AD= # 8、正方形ABCD 中,AM 平分∠BAC 交BC 于M ,AB=2,BM=1,则cos ∠MAC= 9、如果3)20tan(3=?+α,那么锐角α= 10、某校数学课外活动小组的同学测量英雄纪念碑的高,如图2所示,测得的数据为: BC=42m ,倾斜角o?=30α,测得测角仪高CD=1.5m ,则AB= 。(结果保留四位 有效数字) 11、在△ABC 中,∠C=90o,BC=5,AC=12,则tanA=( ) A 、512 B 、125 C 、513 D 、13 5 12、在Rt △ABC 中,∠C=90o,5 3 cos = A ,AC=6cm ,则BC=( )cm A 、8 B 、 C 、 D 、 ! 13、菱形ABCD 的对角线AC=10cm ,BD=6cm ,那么=2tan A ( ) A 、53 B 、54 C 、34 343 D 、34345 14、已知:如图3,梯形ABCD 中,AD 63864238242 3 23 1,23-1,2 3 --3253500 )3sin 2(3tan 2=-+-A B 5 米 353103?+?+?-?45tan 30cos 230tan 330sin ?-?+? -? - ?60tan 45tan 30sin 160cos 45cos 2226—1为平地 上一幢建筑物与铁塔图,题6-2图为其示意图.建筑物AB 与铁塔CD 都垂直于底面,BD=30m ,在A 点测得D 点的俯角为45°,测得C 点的仰角为60°.求铁塔CD 的高度. … 图6-1 图6-2 图2 a C A E B ) 图1 B C D A 图3 图4 图5

直角三角形的边角关系(含答案)

学生做题前请先回答以下问题 问题1:在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=________,cosA=________,tanA=________. 问题2:在Rt△ABC中,∠C=90°,锐角A越大,正弦sinA______,余弦cosA______,正切tanA______. 问题3:默写特殊角的三角函数值: 问题4:计算一个角的三角函数值,通常把这个角放在____________中研究,常利用_________或__________两种方式进行处理. 直角三角形的边角关系 一、单选题(共14道,每道7分) 1.式子2cos30°-tan45°-的值是( ) A. B.0 C. D.2 答案:B 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:特殊角的三角函数值 2.如果△ABC中,,则下列说法正确的是( ) A.△ABC是直角三角形 B.△ABC是等腰三角形 C.△ABC是等腰直角三角形 D.△ABC是锐角三角形

答案:A 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:特殊角的三角函数值 3.已知为锐角,且,那么的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案:B 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:锐角三角函数的增减性 4.如图,在Rt△ABC中,tanB=,BC=,则AC等于( )

A.3 B.4 C. D.6 答案:A 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:解直角三角形 5.在平面直角坐标系中,已知点A(2,1)和点B(3,0),则sin∠AOB的值等于( ) A. B. C. D. 答案:A 解题思路:

试题难度:三颗星知识点:锐角三角函数的定义 6.在Rt△ABC中,∠C=90°,若AB=4,,则斜边上的高为( ) A. B. C. D. 答案:B 解题思路:

直角三角形的边角关系知识点

直角二角形的边角关系知识考点 知识讲解: 1.锐角三角函数的概念 如图,在ABC 中,/ C 为直角,则锐角 A 的各三角函 数的定义如下: (1)角A 的正弦:锐角A 的对边与斜边的比叫做/ A 的正弦,记作sinA , ⑵ 角A 的余弦:锐角A 的邻边与斜边的比叫做/ A 的余弦,记作 cosA , 口口 b 即 cosA = (3)角A 的正切:锐角A 的对边与邻边的比叫做/ A 的正切,记作tanA , 即 tanA =7 b (4) 角A 的余切:锐角A 的邻边与对边的比叫做/ A 的余切,记作cotA , 即 si nA

b 即cotA =- a 2.直角三角形中的边角关系

(1) 三边之间的关系:a 2 + b 2 = c 2 (2) 锐角之间的关系:A + B = 90° (3) 边角之间的关系: sinA = cosB = -, cosA = sinB =2 c c a b tanA = cotB = , cotA = tanB = 3. 三角函数的关系 (1) 同角的三角函数的关系 2) 倒数关系:tan A -c otA = 1 sinA cosA tanA = , cotA =. cosA st nA (2) 互为余角的函数之间的关系 sin(90 ° - A) = cosA , cos(90 ° - A) = sinA tan (90 ° — A) = cotA , cot (90 ° — A) = tanA 4. 一些特殊角的三角函数值 1) 平方关系:sinA 2 + cosA 2 = 1 3) 商的关系:

解直角三角形的基本类型及其解法公式

解直角三角形的基本类型及其解法公式(总结) 1、解直角三角形的类型与解法 已知、解法 三角 类型 已 知 条 件 解 法 步 骤 Rt △ABC B c a A b C 两 边 两直角边(如a ,b ) 由tan A =a b ,求∠A ;∠B =90°-A , c = 2 2b a + 斜边,一直角边(如c ,a ) 由Sin A =a c ,求∠A ;∠B =90°-A ,b =22a -c 一 边 一 角 一角边 和 一锐角 锐角,邻边 (如∠A ,b ) ∠B =90°-A ,a =b ·Sin A ,c =b cosA cosA 锐角,对边 (如∠A ,a ) ∠B =90°-A ,b =a tanA ,c =a sinA 斜边,锐角(如c ,∠A ) ∠B =90°-A ,a =c ·Sin A , b =c ·cos A 2、测量物体的高度的常见模型 1)利用水平距离测量物体高度 数学模型 所用工具 应测数据 数量关系 根据 原理 侧倾器 皮尺 α、β、 水平距离a tan α=1 x ι ,tan β=2x ι ι=a ·tan α·tan βtan α+tan β 直角 三角 形的 边角 关系 tan α= x a +ι tan β= x ι ι=a ·tan α·tan β tan β-tan α 2)测量底部可以到达的物体的高度 数学模型 所用工具 应测数据 数量关系 根据 原理 皮尺 镜子 目高a 1 水平距离a 2 3a h =2 1a a ,h =231a a a 反射 定律 β α a x 1 x 2 ι α β x a ι 镜子 1a 2a 3a h

三角形边角关系教案

14.1 三角形中的边角关系(1) -------边的关系 1.三角形的概念 2.三角形的表示方法及分类 3.三角形三边之间的关系 1.了解三角形的概念,掌握分类思想。 2.经历探索三角形中的三条边之间的关系,感受几何学中基本图形的内涵。 3.让学生养成有条理的思考的习惯,以及说理有据的意识,体会三角形三边关系在现实生活中的实际价值。 三教学重难点: 1.重点:了解三角形的分类,弄清三角形三边关系 2.难点:对两边之差小于第三边的领悟 四教学准备: 1.教师准备:多媒体课件 2.学生准备:四根小木条 五课时安排: 一节课 六教学过程: (一)创设情境,探究新知 1.请同学们仔细观察一组图片,找出你熟悉的图形三角形,引入课题 我们在日常生活中几乎随处可见三角形,它简单、有趣,也十分有用。三角形可以帮助我们更好地认识周围的世界,可以帮助我们解决很多实际问题……从这一节课开始我们将学习三角形。 (二)合作交流,探究新知 你能画一个三角形吗? 三角形的概念:由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形 3.自学指导: 认真看书67页的内容。注意三角形边的表示方法。 并思考下面问题: (1)知道三角形的顶点,边,角等概念,会用几何符号表示一个三角形; (2)会把三角形按边进行分类,知道每类三角形的特征;

(3)知道等腰三角形的腰,底边,顶角,底角等概念; 依次向学生介绍有关知识 4.巩固练习(多媒体展示) 5.合作探究三角形的三边关系 有这样的四根小棒(6cm、8cm、12cm、18cm)请你任意的取其中的三根,首尾连接,摆成三角形。 (1)有哪几种取法? (2)是不是任意三根都能摆出三角形?若不是,哪些可以?哪些不可以? (3)用三根什么样的小棒才能拼成三角形呢?你从中发现了什么? 小组活动:学生自主探索并合作交流满足怎样的数量关系的三根小棒能组成三角形; 我们可以发现这四根小棒中,如果较短的两根的和不大于最长的第三根,就不能组成三角形。 这就是说:三角形中任何两边的和大于第三边 三角形中任意两边的差与第三边有什么关系?你能根据上面的结论,利用不等式的性质加以说明吗? 三角形中任何两边的差小于第三边 6.讲解例题 例1 :例:一根木棒长为7,另一根木棒长为2,若要围成三角形,那么则第三根木棒长度应在什么范围呢? 解:设第三条边长为a cm,则 7-2<a<7+2 即5<a<9 结论:其它两边之差< 三角形的一边< 其它两边之和 例2:已知:等腰三角形周长为18cm,如果一边长等于4cm,求另两边的长? 解(1)设等腰三角形的底边长为4 cm,则腰长为x cm。根据题意,得 x+x+4=18 解方程,得 x=7

2019中考数学解直角三角形汇编.docx

WORD格式 解直角三角形应用篇 1.(2019 山东泰安中考)( 4 分)如图,一艘船由 A 港沿北偏东65°方向航行30km 至 B 港,然后再沿北偏西40°方向航行至 C 港, C 港在 A 港北偏东 20°方向,则A, C 两港之间的距离为()km. A. 30+30B. 30+10C. 10+30D. 30 2.(2019 山东淄博中考)如图,小明从 A 处沿北偏东40°方向行走至点 B 处,又从点 B 处沿东偏南 20 方向行走至点 C 处,则∠ ABC等于() A. 130° B. 120° C. 110 ° D. 100 ° 3(.2019 山东聊城中考)某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体高度(如图①所示,CD 部分),在起点 A 处测得大楼部分楼体 CD的顶端 C 点的仰角为45,底端 D 点的仰角为 30°,在同一剖面沿水平地面向前走20 米到达 B 处,测得顶端 C 的仰角为63.4 (如图② 所示),求大楼部分楼体CD的高度约为多少米?(精确到 1 米)(参考数据:sin63.40.89,

cos63.40.45 ,tan63.42.00,21.41, 31.73 ) 专业资料整理

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WORD格式4. ( 题出: 2 进1 行是 1 炎了某 9 热探方案设计 : 甘住 的究2 肃户 :阳, 中数窗据收集 : 光该 考户 ,通 7数上 与 又过 分学方 遮 能 阳篷 CD查的夹角 )课安 阳 最阅 题 某∠ BDC最装小 ( ∠ BDC=30.56° ); 窗户的高度 篷: 大 数研的决: 限C兰 学究, D度根 州 课小要 的 地据 市 题组求 夹 使上 结一 研通设 角述 冬 果年 究过计 ∠°≈ 0.51 天方 中 小调0.1m, 参考数据 :sin30.56的 A温案, 组查遮 D暖及夏 针研阳 C的数至 对究篷 最 阳据 这 兰设既 大 光, 一 州AC的遮阳篷 CD能 (射求 市天最 ∠的遮 .住大 A阳 房正限 D篷 窗午度 C C时 户夏天 =.刻 设计遮阳篷”这 - 课 7, 7太 .DA 4 4 ° ) : 冬 至 这 一 天 的正 午 时 刻 , 太 DB与遮

直角三角形的边角关系(含答案)

第十四章 直角三角形的边角关系 基础知识梳理 1.锐角三角函数. 在Rt △ABC 中,∠C 是直角,如图所示. (1)正切:∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切,记作tanA ,即tanA= A A ∠∠的对边 的邻边 . (2)正弦:∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记作sinA ,即sinA= A ∠的对边 邻边 . (3)余弦:∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记作cosA ,即cosA= A ∠的邻边 邻边 . (4)锐角三角函数:锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数. (5)锐角的正弦和余弦之间的关系. 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值. 即:如果∠A+∠B=90°,那么sinA=cos (90°-A )=cosB ;cosA=sin (?90?°-?A )?=sinB . (6)一些特殊角的三角函数值(如下表). (7)已知角度可利用科学计算器求得锐角三角函数值;同样,?已知三角函数值也可利用科学计算器求得角度的大小.

(8)三角函数值的变化规律. ①当角度在0°~90°间变化时,正弦值(正切值)随着角度的增大(或减小)而增大(或减小). ②当角度在0°~90°间变化时,余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(?或增大).(9)同角三角函数的关系. ①sin2A+cos2A=1;②tanA=sin cos A A . 2.运用三角函数解直角三角形. 由直角三角形中除直角外的已知元素,求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对 边分别为a,b,c. (1)三边之间的关系:a2+b2=c2(勾股定理). (2)锐角之间的关系:∠A+∠B=90°. (3)边角之间的关系:sinA=a c ,cosA= b c ,tanA= a b . 所以,在直角三角形中,只要知道除直角外的两个元素(其中至少有一个是边),?就可以求出其余三个未知元素. 解直角三角形的基本类型题解法如下表所示: (1)尽量使用原始数据,使计算更加准确; (2)不是解直角三角形的问题,添加合适的辅助线转化为解直角三角形的问题; (3)恰当使用方程或方程组的方法解决一些较复杂的解直角三角形的问题; (4)在选用三角函数式时,尽量做乘法,避免做除法,以使运算简便; (5)必要时画出图形,分析已知什么,求什么,它们在哪个三角形中,?应当选用什么关系式进行计算; (6)添加辅助线的过程应书写在解题过程中. 3.解直角三角形的实际问题. 解直角三角形的实际问题涉及到如下概念和术语. (1)坡度、坡角.

(完整word版)初三解直角三角形基本模型复习

课题解直角三角形模型 教学目标 1. 熟悉特殊的三角函数,理解三角函数表示的意义,学会利用三角函数求线段长度和角度; 2. 学会解决常考的解直角三角形题型。 重难点学会解决常考的解直角三角形题型 导案学案 教学流程 一、进门考(建议不超过10分钟) 1.(2017?绍兴)如图,学校的实验楼对面是一幢教学楼,小敏在实验楼的窗口C测得教学楼 顶部D的仰角为18°,教学楼底部B的俯角为20°,量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m. (1)求∠BCD的度数. (2)求教学楼的高BD.(结果精确到0.1m,参考数据:tan20°≈0.36,tan18°≈0.32) 二、基础知识网络总结与巩固 知识回顾:三角函数中常用的特殊函数值。 函数名0°30°45°60°90° sinα0 1 cosα 1 0 tanα0 无穷大 cotα无穷大 1 0

1.解直角三角形的定义: 在直角三角形中,除直角外,共有5个元素,即3条边和2个锐角.由这些元素中的一些已知元素,求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 2.解直角三角形的常用关系: 在Rt △ABC 中,∠C=90°,则: ①三边关系:a 2+b 2= c 2 ; ②两锐角关系:∠A +∠B= 90°; ③边与角关系:sin A=cos B= a c ,cos A=sin B= b c ,tan A=a b ; ④平方关系:1cos sin 2 2 =+A A ⑥倒数关系:tan A ?tan(90°—A)=1 ⑦弦切关系:tan A= A A cos sin 3.解直角三角形的两种基本类型————①已知两边长; ②已知一锐角和一边。 注意:已知两锐角不能解直角三角形。 4.解非直角三角形的方法: 对于非直角三角形,往往要通过作辅助线构造直角三角形来解,作辅助线的一般思路是: ①作垂线构成直角三角形; ②利用图形本身的性质,如等腰三角形顶角平分线垂直于底边。 5.常见的几种图形辅助线: 三、重难点例题启发与方法总结 类型一 背靠背 例1.(2017?恩施州)如图,小明家在学校O 的北偏东60°方向,距离学校80米的A 处,小华家在学校O 的南偏东45°方向的B 处,小华家在小明家的正南方向,求小华家到学校的距离.(结果精确到1米,参考数据:≈1.41,≈1.73,≈2.45)

三角形中的边角关系测试卷

《三角形中的边角关系》测试卷 一、选择题 1、三角形的三边分别为3,1-2a,8,则a 的取值范围是( ) -2 2、下列不属于命题的是( ) A.两直线平行,同位角相等; B.如果x 2=y 2 ,则x =y ; C.过C 点作CD ∥EF ; D.不相等的角就不是对顶角。 3、如果三角形的一个内角等于其它两个内角的差,这个三角形是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D. 斜三角形 4、四条线段的长度分别为4、6、8、10,可以组成三角形的组数为( ) .3 5、如图,在长方形网格中,每个小长方形的长为2,宽为1,A 、B 两点在网格格点上,若点C 也在网格格点上,以A 、B 、C 为顶点的三角形面积为2,则满足条件的点C 个数是( ) A .2 B .3 C .4 D . 5 6、一次数学活动课上,小聪将一副三角板按图中方式叠放,则∠α等于( ) A .30° B .45° C .60° D .75° 7、图(五)为一张方格纸,纸上有一灰色三角形,其顶点均位于某两网格线的交点上,若灰色三角形面积为 4 21 平方公分,则此方格纸的面积为多少平方公分? A . 11 B . 12 C . 13 D . 14 8、已知如图,∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°则ΔDFE 等于( ) ° ° ° ° 9、如图,把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上,如果∠1=32°, 那么∠2的度数是( ) A .32° B .58° C .68° D .60° 10、已知:如图,在△ABC 中,∠C=∠ABC=2∠A ,BD 是AC 边的高,则∠DBC=( ) A .10° B .18° C .20° D .30° 11、已知等腰三角形的一个内角为040,则这个等腰三角形的顶角为 ( ) A.0 40 B.0 100 C.0 40或0 100 D.0 70或0 50 二、填空题 A B 30° 45° α 1 2

中考数学专题特训 解直角三角形(含详细参考答案)

中考数学专题复习解直角三角形 【基础知识回顾】 一、锐角三角函数定义: 在RE△ABC中,∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,则∠A的正弦可表示为:sinA= ,∠A的余弦可表示为CBA= ∠A的正切:tanA= ,它们弦称为∠A的锐角三角函数 【提醒:1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体,是两条线段的比,没有,这些比值只与有关,与直角三角形的无关 2、取值范围 】 二、特殊角的三角函数值: 【提醒:1、三个特殊角的三角函数值都是根据定义应用直角三角形性质算出来的,要在理解的基础上结合表格进行记忆 2、当时,正弦和正切值随着角度的增大而余弦值随着角度的增大而 sin A 3、几个特殊关系:⑴sinA+cos2A= ,tanA= ⑵若∠A+∠B=900,则sinA= cosA.tanB= 】 三、解直角三角形: 1、定义:由直角三角形中除直角外的个已知元素,求出另外个未知元素的过程叫解直角三角形 2、解直角三角形的依据: RT∠ABC中,∠C900 三边分别为a、b、c ⑴三边关系: ⑵两锐角关系 ⑶边角之间的关系:sinA cosA tanA

sinB cosB tanB 【提醒:解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是 当没有直角三角形时应注意构造直角三角形,再利用相应的边角关系解决】 3、解直角三角形应用中的有关概念 ⑴仰角和俯角:如图:在用上标上仰角和俯角 ⑵坡度坡角:如图: 斜坡AB的垂直度H和水平宽度L的比叫做坡度,用i表示,即i=坡面与水平面得 夹角为用字母α表示,则i=h l = ⑶方位角:是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角 如图:OA表示OB表示 OC表示(也可称西南方向) 3、利用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤: ⑴把实际问题抓化为数字问题(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题) ⑵根据条件特点选取合适的锐角三角函数去解直角三角形 ⑶解数学问题答案,从而得到实际问题的答案 【提醒:在解直角三角形实际应用中,先构造符合题意的三角形,解题的关键是弄清在哪个直角三角形中用多少度角的哪种锐角三角函数解决】 【重点考点例析】 考点一:锐角三角函数的概念 例1 (2012?内江)如图所示,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则sinA的值为() A.1 2 B. 5 5 C. 10 10 D. 25 5 思路分析:利用网格构造直角三角形,根据锐角三角函数的定义解答.解:如图:连接CD交AB于O, 根据网格的特点,CD⊥AB,

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课题解直角三角形模型 教学目标 1.熟悉特殊的三角函数,理解三角函数表示的意义,学会利用三角函数求线段长度和角度; 2.学会解决常考的解直角三角形题型。 重难点学会解决常考的解直角三角形题型 导案学案 教学流程 一、进门考(建议不超过10 分钟) 1. ( 2017?绍兴)如图,学校的实验楼对面是一幢教学楼,小敏在实验楼的窗口 C 测得教学楼 顶部 D的仰角为18°,教学楼底部B的俯角为 20°,量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m. ( 1)求∠ BCD的度数. ( 2)求教学楼的高BD.(结果精确到0.1m,参考数据:tan20 °≈ 0.36 , tan18 °≈ 0.32 ) 二、基础知识网络总结与巩固 知识回顾:三角函数中常用的特殊函数值。 函数名0°30°45°60°90° sin α01 cos α10 tan α0无穷大 cot α无穷大10

1.解直角三角形的定义: 在直角三角形中,除直角外,共有 5 个元素,即 3 条边和 2 个锐角.由这些元素中的一些已知元素,求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 2.解直角三角形的常用关系: 在 Rt △ ABC中,∠ C=90°,则:① 三边关系: a2+ b2= c 2;②两锐角关 系:∠ A+∠ B= 90 °; ③边与角关系: sin A=cos B=a , cos A=sin B= b , tan A=a ; c c b ④平方关系: sin 2 A cos2 A1 ⑥倒数关系: tan A? tan(90°—A)=1 ⑦弦切关系: tan A=sin A cos A 3. 解直角三角形的两种基本类型————①已知两边长;②已知一锐角和一边。 注意:已知两锐角不能解直角三角形。 4.解非直角三角形的方法: 对于非直角三角形,往往要通过作辅助线构造直角三角形来解,作辅助线的一般思路是: ①作垂线构成直角三角形; ②利用图形本身的性质,如等腰三角形顶角平分线垂直于底边。 5.常见的几种图形辅助线: 三、重难点例题启发与方法总结 类型一背靠背 例 1. ( 2017?恩施州)如图,小明家在学校 O的北偏东 60°方向,距离学校 80 米的 A 处,小华家在学校 O的南偏东 45°方向的 B 处,小华家在小明家的正南方向,求小华家到学校的距 离.(结果精确到 1 米,参考数据:≈ 1.41,≈ 1.73,≈ 2.45)

三角形中边与角之间的不等关系

三角形中边与角之间的不等关系 《三角形中边与角之间的不等关系》教学设计教学目标: 1. 通过 实验探究发现:在一个三角形中边与角之间的不等关系; 2. 通过实验探究和推理论证,发展学生的分析问题和解决问题的能力;通过探索、总结形成利用图形的翻折等变换是解决几何问题常见的策略; 3. 提供动手操作的机会,让学生体验数学活动中充满着探索与创新,激发学生学习几何的兴趣。教学重点:三角形中边与角之间的不等关 系及其探究过程。教学难点:如何从实验操作中得到启示,写成几 何证明的表达。教具准备:三角形纸片数张、剪刀、圆规、三角板等。教学过程一、知识回顾 1. 等腰三角形具有什么性质? 2. 如何判定一个三角形是等腰三角形?从这两条结论来看,今后要在同 一个三角形中证明两个角相等,可以先证明它们所对的边相等;同样要证明两条边相等可以先证明它们所对的角相等。二、引入新课问题:在三角形中不相等的边所对的角之间又有怎样的大小关系呢?或者不相等的角所对的边之间大小关系又怎样?方法回顾:在探究 “等边对等角”时,我们采用将三角形对折的方式,发现了“在三角形中相等的边所对的角相等”,从而利用三角形的全等证明了这些性质。现在请大家拿出三角形的纸片用类似的方法探究今天的问题。三.探究新知实验与探究1:在△ABC中,如果AB>AC,那么我们可以将△ABC沿∠BAC的平分线AD折叠,使点C落在AB边上的点E处,即AE=AC,这样得到∠AED=∠C,再利用∠AED是△BDE的外角的关系得到∠AED>∠B,从而得到∠C>∠B。由上面的操作过程得到启示, 请写出证明过程。(提示:作∠BAC的平分线AD,在AB边上取点E,使AE=AC,连结DE。)形成结论1:在一个三角形中,如果两条边不等,那么它们所对的角也不等,大边所对的角较大。思考:是否还 有不同的方法来证明这个结论? 实验与探究2:在△ABC中,如果∠C>∠B,那么我们可以将△ABC沿BC的垂直平分线MN折叠,使点B落在点C上,即∠MCN=∠B,于是MB=MC,这样AB=AM+MB=AM+MC>AC. 由上面的操作过程得到启示,请写出证明过程。 形成结论2:在一个三角形中,如果两个角不等,那么它们所对的边

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